现代控制理论 7-2 变分法求泛函极值问题(六页版)

c=
∫1
0
[x(t
)
+
δx]2
dt
−
∫1
0
x
2
(t
)dt
=
∫1 0
2x(t
)δxdt
+
∫1 0
(δx)2
dt
tcy 泛函的变分
δJ
=
1
∫0
2
x(t
)δxdt
前页 返回
泛函变分的求法
e 定定理理1100--11
a设 J [x(t)]：Rn→R 是线性赋范空间 Rn 上的 c连续泛函，若在 x = x0 处J [x(t)]可微，其中x、x0
Δt 的线性 连续函数
关于Δt的 高阶无穷小
tcy 函数的微分 dx = AΔt
函数增量的 线性主部
前页 返回
2
泛函的变分
泛函 J = J[x(t)] x(t)+ δx ⇒ J[x + δx]
ae 泛函的增量 ΔJ[x]＝J[x +δx－] J[x]
cδx → 0 ⇒ r[x,δx]→ 0 ＝L[x,δx]+ r[x,δx]
Δt 的线性 连续函数
关于Δt的 高阶无穷小
tcy 函数 x 在点 t 相应于△t 的微分 dx = 2tΔt
泛函的变分
回忆……
函数 x = x(t) t + Δt ⇒ x(t + Δt)
ae 函数的增量 Δx(t)＝x(t + Δt)－x(t)
cΔt → 0 ⇒ r(Δt) → 0 ＝AΔt + r(Δt)
δ
b
∫a
L [x,
x& ,
t
]dt
=
b
∫a
δL[x,
x& ,
t
]dt
tcy δ dx = d δx dt dt
返回
例2：求泛函的变分
δJ
=
∂ ∂ε
J [x + εδx]|ε =0
e J = L[x(t)]
a 解：
δJ
=
∂ ∂ε
L[x
+ εδx]|ε =0
= dL δx dx
返回
cJ = L[x(t), x&(t),t]
( ) ( ) x t f = x* t f = x f 末端
y ∫ ( ) ∫ ( ) = tf L x* + δx, x&* + δx&,t dt − tf L x*, x& *,t dt 泰勒展开 下页
t0
t0
tc ∫ ( ) ∫ ( ) =
tf
⎡ ⎢L
x*, x& *,t
t0 ⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
t0
x(t ) 不受约束
δx 任意
y 泛函极值
必要 必要条件
tc δJ =0
∂L ∂x
−
d dt
∂L ∂x&
=
0
欧拉方程
⎜⎛ ⎝
y 则称 ||·|| 为 Rn上的向量范数；定义了范数的线性 tc 空间称为线性赋范空间。
前页 返回
泛函的连续性
范数
定义1
由于泛函 J [x(t)] 是定义在线性赋范空间上
e 的，对于线性泛函 J [x(t)]，若
axn − x → 0 (n → ∞), ∀xn, x ∈ Rn
c必有
lim
n→∞
J
[xn
e 对于某一类函数x(·)中的每一个函数x(t)，变量
J 都有一个值与之相对应，那么变量J 称为依赖于
a 函数x(t)的泛函，x(t)称为泛函的宗量。记为：
cJ[x(t)]：Rn → R J = J[x(t)]
标称函数
y 宗量的变分： δx = x(t)− x0(t) ∀x(t), x0(t)∈ Rn tc 泛函的变分： δJ
tcy 返回
δJ [x0,δx] = 0
返回
变分预备定理
e 设g(t) 是[t0, tf]上连续的n 维向量函数，h(t)是 a 任意的n 维连续向量函数，且 h(t0) = h(tf) = 0。若
满足：
c ∫tf gT (t)h(t)dt = 0 t0
tcy 则必有： g(t)≡ 0 [ ] ∀t∈ t0,tf
ae ∫ ∫ δJ =
tf t0
⎛ ∂L ⎞T ⎜⎝ ∂x ⎟⎠
δ xdt
+
⎜⎛ ⎝
∂L ∂x&
⎟⎞T ⎠
δx
|t f
t0
−
tf t0
⎜⎛ ⎝
d dt
∂L ∂x&
⎟⎞T δxdt ⎠
c∫=
tf t0
⎜⎛ ⎝
∂L ∂x
−
d dt
∂L ∂x&
⎟⎞T δxdt ⎠
+
⎜⎛ ⎝
∂L ∂x&
⎟⎞T ⎠
δx
|t f
ε →0
ε
定定理理1100--11 证明：
δJ [x0,δx] =
∂ ∂ε
J [x0
+ εδx]|ε =0
0≤ε ≤1
