2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业14导数与函数的单调性含解析苏教版

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2021高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用解答题专项突破一导数的综合应用问题课件.ppt

解题思路 (1)求 f′(x)→求斜率 k＝f′(1)→用点斜式写出切线方程． (2)设切点坐标为(x0，x30－x0)→写出切线方程→把点(1，b)代入切线方程得关于 x0 的方程→依据此方程有三个不同的实数解，求 b 的取值范围．
热点题型 2 利用导数研究函数的性质典例已知函数 f(x)＝2x3－3ax2＋3a－2(a>0)，记 f′(x)为 f(x)的导函数． (1)若 f(x)的极大值为 0，求实数 a 的值；
(1)讨论函数 f(x)的单调性；－ln x
规范解答 (1)由题意可知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ x2 ，
由 f′(x)＝0 得 x＝1.
当 x∈(0,1)时，f′(x)>0，所以 f(x)单调递增；
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以 f(x)单调递减．
(2)若
第二章函数、导数及其应用
解答题专项突破(一) 导数的综合应用问题
函数与导数是高中数学的重要内容之一，常与其他知识相结合，形成难度不同的各类综合题型，常涉及的问题有：研究函数的性质(如函数的单调性、极值、最值)、研究函数的零点(或方程的根、曲线的交点)、求参数的取值范围、不等式的证明或恒成立问题、运用导数解决实际问题等．题型多变，属中、高档难度．
ln a＝
x2＋1 x2 .
令
h(t)＝12tln
t－12t＋ln
t＋1 2t ，则
h′(t)＝ln
tt2－1 2t2 ≥0.
所以函数 h(t)在(0，＋∞)上单调递增，所以 0＜x1＜1 时 g(x1)＝h(x1)＜h(1)
＝0，
当 x2>1 时 g(x2)＝h(x2)>h(1)＝0. 又 x→0 时 g(x)→a2>0，x→＋∞时 g(x)→－∞，所以函数有三个零点．

2021年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标14导数与函数的单调性理

2021年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标14导数与函数的单调性理[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．一、选择题1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( D )解析由函数f (x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )<0，故选D ．2．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( A ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．3．(xx·吉林长春调研)已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．(xx·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( D )解析易知y ＝2x 2－e |x |是偶函数，设f (x )＝2x 2－e |x |，则f (2)＝2×22－e 2＝8－e 2，所以0<f (2)<1，所以排除A 项，B 项；当0≤x ≤2时，y ＝2x 2－e x ，所以y ′＝4x －e x，又(y ′)′＝4－e x ，当0<x <ln 4时，(y ′)′>0，当ln 4<x <2时，(y ′)′<0，所以y ′＝4x －e x在(0，ln 4)上单调递增，在(ln 4,2)上单调递减，所以y ′＝4x －e x在[0,2]有－1≤y ′≤4(ln 4－1)，所以y ′＝4x －e x 在[0,2]上存在零点ε，所以函数y ＝2x 2－e x在[0，ε)上单调递减，在(ε，2]上单调递增，排除C 项，故选D ．5．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为( D )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析由题图可知，f ′(x )>0，则x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x )<0，则x ∈(－1,1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′x >0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′x <0，x 2－2x －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >1，x <－1或x >3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<x <3，解得x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．6．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( C )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 f ′(x )＝(2x －2a )e x＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为__(－1,11)__.解析由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，解得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．8．幂函数f (x )＝xn 2－3n (n ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝__1或2__. 解析 ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴n 2－3n <0，解得0<n <3. ∵n ∈Z ，∴n ＝1或n ＝2.9．(xx·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为__①④__.①f (x )＝2－x；②f (x )＝3－x；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.解析对于①，e x f (x )＝e x ·2－x ，故[e x f (x )]′＝(e x ·2－x )′＝e x ·2－x(1－ln 2)>0，故函数e x f (x )＝e x ·2－x在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；对于②，e x f (x )＝e x ·3－x ，故[e x f (x )]′＝(e x ·3－x )′＝e x ·3－x(1－ln 3)<0，故函数e x f (x )＝e x ·3－x在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；对于③，e x f (x )＝e x ·x 3，故[e x f (x )]′＝(e x ·x 3)′＝e x ·(x 3＋3x 2)，显然函数e xf (x )＝e x ·x 3在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；对于④，e x f (x )＝e x ·(x 2＋2)，故[e x f (x )]′＝[e x ·(x 2＋2)]′＝e x ·(x 2＋2x ＋2)＝e x·[(x ＋1)2＋1]>0，故函数e x f (x )＝e x ·(x 2＋2)在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．综上，具有M 性质的函数的序号为①④. 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解析 (1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －ke x，又f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1． (2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，递减区间是(1，＋∞)．11．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－8，8a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)f ′(x )＝6x＋2x －8＝2x －1x －3x，∵x >0，∴f ′(x )，f (x )的变化如下.x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0－ 0＋ f (x )单调递增单调递减单调递增∴f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，递减区间为(1,3)，要使函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，则1<m ＋12≤3，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，52.12．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的增区间为(－∞，0)和(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2≤0成立，即x ∈(－2，－1)时，a ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x，即x ＝－2时等号成立，所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22]．。

2021届高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第11讲导数在研究函数中的应用第1课时利用导数研究函数的单

第11讲导数在研究函数中的应用第1课时利用导数研究函数的单调性[考纲解读] 1.了解函数的单调性与导数的关系．(重点)2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2021年会考查函数的单调性与导数的关系，题型有两个：①利用导数确定函数的单调性；②已知单调性利用导数求参数的取值范围．常以解答题形式出现，属中档题.函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)内□01单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内□02单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是□03常数函数1．概念辨析(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减．( )答案(1)×(2)√(3)√2．小题热身(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )答案 C解析由y＝f′(x)的图象易得，当x<0或x＞2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0.所以函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故选C.(2)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )A．(0,4) B．(0,2)C．(4，＋∞) D．(－∞，0)答案 A解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0得0<x<4，所以f(x)的单调递减区间为(0,4)．(3)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案 D解析函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝e x＋(x－3)e x＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)e x>0，解得x>2.(4)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．答案 3解析由题意得，f′(x)＝3x2－a≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≤3x2对x∈[1，＋∞)恒成立，所以a≤3.经检验a＝3也满足题意，所以a的最大值是3.题型一不含参数的函数的单调性1．函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)答案 D解析依题意得f ′(x )＝e x－e.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝e x－e>0，解得x >1.2．函数f (x )＝3xx 2＋1的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)或(1，＋∞)答案 B解析函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝31－x 2x 2＋12＝31－x 1＋xx 2＋12.要使f ′(x )>0，只需(1－x )(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．3．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32(x >0)．则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 但－1∉(0，＋∞)，舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0,5)．条件探究将本例中的函数变为f (x )＝12x 2－ln x ，试求f (x )的单调区间．解 f (x )＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x＝x ＋1x －1x，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－1(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0. 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．确定不含参数的函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．1．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减答案 D解析 f ′(x )＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1. 由f ′(x )＝0得x ＝1e，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故只有D 正确．2．(2019·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2解析因为f (x )＝x sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )>0，得x cos x >0.又因为－π<x <π，所以－π<x <－π2或0<x <π2，所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.题型二含参数的函数的单调性讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增．条件探究1 将本例中的函数变为f (x )＝1x－x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2.①若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②若a >2，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )>0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．条件探究2 将本例中的函数变为f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论f (x )的单调性．解函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x－a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x，在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．确定含参数的函数的单调性的基本步骤(1)确定函数f (x )的定义域．(2)求f ′(x )，并尽量化为乘积或商的形式． (3)令f ′(x )＝0，①若此方程在定义域内无解，考虑f ′(x )恒大于等于0(或恒小于等于0)，直接判断单调区间．如举例说明中a ≥1时，f ′(x )>0，a ≤0时，f ′(x )<0.②若此方程在定义域内有解，则用之分割定义域，逐个区间分析f ′(x )的符号确定单调区间．如举例说明中0<a <1时，f ′(x )＝0有一个实根．已知函数f (x )＝(x －1)e x－x 2，g (x )＝a e x －2ax ＋a 2－10(a ∈R )． (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数h (x )＝f (x )－g (x )(x >0)的单调性．解 (1)由题意，得f ′(x )＝x e x－2x ，则f ′(1)＝e －2.又f (1)＝－1，故所求切线方程为y －(－1)＝(e －2)(x －1)，即y ＝(e －2)x ＋1－e.(2)由已知，得h (x )＝f (x )－g (x )＝(x －a －1)e x－x 2＋2ax －a 2＋10. 此函数的定义域为(0，＋∞)．则h ′(x )＝e x＋(x －a －1)e x－2x ＋2a ＝(x －a )(e x －2)． ①若a ≤0，则x －a >0. 当0<x <ln 2时，h ′(x )<0，当x >ln 2时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增． ②若0<a <ln 2，则当0<x <a 或x >ln 2时，h ′(x )>0. 当a <x <ln 2时，h ′(x )<0. 所以h (x )在(0，a )上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．③若a ＝ln 2，则h ′(x )≥0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ④若a >ln 2，则当0<x <ln 2或x >a 时，h ′(x )＞0；当ln 2<x <a 时，h ′(x )<0.所以h (x )在(0，ln 2)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．题型三函数单调性的应用问题角度1 辨别函数图象 1．函数y ＝f (x )＝x 2＋xex的大致图象是( )答案 C解析 y ′＝2x ＋1e x －x 2＋x exex 2＝－x 2＋x ＋1e x e x 2＝－x 2＋x ＋1ex，则函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－52和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞上单调递减，且f (－1)＝f (0)＝0，故选C.角度2 比较大小或解不等式2．设函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (3)＝0，则不等式f (x )g (x )>0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 答案 A解析 ∵f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，即[f (x )g (x )]′>0.∴f (x )g (x )在(－∞，0)上单调递增，又f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴f (x )g (x )为奇函数，f (0)g (0)＝0，∴f (x )g (x )在(0，＋∞)上也是增函数．∵f (3)g (3)＝0，∴f (－3)g (－3)＝0.∴f (x )g (x )>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．故选A.角度3 根据函数单调性求参数3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(0,3]答案 A解析 ∵f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x＝x ＋3x －3x，∴当0<x ≤3时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，又f (x )在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，∴[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.4．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时， 1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1. 又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1x－12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)．1．根据函数解析式识别函数图象的思路根据函数解析式识别函数图象的基本思路是研究函数性质，包括函数的定义域、奇偶性和单调性，其中单调性的研究往往要使用导数知识(定义域、奇偶性、特殊值法在复杂一些的函数中不能完全确定函数的图象)．如举例说明1.2．利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有：(1)f (x )>g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′；(4)f ′(x )＋f (x )→[e xf (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x e x ′.3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．如举例说明3.(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．如举例说明4(1)．(3)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．如举例说明4(2)．1．(2019·广东七校联考)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是( )答案 A解析由题意，得f ′(x )＝cos x －x sin x ，则f ′(0)＝1，排除C ，D ；由于定义域[－π，π]是关于原点对称的，可以讨论函数的奇偶性．∵f ′(－x )＝cos(－x )＋x sin(－x )＝cos x －x sin x ＝f ′(x )，∴f ′(x )在关于原点对称的区间[－π，π]上是偶函数．设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝－2sin x －x cos x ，∴f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，排除B.2．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f xx>0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b )B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a )D ．af (b )<bf (a )答案 B 解析 f ′(x )＋f x x >0⇒xf ′x ＋f x x >0⇒[xf x ]′x>0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.3．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．答案－1 (－∞，0]解析 ∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R ， ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. ∵f (x )＝e x ＋a e －x ，∴f ′(x )＝e x－aex .∵f (x )是R 上的增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，即e x≥ae x 在R 上恒成立，∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]．组基础关1．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43，(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(0，＋∞) 答案 C解析因为f (x )＝x 2(x －m )＝x 3－mx 2，所以f ′(x )＝3x 2－2mx ，又因为f ′(－1)＝－1，所以3×(－1)2－2m ×(－1)＝－1，解得m ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2＋4x ＝x (3x ＋4)，由f ′(x )>0得x <－43或x >0，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43，(0，＋∞)．2．函数f (x )＝ln x5x2的单调递增区间为( )A ．(0，e)B ．(－∞，e)C ．(0，e)D ．(e ，＋∞)答案 C解析 ∵函数f (x )＝ln x 5x 2的定义域是(0，＋∞)，f (x )＝5ln x x 2，∴f ′(x )＝5·1－2ln xx3.令f ′(x )>0，解得0<x < e.∴函数f (x )＝ln x5x2的单调递增区间是(0，e)．3．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )答案 D解析当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 项符合题意．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax ，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当a ≥0时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0，f (x )在R 上单调递增，“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．故选A.5．(2019·成都模拟)已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a 0，∴f (x )为R 上的单调递增函数．又y ＝log 2x 为(0，＋∞)上的单调递增函数，∴2＝log 24<log 27<log 28＝3.∵y ＝3x为R 上的单调递增函数，∴32>31＝3，∴2<log 27<3 2.∴f (2)<f (log 27)<f (32)，即b <c <a .6．若函数f (x )＝e x－(a －1)x ＋1在(0,1)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．(e ＋1，＋∞) B ．[e ＋1，＋∞) C ．(e －1，＋∞) D ．[e －1，＋∞)答案 B解析由f (x )＝e x－(a －1)x ＋1，得f ′(x )＝e x－a ＋1.因为函数f (x )＝e x－(a －1)x ＋1在(0,1)上单调递减，所以f ′(x )＝e x－a ＋1≤0在(0,1)上恒成立，即a ≥e x＋1在(0,1)上恒成立，令g (x )＝e x＋1，x ∈(0,1)，则g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )<g (1)＝e ＋1.所以a ≥e＋1.所以实数a 的取值范围为[e ＋1，＋∞)．故选B.7．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )<0，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数．若2f (m －2019)>(m －2019)f (2)，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,2019)B ．(2019，＋∞)C ．(2021，＋∞)D ．(2019,2021)答案 D 解析令h (x )＝f x x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝xf ′x －f xx 2.∵xf ′(x )－f (x )<0，∴h ′(x )<0，∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∵2f (m －2019)>(m －2019)f (2)，m －2019>0，∴f m －2019m －2019>f 22，即h (m －2019)>h (2)．∴m －2019<2且m －2019>0，解得2019<m <2021.∴实数m 的取值范围为(2019,2021)．8．函数f (x )＝1＋12x ＋cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的单调递增区间是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，π6解析 f ′(x )＝12－sin x .由⎩⎪⎨⎪⎧f ′x >0，0<x <π2，解得0<x <π6，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，π6.9．(2020·广东梅州摸底)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 在R 上恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．答案 (－3,0)∪(0，＋∞)解析由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点．需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞)．10．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案 (－3，－1)∪(1,3)解析 f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )>0，得函数的单调递增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f ′(x )<0，得函数的单调递减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.组能力关1．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1)答案 C解析由题意知(x －1)f ′(x )≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，f ′x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，f ′x ≤0.函数y ＝f (x )在(－∞，1)上单调递减，f (0)>f (1)；在[1，＋∞)上单调递增，f (2)>f (1)，所以f (0)＋f (2)>2f (1)；若函数y ＝f (x )为常数函数，则f (0)＋f (2)＝2f (1)．故选C.2．(2019·银川一中模拟)已知函数f (x )＝exx－ax ，x ∈(0，＋∞)，当x 2>x 1时，不等式f x 1x 2<f x 2x 1恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e] B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，e 2答案 D 解析 ∵f x 1x 2<f x 2x 1，∴x 1f (x 1)－x 2f (x 2)<0，即x 2f (x 2)>x 1f (x 1)，即当x 2>x 1时，x 2f (x 2)>x 1f (x 1)恒成立，∴xf (x )在x ∈(0，＋∞)内是一个增函数，设g (x )＝xf (x )＝e x －ax 2，则有g ′(x )＝e x－2ax ≥0，即a ≤e x2x ，设h (x )＝e x2x，则有h ′(x )＝exx －12x2，当h ′(x )>0时，即x －1>0，x >1，当h ′(x )<0时，即x －1<0,0<x <1，∴当x ＝1时，h (x )最小，h (1)＝e2，即a ≤e 2.3．定义域为R 的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )<f ′(x )，f (0)＝2，则不等式f (x )<2e x的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，2)C ．(0，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 A解析根据题意，设g (x )＝f xex，其导数g ′(x )＝f ′x e x －f x e xe2x＝f ′x －f xex，又由f (x )满足f (x )<f ′(x )，则g ′(x )>0，则函数g (x )在R 上为增函数，若f (0)＝2，则g (0)＝f 0e＝2，f (x )<2e x⇒f xex<2⇒g (x )<g (0)，又由函数g (x )在R 上为增函数，所以x <0.所以不等式f (x )<2e x的解集为(－∞，0)．4．已知f (x )＝1＋ln x2ax (a ≠0，且a 为常数)，求f (x )的单调区间．解因为f (x )＝1＋ln x2ax (a ≠0，且a 为常数)，所以f ′(x )＝－2a ln x 2ax 2＝－ln x2ax2，x >0.所以①若a >0，当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.即a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． ②若a <0，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.即a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2x －1.(1)若函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，求实数a 的取值范围．解由f (x )＝x 3＋ax 2＋2x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋2.(1)因为函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，所以f ′(x )≥0在[1,3]上恒成立．即a ≥－3x 2－22x 在[1,3]上恒成立．令g (x )＝－3x 2－22x ，则g ′(x )＝－3x 2＋22x2，当x ∈[1,3]时，g ′(x )<0，所以g (x )在[1,3]上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－52，所以a ≥－52.(2)因为函数f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，所以f ′(x )≤0在[－2，－1]上恒成立，即a ≥－3x 2－22x 在[－2，－1]上恒成立，由(1)易知，g (x )＝－3x 2－22x 在[－2，－1]上单调递减，所以a ≥g (－2)，即a ≥72.。

