第3章 3.2直线与平面、平面与平面相交
直线与平面的相交关系详细解析与归纳
直线与平面的相交关系详细解析与归纳直线与平面的相交关系是几何学中一个重要的概念。
在三维空间中，直线和平面是两种最基本的几何实体，它们的相交关系对于解决实际问题和推导几何定理有着重要的意义。
本文将对直线与平面的相交关系进行详细解析和归纳。
1. 直线与平面的基本概念在开始解析直线与平面的相交关系之前，首先需要了解直线和平面的基本概念。
直线可以用一个点和一个方向向量来确定，而平面可以用一个点和两个不共线的方向向量来确定。
2. 直线与平面的相交情况当直线与平面相交时，有以下三种可能的情况：2.1 直线与平面相交于一点当直线与平面只有一个公共点时，我们称其为点相交。
此时，直线和平面是相交的，但是它们没有共线的部分。
2.2 直线与平面相交于一条直线当直线与平面有无穷多个公共点，并且这些点在直线上形成一条直线时，我们称其为直线相交。
这种情况下，直线与平面有重合的部分。
2.3 直线与平面平行当直线与平面没有公共点时，我们称其为平行。
在这种情况下，直线和平面没有重合的部分。
3. 直线与平面相交的判定方法确定直线与平面是否相交，可以使用以下两种方法：3.1 点法式判定点法式判定是通过计算直线上一点到平面的距离来判断直线与平面的相交关系。
当该距离不为零时，即直线与平面相交；当该距离等于零时，即直线在平面上。
3.2 方向向量法判定方向向量法判定是通过计算直线的方向向量和平面的法向量之间的夹角来判断直线与平面的相交关系。
当夹角不为零时，即直线与平面相交；当夹角为零时，即直线与平面平行。
4. 直线与平面相交的几何性质当直线与平面相交时，会出现一些有趣的几何性质：4.1 直线与平面的交点相交情况下，直线与平面的交点将成为它们的公共点，这个交点可以通过方程组求解或者直接观察得到。
4.2 直线上的点到平面的距离可以通过计算直线上某点到平面的距离来确定它与平面的关系。
当该距离不为零时，直线与平面相交；当该距离等于零时，直线在平面上。
数学竞赛教案讲义立体几何
数学竞赛教案讲义-立体几何第一章：立体几何基础1.1 空间点、线、面的位置关系点、直线、平面的基本性质点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系1.2 立体几何的基本概念棱柱、棱锥、棱台、球的定义与性质底面、侧面、顶点的概念空间角、二面角的概念与计算第二章：空间几何图形2.1 棱柱直棱柱、斜棱柱的性质棱柱的面积、体积计算2.2 棱锥直棱锥、斜棱锥的性质棱锥的面积、体积计算2.3 棱台棱台的性质棱台的面积、体积计算2.4 球球的性质球的面积、体积计算第三章：立体几何中的线面关系3.1 直线与平面的关系直线与平面平行、直线在平面内的判定与性质直线与平面相交的性质3.2 直线与直线的关系平行线、相交线的性质异面直线、共面直线的性质3.3 平面与平面的关系平面与平面平行的判定与性质平面与平面相交的性质第四章：立体几何中的角与距离4.1 空间角线线角、线面角、面面角的定义与计算空间角的性质与计算方法4.2 距离点与点、点与直线、点与平面的距离计算直线与直线、直线与平面的距离计算第五章：立体几何的综合应用5.1 立体几何图形的放缩与旋转放缩与旋转的性质与方法放缩与旋转在立体几何中的应用5.2 立体几何中的定理与性质欧拉公式、施瓦茨公式等定理的应用立体几何中的重要性质与定理5.3 立体几何与解析几何的综合应用利用解析几何的知识解决立体几何问题立体几何与解析几何的相互转化第六章：立体几何中的立体角与对角线6.1 立体角立体角的定义与性质立体角的计算方法6.2 对角线多面体的对角线长度计算对角线与几何体的性质关系第七章：立体几何中的不等式与最值7.1 立体几何中的不等式利用立体几何图形性质证明不等式利用不等式解决立体几何问题7.2 立体几何中的最值问题利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第八章：立体几何中的视图与投影8.1 视图正视图、侧视图、俯视图的定义与性质利用视图研究几何体的性质8.2 投影平行投影、中心投影的性质利用投影解决立体几何问题第九章：立体几何中的定理与性质（续）9.1 立体几何中的定理与性质布雷特施奈德定理、莫恩定理等定理的应用立体几何中的其他重要性质与定理9.2 立体几何中的特殊几何体圆柱、圆锥、球台的性质与应用利用特殊几何体解决立体几何问题第十章：立体几何与实际应用10.1 立体几何在实际应用中的案例分析利用立体几何解决工程、物理、艺术等领域的问题立体几何在现实生活中的应用举例10.2 立体几何竞赛题解析分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法，提高解题能力10.3 立体几何练习题与答案解析提供立体几何练习题，巩固所学知识分析练习题答案，讲解解题过程与思路第十一章：立体几何中的坐标计算11.1 空间点的坐标空间直角坐标系的建立点的坐标表示与运算11.2 空间向量向量的定义与运算向量与立体几何的关系11.3 