专题二 第1讲学生版

第1讲 三角函数的图象与性质
【高考考情解读】 1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．
1． 三角函数定义、同角关系与诱导公式
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α
cos α
＝tan α.
(3)诱导公式：在k π
2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
2． 三角函数的图象及常用性质
考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题 例1
1. sin 600的值是 . 5
已知cos()πα-=，3(,2)2ππ，则tan α= . 6. 已知5
tan 12
α=-
，则sin()πα-= . 【广东省桂山中学2012届高三10月月考文】16. (本题满分12分)求值已知2tan =θ
（1）
)
sin()2sin()
cos()2
sin(
θπθπθπθπ-----+ （2）
θ
θθθcos sin 1
sin 2
cos 22
+--
弄清三角函数的概念和诱导公式是解答本题的关键．
(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助
三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．
(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
(1)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝13
，则cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α的值为
( )
A.10
10
B ．－
1010 C.31010
D ．－310
10
考点二 三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式
例2 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中|φ|<π
2
)的图象如图所示，为了得到
g (x )＝sin ωx 的图象，则只要将f (x )的图象
( )
A ．向右平移π6个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π6个单位
D ．向左平移π
12
个单位
(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数
法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
(1)(2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2
)的部
分图象如图所示，则ω，φ的值分别是
( )
A ．2，－π
3
B ．2，－π
6
C ．4，－π
6
D ．4，π
3
考点三 三角函数的性质
例3 【广东省桂山中学2012届高三10月月考文】4.为了得到函数sin(2)3
y x π
=-的图
象,只需把函数sin(2)6
y x π
=+的图象 ( )
A.向左平移
4π个单位 B.向左平移2π
个单位 C.向右平移4π个单位 D.向右平移2
π
个单位
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路
第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；
第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．
(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝sin x －cos x ，有下列四个命题：
①将f (x )的图象向右平移π
2个单位可得到g (x )的图象；
②y ＝f (x )g (x )是偶函数；
③f (x )与g (x )均在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π
4上单调递增； ④y ＝f (x )
g (x )的最小正周期为2π.
其中真命题的个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间
(1)将ω化为正．
(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2． 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式
(1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min
2.
(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2π
T
.
(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.
3． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4． 求三角函数式最值的方法
(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解． (2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5． 特别提醒：
进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.
2012广东省各地月考联考模拟最新分类汇编（文）：三角函数
【2012年广州市一模文】3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛
⎫
=+
⎪
⎝⎭
()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 【广东省六校2012届高三第二次联考文】5. 函数5sin(2)2
y x π
=+的图像的一条对轴方程是（ ）
A. 2
x π=- B.4
x π
=-
C.8
x π
=
D.54
x π=
【广东省桂山中学2012届高三10月月考文】10．对函数()sin f x x x =，现有下列命题：
①函数()f x 是偶函数；
②函数()f x 的最小正周期是2π；
③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中心；
④函数()f x 在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递减。

其中是真命题的是（ ）
A ．①④
B ．②④
C ．②③
D ．①③
【广东省华南师大附中2012届高三综合测试文】9．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3
π
=
x 对称的是 A.)6
2sin(π
+=x y
B.)6
2sin(π
-=x y
C.)32sin(π
-=x y D.)6
2sin(π+=x y 【广东省惠州市2012届高三一模（四调）文】6．函数
()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωφωφ=+>><
的部分图象
如图示，则将()y f x =的图象向右平移6
π
个单位后，得到的
图象解析式为 （ ）
A ．y =sin 2x
B ．y =cos 2x
C ．y =2sin(2)3x π+
D ．y =sin(2)6
x π- 【广东省华南师大附中2012届高三综合测试文】8．已知),2(ππα∈，5
3
sin =α，则
)4tan(π
α+等于
A ．71
B ．7
C ．7
1- D ．-7
【广东省广州市2012届高三下学期一模调研（文）】 如图5，某地一天6～16时的温度
变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+ϕ)+b ，其中A>O ，ω>O ， 0<ω<π． (1)求这一天6～16时的最大温差；
(2)根据图象确定这段曲线的函数解析式， 并估计16时的气温大概是多少℃？
（结果精确到0.1 ℃.，参考数据：414.12≈,)732.13≈
【广东省佛山一中2012届高三上期中文】9. 将函数2sin y x =图象上的所有点的横坐标缩
小到原来的
12（纵坐标不变），得到图象1C ，再将图象1C 沿x 轴向左平移6
π
个单位，得到图象2C ，则图象2C 的解析式可以是（ ）
A ．12sin()23y x π=+
B ．2sin(2)3
y x π
=+
C ．2sin(2)6y x π
=+ D ．2sin(2)6
y x π
=+。