写出使下列泛函取极值的欧拉-拉格朗日方程

第八讲 变分法

1. 写出使下列泛函取极值的欧拉－拉格朗日方程，并求解：

（1

）1

0x x dx ∫； （2

）10x x dx ∫

规定极值曲线均通过平面上的已知点()00,x y 和()11,x y 。

2. 求锥面222x y z +=上的“短程线”（准确说是测地线）

3. 光在折射率为的介质中传播率为n ds c dt n

ν==， 是真空中的速率，于是光由c A 点()00,x y 传播到点B ()11,x y 的时间便是 ()()()()

11110000,,,,1 x y x y x y x y ds

T n c ν

==∫∫ds 而光由A 到 的实际路径应当使T 取极值。试求光在下列介质中传播时的实际轨迹： B （1）；（2）(1n k x =+)2k n x =3

+； （3

）n = 其中均为已知常数，

k 22r x y 2=+。 4. 试写出本征值问题 20

0u u u u n λαβΣ∇+=∂⎡⎤+=⎢⎥∂⎣

⎦ 所对应的泛函极值问题，设0β≠。

5. 用瑞利－里兹方法求出

()()

0,

10,

10y y y y λ′′+=−== 的最低的两个本征值的近似解，取试探函数为

(

)()221211y c x c x x =−+−。