高度平衡的二叉树

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左改组（新插入结点出现在危机结点的左子树上进行的调整）
的情况分析：
1、LL 情况：（LL：表示新插入结点在危机结点的 左子树的左子树上）
+2 +1 0 +1
危机结点
0
A
B
0
B
AR
h-1
LL 改组
h
A
BL BR
h-1
h
h-1
BL
BR
h-1
AR
h-1
改组前：高度为 h + 1 中序序列： BL
改组后：高度为 h + 1
由此可知，图(c)和图(e)的情形下树的平均搜索 长度达到最小，因此，图(c)和图(e)的情形是最 优二叉搜索树。

一般把平均搜索长度达到最小的扩充的 二叉搜索树称作最优二叉搜索树。 等概率条件下，最优二叉搜索树的最短 内部路径长度与最短外部路径长度, 课本 n 383页: I log2 i .
Double Rotations
Fig. 28-5 (a) Adding 70 to the tree in Fig. 28-2c destroys its balance; to restore the balance, perform both (b) a right rotation and (c) a left rotation.
LR 改组
h-1
B
BL
h-1
A
CL CR
h-2
BL
h-2
C
AR
h-1
h-1
CL
CR
h-2
改组后： 高度为 h + 1 中序序列： BL
改组前：
高度为 h + 1 中序序列： BL
B
CL
C
CR
A
AR
B
CL
C
CR
A
AR
注意：改组后
B
C
A
平衡度为 0,0,-1
Double Rotations
Fig. 28-7 (a) The AVL tree in Fig. 28-5 after additions that maintain its balance; (b) after an addition that destroys the balance … continued →
(a)
C E
h
B
E
h D h
(b)
E
B
h
D h + h 1
(c)
如果在子树 E中插入一个新结点，该子树高度增 1导致 结点A的平衡因子变成+2，出现不平衡。 沿插入路径检查三个结点 A 、 C 和 E 。它们处于一条方 向为“\”的直线上，需要做左单旋转。 以结点C为旋转轴，让结点A反时针旋转。
3）LR平衡旋转：
高度平衡的二叉搜索树
AVL( Addison-Velski and Landis )树 伸展树 红黑树

二叉搜索树性能分析

对于有 n 个关键码的集合，其关键码有 n! 种 不同排列，可构成不同二叉搜索树有 1 n C 2 n (棵)
n 1
{2, 1, 3} {1, 2, 3} {1, 3, 2} {2, 3, 1} {3, 1, 2} {3, 2, 1}
(a)
q1
q1
q2
q3
(b)
do p1 if q0 p2 to q1 p3
p1 q0
p3 do
to q3
if p2
q2
q3
q0 if
(c)
do p1 to p3 q3
q1
q2
(d)
判定树
p2
q1
q2
(e)


在判定树中 ○表示内部结点，包含了关键码集合中的 某一个关键码； □表示外部结点，代表各关键码间隔中的 不在关键码集合中的关键码。 在每两个外部结点间必存在一个内部结点。 一棵判定树上的搜索成功的平均搜索长度 ASLsucc可以定义为该树所有内部结点上的搜 索概率p[i]与搜索该结点时所需的关键码比较 次数c[i] (= l[i], 即结点所在层次) 乘积之和：
i 1

