最新人教版高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程》课后训练2

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人教新课标版数学高二选修1-1练习2-1-1椭圆及其标准方程(1)

2.1.1一、选择题2．椭圆2x 2＋3y 2＝12的两焦点之间的距离是( ) A ．210 B.10 C. 2D ．2 2[答案] D[解析] 椭圆方程2x 2＋3y 2＝12可化为：x 26＋y 24＝1，a 2＝6，b 2＝4，c 2＝6－4＝2，∴2c ＝2 2.3．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5D ．－ 5[答案] B[解析] 椭圆方程5x 2＋ky 2＝5可化为：x 2＋y25k＝1，又∵焦点是(0,2)，∴a 2＝5k ，b 2＝1，c 2＝5k －1＝4，∴k ＝1.4．已知方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8 [答案] B[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋9>025－m >0m ＋9>25－m，解得8<m <25.8．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( )A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y225＝1C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对 [答案] A[解析] 设椭圆方程为：Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧925A ＋16B ＝11625A ＋9B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1B ＝125.9．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∵F 1、P 、Q 三点共线，∴|F 1P |＋|PQ |＝|F 1Q |＝2a .即Q 在以F 1为圆心以2a 为半径的圆上．二、填空题11．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1 [解析]由题意可得⎩⎨⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y23＝1.12．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程是________．[答案] x 215＋y 210＝1[解析] 因为焦点坐标为(±5，0)，设方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，将(－3,2)代入方程可得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15，故方程为x 215＋y 210＝1.三、解答题15．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122， ∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2 ＝12×2563×32＝6433.17．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程．[解析] 由9x 2＋5y 2＝45，得y 29＋x25＝1.其焦点F 1(0,2)、F 2(0，－2)．设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1.又∵点M (2，6)在椭圆上，∴6a 2＋4b 2＝1① 又a 2－b 2＝4②解①②得a 2＝12，b 2＝8. 故所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.。

高中数学人教A版选修1-1优化练习2.12.1.1椭圆及其标准方程含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，则M 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．3B ．6C ．8D ．以上都不对解析：由椭圆的定义知|MF 1|＋|MF 2|＝10， ∴|MF 2|＝10－2＝8，故选C. 答案：C2．(2015·高考广东卷)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9 解析：由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4，又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3，又m ＞0，故m ＝3. 答案：B3．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8D ．4解析：∵|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8. 又∵|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝16.故选B. 答案：B4．方程x 2sin 2＋cos 2－y 2cos 2－sin 2＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：∵π2<2<3π4，∴sin 2>0，cos 2<0且|sin 2|>|cos 2|，∴sin 2＋cos 2>0，cos 2－sin 2<0且sin 2－cos 2>sin 2＋cos 2，故表示焦点在y 轴上的椭圆．答案：B5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x轴的距离为( ) A.233B. 263C.33D. 3解析：由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，故mn ＝2b 2，即mn ＝2，∴S △F 1MF 2＝12·mn ＝1，设点M 到x 轴的距离为h ，则12×|F 1F 2|×h ＝1，又|F 1F 2|＝23，故h ＝33，故选C. 答案：C6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________．解析：由c ＝23，a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，∴3b 2＝12，b 2＝4，a 2＝16，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝17．已知椭圆的两焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P 为椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．该椭圆的方程是________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，c ＝2，|F 1F 2|＝4，由于|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－22＝12，故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．解析：如图所示，|F 1F 2|＝22， |AF 1|＋|AF 2|＝6，由|AF 1|＋|AF 2|＝6，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝36. 又在△AF 1F 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|2＝2|AF 1||AF 2|cos 45°， ∴36－2|AF 1||AF 2|－8＝2|AF 1||AF 2|， ∴|AF 1||AF 2|＝282＋2＝14(2－2)．∴S △AF 1F 2＝12|AF 1||AF 2|sin 45°＝12×14(2－2)×22＝7(2－1)．答案：7(2－1)9．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求： (1)椭圆方程； (2)△PF 1F 2的面积．解析：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，得c ＝5. 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1，代入P (3,4)，得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45. ∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20.10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解析：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．[B 组能力提升]1．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <32D ．m <－1或1<m <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>0，2－m >0，|m |－1<2－m ，解得m <－1或1<m <32.故选C.答案：C2．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( ) A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍D ．3倍解析：不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)，由条件知P ⎝⎛⎭⎫3，±32，即|PF 2|＝32，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，则|PF 1|＝732，即|PF 1|＝7|PF 2|，故选A. 答案：A3．已知曲线C ：x 2k －5＋y 23－k ＝－1，则“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．解析：将曲线C 的方程化为：x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则k －3>5－k >0，即4<k <5，故“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C ＝54，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程为________．解析：在△ABC 中，由正弦定理|BC |＝2R sin A ， |AC |＝2R sin B ，|AB |＝2R sin C ，∴|BC |＋|AC ||AB |＝54，又|AB |＝8，∴|BC |＋|AC |＝10＞8，由椭圆的定义2a ＝10，a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝9，又C 与AB 不共线，∴顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．答案：x 225＋y 29＝1(y ≠0)5．△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．解析：由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b ＝4，即|AB |＋|BC |＝4，∴点B 到定点A ，C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，其中a ′＝2，c ′＝1. ∴b ′2＝3. 又a >b >c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)．6．动圆C 与定圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝32内切，与定圆C 2：(x －3)2＋y 2＝8外切，A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，92. (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；(2)若轨迹C 上的两点P ，Q 满足AP →＝5AQ →，求|PQ |的值．解析：(1)如图，设动圆C 的半径为R ，则|CC 1|＝42－R ，① |CC 2|＝22＋R ，②①＋②得，|CC 1|＋|CC 2|＝62>6＝|C 1C 2|，由椭圆的定义知C 点的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为62的椭圆，其轨迹方程为x 218＋y 29＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则AP →＝⎝⎛⎭⎫x 1，y 1－92，AQ →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－92. 由AP →＝5AQ →可得⎝⎛⎭⎫x 1，y 1－92＝5⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－92，所以x 1＝5x 2，y 1＝5y 2－92×5＋92＝5y 2－18，③由P ，Q 是椭圆C 上的两点，得⎩⎨⎧x 2218＋y 229＝1， ④25x 2218＋(5y 2－18)29＝1， ⑤由④、⑤得y 2＝3，将y 2＝3代入③，得y 1＝－3，将y2＝3代入④，得x2＝0，所以x1＝0，所以P(0，－3)，Q(0,3)，|PQ|＝6.。

