第二章-泛函极值及变分法(补充内容)

第二章 泛函极值及变分法（补充内容）

2.1 变分的基本概念

2.1.1 泛函和变分

泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。

例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：

dx dx dy J B

A

x x ⎰

+=

2)/(1

（2.1.1） 显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。

图2.1.1 两点间任一曲线的长度

例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。

图2.1.2 最速降线问题

选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：

ds

v dt ==

其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：

dt =

设重力加速度为g ，则gy v 2=。

因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：

1

[()]x x J y x =⎰

2

1

1/2

211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭

⎰

（2.1.2）

则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。 回顾函数的微分：

对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：

),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ （2.1.3） 其中A （x ）与∆x 无关，且有∆x →0时ρ（x ,∆x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其

线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆，函数的微分就是函数增量的主部。

函数微分的另外一种定义：

通过引入一小参数ε，对)(x x y ∆+ε关于ε求导数，并令ε→0的途径得到，即：

dy x x y x x x y d x x dy =∆'=∆∆+'=∆+→→)()()

(00

εεεε

ε

（2.1.4）

上式说明)(x x y ∆+ε在ε=0处关于ε的导数就是函数y (x )在x 处的微分。相应地，在泛函J [y (x )]中，变量函数y (x )的增量在其很小时称为变分，用δy (x )或δy 表示，

指y (x )与它相接近的y 1(x )的差，即：)()()(1x y x y x y -=δ。

泛函的变分也有类似的两个定义：

对于函数y (x )的变分δy (x )所引起的泛函的增量为)]([)]()([x y J x y x y J J -+=∆δ，当

0)(→x y δ时泛函增量的线性主部就称为泛函J 在函数y (x )处的变分，记为δJ ，即：

{})](),([)]([)]()([0x y x y L x y J x y x y J J y δδδδ=-+=→ （2.1.5）

其中L [y (x ),δy (x )]是泛函增量的线性主部，而且其对于变分δy (x )是线性的。 另一种定义：

拉格朗日的泛函变分定义为：

泛函变分是)]()([x y x y J εδ+对ε的导数在ε=0时的值，即：

)](),([)]()([0x y x y L x y x y J J δεδε

δε=+∂∂

=

→ （2.1.6）

首先，我们进行泛函：

⎰

'==2

1

))(),(,()]([x x dx x y x y x F x y J J （2.1.7）

的变分。

此泛函的增量可以用Taylor 展式表示为：

()()2

1,()(),()(),(),()x x J F x y x y x y x y x F x y x y x dx '''∆=⎡+∆+∆-⎤⎣

⎦⎰ 2

1

2222222

1()()2()x x F F F F F y y y y y y dx y y y y y y ⎧⎫⎡⎤∂∂∂∂∂⎪⎪

'''=∆+∆+∆+∆∆+∆+⎨⎬⎢⎥'''∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎣⎦⎩⎭

⎰

L （2.1.8）

当0→∆y ，上式积分中的前两项是增量的线性主部，后面的项为高阶无穷小量。 根据变分的定义，该泛函的变分为：

⎰

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛''∂∂+∂∂=

2

1

x x dx y y F

y y F J δδδ （2.1.9） （2.1.9）也称为泛函J 的一阶变分，而（2.1.8）式的后三项为二阶变分，记作δ2J ，即：

⎰

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡''∂∂+''∂∂∂+∂∂=

21

22222

222

)()()(x x dx y y F y y y y F y y F

J δδδδδ （2.1.10） 也可以通过拉格朗日泛函变分的定义，得到：

[]⎰

→→⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡

'+'+∂∂=+∂∂

=

21

0),,()()(x x dx y y y y x F x y x y J J εεεδεδεεδε

δ dx y y F

y y F x x ⎰

''

∂∂+∂∂=

2

1

)(

δδ （2.1.11）

此结果与（2.1.9）是相同的。

类似地，如果泛函的值决定于两个函数，并且这些函数是两个变量的函数，如：

[](,),(,)(,,,,,,,)s x y x y J J u x y v x y F x y u v u u v v ds ==⎰

（2.1.12） 其变分为：

s x y x y x y x y F F F F F F

J u v u u v v ds u

v u u v v δδδδδδδ⎡⎤∂∂∂∂∂∂=+

++++⎢

⎥∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦

⎰

（2.1.13）

依此类推，不难得到多个多元函数的变分。 此处，泛函的变分满足下面的一些运算规律：

（1）[][]{}[][]1212()()()()J y x J y x J y x J y x δδδ+=+

（2.1.14a ）

（2）[][]{}[][][][]121212()()()()()()J y x J y x J y x J y x J y x J y x δδδ⋅=⋅+⋅

（2.1.14b ）

（3）[][][][][][][]{}112122

22()()()()()()()J y x J y x J y x J y x J y x J y x J y x δδδ⎧⎫⋅-⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

（2.1.14c ）