第七章二次根式
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是初中数学中的一个重要概念，它在数学的学习和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就来详细聊聊二次根式的相关知识。
首先，咱们得搞清楚啥是二次根式。
一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
这里要特别注意，根号下的数 a 必须是非负数，不然就没有意义啦。
那二次根式有哪些性质呢？这可是重点哟！性质一：（√a）²＝ a（a≥0）。
也就是说，一个非负数开平方再平方，还是它本身。
性质二：√a² ＝｜a|。
当a≥0 时，√a² ＝ a；当 a＜0 时，√a² ＝ a。
这个性质在化简二次根式的时候经常用到。
性质三：√ab ＝√a × √b（a≥0，b≥0）。
性质四：√a/b ＝√a ／√b（a≥0，b＞0）。
了解了这些性质，咱们来看看二次根式的运算。
二次根式的加减法，关键是要把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（也就是同类二次根式）进行合并。
比如，√8 ＋√18 ＝2√2 ＋3√2 ＝5√2。
二次根式的乘法，就可以直接运用√ab ＝√a × √b 这个性质。
例如，√2 × √6 ＝√12 ＝2√3 。
二次根式的除法，运用√a/b ＝√a ／√b 进行计算。
比如，√12÷√3＝√4 ＝ 2 。
在进行二次根式的运算时，一定要注意化简，把结果化成最简二次根式。
那啥是最简二次根式呢？满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如说，√8 就不是最简二次根式，因为 8 可以分解成 4×2，4 还能开方得 2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
再来说说二次根式的化简。
化简二次根式的时候，经常要用到分母有理化。
分母有理化就是把分母中的根号去掉。
比如，1 ／√2 ，分母有理化就是给分子分母同乘以√2 ，得到√2 ／ 2 。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容，本章主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算方法。
通过本章的学习，学生能理解二次根式的实际意义，掌握二次根式的基本性质和运算规律，为后续学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了实数和分数，对数的运算有一定的基础。
但是，对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生对于抽象的数学概念，有时难以理解其内涵，需要教师通过具体例子和生活中的实际问题来进行引导。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念和性质。
2.掌握二次根式的运算方法。
3.能运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、问题驱动法、小组讨论法等，结合多媒体教学，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式，掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.相关的生活实例和练习题。
3.多媒体教学设备。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“一个物体从地面上抛出，上升到最高点后再落下，求物体上升的最大高度。
”让学生思考如何用数学方法来解决这个问题。
2. 呈现（10分钟）教师通过讲解和展示课件，介绍二次根式的概念和性质，如“二次根式是一个形如√a的数学表达式，其中a是一个非负实数。
”并通过实例来引导学生理解二次根式的实际意义。
3. 操练（10分钟）教师给出一些二次根式的运算题目，如“计算√8 + √2”，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
4. 巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生运用二次根式的运算方法，如“计算（√2 + √3）^2”，并引导学生理解二次根式的运算规律。
5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考二次根式在实际问题中的应用，如“一个物体从地面上抛出，上升到最高点后再落下，求物体上升的最大高度。
二次根式的ppt课件
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识点总结及其应用二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
在学习二次根式的过程中，我们需要掌握以下几个重要的知识点。
1.二次根式的定义和性质二次根式是数学中的一种运算符号，表示一个非负实数的算术平方根。
如果a≥0，则√a是一个实数；如果a<0，则√a是一个虚数。
二次根式的性质有以下几点：（1）非负数的非负平方根是一个实数，记作√a，其中a≥0；（2）非负实数a的平方根必须满足：如果x是a的平方根，则-x也是a的平方根；（3）二次根式的运算规律：√ab=√a·√b，√(a/b)=√a/√b。
2.简化二次根式简化二次根式是指将一个二次根式写成最简形式。
其中的关键是将根号下的数分解成若干个因数的平方。
一般地，对于一个非负实数a，我们可以将其分解为质因数的乘积，然后将其中的每个质因数的平方提取出来写成一个二次根式。
例如，对于√12，我们可以将12分解为2×2×3，然后将2和3的平方根提取出来，得到√12=2√33.二次根式的四则运算对于二次根式的加、减、乘、除，我们需要根据运算规律来进行计算。
（1）加减：对于两个二次根式的加减，可以先化简，然后将其中的同类项合并。
例如，计算√3+2√3，可以化简得到3√3，再将3√3与2√3相加，得到5√3（2）乘法：对于两个二次根式的乘法，使用运算法则√ab=√a·√b，将根号下的数分解后相乘。
例如，计算(√2+√3)(√2-√3)，可以用分配律展开，得到2-3=-1（3）除法：对于两个二次根式的除法，也使用运算法则√(a/b)=√a/√b，将根号下的数分解后相除。
例如，计算(√8)/(√2)，可以化简得到√2，即(√8)/(√2)=√24.二次根式的应用二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。
