北师大版八年级数学上册--第一章 1.2《直角三角形的判定》同步练习(含答案)
1.2 一定是直角三角形吗 北师大版数学八年级上册同步练习(含解析)
1.2 一定是直角三角形吗一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本题共8个小题）1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．B．C．D．2．在三角形中，，，的对边分别为，，，且满足，则这个三角形中互余的一对角是（）A．与B．与C．与D．以上都不正确3．在中，若，，，则（）A．B．C．D．4．在△ABC中，AB﹦12，BC﹦16，AC﹦20，则△ABC的面积是（ ）A．120B．160C．216D．965．三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．A．2个B．3个C．4个D．5个7．如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2mC．△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D．△ABC不是直角三角形8．如图所示，在的正方形网格中，的顶点，，均在格点上，则是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形二、填空题9．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为______．10．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是____．10题图 11题图 14题图11．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_________个直角三角形．12．若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=____时,这个三角形是直角三角形.13．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．14．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH组成的．已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD的面积是________．15．小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是______________．16．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，，.根据你的发现，与之间的关系是_______，_______.三、解答题17．如图：在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．18．在中，D是边上的点，，，，．（1）求证：是直角三角形；（2）求的长．19．如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=20．求：△ABD的面积．20．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.21．星期天，两组同学从学校出发去郊游.分组后，第一组同学以1.8千米/时的速度向正北方向直线前进，第二组同学以2.4千米/时的速度向另一个方向直线前进半小时后，两组同学同时停了下来，此时他们相距1.5千米，试回答下面的问题：（1）第二组同学行走的方向如何?（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后相遇?22．观察下列勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根据你的发现，求出当时，，的值.参考答案1．C【思路点拨】运用勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详细解答】∵,,,∴4,6,8不能组成直角三角形．,故A不符合题意;∵,,,∴6,8,9不能组成直角三角形,故B不符合题意;∵,,,∴5,12,13能组成直角三角形,故C符合题意;∵,,,∴5,11,12不能组成直角三角形,故D不符合题意;故选:C．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理,熟记勾股定理的逆定理是解决本题的关键．2．B【思路点拨】先由勾股定理的逆定理得出∠B=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详细解答】解：∵b2-a2=c2，∴b2=a2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴∠C与∠A互余．故选：B．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，且最长边所对的角是直角．同时考查了直角三角形两锐角互余的性质．3．C【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可求解．【详细解答】解：∵在△ABC中，BC2+AC2=32+42=25，AB2=52=25，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠C=90°．故选：C．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的逆定理．【详细解答】.①，故不是成为直角三角形的必要条件，故=58°，∠C=180°－∠A－【思路点拨】首先依据勾股定理，结合图中每个小方格的边长，求得AC2，AB2，BC2的值；接下来，依据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状.【详细解答】∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25，∴BC2 +AB2= AC2，∴△ABC是直角三角形.故选B.【方法总结】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理. 9．4【思路点拨】根据勾股定理的逆定理，可以判断题目中三角形的形状，然后即可得到这个三角形中最短边上的高的长度，本题得意解决．【详细解答】解：，三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，这个三角形中最短边上的高为4，故答案为：4．【方法总结】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．10．如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可判断．【详细解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【方法总结】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．11．2【详细解答】试题分析：根据小正方形的边长可分别求，，，，，，根据勾股定理的逆定理，由知△ADB是直角三角形，由知△ABC是直角三角形．共2个．考点：勾股定理的逆定理，化简得：，m=2,，或（舍去）．【思路点拨】设这个三角形的三边长分别为，再根据周长可求出边长，然后利用勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式即可【详细解答】由题意，设这个三角形的三边长分别为则解得则这个三角形的三边长分别为又这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为则它的面积是故答案为：．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理的应用等知识点，依据勾股定理的逆定理判定出这个三角形为【详细解答】因为大正方形ABCD中4个直角三角形全等,根据全等三角形的性质可得:BE=AH=DG=CF=3,又因为小正方形的边长是1,所以BF=AE=DH=CG=3+1=4,根据勾股定理可得:AB=AD=CD=BC==5,所以大正方形ABCD的面积是25,故答案为25.15．【详细解答】由题意得：小白兔第一次跳12米，第二次跳5米，第三次跳13米；∵米，而13 ²=169，刚好符合直角三角形中勾股定理的逆定理，且第一次和第二次跳的距离为直角边．故小白兔第一次左拐的角度是90°.16．【解析】【思路点拨】仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得.【详细解答】观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c−b=1；通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得52-42=32,132-122=52,252-242=72，即可得到.【方法总结】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理.17．四边形ABCD的面积是36【思路点拨】根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理逆定理计算出，然后根据四边形ABCD的面积的面积+的面积，列式进行计算即可得解．【详细解答】解：连接，∵AB=3，BC=4，，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC===5．=AB+AC =×3×4+×5×12=36ABCD的面积是36==9【方法总结】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出BC===16=×7×12=42勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．