福建省厦门一中2012-2013年高二数学下学期期中试题 文 新人教A版

福建省厦门第一中学2012—2013学年度第二学期期中考试高二年文科数学试卷参考公式：列联表随机变量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=为样本容量用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆi ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑，． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是 （ ）A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．z =2、下列命题中的假命题．．．是（ ）A. ,lg 0x R x ∃∈=B. ,tan 1x R x ∃∈=C. 3,0x R x ∀∈>D.,20x x R ∀∈>3、在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是 （ ）A 、模型1的相关指数R 2为0.60B 、模型2的相关指数R 2为0.90C 、模型3的相关指数R 2为0.98D 、模型4的相关指数R 2为0.25 4、“因对数函数x y a log =是增函数（大前提），而x y 31log =是对数函数（小前提），所以x y 31log =是增函数（结论）。

”上面推理的错误是（ ）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 5、设1z i =+（i 是虚数单位），则复数22z z+在复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、若R ∈k ，则“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”是“3>k ”的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件.7、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是 （ ）A 、假设三内角都不大于60度；B 、假设三内角至多有一个大于60度；C 、假设三内角都大于60度；D 、假设三内角至多有两个大于60度8、已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且12PF F ∆的周长为14，则椭圆C的离心率e为（ ） A ．15 B ．25 C ．45 D9、设'010()c o s ,()()f x x f x f x ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =（ ）A.cos xB. sin x -C. cos x -D. sin x 10、函数21()2l n 2f x x x x =-+的图象大致是（A B C D 11、已知点()0,0O ，()1,2A ,(3,0)B ，以线段AB 为直径作圆C ，则直线:40l x y +-=与圆C 的位置关系是（ ）A ．相切B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心12、已知函数321()413f x x x x =--+，直线:210l x y k ++-=，当[3,3]x ∈-时，直线l恒在函数()f x 图象的下方，则实数k 的取值范围是（ ）A ．34k >-B ．34k <-C ．92k <D ． 92k >二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13、已知具有线性相关的两个变量,x y 满足：①样本点的中心为(1,3)；②回归直线方程为2y x a =+.据此预测：15x =时，y 的值约为___________.14、直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ．15、抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线16322=-y x 的右焦点重合，过点P （2，0）且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为 .16、对于各数互不相等的整数数组123(,,,,)n i i i i (n 是不小于2的正整数) ，,{1,2,3,,}p q n ∈，当p q <时有p q i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（5，2，4，3，1）中的逆序数等于 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 17、（本小题满分12分）已知复数z 满足: 13,z i z =+- （1）求z 并求其在复平面上对应的点的坐标；（2）求22(1)(34)2i i z++的共轭复数18、（本小题满分12分）某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示(1) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程y bx a =+；(2) 据此估计2015年，该城市人口总数。

