高考数学二轮复习专题十计数原理专题强化训练理

（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题十 计数原理专题强化训练 理(时间：45分钟 满分：60分)一、选择题1．如果将两条异面直线看成一对，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对解析：选B.∵六棱锥的任两条侧棱交于一点，而底面各边也共面， ∴从底面任选一条棱，它与其他4条侧棱异面，由分步乘法计数原理知，共有6×4＝24(对)异面直线．2．2015年各大卫视选秀节目、真人秀节目异常火爆，某传媒公司在推出新的节目前，需对社会公众进行热门节目关注度调查，以最热播的5个节目进行调查，则“我是歌手”不作为第一个调查节目，也不作为最后一个调查节目的种数为( )A ．16B ．32C ．48D ．72解析：选D.在调查时，“我是歌手”的安排顺序有A 13种情况，其余4个热播节目的安排顺序有A 44种，故不同调查顺序的安排总数为A 13A 44＝72(种)．故选D.3．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n展开式中x 2项的系数为( )A ．15B ．－15C ．30D ．－30解析：选A.因为函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|表示数轴上的点到－2和4之间的距离，易知其最小值为4－(－2)＝6，即n ＝6，此时展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝C k6x 6－2k (－1)k ，由6－2k ＝2，得k ＝2，所以T 3＝C 26x 2(－1)2＝15x 2，即x 2项的系数为15，故选A.4．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有( )A ．18种B ．36种C ．48种D ．60种解析：选D.依题意，将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人的分法共有C 13·C 15·C 24·C 22＝90(种)，其中学生甲分到A 宿舍的分法有C 11·C 24·C 22＋C 14·C 12·C 23＝30(种)，因此满足题意的分法共有90－30＝60(种)，故选D.5．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为( )A ．32B ．36C ．42D ．48解析：选A.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，满足2，4都不排在个位和万位的五位数共有A 23A 33＝36(个)，其中2，4都不排在个位和万位且5排在百位的五位数共有A 22A 22＝4，因此满足题意的五位数共有36－4＝32(个)，故选A.6．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3C ．－2D ．－1解析：选D.(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2， ∴x 2的系数为10＋5a ＝5， ∴a ＝－1，故选D.7．若(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( )解析：选D.T 3＝C 25(3y )3(x )2＝10xy ＝10，所以xy ＝1，函数为y ＝1x，又x >0，所以y 关于x 的函数图象为D. 8．为迎接创建全国文明城市检查，团委组织5名学生在学校报告厅进行创建活动演讲，其中3名女生，2名男生，如果2名男生不能连续出场，且女生甲不安排在第一个出场，那么出场顺序的安排种数为( )A ．24B ．36C ．48D ．60解析：选D.依题意，2名男生不能连续出场，且女生甲不安排在第一个．先考虑女生没有限制条件的排列：3个女生全排列后，形成4个空当，从4个空当中选出2个空当排男生，共有A 33A 24＝72(种)出场顺序．再考虑女生有限制条件的排列，若女生甲安排在第一个后，形成3个空当，从3个空当中选出2个空当排男生，共有A 22A 23＝12(种)出场顺序．所以满足条件的出场顺序有72－12＝60(种)．故选D.9．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12解析：选D.化51为52－1，用二项式定理展开． 512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016522 016－C 12 016522 015＋…－C 2 0152 016×52＋C 2 0162 016＋a . 因为52能被13整除，所以只需C 2 0162 016＋a 能被13整除， 即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.10．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有( )A ．240种B ．300种C ．360种D ．420种解析：选D.设四棱锥为P ­ABCD ，下面分两种情况，即C 与A 同色和C 与A 不同色来讨论．(1)C 与A 同色时，各个点的不同的染色方法为P ：C 15，A ：C 14，B ：C 13，C ：1，D ：C 13，所以共有C 15C 14C 13C 13＝180(种)；(2)C 与A 不同色时，各个点的不同的染色方法为P ：C 15，A ：C 14，B ：C 13，C ：C 12，D ：C 12，所以共有C 15C 14C 13C 12C 12＝240(种)．所以不同的染色方法有180＋240＝420(种)，故选D.11．在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为( )A.16 B ．14 C.13 D ．512解析：选D.展开式通项为T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r n x 2n －3r 4，所以展开式的前三项系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n .因为前三项的系数成等差数列，所以C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8，所以展开式共有9项，T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 8x 16－3r 4.当x 的指数为整数时为有理项，所以当r ＝0，4，8时，x 的指数为整数， 即第1，5，9项为有理项，共有3个有理项，所以有理项不相邻的概率P ＝A 66A 37A 99＝512.12．某市环保部门准备对分布在该市的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 八个不同监测点的环境检测设备进行检测维护，要求在一周内的星期一至星期五检测维护完所有的设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中A ，B 两个监测点分别安排在星期一和星期二，C ，D ，E 三个监测点必须安排在同一天，F 监测点不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为( )A ．36B ．40C ．48D ．60解析：选D.依题意，A ，B 分别安排在星期一和星期二，方法只有1种，C ，D ，E 必须安排在同一天，下面按F 监测点不能安排在星期五进行分类讨论．(1)若把F 排在周一或周二，则把(CDE )，G ，H 分别排在剩余的三天中，不同的安排方法有C 12A 33＝12(种)．(2)若把F 排在周三或者周四：①若(CDE )，G ，H 中有一个排在周一或者周二，不同的安排方法有2C 12A 33＝24(种)；②若(CDE )，G 、H 排在周三、四、五，不同的安排方法有C 12A 33＝12(种)；③若(CDE )，G ，H 排在周三、四、五中的2天，不同的安排方法有C 12A 23＝12(种)． 根据分类加法计数原理，知不同的安排方法有12＋24＋12＋12＝60(种)，故选D. 二、填空题13．若(x ＋a )6的展开式中x 3的系数为160，则∫a 1x ad x 的值为________．解析：T 4＝C 36x 3a 3＝160x 3，所以a ＝2，所以∫a 1x a d x ＝∫21x 2d x ＝13x 3|21＝13(23－1)＝73.答案：7314．将6位志愿者分配到甲、乙、丙3个志愿者工作站，每个工作站2人，由于志愿者特长不同，志愿者A 不能去甲工作站，志愿者B 只能去丙工作站，则不同的分配方法共有________种．解析：先安排甲工作站，不同的分配方法有C 24＝6(种)，再按排乙工作站，不同的分配方法有C 23＝3(种)，余下一人去丙工作站，不同的分配方法有1种，所以总的分配方法有6×3×1＝18(种)．答案：1815．设集合S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{a 1，a 2，a 3}是S 的子集，则a 1，a 2，a 3满足a 1<a 2<a 3，a 3－a 2≤6，那么满足条件的集合A 的个数为________．解析：易知在满足a 1<a 2<a 3的集合A 中，仅有{1，2，9}不满足a 3－a 2≤6.故满足条件的集合A 的个数为C 39－1＝83.答案：8316．已知(a 2＋1)n 展开式中各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n展开式的二项式系数最大的项等于54，则a 的值为________．解析：由⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5，得T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·x 20－5r 2.令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，∴r ＝4，∴常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n.由题意得2n＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3， ∴C 24a 4＝54， ∴a ＝± 3. 答案：± 3。