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初三数学二次函数知识点总结归纳
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数(最全的中考数学二次函数知识点总结)
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识✧ 相关概念及定义➢ 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法➢ 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；➢ 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；➢ 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.➢ 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ➢ 二次函数2ax y =的性质✧ 二次函数2y ax c =+的性质✧ 二次函数y a x h =-的性质：✧ ✧ 二次函数()2y a x h k =-+的性质✧ 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.➢a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.➢ 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . ➢ 顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--➢ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. ✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 ➢ 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大 小．➢ 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：➢ 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法➢ 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式➢ 一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ➢ 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.➢ 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. ✧ 直线与抛物线的交点➢y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).➢ 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).➢ 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.➢ 平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.➢ 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.➢ 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故a cx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达➢ 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；➢ 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；➢ 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；➢ 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．➢ 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-➢ 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．✧ 二次函数图象的平移➢ 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： ➢【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
初三数学二次函数知识点归纳
初三数学二次函数知识点归纳在初中数学的学习中，二次函数是一个重要的内容，也是进一步深入学习代数的基础。
学好二次函数的性质和运用对于学生的数学能力的提升至关重要。
下面将对初三数学中二次函数的知识进行归纳总结。
一、二次函数及其图象的性质1. 二次函数的定义二次函数是一个以x的二次幂作为最高次幂的多项式函数，一般的二次函数表达式为： y = ax^2 + bx + c （其中 a, b, c 为常数且 a ≠ 0）。
2. 二次函数图象的平移二次函数图象的平移可以通过改变 a, b 和 c 的值来实现。
当将 a 的值变为 a'，则图象的开口方向和大小会有相应的改变；当将 b 的值变为 b'，则图象在 x 轴方向上平移；当将 c 的值变为 c'，则图象在y 轴方向上平移。
3. 二次函数图象的对称轴二次函数图象的对称轴是一个线段，记作 x = -b/2a，对称轴将图象分为两个对称的部分。
4. 二次函数的顶点二次函数的顶点就是图象的最高点或最低点，所有的二次函数图象都有一个顶点。
5. 二次函数图象的开口方向二次函数图象的开口方向由二次项的系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，图象开口向上；当 a < 0 时，图象开口向下；当 a = 0 时，不再是二次函数。
二、二次函数的求解1. 二次函数的零点二次函数的零点是指函数曲线与 x 轴相交的点，也就是函数的根。
求解二次函数的零点可以通过以下步骤进行：首先，将函数表达式设置为 y = 0；然后，应用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 计算 x 的值。
2. 二次函数的最值二次函数的最值通过求解顶点来确定。
当a > 0 时，函数有最小值，且最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标。
三、二次函数的应用1. 抛物线二次函数的图象通常被称为抛物线。
初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、根本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++〔a b c ，，是常数，0a ≠〕的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、根本形式1. 二次函数根本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：〔上加下减〕3. ()2y a x h =-的性质：〔左加右减〕4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞．概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴与顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以与()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标与开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标与开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与x 轴交点情况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：二次函数考察重点与常见题型1． 考察二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 那么m 的值是2． 综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是〔 〕3． 考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。