山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时作业14导数与函数的单调性含解析.doc

课时作业14 导数与函数的单调性一、选择题1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( A ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1,1)解析：∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( C )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：由题意得，x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，因为a f (b )>f (a )，故选C.3．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( D )解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f ′(x )>0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′(x )<0的解集对应y ＝f (x )的减区间，验证只有D 选项符合．4．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是( A )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－43，0 D.⎝⎛⎭⎫0，43 解析：f ′(x )＝2x (x －m )＋x 2，∵f ′(－1)＝－1，∴－2(－1－m )＋1＝－1，解得m ＝－2，∴f ′(x )＝2x (x ＋2)＋x 2. 令2x (x ＋2)＋x 2>0，解得x <－43或x >0，∴函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞)． 5．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．6．定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )>2，且f (1)＝3，则不等式f (x )>2x ＋1的解集为( C ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)解析：f (x )>2x ＋1的解集即f (x )－2x －1>0的解集．构造函数g (x )＝f (x )－2x －1，则g ′(x )＝f ′(x )－2，因为f ′(x )>2，所以g ′(x )＝f ′(x )－2>0，所以g (x )＝f (x )－2x －1在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－2－1＝0，所以f (x )－2x －1>0的解集为(1，＋∞)，即不等式f (x )>2x ＋1的解集为(1，＋∞)．故选C.7．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( C )A ．[1，＋∞)B ．[1,2)C ．[1，32)D ．[32，2)解析：f ′(x )＝4x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x ，令f ′(x )>0，得x >12；令f ′(x )<0，得0<x <12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1<12<k ＋1，得1≤k <32.故选C. 8．(多选题)定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有( CD )A ．f ⎝⎛⎭⎫π6>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B.3f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4 解析：构造函数g (x )＝f (x )cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2，则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x (cos x )2<0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，所以g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3，同理，g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π4，即2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4，故选CD.二、填空题9．函数f (x )＝x2－sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，π3. 解析：f ′(x )＝12－cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，令f ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，π3. 10．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是[1，＋∞)．解析：f ′(x )＝3x 2－2ax －1，由已知得3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立，即a ≥32x －12x 在(0,1)内恒成立，令g (x )＝32x －12x ，又当x ∈(0,1)时，g (x )＝32x －12x的值域为(－∞，1)，∴a ≥1.11．已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )恒成立，则x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0的解集为(1，＋∞)．解析：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>xf ′(x )⇔xf ′(x )－f (x )<0⇔⎣⎡⎦⎤f (x )x ′<0.令g (x )＝f (x )x ，则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又当x ∈(0，＋∞)时，不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0⇔f ⎝⎛⎭⎫1x 1x >f (x )x，则0<1x<x ，解得x ∈(1，＋∞)．三、解答题12．已知函数f (x )＝(m ＋1m )ln x ＋1x －x ，其中常数m >0.(1)当m ＝2时，求f (x )的极大值； (2)试讨论f (x )在区间(0,1)上的单调性．解：(1)当m ＝2时，f (x )＝52ln x ＋1x －x ，f ′(x )＝52x －1x 2－1＝－(x －2)(2x －1)2x 2(x >0)，当0<x <12或x >2时，f ′(x )<0，当12<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，12)和(2，＋∞)上单调递减，在(12，2)上单调递增，∴f (x )的极大值为f (2)＝52ln2－32. (2)f ′(x )＝m ＋1m x －1x 2－1＝－(x －m )(x －1m)x2(x >0，m >0)，故当0<m <1时，f (x )在(0，m )上单调递减，在(m,1)上单调递增；当m ＝1时，f (x )在(0,1)上单调递减；当m >1时，f (x )在(0，1m )上单调递减，在(1m ，1)上单调递增．13．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )的图象在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，所以f ′(1)＝1＝12a ，所以a ＝2.又因为g (1)＝0＝12a ＋b ，所以b ＝－1.所以g (x )＝x －1.(2)因为φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，所以φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，因为x ＋1x ∈[2，＋∞)，所以2m －2≤2，即m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．14．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围为( D )A ．(0,1]B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)解析：对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则当x >0时，f ′(x )≥2恒成立，f ′(x )＝ax＋x ≥2在(0，＋∞)上恒成立，则a ≥(2x －x 2)max ＝1.故选D.15．已知a ＝ln 33，b ＝e －1，c ＝3ln28，则a ，b ，c 的大小关系为( D )A ．b >c >aB ．a >c >bC ．a >b >cD ．b >a >c解析：依题意，得a ＝ln 33＝ln33，b ＝e －1＝lne e ，c ＝3ln28＝ln88.令f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，易知函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．所以f (x )max ＝f (e)＝1e ＝b ，且f (3)>f (8)，即a >c ，所以b >a >c .故选D.16．已知函数f (x )＝(x －a )·e x －12ax 2＋a (a －1)x (a ∈R )，讨论f (x )的单调性．解：f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x －ax ＋a (a －1) ＝[x －(a －1)](e x －a )．当a ≤0时，e x －a >0.当x ∈(－∞，a －1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(a －1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a －1，x 2＝ln a . 令g (a )＝a －1－ln a ，则g ′(a )＝1－1a ＝a －1a .当a ∈(0,1)时，g ′(a )<0，g (a )为减函数；当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )>0，g (a )为增函数． ∴g (a )min ＝g (1)＝0.∴a －1≥ln a (当且仅当a ＝1时取“＝”)．∴当0<a <1或a >1时，x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(ln a ，a －1)，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )为增函数．当a ＝1时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(－∞，a －1)上单调递减，在(a －1，＋∞)上单调递增；当0<a <1或a >1时，f (x )在(ln a ，a －1)上单调递减，在(－∞，ln a )和(a －1，＋∞)上单调递增；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．。

(山东专用)2021新高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用 2.1 函数及其表示学案(含解析

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示课标要求考情分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．1.主要考查函数的概念、定义域及解析式的确定与应用，分段函数更是考查的热点．2．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是函数的解析式，对以后研究函数的性质有很重要的作用.知识点一函数函数两集合A，B设A，B是非空的数集对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A知识点二函数的有关概念1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．3．相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．4．函数的表示法：解析法、图象法、列表法．知识点三分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．1.分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．2．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3．各段函数的定义域不可以相交．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(×)(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(×)(3)f(x)＝x－3＋2－x是一个函数．(×)(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×)解析：(1)错误．函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数．(2)错误．值域C⊆B，不一定有C＝B．(3)错误．f(x)＝x－3＋2－x中x不存在．(4)错误．当两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数．2．小题热身(1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(B)(2)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( B ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1(3)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( A ) A ．15lg 2B ．12lg 5C ．13lg 2D ．12lg 3(4)函数f (x )＝4－4x ＋ln(x ＋4)的定义域为(－4,1]． (5)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝－2.解析：(1)A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]． (2)对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．(3)令x 5＝2，则x ＝2 15， ∴f (2)＝lg 215 ＝15lg 2.(4)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4>0，解得－4<x ≤1.(5)由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.考点一求函数的定义域命题方向1 已知函数解析式求定义域【例1】 (2019·江苏卷)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．【解析】要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．【答案】 [－1,7]命题方向2 求抽象函数的定义域【例2】已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋8－2x 的定义域为( ) A ．[0,3] B ．[0,2] C ．[1,2]D ．[1,3]【解析】由题意，可知x 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，8－2x ≥0，解得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0,3]，故选A ．【答案】 A命题方向3 求参数取值范围【例3】 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，34B ．⎝⎛⎭⎫0，34 C ．⎣⎡⎦⎤0，34 D ．⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．【解析】 (1)∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. (2)∵函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f (1)＝0，f (2)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，∴a ＋b ＝－92.【答案】 (1)D (2)－92方法技巧例1是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可.例2是求抽象函数的定义域，有如下解法：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 例3是例1的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解.1．(方向1)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( C ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]解析：要使函数有意义，则⎩⎨⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，解得x ∈(－2，0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．(方向2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．3．(方向3)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为[－2,2]．解析：若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2,2]．考点二求函数的解析式【例4】 (1)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. (2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. (3)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．【解析】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.所以f (x )＝12x 2－32x ＋2.(2)在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.(3)设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．【答案】 (1)12x 2－32x ＋2(2)23x ＋13 (3)见解析方法技巧函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式.(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).1．已知函数f (2x －1)＝4x ＋3，且f (t )＝6，则t ＝( A ) A ．12B ．13C ．14D ．15解析：设t ＝2x －1，则x ＝t ＋12，故f (t )＝4×t ＋12＋3＝2t ＋5，令2t ＋5＝6，则t ＝12，故选A ．2．若f (x )对于任意实数x 恒有3f (x )－2f (－x )＝5x ＋1，则f (x )＝( A ) A ．x ＋1 B ．x －1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：因为3f (x )－2f (－x )＝5x ＋1①，所以3f (－x )－2f (x )＝－5x ＋1②，联立①②，解得f (x )＝x ＋1，故选A ．3．若f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x ＋1，则f (x )＝2x ＋13或－2x －1.解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，得a 2＝4，ab ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝13或a ＝－2，b ＝－1，∴f (x )＝2x ＋13或f (x )＝－2x －1.考点三分段函数命题方向1 分段函数求值问题【例5】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，12x ，x <0，则f (f (－1))＝( )A ．32B ．2＋1C ．1D ．3(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，f (x －1)，x ≥2，则f (log 27)＝________.【解析】 (1)由题意可得f (－1)＝12－1＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝3，故选D ．(2)因为2<log 27<3，所以1<log 27－1<2，所以f (log 27)＝f (log 27－1)＝2log 27－1 ＝2log 27÷2＝72.【答案】 (1)D (2)72命题方向2 分段函数与方程、不等式问题【例6】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a ＝________.【解析】 (1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D ． (2)当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无实数解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件．【答案】 (1)D (2)－3 方法技巧分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果整合起来.1．(方向1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋1，x ≤－1，lg (6－x )＋lg (x ＋1)，－1<x <6，则f (－1)＋f (1)＝( C )A ．0B ．1C ．2D ．e 2解析：f (－1)＋f (1)＝e －1＋1＋lg5＋lg2＝2，故选C.2．(方向2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝2的x 的集合是( A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B ．{1,4} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4解析：由题意可知，f (x )＝2，即⎩⎨⎧2x ＝2，x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |＝2，x >0，解得x ＝14或4.3．(方向1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≤0)，f (x －3)(x >0)，则f (5)的值为12.解析：由题意，得f (5)＝f (2)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝1－12＝12.4．(方向2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＋1－12，x ≥1，1，x <1，则不等式f (6－x 2)>f (x )的解集为(－5，2)．解析：易知函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1，所以当x >1时，f (x )>1. 当x <1时，由6－x 2>1，得－5<x <5，则－5<x <1；当x ≥1时，由6－x 2>x ，得－3<x <2，则1≤x <2.综上，不等式的解集为(－5，2)．函数的新定义问题【典例】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ；④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．④【分析】根据新定义的一阶整点函数的含义，对四个函数一一分析，判断它们的图象是否恰好经过一个整点，即可得出正确的选项．【解析】对于函数f (x )＝sin2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点阶段，排除A ；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.选C.【答案】 C【素养解读】本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本示例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过一个整点，问题便迎刃而解．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x ＋31＋2x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( C )A ．⎝⎛⎭⎫12，3B ．(0,2]C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3} 解析：因为f (x )＝2x ＋31＋2x ＋1＝12(1＋2x ＋1)＋521＋2x ＋1＝12＋52(1＋2x ＋1)，2x ＋1>0，所以0<11＋2x ＋1<1，所以12<12＋52(1＋2x ＋1)<3，即12<f (x )<3，所以y ＝[f (x )]的值域为{0,1,2}，故选C.。

2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲导数与函数的单调性

第2讲导数与函数的单调性一、知识梳理函数的单调性与导数的关系条件结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＞0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )<0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0f (x )在(a ，b )内是常数函数理清三组关系(1)“在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)”是“函数f (x )在此区间上为增(减)函数”的充分不必要条件．(2)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒为零．(3)对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件．二、教材衍化1．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上f (x )是增函数B ．在区间(1，3)上f (x )是减函数C ．在区间(4，5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值解析：选C ．在(4，5)上f ′(x )>0恒成立，所以f (x )是增函数．2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12解析：选B ．由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，所以函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 故选B ．3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )＞0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)判断导数值的正负时忽视函数值域这一隐含条件； (2)讨论函数单调性时，分类标准有误．1．函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．增函数 D ．减函数解析：选D ．因为f ′(x )＝－sin x －1<0. 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D ．2．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时， f ′(x )<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．考点一判断(证明)函数的单调性(基础型)复习指导| 借助图象探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性．核心素养：数学抽象、逻辑推理(1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减 C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 (2)(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.讨论f (x )的单调性．【解】 (1)选D ．因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D ． (2)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a3，＋∞ 单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3单调递减．若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a3，0单调递减．导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )．(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数.[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．已知函数f (x )＝a2(x －1)2－x ＋ln x (a >0)，讨论f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (x －1)－1＋1x ＝（x －1）（ax －1）x ，令f ′(x )＝0，则x 1＝1，x 2＝1a，①若a ＝1，则f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数； ②若0<a <1，则1a>1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； ③若a >1，则0<1a<1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．综上所述，当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当0<a <1时，f (x )在(0，1)上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是增函数；当a >1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．考点二求函数的单调区间(基础型)复习指导| 会利用导数求不超过三次的多项式函数的单调区间．核心素养：数学运算已知函数f (x )＝a ln x －x －a ＋1x(a ∈R )．求函数f (x )的单调区间．【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －1＋1＋a x 2＝－x 2＋ax ＋1＋a x 2＝－（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2，①当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上f ′(x )>0，在(1＋a ，＋∞)上，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0，1＋a )，单调递减区间是(1＋a ，＋∞)； ②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，f ′(x )<0，所以，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间．利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f ′(x )的结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．[提醒] 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．1．当x >0时，f (x )＝x ＋4x 的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)解析：选B ．令f ′(x )＝1－4x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2<0，则－2<x <2，且x ≠0.因为x >0，所以x ∈(0，2)，故选B ．2．已知函数f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，求函数f (x )的单调区间．解：f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．故函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0，5)．考点三函数单调性的应用(综合型)复习指导| 利用导数与函数的单调性可以比较大小、求参数的范围等，其关键是明确函数的单调性．角度一比较大小或解不等式已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e2的解集为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)【解析】 F ′(x )＝f ′（x ）e x －e x f （x ）（e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0，所以F (x )在R 上单调递减．由F (x )<1e2＝F (1)，得x >1，所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞)．【答案】 B利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．角度二已知函数单调性求参数的取值范围已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．【解】 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解．即a ＞1x 2－2x 有解，设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a ＞－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)． (2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞. 【迁移探究1】 (变条件)本例条件变为：若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递增，求a 的取值范围．解：由h (x )在[1，4]上单调递增得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1，4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1，4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．【迁移探究2】 (变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．解：h (x )在[1，4]上存在单调递减区间，则h ′(x )<0在[1，4]上有解，所以当x ∈[1，4]时，a >1x 2－2x 有解，又当x ∈[1，4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min＝－1，所以a >－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)．(1)已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围的两种思路 ①转化为不等式恒成立问题若函数在某区间上单调递增⇒f ′(x )≥0在该区间上恒成立；若函数在某区间上单调递减⇒f ′(x )≤0在该区间上恒成立．[注意] 一般地，f (x )在区间(a ，b )上是增函数的充要条件是f ′(x )≥0在(a ，b )上恒成立，且在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )不恒为0.其中不等式中等号不能省略，否则可能漏解！②利用区间之间的包含关系若已知y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调，则区间(a ，b )应该是相应单调区间的子区间． (2)已知函数的单调区间求参数的值时，首先利用导数，求出函数的单调区间(含参)，然后令该单调区间与已知区间相等，列方程求解．(3)已知函数在某区间内不单调求参数的取值范围时，通常利用极值点在该区间内，列不等式求解．1．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 解析：选A ．因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )．所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数．所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3. 所以f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A ． 2．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在(－1，1)上为单调减函数，求实数a 的取值范围； (3)若函数f (x )的单调递减区间为(－1，1)，求实数a 的值； (4)若函数f (x )在区间(－1，1)上不单调，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1，1)上恒成立，所以a ≥3x 2在(－1，1)上恒成立，因为当－1<x <1时，3x 2<3，所以a ≥3，所以a 的取值范围为[3，＋∞)． (3)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ，则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3，又f (x )的单调递减区间为(－1，1)，所以3a3＝1，解得a ＝3. (4)由题意知：f ′(x )＝3x 2－a ，当a ≤0时，f ′(x )≥0，此时f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a >0.令f ′(x )＝0，解得x ＝±3a 3. 因为f (x )在区间(－1，1)上不单调，所以f ′(x )＝0在(－1，1)上有解，需0<3a3<1，得0<a <3，所以实数a 的取值范围为(0，3)．[基础题组练]1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选D ．由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D ．2.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：选C ．由题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，因为a f (b )>f (a )，故选C ． 3．函数f (x )＝e xx的图象大致为( )解析：选B ．函数f (x )＝e xx 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，当x >0时，函数f ′(x )＝x e x －e x x 2，可得函数的极值点为：x ＝1，当x ∈(0，1)时，函数是减函数，x >1时，函数是增函数，并且f (x )>0，选项B 、D 满足题意．当x <0时，函数f (x )＝e xx <0，选项D 不正确，选项B 正确．4．已知f (x )＝ln xx ，则( )A ．f (2)>f (e)>f (3)B ．f (3)>f (e)>f (2)C ．f (3)>f (2)>f (e)D ．f (e)>f (3)>f (2)解析：选D ．f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1－ln xx 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e.所以当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)＝1e ，而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96，所以f (e)>f (3)>f (2)，故选D ．5．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2) 解析：选C ．因为f ′(x )＝6(x 2－mx ＋1)，且函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝6(x 2－mx ＋1)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x 2－mx ＋1≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以m ≤x 2＋1x ＝x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫x ＋1x min (x ∈(1，＋∞))，因为当x ∈(1，＋∞)时，x ＋1x>2，所以m ≤2.故选C ． 6．函数f (x )＝x 4＋54x－ln x 的单调递减区间是________．解析：因为f (x )＝x 4＋54x－ln x ，所以函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，5)．答案：(0，5) 7．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．解析：由题可得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2x ln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数单调递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.答案：(1，2)8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________．解析：由f (x )图象特征可得，f ′(x )在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上大于0，在⎝⎛⎭⎫12，2上小于0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f ′（x ）≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′（x ）≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)．答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)，令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1. 所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. 10．已知函数f (x )＝b e x －1(b ∈R ，e 为自然对数的底数)在点(0，f (0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．解：因为f (0)＝b －1，所以过点(0，b －1)，(2，－2)的直线的斜率为k ＝b －1－（－2）0－2＝－b ＋12，而f ′(x )＝－b e x ，由导数的几何意义可知， f ′(0)＝－b ＝－b ＋12，所以b ＝1，所以f (x )＝1e x －1. 则F (x )＝ax ＋1e x －1，F ′(x )＝a －1e x ，当a ≤0时，F ′(x )<0恒成立；当a >0时，由F ′(x )<0，得x <－ln a ，由F ′(x )>0，得x >－ln a .故当a ≤0时，函数F (x )在R 上单调递减；当a >0时，函数F (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．[综合题组练]1．(综合型)设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C ．令F (x )＝f （x ）g （x ），则F ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0，所以F (x )在R 上单调递减．又a <x f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ）.又f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )． 2．函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：选B ．由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2. 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B ．3．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)4．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.答案：(0，1)∪(2，3)5．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.故b ＝0，c ＝1.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立．则存在x ∈(－2，－1)使－a >－x －2x成立，即－a >⎝⎛⎭⎫－x －2x min. 因为x ∈(－2，－1)，所以－x ∈(1，2)，则－x －2x ≥2（－x ）·⎝⎛⎭⎫－2x ＝22，当且仅当－x ＝－2x，即x ＝－2时等号成立，所以－a >22，则a <－2 2.所以实数a 的取值范围为(－∞，－22)．6．(2020·成都七中检测)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e ex ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0.解：(1)由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)证明：令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )>s (1)，即e x－1>x ，从而g (x )＝1x －e e x ＝e （e x －1－x ）x e x>0.。

高考数学一轮复习课时过关检测(十四) 导数的概念及运算

课时过关检测（十四）导数的概念及运算A 级——基础达标1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)·(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.3.(2021·益阳、湘潭调研)已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设错误!＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2)解析：选B 由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f (x )单调递增，且曲线切线的斜率越来越大， ∵错误!＝a ，∴易知f ′(1)<a <f ′(2)．4．(2021·湖北八校第一次联考)已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3.设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x20－3＝a ，2x30＝3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝3，a ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A ．5．(多选)如图所示的是物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法不正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度解析：选ABD 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s0t0，故A 、B 错误；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s2－s0t1－t0，乙的平均速度为s1－s0t1－t0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s2－s0t1－t0>s1－s0t1－t0，故C 正确，D 错误．6．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( ) A ．f (x )＝3cos x B ．f (x )＝x 3＋x C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝e x ＋x解析：选BC 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意．7．(2021·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ .解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0.答案：y －3＝09．(2021·开封市模拟考试)已知函数f (x )＝mx 3＋6mx －2e x ，若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线4x ＋y －2＝0平行，则m ＝ .解析：f ′(x )＝3mx 2＋6m －2e x，则f ′(0)＝6m －2＝－4，解得m ＝－13.答案：－1310．若函数y ＝2x 3＋1与y ＝3x 2－b 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b ＝ . 解析：设公共切点的横坐标为x 0，函数y ＝2x 3＋1的导函数为y ′＝6x 2，y ＝3x 2－b 的导函数为y ′＝6x ，由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x 20＝6x 0且1＋2x 30＝3x 20－b ，解得x 0＝0，b ＝－1或x 0＝1，b ＝0.故实数b ＝0或－1.答案：0或－111．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又∵点P 0在第三象限， ∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.12．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x0－3x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 级——综合应用13．(2021·甘肃、青海、宁夏联考)过点M (－1,0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ .解析：设切点坐标为(t,2t 3＋at ＋a )，∵y ′＝6x 2＋a ，∴6t 2＋a ＝2t3＋at ＋at ＋1，即4t 3＋6t 2＝0，解得t ＝0或t ＝－32，∵|MA |＝|MB |，∴两切线的斜率互为相反数，即2a ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝0，解得a ＝－274. 答案：－27414．(2021·江西五校联考)已知函数f (x )＝x ＋a2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是．解析：f ′(x )＝1－a2x2，设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x0，x0＋a 2x0，则切线方程为y －x 0－a2x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x20(x －x 0)，又切线过点(1,0)，所以－x 0－a2x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，又曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a 2－8(－a )＞0，解得a ＞0或a ＜－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)15．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10二讲第1课时导数与函数的单调性

[解析]根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)<0，在(x1，x2)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，选D.
(3)f(x)的定义域为{x|x≤1}，
f′(x)＝1－ .令f′(x)＝0，得x＝0.
当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
(4)f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f′(x)＝xcos x>0，
(3)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．
考向2 含参数的函数的单调性——师生共研
例2 已知函数f(x)＝ (x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性．
注：文科(sin 2x)′＝(2sin xcos x)′＝2[(sin x)′·cos x＋sin x·(cos x)′]＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x.
考点突破·互动探究
考点函数的单调性
考向1 不含参数的函数的单调性——自主练透
例1 (1)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( A )
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
③若a>1，则0< <1，
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数，