由已知得(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.所以a－5=0，得a=5；b－12=0，得b=12；c－13=0，得c=13.又因为132=52+122，即a2+b2=c2所以△ABC是直角三角形.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，非负数的性质点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.21．（1）正东或正西；（2）小时.【解析】【思路点拨】对于（1），先分别求出两个小组走的路程，再根据勾股定理的逆定理即可作出判断；对于（2），根据“路程和÷速度和=相遇的时间”列式计算即可求解.【详细解答】（1）因为，所以两组同学行走的方向成直角.因此，第二组同学行走的方向为正东或正西.（2）根据题意，得（小时）.即两组同学经过小时后相遇.【方法总结】此题考查勾股定理的逆定理的运用，牢记定理是解题的关键.22．，.【思路点拨】n=3时，a=2×3=6，b=32-1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42-1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2-1，c=n2+1（n≥3，n为正整数），满足勾股数．【详细解答】∵n=3时,a=2×3=6,b=32−1=8,c=32+1=10，n=4时,a=2×4=8,b=42−1=15,c=42+1=17，故答案为，.【方法总结】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，由题意得到规律。
北师大版初中八年级数学上册第一章同步练习题(含答案解析)
第一章测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的（ ）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）A ．30，40，50B ．7，12，13C ．5，9，12D ．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（ ）A ．169B ．119C ．13D ．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ）A ．3 cm 2B ．4 cm 2C ．5 cm 2D ．6 cm 2（第4题）（第7题）（第9题）（第10题）5．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的为（ ）A ．∠A =∠B －∠C B ．∠A ∶∠B ∶∠C =1∶1∶2C ．b 2=a 2－c 2D ．a ∶b ∶c =2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h 的速度从港口A 出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h 的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口1.5 h 后，两轮船相距（ ）A ．30 n mileB ．35 n mileC ．40 n mileD ．45 n mile7．如图，在△ABC 中，AB =A C =13，BC =10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A.1013 B.1513 C.6013D.7513 8．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．（枣庄）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AD 是底边上的高，若AB =5 cm ，BC =6 cm ，则AD =__________．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为________．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，AC=5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________．c－b=0，则△ABC的形状14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2－c2－b2）2＋||为__________________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=________．16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是______．第15题图第16题图第17题图17．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____．18．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为____．三、解答题（19～22题每题9分，其余每题10分，共66分）19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD=BC=12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE..21．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点E在CD上，DE=b，AE=c，延长CB至点F，使BF=b，连接AF，试利用此图说明勾股定理．22．如图，∠AOB=90°，OA=9 cm，OB=3 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？23．如图，在长方形ABCD中，DC=5 cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F，若△ABF的面积为30 cm2，求△ADE的面积．24．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD=8 cm，高AB=6 cm，水深为AE=4 cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG=6 cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．（1）小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．参考答案第一章测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的（B）A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（A）A．30，40，50B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（A）A．169 B．119 C．13 D．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（C）A．3 cm2B．4 cm2C．5 cm2D．6 cm2（第4题）（第7题）（第9题）（第10题）5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（D）A．∠A=∠B－∠C B．∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2C．b2=a2－c2D．a∶b∶c=2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5 h后，两轮船相距（D）A．30 n mile B．35 n mile C．40 n mile D．45 n mile7．如图，在△ABC中，AB=A C=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（C）A.1013B.1513C.6013D.75138．若△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（D）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形9．（枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【解析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．10．（泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（D）A．9 B．6 C．4 D．3【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4，∴4×ab+（a﹣b）2=25，∴（a﹣b）2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，故选：D．二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，则AD=_____11.4 cm_____．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为____400 m____．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，AC=5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于___7 cm_____．14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2－c2－b2）2＋||c－b=0，则△ABC的形状为_________等腰直角三角形_________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=____4____．