空间几何体的坐标表示棱柱、棱锥、棱台、球的坐标表示利用坐标解决立体几何问题第十二章：立体几何中的向量计算12.1 向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算向量共线与垂直的判定与性质12.2 向量的数量积与向量积向量的数量积定义与性质向量的向量积定义与性质12.3 空间向量在立体几何中的应用利用向量计算空间角与距离利用向量解决立体几何中的线面关系问题第十三章：立体几何中的解析几何方法13.1 解析几何与立体几何的关系利用解析几何方法解决立体几何问题解析几何在立体几何中的应用举例13.2 参数方程与极坐标方程立体几何图形的参数方程表示利用参数方程与极坐标方程解决立体几何问题第十四章：立体几何中的不等式与最值（续）14.1 立体几何中的不等式问题利用不等式性质解决立体几何问题不等式在立体几何中的应用举例14.2 立体几何中的最值问题（续）利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第十五章：立体几何的综合与应用15.1 立体几何与其他数学学科的综合立体几何与代数、分析、概率等学科的关系立体几何在交叉学科中的应用15.2 立体几何在实际应用中的案例分析（续）立体几何在工程、物理、艺术等领域中的应用案例立体几何在其他领域中的应用举例15.3 立体几何竞赛题解析与练习题答案解析（续）分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法，提高解题能力提供立体几何练习题，巩固所学知识分析练习题答案，讲解解题过程与思路重点和难点解析重点：理解并掌握立体几何的基本概念、立体几何图形、空间几何图形、立体几何中的线面关系、立体几何中的角与距离、立体几何中的立体角与对角线、立体几何中的不等式与最值、立体几何中的视图与投影、立体几何中的定理与性质、立体几何中的坐标计算、立体几何中的向量计算、立体几何中的解析几何方法、立体几何中的不等式与最值（续）、立体几何的综合与应用。
第三章线线、线面关系
两个一般位置平面相交
SV RV
基本方法： 线面求交点。
结果
用求一般位置线面交点的方法求解
28
例7：求△ABC与△DEF的交线。
分析： 两平面均为一般位置平面 不能直接确定其交线 两平面的交线是一 条直线，只要求得 直线上的两点，即 可以确定该交线， 而点可以看作是一 个平面上的直线与 另一平面的交点。
V N B P A PH a
b
k
n
a
m
K
c
a n k
H
b k M
c
C
b c
m
由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可 17 直接求出。
•
V
判断直线的可见性
N B P A PH a m a k
b
n
K
n k H m b
c a
b k
M c
C
c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能 18 直接判别直线的可见性。
b
n
m
作图步骤： •面内作一任意正平线 •直线的正面投影(mn) 垂直正平线的正面投影
c
a
●
b
●
•面内作一任意水平线
m
a
c n
•直线的水平投影(mn) 垂直水平线的水平投影
35
例2：过M点作直线MN垂直于平面ABC。
b n c m
●
平面ABC为铅垂面
水平投影为积聚直线
a
直线MN垂直于平面， 则 mn⊥abc
39
例3 过点A作平面垂直于平面
a'
c'
b'
b
平面ABC为所求
c a
包含已知平面的垂线的平面已知平面 分析 作图步骤 过点A作直线已知平面 包含该垂线作平面
高二数学苏教版选修2-1课件：第1部分 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
1．一条直线有无数个方向向量，它们共线．一个平面有 无数个法向量，它们也共线．
2．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量． 3．给定一点A和一个向量a，那么过点A，以向量a为法向 量的平面是惟一的．
利用直线方向向量和平面的法向量判定 线面位置关系
确定平面的法向量通常有两种方法： (1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直． (2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法 求解平面的法向量．
应用创新演练见课时跟踪训练(二十三)
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
则 DC ＝12，1，0， DS ＝－12，0，1. 由题意易知向量 AD＝(12，0,0)是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，
则nn··DDCS ＝＝－12x12＋x＋y＝z＝0，0.