（1）几何应用：二次根式常用于计算几何图形的面积和边长。
例如，计算正方形的对角线长度、矩形的对角线长度等。
（2）物理应用：二次根式常用于计算一些物理问题。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
初中二次根式知识点总结
初中二次根式知识点总结二次根式是初中数学的一个重要内容，它涉及到实数的非负数平方根、根式的性质、根式的乘除法、根式的加减法等内容。
以下是关于二次根式的重要知识点总结：1. 二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
其中，a是实数。
2. 非负数的平方根：对于任何非负数a，都有实数平方根，记作√a。
3. 根式的性质：√a² = a（a表示a的绝对值）。
√ab = √a × √b（当a≥0，b≥0时）。
√(a/b) = √a / √b（当a≥0，b>0时）。
4. 根式的乘除法：当两个根式相乘或相除时，可以直接对它们的被开方数进行乘除运算。
例如：√a × √b = √(a×b)，√a / √b = √(a/b)。
5. 根式的加减法：当两个根式相加或相减时，需要先将它们化为最简二次根式，然后再对被开方数进行加减运算。
例如：√a + √b 和√a - √b 不能直接合并，除非它们有相同的被开方数。
6. 最简二次根式：满足以下三个条件的二次根式被称为最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式没有重复；被开方数中不含有分母；根号内没有剩余的被开方数。
7. 负数的平方根：负数没有实数平方根。
在实数范围内，只有非负数有实数平方根。
8. 无理数：无法表示为两个整数的比的数被称为无理数。
常见的无理数包括π和√2等。
9. 代数运算：在二次根式的运算中，经常需要使用代数的基本运算规则，如分配律、结合律等。
以上是关于二次根式的重要知识点总结。
在学习二次根式时，需要理解并掌握这些知识点，以便能够正确地进行二次根式的运算和化简。
鲁教版(五四制)八年级下册第七章二次根式复习课件
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根 （2）. a可以是数,也可以是式. （3）. 二次根式有意义的条件 a≥0
（4）. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法：
1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。
2、再视察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
梳理六.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。
注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理七. 混合运算法则 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的.
2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
注意的几点
（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简， 有理数的运算律在实数范围内仍可使用
（2）二次根式的除法运算，通过采 用化去分母中的根号的方法来进行， 把分母中的根号化去叫做分母有理化.
且 a c ，那么 c a (a c b)2
等于（ D ）
A、2a-b
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2C
12、 x2 16 x 4 x 4 成立的
条件是 x 4 。
性质公式( a )2 =a（a 0）逆用可以得到： a=( a )2 （a 0）
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 一个数的平方的情势。
1.指出下列哪些是二次根式？
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案5
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案5一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘除法、平方根的基础上进行的。
二次根式是数学中的基本概念，它在几何、物理等领域有广泛的应用。
本节课的主要内容是二次根式的定义、性质和运算规则，旨在培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平方根的概念和运算有一定的了解。
但二次根式相对于平方根来说，其概念和运算更为复杂，需要学生进行一定的抽象和推理。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生理解二次根式的本质，掌握其运算规则。
三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质。
2.掌握二次根式的运算规则。
3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析，让学生了解二次根式的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例材料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如计算物体体积、求解方程等，引导学生思考这些实例与二次根式的关系。
2.呈现（10分钟）介绍二次根式的定义和性质，通过PPT展示相关公式和定理。
让学生初步了解二次根式的基础知识。
3.操练（10分钟）让学生进行一些简单的二次根式运算，如化简、求值等。
教师在这个过程中要注意引导学生掌握运算规则，并及时解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生运用二次根式解决一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等。
教师在这个过程中要注意引导学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力。
5.拓展（10分钟）让学生探讨二次根式在实际生活中的应用，如物理、化学等领域。
教师在这个过程中要注意引导学生思考和探索，培养学生的创新能力。
第七章 二次根式测试题
.