人教版高中数学【选修 2-1】2.2.1椭圆及其标准方程课后习题

人教版高中数学精品资料2.2.1 椭圆及其标准方程课时演练·促提升A组1.若F1,F2是两个定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析:由椭圆定义知,点M的轨迹是椭圆.答案:A2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:方程可化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆时,应满足>0,即m>n>0.所以是充要条件.答案:C3.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2=4,∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:B4.已知椭圆的焦点坐标为(0,-1),(0,1),且过点,则椭圆方程为()A.=1B.=1C.+y2=1D.+x2=1解析:由已知椭圆焦点在y轴上,设方程为=1(a>b>0).则2a==4,故a=2.又c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:B5.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a>0是常数).∵|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a,∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,2a为半径的圆,故选A.答案:A6.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是.解析:将方程化为=1,依题意,得8>2-m>0,解得-6<m<2.答案:-6<m<27.若椭圆=1的焦距为6,则k的值为.解析:由已知,得2c=6,∴c=3,∴c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.答案:11或298.若椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为.解析:由已知,得2a=8,2c=2,∴a=4,c=,∴b2=a2-c2=16-15=1,故椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=19.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解:(1)依题意知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1.所以a2=4.因此b2=3.从而椭圆方程为=1.(2)因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理,得cos ∠F1PF2==.即∠F1PF2的余弦值等于.10.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内有一定点B(0,6),动圆C过点B且与圆A内切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:设动圆C的半径为r,则|CB|=r.因为圆C与圆A内切,所以|CA|=20-r,所以|CA|+|CB|=20>12,所以点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.因为2a=20,2c=|AB|=12,所以a=10,c=6,b2=64.因为点A,B在y轴上,所以点C的轨迹方程为=1.B组1.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角形PF1F2的面积等于()A.24B.26C.22D.24解析:因为a2=49,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.又因为|F1F2|=2c=2=10,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.答案:A2.设F1,F2是椭圆C:=1的焦点,在曲线C上满足=0的点P的个数为()A.0B.2C.3D.4解析:∵=0,∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为c==2.∵b=2,∴点P为该椭圆y轴的两个端点.答案:B3.F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.解析:∵|OF2|=c,∴由已知得,∴c2=4,c=2.设点P的坐标为(x0,y0),由△POF2为正三角形,∴|x0|=1,|y0|=,代入椭圆方程得=1.∵a2=b2+4,∴b2+3(b2+4)=b2(b2+4),即b4=12,∴b2=2.答案:24.已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.解:如图,M是AQ的垂直平分线与CQ的交点,连接MA,则|MQ|=|MA|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,且|AC|=2,∴动点M的轨迹是椭圆,且其焦点为C,A.易知2a=5,2c=2,∴a=,c=1,∴b2=a2-c2=-1=,故动点M的轨迹方程为=1.5.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若△PF1F2的面积为2,求点P坐标.解:(1)由题意知,2c=4,c=2,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,∴a=4.∴b2=a2-c2=16-4=12.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的方程为=1.(2)设点P坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2||y0|=2,∴|y0|=,y0=±.代入椭圆方程=1,得x0=±2,∴点P坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).6.已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆上的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4且F1(-,0),F2(,0).①在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0.又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<.所以点P横坐标的范围是。

人教新课标版数学高二数学选修1-1练习2-1-1椭圆及其标准方程

技能演练1.已知两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝8，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段答案 D2．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( )A ．(5,0)，(－5,0)B ．(0,5)，(0，－5)C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0) 答案 C3．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定答案 B4．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0,1) 解析将方程化为标准方程为x 22＋y 22k ＝1，∴k >0.又因为焦点在y 轴上，∴2k >2，即k <1，故0<k <1. 答案 D5．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 1|等于( )A. 3B.32C.72D ．4解析由PF 2⊥x 轴，得|PF 2|＝12，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝72.答案 C6．与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2,1)的椭圆的方程为________．解析椭圆x 2＋4y 2＝4的标准方程为x24＋y 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝4－1＝ 3.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1.(a 2＞3)，把点A (2,1)代入4a 2＋1a 2－3＝1，解得a 2＝6，或a 2＝2(舍去)， ∴所求椭圆方程为x 26＋y 23＝1.答案 x 26＋y 23＝17．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2×3＝6，且|PF 1|＝4， ∴|PF 2|＝2.在△F 1PF 2中，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，|F 1F 2|＝27， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.答案 2 120°8．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，则圆心P 的轨迹方程为________．解析 ∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA |＝10－|PB |，即|PA |＋|PB |＝10(大于|AB |)．∴点P 的轨迹是以A ，B 两点为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝6.∴a ＝5，c ＝3，b 2＝52－32＝16. ∴点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.答案 x 225＋y 216＝19．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A (1，32)在椭圆C 上，∴122＋(32)2b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1,0)．10．已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝ 6|NP→|，求动点P 的轨迹方程．解设动点P (x ，y )，MP→＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，NP →＝(x －1，y )，由MN →·MP →＝6|NP →|，得－3(x －4)＝6(x －1)2＋y 2，平方化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.感悟高考(2010·湖北)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析依题意知，点P在椭圆内部．画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时(|PF1|＋|PF2|)min＝2，当P在椭圆顶点时，取到(|PF1|＋|PF2|)max＝(2－1)＋(2＋1)＝22，故范围为[2,22)．答案[2,22)。

(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-1-1《椭圆及其标准方程》

(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为： y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)． ∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5. ∴b2＝a2－c2＝144. y2 x2 ∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
[点评]
x2 y2 y2 x2 在椭圆的标准方程a2＋b2＝1 和a2＋b2＝1 中，
＝1上的点，
F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
[解析]
y2 x2 在椭圆 5 ＋ 4 ＝1 中，a＝ 5，b＝2，∴c＝
a2－b2＝1，又∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由余弦定理知 |PF1|2 ＋ |PF2|2 － 2|PF1|· |PF2|· cos30° ＝ |F1F2|2＝(2c)2＝4② ①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝16， ∴|PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴S△PF1F2＝2|PF1|· |PF2|· sin30° ＝8－4 3.
式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个
根式．
1．对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点
的问题时，要结合图形看能否运用定义． 2．用待定系数法来求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)的形式．
1 ．平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于定长 ( 大
2．在理解椭圆的定义时，要注意到对“常数”的限定，
即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时点不存在．

人教新课标版数学高二选修1-1练习2-1-1椭圆及其标准方程(2)