2021届高考数学一轮复习资料

2021届⾼考数学总复习⼀轮复习资料⽬录专题1 集合与常⽤逻辑⽤语1§1.1 集合的概念与运算1§2 命题及其条件、充分条件与必要条件2§3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词3专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ5§1 函数及其表⽰5§2 函数的单调性与最值7§3 函数的奇偶性与周期性8§4 ⼆次函数与幂函数9§5 指数与指数函数11§6 对数与对数函数12§7 函数的图像15§8 函数与⽅程17§9 实际问题的函数建模18专题3 导数及其应⽤20§1 导数的概念及运算20§2 导数的应⽤222.1 导数与函数的单调性222.2 导数与函数的极值、最值23§3 定积分与微积分基本定理26专题4 三⾓函数、解三⾓形27§1 任意⾓、弧度制及任意⾓的三⾓函数27§2 同⾓三⾓函数基本关系式及诱导公式29§3 三⾓函数的图像与性质31§4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应⽤32§6 简单的三⾓恒等变换35§7 正弦定理、余弦定理36§8 解三⾓形的综合运⽤37 专题5 平⾯向量39§1 平⾯向量的概念及线性运算39§2 平⾯向量基本定理及坐标表⽰41§3 平⾯向量的数量积42§4平⾯向量应⽤举例43专题6 数列44§1 数列的概念与简单表⽰法44§2 等差数列及其前n项和46§3 等⽐数列及其前n项和47§4 数列求和49专题7 不等式50§1 不等关系与不等式50§2 ⼀元⼆次不等式及其解法52§3 ⼆元⼀次不等式（组）与简单的线性规划问题53§4 基本不等式及其应⽤55专题8 ⽴体⼏何与空间向量57§1 简单⼏何体的结构、三视图和直观图57§2 空间图形的基本关系与公理59§3 平⾏关系61§4 垂直关系64§5 简单⼏何体的⾯积与体积66§6 空间向量及其运算68§7 ⽴体⼏何中的向量⽅法707.1 证明平⾏与垂直707.2 求空间⾓和距离72专题9 平⾯解析⼏何74§1 直线的⽅程74§3 圆的⽅程78§4 直线与圆、圆与圆的位置关系80§5 椭圆82§6 抛物线84§7 双曲线86§8 曲线与⽅程88§9 圆锥曲线的综合问题90专题10 计数原理99§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理99§2 排列与组合100§3 ⼆项式定理102专题11 统计与统计案例104§1 随机抽样104§2 统计图表、⽤样本估计总体106§3 变量间的相关关系、统计案例108专题12 概率、随机变量及其分布110§1 随机事件的概率110§2 古典概型113§3 ⼏何概型115§4离散型随机变量及其分布列116§5 ⼆项分布及其应⽤118§6离散型随机变量的均值与⽅差、正态分布120专题13 推理与证明、算法、复数122§1 归纳与类⽐122§2综合法与分析法、反证法124§3 数学归纳法126§4 算法与算法框图128§5 复数130专题14 系列4选讲132§1 ⼏何证明选讲1321.1 相似三⾓形的判定及有关性质1321.2 直线与圆的位置关系133§2 坐标系与参数⽅程1342.1 坐标系1342.2 参数⽅程135§3 不等式选讲1363.1 绝对值不等式1363.2 不等式的证明138专题1 集合与常⽤逻辑⽤语§1.1 集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、⽆序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，⽤符号∈或∉表⽰.(3)集合的表⽰法：列举法、描述法.(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系3.集合的运算4.集合关系与运算的常⽤用结论(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的⼦集个数为2n 个，⾮空⼦集个数为2n －1个，真⼦集有2n －1个. (2)A ⊆B A ∩B ＝A A ∪B ＝B . 典例例　设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________.易易错分析　集合B 为⽅方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的实数根所构成的集合，由B ⊆A ，可知集合B 中的元素都在集合A 中，在解题中容易易忽视⽅方程⽆无解，即B ＝∅的情况，导致漏漏解. 解析　因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是⽅方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关集合⾃然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋(或N *)ZQR关系⾃然语⾔符号语⾔Venn 图⼦集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，则x ∈B )A ⊆B (或 B=A )真⼦集集合A 是集合B 的⼦集，且集合B 中⾄少有⼀个元素不在集合A 中A ⊊B集合相等集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为⼦集A ＝B集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.遗忘空集致误解得a＝1；②当B≠∅且B A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满⾜足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.答案　(－∞，－1]∪{1}温馨提醒　(1)根据集合间的关系求参数是⾼考的⼀个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考⽣很容易忽视A＝∅⽽造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进⾏讨论.[⽅方法与技巧]1.集合中的元素的三个特征，特别是⽆无序性和互异性在解题时经常⽤用到.解题后要进⾏行行检验，要重视符号语⾔言与⽂文字语⾔言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进⾏行行合理理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的⼜又⼀一体现.[失误与防范]1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.2.空集是任何集合的⼦子集，是任何⾮非空集合的真⼦子集，时刻关注对空集的讨论，防⽌止漏漏解.3.解题时注意区分两⼤大关系：⼀一是元素与集合的从属关系；⼆二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进⾏行行集合交、并、补运算的常⽤用⽅方法，其中运⽤用数轴图示法时要特别注意端点是实⼼心还是空⼼心.§2 命题及其条件、充分条件与必要条件1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.思想与⽅法系1.等价转化思想在充要条件中的应⽤列典例例　(1)已知p：(a－1)2≤1，q：任意x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成⽴的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且┐q的⼀个充分不必要条件是┐p，则a的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析　(1)由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2.当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成⽴立；当a≠0时，由得0<a≤4，∴q：0≤a≤4.∴p是q成⽴立的充分不不必要条件.(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由┐q的⼀个充分不必要条件是┐p，可知┐p是┐q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.∴{x|x>a}⊊{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.答案　(1)A　(2)A温馨提醒　(1)本题⽤到的等价转化①将┐p，┐q之间的关系转化成p，q之间的关系.②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.(2)对⼀些复杂、⽣疏的问题，利⽤等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常⽤到.[⽅方法与技巧]1.写出⼀一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的⼏几种判断⽅方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利利⽤用A B与┐B ┐A；B A与┐A ┐B；A B与┐B ┐A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，⼀一般运⽤用等价法.(3)利利⽤用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A⊊B，则p是q的充分不不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.[失误与防范]1.当⼀一个命题有⼤大前提⽽而要写出其他三种命题时，必须保留留⼤大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，⼀一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的⽅方向，正确理理解“p的⼀一个充分⽽而不不必要条件是q”等语⾔言.§3 简单的逻辑连接词、全称量量词与存在量量词1.全称量量词与存在量量词(1)常见的全称量词有“所有”“每⼀个”“任何”“任意⼀条”“⼀切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“⾄少有⼀个”“有⼀个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.3.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定：┐p且┐q；p且q的否定：┐p或┐q.4.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“⾮”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：p q┐p┐q p或q p且q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假1.常⽤逻辑⽤语及其应⽤⼀一、命题的真假判断典例例　已知命题p：存在x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成⽴，则－4<m<0，那么( )A.“┐p”是假命题B.q是真命题C.“p或q”为假命题D.“p且q”为真命题解析　由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p为假命题；对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成⽴立，所以命题q为假命题.综上可知：┐p为真命题，p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.答案　C温馨提醒　判断与⼀元⼆次不等式有关命题的真假，⾸先要分清是要求解⼀元⼆次不等式，还是要求⼀元⼆次不等式恒成⽴(有解、⽆解)，然后再利⽤逻辑⽤语进⾏判断.⼆二、求参数的取值范围典例例　已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________.解析　若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案　[e,4]温馨提醒　含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要⾸先考虑简单命题为真时参数的范围.三、利利⽤用逻辑推理理解决实际问题典例例　(1)甲、⼄、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市⽐⼄多，但没去过B城市；⼄说：我没去过C城市；丙说：我们三⼈去过同⼀城市.由此可判断⼄去过的城市为________.(2)对于中国⾜球参与的某次⼤型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国⾮第⼀名，也⾮第⼆名；⼄：中国⾮第⼀名，⽽是第三名；丙：中国⾮第三名，⽽是第⼀名.竞赛结束后发现，⼀⼈全猜对，⼀⼈猜对⼀半，⼀⼈全猜错，则中国⾜球队得了第________名.解析　(1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但⽐比⼄乙去的城市多，⽽而丙说“三⼈人去过同⼀一城市”，说明甲去过A ，C 城市，⽽而⼄乙“没去过C 城市”，说明⼄乙去过城市A ，由此可知，⼄乙去过的城市为A .(2)由上可知：甲、⼄乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对⼀一半者也说了了错误“命题”，即只有⼀一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国⾜足球队得了了第⼀一名. 答案　(1)A (2)⼀温馨提醒　在⼀些逻辑问题中，当字⾯上并未出现 “或”“且”“⾮”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题⽬进⾏逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从⽽解决问题.[⽅方法与技巧]1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字⾯面上未出现“或”、“且”时，要结合语句句的含义理理解.2.要写⼀一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律律是“改量量词，否结论”. [失误与防范]1.p 或q 为真命题，只需p 、q 有⼀一个为真即可；p 且q 为真命题，必须p 、q 同时为真.2.两种形式命题的否定p 或q 的否定：⾮非p 且⾮非q ；p 且q 的否定：⾮非p 或⾮非q . 3.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定⽽而得到的命题，它既否定其条件，⼜又否定其结论；“命题的否定”即“⾮非p ”，只是否定命题p 的结论.专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ§1 函数及其表示1.函数与映射2.函数的有关概念函数映射两集合 A 、B设A ，B 是两个⾮空数集设A ，B 是两个⾮空集合对应关系 f ：A →B 如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都存在唯⼀确定的数f (x )与之对应集合A 与B 间存在着对应关系f ，⽽且对于A 中的每⼀个元素x ，B 中总有唯⼀的⼀个元素y 与它对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的⼀个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的⼀个映射记法y ＝f (x )(x ∈A )对应f ：A →B 是⼀个映射(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作⾃变量，集合A 叫作函数的定义域，集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域. (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域. (3)函数的表⽰法表⽰函数的常⽤⽅法有列表法、图像法和解析法. 3.分段函数若函数在其定义域的不同⼦集上，因对应关系不同⽽分别⽤⼏个不同的式⼦来表⽰，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由⼏个部分组成，但它表⽰的是⼀个函数. 4.常⻅见函数定义域的求法典例例　(1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成⽴的x 的取值范围是________. (2)(2015·⼭山东)设函数f (x )＝则满⾜f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A. B.[0,1] C. D.[1, ＋∞) 解析　(1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8].(2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥，∴≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥，故选C.答案　(1)(－∞，8]　(2)C温馨提醒　(1)求分段函数的函数值，⾸先要确定⾃变量的范围，然后选定相应关系式代⼊求解.(2)当给出函数值或函数值的取值范围求⾃变量的值或⾃变量的取值范围时，应根据每⼀段解析式分别求解，但要注意检验所求⾃变量的值或取值范围是否符合相应段的⾃变量的值或取值范围. (3)当⾃变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同⼦集进⾏分类讨论.[⽅方法与技巧]类型x 满⾜的条件，n ∈N ＋f (x )≥0与[f (x )]0f (x )≠0log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x )f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋，k ∈Z2.分类讨论思想在函数中的应⽤1313x2.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进⾏行行.3.函数解析式的⼏几种常⽤用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.4.分段函数问题要分段求解. [失误与防范]1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数⽆无论分成⼏几段，都是⼀一个函数，求分段函数的函数值，如果⾃自变量量的范围不不确定，要分类讨论.§2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值典例例　(12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨　(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能⽤用定义.应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0⽐比较⼤大⼩小.(2)将函数不不等式中的抽象函数符号“f ”运⽤用单调性“去掉”是本题的切⼊入点.要构造出f (M )<f (N )的形式. 规范解答(1)证明　设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分]f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分] ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0 f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数.[6分](2)解　∵m ，n ∈R ，不不妨设m ＝n ＝1，增函数减函数定义在函数f (x )的定义域内的⼀个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么，就称函数f (x )在区间A 上是增加的当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么，就称函数f (x )在区间A 上是减少的图像描述⾃左向右看图像是上升的⾃左向右看图像是下降的前提函数y ＝f (x )的定义域为D条件(1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M .(3)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (4)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M .结论M 为最⼤值M 为最⼩值1.确定抽象函数单调性解函数不等式∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1 f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4 f(2＋1)＝4 f(2)＋f(1)－1＝4 3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1 －3<a<2，即a∈(－3,2).[12分]解函数不不等式问题的⼀一般步骤：第⼀一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第⼆二步：(转化)将函数不不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运⽤用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成⼀一般的不不等式或不不等式组；第四步：(求解)解不不等式或不不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易易错点及解题规范.温馨提醒　本题对函数的单调性的判断是⼀个关键点.不会运⽤条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破⼜.第⼆个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.[⽅方法与技巧]1.利⽤定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常⽤⽅法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利⽤单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常⽤求法：单调性法、图像法、换元法.[失误与防范]1.分段函数单调性不不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点.2.函数在两个不不同的区间上单调性相同，⼀一般要分开写，⽤用“，”或“和”连接，不不要⽤用“∪”.§3 函数的奇偶性与周期性1.奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，⼀般都按照定义严格进⾏，⼀般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称.(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既⾮奇⾮偶函数.3.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在⼀个⾮零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最⼩正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在⼀个最⼩的正数，那么这个最⼩正数就叫做f (x )的最⼩正周期.典例例　(1)若函数f (x )＝在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝则满⾜不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________. 易易错分析　(1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了了1－x 2>0导致解答失误. 解析　(1)∵f (－x )＝＝， ∴f (－x )＋f (x ) ＝＝.由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝的图像，由图像可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则即得x ∈(－1，－1).答案　(1)±1　(2)(－1，－1)温馨提醒　(1)已知函数的奇偶性，利⽤特殊值确定参数，要注意函数的定义域.(2)解决分段函数的单调性问题时，应⾼度关注：①对变量所在区间的讨论.②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的⼤⼩关系.③弄清最终结果取并集还是交集.[⽅方法与技巧]1.判断函数的奇偶性，⾸先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的⼀个必要条件.2.利⽤函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图像，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应⽤. [失误与防范]1.f (0)＝0既不不是f (x )是奇函数的充分条件，也不不是必要条件.应⽤用时要注意函数的定义域并进⾏行行检验.2.判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进⾏行行判断，不不可以利利⽤用函数在定义域某⼀一区间上不不是奇偶函数⽽而否定函数在整个定义域的奇偶性.§4 ⼆二次函数与幂函数1.⼆二次函数(1)⼆次函数解析式的三种形式 22.忽视定义域致误②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0). (2)⼆次函数的图像和性质 2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是⾃变量，α是常数. (2)幂函数的图像⽐较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图像过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 典例例　已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最⼩值.思维点拨　参数a 的值确定f (x )图像的形状；a ≠0时，函数f (x )的图像为抛物线，还要考虑开⼝口⽅方向和对称轴与所给范围的关系. 规范解答解　(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图像的开⼝口⽅方向向上，且对称轴为x ＝. ①当≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在[0，]上递减，在[，1]上递增. 解析式f (x)＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x ∈上单调递减；在x ∈上单调递增在x ∈上单调递增；在x ∈上单调递减对称性函数的图像关于x ＝－对称思想与⽅法系列3.分类讨论思想在⼆次函数最值中的应⽤②当>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图像的开⼝口⽅方向向下，且对称轴x ＝<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2. 综上所述，f (x )min ＝温馨提醒　(1)本题在求⼆次函数最值时，⽤到了分类讨论思想，求解中既对系数a 的符号进⾏讨论，又对对称轴进⾏讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：⼀是分类的标准要⼀致，⼆是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不⽆原则的分类讨论.(2)在有关⼆次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进⾏分类讨论.[⽅方法与技巧]1.⼆二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜⽤用⼀一般式.(2)已知⼆二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最⼤大(⼩小)值有关的量量时，常使⽤用顶点式. (3)已知⼆二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选⽤用零点式求f (x )更更⽅方便便. 2.研究⼆二次函数的性质要注意： (1)结合图像分析；(2)含参数的⼆二次函数，要进⾏行行分类讨论. 3.利利⽤用幂函数的单调性⽐比较幂值⼤大⼩小的技巧在⽐比较幂值的⼤大⼩小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进⾏行行⽐比较.[失误与防范]1.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是⼆二次函数，就必须满⾜足a ≠0，当题⽬目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.2.幂函数的图像⼀一定会出现在第⼀一象限内，⼀一定不不会出现在第四象限，⾄至于是否出现在第⼆二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点⼀一定是原点.§5 指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)幂的运算性质：a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，其中a >0，b >0，m ，n ∈R . 2．指数函数的图像与性质 (0),,m mn na a a m n +=>∈N m na −y ＝a x a >10<a <1图像典例例　(1)函数y ＝x －x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数的单调减区间为__________________________．思维点拨　(1)求函数值域，可利利⽤用换元法，设t ＝x ，将原函数的值域转化为关于t 的⼆二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进⾏行行探求．解析　(1)因为x ∈[－3,2]，所以若令t ＝x ，则t ∈，故y ＝t 2－t ＋1＝2＋.当t ＝时，y min ＝；当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数值域为. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝u 在R 上为减函数，∴函数的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．⼜又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．答案　(1)　(2)(－∞，1]温馨提醒　(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利⽤换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[⽅方法与技巧]1．通过指数函数图像⽐较底数⼤⼩的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进⾏⽐较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，⼀定要分清a >1与0<a <1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合⽽成． [失误与防范]1．恒成⽴立问题⼀一般与函数最值有关，要与⽅方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，⼀一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的⽅方程或不不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．§6 对数与对数函数1.对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中 a 叫定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞)性质(3)过点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1(6)是R 上的增函数(7)是R 上的减函数4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应⽤用2211()()2x x f x −++=2211()()2x x f x −++=作对数的底数， N 叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log am M n ＝log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (2)对数的性质①＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝ (a ，b 均⼤于零且不等于1)； ②log a b ＝，推⼴log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数的图像与性质4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图像关于直线 y ＝x 对称. 典例例　(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是( ) A.c b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a(3)已知a ＝，b ＝，c ＝，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b思维点拨　(1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或⽐比商法确定a ，b 的⼤大⼩小关系，然后利利⽤用中间值⽐比较a ，c ⼤大⼩小.(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利利⽤用中间变量量和c ⽐比较.(3)化为同底的指数式. 解析　(1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；log m n a M log a Na a >10<a <1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0(6)是(0，＋∞)上的增函数(7)是(0，＋∞)上的减函数2.⽐比较指数式、对数式的⼤大⼩小12log π2log3.454log 3.653log 0.31()5。