ae 泛函的变分 δJ[x0,δx]= L[x0,δx]
关于εδx的 高阶无穷小
∂
c∂ε
J [x0
+ εδx]|ε =0
=
lim εL[x0,δx]+ r[x0,εδx]
ε →0
ε
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∊ Rn，则泛函 J [x(t)]的变分为：
tcy δJ[x0,δx]=
∂ ∂ε
J [x0
+ εδx]|ε =0
0≤ε ≤1
定定理理1100--11 证明：
δJ [x0,δx] =
∂ ∂ε
J [x0
+ εδx]|ε =0
0≤ε ≤1
e 泛函的增量 ΔJ[x0]＝J[x0 + δx－] J[x0 ]
a εδx的线性
连续函数
＝L[x0,δx]+ r[x0,δx]
c泛函的变分 δJ[x0,δx]= L[x0,δx]
关于εδx的 高阶无穷小
变分 定义
返回
∂
y ∂ε
J [x0
+ εδx]|ε =0
= lim J [x0 + εδx－] J [x0 ]
ε →0
ε
tc = lim L[x0,εδx]+ r[x0,εδx]
第七章 动态系统的最优控制方法
e §1 最优控制的一般概念 ca§2 最优控制中的变分法
§3 极小值原理及其应用
tcy §4 线性二次型问题的最优控制
本节主要内容：
e 泛函与变分 a 欧拉方程、横截条件 c tcy 应用变分法求解最优控制问题
一、泛函与变分
函数：
自自变变量量是是变变数数！！
t0
c0 t0
tf t
极值轨线 x*(t)
y 给定两端时刻 t0 、 tf 和状态 x(t0) = x0、x(tf) = xf ， tc 求 x(t) ，使 J [x(t)] = min / max。
返回
解：容许轨线x(t)是由极值轨线x*(t)微小变化而成： 返回
x(t )
e x(t0 ) x(t) = x*(t)+δx(t) a x(tf )
δx的线性 连续函数
关于δx的 高阶无穷小
tcy 泛函J [x(t)]的变分
δJ = L[x,δx]
泛函增量的 线性主部
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例如：泛函
J[x(t)] =
∫1 x2 (t)dt 0
eJ
[x(t
)
+
δx]
=
∫1 0
[x(t
)
+
δx]2
dt
a泛函的增量 ΔJ[x(t)]= J[x(t)+δx]− J[x(t)]
(t
)]
=
J
[x(t
)]
tcy 则线性泛函 J [x(t)] 是连续的，称为线性连续泛函。
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泛函的变分
回忆…… Δt tΔt Δt 2
e 函数 x = t2
t + Δt
t x = t 2 tΔt
a 函数的增量 Δx(t)= (t + Δt)2－t2
t Δt
c = 2tΔt + Δt2 Δt → 0 ⇒ Δt2 → 0
y 若J [x(t)]在子集 D 上的每一点都连续，则称 tc 泛函 J [x(t)] 在 D 中连续。
补充……
线性赋范空间
||·||
Rn → R+ = [0, + ∞)
设 ||·|| 是定义在 Rn上的非负实函数，如果满足：
e (1) ||x||≥0 ，且 ||x||=0 ↔ x=0 ，其中x ∈ Rn ； 非负性 a (2) ||k·x|| = ||k||·||x||，其中k ∈ R ； 齐次性 c(3) ||x+y||≤||x||+||y|| ，其中x、y ∈ Rn ； 三角不等式
tf t0
x + εδx 2 dt |ε =0
y ∫ [ ] =
∂ t f t0 ∂ε
x + εδx 2 dt |ε =0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
tc ∫ [ ] ∫ =
tf t0
2
x
+ εδx
δxdt
|ε =0
= t f 2xδxdt t0
3
泛函变分的规则
e 设 L1、L2是函数 x、x&、t 的函数，则 aδ (L1 + L2 ) = δL1 +δL2 c δ (L1L2 ) = L1δL2 + L2δL1