1．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P (x ，y )满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a (a >0)，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．椭圆、线段或不存在D ．不存在 [答案] C[解析] 当a >|F 1F 2|＝6时，动点P 的轨迹为椭圆；当a ＝|F 1F 2|＝6时，动点P 的轨迹为线段；当a <|F 1F 2|＝6时，动点P 的轨迹不存在．5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m ) D ．(±n －m ，0) [答案] C[解析] 椭圆方程mx 2＋ny 2＋mn ＝0可化为x 2－n ＋y2－m＝1，∵m <n <0，∴－m >－n ，椭圆的焦点在y 轴上，排除B 、D ，又n >m ，∴m －n 无意义，排除A ，故选C.6．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) [答案] D[解析] |AB |＝8，|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.7．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫±152，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，±1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±152，±1 [答案] D[解析] S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|·|y P | ＝12×2×|y P |＝1，∴|y P |＝1，y P ＝±1，代入椭圆方程得，x P ＝±152.10．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )A ．b 2B ．bcC ．abD ．ac[答案] B[解析] S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b . ∴△ABF 面积的最大值为bc .13．(2009·上海文，12)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[答案] 3[解析] 本题考查椭圆的定义及整体代换的数学思想．由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.14．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的____________倍．[答案] 7 [解析] 如图，PF 1的中点M 在y 轴上，O 为F 1F 2的中点， ∴OM ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝32， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43， ∴|PF 1|＝43－32＝723＝7|PF 2|.16．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段PA 中点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y代入x 208＋y 204＝1，得(2x －6)28＋(2y )24＝1，即(x －3)22＋y 2＝1为所求．18．若长度为8的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 在AB 上且AM→＝2MB →，求点M 的轨迹方程． [解析] 设A (x 0,0)、B (0，y 0)、M (x ，y )，∵AM →＝2MB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋2×01＋2，y ＝0＋2y1＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝32y .∵|AB |＝8，∴x 20＋y 20＝8.∴x 20＋y 20＝64.把x 0＝3x ，y 0＝32y 代入x 20＋y 20＝64，得(3x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 22＝64，即964x 2＋9256y 2＝1为点M 的轨迹方程．。

人教版数学高二同步文科选修1-1第二章椭圆的简单几何性质(二)

2．1.2椭圆的简单几何性质(二)[教材研读]预习课本P41例6，思考以下问题1．点与椭圆的位置关系如何判断？2．直线与椭圆的位置关系如何判断？[要点梳理]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．3.弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，曲线方程f (x ，y )＝0，直线与曲线的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与曲线方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是m >1.( )2．椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)的离心率为33.( )3．点A (2,2)在椭圆x 2＋4y 2＝36的内部．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一直线与椭圆的位置关系思考1：如何判断直线与椭圆的位置关系？提示：联立直线与椭圆方程，求解的个数．思考2：如何求椭圆上的点到直线的最小距离？提示：把点到直线的距离转化为过该点的直线与已知直线的两平行直线间的距离．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．[思路导引] 找点较难，所以找与直线l 平行且与椭圆相切的直线．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为 y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．[跟踪训练]已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由{ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.题型二直线与椭圆的相交弦问题思考1：直线与椭圆的中点弦问题如何解决？提示：注意韦达定理的应用．思考2：如何求直线被圆锥曲线截得的弦长？提示：会应用弦长公式．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程．(2)求直线l 被椭圆截得的弦长．[思路导引] 待定系数法，联立方程组，再由韦达定理求参数k ，然后由弦长公式求弦长．[解] (1)由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)，而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8.所以k ＝－12.满足Δ>0.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －8＝0x 2＋4y 2＝36∴x 2－8x ＋14＝0，则x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝14，代入弦长公式 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．[跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为__________________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12，∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)，∴b 2a 2＝12，∵右焦点为F (3,0)，c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] x 218＋y 29＝1题型三椭圆中的最值(范围)问题已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[思路导引] 联立方程组，由解的个数确定m 的取值范围，再由韦达定理得弦长关于m 的函数．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．[跟踪训练]如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． [解] ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°，即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9，∴|AP →|＝3. (1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2，即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)，∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得：9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.课堂归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] ∵直线y －1＝k (x －1)，即直线恒过(1,1)点，又∵19＋14<1，∴点(1,1)在椭圆内，所以选B.[答案] B2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n，∴x 0＝n m ＋n ，代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n .由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A.[答案] A3．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个[解析] ∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<4，又∵m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－5m 236<1，∴点P 在椭圆内．故直线与椭圆有2个交点．[答案] A4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [解析] ∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c <b ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，∴c 2a 2<12，即c a <22.又e >0，∴0<e <22.[答案] C 5．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴右焦点F (3，0)，∴直线l 的方程y ＝x － 3.由⎩⎨⎧ y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85，即弦AB 的长为85.。

2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：2.1.1椭圆及其标准方程 Word版含答案

►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 22.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆；当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的状况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，依据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1． 3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C ) A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排解A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D. 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．。

数学人教B版选修1-1课后导练 2-1-1 椭圆及其标准方程

课后导练基础达标1.椭圆1121322=+y x 上一点到两个焦点的距离和为( ) A.26B.24C.134D.132解析：由a 2=13,得2a =213.答案：D2.下列说法中正确的是( )A.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条线段答案：D3.已知椭圆的方程为22216m y x +=1,焦点在x 轴上，则m 的范围是( ) A.-4≤m ≤4且m ≠0 B.-4＜m ＜4且m ≠0 C.m ＞4或m ＜-4 D.0＜m ＜4解析：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以0<m 2<16，即-4<m <4且m ≠0. 答案：B4.设P 是椭圆121622y x +=1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形解析：由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a =8. 又|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=5,|PF 2|=3. 又|F 1F 2|=2c =21216-=4,∴△PF 1F 2 为直角三角形. 答案：B5.椭圆121622y x +=1的焦距等于2，则m 的值为( ) A.5或3 B.8 C.5 D.16解析：当焦点在x 轴上时，c 2=m -4,即1=m -4, ∴m =5.当焦点在y 轴上时，c 2=4-m ,即1=4-m , ∴m =3答案：A6.椭圆4x 2+9y 2=1的焦点坐标是__________. 解析：因为椭圆的焦点在x 轴上，a 2=41,b 2=91,所以c =659141=-，椭圆的焦点坐标为（±65,0）. 答案：（±65,0） 7.过点(-3，2)且与4922y x +=1有相同焦点的椭圆的方程是__________. 解析：因为c 2=9-4=5,所以设所求椭圆的方程为52222-+a y a x =1.由点（-3,2）在椭圆上知54922-+a a =1,所以a 2=15. 所以所求椭圆的方程为101522y x +=1. 答案：101522y x +=1 8.若方程ky k x -+-3522=-1表示椭圆，则实数k 的取值范围是__________. 解析：由题意k 必须满足⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-k k k k 350305∴3<k <5且k ≠4 答案：3<k <5且k ≠49.过原点的直线与椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，若F (c ,0)是椭圆右焦点，则△F AB 的最大面积是多少？解析：∵S △F AB =S △OAF +S △OBF =21c ·|y A |+21c ·|y B |=21c ·(|y A |+|y B |).而（|y A |+|y B |）max =2b , ∴(S △F AB )max =bc .10.点P 是椭圆4522x y +=1上的一点，F 1、F 2是焦点，且∠F 1PF 2=30°，求△F 1PF 2的面积.解析：在椭圆4522x y +=1中，a =5,b =2,∴c =22b a -a 2-b 2=1. ∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|+|PF 2|=2a =25.|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=20① 由余弦定理知|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos30°=|F 1F 2|2=4②①-②得(2+3)|PF 1||PF 2|=16, ∴|PF 1||PF 2|=16(2-3), ∴21PF F S ∆=21|PF 1||PF 2|·sin30°=8-43.综合运用11.F 1、F 2是椭圆C ：4822y x +=1的焦点，在C 上求满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数？解析：a =22,c =2,e =22, 设P (x 0,y 0),则|PF 1|=22+22x 0,|PF 2|=22-22x 0.∵PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, 即2020)2222()2222(x x -++=16,解得x 0=0. 故在椭圆上存在两点，即短轴的两顶点使PF 1⊥PF 2.12.已知圆C 1：(x +1)2+y 2=1和圆C 2：(x -1)2+y 2=9,求与圆C 1外切而内切于圆C 2的动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：圆C 1的圆心C 1坐标为（-1，0），半径r 1=1, 圆C 2的圆心C 2坐标为（1，0），半径r 2=3.动点P 满足|PC 1|=r +1,|PC 2|=3-r (r 为动圆半径)， ∴|PC 1|+|PC 2|=4∴动点P 的轨迹是以C 1,C 2为焦点，长轴长为4的椭圆.故点P 的轨迹方程为3422y x +=1 13.已知P 为椭圆6410022y x +=1上的点，设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2=3π，求△F 1PF 2的面积.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=20又∠F 1PF 2=3π 由余弦定理知：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=400|)||(|1443πcos ||·||2||||||221212221221PF PF PF PF PF PF F F ∴|PF 1|·|PF 2|=3256∴33643πsin ||·||212121==PF PF S PF ΔF拓展探究14.已知椭圆的焦点是F 1(-1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2=120°，求tan ∠F 1PF 2. 解：(1)由题设2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|,∴2a =4,又2c =2,∴b =3.∴椭圆的方程为.13422=+y x (2)设∠F 1PF 2=θ,则∠PF 2F 1=60°-θ. 由正弦定理得.)60sin(||120sin ||sin ||1221θθ-== PF PF F F 由等比定理得.)60sin(120sin ||||sin ||2121θθ-++=PF PF F F ∴.)60sin(234sin 2θθ-+= 整理得5sin θ=3(1+cos θ).∴,532tan .53cos 1sin ==+θθθ故tan F 1PF 2=tan θ=.11352531532=-⨯。