2. 计算:
27
×
32
÷
6
3. 计算： (3 2 2 3 )(3 2 2 3 ) .
4. 已知: x
2 1 ,求代数式
x x2
2
x 2x 1
2
的值.
5.已知 x= 3 +2，y= 3 -2，求 x2+2xy+y2 的值
2
.
2 2
=_______。
=0，则 a 的取值范围是______________________.
2
7.化简 ： ( 1 x )
( x -2 )
2
= ______________________.
8.在直角坐标系中，点 A（- 2 , 6 ）到原点的距离是__________ 三、解答题 1． 2
x
（B） 3 0
27 的结果是(
（D）
b 1
2
5．计算 12
（A） - 3
（B） 3
（D）-5 3
A.1 7． m m 6 m A．是正数
m 4
B.-1
5m
2
C.0
1 m
D.2a ) C．是非负数 D．不能确定
的值(
B．是负数
A.1
B.是一个有理数
C.3
D.无法确定
9. 如果 a · a 4 = a ( a 4 ) ，则（ ） A．a≥4 B．a≥0 C．0≤a≤4 D．a 为一切实数
10. 化简 ( 3 2) (A) –1 二、 、填空题、 1.化简:
2 3
2006
( 3 2)
2007
的结果为（ (C) 3 2
二次根式课件ppt
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
青岛版第七章第一节《二次根式的性质》
7.1 二次根式性质目标感知：1、经历二次根式意义和性质的探索，掌握二次根式的概念，及性质2(0)=≥．a a2、灵活运用二次根式的意义及性质．重点预设：二次根式的概念，及性质2(0)a a=≥．难点预设：灵活运用二次根式的意义及性质．知识链接：1、4的算术平方根是，平方根是．2a应满足什么条件？提示：（1）当a是正数时，表示．（2）当a是零时，表示．（3）当a是负数时，表示．∴a应满足．3、当x 时，式子有意义．4x的值必须满足的条件（）A、x≥1B、x≤1C、x>1D、x<15、2= ．问题导学：问题1．自学概念与性质（自学课本P4—P5页，回答下面问题）（1）叫做二次根式，其中a为，a叫做，举例如：．（20)a≥在时有意义，在时无意义．（3）二次根式的性质：0)a≥具有性．②2= （a≥0）．问题2．合作交流：（先自己独立完成，不会的小组内成员之间交流）1、下列式子中哪些是二次根式？哪些不是二次根式？（1（2（3（4）（5（6）a2（7（82a的取值范围是（）A 、a<1B 、a ≤1C 、a ≥1D 、a>13a,b 应满足（ ） A 、a>0,b>0B 、a,b 同号C 、a>0,b ≥0D、0ba≥4有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、x ≥-2B 、13x ≠C 、x ≥-2且13x ≠D 、以上答案都不对5、2= ，2=6、2= ，2(=7、2(5)a ≥-= 8、2=( )23=( )2 7=( )223=( )2 ∴a=( )2 (a ≥0)9、已知a,b 是实数，且有|0a -=，则a= ，b= ．10A （a,b ）的位置在（ ） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限问题3．精讲点拨：例1P(m,n)的位置在第 象限。
例2、已知x,y 23(2)0y -=，则x-y= ．例3x 应满足的条件是 ．例4、已知9y =，求(xy-64)2的算术平方根．问题4．巩固检测：1、当堂检测：（1）下列语句正确的是（ ）A 、二次根式中的被开方数只能是正数B 、式子C 、3D 、2是（2）当x 时，式子（3）2(-= ，22(= 。