即yz＝＝12－x.12x，
取x＝2，则y＝－1，z＝1，
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
∴平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．
5.如图所示，四棱锥V－ABCD，底面ABCD为正方形，VA⊥平 面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求： (1)直线AB的方向向量； (2)求证：BD⊥平面VAC，并确定平面VAC的法向量．
《画法几何与阴影透视》第3章 直线与平面、平面与平面的相对位置 复习思考题答案
第3章直线与平面、平面与平面的相对位置复习思考题答案3.1.直线与平面的相对位置有哪几种？其中有哪些对作图有利的特殊状态？答：直线与平面的相对位置有平行和相交，相交的特殊情况是垂直。
对作图有利的特殊状态是指直线、平面的投影具有积聚性。
3.2.平面与平面的相对位置有哪几种？如何进行判断？答：平面与平面的相对位置有平行和相交，相交的特殊情况是垂直。
同一平面内的两相交直线，若分别平行另一平面内的两相交直线，则两平面平行。
两平面不平行就相交。
如果一平面内包含另一个平面的垂直直线，那么这两个平面垂直。
3.3.直线与平面相交，交点有何特性？如何判断可见性？答：直线与平面相交，交点有是平面与直线的共有点。
可见性判断直接根据直线与平面边界的重影点的可见性来判断。
3.4.平面与平面的交线如何求得？可见性判断有哪些方式？答：平面与平面的相交有两种情况：一是有平面投影具有积聚性，此时积聚投影的共有部分就是交线的该面投影，再利用交线是两个平面的共有线求得其它投影：二是两个一般位置平面相交，此时交线就用线面相交法或三面共点法求作。
具体见章节3.2.43.5.空间几何元素的距离如何确定？特殊位置的平面在确定距离的题目中起何作用？答：距离是平行的空间元素之间的间距，空间几何元素的距离都会经过这三步：作垂线，求交点，求垂线段的实长。
特殊位置的平面是指具有积聚性，或直线平行于投影面。
当平面积聚时，其垂线与平面所垂直的投影面平行，其垂线在此投影面的投影长度就是真实距离；当两直线与投影面平行时，可以直接使用直角投影定理找到公垂线，此时只需要用直角三角形法求公垂线实长即可得到此种情况下平行二直线的距离。
所以，作图关键在于找到平面的积聚投影，或直线的显实投影。
【精品课件】第三章3.2.3直线与平面所成的角
(0,1,)
PA PC= 1
PA PC = 6 COS< PA ,PC >= 6 6
(0,0,0)
A
(1,0,0) x
B
PC和面AC成角为
π -arccos 6 2 6
2.直线与平面所成的角
(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角. (2)范围: [0 , ] 2 (3)向量求法:设直线l的方向向量为 a ,平面的法
AA 6, M 为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， 1
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
由A1 N 5, 可得 N (0,4,3) AM (6,2,6), AN (0,4,3). 设平面的法向量n ( x, y, z ),由
直线与平面所成角的范围： q
A
q
O
[0,
2
]
n
思考：
< n, BA 与 q的 关 系 ？
B
结论： sin q
|
cos < n , A B
|
例题剖析 4.如图,点P是直角梯形ABCD所在平面外一 点,PA⊥AC,∠BAD=90°,PA=AB=AD=1,CD=2, 求PC与面AC所成角的大小. 分析：定义法 RT△PAC中 PA=1 AC= 5 PC= 6 30 PC和面AC成角为 arccos 6
A
B
最小角原理
？？
？探究学习 q1 ------ 斜射角（线面角） q ------ 斜非角 q2 ------ 射非角
直线和平面 所 成 的 角
C
a
线面相对位置(经管)
能!