2021年高考数学一轮总复习第二章函数与导数课时训练理

2021年高考数学一轮总复习第二章函数与导数课时训练理1. 下列对应f是从集合A到集合B的函数有________个．① A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－2|；② A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；③ A＝[－1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0.答案：22. 下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)① y＝x－1与y＝（x－1）2；② y＝x－1与y＝x－1x－1；③ y＝4lgx与y＝2lgx2；④ y＝lgx－2与y＝lgx 100.答案：④解析：①中y＝（x－1）2的表达式为y＝|x－1|，与y＝x－1表达式不一致；②中y＝x－1的定义域为{x|x≥1}，y＝x－1x－1的定义域为{x|x>1}；③中y＝4lgx的定义域为{x|x>0}，y＝2lgx2的定义域为{x|x≠0}；④中两个函数定义域和表达式都一致．3. 若f(x＋1)＝x＋1，则f(x)＝___________．答案：x 2－2x ＋2(x≥1)解析：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，所以f(t)＝(t －1)2＋1.4. 已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝________．答案：3x ＋5x(x≠0)解析：由题可设φ(x)＝ax ＋b x ，代入φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，φ(1)＝8，得a ＝3，b ＝5.5. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝__________．答案：2解析：∵ f(0)＝3×0＋2＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a ＝4a ，∴ a ＝2. 6. 现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是____________．(填序号)答案：③解析：从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快，故③正确．7. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a ＝__________．答案：±1解析：∵ f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝1＝1，∴ f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝a ＝1，a ＝1；当a<0时，f(a)＝－a ＝1，a ＝－1.∴ a＝±1.8. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f(f(1))＞3a 2，则a 的取值范围是________．答案：(－1，3)解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a ＝9＋6a ，若f(f(1))>3a 2，则9＋6a>3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a<3.9. 已知函数f(x)对一切实数x 、y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0.(1) 求f(0)的值；(2) 试确定函数f(x)的解析式．解：(1) 令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又f(1)＝0，故f(0)＝－2.(2) 令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2＋x －2.10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x<0，g(x)＝x ＋2.(1) 若f(g(a))＝g(f(－1))，求a 的值；(2) 解不等式f(1－x 2)>f(2x)．解：(1) 由条件，g(f(－1))＝3，g(a)＝a ＋2，所以f(g(a))＝g(f(－1))即为f(a ＋2)＝3.当a ＋2≥0，即a≥－2时，(a ＋2)2＋1＝3，所以a ＝－2＋2；当a ＋2<0，即a<－2时，显然不成立．所以a ＝－2＋ 2.(2) 由f(1－x 2)>f(2x)，知⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，解得－1<x<2－1.所以不等式的解集为(－1，2－1)．11. 是否存在正整数a 、b ，使f(x)＝x 2ax －2，且满足f(b)＝b 及f(－b)<－1b？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在正整数a 、b 满足题意．∵ f(x)＝x 2ax －2，f(b)＝b ，∴ b2ab －2＝b ，即(a －1)b ＝2.∵ a 、b∈N *，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.当a ＝3，b ＝1时，f(x)＝x 23x －2，此时－b ＝－1，∴ f(－b)＝f(－1)＝－15>－1＝－1b，因此a ＝3，b ＝1不符合题意，舍去；当a ＝2，b ＝2时，f(x)＝x 22x －2，此时－b ＝－2，∴f(－b)＝f(－2)＝－23<－12＝－1b，符合题意．∴ 存在a ＝2，b ＝2满足条件使f(x)＝x22x －2.第2课时函数的定义域和值域1. 函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是__________．答案：(23，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＞0，2x －1＞0，得x ＞23，故函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.2. (xx·苏锡常镇二模)函数y ＝1lnx(x≥e)的值域是______．答案：(0，1]解析：y ＝1lnx为[e ，＋∞)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1]．3. 若集合M ＝{y|y ＝2－x}，N ＝{y|y ＝x －1}，则M∩N＝_______________．答案：{y|y>0}解析：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝{y|y>0}，N ＝{y|y≥0}， ∴ M ∩N ＝{y|y>0}∩{y|y ≥0}＝{y|y>0}． 4. 函数y ＝x －x(x≥1)的值域为________．答案：(－∞，0]解析：y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，因为x≥1，所以y≤0. 5. 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b ＝________．答案：2解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，显然f(2b)＝2b ，结合b>1，得b ＝2.6. 已知f(x)＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域为________．答案：[－32，－12)∪(12，32]解析：∵ f(x)＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则满足f(－1)＋f(1)＝0，可得a ＝－12，则f(x)＝－12－12x －1.由x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，得0<2x≤12或2x≥2，可得12<－12－12x －1≤32或－32≤－12－12x －1<－12.7. 函数f(x)的定义域为D ，若满足：① f(x)在D 内是单调函数，② 存在[a ，b]D ，使f(x)在[a ，b]上的值域为[－b ，－a]，那么y ＝f(x)叫做对称函数．现有f(x)＝2－x －k 是对称函数，则k 的取值范围是____________．答案：[2，94]解析：由于f(x)＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，故满足①.又f(x)在[a ，b]上的值域为[－b ，－a]，∴ ⎩⎨⎧2－a －k ＝－a ，2－b －k ＝－b ，∴ a 和b 是关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上的两个不同实根．令t ＝2－x ，则x ＝2－t 2，t ≥0，∴ k ＝－t 2＋t ＋2＝－(t －12)2＋94，∴ k 的取值范围是k∈[2，94]．8. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x<0，－2－x ，x>0，则函数y ＝f(f(x))的值域是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：x ＜0时，f(x)＝2x∈(0，1)，12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＜1，f(f(x))＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12；同理可得x ＞0时，f(f(x))∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.综上所述，函数y ＝f(f(x))的值域是⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 9. 若函数f(x)＝（a 2－1）x 2＋（a －1）x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：由函数的定义域为R ，可知对x∈R ，f(x)恒有意义，即对x∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1≥0恒成立．① 当a 2－1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x∈R 恒成立，故a ＝1符合题意；② 当a 2－1≠0，即a≠±1时，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＞0，Δ＝（a －1）2－4（a 2－1）×2a ＋1≤0，解得1<a≤9.综上，可得实数a 的取值范围是[1，9]．10. 已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1x ＋3(x∈(－3，a])，其中a 为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1) 求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2) 当a ＝14时，求函数f(x)的值域．解：(1) f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)． (2) 函数f(x)的定义域为[0，14]，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈[1，32]，f(x)＝F(t)＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2，当t ＝4t 时，t ＝±2[1，32]，又t∈[1，32]时，t＋4t 单调递减，F(t)单调递增，F (t)∈[13，613]．即函数f(x)的值域为[13，613]． 11. 设函数f(x)＝1－x 2＋1＋x ＋1－x.(1) 设t ＝1＋x ＋1－x ，求t 的取值范围，并把f(x)表示为t 的函数h(t)； (2) 求函数f(x)的最值．解：(1) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x≥0，1－x≥0，∴ －1≤x≤1，∴ t 2＝(1＋x ＋1－x)2＝2＋21－x 2∈[2，4]，∴ t ∈[2，2]．由1－x 2＝12t 2－1，∴ h(t)＝12t 2＋t －1，t ∈[2，2]．(2) 由h(t)＝12t 2＋t －1＝12(t ＋1)2－32∈[2，3]，∴ f(x)的最大值为3，最小值为 2.第3课时函数的单调性1. (xx·北京)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是________．(填序号)① y ＝e －x ；② y＝x 3；③ y＝lnx ；④ y＝|x|. 答案：②解析：由定义域为R ，排除选项③，由函数单调递增，排除选项①④.2. 函数y ＝x －1x的单调增区间为__________．答案：(－∞，0)，(0，＋∞)3. 已知f(x)＝x 2＋x ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2________f(2)．(填“≤”或“≥”)答案：≥解析：∵ f(x)的对称轴方程为x ＝－12，∴ f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数．又a 2＋1a 2≥2，∴ f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥f(2)．4. 函数f(x)＝2x＋log 2x ，x ∈[1，2]的值域是________．答案：[2，5]解析：因为f(x)＝2x＋log 2x 在区间[1，2]上为增函数，所以f(x)∈[2，5]．5. 若函数f(x)＝x 2＋ax 与g(x)＝a x －1在区间(1，2)上都是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案：[－2，0)解析：若f(x)在(1，2)上是增函数，则a≥－2；若g(x)在(1，2)上是增函数，则a<0. 6. 设函数f(x)＝|x|x ＋bx ＋c ，则下列命题正确的是______．(填序号) ① 当b>0时，函数f(x)在R 上是单调增函数； ② 当b<0时，函数f(x)在R 上有最小值； ③ 函数f(x)的图象关于点(0，c)对称； ④ 方程f(x)＝0可能有三个实数根．答案：①③④解析：当b>0时，f(x)＝|x|x ＋bx ＋c ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≥0，－x 2＋bx ＋c ，x ＜0知函数f(x)在R 上是单调增函数，故①正确；当b<0时，f(x)＝|x|x ＋bx ＋c ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≥0，－x 2＋bx ＋c ，x ＜0，值域是R ，故函数f(x)在R 上没有最小值，故②不正确；若f(x)＝|x|x ＋bx ，那么函数f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x))，也就是说函数f(x)的图象关于(0，0)对称．而函数f(x)＝|x|x ＋bx ＋c 的图象是由函数f(x)＝|x|x ＋bx 的图象沿y 轴移动，故图象一定是关于(0，c)对称，故③正确；令b ＝－2，c ＝0，则f(x)＝|x|x －2x ＝0，解得x ＝0，2，－2.故④正确．7. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数．若f(1)<f(lnx)，则x 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞) 解析：|lnx|>1，所以lnx<－1或lnx>1，所以0<x<1e或x>e.8. 设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13、f(2)、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的大小关系为________________________．(从小到大排列) 答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f(2) 解析：由f(2－x)＝f(x)可知，f(x)的图象关于直线x ＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝lnx ，可知当x≥1时，f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数．因为|12－1|＜|13－1|＜|2－1|，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f(2)． 9. 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a 、b∈R )．(1) 若f(－1)＝0，且对任意实数x 均有f(x)≥0，求实数a 、b 的值；(2) 在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解：(1) a ＝1，b ＝2.(2) 由(1)知，f(x)＝x 2＋2x ＋1，所以g(x)＝x 2＋(2－k)x ＋1，因为g(x)在[－2，2]上是单调函数，所以[－2，2]⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，k －22或[－2，2]⎣⎢⎡⎭⎪⎫k －22，＋∞，解得k≤－2或k≥6.10. 已知f(x)＝xx －a(x≠a)．(1) 若a ＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2) 若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1) 证明：设x 1<x 2<－2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.∵ (x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴ f(x 1)<f(x 2)，∴ f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2) 解：设1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.∵ a>0，x 2－x 1>0，∴ 要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立， ∴ a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．11. 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m 、n ，总有f(m ＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1) 试求f(0)的值；(2) 判断f(x)的单调性，并证明你的结论；(3) 设A ＝{(x ，y)|f(x 2)·f(y 2)>f(1)}，B ＝{(x ，y)|f(ax －y ＋2)＝1，a ∈R }，若A∩B ＝，试确定a 的取值范围．解：(1) 在f(m ＋n)＝f(m)·f(n)中，令m ＝1，n ＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1. (2) 任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2.在已知条件f(m ＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为f(x 2)＝f(x 1)·f(x 2－x 1)．由于x 2－x 1>0，所以0<f(x 2－x 1)<1.为比较f(x 2)，f(x 1)的大小，只需考虑f(x 1)的正负即可．在f(m ＋n)＝f(m)·f(n)中，令m ＝x ，n ＝－x ，则得f(x)·f(－x)＝1.因为当x>0时，0<f(x)<1，所以当x<0时，f(x)＝1f （－x ）>1>0.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x 1∈R ，均有f(x 1)>0. 所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 1)[f(x 2－x 1)－1]<0. 所以函数f(x)在R 上单调递减．(3) f(x 2)·f(y 2)>f(1)，即x 2＋y 2<1.f(ax －y ＋2)＝1＝f(0)，即ax －y ＋2＝0.由A∩B＝，得直线ax －y ＋2＝0与圆面x 2＋y 2<1无公共点，所以2a 2＋1≥1，解得－1≤a ≤1.故a 的取值范围为[－1，1]第4课时函数的奇偶性及周期性1. 已知奇函数f(x)的定义域为(－2a ，a 2－3)，则a ＝________．答案：3解析：(－2a)＋(a 2－3)＝0，且－2a ＜0.2. 已知函数y ＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lgx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝_________．答案：－lg2解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝f(－2)＝－f(2)＝－lg2. 3. 若函数f(x)＝x（2x ＋1）（x －a ）是奇函数，则实数a ＝________．答案：12解析：由f(－x)＝－f(x)恒成立可得a ＝12.4. (xx 四川)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝____________．答案：1解析：由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 5. 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a 、b∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b ＝________．答案：－10解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，函数f(x)的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.根据f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，得3a ＋2b ＝－2.又f(1)＝f(－1)，得到－a ＋1＝b ＋22，即2a ＋b ＝0.结合上面的式子解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝－10.6. (xx·苏州期末)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x ＜0），则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________．答案：(－1，2)解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f(3)＝12.从而x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，∴ －1＜x ＜2.7. (xx·徐州二模)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是__________．答案：(4，＋∞)解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x ＞0，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1＞0，即f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x ＞1，所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1，解得x ＞4.8. (xx·新课标)已知偶函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__________．答案：3 解析：因为函数图象关于直线x ＝2对称，所以f(3)＝f(1)．又函数为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，故f(－1)＝3.9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1) 求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2) 若f(x)＝x (0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式． (1) 证明：由函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，得f(x ＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x ＋2)．又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x ＋2)＝－f(x)．从而f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数． (2) 解：由函数f(x)是定义在R 上的奇函数，有f(0)＝0，当x ∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.故x∈[－1，0]时，f(x)＝－－x.又f(0)＝0，x ∈[－5，－4]，x ＋4∈[－1，0]， f(x)＝f(x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x －4.10. 设函数f(x)＝a x －(k －1)a －x(a>0且a≠1)是定义域为R 的奇函数． (1) 求k 的值；(2) 若f(1)<0，试判断函数单调性，并求使不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0对任意实数x 恒成立的t 的取值范围．解：(1) ∵ f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴ f(0)＝0，∴ 1－(k －1)＝0，∴ k ＝2.(2) f(x)＝a x －a －x(a>0且a≠1)，由于f(1)<0，∴ a －1a<0，∴ 0<a<1.∴ f(x)在R 上是减函数．不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0等价于f(x 2＋tx)<f(x －4)．∴ x 2＋tx>x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立．∴ Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t<5.11. 设y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时， f(x)＝2x －x 2. (1) 求当x<0时，f(x)的解析式；(2) 请问是否存在这样的正数a 、b ，当x∈[a，b]时，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b ，1a ？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) 当x<0时，－x>0，于是f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x －x 2. 因为y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x －x 2)＝2x ＋x 2，即f(x)＝2x ＋x 2(x<0)．(2) 假设存在，则由题意知g(x)＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1，x ∈[a ，b]，a>0, 所以1a≤1，a ≥1, 从而函数g(x)在[a ，b]上单调递减．于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －a 2＝1a ，2b －b 2＝1b，所以a 、b 是方程2x －x 2＝1x 的两个不等正根，方程变形为x 3－2x 2＋1＝0，即(x －1)(x 2－x －1)＝0，方程的根为x ＝1或x＝1±52.因为0<a<b, 所以a ＝1，b ＝1＋52.第5课时函数的图象1. 函数f(x)＝2x ＋1x －1图象的对称中心的坐标是________．答案：(1，2)解析：f(x)＝2＋3x －1.2. 函数f(x)＝(2－a 2)x ＋a 的图象在区间[0，1]上恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是________．答案：(0，2)解析：由题意，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）>0即可．3. 设f(x)表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是__________．答案：6解析：在同一坐标系中，作出y ＝－x ＋6和y ＝－2x 2＋4x ＋6的图象如图所示，可观察出当x ＝0时函数f(x)取得最大值6.4. 函数f(x)＝|x 2－ax －a|(a>0)的单调递增区间是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －a 2＋4a 2，a 2和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋a 2＋4a 2，＋∞5. 不等式lg(－x)<x ＋1的解集是________．答案：(－1，0)6. 设D ＝{(x ，y)|(x －y)(x ＋y)≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t(t∈[－1，1])之间的部分的面积”为S ，则函数S ＝f(t)的图象的大致形状为__________．(填序号)答案：③解析：如图平面区域D 为阴影部分，当t ＝－1时，S ＝0，排除④；当t ＝－12时，S>14S max ，排除①②.7. 对于函数y ＝f(x)(x∈R )，给出下列命题：① 在同一直角坐标系中，函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝0对称； ② 若f(1－x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③ 若f(1＋x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)是周期函数；④ 若f(1－x)＝－f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称．其中正确的是______________．(填序号) 答案：③④解析：∵ f(x)与y ＝f(－x)的图象关于直线x ＝0对称，函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象可以分别由f(x)与y ＝f(－x)的图象向右平移了一个单位而得到，从而可得函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线x ＝1对称，故①错误；若f(1－x)＝f(x －1)，令t ＝1－x ，有f(t)＝f(－t)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，故②错误；若f(1＋x)＝f(x －1)，则f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝f(x)，函数y ＝f(x)是以2为周期的周期函数，故③正确；若f(1－x)＝－f(x －1)，则可得f(－t)＝－f(t)，即函数f(x)为奇函数，从而可得函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，故④正确．8. (xx·苏北四市期末)已知函数f(x)＝x|x －2|，则不等式f(2－x)≤f(1)的解集为____________．答案：[－1，＋∞)解析：f(x)示意图如下：f(1)＝1，令x(x －2)＝1，x ＞2，解得x ＝2＋1，从而f(2－x)≤f(1)，即2－x≤2＋1，解得x≥－1.9. 作出下列函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间．(1) y ＝|3x－1|；(2) y ＝|x －2|(x ＋1)．解：(1) y ＝|3x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≥0，1－3x，x<0，图象如下，其单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0)．(2) 由y＝|x－2|(x＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x－122＋94，x<2，⎝⎛⎭⎪⎫x－122－94，x≥2，图象如下，其单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12和(2，＋∞)，单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫12，2.10. 若直线y＝2a与函数y＝|a x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，求a的取值范围．解：当0＜a＜1时，y＝|a x－1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a＜1，即0＜a＜12.当a＞1时，y＝|a x－1|的图象如图2所示，由已知可得0＜2a＜1，即0＜a＜12，但a＞1，故a∈．综上可知，a的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12.11. 已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．(1) 证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；(2) 若f(x)是偶函数，且x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4，0]时的f(x)的表达式．(1) 证明：设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x ＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f(2＋(2－x0))＝f(2－(2－x0))＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．(2) 解：因为当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，所以f(－x)＝－2x－1.因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2，0]．当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0，2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7.而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋7，x∈[－4，－2]，－2x－1，x∈[－2，0].第6课时二次函数1. 函数y ＝2x 2－8x ＋2在区间[－1，3]上的值域为________．答案：[－6，12]解析：y ＝2(x －2)2－6.当x ＝2时，y 最小为－6；当x ＝－1时，y 最大为12.2. 设f(x)＝ x 2＋ax ＋3，不等式f(x)≥a 对x∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案：－6≤a≤2解析：依题意，x 2＋ax ＋3－a≥0对x∈R 恒成立，故函数的图象恒在x 轴的上方或与x轴最多只有一个公共点，从而Δ＝a 2－4(3－a)≤0.3. 二次函数f(x)＝2x 2＋5，若实数p≠q，使f(p)＝f(q)，则f(p ＋q)＝________．答案：5解析：由f(p)＝f(q)，知二次函数图象的对称轴为x ＝p ＋q2，则f(p ＋q)＝f(0)＝5.4. 已知函数f(x)＝ax 2＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．答案：[0，1]解析：若a ＝0，满足题意；若a≠0，则a ＞0且－1－3a2a≤1.5. 已知二次函数f(x)＝ax 2－4x ＋c 的值域是[0，＋∞)，则1a ＋9c的最小值是____________．答案：3解析：由二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的值域为[0，＋∞)，知a>0，且b 2＝4ac ，从而ac ＝4，则1a ＋9c ＝1a ＋9a 4≥21a ×94a ＝3.6. 若函数f(x)＝ax 2＋bx ＋6满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为__________．答案：6解析：由f(－1)＝f(3)知，对称轴x ＝－b2a＝1，则b ＝－2a ，所以f(2)＝4a ＋2b ＋6＝6.7. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A 、B 两点，若AC⊥BC，则a ＝________．答案：－12解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由条件，a(t －x 1)(t －x 2)＝2，又AC⊥BC，利用斜率关系得，2t －x 1·2t －x 2＝－1，所以a ＝－12.8. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式f(x)≤1的解集为____________．答案：{x|－3≤x≤－1或x>0}解析：由f(－4)＝f(0)，得b ＝4.又f(－2)＝0，可得c ＝4， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0. 9. 已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R )．(1) 若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F(2)＋F(－2)的值；(2) 若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1) 由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f(x)＝(x ＋1)2.则F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0.故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2) 由题意得f(x)＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤1x－x 且b≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又当x∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b≤0.10. 已知f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ，且f(x)在闭区间[－2，2]上恒为非负数，求实数a 的取值范围．解：f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a 24.由题意，f(x)≥0在x∈[－2，2]上恒成立，即[f(x)]min ≥0.当－a 2<－2，即a>4时，[f(x)]min ＝f(－2)＝7－3a ，由7－3a≥0，得a≤73，这与a>4矛盾，此时a 不存在．当－2≤－a 2≤2，即－4≤a≤4时，[f(x)]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，由3－a －a 24≥0，得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.当－a2>2，即a<－4时，[f(x)]min ＝f(2)＝7＋a ，由7＋a≥0，得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上所述，实数a 的取值范围是[－7，2]． 11. 已知a∈R ，函数f(x)＝x|x －a|.(1) 当a ＝2时，写出函数y ＝f(x)的单调递增区间；(2) 当a>2时，求函数y ＝f(x)在区间[1，2]上的最小值；(3) 设a≠0，函数y ＝f(x)在(m ，n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m 、n 的取值范围(用a 表示)．解：(1) 当a ＝2时，f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2），x ≥2，x （2－x ），x<2，由图象可知，y ＝f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)．(2) 因为a>2，x ∈[1，2]，所以f(x)＝x(a －x)＝－x 2＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24.当1<a 2≤32，即2<a≤3时，f(x)min ＝f(2)＝2a －4；当a 2>32，即a>3时，f(x)min ＝f(1)＝a －1. 所以f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2＜a≤3，a －1，a>3.(3) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥a ，x （a －x ），x<a ，① 当a>0时，图象如图1所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y＝a24，y＝x（x－a）得x＝（2＋1）a2.∴ 0≤m＜a2，a<n≤2＋12a.②当a<0时，图象如图2所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y＝－a24，y＝x（a－x），得x＝1＋22a.∴2＋12a≤m＜a，a2＜n≤0第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1)1. 化简3ba·3a23b(a>0，b>0)＝________．答案：63ab2. 已知3a＝2，3b＝15，则32a－b＝________．答案：20解析：32a－b＝32a3b＝415＝20.3. (log29)·(log34)＝__________．答案：4解析：(log29)·(log34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.4. (xx·安徽)⎝⎛⎭⎪⎫1681－34＋log354＋log345＝________．答案：278解析：原式＝[(23)4]－34＋log3(54×45)＝⎝⎛⎭⎪⎫23－3＝278.5. 设lg2＝a，lg3＝b，则log512用a、b可表示为________．答案：2a＋b1－a解析：log512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2.6. 若对数式log(a－2)(5－a)有意义，则实数a的取值范围是____________．答案：(2，3)∪(3，5)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≠3，a ＜5∴ 2<a<5且a≠3.7. 对任意的非零实数a 、b ，若ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ，a ＜b ，a ＋1b ，a ≥b ，则lg10 000⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝____________．答案：54解析：∵ lg10 000＝lg104＝4，(12)－2＝4，∴ lg10 000⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4＋14＝54.8. 方程33x －1＋13＝3x －1的实数解为________．答案：x ＝log 34解析：原方程整理后变为32x －2·3x －8＝03x＝4x ＝log 34.9. 化简：log 34273·log 5⎣⎢⎡⎦⎥⎤412log 210－（33）23－7log 72.解：原式＝log 33343·log 5[2log 210－(332)23－7log 72]＝(34log 33－log 33)·log 5(10－3－2) ＝(34－1)·log 55＝－14. 10. 已知a ＞1，且a ＋a －1＝3，求下列各式的值．(1) a 12－a －12；(2) a －a －1；(3) ⎝⎛⎭⎪⎫a 12－a －12（a 2＋a －2－4）a 4－a －4. 解：(1) ⎝⎛⎭⎪⎫a 12－a －122＝a ＋a －1－2＝1.∵ a ＞1，∴ a 12－a －12＝1.(2) 由a ＋a －1＝3，得a 2＋a －2＋2＝9，即a 2＋a －2＝7，∴ (a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝5.∵ a ＞1，∴ a －a －1＝ 5.(3)⎝⎛⎭⎪⎫a 12－a －12（a 2＋a －2－4）a 4－a－4＝⎝⎛⎭⎪⎫a 12－a －12（a 2＋a －2－4）（a －a －1）（a ＋a －1）（a 2＋a －2）＝1×（7－4）7×3×5＝535.11. 设x>1，y>1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．解：因为x>1，y>1，所以log x y>0.令t ＝log x y ，则log y x ＝1t .所以2t －2t＋3＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即log x y ＝12，所以y ＝x.所以T ＝x 2－4y 2＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，由于x>1，所以当x ＝2，y ＝2时，T 取最小值是－4.第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2)1. 已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为________．答案：m<n解析：∵a＝5－12∈(0，1)，∴ 函数f(x)＝a x在R 上递减．由f(m)>f(n)，得m<n.2. (xx·南京、盐城二模)函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为________．答案：(0，1]解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－x≥0，解得0＜x≤1.3. 要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值范围为_________．答案：t≤－3解析：要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，只要g(0)＝31＋t≤0，即t≤－3.4. (xx·南通一模)若log a 12a －1＜1，则a 的取值范围是__________．答案：a ＞4解析：log a 12a －1＜log a a ，由12a －1＞0，且a ＞0且a≠1，得a ＞1，∴ 12a －1＜a ，即a 2－a－12＞0，∴ a ＞4.5. 已知函数f(x)＝2x －2－x，有下列结论：① f(x)的图象关于原点对称；② f(x)在R 上是增函数；③ f(0)＝0；④ f(|x|)的最小值为0.其中正确的是__________．(填序号) 答案：①②③④解析：f(x)为R 上的奇函数，故①③正确．又2x 与－2－x均为增函数，故②④正确．6. 若函数f(x)＝a x(a>0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)＝(1－4m)x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．答案：14解析：若a>1，有a 2＝4，a －1＝m ，所以a ＝2，m ＝12，此时g ()x ＝－x 是[0，＋∞)上的减函数，不符合；当0<a<1时，有a －1＝4，a 2＝m ，所以a ＝14，m ＝116，此时g(x)＝3x 4，符合．7. 若不等式4x －2x ＋1－a≥0在x∈[－1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1]解析：原不等式可化为a≤4x －2×2x ，当x∈[－1，1]时，该不等式恒成立，令2x＝t ，则t∈[12，2]，t 2－2t ＝(t －1)2－1，故t 2－2t 最小值为－1，∴ a ≤－1.8. 对于函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x ·x 13和实数m 、n ，下列结论正确的是________．(填序号) ① 若m<n ，则f(m)<f(n)；② 若f(m)<f(n)，则m 2<n 2；③ 若f(m)<f(n)，则m 3<n 3；④ 上述命题都不正确．答案：②解析：由题意可知，函数f(x)＝(2x－12x )·x 13是定义在R 上的偶函数，当x>0时，函数y ＝2x－12x >0且单调递增，函数y ＝x 13>0且单调递增，∴ 函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减．∴ 由f(m)<f(n)，可得|m|<|n|，故m 2<n 2.9. (1) 解关于x 的方程3x ＋2－2×3－x＋3＝0；(2) 求函数y ＝4x －12－3·2x＋5，x ∈[0，2]的最值．解：(1) 方程可化为9×3x －23x ＋3＝0，即9×(3x )2＋3×3x －2＝0，所以3x＝13，x ＝－1.(2) 函数y ＝4x －12－3·2x ＋5＝12·4x －3·2x ＋5，设t ＝2x ，则12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.因为x∈[0，2]，所以t ＝2x ∈[1，4]，所以函数y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为52，最小值为12.10. 求函数y ＝a 2x －2a x－1(a ＞0，a ≠1)的单调区间和值域．解：y ＝(a x －1)2－2(a>0，a ≠1)，设u ＝a x.∵ y ＝(u －1)2－2在u∈[1，＋∞)时是关于u 的增函数，在u ∈(－∞，1)时是关于u 的减函数，∴ 当a x ≥1时，原函数的单调性与u ＝a x 的单调性相同；当a x<1时，原函数的单调性与u ＝a x的单调性相反．若a>1，a x ≥1x ≥0；a x<1x<0，∴ 在[0，＋∞)上，函数y ＝a 2x －2a x－1是增函数；在(－∞，0)上，函数y ＝a 2x －2a x－1是减函数．若0<a<1，a x ≥1x ≤0；a x<1x>0，∴ 在(－∞，0]上，函数y ＝a 2x －2a x－1是增函数；在(0，＋∞)上，函数y ＝a 2x －2a x－1是减函数．∵ a x>0，∴ 函数值域是[－2，＋∞)．11. 已知函数f(x)＝2x(x∈R )，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．(1) 求g(x)，h(x)的解析式；(2) 若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝2x，f （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝2－x，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝2x，－g （x ）＋h （x ）＝2－x，解得g(x)＝12(2x －2－x)， h(x)＝12(2x ＋2－x)．(2) 由2a·g(x)＋h(2x)≥0，即a(2x －2－x)＋12(22x ＋2－2x )≥0对任意x∈[1，2]恒成立．令t ＝2x －2－x ，由于t 在x∈[1，2]上单调递增，所以t ＝2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154.因为22x＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2＝t 2＋2，所以a≥－t 2＋22t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t 在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上恒成立．设φ(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154，由φ′(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t 2＝2－t 22t 2<0，知φ(t)在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上为减函数，所以[φ(t)]max ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1712，所以a ≥－1712.第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3)1. 已知函数f(x)＝log a x(a>0，a ≠1)，若f(2)<f(3)，则实数a 的取值范围是________．答案：a>12. (xx·苏北四市期末)函数f(x)＝lg(2x －3x)的定义域为__________．答案：(－∞，0)解析：由题知2x －3x>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23x >⎝ ⎛⎭⎪⎫230，从而x<0，本题考查对数函数的定义域以及指数不等式的解法．3. 函数y ＝log a (x －1)＋2(a>0，a ≠1)的图象恒过定点________．答案：(2，2)4. 幂函数y ＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f(x)＝27的x 的值是________．答案：13解析：设f(x)＝x α，则(－2)α＝－18，∴ α＝－3，∴ f(x)＝x －3.由f(x)＝x －3＝27，得x ＝13.5. 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为________．答案：a>b>c解析：a ＝1＋1log 23，b ＝1＋1log 25，c ＝1＋1log 27，考查函数y ＝log 2x ，有0<log 23<log 25<log 27，所以a>b>c.6. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，log 2（－x ），x ＜0，若f(m)＜f(－m)，则实数m 的取值范围是____________．答案：(－1，0)∪(1，＋∞) 解析：当m>0时，f(m)<f(－m)log 12m<log 2m m>1；当m<0时，f(m)<f(－m)log 2(－m)<log 12(－m)－1<m<0.所以，m 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．7. 设f(x)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则使f(x)＜0的x 的取值范围是____________．答案：(－1，0)解析：∵ f(x)为奇函数，∴ f(0)＝0.解得a ＝－1.∴ f(x)＝lg 1＋x1－x.令f(x)<0，则0<1＋x 1－x<1，∴ x ∈(－1，0)． 8. 若不等式(x －1)2＜log a x 在x∈(1，2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案：(1，2]解析：设f 1(x)＝(x －1)2，f 2(x)＝log a x ，要使当x∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x恒成立，只需f 1(x)＝(x －1)2在(1，2)上的图象在f 2(x)＝log a x 图象的下方即可．当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1，2)时f 1(x)＝(x －1)2的图象在f 2(x)＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，所以1<a≤2，即实数a 的取值范围是(1，2]．9. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )在[0，＋∞)上是单调递增函数，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解：由条件知，1－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n<3.由于n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0，2时，f(x)＝x 13，所以f(x)在R 上为单调递增函数，由f(x 2－x)>f(x ＋3)，得x 2－x>x ＋3，解得x<－1或x>3，所以不等式的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10. 已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3x 27(log 33x)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，19，求函数f(x)的最大值和最小值．解： f(x)＝(log 3x －3)(log 3x ＋1)＝(log 3x)2－2log 3x －3.令log 3x ＝t ，∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，19，∴ t ∈[－3，－2]，∴ g(t)＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4在t∈[－3，－2]上是减函数，∴ f max (x)＝g(－3)＝12，f min (x)＝g(－2)＝5.11. 已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x.(1) 当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2) 如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x 2)·f(x)>k ·g(x)恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1) h(x)＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]．故函数h(x)的值域为[0，2]．(2) 由f(x 2)·f(x )>k·g(x)，得(3－4log 2x)(3－log 2x )>k·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k ·t 对一切t∈[0，2]恒成立，① 当t ＝0时，k ∈R ；② 当t∈(0，2]时，k<（3－4t ）（3－t ）t 恒成立，即k<4t ＋9t－15恒成立，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3，即k 的取值范围为(－∞，－3)．第10课时函数与方程1. 函数f(x)＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a ＝_________．答案：－12解析：f(1)＝231＋1＋a ＝0a ＝－12.2. 已知函数f(x)的图象是连续不断的，x 、f(x)的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.13 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 ① 区间[1，2]；② 区间[2，3]；③ 区间[3，4]；④ 区间[4，5]；⑤ 区间[5，6]．答案：②③④解析：因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内有零点．3. 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋x 2－2的零点个数是________．答案：2解析：在同一坐标系内作出函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 与g(x)＝2－x 2的图象，两图象有两个交点．4. 关于x 的方程 x 2－(2m －8)x ＋m 2－16＝0的两个实数根 x 1、x 2 满足 x 1<32<x 2，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，72 解析：令f(x)＝x 2－(2m －8)x ＋m 2－16，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0.5. 已知函数f(x)＝13x 3＋x 2＋(2a －1)x ＋a 2－a ＋1，若f′(x)＝0在(1，3]上有解，则实数a 的取值范围为___________．答案：[－7，－1)解析：由题意得f′(x)＝x 2＋2x ＋2a －1＝0，所以a ＝12(－x 2－2x ＋1)＝－12(x ＋1)2＋1，当1<x≤3时，－7≤a<－1.6. 已知关于x 的方程x 2＋2alog 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0有唯一解，则实数a 的值为__________．答案：1解析：∵ x 2＋2alog 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0，∴ log 2(x 2＋2)＝－12a x 2＋3－a 22a .∵ 方程有唯一解，∴ y ＝log 2(x 2＋2)与y ＝－12ax 2＋3－a 22a 图象只有一个交点．画图可知：当a>0，且3－a22a ＝1时，图象只有一个交点，解得a ＝1.7. 已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________．答案：2解析：因为函数f(x)＝log a x ＋x －b(2<a<3)在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝log a 2＋2－b<log a a ＋2－b ＝3－b<0，f(3)＝log a 3＋3－b>log a a ＋3－b ＝4－b>0，所以x 0∈(2，3)，即n ＝2.8. (xx·扬州期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋k ，x ≤0，lnx ，x ＞0(其中k≥0)，若函数y ＝f[f(x)]＋1有4个零点，则实数k 的取值范围是________．答案：k≥1e解析：令t ＝f (x)，则f (t)＋1＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （t ）＝－1，t ＝f （x ）.关于x 有4个解，又t ＝f (x)示意图如图．f(t)＝－1有两解：t 2＜－1，t 1＝1e，而f(x)＝t(k≥0)，当t 2＜－1时，由图象可知方程f(x)＝t 肯定有两解；当t 1＝1e时，由题意知，方程f(x)＝1e 在x∈R 上必须有两解，由图象知k≥1e.9. 关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围．解：设f(x)＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0，2]， ① 若f(x)＝0在区间[0，2]上有一解，∵ f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，即22＋(m －1)×2＋1＜0，∴ m<－32.② 若f(x)＝0在区间[0，2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0＜－m －12＜2，f （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2－4≥0，－3＜m ＜1，4＋（m －1）×2＋1≥0.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m≥3或m≤－1，－3＜m ＜1，m ≥－32，∴ －32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围为(－∞，－1]．10. 当m 为何值时，f(x)＝x 2＋2mx ＋3m ＋4 (1) 有且仅有一个零点；(2) 有两个零点且均比－1大．解：(1) 若函数f(x)＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点，等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.(2) 设两零点分别为x 1、x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2，则 x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4（3m ＋4）＞0，（x 1＋1）＋（x 2＋1）＞0，（x 1＋1）（x 2＋1）＞0⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＞0，－2m ＋2＞0，3m ＋4＋（－2m ）＋1＞0⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1或m ＞4，m ＜1，m ＞－5－5<m<－1. 故m 的取值范围是(－5，－1)．11. 已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋(b －a)x(b≠2a 且ab≠0)．(1) 求证：函数f(x)的导函数f′(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13内有唯一零点； (2) 试就a 、b 的不同取值情况，讨论函数f(x)的零点个数．(1) 证明：因为f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋(b －a)，所以f′(－1)＝2a －b ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－13(2a －b)．因为b≠2a，所以f′(－1)·f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－13(2a －b)2<0，故f′(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13内有唯一零点． (2) 解：由f(x)＝0，得ax 3＋bx 2＋(b －a)x ＝0，即x ＝0或ax 2＋bx ＋(b －a)＝0(*)，因为方程(*)的判别式Δ＝(b －2a)2>0(b≠2a)，所以方程(*)有两个相异的实根．故当x ＝0不是方程(*)的根，即a≠b 时，f(x)有3个零点；当x ＝0是方程(*)的根，即a ＝b 时，f(x)有2个零点．。