16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是__130cm____．第15题图第16题图第17题图17．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为__3cm≤h≤4cm__．【解析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16-12=4cm；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短．解答：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16-12=4（cm）；②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线直径为5cm，高为12cm，由勾股定理可得杯里面管长为数学公式=13cm，则露在杯口外的长度最长为16-13=3cm；则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．18．在△ABC 中，若AC =15，BC =13，AB 边上的高CD =12，则△ABC 的周长为__32或42__．【解析】∵AC =15，BC =13，AB 边上的高CD =12，∴AD 2=AC 2－CD 2，即AD =9，BD 2=BC 2－CD 2，即BD =5.如图①，CD 在△ABC 内部时，AB =AD ＋BD =9＋5=14，此时，△ABC 的周长为14＋13＋15=42；如图②，CD 在△ABC 外部时，AB =AD －BD =9－5=4，此时，△ABC 的周长为4＋13＋15=32.综上所述，△ABC 的周长为32或42.三、解答题（19～22题每题9分，其余每题10分，共66分）19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m ，如图，即AD =BC =12 m ，此时建筑物中距地面12.8 m 高的P 处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB 是3.8 m ，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？解：因为CD =AB =3.8 m ，所以PD =PC －CD =9 m.在Rt △ADP 中，AP2=AD2＋PD2，得AP=15 m.所以此消防车的云梯至少应伸长15 m.20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB ，AE 分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB ⊥AE ..解：如图，连接BE .因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2.所以△ABE 是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB ⊥AE..21．如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点E 在CD 上，DE =b ，AE =c ，延长CB 至点F ，使BF =b ，连接AF ，试利用此图说明勾股定理．解：在△ADE 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ＝a ，∠D ＝∠ABF ，DE ＝BF ＝b ，所以△ADE ≌△ABF.所以AE=AF=c ，∠DAE=∠BAF ，S △ADE=S △ABF.所以∠EAF=∠EAB ＋∠BAF=∠EAB ＋∠DAE=∠DAB=90°，S 正方形ABCD=S 四边形AECF.连接EF ，易知S 四边形AECF=S △AEF ＋S △ECF=12[c2＋（a －b ）（a ＋b ）]=12（a2＋c2－b2），S 正方形ABCD=a2，所以12（a2＋c2－b2）=a2. 所以a2＋b2=c2.22．如图，∠AOB =90°，OA =9 cm ，OB =3 cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿BC 方向匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？ 解：根据题意，BC =AC =OA －OC =9－OC .因为∠AOB=90°，所以在Rt △BOC 中，根据勾股定理，得OB2＋OC2=BC2，所以32＋OC2=（9－OC ）2，解得OC=4 cm.所以BC=5 cm.23．如图，在长方形ABCD 中，DC =5 cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设落点为F ，若△ABF 的面积为30 cm 2，求△ADE 的面积．解：由折叠可知AD=AF ，DE=EF.由S △ABF=12BF ·AB=30 cm2， AB=DC=5 cm ，得BF=12 cm.在Rt △ABF 中，由勾股定理，得AF=13 cm ，所以BC=AD=AF=13 cm.设DE=x cm ，则EC=（5－x ）cm ，EF=x cm ，FC=13－12=1（cm ）．在Rt △ECF 中，由勾股定理，得EC2＋FC2=EF2，即（5－x ）2＋12=x2，解得x=135. 所以S △ADE=12AD ·DE=12×13×135=16.9 （cm2）． 24．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，公路PQ 上点A 处有学校，点A 到公路MN 的距离为80m ，现有一拖拉机在公路MN 上以18km/h 的速度沿PN 方向行驶，拖拉机行驶时周围100m 以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？解：设拖拉机开到C 处学校刚好开始受到影响，行驶到D 处时，结束了噪声的影响，则有CA=DA=100m.在Rt △ABC 中，CB2=1002－802=602，∴CB=60m ，∴CD=2CB=120m.∵18km/h=5m/s ，∴该校受影响的时间为120÷5=24（s ）．答：该校受影响的时间为24s.25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD =8 cm ，高AB =6 cm ，水深为AE =4 cm ，在水面线EF 上紧贴内壁G 处有一粒食物，且EG =6 cm ，一只小虫想从水缸外的A 处沿水缸壁爬进水缸内的G 处吃掉食物．（1）小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．解：（1）如图，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′G 与BC 交于点Q ，则AQ ＋QG 为最短路线．（2）因为AE =4 cm ，AA ′=12 cm ，所以A ′E =8 cm.在Rt △A ′EG 中，EG =6 cm ，A ′E =8 cm ，A ′G 2=A ′E 2＋EG 2=102，所以A ′G =10 cm ，所以A Q ＋QG =A ′Q ＋QG =A ′G =10 cm.所以最短路线长为10 cm.。
2019学年八年级数学上册第一章勾股定理1.2一定是直角三角形吗同步练习新版北师大版word版本
2 一定是直角三角形吗知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.在满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的为()A.三个内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为9∶25∶16C.三边长之比为3∶4∶5D.三个内角之比为3∶4∶52.如图,在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形的三条线段是()A.CD,EF,GHB.AB,EF,GHC.AB,CD,GHD.AB,CD,EF3.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为()A.90°B.60°C.45°D.30°4.如图,在由小正方形组成的网格中,若小正方形的边长为1,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对5.在△ABC中,如果AB=12,BC=9,那么当AC2=时,△ABC是直角三角形.6.如图,古埃及人用下面的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后用桩钉如图那样钉成一个三角形,其中一个角便是直角,请说明这种做法的根据.7.已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD,如图所示.现计划在该空地上种植草皮,经测量得知∠B=90°,AB=400 m,AD=1 300 m,CD=1 200 m,BC=300 m,请计算种植的草皮的面积.创新应用8.学习了勾股定理以后,有位同学提出“在直角三角形中,三边满足a2+b2=c2,或许其他的三角形(锐角三角形或钝角三角形)三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验!(1)画出任意一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1 mm),较短的两条边长分别是a=,b=;较长的一条边长c=.比较:a2+b2c2(填写“>”“<”或“=”).(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1 mm),较短的两条边长分别是a=,b=;较长的一条边长c=.比较:a2+b2c2(填“>”“<”或“=”).