初三数学二次函数知识点总结材料
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
Array 4. ()2=-+的性质：y a x h k三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：二次函数图像参考：y=3(x+4)22y=3x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）0 x o-1 x 0 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
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二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果y =ax 2 +bx +c(a, b, c 是常数，a ≠ 0) ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 2 的性质（1）抛物线y =ax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 2 的图像与a 的符号关系.①当a > 0 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a < 0 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2（a ≠ 0）.3.二次函数y =ax 2 +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成：y =a(x -h)2 +k 的形式，其中h =- b，k =2a4ac -b 2.4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y =ax 2 ；② y =ax 2 +k ；③ y =a(x -h)2 ；④ y =a(x -h)2 +k ；⑤ y =ax 2+bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.① a 的符号决定抛物线的开口方向：当a > 0 时，开口向上；当a < 0 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x = 0 .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法⎛ b ⎫24ac -b 2 b 4ac -b 2（1）公式法：y =ax 2 +bx +c =a +x ⎪+，∴顶点是（-，），⎝2a ⎭4a 2a 4a对称轴是直线x =-b .2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a(x -h)2 +k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax 2 +bx +c 中，a, b, c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 2 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax 2 +bx +c 的对称轴是直线x = - b2a，故：① b = 0 时，对称轴为 y 轴；② b > 0 （即a 、b 同号）时，a 对称轴在 y 轴左侧；③ b< 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.a（3） c 的大小决定抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置.当 x = 0 时， y = c ，∴抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点（0，c ）：① c = 0 ，抛物线经过原点; ② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 b< 0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式.（2） 顶点式： y = a (x - h )2 + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3） 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ，通常选用交点式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ). 12. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线 y = ax 2 + bx + c 得交点为(0, c ).（2）与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一个交点( h ,ah 2 + bh + c ).（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ，是对 应一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔ ∆ > 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相交；②有一个交点（顶点在 x 轴上） ⇔ ∆ = 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相切；③没有交点⇔ ∆ < 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相离.（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2 +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n(k ≠ 0)的图像l 与二次函数y =ax 2 +bx +c(a ≠ 0)的图像y =kx +nG 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两y =ax 2 +bx +c组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2 +bx +c 与x 轴两交点为A(x ，0)，B(x ，0)，由于x 、x是方程ax 2 +bx +c = 0 的两个根，故1 2 1 2第二部分典型习题１.抛物线y＝x2＋2x－2 的顶点坐标是（ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数y =ax 2 +bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0第２,３题图第4 题图３.二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知 中，BC=8，BC 上的高 ，D 为 BC 上一点， ，交AB 于点 E ，交AC 于点 F （EF 不过 A 、B ），设 E 到 BC 的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为（ Ｄ ）５.抛物线 y = x 2 - 2x - 3 与 x 轴分别交于 A 、B 两点，则 AB 的长为 4 ．6. 已知二次函数 y ＝kx 2＋(2k －1)x －1与 x 轴交点的横坐标为 x 1、 x 2 （ x 1＜x 2 ），则对于下列结论：①当 x ＝－2 时，y ＝1；②当 x ＞x 2 时，y ＞0；③方程kx 2＋(2k －1)x -1＝0 有两个不相等的实数根 x 、 x ；④ x ＜- 1， x ＞－1 ；⑤1212x －x，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．21k7. 已知直线 y = -2x + b (b ≠ 0)与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ；一抛物线的解析式为 y = x 2 - (b + 10)x + c .（1） 若该抛物线过点 B ，且它的顶点 P 在直线 y = -2x + b 上，试确定这条抛物线的解析式；（2） 过点 B 作直线 BC⊥AB 交x 轴交于点 C ，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线 y = -2x + b 的解析式. 