人教课标版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程(第2课时)》教学设计

2.2.1 椭圆及其标准方程（第二课时）一、教学目标（一）学习目标1.掌握椭圆的定义与标准方程；2.会求椭圆的标准方程. （二）学习重点用待定系数法与定义法求椭圆方程（三）学习难点掌握求椭圆方程的基本方法. 二、教学设计（一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第38页至第40页. （2）想一想：如何求椭圆的标准方程？（3）写一写：椭圆的一般方程： . 2.预习自测（1）已知6,1a c ==，则椭圆的标准方程为（）A.2213635x y +=B.2213635y x +=C.221365x y += D.以上都不对【解题过程】由于条件中只给出,a c 的值，椭圆的焦点位置不确定，有两种可能性，故答案为D.【思路点拨】求椭圆方程时，要先定型后定量. 【答案】D（2）已知椭圆的方程为222116x y m +=，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（）A.44m -≤≤B.44m -<<C.4m >或4m <-D.04m << 【解题过程】由条件可知：216m <可得：44m -<<. 【思路点拨】把握椭圆方程的结构特征解题. 【答案】B（3）若ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（）A.221259x y +=B.221(0)259y x y +=≠C.221(0)169x y y +=≠D.221(0)259x y y +=≠ 【解题过程】由条件可知：||||10||CA CB AB +=>，故点C 的轨迹是以,A B 为焦点，210a =的椭圆.考虑到,,A B C 三点构成三角形，故0y ≠. 【思路点拨】利用椭圆的定义解题. 【答案】D（4）已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12,F F ，且12||8F F =，弦AB 过1F ，则2ABF ∆的周长为（）A.10B.20C.D. 【解题过程】2251641a =+=.由椭圆的定义得：2ABF ∆的周长为：221212||||||(||||)(||||)4AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==. 【思路点拨】利用椭圆定义求解即可. 【答案】D （二）课堂设计 1.知识回顾（1）椭圆的定义；（2）椭圆的标准方程. 2.新知讲解探究如何求椭圆标准方程 ●活动① 双基口答练习①方程194522=+y x 表示到焦点1F （-6,0）和2F __（6,0）_的距离和为常数____的椭圆；②求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）125,(3,0),(3,0)a F F =-,22+12516x y = （2）5,3a c ==2222+1+125161625x y x y ==，③如果方程2214x y m +=表示焦点在x 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是(0,4). ●活动② 归纳提炼方法例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是12(2,0),(2,0)F F -，并且经过点53(,)22P -，求它的标准方程. 【知识点】椭圆的定义和标准方程. 【解题过程】法一：定义法：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x由椭圆的定义知，,102232252322522222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a所以10=a .又因为2c =，所以.6410222=-=-=c a b因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x 法二：待定系数法：由题意，椭圆的两个焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x 由已知，2c =，所以.422=-b a ①又由已知，得123252222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ②联立①②解方程组，得6,1022==b a .因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x【思路点拨】先确定标准方程的形式，用椭圆的定义或待定系数法求解. 求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用椭圆的定义或待定系数法确定a 、b 的值，写出椭圆的标准方程.【答案】.161022=+y x同类训练求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦距为8，经过点(0,P ；（2）与椭圆22194x y +=有相同焦点，且过点(3,2)M -.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】（1）∵焦距是8，即28,4c c =∴=①若焦点在x轴上，则b =，222241640,a b c ∴=+=+=∴椭圆方程为2214024x y +=； ②若焦点在y轴上，则a =，22224168,b a c ∴=-=-=∴椭圆方程为221248y x +=.（2）由题意设所求方程为222215x y a a +=-，∵过点(3,2)M -∴229415a a +=-，解得215a =或23a =（舍） ∴椭圆方程为2211510x y +=.【思路点拨】牢记椭圆的标准方程【答案】（1）2214024x y +=；（2）2211510x y +=.例2.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段'PP ，求线段'PP 的中点M 的轨迹. 【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)2,(y x 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 4)2(22=+y x .即2214x y +=. 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1422=+y x【思路点拨】这种利用未知点表示一个或几个与之相关的已知点，从而求解未知点轨迹方程的方法，即为相关点法，是解析几何中常用的求轨迹的方法.【答案】1422=+y x ●活动③ 强化提升灵活应用例3. 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点,A B ，求该椭圆方程.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】由题意知24=BC ，设椭圆的另一个焦点为D . 以直线DC 为x 轴，线段DC 的中点为原点建立直角坐标系。

