活页作业15

活页作业(十五) 等比数列的前n 项和
1．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝22，则a 1的值等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．2
解析：∵S 5＝22，q ＝－2，∴a 1[1－(－2)5]
1－(－2)＝22，
∴a 1＝2. 答案：D
2．等比数列{a n }的前n 项和S n 中( ) A ．任意一项都不为零 B ．必有一项为零 C ．至多有有限项为零 D ．可以有无数项为零
解析：如数列1，－1,1，－1,1，－1，…的前n 项和S n 中，就可以有无数项为零． 答案：D
3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－1 C ．0
D ．1
解析：设等比数列为{a n }，由已知得a 1＝S 1＝4＋a ，a 2＝S 2－S 1＝12，a 3＝S 3－S 2＝48，∴a 22＝a 1·
a 3， 即144＝(4＋a )×48，∴a ＝－1. 答案：B
4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )
A ．1.14a
B ．1.15a
C ．10a (1.15－1)
D ．11a (1.15－1)
解析：注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．
答案：D
5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，已知⎩⎪⎨⎪⎧
a 6＝3＋2S 5，
a 5＝3＋2S 4
， 则此数列的公比q 为______．
解析：由题意得a 6－a 5＝2(S 5－S 4)．
∴a 5×q －a 5＝2a 5.∴q －1＝2，∴q ＝3. 答案：3
6．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______. 解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)， ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n －
1，n ∈N *.
答案：2n －
1
7．在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝63
2，求a n .
解：∵S 6≠2S 3，∴q ≠1， 又S 3＝72，S 6＝63
2
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1－q 3)1－q
＝7
2， ①a 1
(1－q 6
)1－q ＝632. ②
②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2. 将q ＝2代入①中得a 1＝1
2
，
∴a n ＝a 1q n －1＝12
·2n －1＝2n －2，即a n ＝2n －
2.
8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4
S 2＝3，则2a 2－a 4的值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：设{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)， ∴a 1(1－q 4)1－q ＝3×a 1(1－q 2)1－q ，∴q 2＝2，
∴2a 2－a 4＝2a 2－a 2q 2＝2a 2－2a 2＝0，故选A ． 答案：A
9．(2013·辽宁高考)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝______.
解析：由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3
＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝1×(1－26)
1－2
＝63.
答案：63
10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比q ＝______. 解析：依题意S 1,2S 2,3S 3成等差数列，有4S 2＝S 1＋3S 3，当q ≠1时，有4(a 1＋a 1q )＝a 1
＋3a 1(1－q 3)1－q
.由于a 1≠0，得3q 2－q ＝0，又q ≠0，故q ＝13；当q ＝1时，不成立．
答案：1
3
11．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝1
3.
(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n
2
；
(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． (1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝1
3n ，
S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－
13＝1－1
3n 2，
所以S n ＝－1－a n
2
.
(2)解：b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)
2.
所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)
2
.
12．某市共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2014年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则
(1)该市在2020年应该投入电力型公交车多少辆？
(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的13
？
解：(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5. ∴2020年应投入的数量为a 7＝a 1q 6＝128×⎝⎛⎭⎫326
＝1 458(辆)． (2)设{a n }的前n 项和为S n .
则S n ＝128·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n 1－3
2
＝256·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1， 由S n ＞(10 000＋S n )×1
3
，即S n ＞5 000.解得n ＞7.
∴该市在2020年应该投入1 458辆电力型公交车，到2021年底电力型公交车的数量开
始超过该市公交车总量的1
3
.
13．(2013·湖南高考)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2
＋a 3＋a 4＝－18.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．
解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4
＝－18，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2
，a 1q (1＋q ＋q 2
)＝－18， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝3，q ＝－2.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －
1.
(2)由(1)有S n ＝3×[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .
若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.
当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，则n ≥11.
综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。