解：（1） y = x 2 - 10 或 y = x 2 - 4x - 6将（0， b ) 代入，得c = b .顶点坐标为(b +10, - b 2 +16b +100 ) ，由题意得2 4-2 ⨯ b +10 + b = - b 2 +16b +100 ，解得b= -10, b = -6 . 2 41 2⎩ ⎩ ⎨ ⎨ ⎨b （2） y = -2x - 28. 有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 y ，且 y 是 x 的二次函数，已知输入值为- 2 ,0,1时, 相应的输出值分别为 5, - 3 , - 4 ．（1） 求此二次函数的解析式；（2） 在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值 x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ,⎧a (-2) 2 + b (-2) + c = 5⎧c = -3 ⎧a = 1则 a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = -3 ,即⎪2a - b = 4 ,解得⎪= -2 ⎪a + b + c = -4 ⎪a + b = -1 ⎪c = -3⎩故所求的解析式为: y = x 2 - 2x - 3 .（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 y 为正数时， 输入值 x 的取值范围是 x < -1 或 x > 3 ．9. 某生物兴趣小组在四天的实验研究中 发现：骆驼的体温会随外部环境 温度 的变化而变化，而且在这四天中 每昼 夜的体温变化情况相同．他们将一头 骆驼前两昼夜的体温变化情况绘下图．请根据图象回答：第 9 题制成1⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．解：⑴第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要 12 小时⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是 39℃⑶ y = - x 2 + 2x + 24(10 ≤ x ≤ 22)1610. 已知抛物线 y = ax 2 + ( 4+ 3a )x + 4 与 x 轴交于3A 、B 两点，与 y 轴交于点C ．是否存在实数 a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点 C 的坐标为（0，4）．BO 2 + OC 2 | - 4 |2 +423a设点 A 、B 的坐标分别为（ x 1 ，0），（ x 2 ，0），由ax 2 + (4 + 3a )x + 4 = 0 ，解得 x = -3 ， x = - 4．3 1 23a∴ 点 A 、B 的坐标分别为（-3，0），（ - 4 3a，0）．∴ AB =| - 4+ 3 |， AC = 3a= 5 ，BC = =．∴ AB 2 =| - 4+ 3 |2 = 16- 2 ⨯ 3⨯ 4 + 9 = 16 - 8 + 9 ，3a 9a 2 3a9a 2 aAC 2 = 25 ， BC 2 = 169a 2+16 ．〈ⅰ〉当 AB 2 = AC 2 + BC 2 时，∠ACB＝90°．由 AB 2 = AC 2 + BC 2 ， 得16 - 8 + 9 = 25 + ( 16+16) ． 9a 2解得a a = - 1． 49a 2∴ 当a = - 1 时，点 B 的坐标为（ 16 ，0）， AB 2 =625 ， AC 2 = 25 ，439BC 2 =400 ．9于 是 AB 2 = AC 2 + BC 2 ．∴ 当a = - 1时，△ABC 为直角三角形．4〈ⅱ〉当 AC 2 = AB 2 + BC 2 时，∠ABC＝90°． 由 AC 2 = AB 2 + BC 2 ，得25 = (16 - 8 + 9) + ( 16+ 16) ． 9a 2 a 9a 2AO 2 + OC 25 5解 得 a = 49 当a = 4时， - 49 3a=44 3⨯9= -3 ，点 B （-3，0）与点 A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当BC 2 = AC 2 + AB 2 时，∠BAC＝90°．由BC 2 = AC 2 + AB 2，得 169a 2解得 a = 4．不合题意．9+16 = 25 + ( 16 9a 2 - 8 + 9) ． a 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当a = - 1时，△ABC 为直角三角形．411. 已知抛物线 y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1） 若抛物线与 x 轴的两个交点 A 、B 分别在原点的两侧，并且 AB ＝ ，试求 m 的值；（2） 设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则 x 1 ，x 2 是方程 x 2－mx ＋m －2＝0 的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即 m ＜2 ;又 AB ＝∣x 1 — x 2∣＝ （+ ）x 2 - 4x x =,121 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1 或 m=3(舍去) , ∴m 的值为 1 .．2 - m 2 -m 2 - m （2）M(a ，b)，则 N(－a ，－b) .∵M、N 是抛物线上的两点,∴ ⎨⎪-a 2 + ma - m + 2 = b , ①-a 2 - ma - m + 2 = -b . ②⎪①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 .∴当 m ＜2 时，才存在满足条件中的两点 M 、N.∴ a = .这时 M 、N 到 y又点 C 坐标为（0，2－m ）,而 S △M N C= 27 ,1∴2× ×（2－m =27 .2∴解得 m=－7 .12. 已知：抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1，0）．（1） 求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 5∶2 的点，如果点 E 在（2） 中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由．0 0解法一：（1） 依题意，抛物线的对称轴为 x ＝－2．∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 A （－1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（－3，0）．（2） ∵ 抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1， 0），∴ a (－1)2＋4a (－1)＋t ＝0．∴ t＝3a ．∴ y ＝ax 2＋4ax ＋3a ．∴D （0，3a ）．∴ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋3a 上，∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形 ABCD 的面积为 9，∴1 ( AB + CD ) ⋅OD ＝9 ．∴ 21 (2＋4) 3a ＝9 ． 2∴ a±1．∴所求抛物线的解析式为 y ＝x 2＋4x ＋3 或．（3） 设点 E 坐标为（ x 0 ， y 0 ）.依题意， x 0＜0 ，y ＝- x 2 - 4ax -y 0＜0，且 y ＝ 5 ．∴ y ＝－ 5x ．x 22 0⎨ ①设点 E 在抛物线 y ＝x 2＋4x ＋3 上，∴ y ＝x 2＋4x ＋3 ．⎧5 ⎧x '＝- 1⎪ y 0＝－ x 0 , ⎨⎧x ＝- 6，⎨0 2解方程组⎪⎨y ＝x 2＋2 4x ＋3得 ⎩0 y 0＝15；⎪ y '＝5． ⎩ 0 0 0⎪ 0 4∵ 点 E 与点 A 在对称轴 x ＝－2 的同侧，∴ 点 E 坐标为（ - 125 ， ）．4设在抛物线的对称轴 x ＝－2 上存在一点 P ，使△APE 的周长最小．∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须 PA ＋PE 最小．∴ 点 A 关于对称轴 x ＝－2 的对称点是 B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线 BE 与对称轴 x ＝－2 的交点． 