二次根式知识点
二次根式知识点一、二次根式的定义二次根式是指具有形式√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号下的数a叫做被开方数。
二、二次根式的性质1. 二次根式的值始终为非负实数，即√a ≥ 0。
2. 二次根式的积仍然是一个二次根式，即√a · √b = √(a·b)。
3. 二次根式的商仍然是一个二次根式，即√a ÷ √b = √(a÷b)，其中b≠ 0。
4. 二次根式的乘方仍然是一个二次根式，即(√a)^n = √(a^n)，其中n为正整数。
5. 二次根式可以与整数运算，即√a + √b = √a + √b。
6. 同类项相加，即a·√b + c·√b = (a+c)·√b。
三、二次根式的化简1. 将二次根式改写成带有平方数因子的形式，如√(a ·b) = √a · √b。
2. 合并同类项，如√a + √a = 2√a。
3. 分解被开方数的因数，如√(a·a·b) = a√b。
4. 有理化分母，如分母有根号，可以将其乘以一个形如√b/√b的式子，使分母变为有理数。
四、二次根式的运算1. 二次根式的加法：将二次根式看作是整体进行运算，合并同类项，如√a + √b = √a + √b。
2. 二次根式的减法：使用减法的性质，将减法改写为加法，如√a -√b = √a + (-√b)。
3. 二次根式的乘法：使用分配律进行展开，合并同类项，如(√a +√b)·(√c + √d)。
4. 二次根式的除法：利用有理化分母将除法转化为乘法，然后进行乘法运算。
五、二次根式的应用1. 二次根式在几何中的应用：例如计算正方形的对角线长度，三角形中的边长等。
2. 二次根式在物理中的应用：例如求解速度、加速度等问题。
3. 二次根式在方程中的应用：例如求解二次方程的根。
六、常见的二次根式1. 2的二次根式约等于1.414，常用符号表示为√2。
八年级下册数学第七章 二次根式 积的算术平方根的性质
5 【中考·广州】如图，数轴上点 A 表示的数为 a， 化简：a＋ a2－4a＋4＝____2____．
6 若 －ab＝ a· －b成立，则( B ) A．a≥0，b≥0 B．a≥0，b≤0 C．ab≥0 D．ab≤1 【点拨】 由 －ab＝ a· －b得a－≥b0≥，0，解得ab≥≤00.，
ห้องสมุดไป่ตู้
7 若 （x＋3）（x－2）＝ x＋3· x－2，则 x 的取值范围 是( B ) A．x≥－3 B．x≥2 C．x＞－3 D．x＞2
10 对于任意实数 a，下列各式中一定成立的是( D ) A. a2－1＝ a－1· a＋1 B. （a＋6）2＝a＋6 C. （－16）·（－a）＝－4 －a D. 25a4＝5a2
11 设 2＝a， 10＝b，用含有 a，b 的式子表示 20， 则下列表示正确的是( B ) A．a＋b B．ab C．2a D．2b
12 化简 －a a2. 解： －a a2＝ （－a）·（－a）＝－a. 【点拨】 本题易忽略－a a2≥0，即 a≤0，而导致错解．
13 计算： (1) 52－(－ 6)2；
解：原式＝5－6＝－1.
(2) 2×8－ （－3）2＋3 原式＝4－3＋3×13＝2.
－132；
(3) 64x4y2(y≥0)； 解：原式＝ 82·（x2）2·y2＝ 82· （x2）2· y2＝8x2y.
(2)已知实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所 示，化简：( －a＋b)2＋ (c－b)2－ (b－c－a)2.
解：由数轴可知，a＜－1，－1＜c＜0，b>1， ∴－a＋b＞0，c－b＜0，b－c－a＞0， ∴原式＝－a＋b＋(b－c)－(b－c－a)＝－a＋ b＋b－c－b＋c＋a＝b.