2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第二节函数的单调性与最值课时作业

2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第二节函数的单调性与最值课时作业课时作业 A 组——基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故第一排除选项C ；因为指数函数y ＝e －x，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，在定义域内单调递减，故排除选项A ；关于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B. 答案：B3．(2020·长春市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ＜－1，2x－1，x ≥－1，则函数f (x )的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－12，＋∞)D ．R解析：当x ＜－1时，f (x )＝x 2－2∈(－1，＋∞)；当x ≥－1时，f (x )＝2x －1∈[－12，＋∞)，综上可知，函数f (x )的值域为(－1，＋∞)．故选B.答案：B4．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数解析：∵f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴f (x )单调递增，选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，因此f (－π)≠f (π)，因此函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，因此函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D. 答案：D6．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )＝a x在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，因此“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x，x ≥0，(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范畴是( ) A ．(0,1)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a ≥1，∴13≤a <1.答案：B8．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析：A 项，y ＝x ＋1为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B 项，y ＝(x －1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C 项，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为R 上的减函数；D 项，y＝log 0.5(x ＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A. 答案：A9．已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a ) B ．f (c )<f (a )<f (b ) C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：依题意，注意到21.2>20.8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，因此有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，选C.答案：C10．(2020·长沙市统考)已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 1－f x 2x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)解析：幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立，选B. 答案：B11．关于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)解析：由f (x )为准偶函数的定义可知，若f (x )的图象关于x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )为准偶函数，A ，C 中两函数的图象无对称轴，B 中函数图象的对称轴只有x ＝0，而D 中f (x )＝cos(x ＋1)的图象关于x ＝k π－1(k ∈Z)对称．答案：D12．函数的值域为________．解析：当x ≥1时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)13．函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________．解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞14．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6.答案：－615．已知函数f (x )＝x ＋ax(x ≠0，a ∈R)，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范畴是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－a x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，因此要使Δy ＝x 1－x 2x 1x 2－a x 1x 2<0恒成立，只需使x 1x 2－a >0恒成立，即a <x 1x 2恒成立．因为x 1<x 2≤－2，因此x 1x 2>4，因此a ≤4，故函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增时，实数a 的取值范畴是(－∞，4]．答案：(－∞，4]B 组——能力提升练1．(2020·西安一中模拟)已知函数f (x )＝{ x 3，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范畴是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－1,2) D ．(－2,1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D. 答案：D2．(2020·郑州模拟)已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －1)＜f (x )对任意的x ＞1恒成立，则k 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：依题意得，当x ＝2时，k (2－1)＜f (2)，即k ＜2＋2ln 2＜2＋2＝4，因此满足题意的最大整数k 的可能取值为3.当k ＝3时，记g (x )＝f (x )－k (x －1)，即g (x )＝x ln x －2x ＋3(x ＞1)，则g ′(x )＝ln x －1，当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(1，e)上单调递减；当x ＞e 时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递增．因此，g (x )的最小值是g (e)＝3－e ＞0，因此有g (x )＞0恒成立．因此满足题意的最大整数k 的值是3，选B. 答案：B3．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范畴是( ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32C ．[1,2)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，因此k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，因此k －1＜12＜k＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32.答案：B4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋≤2f (1)，则a 的取值范畴是( )A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)，又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C.答案：C5．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.答案：B6．已知函数f (x )＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)解析：由a x －b x＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x ＞1，解得x ＞0，因此函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为a ＞1＞b ＞0，因此y ＝a x单调递增，y ＝－b x单调递增，因此t ＝a x－b x单调递增．又y ＝lg t 单调递增，因此f (x )＝lg(a x－b x)＋x 为增函数．而f (1)＝lg(a －b )＋1＝lg 1＋1＝1，因此x ＞1时f (x )＞1，故f (x )＞1的解集为(1，＋∞)．故选B. 答案：B7．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x)＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯独实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，因此K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x＋13x ＋2≥23x·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B. 答案：B8．(2020·高考安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：当a <0时，f (x )＝|(ax －1)·x |＝－ax 2＋x 为图象开口向上的二次函数，且图象的对称轴为直线x ＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x ，为增函数．必要性：f (0)＝0，当a ≠0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝0，若f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a<0，即a <0.f (x )＝x 时，f (x )为增函数，现在a ＝0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件．答案：C9．已知函数f (x )＝{ a －1x ＋4－2a ，x <11＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范畴是( ) A ．(1,2] B ．(－∞，2] C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，明显现在不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，现在不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得{ a >13－a ≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范畴是(1,2]，选A.答案：A10．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数D ．是增函数解析：∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴x ＝a ，∴a ＜1，g (x )＝f x x ＝x ＋a x－2a .若a ≤0，则g (x )＝x ＋ax－2a 在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递增；若0＜a ＜1，则g (x )＝x ＋a x－2a 在(a ，＋∞)上单调递增，则在(1，＋∞)上单调递增．综上可得，g (x )＝x ＋a x－2a 在(1，＋∞)上单调递增．故选D. 答案：D11．(2020·武汉市模拟)若存在正实数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin(x 2)，其中是“限增函数”的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．③解析：关于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b2a 对一切x ∈R 恒成立，明显不存在如此的正实数a ，b .关于②，f (x )＝|x |，即|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |，则|x |≥a －b 22b，明显，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．关于③，f (x )＝sin(x 2)，－1≤f (x )＝sin(x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，关于任意的正实数a ，b 都成立，故选B. 答案：B12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4x ，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的值域为__________．解析：当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋4x ＝x ＋4x－2，由差不多不等式可得x ＋4x≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立)，因此f (x )＝x ＋4x－2≥4－2＝2，即函数f (x )的取值范畴为[2，＋∞)；当x ≤0时，f (x )＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，因为当x ＝－1时，f (x )取得最大值1，因此函数f (x )的取值范畴为(－∞，1]．综上，函数f (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x ＞1，则f (f (－2))＝__________，f (x )的最小值是__________．解析：因为f (－2)＝4，f (4)＝－12，因此f (f (－2))＝－12；x ≤1时，f (x )min ＝0，x ＞1时，f (x )min ＝26－6，又26－6＜0，因此f (x )min ＝26－6.答案：－1226－614．(2020·长沙市模拟)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy ＜0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x2(2x －x 2)的最大值为__________．解析：由已知得f (x )＝x2(2x －x2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x 22x －x 2≥0，2x －x 2，x 22x －x 2＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x ＜0或x ＞2，易知函数f (x )的最大值为4.答案：415．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋3)＝2f (x )，当x ∈[－1,2)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ∈[－1，0，－12|x －1|，x ∈[0，2，若存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，则实数t 的取值范畴是__________．解析：由题意知f (x )＝12f (x ＋3)．当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14∈[－14，0]；当x ∈[0,2)时，f (x )＝－(12)|x －1|∈[－1，－12]；因此当x ∈[－1,2)时，f (x )min ＝－1.故当x ∈[－4，－1)时，x ＋3∈[－1,2)，因此f (x ＋3)min ＝－1，现在f (x )min＝12×(－1)＝－12.由存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，可得t 2－3t ≥4×(－12)，解得t ≤1或t ≥2.答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)。