16
17
例9 ：求两平面的交线并判别可见性。 空间及投影分析
b e m f ● a e
●
平面EFH是一水平面，它 n h 的正面投影有积聚性。ab与 ● ●1 ● 2 ef的交点m 、 b c与f h的交 c 点n即为两个共有点的正面投 影，故mn即MN的正面投影。
c
31
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个 共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投 m 影有积聚性，交线可直接求出。
V M B P
b
c
f n
k
l a
K
F m N C c PH f n H b k a l
n
c
k
●
互交
19
END
作
业
2-29(1)(2)、31、32 3-2（2）（3）、3-9（2）（4）
预
习
20
平面体的投影 平面表面上的点和线
(三)垂直问题
直线与平面垂直 平面与平面垂直
1. 直线与平面垂直
判定定理：
若一直线垂直于平面内的相交两 直线，则该直线与此平面垂直。
性质：
若一直线与平面垂直，则该直线 垂直此平面的任意一条直线。
27
四、相交问题
⒈ 求直线与平面的交点的方法 ⑴ 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有 性和平面的积聚性直接求解。 ⑵ 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共 有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。 ⒉ 求两平面的交线的方法 ⑴ 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找 出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线 的投影。 ⑵ 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平 面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。 28
第三章 平面与空间直线
第三章平面与空间直线本章以矢量为工具推导平面和空间直线各种形式的方程，讨论两平面，直线与平面，两直线的相互位置关系，并以矢量为工具推导两平面，直线与平面，两直线间的夹角公式以及点到平面，点到直线，两异面直线间的距离公式，最后又讨论了平面束方程及其应用。
本章的基本要求如下：A.掌握1.基本概念：平面的方位矢量和法矢量，量，方向角，方向余弦，方向数。
有轴平面束和平行面束。
点与平面间的离差，直线的方向矢量2.平面方程矢量形式的方程：点位式，一般式，参数式，点法式。
坐标形式的方程：点位式，三点式，截距式，一般式，参数式，点法式，法线式。
根据平面的方程画出平面的图形。
3.直线方程矢量形式的方程：点向式，参数式。
坐标形式的方程：对称式，两点式，参数式，一般式，射影式。
4.点，直线，平面的相关位置①用矢量方法讨论两平面的位置关系（相交，平行，重合），并求两平面间的夹角。
②点和平面的位置关系（点在或点不在平面上），利用平面的法线式方程求点与平面的离差和距离。
③用矢量方法讨论直线和平面的位置关系（相交，平行，直线在平面上），并求直线和平面间的夹角。
④点和直线的位置关系（点在直线上或点不在直线上），利用矢量方法求点到直线的距离。
⑤用矢量方法讨论两直线的位置关系（异面，相交，平行，重合）并求两直线间的夹角。
⑥平面束方程，利用平面束方程求空间直线在任一平面上的射影。
⑦空间圆的方程，圆心和半经的求法。
5.基本理论平面基本定理及其证明（定理3，1，1）有轴平面束方程及其证明（定理3，8，1）B.理解利用矢量方法求两异面直线的公垂线和两异面直线间的距离。
知识要求：1.知道决定平面的几何条件及矢量条件，会根据几何条件求出平面方程；2.掌握平面的参数方程、一般方程、法式方程、截距式方程；3.会求点到平面的距离；4.会用矢量条件判断平面与平面的位置关系；5.知道决定空间直线的几何条件及矢量条件，会根据几何条件求出直线方程；6.掌握空间直线的参数方程、两点式方程、一般方程、标准方程，会将参数方程、一般方程转化成标准方程；7.会用矢量条件判断直线与直线、平面与直线的的位置关系； 8.会求两直线之间的夹角；9.会求两异面直线之间的距离与公垂线方程； 10.了解平面束的概念。
工程制图-第三章-直线、平面的相对位置
直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。
2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。
§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
以，直线EF平行于ABC平面。
[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。
步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ； 2）过点K 作 KL ∥AD ； 3）直线KL即为所求。
d′d l′lk′k a′a b′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。
作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。
1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。
所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。
［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。
解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。
作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。
2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。
⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定1数学教案
3.2.2 空间线面关系的判定设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]利用空间向量证明线线平行【例1】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 1．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c . ∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD . 1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.[证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)， 则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)， 设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)，又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .向量法证明垂直问题【例3】 如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1， 则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1.又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n .∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE . 1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明． (2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5.]4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.。
制图习题参考答案精编版
5.在立体图上画上α、β、γ角，在投影图上求线段AB的实 长及α、β角的实形。
ˊ ˊ
AB实长
ˊ
ˊ ˊ
ˊˊ ˊ ˊˊ ˊ
AB实长
AB实长 △X 7.判断两直线的相对位置,并判断重影点的可见性。
ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ
b
（ 相交 ）
（ 平行 ）
（ 相交 ）
（ 交叉 ）
（ 交叉 ）
（ 交叉 ）
16
专业班级
学号
姓名
日期
成绩
第3章
点、直线、平面的投影
3.2 直线的投影
9.补绘四边形ABCD的H投影。
ˊ ˊ
8.过点E作直线EF，使其与交叉两直线 AB、CD都相交。
ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ
10.作一直线MN使其与两直线AB、CD 相交，并平行于直线EF。
13.判断下列两直线是否垂直（注明相交垂直或交叉垂直）。
ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ
3.3 平面的投影
ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ
ˊ
交叉垂直
相交垂直
相交垂直
相交不垂直
1.补出各平面的第三投影，并注明是何种平面。
2.等边三角形ABC是侧平面，已知点A的V面和H面投 影，AB与H面的倾角α=45°，AB的方向为向上、 向前，真长为20mm，点C在AB的前下方，作出 ΔABC的三面投影。
ˊ
ˊ ˊ ˊ ˊ
5.求一般位置直线与投影面垂直面的交点K，并判别可见性。 (1)
ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ ˊ
(2)
ˊ ˊ
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定(一)课件苏
→ → 则 n1⊥DA，n1⊥AE，
x1＝0， 得 z1＝－2y1，
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2). → → 因为FC1· n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
证明
建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz， 则有D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2，2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， → → → 所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1). 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明
—→ 因为C1B1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量. → —→ 由 n2⊥FC1，n2⊥C1B1，
→ n2· FC1＝2y2＋z2＝0， 得 —→ C1B1＝2x2＝0， n2· x2＝0， 得 z2＝－2y2.