人教B版高中数学选修1-1课堂训练椭圆及其标准方程

课堂练习(七) 椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．7C ．5D ．8D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1. 由题意知m －2＞10－m ＞0，即6＜m ＜10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8，满足题意，故选D.]2．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．4 2A [由椭圆的定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．3．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A ．y 225＋x 2＝1B ．x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C ．x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧925A ＋16B ＝1，1625A ＋9B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝125.]4．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D ．以上答案都不对C [直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1.]5．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2B [因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.]6．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．②④ [①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；④点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填②④.]7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．x 29＋y 23＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )．∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.] 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B的值为________． 54 [由题意可知A ，C 恰为椭圆x 225＋y29＝1的两焦点，又点B 在椭圆上，故|BC |＋|AB |＝10.∴sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.]9．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32； (2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，点P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.[解] (1)∵椭圆焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过(2,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. ∵P 到离它较近的一个焦点的距离为2， ∴－c －(－10)＝2， ∴c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1. 10．一动圆过定点A (2,0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程． [解] 将圆的方程化为标准形式为(x ＋2)2＋y 2＝62， ∴圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图：由于动圆M 与已知圆B 相内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即 |BC |－|MC |＝|BM |，而|BC |＝6，|CM |＝|AM |， ∴|BM |＋|AM |＝6.根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2，0)为焦点的椭圆，且2a ＝6. ∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5， ∴所求圆心的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.[能力提升练]1．以圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程为( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．4x 29＋y 2＝1D ．x 2＋4y29＝1B [由已知c ＝1，且焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，得a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]2．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为 ( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 28＋y 24＝1A [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，得a 2＝8，b 2＝6，c a ＝12，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1.]3．已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．64 [∵F 1，F 2为椭圆焦点， ∴|F 1F 2|＝12.∵P 是椭圆上一点， ∴根据椭圆性质， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20 ①∵PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝122②联立①②可求得|PF 1|·|PF 2|＝128. ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝64.]4．如图，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则此椭圆的方程为________．x2 4＋y22＝1 [设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则A(a,0)，B(0，b)，C⎝⎛⎭⎪⎫a2，b2，F(a2－b2，0)，依题意得，a2－b2＝2，所以M⎝⎛⎭⎪⎫2，baa2－2，由于O，C，M三点共线，所以b a2－2a2＝b2a2，则a2－2＝2，所以a2＝4，所以b2＝2，所以所求的椭圆的方程为x24＋y22＝1.] 5．如图，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，|F1F2||DF1|＝22，△DF1F2的面积为22.求椭圆的标准方程．[解]设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.由|F1F2||DF1|＝22，得|DF1|＝|F1F2|22＝22c.从而S△DF1F2＝12|DF1|·|F1F2|＝22c2＝22，故c＝1.从而|DF1|＝22.由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝92，因此|DF2|＝322，所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝22，故a＝2，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.。

人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.2椭圆及其标准方程(二)同步练习题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.2 椭圆及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆中的基本运算在椭圆中，a 2|PF ||PF |21=+，0b a >>，222c b a +=等都存在相互的关系，从方程的角度分析，可得方程（组）去求解，注意，在标准形式下，哪个表示a （或2a ），哪个表示b （或2b ），请用以上知识解决以下1~4题。

1. 已知椭圆的方程是125y ax 222=+（5a >），它的两个焦点分别为1F 、2F ，且8|F F |21=，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为A. 10B. 20C. 412D. 4142. 点P 是椭圆19y 25x 22=+上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于4，则P 点的坐标是A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±3210,1B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±±3210,1C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±1,3210D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,3210 3. “2k >”是方程“1k5y 2k x 22=-+-”表示的曲线是椭圆的 A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 椭圆115y m x 22=+的焦距等于2，则m 的值是 A. 5或3 B. 16或14 C. 5 D. 16题型二：求椭圆的方程求椭圆的方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~9题。

5. 已知椭圆过点P ⎪⎭⎫⎝⎛-4,53和点Q （3,54-），则此椭圆的标准方程是A. 1x 25y 22=+B. 1y 25x 22=+ C. 1y 25x 22=+或125y x 22=+ D. 以上都不对6. 椭圆的两焦点为（-2，0）和（2，0），且椭圆过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,25，则椭圆的方程是A. 14x 8y 22=+ B.16x 10y 22=+ C. 18x 4y 22=+D.16y 10x 22=+ 7. 已知A 、B 两点的坐标分别为（0，-5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为94-，则M 的轨迹方程是A. 19100y 25x 22=+B. ()5x 19100y 25x 22±≠=+C. 125y 4225x 22=+D. ()0x 125y 4225x 22≠=+8. 与椭圆4y 4x 22=+有公共的焦点，且经过点A （2，1）的椭圆的方程为_________。

高中人教B版数学选修1-1练习：2.1.1 椭圆及其标准方程 Word版含解析

2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程课时过关·能力提升1.椭A.(5,0),(-5,0)B.(0,5),(0,-5)C.(0,12),(0,-12)D.(12,0),(-12,0)解析:由题易知焦点在y轴上,a2=169,b2=144,则c.答案:B2.在椭圆的标准方()A.a=100,b=64,c=36B.a=10,b=6,c=8C.a=10,b=8,c=6D.a=100,c=64,b=36答案:C3.已知a=4,b=1,焦点在x轴上的椭圆的标准方程是()A=1 B.xC=1 D.x答案:C4.化简方AC解析:由题意可知,方程表示点(x,y)与两个定点(0,3)和(0,-3)之间的距离之和为10,又两定点之间的距离为6,6<10,它符合椭圆的定义,即2a=10,2c=6,从而可求得b2=16.答案:C5.已知椭y轴上,若焦距为4,则m=()A.4B.5C.7D.8解析:因为焦点在y轴上,所⇒6<m<10.又焦距2c=4,所以m-2-10+m=22⇒m=8.答案:D6.设F1,F2是椭P为椭圆上的一点,则△PF1F2的周长为()A.10B.12C.16D.不确定答案:B7.椭M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于()A.2B.4C.8 D解析:设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,知|MF2|=10-2=8.又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON||=4.答案:B★8.已知椭圆C=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满|PF1|+|PF2|的取值范围为.解析:∵点P(x0,y0)满P在椭圆内且不过原点,∴2c≤|PF1|+|PF2|<2a.又∵a2=2,b2=1,∴a b=1,c2=a2-b2=1,即c=1,∴2≤|PF1|+|PF2|<答案:[29.已知圆A:(x+3)2+y2=1及圆B:(x-3)2+y2=81,动圆P与圆A外切,与圆B内切,求动圆圆心P的轨迹方程.分析:利用椭圆的定义先判断出动圆圆心P的轨迹是椭圆,再求其方程.解:设动圆P的半径为r.由所给圆的方程知,A(-3,0),B(3,0),由题意,可得|PA|=r+1,|PB|=9-r,故|PA|+|PB|=r+1+9-r=10>|AB|=6.由椭圆的定义知动点P的轨迹是椭圆.其中2a=10,2c=6,即a=5,c=3,所以b2=16.故动圆圆心P的轨迹方程.★10.已知椭P,F1,F2为椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.分析:计算三角形的面积有多种公式可供选择,其中与已知条件联系最密切的应|·|PF2|·sin θ,所以应围绕|PF1|·|PF2|进行计算.解:如图,由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a,而在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2=4c2,∴(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|=4c2,即4(a2-c2)=3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2||·|PF2|sin 60.。