2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课堂达标14导数与函数的单调性文新人教版

2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课堂达标14导数与函数的单调性文新人教版[A 基础巩固练]1．(2020·九江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)[解析] 函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)·e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，现在由不等式f ′(x )＝(x －2)e x＞0，解得x ＞2.[答案] D2．(高考课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范畴是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0＜1x＜1，因此k ≥1.即k 的取值范畴为[1，＋∞)．[答案] D3．(2021·浙江)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )[解析] 原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D. [答案] D4．(2020·湖南省永州市三模)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1在区间[0,1]上单调递减，m ＝a ＋b ，则m 的取值范畴是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞C.(]－∞，－3D ．[－3，＋∞)[解析] 依题意，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≤0，在[0,1]上恒成立．只需要⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝b ≤0f ′1＝3＋2a ＋b ≤0即可，∴3＋2a ＋2b ≤0，∴m ＝a ＋b ≤－32.∴m 的取值范畴是(－∞，－32]．[答案] A5．(2020·长治模拟)函数f (x )＝x 2＋2m ln x (m <0)的单调递减区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，－m )C ．(－m ，＋∞)D ．(0，－m )∪(－m ，＋∞)[解析] 由条件知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为m <0，则f ′(x )＝2x ＋－mx －－mx.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情形如下表：x (0，－m )－m (－m ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－m )，单调递增区间是(－m [答案] B6．(2020·山西省长治二中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中五校)定义在(－∞，0)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1＞0，f (1)＝6，则不等式f (lg x )＜1lg x ＋5的解集为( )A ．(10，10)B ．(0,10)C ．(10，＋∞)D ．(1,10)[解析] 由x 2f ′(x )＋1＞0，得f ′(x )＋1x 2＞0，设g (x )＝f (x )－1x－5，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2，故g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，故g (x )＜0的解集为(0,1)，即f (x )＜1x＋5的解集为(0,1)，由0＜lg x ＜1解得1＜x ＜10，则所求不等式的解集为(1,10)，故选D.[答案] D7．(2020·青岛模拟)若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝ ________ .[解析] f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1＜x ＜3是不等式3x 2＋2bx ＋c ＜0的解集，∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根，∴b ＝－3，c ＝－9，b ＋c ＝－12.[答案] －128．(2020·九江第一次统考)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范畴为______．[解析] f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，则2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，因为⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，因此2a ≥83，即a ≥43.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 9．(2020·衡水中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )＜12，则不等式f (x 2)＜x 22＋12的解集为 ________ .[解析] 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )＜12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12＜0，即函数F (x )在R 上单调递减，∵f (x 2)＜x 22＋12，∴f (x 2)－x 22＜f (1)－12，∴F (x 2)＜F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2＞1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)10．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．[B 能力提升练]1．(2020·湛江一模)若函数f (x )＝x ＋bx(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)[解析] 由题意知，f ′(x )＝1－bx 2，∵函数f (x )＝x ＋b x(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－b x2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)，令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．[答案] D2．(2020·河南新乡三模)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＞2(x ＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则下列不等式中，一定成立的是( )A ．f (1)＞f 22＞f 32 B. f 12＞f 43＞f 94C ．f (1)<f 22<f 33D.f 12<f 43<f 94[解析] ∵f (x )＞2(x ＋x )f ′(x )， ∴f (x )＞2x (x ＋1)f ′(x )，∴f (x )12x＞(x ＋1)f ′(x )．∴f ′(x )(x ＋1)－f (x )12x＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫f x x ＋1′＜0，设g (x )＝f xx ＋1，则函数g (x )在(0，＋∞)上递减，故g (1)＞g (4)＞g (9)，∴f 12>f 43＞f 94，当f (x )＝－x (x ＋1)时，满足f (x )＞2(x ＋x )f ′(x )，易得f (1)＝－2，f 22＝－1－22，f 33＝－1－33， ∴f (1)＜f 22＜f 33，当f (x )＝－x (x ＋1)时，满足f (x )＞2(x ＋x )f ′(x )，易得f (1)＝－2，f 22＝－1－2，f 33＝－1－3，∴f (1)＞f 22＞f 33，故A ，C ，D 都错．[答案] B3．已知函数f (x )＝3x a－2x 2＋ln x (a ＞0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范畴是 ________ .[解析] f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a≤4x －1x在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，因此3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0，因此0＜a ≤25或a ≥1.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞) 4．若函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范畴是______． [解析] ∵f (x )＝x 2－e x －ax ，∴f ′(x )＝2x －e x－a ， ∵函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x－a ≥0，即a ≤2x －e x有解，设g (x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2，则当x <ln 2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >ln 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2. [答案] (－∞，2ln 2－2]5．(2020·山东省德州市四月二模文科)已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，a ∈R .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值； (2)当a ＜0时，讨论函数f (x )单调性；(3)是否存在实数a ，对任意的m ，n ∈(0，＋∞)，且m ≠n ，有f m －f nm －n＞a 恒成立？若存在，求出a 的取值范畴；若不存在，说明理由．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2＋2ln x －3x ，f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x＝x －1x －2x.当0＜x ＜1或x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜f (x )单调递减，因此x ＝1时，f (x )极大值＝f (1)＝－52；x ＝2时，f (x )极小值＝f (2)＝2ln 2－4.(2)当a ＜0时，f ′(x )＝x －2ax＋(a －2)＝x 2＋a －2x －2a x ＝x －2x ＋a x，①当－a ＞2，即a ＜－2时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜2或x ＞－a ，现在f (x )单调递增；由f ′(x )＜0可得2＜x ＜－a ，现在f (x )单调递减；②当－a ＝2，即a ＝－2时，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，现在f (x )单调递增； ③当－a ＜2，即－2＜a ＜0时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜－a 或x ＞2，现在f (x )单调递增；由f ′(x )＜0可得－a ＜x ＜2，现在f (x )单调递减．综上：当a ＜－2时，f (x )增区间为(0,2)，(－a ，＋∞)，减区间为(2，－a )；当a ＝－2时，f (x )增区间为(0，＋∞)，无减区间；当－2＜a ＜0时，f (x )增区间为(0，－a )，(2，＋∞)，减区间为(－a,2)． (3)假设存在实数a ，对任意的m ，n ∈(0，＋∞)，且m ≠n ，有f m －f nm －n＞a 恒成立，不妨设m ＞n ＞0，则由f m －f nm －n＞a 恒成立可得：f (m )－am ＞f (n )－an 恒成立，令g (x )＝f (x )－ax ，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因此g ′(x )≥0恒成立，即f ′(x )－a ≥0恒成立，∴x －2ax＋(a －2)－a ≥0，即x 2－2x －2a x≥0恒成立，又x ＞0，∴x 2－2x －2a ≥0在x ＞0时恒成立， ∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2－2x min＝－12，∴当a ≤－12时，对任意的m ，n ∈(0，＋∞)，且m ≠n ，有f m －f nm －n＞a 恒成立．[C 尖子生专练]已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，关于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范畴．[解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx. 当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373.因此－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