利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的
联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何
问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；
第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCDAD＝ 3，试建立恰当的空间直角坐标系，
求平面ACE的一个法向量.
解答
引申探究 若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面 PCD的一个 法向量.
机械制图CAI课件 第03章直线、平面的相对位置
本章主要介绍直线、平面的相对位 置，包括平行关系、相交关系和垂直关 系，以及点、线、面综合题及其解法。
第三章 直线、平面的相对位置
§3.1 平行关系 §3.2 相交关系 §3.3 垂直关系 §3.4 点、线、面综合题及其解法
§3.1 平行关系
§3.1.1 直线与平面平行
求△ABC与DE、FG两平面交线的正投影图
选通过点A、E 的
正垂面P 为辅助面， 求出一个三面共点K ；
又选过点A、F
的铅垂面Q为辅助面， 求出另一个三面共点 L；
连接K、L ，则
KL即为所求的交线。
(a)
(b)
P、Q 两平面都用迹线给出，且其同面迹线相交，即 PH∩QH＝M，PV∩QV＝N，则交点M、N是P、Q 两平面交线
c
k′l′∥a′d′，
b
则直线KL为所求。
d
l
c
a
k
［例2］试过K 点作一正平线，使之平行于P
平面。
因PV 是P 平面上特 殊的正平线，所以过点K
作KL∥PV， 即作k′l′∥PV，kl∥X
轴，则直线KL为所求。
［例3］试过K点作一铅垂面P (用迹线表示) ，使之平行于AB直线 。
作铅垂面平行于AB 直 线，则PH必平行于ab 。
直线与平面平行的几何条件是：如果平面外 的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线 平行于该平面。
由于EF∥BD，且 BD 是ABC 平面上的一 直线，所以，直线EF 平行于ABC 平面。
［例1］试过K点作一水平线，使之平行于
△ABC 。
b
先在△ABC上
a
d k
l
作一水平线AD； 再
北师大版八年级数学上册第三章3.2.2平面直角坐标系
1.不具体标出这些点，分别判断（1,2），（-1，-3），
（2.，-1），（-3,4）这些点所在的象限，说说你是
怎么判断的。
（1,2）在第一象限； （-1，-3）在第三象限； （2，-1）在第四象限； （-3,4）在第二象限；
2.在 y轴上的点的横坐标是（ ），在 x轴上的点
C.经过原点 D.以上都不对
5.实数 x，y满足 x²+ y²= 0，则点 P（ x，y）在( ) A.原点 B.x轴正半轴 C.第一象限 D.任意位置
6.若 mn = 0，则点 P（m，n）必定在
上.
7.已知点 P（ a，b），Q（3，6），且 PQ ∥ x轴，
则b的值为
.
8.点 A 在第一象限，当 m 为
平面直角坐标系， 水平的数轴 叫x轴（横轴）， 取向 右 为正方向， 铅直的数轴 叫y轴（纵轴），
取向 上 为正方向。
纵轴
两轴的交点是 原点 。
这个平面叫 坐标平面。
原点
横轴
2.确定下图各点的坐标
A（
）、B（
）
A（
）、B（
）
C（
）、D（
）
C（
）、D（
）
E（
）、F（
）
E（
）、F（
）
G（ ）
P（a，b）在第一象限：a > 0;b > 0. P（a，b）在第二象限：a < 0;b > 0. P（a，b）在第三象限：a < 0;b < 0. P（a，b）在第四象限：a > 0;b < 0. x轴上的点 纵 坐标为0； y轴上的点 横 坐标为0; 原点的坐标为 (0,0) .