高中数学新人教A版选修1-1课堂测试椭圆及其标准方程

课时跟踪检测（六）椭圆及其标准方程层级一学业水平达标1．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝7.2．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．5或3D ．8解析：选C 由题意得c ＝1，a 2＝b 2＋c 2. 当m >4时，m ＝4＋1＝5；当m <4时，4＝m ＋1，∴m ＝3.3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙： P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)， ∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a >|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D 由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.6．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由直线AB 过椭圆的一个焦点F 1，知|AB |＝|F 1A |＋|F 1B |， ∴在△F 2AB 中，|F 2A |＋|F 2B |＋|AB |＝4a ＝20，又|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝8. 答案：87．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16. 所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大， ∴12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝19．求符合下列条件的椭圆的标准方程． (1)过点⎝⎛⎭⎫63，3和⎝⎛⎭⎫223，1； (2)过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．解：(1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过点⎝⎛⎭⎫63，3和⎝⎛⎭⎫223，1， ∴⎩⎨⎧m ·⎝⎛⎭⎫632＋n ·(3)2＝1，m ·⎝⎛⎭⎫2232＋n ·12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19. ∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.(2)由题意得已知椭圆x 29＋y 24＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5. ∴设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2a ′2－5＝1.∵点(－3,2)在所求椭圆上， ∴9a ′2＋4a ′2－5＝1.∴a ′2＝15或a ′2＝3(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1.10．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解：(1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4. 又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.层级二应试能力达标1．下列说法中正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为(5＋4)2＋32＋(5－4)2＋32＝410> |F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选C.2．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1―→·PF 2―→＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．9B ．12C ．10D ．8解析：选A ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64， ①|PF 1|＋|PF 2|＝10. ② ②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18，∴△F 1PF 2的面积为S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝9.3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π4，π2 B.⎝⎛⎦⎤0，π4 C.⎝⎛⎭⎫0，π4 D.⎣⎡⎭⎫π4，π2解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4<α<π2. 4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心：且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________．解析：易知k ≠0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132.答案：1326．已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12. 答案：127．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.法二：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2.由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a ；在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意有b 2a＝3，得b 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.8. 如图在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：如图，连接MA .由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |. 又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.又A (1,0)，C (－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝52，c＝1，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。

人教A版高中数学选修一解析几何同步练习(椭圆及其标准方程2A)

奋斗没有终点任何时候都是一个起点
一、选择题： ADDB
参考答案
二、填空题：
1、 y 2 x2 1； 95
2、 3, 4 ；
3、 64 3 ； 4 、 2 3 。 3
三、解答题：
x2
1、
y2 1；
36 27
x2
2、
9
y2 1。 4
信达
为
.
6． P 点在椭圆 x2 45
7． P 是椭圆 x 2 100
y2 20
1 上， F1、 F2 是两个焦点，若
PF1
2
y
1 上的一点， F1 和 F2 是焦点，若
64
PF2 ，则 P 点的坐标是 F1 PF2 60 ，则 PF1F2 的面积
为
。
8. 如图， F1， F2 分别为椭圆 x 2 a2
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奋斗没有终点任何时候都是一个起点
解析几何同步练习（椭圆及其标准方程 2A）
x2
A.
25
y2 1 9
y2
B.
25
x 2 1 （ y≠ 0） 9
x2
C.
16
y 2 1( y 0) 9
x2
D.
25
y 2 1 （ y≠ 0） 9
3. 已知△ ABC的三边 AB， BC， AC的长依次成等差数列，且 |AB|>|AC| ， B（ -1 ，0） C（ 1， 0）
则顶 A 的轨迹方程为