2021版高考数学一轮复习第二章函数与导数课时训练

2021版高考数学一轮复习第二章函数与导数课时训练第1课时函数及其表示一、填空题1. 下列五个对应f ，________是从集合A 到集合B 的函数．(填序号)① A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1；② A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③ A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④ A ＝B ＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x ＋1；⑤ A ＝Z ，B ＝{－1，1}，n 为奇数时，f(n)＝－1，n 为偶数时，f(n)＝1. 答案：①②④⑤解析：依照函数定义，即看是否是从非空数集A 到非空数集B 的映射．③中集合A 中的元素3在集合B 中无元素与之对应，故不是A 到B 的函数．其他均满足．2. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f(g(π))的值为________．答案：0解析：依照题设条件，∵ π是无理数，∴ g(π)＝0， ∴ f(g(π))＝f(0)＝0.3. 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，且f(m)＝6，则m ＝________．答案：－14解析：令2x ＋3＝6，得x ＝32，因此m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14.4. 假如f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝________．答案：1x －1解析：令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴ f(t)＝1t 1－1t＝1t －1，∴ f(x)＝1x －1.5. 运算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采纳数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的对应关系如下表：答案：6E6. 已知g(x)＝1－2x ，f(g(x))＝1－x 2x 2(x≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________．答案：15解析：令g(x)＝1－2x ＝12，得x ＝14.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.7. 函数f(x)对任意x ，y 满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(－1)＝____________．答案：－2 解析：由f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4得f(1)＝2，由f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)得f(0)＝0，由f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＝0，得f(－1)＝－f(1)＝－2.8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1（－1≤x<0），－x ＋1（0<x≤1），则f(x)－f(－x)>－1的解集为______________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1] 解析：① 当－1≤x<0时，0<－x≤1，现在f(x)＝－x －1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x ＋1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x －2>－1，解得x<－12，则－1≤x<－12.② 当0<x≤1时，－1≤－x<0，现在，f(x)＝－x ＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x －1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x ＋2>－1，解得x<32，则0<x≤1.故所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1]． 9. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时刻t 的关系如图所示，则该汽车在前3 h 行驶的路程为________km.假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 006 km ，那么在t ∈[1，2)时，汽车里程表读数s 与时刻t 的函数解析式为____________________．答案：220 s ＝80t ＋1 976，且t∈[1，2)解析：前3 h 行驶的路程为50＋80＋90＝220(km)．∵ t ∈[1，2)时里程表读数s 是时刻t 的一次函数，可设为s ＝80(t －1)＋b ，当t ＝1时，s ＝2 006＋50＝2 056＝b ，∴ s ＝80(t －1)＋2 056＝80t ＋1 976. 二、解答题10. 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝f(x)，并写出它的定义域．解：设AB ＝2x ，CD ︵＝πx ，因此AD ＝1－2x －πx2，则y ＝2x·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，1－2x －πx 2＞0，得0＜x ＜1π＋2，∴ 函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 11. 已知函数f(x)对一切实数x ，y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0，(1) 求f(0)的值；(2) 试确定函数f(x)的解析式．解：(1) 令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又f(1)＝0，故f(0)＝－2.(2) 令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2＋x －2.12. 据气象中心观看和推测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时刻t(h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T(t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所通过的路程s(km)．(1) 当t ＝4时，求s 的值；(2) 将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来．解：(1) 由图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12，因此s ＝12×4×12＝24.(2) 当0≤t≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10＜t≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20＜t≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t－20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].13. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[0，1]，x －3，x ∈（－∞，0）∪（1，＋∞），若f(f(x))＝1成立，求x 的取值范畴．解：因为f(f(x))＝1，因此0≤f(x)≤1或f(x)－3＝1.① 由0≤f(x)≤1，可得0≤x≤1或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x－3≤1，x<0或x>1，因此0≤x≤1或3≤x≤4；② 由f(x)－3＝1，得f(x)＝4，因此x －3＝4，∴ x ＝7. 综合①②知，x 的取值范畴是[0，1]∪[3，4]∪{7}．点评：由于f(x)是分段函数，因此在探求方程f(f(x))＝1的解时，需要依照分段函数中相应的限制定义域进行分类讨论．第2课时函数的定义域和值域一、填空题1. 函数f(x)＝－x 2＋x ＋6x －1的定义域是______________．答案：[－2，1)∪(1，3]解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋6≥0，x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x≤3，x ≠1，因此定义域为[－2，1)∪(1，3]． 2. 已知f(x)＝1x ＋1，则函数f(f(x))的定义域是________．答案：(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)解析：f(f(x))＝1f （x ）＋1＝11x ＋1＋1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，11＋x＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x ≠－2.因此定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)．3. 若函数y ＝f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F(x)＝f(x)＋1f （x ）的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103解析：令t ＝f(x)，则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由F(x)＝t ＋1t 知，F (x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103，因此函数F(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.4. 函数y ＝4－3＋2x －x 2的值域是__________________．答案：[2，4]解析：y ＝4－－（x －1）2＋4，∵ 0≤－(x －1)2＋4≤4，∴ 0≤－（x －1）2＋4≤2，∴ 2≤4－－（x －1）2＋4≤4， ∴ 所给函数的值域为[2，4]．5. 函数y ＝x －x(x≥1)的值域为________．答案：(－∞，0]解析：y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14.因为x ≥1，因此y≤0. 6. 函数y ＝|x|x＋x 的值域是____________________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，x －1，x<0可得值域．7. 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域差不多上闭区间[2，2b]，则b ＝________．答案：2解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，明显f(2)＝2，因此f(2b)＝2b ，结合b>1，得b＝2.8. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x|≥1，x ，|x|<1，g(x)是定义在R 上的二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是________．答案：[0，＋∞)解析：若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)可取(－∞，－1]∪[0，＋∞)．又g(x)是定义在R 上的二次函数，定义域连续，其值域也是连续的，因此g(x)的值不可能同时取(－∞，－1]和[0，＋∞)．又若g(x)的值域为(－∞，－1]，则f(g(x))的值域为[1，＋∞)，因此g(x)的值域只能为[0，＋∞)．二、解答题9. 求下列函数的值域： (1) y ＝2x －x －1； (2) y ＝x ＋1－x －1.解：(1) 令x －1＝t ，则t≥0，且x ＝t 2＋1≥1，因此y ＝2x －x －1＝2t 2－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.因为t≥0，因此y≥158，因此所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.(2) y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1，不难证明函数在其定义域[1，＋∞)上是减函数，因此其值域为(0，2]．点评：利用代换法求值域时，要关注新代换量的取值范畴．10. 已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1x ＋3(x∈(－3，a])，其中a 为常数且a>0.令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1) 求函数f(x)的解析式，并求其定义域；(2) 当a ＝14时，求函数f(x)的值域．解：(1) f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)． (2) 当a ＝14时，函数f(x)的定义域为[0，14]．令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈[1，32]，则f(x)＝F(t)＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2.当t ＝4t 时，t ＝±2∉[1，32]．又t∈[1，32]时，t ＋4t 单调递减，∴F(t)单调递增，F(t)∈[13，613]，即函数f(x)的值域为[13，613]． 11. 函数f(x)＝2x －ax的定义域为(0，1](a∈R )．(1) 当a ＝－1时，求函数y ＝f(x)的值域；(2) 若f(x)>5在定义域上恒成立，求a 的取值范畴．解：(1) 当a ＝－1时，∵ x ∈(0，1]，∴ y ＝f(x)＝2x －a x ＝2x ＋1x ≥22x ·1x＝22，当且仅当x ＝22时取最小值．∴ 函数y ＝f(x)的值域为[22，＋∞)． (2) 若f(x)>5在定义域(0，1]上恒成立，即2x 2－5x>a 在(0，1]上恒成立．设g(x)＝2x 2－5x ，∵ g(x)＝2x 2－5x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542－258，∴ 当x∈(0，1]时，g (x)∈[－3，0)．而g(x)＝2x 2－5x>a ，∴ 只要a<－3即可，∴ a 的取值范畴是(－∞，－3)．12. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a ，b 是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有等根．(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m ，n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m ，n]和[2m ，2n]？如存在，求出m ，n 的值，如不存在，请说明理由．解：(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝0，f （x ）＝x 有等根，即 ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝0，ax 2＋（b －1）x ＝0有等根.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，（b －1）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，∴ f(x)＝－12x 2＋x. (2) 假设存在适合题设条件的实数m ，n ，由(1)知f(x)＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，∴ 2n ≤12，即n≤14.而函数f(x)＝－12x 2＋x 图象的对称轴方程为x ＝1，∴ 函数f(x)＝－12x 2＋x 在[m ，n]上为增函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m<n ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，即存在实数m ＝－2，n ＝0，使函数f(x)的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0]．13. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，如图，直线MN⊥AD 交AD 于点M ，交折线ABCD 于点N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域和值域．(用分段函数形式表示)解：过点B ，C 分别作AD 的垂线，垂足为点H 和点G ，则AH ＝a 2，AG ＝3a2.当点M 位于点H 及其左侧时，AM ＝MN ＝x ，则面积y ＝S △AMN ＝12x 2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x≤a 2；当点M 位于点H ，G 之间时，面积y ＝S 梯形MNBA ＝12(AM ＋BN)·MN＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x －a 2·a 2＝12ax －a 28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x<3a 2；当点M 位于点G 及其右侧时，面积y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝a ＋2a 2·a 2－12(2a －x)2＝－12x 2＋2ax －5a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫32a≤x≤2a .综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤a 2，12ax －a 28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x<3a 2，－12x 2＋2ax －54a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2≤x ≤2a .其定义域为[0，2a]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34a 2.第3课时函数的单调性一、填空题1. 下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是______．(填序号)① f(x)＝3－x ；② f(x)＝x 2－3x ；③ f(x)＝－1x ＋1；④ f (x)＝－|x|.答案：③解析：分别画出四个函数的图象易知y ＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上递增，y ＝3－x 在(0，＋∞)上递减，y ＝－|x|在(0，＋∞)上递减，y ＝－1x ＋1在(－1，＋∞)上递增．2. 若函数f(x)＝(k 2－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范畴为____________．答案：(1，2)解析：由题意得k 2－3k ＋2<0，∴ 1<k<2.3. 函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间为________．答案：[3，＋∞)解析：∵ t＝x 2－2x －3≥0，∴ x ≤－1或x≥3.当x ∈(－∞，－1]时，t 递减，f(x)递减；当x∈[3，＋∞)时，t 递增，f(x)递增．∴ 当x∈(－∞，－1]时，f(x)是减函数；当x∈[3，＋∞)时，f(x)是增函数．4. 已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的减函数．若f(m －1)＞f(2m －1)，则实数m 的取值范畴是____________．答案：0＜m ＜32解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2，－2＜2m －1＜2，m －1＜2m －1，解得0＜m ＜32.5. 已知y ＝x 2＋2(a －2)x ＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范畴是____________．答案：a≥－2解析：对称轴为x ＝2－a ，2－a≤4，a ≥－2.6. 函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|的单调减区间为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 解析：将函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|改写成分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋1，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，x ＋3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，3x －1，x ∈[2，＋∞）.画出函数的图象容易得出其在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上为单调减函数．7. 已知函数f(x)＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是递减的，则a 的取值范畴是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：当a ＝0时，f(x)＝－x ＋1在(－∞，2)上是递减的；当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a≥2，解得0<a≤14.综上，a 的取值范畴是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.8. 已知f(x)＝xx －a(x ≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范畴是________．答案：(0，1]解析：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝－a （x 1－x 2）（x 1－a ）（x 2－a ），因为x 1<x 2，且a>0，因此要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立．又x∈(1，＋∞)，因此a≤1.综上，实数a 的取值范畴是0<a≤1.9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f(2－a 2)＞f(a)，则实数a 的取值范畴是____________．答案：(－2，1)解析：由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）2－4，x ≥0，－（x －2）2＋4，x ＜0的图象知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a 2)＞f(a)得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.二、解答题10. 利用单调性的定义证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是递减函数．证明：设x 1>x 2>－1，则x 2－x 1<0，y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1），∵ x 1>x 2>－1，x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 2－x 1<0，∴ x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）<0，即y 1－y 2<0.∴y 1＜y 2. ∴ y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是递减函数．11. 讨论函数f(x)＝axx 2－1(a>0)在x∈(－1，1)上的单调性．解：设－1<x 1<x 2<1，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2（x 21－1）（x 22－1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2＋1）（x 21－1）（x 22－1）. ∵ －1<x 1<x 2<1，∴ x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∵ a>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)＞f(x 2)． ∴ 函数f(x)在(－1，1)上为减函数．12. 已知函数f(x)＝1a －1x(a>0，x>0)．(1) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2) 若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． (1) 证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.∵ f(x 2)－f(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴ f(x 2)>f(x 1)，∴ f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2) 解：∵ f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， ∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f(2)＝2，解得a ＝25.13. 已知函数f(x)对任意的m ，n∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，同时x>0时，恒有f(x)>1.(1) 求证：f(x)在R 上是增函数；(2) 若f(3)＝4，解不等式f(a 2＋a －5)<2.(1) 证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴ x 2－x 1>0. ∵ 当x>0时，f(x)>1， ∴ f(x 2－x 1)>1.f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1， ∴ f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0，∴f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在R 上为增函数．(2) 解：∵ m，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，∴ f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴ f(1)＝2，∴ f(a 2＋a －5)<2＝f(1)． ∵ f(x)在R 上为增函数，∴ a 2＋a －5<1，解得－3<a<2.第4课时函数的奇偶性及周期性一、填空题1. 已知奇函数f(x)的定义域为(－2a ，a 2－3)，则a ＝________．答案：3解析：(－2a)＋(a 2－3)＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3＞0，－2a ＜0.得a ＝3.2. 若函数f(x)＝x ＋ax 2＋bx ＋1在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为______________．答案：f(x)＝xx 2＋1解析：∵ f(－x)＝－f(x)，∴ f(－0)＝－f(0)，f(0)＝0，∴ a 1＝0，∴ a ＝0，即f(x)＝x x 2＋bx ＋1.∵f(－1)＝－f(1)，即－12－b ＝－12＋b，∴ b＝0.∴ f(x)＝xx 2＋1.3. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x 2－2x ，则f(x)的解析式为f(x)＝________．答案：x(|x|－2)解析：设x≤0，则－x≥0，∵ 当x≥0时，f(x)＝x 2－2x ，∴ f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x 2＋2x.又f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，∴ f(x)＝－(x 2＋2x)，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x≥0），－x 2－2x （x<0），即f(x)＝x(|x|－2)(x∈R )．4. 设f(x)＝g(x)＋5，g(x)为奇函数，且f(－7)＝－17，则f(7)＝________．答案：27解析：由f(－7)＝－17得g(－7)＝－22，依照g(x)为奇函数得g(7)＝22，而f(7)＝g(7)＋5，因此f(7)＝22＋5＝27.5. 设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝_______．答案：1解析：由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 6. 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上差不多上减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)＜0，则实数a 的取值范畴是____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：原不等式化为f(1－3a)＜－f(1－a)，∵ f(x)是奇函数，∴ －f(1－a)＝f(a －1)，∴ 原不等式化为f(1－3a)＜f(a －1)．∵ f(x)是减函数，∴ 1－3a ＞a －1，∴ a ＜12①.又f(x)的定义域为(－1，1)， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－3a ＜1，解得0＜a ＜23 ②.由①和②得实数a 的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 7. 已知f(x)与g(x)差不多上定义在R 上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，则F(2)＝______．答案：1解析：F(－2)＋F(2)＝a[f(－2)＋f(2)]＋b[g(2)＋g(－2)]＋6＝6，∴ F(2)＝1. 8. 若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判定：① f(x)是周期函数；② f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③ f(x)在[0，1]上是增函数； ④ f(x)在[1，2]上是减函数； ⑤ f(2)＝f(0)．其中正确的是________．(填序号) 答案：①②⑤解析：∵ f(x＋1)＝－f(x)，∴ f(x)＝－f(x ＋1)＝f(x ＋1＋1)＝f(x ＋2)，∴ f(x)是周期为2的函数，①正确．∵ f(x ＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴ f(x)＝f(2－x)，∴ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，②正确．∵ f(x)为偶函数，且在[－1，0]上是增函数，∴ f(x)在[0，1]上是减函数．又f(x)的对称轴为x ＝1，∴ f(x)在[1，2]上为增函数，且f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是__________．答案：{x|x ＞4}解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x ＞0，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1＞0，即f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x ＞1.因此不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1，解得x ＞4.10. 设函数f(x)＝x 3＋2x 2，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(2，1)对称，则函数g(x)的解析式为____________________．答案：g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94解析：设P(x ，y)是f(x)图象上任意一点，∴ y ＝x 3＋2x 2①，P 关于点(2，1)的对称点为Q(x′，y ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x′2＝2，y ＋y′2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－x′，y ＝2－y′，代入①得2－y′＝(4－x′)3＋2(4－x′)2，化简得y′＝(x′)3－14(x′)2＋64x′－94，即g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94. 二、解答题11. 已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0 时，f(x)<0恒成立，求证：(1) 函数y ＝f(x)是R 上的减函数； (2) 函数y ＝f(x)是奇函数．证明：(1) 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，而f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，∴ f(x 1)＝f(x 1－x 2＋x 2)＝f(x 1－x 2)＋f(x 2)<f(x 2)，∴ 函数y ＝f(x)是R 上的减函数．(2) 由f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)，而f(0)＝0，∴ f(－x)＝－f(x)，即函数y ＝f(x)是奇函数．12. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式．解：∵ 函数f(x)在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，∴当 x∈[3，6]时可设f(x)＝a(x －5)2＋3.由f(6)＝2得a(6－5)2＋3＝2，解得a ＝－1，∴ 当x∈[3，6]时，f(x)＝－(x －5)2＋3＝－x 2＋10x －22，∴ f(3)＝－9＋30－22＝－1.∵ f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，且据奇函数知f(0)＝0，∴ 当x∈[0，3]时，可设f(x)＝kx(k 为常数)．由f(3)＝－1得3k ＝－1，∴ k ＝－13，∴ 当x∈[0，3]时，f(x)＝－13x ，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x ，x ∈[0，3]，－（x －5）2＋3，x ∈（3，6].又f(x)是奇函数，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋5）2－3，x ∈[－6，－3），－13x ，x ∈[－3，3]，－（x －5）2＋3，x ∈（3，6].13. 函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足关于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1) 求f(1)的值；(2) 判定f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3) 假如f(4)＝1，f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范畴．解：(1) ∵ 关于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，∴ 令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴ f(1)＝0.(2) f(x)为偶函数．令x 1＝x 2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴ f(－1)＝12f(1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴ f(－x)＝f(x)，∴ f(x)为偶函数．(3) 依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f (16×4)＝f(16)＋f(4)＝3， ∵ f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3， ∴f((3x ＋1)(2x －6))≤f(64)． ∵ f(x)为偶函数，∴ f(|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f(64)．∵ f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D ， ∴ 0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x≤5或－73≤x<－13或－13<x<3.∴ x 的取值范畴是{x ⎪⎪⎪－73≤x<－13或－13<x<3或3<x ≤5}．第5课时指数、对数运算一、填空题1. 设a≥0，运算(36a 9)2·(63a 9)2的结果是________．答案：a 2解析：在底数不小于零的前提下，幂指数与根指数的公因数能够直截了当约分．2. 化简32－6227＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3232－3－（102）2－42的结果是________．答案：9解析：先将式子中的根式逐个进行化简，然后进行运算即可．原式＝3－827＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1132－3－216＝－23＋113＋6＝9.点评：对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一样原则：先算根号内的，然后进行根式运算；在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情形，如3a ：若a>0，则3a>0；若a<0，则3a<0.但对根指数为偶数的根式，如a ，只有当a ≥0时，a 才有意义．3. log 29×log 34＝__________．答案：4解析：log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.4. 方程1＋3－x1＋3x ＝3的解是________．答案：x ＝－1解析：3－x ·3x ＋3－x 1＋3x＝3－x＝3，x ＝－1.5. 若f(10x)＝x ，则f(5)＝________．答案：lg 5解析：由题意得10x＝ 5，故x ＝lg 5，即f(5)＝lg 5.6. 设f(x)＝4x 4x ＋2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011的值为________．答案：5解析：∵ f(x)＝4x 4x ＋2＝1－24x ＋2，∴ f(x)＋f(1－x)＝1－24x ＋2＋1－241－x ＋2＝2－24x＋2－241－x ＋2＝2－24x ＋2－4x2＋4x＝1.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫511＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611]＝5. 7. 若对数式log (a －2)(5－a)有意义，则实数a 的取值范畴是____________．答案：(2，3)∪(3，5)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≠3，a ＜5，∴ 2<a<5且a≠3. 8. 已知a 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232(a ＞0)，则log 23a ＝________．答案：3解析：由a 23＝49得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4932＝[(23)2]32＝(23)3，因此log 23a ＝3.9. 若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小顺序是___________.答案：c<a<b解析：a ＝ln 2，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则55＝1052，2＝1025，∴ 55< 2.又2＝68，33＝69，∴ 33> 2.故c ＜a ＜b. 二、解答题10. 已知a ＝27，b ＝52，求a 32b 2－9b 43a 32b －2－6a 34b －13＋9b 43·b3a 34＋3b 53的值．解：由于a 32b －2－6a 34b －13＋9b 43＝(a 34b －1－3b 23)2，且a 34<a<b<3b 53，∴ a 34b －1<3b 23，∴ 原式＝a 32－9b 103（3b 23－a 34b －1）2·ba 34＋3b 53＝（a 34＋3b 53）（a 34－3b 53）b （3b 23－a 34b －1）（a 34＋3b 53）＝（a 34－3b 53）b 3b 23－a 34b－1＝－b 2＝－50.11. 已知a ＞1，且a ＋a －1＝3，求下列各式的值．(1) a 12－a －12；(2) a －a －1；(3) （a 12－a －12）（a 2＋a －2－4）a 4－a －4. 解：(1) (a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝1.∵ a ＞1，∴ a 12－a －12＝1.(2) 由a ＋a －1＝3，得a 2＋a －2＋2＝9，即a 2＋a －2＝7，∴ (a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝5.∵ a ＞1，∴ a －a －1＝ 5.(3) （a 12－a －12）（a 2＋a －2－4）a 4－a－4＝（a 12－a －12）（a 2＋a －2－4）（a －a －1）（a ＋a －1）（a 2＋a －2）＝1×（7－4）5×3×7＝535. 12. 设x>1，y>1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．解：因为x>1，y>1，因此log x y>0.令t ＝log x y ，则log y x ＝1t .因此原式可化为2t －2t＋3＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即log x y ＝12，因此y ＝x.因此T ＝x 2－4y 2＝x 2－4x ＝(x－2)2－4，由于x>1，因此当x ＝2，y ＝2时，T 取最小值，最小值为－4.13. 设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ×log b C ＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1log C a ＋1log C b ＝3，1log C a ×1log C b＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ×log C b ＝1.因此(log C a －log C b)2＝(log C a ＋log C b)2－4log C a ×log C b ＝32－4＝5，因此 log C a －log C b＝± 5.又log a b C ＝1log C a b＝1log C a －log C b ＝±55，因此log a b C 的值为±55.点评：本题将对数运算、换底公式、根与系数的关系综合于一起，是对学生数学运算能力、应用能力的综合考查．如何利用对数的运算性质，在已知条件和待求的式子间建立联系是解决本题的关键．第6课时指数函数一、填空题1. 函数f(x)＝2x－4的定义域为__________．答案：[2，＋∞)解析：由2x－4≥0，得x≥2.2. 函数y ＝3－|x －2|的单调递增区间是__________．答案：(－∞，2]解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －2|，t ＝|x －2|的单调减区间(－∞，2]确实是所给函数的单调增区间． 3. 函数y ＝e x－1e x ＋1的值域是________．答案：(－1，1)解析：y ＝e x－1e x ＋1，则e x＝1＋y 1－y>0，则－1<y<1.4. 若指数函数y ＝a x在[－1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝____________．答案：5±12解析：若0＜a ＜1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)；若a ＞1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)．综上，a ＝5±12. 5. 要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不通过第二象限，则实数t 的取值范畴是_________．答案：t≤－3解析：要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不通过第二象限，只要g(0)＝31＋t≤0，即t≤－3.6. 函数y ＝3x 与y ＝－3－x的图象关于__________对称．答案：原点解析：由y ＝－3－x 得－y ＝3－x，(x ，y )→(－x ，－y)，即关于原点对称．7. 若关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，则实数a 的取值范畴是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，5 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 的定义域为R ，由于方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，因此应有3a ＋25－a >1，解得34<a<5.8. 已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a ＞0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a ＝__________．答案：3或13解析：设t ＝a x ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2＝f(t)，对称轴方程为t ＝－1.当0＜a ＜1时，∵ －1≤x≤1，∴ a ≤t≤1a ，现在，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a 2＋2a －1＝14，即1a 2＋2a －15＝0，∴ a ＝13或a ＝－15(舍去)；当a ＞1时，∵ －1≤x≤1，∴ 1a≤t ≤a ，现在，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f(a)＝a2＋2a －1＝14，即a 2＋2a －15＝0，∴ a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.9. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x≥1.则满足f(f(a))＝2f(a)时a 的取值范畴是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：由f(f(a))＝2f(a)可知f(a)≥1，则⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，2a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，3a －1≥1，解得a≥23.二、解答题10. 求函数y ＝4x －2·2x＋5，x ∈[0，2]的最大值和最小值．解：令t ＝2x ，则t∈[1，4]．y ＝t 2－2t ＋5，t∈[1，4]．∵ y＝t 2－2t ＋5在区间t∈[1，4]上是单调递增函数，∴ t ＝1即x ＝0时，y 有最小值4，t ＝4即x ＝2时，y 有最大值13.11. 已知f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x≠0)．(1) 判定f(x)的奇偶性； (2) 求证：f(x)>0.(1) 解：∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1， f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x＋12x －1＝f(x)，∴ f(x)为偶函数．(2) 证明：f(x)＝x 2·2x＋12x －1，当x>0时，2x －1>0，即f(x)>0；当x<0时，2x－1<0，即f(x)>0，∴ f(x)>0.12. 已知9x －10·3x＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2的最大值和最小值．解：由9x －10·3x ＋9≤0得(3x －1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9，∴ 0≤x ≤2. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1，当t ＝12时，y min ＝1，现在，x ＝1；当t ＝1时，y max ＝2，现在，x ＝0.13. 已知函数f(x)＝2x(x∈R )，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．(1) 求g(x)，h(x)的解析式；(2) 若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范畴．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝2x，f （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝2－x，得⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝2x，－g （x ）＋h （x ）＝2－x，解得g(x)＝12(2x －2－x)，h(x)＝12(2x ＋2－x )．(2) 由2a·g(x)＋h(2x)≥0，得a(2x －2－x)＋12(22x ＋2－2x )≥0对任意x∈[1，2]恒成立．令t ＝2x －2－x ，由于t 在x∈[1，2]上单调递增，因此t ＝2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154.因为22x＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2＝t 2＋2，因此a≥－t 2＋22t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t 在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上恒成立．设φ(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154，由φ′(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t 2＝2－t 22t 2<0，知φ(t)在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上为单调减函数，因此[φ(t)]max ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1712，因此a≥－1712.第7课时对数函数一、填空题1. 在下列四个图象中，能够表示函数y ＝a x与y ＝－log a x(a>0，a ≠1)在同一坐标系中的图象的是________．(填序号)答案：①解析：将y ＝－log a x(a>0，a ≠1)第一改为y ＝log 1ax(a>0，a ≠1)，结合函数的定义域第一排除②，当a>1时，0<1a<1，函数y ＝a x单调递增，y ＝log 1ax 单调递减，①中图象正确，③中图象错误，当0<a<1时，1a>1，函数y ＝a x单调递减，y ＝log 1ax 单调递增，④中图象错误．2. 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域是________．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x<－1.3. 函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 解析：由－x 2＋22≤22，得f(x)≤log 222＝32，函数f(x)的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.4. 函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为__________．答案：(0，6]解析：由1－2log 6x ≥0，得log 6x ≤12，即0＜x≤6，故所求的定义域为(0，6]．5. 函数y ＝ln(1－x)的图象大致为________．(填序号)答案：③解析：由1－x>0，知x<1，排除①②；设t ＝1－x(x<1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y＝ln t 为增函数，因此y ＝ln(1－x)为减函数，故选③.6. 已知函数y ＝log 12(x 2－2kx ＋k)的值域为R ，则实数k 的取值范畴是____________．答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：要想满足题意，则t ＝x 2－2kx ＋k 要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点，因此Δ＝4k 2－4k≥0，解得k ≥1或k≤0.7. 已知3是不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)的一个解，则此不等式的解集为____________．答案：{x|x ＞－1}解析：将x ＝3代入不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)，得log a 4＞log a 9，则0<a<1.可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，2x ＋3＞0，1＋x ＜2x ＋3，解得x ＞－1.则不等式的解集为{x|x ＞－1}．8. 设f(x)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则使f(x)＜0的x 的取值范畴是________．答案：(－1，0)解析：∵ f(x)为奇函数，且在x ＝处有意义，∴ f(0)＝0，解得a ＝－1.∴ f(x)＝lg 1＋x 1－x .令f(x)<0，则0<1＋x1－x<1，∴ x ∈(－1，0)．9. 若函数y ＝log 2(x 2－ax －a)在区间(－∞，1－3)上是减函数，则实数a 的取值范畴是________．答案：[2－23，2]解析：令u ＝g(x)＝x 2－ax －a ，∵ 函数y ＝log 2u 在区间(－∞，1－3)上为单调增函数，∴ u ＝g(x)＝x 2－ax －a 在区间(－∞，1－3)上是单调减函数，且满足u>0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1－3，g （1－3）≥0，解得2－23≤a ≤2. 二、解答题10. 已知函数f(x)＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1) 若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2) 若函数f(x)的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3) 若函数f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，求实数a 的取值范畴．解：(1) 由x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，因此a ＝2，即实数a 的值为2.(2) 因为f(x)的定义域为R ，因此y ＝x 2－2ax ＋3＞0在R 上恒成立．由Δ＜0，得－3＜a ＜3，又f(x)的值域为(－∞，－1]，则f(x)max ＝－1，因此y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a)2＋3－a 2，得3－a 2＝2，因此a 2＝1，因此a ＝±1.(3) f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为单调减函数，且y>0，因此⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，a<2，即1≤a<2.因此实数a 的取值范畴是[1，2)．11. 已知f(x)＝log a x(a>0且a≠1)．假如关于任意的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f(x)|≤1成立，试求a 的取值范畴．解：因为f(x)＝log a x ，因此y ＝|f(x)|的图象如图．由图知，要使x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f(x)|≤1，只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a.当a>1时，得a －1≤13≤a ，即a≥3；当0<a<1时，得a －1≥13≥a ，即0<a≤13.综上所述，a 的取值范畴是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)． 12. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝f 2(x)＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．解：∵ f(x)＝2＋log 3x ，∴ y ＝f 2(x)＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵ 函数f(x)的定义域为[1，9]，∴ 要使函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)有意义，必须使⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴ 1≤x ≤3，∴ 0≤log 3x ≤1，∴ 6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴ 当x ＝3时，函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)取最大值13.13. 已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a≠1. (1) 求f(x)的定义域；(2) 判定f(x)的奇偶性并予以证明； (3) 若a>1，求使f(x)>0的x 的解集．解：(1) f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1.故所求函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，因此f(x)>0，即x ＋11－x>1，解得0<x<1.因此使f(x)>0的x 的解集是{x|0<x<1}．第8课时二次函数与幂函数一、填空题1. 函数y ＝x 2＋bx ＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则b 的取值范畴是____________．答案：[0，＋∞)解析：考虑对称轴和区间端点，结合二次函数图象易得－b2≤0，故b≥0.2. 若函数f(x)是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．答案：13解析：依题意设f(x)＝x α(α∈R )，则有4α2α＝3，即2α＝3，得α＝log 23，则f(x)＝xlog 23，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13.3. 已知n∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n ，则n 的值为________．答案：－1或2解析：能够逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．4. 已知函数f(x)＝ax 2＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范畴是________．答案：[0，1]解析：若a ＝0，则f(x)＝x ，满足题意；若a≠0，则a ＞0且－1－3a2a≤1，解得0＜a≤1，因此0≤a≤1.5. 已知a ＝x α，b ＝x α2，c ＝x 1α，x ∈(0，1)，α∈(0，1)，则a ，b ，c 的大小顺序是__________．答案：c<a<b解析：∵ α∈(0，1)，∴ 1α>α>α2.又∵ x∈(0，1)，∴ x 1α<x α<x α2，即c<a<b.6. 若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范畴是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析：因为函数y ＝x 2－3x －4即y ＝(x －32)2－254，其图象的对称轴为直线x ＝32，其最小值为－254，同时当x ＝0及x ＝3时，y ＝－4，若定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则32≤m ≤3. 7. 已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －2(m∈N )为奇函数且在区间(0，＋∞)上是单调减函数，则m ＝________．答案：1解析：由幂函数f(x)＝xm 2－2m －2在区间(0，＋∞)上是单调减函数，得m 2－2m －2<0，又m∈N ，故m ＝0，m ＝1，m ＝2，当m ＝0和2时，f(x)＝x －2为偶函数，当m ＝1时，f(x)＝x －3为奇函数，故m ＝1.8. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式f(x)≤1的解集为____________．答案：{x|－3≤x≤－1或x>0}解析：由f(－4)＝f(0)，得b ＝4.又f(－2)＝0，可得c ＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0. 9. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A ，B 两点．若AC⊥BC，则a ＝________．答案：－12解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由图象过点C(t ，2)可得a(t －x 1)(t －x 2)＝2.又AC⊥BC，利用斜率关系得2t －x 1·2t －x 2＝－1，因此a ＝－12.二、解答题10. 已知函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数． (1)求m 的值；(2)求函数g(x)＝h(x)＋1－2h （x ）在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域．解：(1)∵ 函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数， ∴m 2－5m ＋1＝1，解得m ＝0或5. ∵函数h(x)为奇函数，∴m ＝0.(2)由(1)可知h(x)＝x ，∴ g(x)＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 令1－2x ＝t ，则t∈[0，1]，g(x)＝f(t)＝－12t 2＋t ＋12，可求得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.从而函数g(x)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 11. 已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图象与x 轴总有交点． (1) 求m 的取值范畴；(2) 若函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．解：(1) 当m ＋6＝0，即m ＝－6时，函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点；当m ＋6≠0，即m ≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m≤－59，即当m ≤－59且m≠－6时，函数图象与x 轴有一个或两个交点．综上可知，当m≤－59时，此函数的图象与x 轴总有交点．(2) 设x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵ 1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4，∴ －2（m －1）m ＋1＝－4，解得m ＝－3.当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意，∴ m 的值是－3.12. 已知函数f(x)＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x)≥18，求实数a 的值．解：f(x)＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋16a 2，f(x)max ＝16a 2≤16，得－1≤a≤1，函数f(x)的对称轴是直。