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 直线的方向向量及平面
3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝k v(k∈R)线线垂直 l ⊥m ⇔□12a ⊥b ⇔□13a ·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔□14a ∥u ⇔□15a ＝λu (λ∈R ) 面面垂直 α⊥β⇔□16u ⊥v ⇔□17u ·v ＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________.(3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.(4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1，l 2的位置关系为________．答案 (1)(2,4,6) (2)120 (3)4 (4)平行探究1 点的位置向量与直线的方向向量例1 (1)若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，13(2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标．[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12＝(1,2,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB →，又因为与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D 的坐标为(x,0，z )， 则BD →＝(x －2，－2，z )，CA →＝(0，－2,5)．∵BD ∥CA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，z ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝5，∴点D 的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析 拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，在直线AB 上有一点Q ，使得AQ →＝－2QB →，求点Q 的坐标．解 由题设AQ →＝－2QB →，设Q (x ，y ，z )，则(x －2，y －4，z )＝－2(1－x,3－y,3－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2(1－x )，y －4＝－2(3－y )，z ＝－2(3－z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴Q (0，2，6).z ＝6，探究2 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．[解]∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，分别以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，平面SBA 的一个法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.拓展提升设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．证明 设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．于是有DB 1→·AC →DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC . 同理，DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而是平面ACD 1的一个法向量． 探究3 利用方向向量、法向量判断线、面 关系例3 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量(l ⊄α)，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[解] (1)①因为a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，所以a ＝－13b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.②因为a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，所以a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.③因为a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，所以a 与b 不共线，也不垂直，所以l 1与l 2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，所以u ·v ＝3－2－1＝0，所以u ⊥v ，所以α⊥β.②因为u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，所以u ＝－35v ，所以u ∥v ，所以α∥β.③因为u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．所以u 与v 既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，所以u ·a ＝－6＋8－2＝0， 所以u ⊥a ，所以直线l 和平面α的位置关系是l ∥α.②因为u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，所以u ＝－14a ，所以u ∥a ，所以l ⊥α.③因为u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，所以u 和a 不共线也不垂直，所以l 与α斜交． 拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)因为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，所以a ·b ＝8－6－2＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.(2)因为u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，所以v ＝－3u ，所以v ∥u ，所以α∥β. (3)因为a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，所以a ≠k u (k ∈R )且a ·u ≠0，所以a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直．(4)因为a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，所以a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ⊂α或l ∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式.，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(1)设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1,2，－6)，则( ) A ．a ∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥β D ．α∥β或α与β重合 答案 D解析 ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF 的方向向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，22B ．(1,0，2) C ．(－1,0，2) D ．(2,0，－2) 答案 D解析 由已知得E (1,1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF →|＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22－(1,1，2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－22，结合选项可知，直线EF 的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 答案 D解析 由AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案 －8解析 因为直线l ∥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋m 2＋2＝0，解得m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB →1是平面PAC 的法向量．证明 建立空间直角坐标系如右图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，∴OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，OB 1→·AP →＝－2＋2＝0. ∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP . ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．。