2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：2.1.1 椭圆及其标准方程 Word版含解析

2.1.1　椭圆及其标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.若动点M 到两个定点F 1,F 2的距离之和为定值m ,则点M 的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.不存在D.以上都可能|MF 1|+|MF 2|=m ,∴当m>|F 1F 2|时,点M 的轨迹为椭圆;当m=|F 1F 2|时,点M 的轨迹是线段F 1F 2;当m<|F 1F 2|时,点M 的轨迹不存在.2.椭圆x 216+y 225=1的焦点坐标是( )A.(±4,0)B.(0,±4)C.(±3,0)D.(0,±3)3.已知椭圆x 225+y 29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O为坐标原点,那么线段ON 的长是( )A.2B.4C.8D .324.若方程x 225-m +y 2m +9=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是( )A.-9<m<25B.8<m<2525 D.m>8,8<m<25.得{m +9>0,25-m >0,m +9>25-m ,解得5.已知椭圆的两个焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0),P 为椭圆上的一点,且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项.该椭圆的方程是( )A .x 212+y 264=1B.x 216+y 212=1C .x 24+y 216=1D.x 24+y 212=16.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线|PF 1|+|PO|P 的=12|MF 1|+12|MF 2|=12(|MF 1|+|MF 2|)=a >|F 1O |,所以点轨迹是椭圆.7.已知椭∠圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|=____________,= .|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=‒12.故∠F 1PF 2=120°.　120°8.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⊥PF 2.△PF 1F 2的面积为9,则b= .若,有{|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|·|PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,解得4c 2+36=4a 2,即a 2-c 2=9,故有b=3.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于6,求椭圆的方程;(2)椭圆的焦点为F 1(0,-5),F 2(0,5),点P (3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则由题意,a=3,c=2,得b 2=5.故椭圆方程为x 29+y 25=1.(2)因为焦点为F 1(0,-5),F 2(0,5),所以可设椭圆方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0).2a =32+(4+5)2+32+(4-5)2=410,所以a=210,c =5,b 2=40‒25=15,故椭圆方程为y 240+x 215=1.10.已知点A (0,3)和圆O 1:x 2+(y +3)2=16,点M 在圆O 1上运动,点P 在半径O1M 上,且|=|PA |,求动点P 的轨迹方程.|PM|=|PA|,|PM|+|PO 1|=4,所以|PO 1|+|PA|=4,又因为|O 1A|=23<4,所以点P 的轨迹是以A ,O 1为焦点的椭圆,所以c =3,a =2,b =1.所以动点P 的轨迹方程为x 2+y 24=1.二、能力提升1.椭圆mx 2+ny 2+mn=0(m<n<0)的焦点坐标是( )A.(0,±m -n )B.(±m -n ,0)n -m )D.(±n -m ,0)是x 2-n +y 2-m =1.∵m<n<0,∴0<-n<-m.∴焦点在y 轴上,且c =-m -(-n )=n -m .2.已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1,F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1·MF 2=0,则点M 到x 轴的距离为( )A .233B.263C.33D.3M (x 0,y 0),由F 1(‒3,0),F 2(3,0),得MF 1=(‒3‒x 0,‒y 0),MF 2=(3‒x 0,‒y 0).由MF 1·MF 2=0,得x 20+y 20=3.y 0=又x 204+y 20=1,解得±33,即点M 到x 轴的距离C .为33.故选3.设F 1,F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△PF 1F 2的面积等于( )B.4C.3D.14.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ·FP 的最大值为( )B.3 C.6 D.8F (-1,0),设点P (x 0,y 0),≤x 0≤2).则y 20=3(1-x 204)(‒2 OP ·FP =x 0(x 0+1)+y 20=x 20+x 0+y 20=x 20+x 0+3(1-x 204)=14(x 0+2)2+2,当x =26.时,OP ·FP 值为5.设P 为椭·|PF 2|的最大圆x 24+y 29=1上的任意一点,F 1,F 2分别为其上、下焦点,则|PF 1|值是 .a=3,|PF 1|+|PF 2|=2a=6,则|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2=9,当且仅当|PF 1|=|PF 2|=3时等号成立.故|PF|·|PF 2|的最大值为9.★6.已知P 是椭圆x 24+y 23=1上的一动点,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,延长F 1P 到点Q ,|PQ |=|PF 2|,则动点Q 的轨迹方程是____________. ,依题意,|PF 1|+|PF 2|=2a (a 是常数,且a>0).又|PQ|=|PF 2|,∴|PF 1|+|PQ|=2a ,即|QF 1|=2a.由题意知a=2,b =3,c =a 2-b 2=4-3=1.∴|QF 1|=4,F1(-1,0).∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心,4为半径的圆,∴动点Q 的轨迹方程是(x+1)2+y 2=16.x+1)2+y 2=167.求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点A (63,3)和B (223,1)的椭圆;(2)过点(-3,2),且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆.设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ).∵椭圆过点A (63,3)和B (223,1), ∴{m ·(63)2+n ·(3)2=1,m ·(223)2+n ·12=1,解得{m =1,n =19.∴所求椭圆的标准方程为x 2+y 29=1.(2)∵在椭,可知a=3,b=2,且焦点在x 轴上,∴c 2=9-4=5.圆x 29+y 24=1中∴设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-5=1.∵点(-3,2)在所求椭圆上,∴9a 2+4a 2-5=1.∴a 2=15或a 2=3(舍去).∴所求椭圆方程为x 215+y 210=1.★8.已知动圆C 与定圆C 1:(x+3)2+y 2=32内切,与定圆C 2:(x-3)2+y 2=8外切,点A 的坐标为(0,92).(1)求动圆的圆心C 的轨迹方程;(2)若轨迹C 上的两点P ,Q 满足AP =5AQ ,求|PQ |的值.如图,设动圆C 的半径为R ,则|CC 1|=42‒R ,①|CC 2|=22+R ,②①+②得,|CC 1|+|CC 2|=62>6=|C 1C 2|.由椭圆的定义知圆心C 的轨迹是以C 1,C 2为焦点,长轴长,为62的椭圆其轨迹方程为x 218+y 29=1.(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则AP =(x 1,y 1-92),AQ =(x 2,y 2-92). 由AP =5AQ ,可得(x 1,y 1-92)=5(x 2,y 2-92).所以x 1=5x 2,y 1=5y 2‒92×5+92=5y 2‒18.③由P ,Q 是椭圆C 上的两点,得 {x 2218+y 229=1,④25x 2218+(5y 2-18)29=1.⑤由④⑤得y 2=3.将y 2=3代入③,得y 1=-3,将y 2=3代入④,得x 2=0,所以x 1=0,所以P (0,-3),Q (0,3),即|PQ|=6.。

高中数学选修1-1课时作业5：2.1.1 椭圆及其标准方程(二)

2.1.1 椭圆及其标准方程(二)一、选择题1.设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝10，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )A.椭圆B.不存在C.圆D.线段2.椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32B.3C.72D.4 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.线段D.直线4.已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.线段D.不存在5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 6.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A.(1，＋∞)B.(1,3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0,3)∪(3，＋∞)二、填空题7.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆和圆C 1内切，和圆C 2外切，则动圆圆心的轨迹方程为________________.8.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆的方程为________________.9.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________. 三、解答题10.已知动圆与定圆C ：x 2＋y 2＋4y －32＝0内切，且过定圆内的一个定点A (0,2)，求动圆圆心P 的轨迹方程.11.如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程.12.在一段笔直的国道同侧有相距120米的A ，C 两处，点A 、C 到国道的距离分别是119米、47米，拟规划建设一个以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的临时仓库，且四周围墙总长为400米，根据公路法及省公路管理条例规定：建筑物离公路距离不得少于20米，若将临时仓库面积建到最大，该规划是否符合规定？[[答案]]精析1.B2.C [不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)，∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14.∴|PF 1|＝12. ∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72.] 3.B [设右焦点为F 2，由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆.]4.A5.D [由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，因为过点F 的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝－1，又b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2①，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2②，由①－②得b 2(x 21－x 22)＋a 2(y 21－y 22)＝0，化简得b 2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋a 2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.2b 2(x 1－x 2)－2a 2(y 1－y 2)＝0，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2，又直线的斜率为k ＝0－(－1)3－1＝12，即b 2a 2＝12，因为b 2＝a 2－c 2＝a 2－9，所以a 2－9a 2＝12，解得a 2＝18，b 2＝9，故椭圆方程为x 218＋y 29＝1.]6.B7.x 264＋y 248＝1 [[解析]] 如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r .由题意得动圆M 内切于圆C 1，∴|MC 1|＝13－r .动圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r .∴|MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，故所求椭圆方程为x 264＋y 248＝1. 8.x 2＋32y 2＝1 [[解析]] 由题意，AF 2⊥x 轴，∴|AF 2|＝b 2，∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴B ⎝⎛⎭⎫－53c ，－13b 2，代入椭圆方程可得⎝⎛⎭⎫－53c 2＋⎝⎛⎭⎫－13b 22b 2＝1，∵1＝b 2＋c 2，∴b 2＝23，c 2＝13， ∴椭圆方程为x 2＋32y 2＝1. 9.②③[[解析]] 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2 (a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确.∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确.设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确. 10.解如图所示.由定圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝36知圆心C (0，－2)，半径r ＝6.设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为|P A |.∵圆P 与圆C 内切，∴|PC |＝r －|P A |，即|P A |＋|PC |＝r ＝6.∴动圆圆心P 到两定点A (0,2)，C (0，－2)的距离之和为6，且6>4.故动圆圆心P 的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，∴b 2＝5.∴所求动圆圆心P 的轨迹方程为x 25＋y 29＝1. 11.解由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5>|AC |＝2.∵A (1,0)，C (－1,0)，∴点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1. 12.解由题意，|AB |＋|CB |＝|DA |＋|DC |＝200＞120，所以平行四边形基地的另两个顶点B ，D 在以A ，C 为焦点的椭圆上，以AC 所在直线为x 轴，AC 中点为原点建立直角坐标系，可得椭圆方程为x 21002＋y 2802＝1(y ≠0)，设公路所在直线l 与x 轴相交于点E ，且CE ＝x 米，则47119＝x 120＋x， ∴x ＝2353，即点E ⎝⎛⎭⎫4153，0， ∴直线l 的方程为：3x －4y －415＝0.当B ，D 分别为椭圆短轴的两个端点时，临时仓库占地面积最大，此时D (0，－80)，点D 到直线l 的距离为d ＝|320－415|5＝19＜20， ∴该规划不符合规定.。