设过点 E 、B 的直线的解析式为 y ＝mx ＋n ，⎧ 15 ⎧m ＝1 , ⎪- m ＋n ＝ ,∴ 解得 2⎨ 24 ⎩－3m ＋n ＝0.⎪n ＝ 3 . ⎩ 2点 P 坐标为（－2， ）．②设点 E 在抛物线 y ＝- x 2 - 4x - 3 上，∴ y ＝- x 2 - 4x - 3 ．⎧y ＝－ 5 x , 解方程组⎪ 02 0消去 y3 ，得x 2 + x 0＋3＝0 ．⎪⎨ y ＝- x 2 - 4x - 3. ⎩ 0 0 02∴ 直线 BE 的解析式为 y ＝ 1 x ＋ 3 ．∴ 把 x ＝－2 代入上式，得 y ＝ 1．222∴ 1 2∴△＜0 . ∴此方程无实数根．1综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（－2，），使△APE 的周长最小．2解法二：（1）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋t 与x 轴的一个交点为A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴．y＝ax2＋4ax＋3a令y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0 ．解得x ＝－1，x ＝－3 ．1 2∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（－3，0）．（2）由y＝ax2＋4ax＋3a ，得 D（0，3a）．∵ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线y＝ax2＋4ax＋3a 上，∴ C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD 的面积为9，∴1( AB＋CD) OD＝9 ．解得 OD＝3．2∴ 3a＝3 ．∴ a±1．∴ 所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3 或y＝－x2－4x－3 ．（3）同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴 x＝－2 的交点．∴如图，过点E 作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x 轴的交点为 F．由PF∥EQ，可得BF＝PF．∴1＝PF ．∴PF＝1 BQ EQ．1点P 坐标为（－2，）．2 以下同解法一．5 5 2 2 413.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标．（2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q．当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合），设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求S 与t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需∴- ， P 要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式 y = a (x + 1)(x - 2) ， ∴ - 2 = a ⨯1⨯ (-2) ．∴a = 1 ．∴ y = x 2 - x -2 ． 其顶点 M 的坐标是⎛ 1 ，- 9 ⎫ ．⎪ ⎝ 2 4 ⎭（2）设线段 BM 所在的直线的解析式为 y = kx + b ，点 N 的坐标为 N （t ，h ），∴ ⎨ ⎧0 = 2k + b ，3 ⎪ 9= 1k + b . ．解得k = 2 ，b = -3 ． ⎪ 4 2∴ 线段 BM 所在的直线的解析式为 y = 3x - 3 ．2∴ h = 3 t - 3 ，其中 1 < t < 2 ．∴ s = 1 ⨯1⨯ 2 + 1 (2 + 2 t - 3)t = 3 t 2 - 1t +1．222 2342∴s 与t 间的函数关系式是S = 3t 2 - 1 t +1，自变量 t 的取值范围是42 1< t < 2 ． 2（3） 存在符合条件的点 P ，且坐标是P⎛ 5 7⎫ ， ⎪ ⎛ 3 ，- 5 ⎫ ．1 2⎝ 4 ⎭2 ⎝ 2 4 ⎭⎪设点 P 的坐标为 P (m ，n ) ，则n = m 2 - m - 2 ．PA 2 = (m +1)2 + n 2 ， PC 2 = m 2 + (n + 2)2，AC 2 = 5 ． 分以下几种情况讨论：i ） 若∠PAC＝90°，则PC 2 = PA 2 + AC 2 ．⎪n = m 2 - m - 2，∴⎪⎩m 2 + (n + 2)2 = (m + 1)2 +n 2 + 5. 解得： m = 5 ， m = -1（舍去）． ∴ 点P ⎛ 5 7 ⎫．1 221 ， ⎪ ⎝2 4 ⎭ii ） 若∠PCA＝90°，则PA 2 = PC 2 + AC 2 ．⎪n = m 2 - m - 2，∴⎪⎩(m +1)2 + n 2 = m 2 + (n + 2)2 + 5.解得： m = 3 ，m = 0 （舍去）．∴ 点P ⎛ 3 ，－ 5⎫ ．3242 ⎝4 ⎪⎭iii ） 由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时， PA > AC ，所以边 AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4） 以点 O ，点 A （或点 O ，点 C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA （或边 OC ）的对边上，如图 a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点 A ，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上，如图 b ，此时未知顶点坐标是 E ⎛- 12 ⎫ ，F ⎛ 4 ， ⎪ 8 ⎫ ．⎪ ⎝ 5 5 ⎭⎝ 55 ⎭图 a图 b14. 已知二次函数 y ＝ax 2－2 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交点的个数． 解：根据题意，得 a －2＝－1.2，-2∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是 y ＝x 2- 2 ．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与 x 轴有两个交点．15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面 1∶11000 的比例图上，跨度 AB ＝5 cm ，拱高 OC ＝0.9 cm ，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ≈ 1.4 ，计算结果精确到 1 米）．解：（1）由于顶点 C 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为y ＝ax 2＋ 9 ．10因为点 A （ - 5 ，0）（或 B （ 5 ，0） 在抛物线上， 所以0＝a ⋅(- 5 )2＋ 9，2 2 得a ＝－ 18．1252 10因此所求函数解析式为 y ＝－18x 2＋ 9 (- 5 ≤ x ≤ 5) ．（2） 因为点 D 、E 的纵坐．所以点 D 的坐标为（ 125 10 2 2标为 9 ， 所 以 9 =－ 18 x 2＋ 9 ，得 x ＝ 20 ， 9 ）， 20 125 点 E 的坐标为（10 ， 9 ）． 20 203 2 c所以DE ＝ 5 2－(-52) 5 2 ． ＝ 44 2因此卢浦大桥拱内实际桥长为 5 2⨯11000 ⨯ 0.01＝275 ≈ 385 （米）． 216. 已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象经过点A 、B ，与 y 轴相交于点C ．（1） a 、c 的符号之间有何关系?（2） 如果线段 OC 的长度是线段 OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3） 在（2）的条件下，如果 b ＝－4， AB ＝4 ，求 a 、c 的值． 解:（1） a 、c 同号． 或当 a ＞0 时，c ＞0；当 a ＜0 时，c ＜0．（2） 证明：设点 A 的坐标为（ x 1 ，0），点 B 的坐标为（ x 2 ，0），则0＜x 1＜x 2 ．∴ OA = x 1 ， OB = x 2 ， OC = c ．据题意， x 1 、 x 2 是方程ax 2＋bx ＋c = 0(a ≠ 0) 的两个根． ∴ x 1 ⋅ x 2 = ．