(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题,你猜想的结论是.利用勾股定理证明你的结论.答案：能力提升1.D2.B3.C连接AC.∵每个小正方形的边长为1,∴AB2=12+32=10,BC2=12+22=5,AC2=12+22=5.∴AB2=BC2+AC2,且BC=AC.∴△ABC是等腰直角三角形.∴∠ABC=45°.4.A∵正方形小方格的边长为1,∴BC2=42+62=52,AC2=22+32=13,AB2=12+82=65.∵在△ABC中,BC2+AC2=52+13=65,AB2=65,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.5.225或63当AC是斜边时,AC2=AB2+BC2=122+92=225;当AB是斜边时,AC2=AB2-BC2=122-92=63.6.解设相邻两个结点的距离为m,则此三角形三边的长分别为3m,4m,5m,因为(3m)2+(4m)2=(5m)2,所以这个三角形是直角三角形.7.解连接AC.因为∠ABC=90°,所以△ABC是直角三角形.在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC2=AB2+BC2,即AC2=4002+3002,所以AC=500 m.在△ACD中,AC2+CD2=5002+1 2002=1 3002=AD2,所以△ACD是直角三角形.所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×300×400+×500×1 200=360 000(m2).因此种植的草皮的面积为360 000 m2.创新应用8.解 (1)(2)略;(3)若△ABC是锐角三角形,∠C为最大角,则有a2+b2>c2;若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2<c2.证明:①当△ABC是锐角三角形时,如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD为x,则有BD=a-x.根据勾股定理,得b2-x2=AD2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2,也即a2+b2=c2+2ax.∵a>0,x>0,∴2ax>0.∴a2+b2>c2.②当△ABC是钝角三角形时,如图,过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D.设CD为x,则有AD=b+x,BD2=a2-x2.根据勾股定理,得(b+x)2+a2-x2=c2,即a2+b2+2bx=c2.∵b>0,x>0,∴2bx>0.∴a2+b2<c2.。
1.2北师大版数学八年级上册第一章直角三角形
1.2直角三角形考点精析知识点：直角三角形的全等除了有SSS 、SAS 、ASA 、AAS 以外，还有一个特殊的判定定理，“HL ”,值得注意的是，“HL ”只能用于直角三角形。
例：如图所示，在四边形ABCD 中，BC>BA,AD=DC,BD 平分∠ABC.求证：∠BAD +∠C=180°.【解析】如图，过点D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于点E ，过点D 作D F ⊥BC 于点F.因为BD 平分∠ABC ，所以DE=DF.在Rt △EAD 和Rt△FCD 中，AD=CD,DE=DF 所以Rt △EAD ≌Rt △FCD （HL ）.所以∠C=∠EAD.因为∠EAD+∠BAD=180°，所以∠BAD +∠C=180°.【答案】∠BAD +∠C=180°【点拨】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定。
这道题的重点在于过点D 分别作BA,BC 的垂线，构造出两个全等的直角三角形。
角平分线上的点到角两边的距离相等，是解决此题的关键。
典题精练1.下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等2.下列定理中逆定理不存在的是（ ）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知下列命题：①若a ＞b ，则a 2＞b 2；②若a ＞1，则（a ﹣1）0=1；③两个全等的三角形的面积相等；④等角对等边．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图，若要用“HL ”证明Rt △ABC ≌Rt △ABD ，则还需补充条件（ ）A ．∠BAC =∠BADB ．AC =AD 或BC =BD C ．AC =AD 且BC =BD D ．以上都不正确5.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板例题图 第4题图第5题图 第6题图 答例题图的最大边的长为（ ）A ．3cmB ．6cmC ．．6.如图，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8，BE =3，那么AC 长为（ ）A.8B.5C.3D.347.在等腰三角形中，腰长是a ，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是 ．8.如图，在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是（ ）A.1B.2C.3D.49.轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）海里． A. 25 B. 25 C.50 D.2510．在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH =AC ，则∠ABC = ．11．如图所示，H 是△ABC 的高AD ，BE 的交点，且DH =DC ，则下列结论：①BD =AD ；②BC =AC ；③BH =AC ；④CE =CD 中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，已知∠A =∠D =90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB =CD ，BE =CF ．求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE ．第8题图第9题图第12题图第11题图13．如图所示，把矩形ABC D 沿对角线B D 折叠，点C 落在点F 处，若AB ＝12 c m ，BC ＝16 c m ．（1）求A E 的长；（2）求重合部分的面积．14．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上．CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ，求证AB ＝FC ．中考实练 15.（2016·黑龙江哈尔滨）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为 ．16. （2016·江西·）如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB=8，AD=7，E 为AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP ），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是 ．拓展提高17.如图，△ABC 中，AB=BC ，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD=45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求证：BF=2AE ；（2）若CD=，求AD 的长．第13题图第16题图第14题图。
北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】
北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】work Information Technology Company.2020YEAR第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题. ★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.1.1、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是________.1.2、【综合Ⅰ】已知一个等腰三角形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三角形的面积.1.3、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米C．12米D．14米1.4、【综合Ⅰ】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多高？1.5、【综合Ⅱ】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2 m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2 m、1 m、0.8 m的箱子能放进储藏室吗？题型二：用“勾股定理 + 方程”来求边长.2、【综合Ⅱ】一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边的长度比为3∶4，求两直角边的长.2.1【综合Ⅱ】如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC的高度.2.2、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.3【综合Ⅲ】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．