平衡二叉树的生成过程

二叉排序树变成平衡二叉树对于二叉查找树，尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn)，但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。

平衡二叉树又称为AVL树，它或者是一棵空树，或者是有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。

二叉树的的平衡因子BF为：该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是：-1、0和1一棵好的平衡二叉树的特征：（1）保证有n个结点的树的高度为O(logn)（2）容易维护，也就是说，在做数据项的插入或删除操作时，为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)一、平衡二叉树的构造在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。

若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。

首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。

然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。

当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树1.调整方法（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。

2.调整方式（1）LL型LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转(LL表示的是在做子树的左结点进行插入)由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，成为不平衡的最小二叉树根结点。

此时A结点顺时针右旋转，旋转过程中遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为B结点的右子树，D结点成为A结点的左孩子。

（2）RR型RR型：插入位置为右子树的右孩子，进行向左旋转由于在A的右子树C的右子树插入了结点F，A的平衡因子由-1变为-2，成为不平衡的最小二叉树根结点。

此时，A结点逆时针左旋转，遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为C的左子树，D结点成为A的右子树。

（3）LR型LR型：插入位置为左子树的右孩子，要进行两次旋转，先左旋转，再右旋转；第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树，调整后的树变成LL型树，第二次再调整最小不平衡子树(根据LL型的调整规则，调整为平衡二叉树)。

由于在A的左子树B的右子树上插入了结点F，A的平衡因子由1变为了2，成为不平衡的最小二叉树根结点。

第一次旋转A结点不动，先将B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。

（4）RL型RL型：插入位置为右子树的左孩子，进行两次调整，先右旋转调整为RR型，再左旋转，从RR型调整到平衡二叉树；处理情况与LR类似。

总结：RR型和LL型插入导致的树失去平衡，只需要做一次旋转调整即可。

而RL型和LR 型插入导致的结点失去平衡，要调整两次。

对于RL/LR的调整策略是：第一次调整，最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树(这个子树是指最小不平衡结点的一颗子树，且这棵子树是插入结点的子树)为RR型或者LL型，第二次再调整最小不平衡子树(调整策略要么是RR型要么是LL型)。