直线与平面的交点问题
直线与平面的交点问题直线与平面的交点问题是几何学中的重要问题之一。
在二维平面上，直线和平面交于一点；在三维空间中，直线和平面可能相交于一点、无交点或者相交于一条直线。
本文将就直线与平面的交点问题进行详细讨论。
1. 直线方程和平面方程要解决直线与平面的交点问题，首先需要了解直线的方程和平面的方程。
1.1 直线的方程在二维平面上，通过两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)的直线方程可以用点斜式表示为y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1)(x - x1)。
在三维空间中，直线的方程可以用参数方程表示为x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct。
其中(x0, y0, z0)为直线上的一点，a、b、c为方向向量的分量。
1.2 平面的方程在二维平面上，通过点A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)的平面方程可以用一般式表示为Ax + By + C = 0。
在三维空间中，平面的方程可以用一般式表示为Ax + By + Cz + D = 0。
其中A、B、C为平面法向量的分量。
2. 直线与平面的交点计算计算直线与平面的交点，需要将直线方程代入平面方程，求解交点的坐标。
2.1 二维平面中的交点计算假设直线方程为y = kx + d，平面方程为Ax + By + C = 0。
将直线方程代入平面方程得到：Ax + B(kx + d) + C = 0，整理可得(A + Bk)x + (Bd + C) = 0。
解这个一元一次方程可以得到交点的x坐标，再代入直线方程可以得到交点的y坐标。
2.2 三维空间中的交点计算假设直线方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，平面方程为Ax + By + Cz + D = 0。
将直线方程代入平面方程得到：A(x0 + at) +B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0，整理可得(Aa + Bb + Cc)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0。
直线与平面平行的判定定理符号语言
直线与平面平行的判定定理直线与平面的相对关系是几何学中一个重要的概念，在实际问题中经常会遇到判断直线与平面是否平行的情况。
直线与平面平行的判定定理是判断直线与平面平行的基本规则之一。
本文将介绍直线与平面平行的判定定理的符号语言表达，并详细讨论其推导和应用。
1. 直线与平面平行判定定理的符号语言表达直线与平面平行的判定定理的符号语言表达如下：定理：设直线l的一个方向向量为v，平面P的一个法向量为n，则直线l与平面P平行的充分必要条件是向量v与n正交，即v·n = 0。
其中，·表示向量的点乘运算。
2. 直线与平面平行判定定理的推导为了推导直线与平面平行判定定理，我们需要先了解直线和平面的定义以及向量的基本性质。
2.1 直线的定义直线是由无数个点组成的集合，任意两点可以确定一条直线。
直线无厚度、无宽度。
2.2 平面的定义平面是由无数个点组成的集合，任意三点不共线可以确定一个平面。
平面无厚度，具有无限的宽度。
2.3 向量的基本性质•向量的模：向量a的模表示为|a|，表示向量a的长度。
•平行向量：向量a与b平行，记作a∥b，当且仅当存在实数k，使得a=k b 或b=k a。
•相交向量：向量a与b相交，记作a⊥b，当且仅当a·b = 0。
根据向量的定义和基本性质，我们可以推导出直线与平面平行判定定理的符号语言表达。
2.4 推导过程设直线l的一个方向向量为v，平面P的一个法向量为n。
我们需要证明，直线l 与平面P平行的充分必要条件是向量v与n正交，即v·n = 0。
必要性证明：假设直线l与平面P平行，即直线l的方向向量v与平面P的法向量n平行。
则根据平行向量的概念，存在实数k，使得v=k n。
由此可以得到：v·n = (k n)·n = k(n·n) = k|n|^2由于n·n = |n|^2 ≠ 0，所以当k = 0时，v·n = 0成立。
18-19 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
18-19 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量[解析] 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AB →＝z ＝0，n ·AC →＝－x ＋y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝0， 即n ＝(1,1,0)，则平面ABC 的一个法向量为(1,1,0)． [答案] (1,1,0)(答案不惟一)[合 作 探 究·攻 重 难]直线的方向向量及其应用(1)已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点A (2,0,1)，B (2,6,3)，P 是直线AB 上一点，且满足AP ∶PB ＝3∶2，则直线AB 的一个方向向量为________，点P 的坐标为________.【导学号：71392185】[精彩点拨] (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB →即是直线AB 的一个方向向量，利用AP →＝35AB →求点P 的坐标．[解析] (1)由l 1∥l 2可知，向量(－7,3,4)和(x ，y,8)共线，所以x －7＝y 3＝84，解得x ＝－14，y ＝6.(2)AB →＝(0,6,2)是直线AB 的一个方向向量． 由AP ∶PB ＝3∶2，得AP →＝35AB →.设P (x ，y ，z )，则(x －2，y ，z －1)＝35(0,6,2)，即x －2＝0，y ＝185，z －1＝2·35， 解得x ＝2，y ＝185，z ＝115， 所以直线AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115.[答案] (1)－14 6 (2)(0,6,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115[名师指津]1．应注意直线AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.求平面的法向量如图3-2-1，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SBA 与平面SCD 的法向量．图3-2-1[精彩点拨] 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n ，再利用待定系数法求解．[自主解答] ∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SBA 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，有n ⊥DC →，n ⊥DS →，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，12. [名师指津]1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.[再练一题]1．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BB 1，C 1D 1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN 的一个法向量.【导学号：71392186】[解] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，1.设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－x ＋12y ＋z ＝0，令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4，∴n ＝(－3,2，－4).证明平面的法向量在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点． 图3-2-2求证：D 1F →是平面ADE 的法向量. 【导学号：71392187】 [精彩点拨] 要证明D 1F →是平面ADE 的法向量，只需证明D 1F ⊥平面ADE 即可．