E
2n 1
i n 1
log i 1.
2
平衡二叉树
☞ 一、什么是平衡二叉树 二、失衡二叉排序树的分析与调 整
平衡二叉树又称为AVL树。 一棵平衡二叉树或者是空树，或者是具有下列性质 的二叉排序树： ① 左子树与右子树的高度之差的绝对值小于等于1； ② 左子树和右子树也是平衡二叉排序树。
Double Rotations
Fig. 28-7 (ctd.) (c) after a left rotation; (d) after a right rotation.
4）RL平衡旋转： 若在A的右子树的左子树上插入结点，使A的平衡因子
从-1增加至-2，需要先进行顺时针旋转，再逆时针旋 转。 (以插入的结点C为旋转轴）
p3=0.05 if p2=0.1 do p1=0.5 q0=0.15
to q3=0.05 if p1=0.5 do
p2=0.1
(a)
p3=0.05 to q3= q2=0.05 0.05 q1=0.1 q0=0.15 q1=0.1 q2=0.05
(b)
图(a): ASLsucc = 0.5*3+0.1*2+0.05*1 = 1.75， ASLunsucc = 0.15*3+0.1*3+0.05*2+ 0.05*1 = 0.9。 图(b): ASLsucc = 0.5*2+0.1*1+0.05*2 = 1.2， ASLunsucc = (0.15+0.1+0.05+0.05)*2 = 0.7。
例：平衡二叉树
40 24 28 45 60 40
53
70
24
28
53 70 60
引入平衡二叉树的目的是为了提高查找效率， 使
其平均查找长度为O(log2n)。
为了方便起见，给每个结点附加一个数字，给出该 结点左子树与右子树的高度差。这个数字称为结点的 平衡因子。 根据平衡二叉树的定义， 平衡二叉树上所有结点 的平衡因子只能是-1、 0，或1。当我们在一个平衡二 叉排序树上插入一个结点时，有可能导致失衡，即出 现绝对值大于1的平衡因子，如2、-2。
ASLunsucc q[ j ] * (l '[ j ] 1).
j 0 n

设外部结点搜索概率相等：q[j] = 1/(n+1)： 1 n ASLunsucc ( l' [ j ] 1). n 1 j 0
(1) 相等搜索概率的情形

设树中所有内、外部结点的搜索概率都相等： p[i] = 1/3, 1≤i≤3, q[j] = 1/4, 0≤ j≤3 图(a): ASLsucc = 1/3*3+1/3*2+1/3*1 = 6/3, ASLunsucc = 1/4*3*2+1/4*2+1/4*1 = 9/4。 图(b): ASLsucc = 1/3*2*2+1/3*1 = 5/3, ASLunsucc = 1/4*2*4 = 8/4。 图(c): ASLsucc = 1/3*1+1/3*2+1/3*3 = 6/3, ASLunsucc = 1/4*1+1/4*2+1/4*3*2 = 9/4。 图(d): ASLsucc = 1/3*2+1/3*3+1/3*1 = 6/3, ASLunsucc = 1/4*2+1/4*3*2+1/4*1 = 9/4。
A B C
A C
B B
这种调整规则可以保证二叉排序树的次序不变
综上所述， 在一个平衡二叉排序树上插入一个新 结点S时，主要包括以下三步： (1)查找应插位置，同时记录离插入位置最近的可能
失衡结点A（A的平衡因子不等于0）。
(2)插入新结点S， 并修改从A到S路径上各结点的平
衡因子。
(3)根据A、 B的平衡因子， 判断是否失衡以及失衡 类型， 并做相应处理。
1 2 3 2 1 3 1 2 3 1
3
2
3
2
1




同样 3 个数据{ 1, 2, 3 }，输入顺序不同，建立 起来的二叉搜索树的形态也不同。这直接影响 到二叉搜索树的搜索性能。 如果输入序列选得不好，会建立起一棵单支树， 使得二叉搜索树的高度达到最大。 用树的搜索效率来评价这些二叉搜索树。 为此，在二叉搜索树中加入外结点，形成判定 树。外结点表示失败结点，内结点表示搜索树 中已有的数据。 这样的判定树即为扩充的二叉搜索树。
B
BR
A
AR
中序序列：
BL
B
BR
A
AR
注意：改组后
B
A
平衡度为 0
2）RR平衡旋转： 若在A的右子树的右子树上插入结点，使A的平衡
因子从-1增加至-2，需要进行一次逆时针旋转。
(以B为旋转轴）
A B A C
左单旋转 (RotateLeft )
+1
A
0
+2
A
+1
C C h + 1 A
0
0
B h D h
图(e): ASLsucc = 1/3*1+1/3*3+1/3*2 = 6/3,
ASLunsucc = 1/4*1+1/4*3*2+1/4*2 =
9/4。

图(b)的情形所得的平均搜索长度最小。
(2) 不相等搜索概率的情形