平衡二叉树的生成过程

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二叉排序树变成平衡二叉树

对于二叉查找树,尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn),但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。

平衡二叉树又称为AVL树,它或者是一棵空树,或者是有下列性质的二叉树:它的左子树和右子树都是平衡二叉树,且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。二叉树的的平衡因子BF为:该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度,则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是:-1、0和1

一棵好的平衡二叉树的特征:

(1)保证有n个结点的树的高度为O(logn)

(2)容易维护,也就是说,在做数据项的插入或删除操作时,为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)

一、平衡二叉树的构造

在一棵二叉查找树中插入结点后,调整其为平衡二叉树。若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系,使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后,原有其他所有不平衡子树无需调整,整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树

1.调整方法

(1)插入点位置必须满足二叉查找树的性质,即任意一棵子树的左结点都小于根结点,右结点大于根结点

(2)找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整,如果是整个树不平衡,才进行整个树的调整。

2.调整方式

(1)LL型

LL型:插入位置为左子树的左结点,进行向右旋转(LL表示的是在做子树的左结点进行插入)

由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F,使A的平衡因子由1变为2,成为不平衡的最小二叉树根结点。此时A结点顺时针右旋转,旋转过程中遵循“旋转优先”的规则,A结点替换D结点成为B结点的右子树,D结点成为A结点的左孩子。

(2)RR型

RR型:插入位置为右子树的右孩子,进行向左旋转

由于在A的右子树C的右子树插入了结点F,A的平衡因子由-1变为-2,成为不平衡的最小二叉树根结点。此时,A结点逆时针左旋转,遵循“旋转优先”的规则,A结点替换D结点成为C的左子树,D结点成为A的右子树。

(3)LR型

LR型:插入位置为左子树的右孩子,要进行两次旋转,先左旋转,再右旋转;第一次最小不平衡子树的根结点先不动,调整插入结点所在的子树,调整后的树变成LL型树,第二次再调整最小不平衡子树(根据LL型的调整规则,调整为平衡二叉树)。

由于在A的左子树B的右子树上插入了结点F,A的平衡因子由1变为了2,成为不平衡的最小二叉树根结点。第一次旋转A结点不动,先将B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置,然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。

(4)RL型

RL型:插入位置为右子树的左孩子,进行两次调整,先右旋转调整为RR型,再左旋转,从RR型调整到平衡二叉树;处理情况与LR类似。

总结:RR型和LL型插入导致的树失去平衡,只需要做一次旋转调整即可。而RL型和LR 型插入导致的结点失去平衡,要调整两次。对于RL/LR的调整策略是:

第一次调整,最小不平衡子树的根结点先不动,调整插入结点所在的子树(这个子树是指最小不平衡结点的一颗子树,且这棵子树是插入结点的子树)为RR型或者LL型,第二次再调整最小不平衡子树(调整策略要么是RR型要么是LL型)。

#include

#include

#include

using namespace std;

#define LH 1//左高

#define EH 0//等高

#define RH -1//右高

struct TreeNode

{

int m_nValue;

int BF;//平衡因子

TreeNode *lchild;

TreeNode *rchild;

};

class AVLTree

{

public:

AVLTree(){};

~AVLTree(){};

void CreateTree(TreeNode *&root,int data);//创建AVL

void PreTraver(TreeNode *root);//先序遍历

void RR_Rotate(TreeNode *&r);//右旋转处理

int GetHeight(TreeNode *root);//获得树的高度

int GetBF(TreeNode *root);//获得树的平衡因子

void LL_Rotate(TreeNode *&r);//左旋转处理

void RL_Rotate(TreeNode *&r);//双旋处理,先右旋转,再左旋转void LR_Rotate(TreeNode *&r);//双旋处理,先左旋转,再右旋转void LeftBalance(TreeNode *&T);//左平衡处理

void RightBalance(TreeNode *&T);//右平衡处理

};

int Max(int a,int b)

{

if(a>b)return a;

else return b;

}

int AVLTree::GetHeight(TreeNode *root)

{

int len;

if(root==NULL)len=0;

else

{

len=Max(GetHeight(root->lchild),GetHeight(root->rchild))+1;

}

return len;

}

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