a由题意，得OA ⋅OB ＝OC 2 ，即 c＝c 2＝c 2 ．a所以当线段 OC 长是线段 OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．(x 1＋x 2)2 - 4x 1x 22 3 33 3 （3）当b = -4 时，由（2）知， x ＋xb 40 ，∴ a ＞0．12＝－ a ＝ a ＞解法一：AB ＝OB －OA ＝ x －x ＝，21∴ AB =∵ AB = 4=， ∴ 2 = ． a 3 ＝4 ．得a = 1．∴ c ＝2. a 2 解法二：由求根公式， x 2 ± 3 ， a ∴ x ＝ x ＝ 2 + 3 ．12∴ AB ＝OB －OA ＝x －x ＝2 +3 ．21a∵ AB ＝4 ，∴2 3 ＝4 ，得a ＝ 1．∴ c＝2． a 217. 如图，直线 y = -A 、B 两点． 3 x + 3分别与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ，⊙E 经过原点 O 及（1）C 是⊙E 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D ，若∠COD＝∠CBO，求点 A 、B 、C的坐标；（2） 求经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3） 若延长 BC 到P ，使 DP ＝2，连结 AP ，试判断直线 PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．16 - 4ac a 2 ( 4 )2－4( c ) a a 3 33 3 3 解：（1）连结 EC 交x 轴于点 N （如图）．∵ A 、B 是直线 y = - 3 x +3分别与 x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B又∠COD＝∠CBO． ∴ ∠CBO＝∠ABC．∴ C 是的中点． ∴ EC⊥OA．∴ ON = 1 OA = 3 , EN = OB = ．22 2 23,- 2 连结 OE ．∴ ）． 2 EC = OE = ． ∴ NC = EC - EN = 3．∴ C 点的坐标为（2 （2）设经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为 y = ax (x - 3)．∵ C（ 3 ,- 2 ）． ∴ - 3 = a ⋅ 3 ( 3 - 3) ．∴ a =2 3 ． 2 2 2 2 9∴ y = 2 3 x 2 - 9 2 3 x 为所求． 8（3）∵ tan ∠BAO = 3 ， ∴ ∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴ ∠OBD = 1 ∠ABO - 1 ⨯ 60︒ = 30︒ ．2 2∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2．∵ ∠ADC＝∠BDO＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP＝60°．∴ ∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°． 即PA⊥AB． 即直线 PA 是⊙E 的切线．(0, 3) ．3 33“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
初三数学二次函数知识点总结材料及经典习题含问题详解
初三数学 二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；九矿新概念辅导班 二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
初三数学二次函数知识点总结 (2)
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数观点：1．二次函数的观点： 一般地，形如 y ax 2bx c，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这（ a ，b 里需要重申：和一元二次方程近似，二次项系数a 0 ，而 b ，c 能够为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数 y ax 2 bx c 的构造特色： ⑴ 等号左侧是函数，右边是对于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式 y a x h2k 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的张口越小。
a 的符号张口方向 极点坐标 对称轴性质ah ，kx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．ah ，kx h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线分析式转变为极点式y a x h 2h ，k ； k ，确立其极点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)22向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h) +k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴ yax 2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变为y ax 2 bx c m （或 y ax 2 bx c m ）⑵ y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax 2 bx c 变为y a( x m)2 b(x m) c （或 y a(x m) 2 b( x m) c ）四、二次函数 y a x2k 与 y ax2 bx c 的比较h从分析式上看，y a x h 2ax2 bx c是两种不一样的表达形式，后者经过配方能够获取前k 与 y2b2 b，k2者，即 y a x b 4ac ，此中 h 4ac b ．2a 4a 2a 4a五、二次函数 y ax2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c 化为极点式y a(x h) 2 k ，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图. 一般我们选用的五点为：极点、与 y 轴的交点0，c 、以及 0 ，c 对于对称轴对称的点2h，c 、与 x 轴的交点x1，0 ， x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数 y ax2 bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线张口向上，对称轴为x b ，极点坐标为 b ，4ac b2 ．2a 2a 4a当 x b 时， y 随x的增大而减小；当x b 时， y 随x的增大而增大；当x b 时， y 有最小2a 2a 2a 值 4ac b2 ．4a2. 当a 0 时，抛物线张口向下，对称轴为x b ，极点坐标为 b ，4ac b2 ．当 x b时， y 随2a 2a 4a 2ax 的增大而增大；当 x b 时， y 随x的增大而减小；当x b时， y 有最大值4acb2 ．2a 2a 4a七、二次函数分析式的表示方法1. 一般式：y ax2 bx c （ a ，b， c 为常数，a 0 ）；2. 极点式：y a(x h)2 k （ a ，h，k为常数，a 0 ）；3. 两根式：y a(x x1 )( x x2 ) （a 0， x1， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2 4ac 0 时，抛物线的分析式才能够用交点式表示．二次函数分析式的这三种形式能够互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数y ax2bx c 中， a 作为二次项系数，明显 a 0 ．a决定了抛物线张口的大小和方向， a的正负决定张口方向， a 的大小决定张口的大小．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确立的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．bab 的符号的判断：对称轴x在y轴左侧则ab0 ，在 y 轴的右边则 ab0 ，归纳的说就是2a“左同右异”3. 常数项 c c 决定了抛物线与y 轴交点的地点．总之，只需 a ，b ，c 都确立，那么这条抛物线就是独一确立的．