#include<iostream>#include<fstream>#include<malloc.h>using namespace std;#define LH 1//左高#define EH 0//等高#define RH -1//右高struct TreeNode{int m_nValue;int BF;//平衡因子TreeNode *lchild;TreeNode *rchild;};class AVLTree{public:AVLTree(){};~AVLTree(){};void CreateTree(TreeNode *&root,int data);//创建AVLvoid PreTraver(TreeNode *root);//先序遍历void RR_Rotate(TreeNode *&r);//右旋转处理int GetHeight(TreeNode *root);//获得树的高度int GetBF(TreeNode *root);//获得树的平衡因子void LL_Rotate(TreeNode *&r);//左旋转处理void RL_Rotate(TreeNode *&r);//双旋处理，先右旋转，再左旋转void LR_Rotate(TreeNode *&r);//双旋处理，先左旋转，再右旋转void LeftBalance(TreeNode *&T);//左平衡处理void RightBalance(TreeNode *&T);//右平衡处理};int Max(int a,int b){if(a>b)return a;else return b;}int AVLTree::GetHeight(TreeNode *root){int len;if(root==NULL)len=0;else{len=Max(GetHeight(root->lchild),GetHeight(root->rchild))+1;}return len;}int AVLTree::GetBF(TreeNode *root){int bf;//平衡因子bf=GetHeight(root->lchild)-GetHeight(root->rchild);return bf;}void AVLTree::CreateTree(TreeNode *&root,int data){if(root==NULL){root=(TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));root->m_nValue=data;root->lchild=NULL;root->rchild=NULL;// root->BF=GetBF(root);root->BF=EH;//初始叶子结点的平衡因子为等高}else if(data<root->m_nValue){CreateTree(root->lchild,data);switch(root->BF)//检查root的平衡度{ case LH://原来树root的左子树比右子树高，现在左子树更高LeftBalance(root);//对树进行左平衡处理break; case EH://原来树root的左右子树等高，现在左子树高root->BF=LH;//root的平衡因子由0变为1 break; case RH://原来树root的右子树比左子树高，现在左右子树等高root->BF=EH;}}else if(data>root->m_nValue){CreateTree(root->rchild,data);switch(root->BF) { case LH:root->BF=EH;//原来树root的左子树比右子树高，现在root的左右子树等高break; case EH://原来树root的左右子树等高，现在root的右子树更高root->BF=RH; break; case RH://原来右子树比左子树高，现在root右子树高RightBalance(root);//对树root作右平衡处理}}}void AVLTree::PreTraver(TreeNode *root){if(root){ cout.width(3);cout<<root->m_nValue;}if(root->lchild)PreTraver(root->lchild);if(root->rchild)PreTraver(root->rchild);}void AVLTree::LL_Rotate(TreeNode *&r)//插入位置为右子树右孩子，要进行左旋转{TreeNode *p;p=r->rchild;//p指向r的右孩子结点r->rchild=p->lchild;//r结点左旋转成为p的左子树，p原来的左子树成为r的右子树p->lchild=r;//r成为p的左孩子r=p;}void AVLTree::RR_Rotate(TreeNode *&r)//插入位置为左子树左孩子，进行右旋转{TreeNode *p;p=r->lchild;r->lchild=p->rchild;p->rchild=r;r=p;}void AVLTree::RL_Rotate(TreeNode *&r)//插入位置为右子树左孩子，先进行右旋转，再进行左旋转{TreeNode *p;p=r->rchild;RR_Rotate(p);//最小失衡树的根结点的右子树根结点进行右旋转r->rchild=p;//更新最小失衡树根结点的右孩子LL_Rotate(r);//最小失衡树的根结点进行左旋转}void AVLTree::LR_Rotate(TreeNode *&r)//插入位置为左子树右孩子，先进行左旋转，再进行右旋转{TreeNode *p;p=r->lchild;LL_Rotate(p);//最小失衡树根结点的左子树根结点进行左旋转r->lchild=p;//更新最小失衡树根结点的左孩子RR_Rotate(r);//最小失衡树根结点进行右旋转}void AVLTree::LeftBalance(TreeNode *&T)//左平衡处理{//初始条件：原来平衡的二叉排序树T的左子树比右子树高(T->bf=1) // 又在左子树中插入了结点，并导致左子树更高，破坏了树T的平衡性//操作结果：对不平衡的树T 作左平衡旋转处理，使树T的重心右移实现新的平衡TreeNode *lc,*rd; lc=T->lchild;//lc指向T的左孩子结点switch(lc->BF)//检查T左子树的平衡因子{ case LH://新结点插入在T的左孩子的左子树上，导致左子树的平衡因子为左高，进行右旋转处理T->BF=lc->BF=EH;//旋转后，原根结点和左孩子结点平衡因子都为0 RR_Rotate(T);//右旋转处理break; case RH://新结点插入在T的左孩子的右子树上，导致左子树的平衡因子为右高，进行LR处理rd=lc->rchild; switch(rd->BF) { case LH://新结点插入在T的左孩子的右子树的左子树上T->BF=RH;//旋转后，原根结点的平衡因子为右高lc->BF=EH;//旋转后，原根结点的左孩子结点平衡因子为等高break; case EH://新结点插入到T的左孩子的右孩子（叶子）T->BF=lc->BF=EH;//旋转后，原根和左孩子结点的平衡因子都为等高break; case RH://新结点插入在T的左孩子的右子树的右子树上T->BF=EH;//旋转后，原根结点的平衡因子为等高lc->BF=LH;//旋转后，原根结点的左孩子结点平衡因子为左高} rd->BF=EH;//旋转后的新结点的平衡因子为等高//双旋转处理LL_Rotate(T->lchild);//对T的左子树左旋转处理RR_Rotate(T);//对T 作右旋转处理} }void AVLTree::RightBalance(TreeNode *&T)//右平衡处理{//初始条件：原来平衡二叉排序树T的右子树比左子树高，又在右子树中插入结点，导致右子树更高//操作结果：对不平衡的树T作右平衡旋转处理TreeNode *rc,*ld; rc=T->rchild; switch(rc->BF) { case RH://新结点插入在T的右孩子的右子树上，导致右子平衡因子为右高,进行左旋转处理T->BF=rc->BF=EH;//旋转后，原根结点和右孩子结点的平衡因子均为0 LL_Rotate(T); break; case LH://新结点插入在T的右孩子的左子树上，导致右子树的平衡因子为左高，进行双旋处理ld=rc->lchild; switch(ld->BF) { case RH://新结点插入在T的右孩子的左子树的右子树上T->BF=LH;//旋转后，原根结点的平衡因子为左高rc->BF=EH;//旋转后，原根结点的右孩子结点平衡因子为等高break; case EH://新结点插入到T的右孩子的左孩子（叶子）T->BF=rc->BF=EH;//旋转后，原根和右孩子结点的平衡因子等高break; case LH://新结点插入到T的右孩子的左子树的左子树T->BF=EH;//旋转后，原根结点的平衡因子等高rc->BF=RH;//旋转后，原根结点的右孩子结点的平衡因子为右高}ld->BF=EH;//旋转后的新根结点的平衡因子为等高//双旋转处理RR_Rotate(T->rchild);//对T的右子树作右旋转处理LL_Rotate(T);//对T作左旋转处理} }int main(){const char *file="data.txt";AVLTree AVL=AVLTree();TreeNode *root=NULL;int data;ifstream fin;fin.open(file);if(fin.is_open()){while(1){fin>>data;if(data==-1)break;AVL.CreateTree(root,data);}}AVL.PreTraver(root);cout<<endl<<endl;fin.close();return 1;}。