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
初中数学二次根式知识点总结
初中数学二次根式知识点总结一、二次根式的定义和性质1.二次根式：形如√a（其中a≥0）的数叫做二次根式，其中a叫做被开方数。
2.平方数：一些数的平方的结果叫做平方数，如1、4、9等。
平方数的平方根是有理数。
3.二次根式化简：将二次根式中含有相同因式的项合并，并将二次根式的指数化简为最简整数。
4.二次根式的乘除法：二次根式的乘除法可以通过对被开方数和指数进行运算和化简来进行。
二、二次根式的运算1.二次根式的加减法：a)加法：将两个二次根式的被开方数相加，并将其指数化简。
b)减法：将两个二次根式的被开方数相减，并将其指数化简。
2.二次根式的乘法：a)二次根式的乘法使用分配律，将被开方数和指数分别相乘，并将结果进行化简。
b)若二次根式与实数相乘，则可将实数与二次根式的被开方数相乘，并将指数进行化简。
3.二次根式的除法：a)二次根式的除法可以通过将分子和分母的被开方数相除，并将指数进行化简来进行。
b)若二次根式除以实数，可以将实数除以二次根式的被开方数，并将指数进行化简。
三、二次根式的化简1.二次根式化简的基本方法：a)将被开方数分解成素数的乘积。
b)将二次根式的指数约分为最简整数。
c)将二次根式的含有相同因式的项合并。
2.平方根的化简：a)平方根下的分数：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
b)分数的平方根：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
c)同解式的平方根：可以适用平方根的基本性质将二次根式进行化简。
四、二次根式的应用1.几何意义：二次根式可以表示一些图形的边长或斜边的长度。
a)两点间的距离：利用两点间的距离公式可以将二次根式化简为实数。
b)直角三角形的斜边：利用勾股定理可以将二次根式化简为实数。
2.分数的运算：在分数运算中，往往会出现二次根式，需要将二次根式进行化简并进行运算。
3.实际问题的应用：解决实际问题时，需利用已知条件建立方程，通过方程的求解，将二次根式进行化简。
综上所述，初中数学二次根式是重要的基础知识点，掌握二次根式的运算和化简方法，了解二次根式的几何意义和实际应用，在解决问题中能熟练运用二次根式的相关知识，将有助于提高数学解题能力。
初中数学二次根式
初中数学二次根式二次根式二次根式是指满足一个数的平方等于被开方数的数，即x²=a，x称为a的平方根或二次平根。
被开方数a称为二次根式。
最简二次根式指被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，且被开方数因数是整数，因式是整式。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
判断方法是：根指数都是2，先化成最简二次根式，被开方数相同。
二次根式的乘法公式是ab=a×b（a≥0，b≥0），除法公式是a/√b=a/√b×√b/√b=a√b/b。
二次根式的重要性质是a²=a，其中a为任意实数。
分母有理化的公式是1/(a+b)=((a-b)/(a+b))×(1/(a-b))=(a-b)/(a²-b²)。
例1中，最简二次根式是23x³。
3π，其他不是最简二次根式。
例2中，化简后的二次根式分别为2√3、4√3、2√7、4√3、5√3、5√3、10√2.例3中，将2m+3和-66m-7化成最简二次根式，得到2√m+3和-2√66m+7，因为它们是同类二次根式，所以2=m+3，-66m-7=-66m-7，解得m=-1.例4中，化简后的二次根式分别为10√2、6√2.例5中，计算结果分别为676、8√3、和.例6中，计算结果分别为529和121.例7中，设宽为x，则长为2x，周长为2(x+2x)=6x，面积为2x×x=2x²，解得x=11，周长为66m。
课堂练：1、和3是同类二次根式的有①45和③12，所以选B。
2、m的平方根是±8，所以m=±8²=64或m=±(-8)²=64，代入m=3n³-17中，解得n=2或n=-2，所以选A。
初中数学二次根式PPT课件图文
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是指含有平方根的式子，一般形式为√a，其中a为非负实数。
下面将对二次根式的知识点进行归纳：1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的式子，a为非负实数。
2. 简化二次根式：对于二次根式√a，如果a可以写成两个数的乘积，其中一个因数的平方是a，那么就可以将二次根式简化为这个因数。
3. 二次根式的运算：- 加减法：只有当二次根式的根数相同才能相加或相减。
即√a ± √b = √a ±√b。
- 乘法：二次根式的乘法可以按照分配律进行计算，即√a * √b = √(a * b)。
- 除法：二次根式的除法可以借助有理化的方法进行计算，即√a / √b = √(a / b)。
4. 二次根式的合并：- 同根式的合并：当两个二次根式的根数相同且系数相同时，可以合并为一个二次根式。
例如：3√2 + 2√2 = 5√2。
- 合并同类项：当两个二次根式的根数和系数都相同时，可以合并为一个二次根式。
5. 化简含有二次根式的表达式：- 分解因式法：对于含有二次根式的表达式，可以利用分解因式的方法将其化简为乘积的形式。
- 有理化法：利用有理化的方法将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。
6. 二次根式的平方与立方：- 二次根式的平方：(√a)^2 = a。
- 二次根式的立方：(√a)^3 = a * √a。
7. 二次根式的应用：- 几何意义：二次根式可以用来表示一些几何问题中的长度或面积，例如表示一个正方形的对角线长度。
- 物理意义：在物理问题中，二次根式可以用来表示某些量的大小，例如速度的大小。
以上是关于二次根式的一些基本知识点的归纳总结。
掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和运用二次根式。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是高中数学中的重要知识点，主要涉及到二次方程、二次函数和根的性质等内容。
下面将从概念、性质、应用和解题方法等方面详细探讨二次根式相关知识，共计2000字。
第一部分：概念和性质引入二次根式的概念，首先需要明确根的定义。
根，也称为平方根，是指一个非负数b，使得b的平方等于一个给定的数a。
根的符号为√，如√a表示根号下a。
在二次根式中，被开方的数被称为被开方数或者被开方式，√a称为二次根式。
二次根式的性质包括如下几点：1. 二次根式的结果为非负数，即√a≥0。
2. 二次根式的结果可以是一个有限小数，也可以是一个无限循环小数。
3. 二次根式的运算可以进行加、减、乘、除等操作，遵循相应的运算规则。
第二部分：应用二次根式在数学中的应用广泛，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 几何中的长度计算：在三角形或其他几何图形中，二次根式可以用来计算边长、斜边等长度。
例如，在勾股定理中，直角三角形的斜边长度就可以通过二次根式求解。
2. 物理中的速度计算：在物理中，速度的大小通常使用二次根式表示。
例如，某物体从静止开始以匀加速度运动，其速度可以表示为v=a√t，其中a为加速度，t为时间。
3. 统计中的标准差计算：在统计学中，标准差用于衡量数据的离散程度。
标准差的计算中涉及到对平方根的运算。
第三部分：解题方法解决二次根式相关问题需要掌握一些常用的解题方法。
1. 提取公因式法：当二次根式分子、分母都有相同的因式时，可以提取公因式进行简化。
例如，化简√(20/45)，可以提取公因式得到√(4/9)。
2. 平方差公式：平方差公式可以用来化简一些特殊形式的二次根式。
例如，化简√(a-b)(a+b)，可以利用平方差公式得到√(a^2-b^2)。
3. 有理化分母法：当二次根式的分母是一个二次根式时，可以通过有理化分母的方法来进行化简。
例如，化简1/√3，可以将分母有理化为√3/3。
4. 定理运算法：在一些复杂的二次根式运算中，可以通过引入一个合适的定理来进行化简。
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6.要使式子a+2a有意义，则a的取值范围为a≥-2且a≠0．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
4.（2011四川凉山，5，4分）已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
分析：首先根据分式有意义的条件求出x的值，然后根据题干式子求出y的值，最后求出2xy的值．
点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．
5.（2011台湾，4，4分）计算 之值为何（ ）
A.y≥-7 B. y≥9 C. y>9 D. y≤9
【分析】易得x的取值范围，代入所给函数可得y的取值范围．
【点评】考查函数值的取值的求法；根据二次函数被开方数为非负数得到x的取值是解决本题的关键．
14.（2010河南，3，3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C．2a2+4a2=6a4D．（a2）3=a6
A.x≥ B. x≤ C.x≥ D.x≤
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，列出不等式，求出x的取值范围即可．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，比较简单．
9.（2011山东烟台，5，4分）如果 ，则（）
A．a＜ B.a≤ C.a＞ D.a≥
分析：由已知得2a﹣1≤0，从而得出a的取值范围即可．
2.（2011•江苏徐州，5，2）若式子 实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A、x≥1B、x＞1 C、x＜1D、x≤1
分析：根据二次根式有意义的条件判断即可．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．
20.（2011广东肇庆，11，3分）化简： =．
分析：根据二次根式的性质计算．
2.（2011广东省茂名，16，7分）化简：
（1） ；
分析：（1）先化简二次根式，再进行计算即可；
点评：本题考查了二次根式的混合运算和整式的混合运算，是基础知识要熟练掌握．
巩固训练
一、选择题
1.（2011•台湾17，4分）计算 之值为何（ ）
A、 B、 C、 D、
2.（2011•贺州）下列计算正确的是（ ）
三、解答题
1.(每小题5分，共15分)
（1）（2011四川省宜宾市，17，5分）计算：3(–π)0–+ (–1)2011
(2)（2011四川省宜宾市，17，5分）先化简，再求值：–，其中x=–3
点评：本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
第七章二次根式
一、选择题
1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
点评：此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
分析：根据各选项进行分析得出计算正确的答案，注意利用幂的乘方的运算以及二次根式的加减，负整数指数幂等知识分别判断即可．
点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及幂的乘方的运算和负整数指数幂等知识，此题难度不大注意计算要认真，保证计算的正确性．
15.（2011湖北随州，3，3）要使式子 有意义，则a的取值范围为．