二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有以下几种状况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；2.已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；4.已知抛物线上纵坐标同样的两点，常采用极点式．九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点状况）：一元二次方程 ax2 bx c 0 是二次函数 y ax2 bx c 当函数值 y 0 时的特别状况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当b2 4ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0 ，B x2，0 (x1 x2 ) ，此中的 x1，x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2 x1 b2 4ac . ②当0 时，图象与x轴只有a一个交点；③ 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1' 当 a 0 时，图象落在x轴的上方，不论x为任何实数，都有 y 0 ； 2' 当 a 0 时，图象落在x轴的下方，不论x为任何实数，都有y 0．2. 抛物线 y ax2 bx c 的图象与y轴必定订交，交点坐标为(0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转变为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转变为极点式；⑶依据图象的地点判断二次函数y ax2 bx c 中 a ，b， c 的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的地点，要数形联合；⑷ 二次函数的图象对于对称轴对称，可利用这一性质，乞降已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考察要点与常有题型1．考察二次函数的定义、性质，有关试题常出此刻选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y ( m 2)x 2m2m 2 的图像经过原点，则m的值是2．综合考察正比率、反比率、一次函数、二次函数的图像，习题的特色是在同向来角坐标系内考察两个函数的图像，试题种类为选择题，如：如图，假如函数 y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y kx 2bx 1 的图像大概是（）y y y y1 10 x -1 o x 0 x 0 1 xA B C D3．考察用待定系数法求二次函数的分析式，有关习题出现的频次很高，习题种类有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的分析式。
九年级数学二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳1.定义：一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质1抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. 2函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.3顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于包括重合y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a时,开口向上；当0<a 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴或重合的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法1公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是），（a b ac a b 4422--,对称轴是直线abx2-=.2配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为h ,k ,对称轴是直线h x =.3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用1a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.2b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=,故：①0=b 时,对称轴为y 轴；②0>ab即a 、b 同号时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab即a 、b 异号时,对称轴在y 轴右侧. 3c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置. 当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点0,c ： ①0=c,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式1一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. 2顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.3交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点1y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为0, c . 2与y 轴平行的直线h x=与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点h ,c bh ah ++2.3抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点顶点在x 轴上⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.4平行于x 轴的直线与抛物线的交点同3一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.5一次函数()0≠+=k n kx y的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.6抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故。
初三数学二次函数知识点汇总(齐全)
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点y h x =c bx ax y ++=2(,).
h c bh ah ++2
(3)抛物线与轴的交点
x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是c bx ax y ++=2x 1x 2x 对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一02=++c bx ax x 元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
⇔0>∆⇔x ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；x ⇔0=∆⇔x ③没有交点抛物线与轴相离.⇔0<∆⇔x (4)平行于轴的直线与抛物线的交点
x 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两k k c bx ax =++2个实数根.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像
()0≠+=k n kx y l ()02≠++=a c bx ax y 的交点，由方程组
G 的解的数目来确定：⎩⎨⎧++=+=c
bx ax y n
kx y 2
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
⇔l G ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时
⇔l G 与没有交点.