(参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，222220123430++++=) 19、（本题满分12分）在大学生运动会中，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱.（Ⅱ）根据独立性检验，能否有90%的把握认为性别与喜爱运动有关？20、（本小题满分12分）已知32()f x x ax bx c =+++在1x =处的切线斜率为2，且导函数/()f x 的图像关于直线13x =对称.（1）求,a b 的值；（2）若()f x 的图像与2()g x x =的图像有且仅有三个公共点，求c 的取值范围.21、（本题满分12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其中2F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，2(,)3M m 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且253MF =.（1）求p 的值与椭圆的方程；（2）设点Q 是椭圆上除长轴两端外的任意一点，试问在x 轴上是否存在两定点,A B ，使得直线,QA QB 的斜率之积为定值？若存在，请求出定值以及定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+-> （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（2）若对(0,)x ∀∈+∞，都有21'()x f x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，试求实数a 的取值范围；（3）记()()g x f x x b =+-，当1a =时，函数()g x 在区间1[-e ，]e 上有两个零点，求实数b 的取值范围（e 为自然对数的底数）.福建省厦门第一中学2012—2013学年度班级 座 姓 准考证21（本题满分12分）22(本题满分14分)厦门市2012—2013学年（下）期中考试高二文科数学试卷答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．B 7．C 8．B 9．B 10．A 11. D 12. D 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．31 14．ln 21- 15．11 16．8 三、解答题：本大题共6小题，共74分， 17．（本题满分12分）解：（1）设(,)z x yi x y R =+∈13()(1)(3)i x yi x y i =+-+=-+-，103xy=-∴=-⎪⎩，解得4433x z i y =-⎧∴=-+⎨=⎩， ..................5分 其在复平面上对应的点的坐标为(4,3)-. (6)分（2）由（1）知22(1)(34)2(92416)247433422(43)43i i i i iz i i z i i++⨯+-+=-+∴===+-+-，……………………………………………………10分∴所求共轭复数为34i -. ………………………………………………………12分 18．（本题满分12分） 解： （1）计算得 552112,10,132,30i iii i x y x yx======∑∑，……………………4分515222151325210ˆ 3.230525i ii ii x y xy bxx ==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑， ˆ10 3.22 3.6a =-⨯= ∴线性回归方程为3.2 3.6y x =+. ……………………………………………………8分 （2）5x = 代入得 3.25 3.619.6y =⨯+=（十万）答：据此估计2015年，该城市人口总数约为19.6（十万）人. ……………………12分 19．（本题满分12分） 解：…………6分（Ⅱ）假设喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：2230(10866) 1.1575 2.706(106)(68)(106)(68)K ⨯⨯-⨯=≈<++++因此，没有90%的把握认为喜爱运动与性别有关. (12)分 20、（本题满分12分）解：（1）/2()32f x x ax b =++，由已知得 /(1)2133f a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ (4)分即 3221a b a ++=⎧⎨=-⎩ 解得 11a b =-⎧⎨=⎩. (5)分（2）由（1）知3232(),()()2f x x x x c f x g x x x x c =-++-=-++，设32()2,F x x x x c =-++则/2()341(31)(1)F x x x x x =-+=--，……………7分 令/()0F x =，得113x x ==或，列表两个图像有且仅有三个公共点，只需14()0327(1)0Fc F c ⎧=+>⎪⎨⎪=<⎩，解得 4027c -<<. 所以，c的取值范围是4(,0)27-. ……………………………………………12分 21．（本题满分12分）解：（1）因为点2(,)3M m 在抛物线上，且253MF =，抛物线准线为2px =-，所以，25323p +=，解得：2p =， (3)分所以，抛物线方程为24y x =，焦点2(1,0)F ，点2(,)3M m 代入24y x =得3m =，所以点2(3M ， 由它在椭圆上及椭圆右焦点为2(1,0)F 得22222212()331a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，椭圆方程为22143x y +=.………………6分（2）设00(,0),(,0),(,)A s B t Q x y ，因为点Q 是椭圆上除长轴两端外的任意一点，所以，2200143x y +=，即22003(1)4x y =-，设直线,QA QB 的斜率之积为定值k ，…………8分所以，22000220000003(1)4()()QA QBx y y y K K k x s x t x s t x st x s t x st-====---++-++， 所以，2200033()4x kx k s t x kst -=-++，所以，333444()022322k k k k s t s or s kst t t ⎧⎧⎧=-=-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪-+=⇒==-⎨⎨⎨⎪⎪⎪==-=⎪⎪⎪⎩⎩⎩，所以，斜率之积为定值34-，定点,A B 的坐标为(2,0),(2,0)-. (12)分22、（本题满分12分）解：（1）由曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，可知'(1)1f =- …………………………………………………………1分 因为22'()(0,0)a f x x a x x=-+>> 所以'(1)21(0)f a a =-+=->解得1a = ………………2分 所以f ˊ(x)=22212-xx x x -=+，其中x>0 由f ˊ(x)>0，得：x>2；由f ˊ(x)<0，得：0<x<2所以f(x)的单调递增区间是(2，+∞)，单调递减区间是(0，2) (4)分（2）依题意可知对(0,)x ∀∈+∞，都有2221a x x x x +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立 即22332x x a x x x++≤=++在区间(0,)+∞上恒成立 ………………6分 因为0x >，所以322x x++≥（当且仅当x = ……7分所以2a ≤又因为0a >，所以2]a ∈ ………………9分（3）当1a =时，2()ln 2(0)g x x x b x x=++--> 所以2222(2)(1)'()(0)x x x x g x x x x +-+-==> 令'()0g x >可得1x >，令'()0g x <可得01x <<故()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增 ………………11分因为函数()g x 在区间1,e e -⎡⎤⎣⎦上有两个零点 所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<≥-0)(0)1(0)(1e g g e g ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--+<-≥--+012010312b e eb b e e (13)分 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+≤>-+≤121312e e b b e e b ，因为121(23)(1)20e e e e e e +--+-=-->， 故211123e e e e <+-<+- 所以121-+≤<e e b (14)分。