2.4【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC＝28，则AB的长是______ ．类型三： “方程 ＋ 等面积” 求直角三角形斜边上的高.3、 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）.（A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）1360二、面积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A 、B 字母所代表的正方形的面积.4.1、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案.4.2、【综合Ⅰ】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.4.3 、【综合题】如右上图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）.（A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）295、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系.7、【提高题】 如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提高题】 如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？并求出四边形ABCD的面积.9.1、【综合Ⅰ】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由.9.2、【综合Ⅰ】如右上图，在正方形ABCD中，4＝DF，图中有几个直角三角AE，1＝＝AB，2形，说明理由.10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是（）（A）9，12，15 （B）15，32，39 （C）16，30，34 （D）9，40，4110.1、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正整数倍呢说说你的理由。
北师大八年级数学上册1.2一定是直角三角形吗同步练习含答案
2 一定是直角三角形吗一、选择题：1、以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A 5cm ，12cm ，13cm B 5cm ，8cm ，11cm C 5cm ，13cm ，11cm D 8cm ，13cm ，11cm2、⊿ABC 中，如果三边满足关系2BC =2AB +2AC ，则⊿ABC 的直角是（ ） A ∠ C B ∠AC ∠BD 不能确定3、由下列线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A a=7，b=25，c=24 B a=2.5，b=2，c=1.5 C a=45，b=1，c= 32 D a=15，b=20，c=254、三角形的三边长a 、b 、c 满足ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形5、小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB =8 cm ，AC =6 cm ，BC =10 cm ，则可知最长边上的高是A.48 cmB.4.8 cmC.0.48 cmD.5 cm6.满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c =3∶4∶5C.∠C =∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C =12∶13∶157.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，128.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是A.42B.52C.7D.52或79.如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1 B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形 二、填空题：10、若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m= ，它是直角三角形。
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《1-2一定是直角三角形吗》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》同步练习题（附答案）一．选择题1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25B．14C．7D．7或252．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，153．下列四组数据，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．5，6，7C．6，8，10D．9，40，414．在△ABC中，∠A，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a2＝（c﹣b）（c+b）B．a＝1，b＝2，c＝3C．∠A＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：55．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为（）A．∠BAC＞∠DAC B．∠BAC＜∠DAC C．∠BAC＝∠DAC D．无法确定6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边长分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝a2+c2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．无法确定7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形二．填空题8．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．9．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．10．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．11．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：．12．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝°．13．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q 两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝s时，△PBQ为直角三角形．三．解答题14．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．试判断△ACD的形状，并说明理由．15．已知三条线段的长分别为a，a+1，a+2．（1）当a＝3时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．（2）若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围．16．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出（1）当a＝19时，求b、c的值；（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．17．如图，已知AC⊥BC，CA＝BD＝CB＝2，．（1）求AB的长；（2）求△ABD的面积．18．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长度．19．如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE＝90°．20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为．21．如图，在△ACD中，AD＝17，AC＝15，DC＝8，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝25．求：△ABD的面积．22．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．参考答案一．选择题1．解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．∴第三边长的平方是25或7，故选：D．2．解：A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选：A．3．解：A、因为32+42＝52，属于勾股数；B、因为52+62≠72，不属于勾股数；C、因为62+82＝102，属于勾股数；D、因为92+402＝412，属于勾股数；故选：B．4．解：A．∵a2＝（c﹣b）（c+b），∴a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；B．∵12+22＝1+4＝5，32＝9，∴12+22≠32，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵∠A＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．