点评：本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
12.要使式子 有意义，则a的取值范围为a≥-2且a≠0．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
23.（2011广西崇左，3，2分）若二次根式 有意义，则x的取值范围是．
分析：根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
点评：此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
24.（2011•随州）要使式子 有意义，则a的取值范围为．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
点评：主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．
21.（2010广东，7，4分）使 在实数范围内有意义的 的取值范围是___________．
分析：先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
7.（2011•青海）若a，b是实数，式子 和|a﹣2|互为相反数，则（a+b）2011=．
分析：根据题意得 +|a﹣2|=0，再根据非负数的意义，列方程组求a、b的值，即可得出答案．
点评：此题主要考查了绝对值以及互为相反数的定义和算术平方根的性质，初中阶段学习了三个非负数：a2≥0，|a|≥0，a≥0（a≥0）；必须熟练掌握非负数的性质．
分析：此题涉及到二次根式的加减，同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，幂的乘方：底数不变，指数相乘；根式的化简，4个知识点，根据各知识点进行计算，可得到答案．
点评：此题主要考查了二次根式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，根式的化简，关键是同学们要正确把握各知识点的运用．
13 .（2011广州，9，3分）当实数x的取值使得 有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（）
（3）二次根式具有非负性． （a≥0）是一个非负数．
3.（2011江苏镇江常州，5，2分）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围（ ）
A．x≥2B．x≤2
C．x＞2D．x＜2
分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，即x﹣2≥0，解不等式求x的取值范围．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数．
分析：根据二次根式的化简和零指数幂等知识点进行计算即可．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式等考点的运算．
19.（2011广东湛江,18,4分）函数 中自变量x的取值范围是________，若x=4，则函数值y=_____
分析：根据二次根式有意义的条件求解即可．即被开方数是非负数．直接把x=4代入函数解析式即可求y的值．
A.-2a+b B.2a+b C.-bD.b
分析：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，以及a+b＞0，即可化简求值．
点评：此题主要考查了二次根式的化简以及实数与数轴，根据数轴得出a，b的符号是解决问题的关键．
12.（2011四川攀枝花，3，3分）下列运算中，正确的是（ ）
A、 + = B、a2•a=a3C、（a3）3=a6D、 =－3
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数大于等于零．
17.（2011福建龙岩，12，3分）若式子 有意义，则实数x的取值范围是．
分析：根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）解答．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．
18.（2011福建省三明市，11,4分）计算： ﹣20110=．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
二、填空题
1.（2000•江西）计算： ＝.
分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
2.（2011山东日照，15，4分）已知x，y为实数，且满足 =0，那么x2011﹣y2011=．
A．5 B．33 C．3 D．9
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可得出答案．
点评：本题考查同类二次根式及二次根式的加减运算，难度不大，注意只有同类二次根式才能合并．
6.（2011•柳州）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A、x＞2B、x＞3
C、x≥2D、x＜2
分析：根据考查了二次根式 （a≥0）有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．
点评：本题考查了二次根式 （a≥0）有意义的条件：a≥0．
7.（2011•广东汕头）使 在实数范围内有意义的x的取值范围是x≥2．
分析：先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
8.（2011山东滨州，2，3分）若二次根式 有意义,则x的取值范围为( )
4.（2011新疆乌鲁木齐，11，4）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
5.（2011重庆綦江，12，4分）若 有意义，则x的取值范围是．