⇔l G (6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交
x c bx ax y ++=2x 点为，由于、是方程的两个根，故 ()()0021，，，
x B x A 1x 2x 02=++c bx ax
量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 学问点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++〔a b c ，，是常数，0a ≠〕的函数，叫做二次函数。
这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的构造特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2y ax =的性质： a 的肯定值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
()2三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k=-+及2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k=-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及y轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、及x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设及x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x 轴的交点，及y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>-时，y随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x是抛物线及x 轴两交点的横坐标〕. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象及各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，明显0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 确定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负确定开口方向，a的大小确定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 确定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；0b =02b a -=y当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好及上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 确定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的断定：对称轴在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线及y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线及y 轴的交点为坐标原点，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线及y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 确定了抛物线及y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种状况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线及x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此a恒久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或便利运算的原那么，选择相宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数及一元二次方程：1. 二次函数及一元二次方程的关系〔二次函数及x 轴交点状况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别状况. 图象及x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象及x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的间隔 .② 当0∆=时，图象及x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象及x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象及y 轴肯定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大〔小〕值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置推断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号推断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.为例，提示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：二次函数图像参考：十一、函数的应用 二次函数应用二次函数考察重点及常见题型1． 考察二次函数的定义、性质，有关试题常出如今选择题中，如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 那么m 的值是 2． 综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标系内考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如：2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)如图，假如函数bkxy+=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bxkxy的图像大致是〔〕y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3．考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。
初三数学二次函数知识点汇总
.
(3) 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x2 ，通常选用交点式： y a x x1 x x2 .
12. 直线与抛物线的交点
(1) y 轴与抛物线 y ax 2 bx c 得交点为 ( 0 , c )
(2) 与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax 2 bx c 有且只有一个交点 ( h , ah 2 bh c ).
7. 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，如果二次项系数
a 相同，那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同，只是顶点的位置不同 . 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1) 公式法： y ax2 bx c a x
2
b
4ac
b2 ，∴顶点是 （
b 4ac b2
，
），对称轴是直线
x
b
.
2a
4a
2a 4a
y ax 2 bx c 的图象与 x 轴没有交点时，则一
(1) 二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大
( 小 ) 值；
(2) 二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 ( 小 ) 值．
15. 解决实际问题时的基本思路： (1) 理解问题； (2) 分析问题中的变量和常量； (3) 用函数表达式表示出它
0 抛物线与 x 轴相切；
③没有交点
0 抛物线与 x 轴相离 .