[自主解答] 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，所以AD →·D 1F →＝(－1,0,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0， AE →·D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0， 所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →，又AD ∩AE ＝A ， 所以D 1F →⊥平面ADE ，从而D 1F →是平面ADE 的法向量．[名师指津] 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.2．如图3-2-3所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，PA ＝AD ＝1，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．图3-2-3(1)建立适当的空间直角坐标系，写出向量MN →的坐标； (2)求证：MN →为平面PCD 的一个法向量．[解] (1)由PA ⊥正方形ABCD 所在平面知PA ，AB ，AD 两两互相垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．图3-2-3由PA ＝AD ＝1得P (0,0,1)，C (－1,1,0)，D (－1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.(2)证明：由(1)MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，PC →＝(－1,1，－1)，PD →＝(－1,0，－1)，则MN →·PC →＝－12×(－1)＋0×1＋12×(－1)＝0，MN →·PD →＝－12×(－1)＋0×0＋12×(－1)＝0，∴MN ⊥PC ，MN ⊥PD .又∵PC ∩PD ＝P ，PC ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ⊥平面PCD .∴MN →为平面PCD 的一个法向量.方向向量与法向量的特征[1．如何正确地判断直线的方向向量？[提示] (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．(2)与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)给定空间中任意一点A 和非零向量a ，就可以确定惟一一条过点A 且平行于向量a 的直线．(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．2．过空间任意一定点P ，能否作出平面α的法向量？能作几条？ [提示] 由于过空间任意一点P ，有且仅有一条直线PO 垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．由于直线PO 的方向向量有无数个，因此，过点P 的平面α的法向量也有无数个．3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？[提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？[提示] 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？ [提示] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；(2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝()2，2，－1.【导学号：71392188】[精彩点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [自主解答] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12，∴u ·ν＝(－1,1，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥ν，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u ·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [再练一题]3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)． [解] (1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，∴a ·b ＝8－6－2＝0，∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)，∴ν＝－3u ，∴ν∥u ，即α∥β.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a 和b 在同一直线上，则m ＝________.[解析] ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴m 3＝4－2， ∴m ＝－6.[答案] －62．若点A (0,1,2)，B (－1,0,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为________．[解析] AB →＝(－1，－1,0)，即为l 的一个方向向量．[答案] (－1，－1,0)3．若向量a ＝(x,2,1)，b ＝(1，y,3)都是直线l 的方向向量，则x ＋y ＝________.[解析] 据题意可知，a ∥b ，故存在实数λ，使a ＝λb ，即(x,2,1)＝λ(1，y,3)，即x ＝λ，2＝λy,1＝3λ，解得λ＝13，y ＝6，x ＝13，x ＋y ＝13＋6＝193. [答案] 1934．若直线l ⊥α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，则m 为________.【导学号：71392189】[解析] ∵(m,2,4)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝12λ，2＝λ，4＝2λ，∴m ＝1.[答案] 1 5．如图3-2-4，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量．图3-2-4[解] 法一：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)．∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)，∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)， 则⎩⎨⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．法二：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)， ∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)， 则⎩⎨⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．。
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6、两一般位置平面相交
6、两一般位置交
例：求一铅垂面ABCD与一般位置平面EFG的交线为KL。
4、两投影面垂直面相交
例：如图，求两铅垂面ABCD与EFG的交线。
5、一般位置直线与一般位置平面相交
因一般位置直线与一般平面的投影均无积聚性，所以交 点的投影无法从投影图中直接得出，而需采用辅助平面的 方法。
例：如图，求一般直线AB与三 角形CDE平面的交点。
5、一般位置直线与一般位置平面相交
6、两一般位置平面相交
思路1：两平面的交线为一条直线，因此只要求得交线 上的两点即可确定该交线，而这些点可以看作是一个平面 上的直线与另一平面的交点，这样便把求平面与平面交线 的问题转化为求直线与平面交点的问题。如图3-11。
例：求一般位置直线AB与铅垂面P的交点K。
在《画法几何》中我 们默认平面是不透明的 ，所以还要判断可见性 。同样，可见部分采用 实线表示，被遮挡的不 可见的部分采用虚线表 示。
2、一般位置平面与投影面垂直线相交
例：求铅垂线MN与一般 位置平面△ABC的交点。 注意：交点K为可见与不 可见的分界线。 练习：绘制直线上半部分 被平面遮挡的情况。
画法几何
主讲：郭国梁
齐齐哈尔大学建筑与土木工程学院
序：
关于直线与平面、平面与平面的相交关系，我们首先 来明确以下三点：
①直线与平面相交，相交 部分是一点； ②平面与平面相交，相交 部分是一直线。 ③对于一般位置直线和 一 般位置平面，确定它们的 交点是很困难的。
1、一般位置直线与投影面垂直面相交
思路：首先包括直线作一辅助平面(一般作铅垂面或正 垂面)，求的辅助平面与已知平面的交线，该交线就是辅 助平面内所有的直线与已知平面交点的集合，当然也包括 直线AB与已知平面的交点，也就是说直线AB与已知平面 的交点一定在该交线上，继而在交线上定出交点即可。
5、一般位置直线与一般位置平面相交
作图步骤： ①包括直线作一辅助平面(一般 作铅垂面或正垂面)； ②求做辅助平面与已知平面的交 线； ③求此交线与已知直线的交点。