GPS定位问题数学建模

数学建模GPS 定位问题

摘要

本次建模中要解决根据GPS 卫星位置来确定GPS 信号接收机位置的问题，在本次建立的模型中主要用到的是点定位的数学模型，用码伪距进行点定位。再用Matlab 编程解得地点位置，最后转换成其经度和纬度。

对于问题一，我们采用GPS 定位中单点定位的方法(单点定位利用一点采集的观测数据和广播星历确定点的坐标)。题目中假定了卫星所在的空间位置是准确值因此不考虑广播星历。往往伪距方程解算的基本思路是将非线性观测方程进行Taylor 级数展开至一阶,忽略二阶及以上的高阶项,得到线性观测方程。我们将上

面的每两个非线性观测方程相减消去二阶及以上的高阶项可得到4

2C 个四元一次方程。在此基础上派生出64C 个线性方程组并用2222R i

z i y i x =++ 进行验证选择最符合的坐标，得到四个地点在地心空间直角坐标系的坐标是(-2179,4373,4081) ； (-2174，3,4381，4090);(-2169，4410.1，4123);(-2159，4382.4，4142.3);再转换成经度和纬度就是(40:08:38.58167N ，116:10:14.01669E);

(40:05:39.12131N ，116:23:48.72859E); (40:10:46.58408N ，116:11:20.90291E); (40:29:04.29791N ，116:13:23.03773E)然后再在地图上标出各个点的位置

对于问题二，由于添加了一个点，多出了一个数据，可以同样的继续采用上述方

法，只是每两个非线性观测方程相减消去二阶及以上的高阶项可得到5

2C 个四元

一次方程。在此基础上派生出104C 个线性方程组并用2222R i

z i y i x =++进行验证选择最符合的坐标(2129，4361，4125)转换成经纬度(40°33′05.71354″N ，116°01′10.64958″E)

关键词：点定位 码伪距 钟差 单点定位 MATALAB 编程

一、问题重述

全球定位系统（GPS ）是美国国防部研制的导航定位授时系统，由24颗等间隔分布在6个轨道面上20200公里高度的卫星组成。GPS 用户从接收的GPS 信号可以得到足够的信息进行精密定位和定时。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，本题题目里假定它是准确值。题目中为了简化问题，假定卫星所在的空间位置是准确值。GPS 信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，钟差是未知的。

今给出了4颗卫星在地心空间直角坐标系上的

坐标(地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O 与

地球质心重合，Z 轴指向地球北极，X 轴指向经度原

点E ，Y 轴垂直于XOZ 平面构成右手坐标系),地球的

半径，光速，以及4颗卫星的GPS 信号到达四个

GPS 接收机地点处的时间。

根据4颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标见表A.1，以及4颗卫星的GPS 信号到达四个GPS 接收机地点处的时间见表A.2，求得四个GPS 接收机地点处在地心空间直角坐标系上的坐标。然后将坐标转换成经度与纬度。

对于多于四颗卫星的问题，怎么建立一个更好的模型，才能精确的确定某个地点的位置，并将其转化为经纬度在图中标出。对于多点定位问题，应该考虑周全，误差值，偏差值，并使得每颗卫星都能准确的将其地位。

二、问题分析

在问题一的求解上，已知四颗卫星的地心直角坐标系位置，并且知道每颗卫星GPS 信号到达每个地点的时间，由于卫星在发送时有时延，并且GPS 接收仪在接收的过程中也会有时延，但这题题目中假定了卫星所在的空间位置是准确值，那我们就直接通过码伪距进行点定位，用派生出的线性方程组求解得到4个GPS 接收仪在地心空间直角坐标系上的坐标，并通过google 地球在地图上标明位置所在；

对于第二问，在通常的情况下，地面的GPS 接收机能收到5—8颗卫星的信号，对于多于4颗卫星的情况，应该周全考虑派生出的10

4C 个线性方程组，因此在模型一的基础上，在码伪距的测量上对其时间误差进行考虑，从而得到)(*δ-=i

j T c i k R ，并通过卫星坐标列出四个方程组成方程组，求得新加点的坐标，并在google 地球上表明。特别要注意的是，在地球上，每个点的空间直角坐标x ，y ，z 都必须满足22

2

2

R i z i y i x =++ (R 为地球的半径=6371公里)，

我们将以这个式子来检验方程组解得的数据

三、模型假设

1假设每一颗卫星的发送时延都是一样的

2 假设每一个GPS接收仪的接收时延都是一样的

3 假设每颗卫星到达每个地点的时间值天气状况一样，所得的结果都是准确的

4 忽略GPS信号在传播过程中所收到的干扰

5 忽略大气层和电离层的残差对水平位置定位误差

6 假定单点定位的精度不受广播星历误差和钟信息（包括选择可用性误差）的限制。

四、符号说明

i

j T 第j 颗卫星到第i 个地点的时间 i D 接收机和卫星之间的实际距离

R 地球半径

五、模型分析、建立及求解

5.1用码伪距进行点定位：

码伪距的观测方程可表示为：

)(*δ-=i

j T c i k R i R 为卫星i 与测站k 的码伪距观测值,c 为光速, δ为接收机钟差和卫星钟差之差，几何距离

i D =2)(2)(2)(i

z Zi i y Yi i x Xi -+-+- 并且满足：22

2

2

R i z i y i x =++