5．解：连接CD，BC，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AB2＝22+42＝4+16＝20，BC2＝12+32＝1+9＝10，AC2＝12+32＝1+9＝10，AD2＝12+22＝1+4＝5，CD2＝12+22＝1+4＝5，所以BC＝AC，AD＝CD，AC2+BC2＝AB2，AD2+CD2＝AC2，即△ACB和△ADC都是等腰直角三角形，所以∠BAC＝∠DAC＝45°，故选：C．6．解：∵b2＝a2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°．故选：B．7．解：A、如果a2＝b2﹣c2，即b2＝a2+c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，选项错误，符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．二．填空题8．解：∵62+82＝102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：×6×8＝24．故答案为：24．9．解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．10．解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．11．解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85，故答案为：（13，84，85）．12．解：设小正方形的边长是1，则AO＝CO＝3，所以△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝∠OAC＝45°，∵∠ABC+∠BAC＝∠ACO，∴∠ABC+∠BAC＝45°，故答案为：45．13．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ．∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，∴6﹣2x＝2x，解得x＝；当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴x＝2（6﹣2x），解得x＝．答：或秒时，△BPQ是直角三角形．故答案为或．三．解答题14．解：△ACD是直角三角形．理由是：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝9+16＝25，∴AC＝5，又∵AC2+CD2＝25+144＝169，AD2＝169，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．15．（1）证明：当a＝3时，a+1＝4，a+2＝5，∵32+42＝52，∴这三条线段可以组成一个直角三角形．（2）解：根据三角形的三边关系，得a+a+1＞a+2，解得a＞1．故a的取值范围是a＞1．16．解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1∵a＝19，a2+b2＝c2，∴192+b2＝（b+1）2，∴b＝180，∴c＝181；（2）通过观察知c﹣b＝1，∵（2n+1）2+b2＝c2，∴c2﹣b2＝（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，又c＝b+1，∴2b+1＝（2n+1）2，∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，但2n2+2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．17．解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵AC＝BC＝2，∴AB＝＝＝2，∴AB的长为2；（2）∵AB2+BD2＝（2）2+22＝12，AD2＝（2）2＝12，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ABD＝90°，∴△ABD的面积＝AB•BD＝×2×2＝2，∴△ABD的面积为2．18．（1）证明：连结CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE，∵BE2﹣EA2＝AC2，∴CE2﹣EA2＝AC2，∴EA2+AC2＝CE2，∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；（2）解∵D是BC的中点，BD＝5，∴BC＝2BD＝10，∵∠A＝90°，AC＝6，∴AB＝＝＝8，在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，∵CE＝BE，∴62+AE2＝（8﹣AE）2，解得：AE＝，∴AE的长为．19．（1）解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∵∠D＝90°，CD＝8，DE＝6，∴CE＝＝＝10；（2）证明：∵AC＝5，CE＝10，AE2＝125，∴AE2＝AC2+CE2，∴∠ACE＝90°．20．解：（1）AB＝，BC＝，AC＝，△ABC的周长＝2++5＝3+5，（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，∵△ABC的面积＝，即，解得BP＝2，故答案为：221．解：∵AD＝17，AC＝15，DC＝8，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠C＝90°，∵AB＝25，AC＝15，∴由勾股定理得：BC＝＝20，∴BD＝BC﹣DC＝20﹣8＝12，∴△ABD的面积是＝＝90．22．证明：（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，同理：CD2＝20，∴AD2+CD2＝100，∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，∴AC2＝100，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°；（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC＝10，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∵点F是边AB的中点，∴DF＝．。
八年级数学上册 1.2 一定是直角三角形吗同步练习2(含解析)北师大版(2021年整理)
八年级数学上册1.2 一定是直角三角形吗同步练习2（含解析）（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册1.2 一定是直角三角形吗同步练习2（含解析）（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一定是直角三角形吗一、选择题1.(济南山大附中期末)下列四组线段不能围成直角三角形的是（)A.a=8，b=15,c=17B。
a = 9,b=12，c=15C。
a=5,b=3，c=2D.a : b : c=2 : 3 ： 42。
(广东培正中学期中）一个三角形的三边长 a、b、c 满足()2-+-+-=,则这1216200a b c个三角形最长边上的髙为（）A。
9。
8 B. 4。
8 C. 9. 6 D. 10二、填空题3.将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍、3倍、4倍、…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16,20……则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出三组基本勾股数：____，____，____.4。
把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2”的逆命题写成“如果……，那么……"的形式：____。
5.(杭州十三中期末）某数学兴趣小组在一次数学课外活动中测得一块三角形稻田的三边长分别为14 m， 48 m, 50 m,则这块稻田的面积为_______________。
三、解答题6。
判断以a=10，b=8,c=6为边长组成的三角形是不是直角三角形．解:因为a2 +b2=100+64=164≠c2,即a2+b2≠c2，所以以a、b、c为边长不能组成直角三角形．请问:上述解法对吗？为什么？7.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4—b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2 =a4-b4，①∴c2（a2-b2)= （a2+b2)（a2—b2）．②∴c2 =a2 +b2．③∴△ABC是直角三角形．④（1）上述解题过程是从哪一步开始出错的？写出代号，并注明原因．（2)写出本题的正确结论,并写出推到过程.8.在△ABC中，AC=8，BC=6，DE为△AEB中AB边上的高且DE=12,S△ABE=60，求∠C的度数.9。
北师大版数学八年级上第一章三角函数单元检测题含答案
北师大版数学八年级上第一章三角函数单
元检测题含答案
一、选择题
1. 下面那个角不是锐角？
A. 40°
B. 75°
C. 120°
D. 160°
答案：D
2. 在一个三角形中，如果一个角是直角，则其余两个角的和是多少度？
A. 45°
B. 90°
C. 120°
D. 180°
答案：C
二、填空题
1. 在单位圆上，角θ对应的弧长为$\frac{\pi}{6}$，则$\sinθ$的值是\_\_\_\_\_\_\_。
答案：0.5
2. 若$\cosθ = -0.8$，则角θ的终边位于哪个象限？
答案：第二象限
三、解答题
1. 已知直角三角形的一条直角边的长度为5cm，斜边的长度为13cm，求另一个直角边的长度。