(山东专用)2021新高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用 2.12.3 导数与函数的零点问

第3课时导数与函数的零点问题1．两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f (a )·f (b )<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a )·f (b )<0.2．已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x )中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．考向一判断或证明函数零点个数【例1】 (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数，证明：(1)f ′(x )在区间(－1，π2)存在唯一极大值点； (2)f (x )有且仅有2个零点．【解】 (1)设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x －11＋x， g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x )2. 当x ∈(－1，π2)时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)>0，g ′(π2)<0，可得g ′(x )在(－1，π2)有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )>0；当x ∈(α，π2)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(－1，α)单调递增，在(α，π2)单调递减，故g (x )在(－1，π2)存在唯一极大值点，即f ′(x )在(－1，π2)存在唯一极大值点． (2)f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(ⅰ)当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,0)单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]的唯一零点．(ⅱ)当x ∈(0，π2]时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)单调递增，在(α，π2)单调递减，而f ′(0)＝0，f ′(π2)<0，所以存在β∈(α，π2)，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )>0；当x ∈(β，π2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(0，β)单调递增，在(β，π2)单调递减．又f (0)＝0，f (π2)＝1－ln(1＋π2)>0，所以当x ∈(0，π2]时，f (x )>0.从而，f (x )在(0，π2]没有零点． (ⅲ)当x ∈(π2，π]时，f ′(x )<0，所以f (x )在(π2，π)单调递减．而f (π2)>0，f (π)<0，所以f (x )在(π2，π]有唯一零点． (ⅳ)当x ∈(π，＋∞)时，ln(x ＋1)>1，所以f (x )<0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点．综上，f (x )有且仅有2个零点．方法技巧函数零点个数也就是函数图象与x 轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题.对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：(1)利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”；(2)分离参数，将问题转化为：求直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象交点个数问题，即“求根问题要通变，分离参数放左边”.设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R .讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数．解：由题设，g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．所以x ＝1是φ(x )的极大值点，也是φ(x )的最大值点．所以φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 由φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点； ②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．考向二由函数零点个数求参数【例2】已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1.(1)当a ＝1时，求证：f (x )≤0恒成立；(2)若关于x 的方程f (x )＋x 2＋1＝0至少有两个不相等的实数根，求实数a 的最小值．【解】 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x，令f ′(x )＝0⇒x ＝1，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．故f (x )max ＝f (1)＝0，所以f (x )≤0.(2)f (x )＋x 2＋1＝0至少有两个不相等的实数根，即ln x ＋x 2－ax ＋2＝0，a ＝ln x x ＋x ＋2x至少有两个不相等的实数根，记φ(x )＝ln x x ＋x ＋2x(x >0)，所以φ′(x )＝1－ln x x 2＋1－2x 2＝x 2－ln x －1x 2，记h (x )＝x 2－ln x －1(x >0)，所以h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令h ′(x )＝0⇒x ＝22(x ＝－22舍去)，所以当x ∈(0，22)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， x ∈(22，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )的最小值为h (22)＝(22)2－ln(22)－1 ＝－12＋12ln2＝－12(1－ln2)<0，又h (1)＝0，所以x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0，又当x ＝1e 时，h (1e )＝1e 2－ln 1e －1＝1e 2＋1－1＝1e 2>0，因此必存在唯一的x 0∈(1e ，22)，使得h (x 0)＝0.因此x ∈(0，x 0)时，h (x )>0，φ(x )单调递增，x ∈(x 0,1)时，h (x )<0，φ(x )单调递减，x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0，φ(x )单调递增，画出y ＝φ(x )的大致图象，如图所示．因此当φ(1)≤a ≤φ(x 0)时，直线y ＝a 与y ＝φ(x )的图象至少有两个交点，所以a 的最小值为φ(1)＝3.方法技巧与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若f (0)＝2，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2,1]上的最小值；(2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，又f (0)＝1－a ＝2，得a ＝－1，所以f (x )＝e x －x ＋1，求导得f ′(x )＝e x －1.易知f (x )在[－2,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，所以当x ＝0时，f (x )在[－2,1]上取得最小值2.(2)由(1)知f ′(x )＝e x ＋a ，由于e x >0，①当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上是增函数，当x >1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)>0；当x <0时，取x ＝－1a，则f ⎝⎛⎭⎫－1a <1＋a ⎝⎛⎭⎫－1a －1＝－a <0. 所以函数f (x )存在零点，不满足题意．②当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln(－a )．在(－∞，ln(－a ))上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(ln(－a )，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取最小值．函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )>0，解得－e 2<a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2,0)．考向三零点偏移问题【例3】设函数f (x )＝ax －ln x ＋1x＋b (a ，b ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有两个零点x 1，x 2，求证：x 1＋x 2＋2>2ax 1x 2.【解】 (1)f ′(x )＝a －1x －1x 2＝ax 2－x －1x 2(x >0)，设g (x )＝ax 2－x －1(x >0)，①当a ≤0时，g (x )<0，则f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a >0时，由g (x )＝0得x ＝1＋1＋4a 2a 或x ＝1－1＋4a 2a(舍)，记x ＝1＋1＋4a 2a ＝x 0，则g (x )＝ax 2－x －1＝a (x －x 0)(x －1－1＋4a 2a)(x >0)，易知x －1－1＋4a 2a >0，所以当x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，f ′(x )<0，f (x )在(0，x 0)上单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，f (x )在(x 0，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，f (x )在(0，1＋1＋4a 2a)上单调递减，在(1＋1＋4a 2a ，＋∞)上单调递增． (2)证明：不妨设x 1<x 2，由已知得f (x 1)＝0，f (x 2)＝0，即ax 1＝ln x 1－1x 1－b ，ax 2＝ln x 2－1x 2－b ，两式相减得a (x 2－x 1)＝ln x 2－ln x 1－(1x 2－1x 1)，所以a ＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1＋1x 1x 2. 要证x 1＋x 2＋2>2ax 1x 2，即证x 1＋x 2＋2>2(ln x 2－ln x 1x 2－x 1＋1x 1x 2)x 1x 2，只需证x 1＋x 2>2(ln x 2－ln x 1)x 2－x 1·x 1x 2，只需证x 22－x 21x 1x 2>2ln x 2x 1，即要证x 2x 1－x 1x 2>2ln x 2x 1. 设x 2x 1＝t ，则t >1，只需证t －1t>2ln t ，设h (t )＝t －1t－2ln t (t >1)，只需证h (t )>0.因为h ′(t )＝1＋1t 2－2t ＝t 2－2t ＋1t 2＝(t －1)2t2>0，所以h (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以h (t )>h (1)＝0，即t －1t>2ln t ，所以x 1＋x 2＋2>2ax 1x 2.方法技巧解决该题第(2)小问的关键点有两个：一是消参，通过两式作差消掉参数b ，从而巧妙地把两个零点与参数a 之间的关系建立起来；二是消“变”，即减少变量的个数，巧妙利用两零点之比引入变量t ，从而建立新的函数求解问题，这也体现了对数学建模等核心素养的考查.另外这种问题还有对称构造法、差值换元法等方法.已知函数f (x )＝x ln x －a 2x 2＋(a －1)x ，其导函数f ′(x )的最大值为0. (1)求实数a 的值；(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝－1(x 1≠x 2)，证明：x 1＋x 2>2.解：(1)由题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，其导函数f ′(x )＝ln x －a (x －1)，记h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝1－ax x . 当a ≤0时，h ′(x )＝1－ax x>0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且h (1)＝0，所以任意x ∈(1，＋∞)，h (x )＝f ′(x )>0，故a ≤0不成立．当a >0时，若x ∈(0，1a)，则h ′(x )＝1－ax x>0；若x ∈(1a ，＋∞)，则h ′(x )＝1－ax x<0. 所以h (x )在(0，1a )上单调递增，在(1a，＋∞)上单调递减．所以h (x )max ＝h (1a)＝－ln a ＋a －1＝0. 令g (a )＝－ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1－1a ＝a －1a. 当0<a <1时，g ′(a )<0；当a >1时，g ′(a )>0.所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以g (a )≥g (1)＝0，故a ＝1.(2)证明：当a ＝1时，f (x )＝x ln x －12x 2，则f ′(x )＝1＋ln x －x .由(1)知f ′(x )＝1＋ln x －x ≤0恒成立，所以f (x )＝x ln x －12x 2在(0，＋∞)上单调递减，且f (1)＝－12，f (x 1)＋f (x 2)＝－1＝2f (1)．不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<1<x 2，欲证x 1＋x 2>2，只需证x 2>2－x 1.因为f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以只需证f (x 2)<f (2－x 1)，又f (x 1)＋f (x 2)＝－1，所以只需证－1－f (x 1)<f (2－x 1)，即f (2－x 1)＋f (x 1)>－1.令F (x )＝f (x )＋f (2－x )(其中x ∈(0,1))，则F (1)＝－1.所以欲证f(2－x1)＋f(x1)>－1，只需证F(x)>F(1)，x∈(0,1)，F′(x)＝f′(x)－f′(2－x) ＝1＋ln x－x－[1＋ln(2－x)－2＋x]，整理得F′(x)＝ln x－ln(2－x)＋2(1－x)，x∈(0,1)，令m(x)＝F′(x)，则m′(x)＝2(1－x)2x(2－x)>0，x∈(0,1)，所以F′(x)＝ln x－ln(2－x)＋2(1－x)在区间(0,1)上单调递增，所以任意x∈(0,1)，F′(x)＝ln x－ln(2－x)＋2(1－x)<0，所以函数F(x)＝f(x)＋f(2－x)在区间(0,1)上单调递减，所以F(x)>F(1)，x∈(0,1)，故x1＋x2>2.。

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课时作业14 导数与函数的单调性一、选择题1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( A ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1,1)解析：∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．(2020·济南调研)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( C )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：由题意得，x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，因为a f (b )>f (a )，故选C.3．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( D )解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f ′(x )>0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′(x )<0的解集对应y ＝f (x )的减区间，验证只有D 选项符合．4．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是( A )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－43，0 D.⎝⎛⎭⎫0，43 解析：f ′(x )＝2x (x －m )＋x 2，∵f ′(－1)＝－1，∴－2(－1－m )＋1＝－1，解得m ＝－2，∴f ′(x )＝2x (x ＋2)＋x 2. 令2x (x ＋2)＋x 2>0，解得x <－43或x >0，∴函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞)． 5．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．6．定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )>2，且f (1)＝3，则不等式f (x )>2x ＋1的解集为( C ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)解析：f (x )>2x ＋1的解集即f (x )－2x －1>0的解集．构造函数g (x )＝f (x )－2x －1，则g ′(x )＝f ′(x )－2，因为f ′(x )>2，所以g ′(x )＝f ′(x )－2>0，所以g (x )＝f (x )－2x －1在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－2－1＝0，所以f (x )－2x －1>0的解集为(1，＋∞)，即不等式f (x )>2x ＋1的解集为(1，＋∞)．故选C.7．(2020·山东济南质检)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( C )A ．[1，＋∞)B ．[1,2)C ．[1，32)D ．[32，2)解析：f ′(x )＝4x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x ，令f ′(x )>0，得x >12；令f ′(x )<0，得0<x <12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1<12<k ＋1，得1≤k <32.故选C. 8．(2020·西宁模拟)设函数f ′(x )是定义在(0，π)上的函数f (x )的导函数，且f ′(x )cos x －f (x )sin x >0.若a ＝12f ⎝⎛⎭⎫π3，b ＝0，c ＝－32f ⎝⎛⎭⎫5π6，则a ，b ，c 的大小关系是( A )A ．a 0在(0，π)上恒成立，所以g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x >0在(0，π)上恒成立，所以g (x )在(0，π)上单调递增，所以g ⎝⎛⎭⎫π3<g ⎝⎛⎭⎫π2<g ⎝⎛⎭⎫5π6，即12f ⎝⎛⎭⎫π3<0<－32f ⎝⎛⎭⎫5π6，即a <b <c ，故选A. 9．(2020·包头一模)已知函数f (x )＝2x 3－4x ＋2(e x －e －x )，若f (5a －2)＋f (3a 2)≤0，则实数a 的取值范围是( D )A.⎣⎡⎦⎤－13，2 B ．⎣⎡⎦⎤－1，－23 C.⎣⎡⎦⎤23，1D.⎣⎡⎦⎤－2，13 解析：由函数f (x )＝2x 3－4x ＋2(e x －e －x )，可得f (－x )＝2(－x )3－4(－x )＋2(e －x －e x )＝－[2x 3－4x ＋2(e x －e －x )]＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．f ′(x )＝6x 2－4＋2⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ，因为e x ＋1e x ≥2e x ·1ex ＝2，当且仅当x ＝0时取等号，所以f ′(x )≥0，所以函数f (x )为R 上的增函数．因为f (5a －2)＋f (3a 2)≤0，所以f (3a 2)≤－f (5a －2)＝f (2－5a )，所以3a 2≤2－5a ，即3a 2＋5a －2≤0，解得－2≤a ≤13，故选D.二、填空题10．函数f (x )＝x2－sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，π3. 解析：f ′(x )＝12－cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，令f ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，π3. 11．(2020·广东珠海月考)若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是[1，＋∞)．解析：f ′(x )＝3x 2－2ax －1，由已知得3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立，即a ≥32x －12x 在(0,1)内恒成立，令g (x )＝32x－12x ，又当x ∈(0,1)时，g (x )＝32x －12x的值域为(－∞，1)，∴a ≥1. 12．已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )恒成立，则x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0的解集为(1，＋∞)．解析：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>xf ′(x )⇔xf ′(x )－f (x )<0⇔⎣⎡⎦⎤f (x )x ′<0.令g (x )＝f (x )x ，则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又当x ∈(0，＋∞)时，不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0⇔f ⎝⎛⎭⎫1x 1x >f (x )x，则0<1x<x ，解得x ∈(1，＋∞)．三、解答题13．(2020·湖北宜昌模拟)已知函数f (x )＝(m ＋1m )ln x ＋1x －x ，其中常数m >0.(1)当m ＝2时，求f (x )的极大值； (2)试讨论f (x )在区间(0,1)上的单调性．解：(1)当m ＝2时，f (x )＝52ln x ＋1x －x ，f ′(x )＝52x －1x 2－1＝－(x －2)(2x －1)2x 2(x >0)，当0<x <12或x >2时，f ′(x )<0，当12<x <2时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，12)和(2，＋∞)上单调递减，在(12，2)上单调递增，∴f (x )的极大值为f (2)＝52ln2－32. (2)f ′(x )＝m ＋1m x －1x 2－1＝－(x －m )(x －1m)x 2(x >0，m >0)，故当0<m <1时，f (x )在(0，m )上单调递减，在(m,1)上单调递增；当m ＝1时，f (x )在(0,1)上单调递减；当m >1时，f (x )在(0，1m )上单调递减，在(1m，1)上单调递增． 14．(2020·江西赣州联考)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )的图象在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，所以f ′(1)＝1＝12a ，所以a ＝2.又因为g (1)＝0＝12a ＋b ，所以b ＝－1.所以g (x )＝x －1.(2)因为φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，所以φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，因为x ＋1x ∈[2，＋∞)，所以2m －2≤2，即m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．15．(2020·河南濮阳一模)已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围为( D )A ．(0,1]B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)解析：对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则当x >0时，f ′(x )≥2恒成立，f ′(x )＝ax＋x ≥2在(0，＋∞)上恒成立，则a ≥(2x －x 2)max ＝1.故选D.16．(2020·河南濮阳模拟)已知a ＝ln 33，b ＝e －1，c ＝3ln28，则a ，b ，c 的大小关系为( D )A ．b >c >aB ．a >c >bC ．a >b >cD ．b >a >c解析：依题意，得a ＝ln 33＝ln33，b ＝e －1＝lne e ，c ＝3ln28＝ln88.令f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，易知函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．所以f (x )max ＝f (e)＝1e ＝b ，且f (3)>f (8)，即a >c ，所以b >a >c .故选D.17．(2020·山东潍坊模拟)已知函数f (x )＝(x －a )·e x －12ax 2＋a (a －1)x (a ∈R )，讨论f (x )的单调性．解：f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x －ax ＋a (a －1)＝[x －(a －1)](e x －a )．当a ≤0时，e x －a >0.当x ∈(－∞，a －1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(a －1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a －1，x 2＝ln a . 令g (a )＝a －1－ln a ，则g ′(a )＝1－1a ＝a －1a .当a ∈(0,1)时，g ′(a )<0，g (a )为减函数；当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )>0，g (a )为增函数． ∴g (a )min ＝g (1)＝0.∴a －1≥ln a (当且仅当a ＝1时取“＝”)．∴当0<a <1或a >1时，x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(ln a ，a －1)，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )为增函数．当a ＝1时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(－∞，a －1)上单调递减，在(a －1，＋∞)上单调递增；当0<a <1或a >1时，f (x )在(ln a ，a －1)上单调递减，在(－∞，ln a )和(a －1，＋∞)上单调递增；当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．。