(4) 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
同 (3) 一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标
为 k ，则横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根 .
初三数学二次函数知识点总结材料
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如y=ax2・bx -c（ a , b , c是常数，a = 0 ）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a=0，而b , c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数y二ax2• bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y =ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y =ax2 c的性质:上加下减。
23. y =a x -h的性质:左加右减。
工24. y 二a x「h k 的性质:a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a *0向上(h, k )X=hx 〉h 时，y 随x 的增大而增大；xch 时，y 随 x 的增大而减小；X = h 时，y 有最小值k •a <0向下(h, k ) X=hx=h 时，y 随x 的增大而减小；xch 时，y 随 x 的增大而增大；x = h 时，y 有最大值k •三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式⑵ 保持抛物线y 二ax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下:2. 平移规律在原有函数的基础上 ’h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：⑴y =ax 2 • bx • c 沿y 轴平移：向上（下）平移 m 个单位,2 2y =ax bx c m (或 y 二 ax bx c - m )⑵y =ax 2 • bx - c 沿轴平移：向左（右）平移y =a(x m)2 ■ b(x ■ m) c (或 y =a(x - m)2 b(x - m) c )四、二次函数y = a x - h i 亠k 与y =ax 2 • bx ■ c 的比较从解析式上看，y 二a x 「h 彳• k 与y 二ax 2，bx • c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b4ac-b 2b i 4ac-b 2者，即卩y =a x，其中h, k = I 2a 丿 4a2a4a五、二次函数y =ax 2 bx c 图象的画法2y 二a x — h k ，确定其顶点坐标 h , k ；y=ax 2» y=ax 2+k向右（h>0）【或左（h<0）】y=a(x-h)2y = ax 2 bx c 变成2m 个单位， y = ax bx c 变成向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位向上(k>0) 向上（k>0）【或下（k<0） 平移|k|个单位向右（h>0）【或左（*0）】向右（h>0）【或左（h<0）】【或下（k<0）】平移|k|个单位>t y =a （x-h ）2+k五点绘图法：利用配方法将二次函数y二ax2・bx・c化为顶点式y二a（x_h）2・k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图• 一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0,c、以及0, c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点xi, 0，X2, 0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点•六、二次函数y=ax2・bx c的性质2x的增大而增大；当x€时，y随x的增大而减小；当x一法时，y有最大值詈七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y =ax2，bx c （a, b , c 为常数，a = 0）；2. 顶点式：y=a（x-h）2（ a , h , k 为常数，a = 0）；3. 两根式：y =a（x -x j（x -X2）（a =0 ,为,x?是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac_0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y=ax2 Fx c中，a作为二次项系数，显然a=0 •⑴ 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a ：0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.⑴在a 0的前提下，当b 0时，—：：：0，即抛物线的对称轴在y轴左侧;2a当b =0时，=0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b ：：0时，b0,即抛物线对称轴在y轴的右侧. 2a1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为^-―，顶点坐标为2a (b 4ac—b2 I 2a ' 4a 』当X ::：一2时，y随x的增大而减小；当2a值4ac.4a x b时，y随x的增大而增大；当x b时，y有最小2a 2a2.当a ：：：0时，抛物线开口向下，对称轴为X —亦，顶点坐标为b 4ac「b2 2a ' 4a⑵ 在a ：,0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b=0时，一加。
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二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 ４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ Ｄ ）2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤22114k x x ＋－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.第9题（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间围这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0）， 由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=aBC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-aa a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB 5m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2121245x x x x -=2（+）∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩L L ①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =±- .这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它NMCx y O与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i）若∠PAC＝90°，则222ACPAPC+=．∴⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222nmnmmmn，解得：251=m，12-=m（舍去）．∴点⎪⎭⎫⎝⎛47251，P．ii）若∠PCA＝90°，则222ACPCPA+=．∴⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222nmnmmmn，解得：02343==mm，（舍去）．∴点⎪⎭⎫⎝⎛45232，－P．iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，ACPA>，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2），以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F⎪⎭⎫⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝axy的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．解：根据题意，得a－2＝－1.∴ a＝1．∴这个二次函数解析式是22-xy＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）． 解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ．因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ． 因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ． 所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱实际桥长为 385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数cbx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． ∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝． 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ． ∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ． 即直线PA 是⊙E 的切线．。