答案：12cm
2. 已知$\sinθ = \frac{3}{5}$，求$\cosθ$和$\tanθ$的值。
答案：$\cosθ = \frac{4}{5}$，$\tanθ = \frac{3}{4}$
四、计算题
1. $\sin30° + \cos45°$的值等于\_\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$
2. $\sin(30° + 45°)$的值等于\_\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
以上是北师大版数学八年级上第一章三角函数单元检测题的内容和答案。
希望对你有帮助！。
北师大版八年级上册1.2一定是直角三角形吗 同步练习(不包含答案)
1.2一定是直角三角形吗一、填空题1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A．B．6、8、10 C．5、12、13 D．2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12 3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．12，15，17 C．9，16，25 D．5，12，134.在△ABC中，AB=1，AC=3，BC=2，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形5．已知△ABC为直角三角形，在下列四组数中，不可能是它的三边长的一组是（）A．9，40，41 B．6，8，10 C．3，3，4 D．7，24，25 6.下面各组数：①3，4，5；②0.3，0.4，0.5；③7，24，25；④9，40，41；⑤13，84，﹣85；⑥15，100，101．其中，能组成一组勾股数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，8.以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，D．2，，49.下列四组数：①3、4、5；②、、；③0.3、0.4、0.5；④、、，其中是勾股数的有（）A．4组B．3组C．2组D．1组10.如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（）A．△APP'是正三角形B．△PCP'是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°11.如图，在直线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为5和11，则n的面积（）A．4, B．6, C．16, D．5512.分别以下列四组数为一个三角形的边长①6，8，10②5，12，13 ③8，15，16④4，5，6，其中能构成直角三角形的有（）A．①④B．②③C．①②D．②④二、填空题13.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点构成直角三角形（请填“能”或“不能”）14.已知三角形的三边分别是9，12，15，这个三角形的面积是．15．有一个三角形的两边长是3和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是．16．已知一个三角形三边长之比为1：2：，则这个三角形是．17．如果一个三角形的三边长之比为9：12：15，且其周长为72 cm，那么它的面积为____18．若三角形的三边满足a：b：c＝5：12：13，则这个三角形中最大的角为度．19.个三角形的边长分别为：①，，；②，，；③，，；④，，．其中，直角三角形的个数是________（填序号）．三、解答题20．已知两条线段的长分别为8和15，当第三条线段的长取整数时，这三条线段能组成一个直角三角形，求第三条线段的长．21．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．22. 如图，已知，，，．（1）试猜想线段与的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若，，求的长．（提示：连接）23．一如图，已知四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，BC＝13，CD＝12，且∠A＝90°，连接BD，试判断△BDC的形状，并说明理由．24.已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求该三角形的腰的长度．25．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法如图，火柴盒的一个侧面（是一个长方形）倒下到的位置连接，，，设，，.（1）试用，有关的代数式表示梯形的面积；（2）试用，，有关的代数式分别表示，，的面积；（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理：.。
八年级数学上册第一章勾股定理1.2一定是直角三角形吗课时训练题北师大版(2021年整理)
2018秋八年级数学上册第一章勾股定理1.2 一定是直角三角形吗课时训练题（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018秋八年级数学上册第一章勾股定理1.2 一定是直角三角形吗课时训练题（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 一定是直角三角形吗基础导练1．已知一个三角形的三边分别为3k ,4k ，5k (k 为自然数）,则这个三角形为 ，理由是 ．2．有一个三角形的两条边长是6和10，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长为 ．3．已知在ABC ∆中,BC ＝6，BC 边上的高为4，若AC ＝5，则AC 边上的高为 ． 4．若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是 三角形． 5．若一个三角形的三边长为m ＋1 ,m ＋2 ，m ＋3，当m 时，此三角形是直角三角形． 6．已知ABC ∆的三边长为BC ＝41,AC ＝40,AB ＝9，则ABC ∆为_________三角形，最大角是∠ ． 7．以ABC ∆的三条边向外作正方形，依次得到的面积为25，144，169， 则这个三角形是________三角形．8．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下列各组，其中不是直角三角形的是 ( ）A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶169 9．下列各组数中，以a ，b ，c 为边长的三角形不是直角三角形的是( )A ．a ＝1。
5，b ＝2，c ＝3B ．a ＝7，b ＝24，c ＝25C ．a ＝6，b ＝8，c ＝10D ．a ＝3，b ＝4，c ＝510．如图，有一块四边形地ABCD ，∠B ＝90°，AB ＝4m,BC ＝3m ，CD ＝12m ，DA ＝13m ，求该四边形地ABCD 的面积?11．如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC ，△ADC 的面积为30cm 2,DC ＝12 cm,AB ＝3 cm ， BC ＝4 cm ，求△ABC 的面积．DCBA能力提升12．如图：为修通铁路需凿通隧道AC ，测得∠A ＝50°,∠B ＝40°，AB ＝5km ，BC ＝4km ，若每天开凿隧道0。
北师版八年级数学上册第1章1.2.2直角三角形全等的判定习题课件
新知基本功
2．【教材P20随堂练习T1改编】下列判定直角三角形全等的 方法，不正确的是( B ) A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．斜边和一锐角对应相等
新知基本功
3 ． 如 图 ， 已 知 AD 是 △ABC 的 边 BC 上 的 高 ， 下 列 能 使 △ABD≌△ACD的条件是( A )
素质一练通 (2)若∠ABC＝35°，则∠CAO＝___2_0_°___.
素质一练通 11．【中考·南充】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
CE⊥AB，AE＝CE.求证： (1)△AEF≌△CEB； 证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠CEB＝90°，∠BCE＋∠CFD＝90°， ∠BCE＋∠B＝90°. ∴∠CFD＝∠B. ∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B.
【答案】D
素质一练通 10．【中考·镇江】如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，
∠C＝∠D＝90°. (1)求证：△ACB≌△BDA；
证明：∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ACB和△BDA是直角三角形． 在Rt△ACB和Rt△BDA中， AB＝BA， BC＝AD， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)．
素质一练通 12．【教材P21习题T2改编】【2021·南充】如图，∠BAC＝
90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC， BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F.求证：AF＝BE.
证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°. ∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠EBA＝∠FAC.