高中数学选修1-1课时作业4：2.1.1 椭圆及其标准方程

第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．1.1椭圆及其标准方程一、基础达标1．设F1，F2是椭圆x225＋y29＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为()A．16 B．18C．20 D．不确定[[答案]] B[[解析]]△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.2．椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A．5 B．6C．7 D．8[[答案]] D[[解析]]由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.3．“1<m<3”是“方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[[答案]] B[[解析]]当方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m－1>0，3－m>0，所以1<m<3；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．4．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形[[答案]] B[[解析]] 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．(2013·新课标Ⅰ，理改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________． [[答案]] x 218＋y 29＝1[[解析]] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1，相减得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，所以x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2b 2＝0.因为x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－1－01－3＝12.所以2a 2＋12×－2b 2＝0，化为a 2＝2b 2，又c ＝3＝a 2－b 2，解得a 2＝18，b 2＝9.所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.6．P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍，则P 点的坐标是________． [[答案]] (259，±8914)[[解析]] c 2＝a 2－b 2＝25－16＝9，∴c ＝3，椭圆的左焦点为(－3,0)、右焦点为(3,0)．设P 点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x 225＋y 216＝1，(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝259，y ＝±8914.7．已知椭圆两焦点为F 1、F 2，a ＝32，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，求△ABF 2的周长．解如图所示，设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，又∵a ＝32.∴△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6. 二、能力提升8．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)[[答案]] D[[解析]] 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0，a >－6，⇔a >3或－6<a <－2.故选D. 9．若α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________． [[答案]] (π4，π2)[[解析]] 方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴1cos α＞1sin α＞0. 又∵α∈(0，π2)，∴sin α＞cos α＞0，∴π4＜α＜π2.10．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍． [[答案]] 7[[解析]] 依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，设P 点的坐标为(x 1，y 1)，由线段PF 1的中点的横坐标为0，知x 1－32＝0，∴x 1＝3.把x1＝3代入椭圆方程x212＋y23＝1，得y1＝±32，即P点的坐标为(3，±32)，∴|PF2|＝|y1|＝32.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝43，∴|PF1|＝43－|PF2|＝43－32＝732，即|PF1|＝7|PF2|.11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A ⊥F2A，求椭圆的标准方程．解设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．∵F1A⊥F2A，∴F1A→·F2A→＝0，而F1A→＝(－4＋c,3)，F2A→＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.12．如图，已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，P点是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．解由已知得a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝4－3＝1，∴|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，∴4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 60°，∴4＝16－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝4，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin 60°＝12×4×32＝ 3.三、探究与创新13．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝22，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|P A|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程．解如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中，BC＝AC2＋AB2＝32 2，∵|P A|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝22＋322＝22，且|P A|＋|PB|>|AB|，∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝2，c＝1，b＝1.＋y2＝1.∴所求曲线E的方程为x22。

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课后训练
一、选择题
1．椭圆3x 2＋4y 2＝12的两个焦点之间的距离为( ) A ．12 B ．4 C ．3 D ．2
2．以圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
的椭圆的标准方程为( )
A ．22
=134x y + B ．22
=143x y + C ．4
9
x 2＋y 2＝1
D ．x 2＋4
9
y 2＝1
3．设P 是椭圆22
=11612
x y +上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
4．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9
a
(a ＞0)，则点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段二、填空题
6．已知椭圆22
=149
x y +的上、下两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为该椭圆上一点，若|PF 1|，|PF 2|为方程x 2＋2mx ＋5＝0的两根，则m ＝__________．
7．若椭圆
22
=115
x y m +的焦距等于2，则m 的值是______． 8．已知F 1，F 2是椭圆C ：22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且
12PF PF ⊥
．若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________．
三、解答题
9．已知椭圆
22
8=18136
x y +上一点M 的纵坐标为2．
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与
22
=1
94
x y
共焦点的椭圆的方程．
10．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
参考答案
1答案：D 解析：将椭圆方程化为标准方程为22
=143
x y +， ∴a 2＝4，b 2＝3，
∴c 2＝a 2－b 2＝1，
∴两个焦点之间的距离为焦距2c ＝2．
2答案：B 解析：由已知c ＝1，且焦点在x 轴上，
设椭圆方程为2222
=11x y a a +-，将点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭代入求得a 2＝4或21=4a (舍去)．故所求椭圆的标准方程为22
=143
x y +． 3答案：B 解析：由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8．
又|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝5，|PF
|＝3．又|F 1F 2|＝2c ＝， ∴△PF 1F 2为直角三角形．
4答案：C 解析：将方程mx 2
＋ny 2
＝1化为22
=111x y m n +，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上，必须满足10,1
0,11m n m n ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪<⎪⎩
⇔m ＞n ＞0．
5答案：D 解析：∵F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∴|F 1F 2
|＝6． ∵|PF 1|＋|PF 2|＝9a a +
≥96==3=a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
当且仅当，即时取“”， ∴|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|．
∴P 点轨迹为椭圆或线段．
6答案：－3 解析：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6．又∵|PF 1|，|PF 2|为方程x 2＋2mx ＋5＝0的两根， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝－2m ．∴m ＝－3．经检验，m ＝－3满足题意．
答案：16或14 解析：当焦点在x 轴上时，m ＞15，a 2＝m ，b 2＝15， ∴c 2＝a 2－b 2＝m －15．
又∵2c ＝2，∴m －15＝1，m ＝16．
当焦点在y 轴上时，0＜m ＜15，b 2＝m ，a 2＝15． ∴c 2＝a 2－b 2＝15－m ．
又c ＝1，∴15－m ＝1，m ＝14．
8答案：3解析：由题意，得
12
222
12
12
1
=9
2
=(2)
=2
PF PF
PF PF c
PF PF a
⎧
⎪
⎪⎪
+
⎨
⎪
+
⎪
⎪⎩
，
，
，
解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3．
9答案：解：把M的纵坐标代入
22
8
=1
8136
x y
+，得
2
84
=1
8136
x
+，即x2＝9．∴x＝±3，
即M的横坐标为3或－3．
答案：解：对于椭圆
22
=1
94
x y
+，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程
为
22
22
=1
5
x y
a a
+
-
，a2＞5．
把M点坐标代入得
22
94
=1
5
a a
+
-
，解得a2＝15．
故所求椭圆的方程为
22
=1
1510
x y
+．
10答案：解：将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，
∴圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图．
由于动圆M与已知圆B内切，设切点为C．
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即
|BC|－|MC|＝|BM|．
而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6．
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6．∴a＝3，c＝2
，b，
∴所求圆心的轨迹方程为
22
=1
95
x y
+．。