素质一练通
在△ACF和△BAE中， ∠AFC＝∠BEA， ∠FAC＝∠EBA， AC＝BA， ∴△ACF≌△BAE(AAS)，
教育最新K12八年级数学上册 1.2 能得到直角三角形吗同步练习 北师大版
3. 能得到直角三角形吗如图：△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，且满足关系：a2+b2=c2.请作一个三角形A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=a,A′C′=b.(1)△A′B′C′是否全等于△ABC？为什么？答：（2）∠C′是否等于∠C？答：（3）由以上你能判定△ABC是直角三角形吗？请你想一想，三角形三条边长满足什么关系，这个三角形一定是直角三角形？测验评价等级：A B C，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案（1）△A′B′C′≌△ABC理由：在Rt△A′B′C′中，B′C′=a,A′C′=b,∠C′=90°由勾股定理得：(A′B′)2=a2+b2又∵a2+b2=c2,∴(A′B′)2=c2则A′B′=c=AB在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′，∴△ABC≌△A′B′C′（2）由（1）可得∠C′=∠C，又∠C′=90°,所以∠C=90°.(3)由（2）结论可知△ABC是Rt△.由以上可得：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.3.能得到直角三角形吗？班级：________ 姓名：________1.做一做作一个三角形，使三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,哪条边所对的角是直角？为什么？2.设三角形的三边分别等于下列各组数：①7，8，10 ②7，24，25 ③12，35，37 ④13，11，10（1）请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？（2）把你判断是Rt△的哪组数作出它所表示的三角形，并用量角器来进行验证.3.想一想一个零件的形状如图1所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？4.等边三角形ABC内一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.图25.思维拓展若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2)a 3－a 2b +ab 2－ac 2+bc 2－b 3=0测验评价结果：_____________；对自己想说的一句话是：______________________.参考答案1.做一做：5 cm 所对的角是直角，因为在直角三角形中直角所对边最长.2.断一断：(1)②③ ∵72+242=252, 122+352=372(2)略3.想一想：∵42+32=52,52+122=132,即AB 2+BC 2=AC 2，故∠B =90°,同理，∠ACD =90° ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =21×3×4+21×5×12=6+30=36. 4.试一试：解：如图,以AP 为边作等边△APD ，连结BD .则∠1=60°－∠BAP =∠2,在△ADB 和△APC 中,AD =AP .∠1=∠2，AB =AC∴△ADB ≌△ADC (SAS )∴BD =PC =5，又PD =AP =3，BP =4∴BP 2+PD 2=42+32=25=BD 2∴∠BPD =90°∴∠APB =∠APD +∠BPD =150°评注：此解法利用旋转△APC 到△ADB 的位置，成功地把条件PA =3，PB =4，PC =5，集中到△BPD 中，挖出了隐含的“直角三角形”这一条件.5.思维拓展(1)∵a 2+b 2+c 2+100=12a +16b +20c∴(a 2－12a +36)+(b 2－16b +64)+(c 2－20c +100)=0 即(a －6)2+(b －8)2+(c －10)2=0 ∴a －6=0,b －8=0,c －10=0 即a =6,b =8,c =10而62+82=100=102，∴a 2+b 2=c 2∴△ABC 为直角三角形.(2)(a 3－a 2b )+(ab 2－b 3)－(ac 2－bc 2)=0a 2(a －b )+b 2(a －b )－c 2(a －b )=0∴(a －b )(a 2+b 2－c 2)=0∴a －b =0或a 2+b 2－c 2=0∴此三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形.(一)选择题1.小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB =8 cm ，AC =6 cm ，BC =10 cm ，则可知最长边上的高是A.48 cmB.4.8 cmC.0.48 cmD.5 cm答案：B2.满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是 A.b 2=c 2－a 2B.a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A－∠BD.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15答案：D3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，12答案：C4.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是A.42B.52C.7D.52或7答案：D(注意有两种情况(ⅰ)32+42=52，(ⅱ)32+7=42)5.如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B.△ABC是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D.△ABC不是直角三角形答案：A(二)解答题1.已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.解：由已知得(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.所以a－5=0，得a=5；b－12=0，得b=12；c－13=0，得c=13.又因为132=52+122，即a2+b2=c2所以△ABC是直角三角形.2.阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4①∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②∴c2=a2+b2 ③∴△ABC是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.答案：③a2－b2可以为零△ABC为直角三角形或等腰三角形。
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1.2 一定是直角三角形吗？----同步练习
1．若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（）
A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：7
2．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（）A．4 B．8 C．10 D．12
3．若直角三角形两角边的比为5：12，则斜边与较小直角边的比为（）A．13：12 B．169：25 C．13：5 D．12：5
4．在下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（）
A．0.2，0.4，0.5 B．6，8，10 C．4，5，6 D．34
,
55
,
2
5
5．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）
A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米
6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）
7．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______。
8．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长的平方为_______。
9．△ABC中，BC=n2－1，AC=2n，AB=n2+1（n>1），则这个三角形是______。
10．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是________。
11．如果三角形的三边长为1.5，2，2.5，那么这个三角形最短边上的高为______。
12．（解答题）如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD。
1.2 一定是直角三角形吗？----同步练习
参考答案
1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C
7．5 8．2 9.直角三角形10．30cm2 11．4 12．设：BD=x，则由：132-x2=152-（14—x）2，解得x=5，
所以AD2=132-x2=169-25=144=122，所以AD=12。