2.4等比数列(一)

和１８，求它的第１项和第２项．
解 ：设等比数列｛an｝ 的公比为q，由已知条件，有
例３．一个等比数列的第３项和第４项分别是１２
an a1 q a1q 12 即 a1q 3 18 3 16 解得 q a1 2 3 因此， a a q 16 3 8 2 1 3 2 方程组思想
公比为q. 令cn an • bn
证明：设数列an 的首项a1、公比为p，数列bn 的首项为b1、
数列an • bn 是以a1 • b1为首项，pq为公比的等比数列.
cn1 an1 • bn1 则 pq cn an • bn
结论：
如果a n bn 是项数相同的等比数列，那么 a n bn 也是等比数列．
问题 : (1)三个数列各自的特点? (2)三个数列有何共同点? 从第二项起，后一项与前一项的比都是
______________。
同一个常数
1.定义：
一般地，如果一个数列从第二项起每 一项与它的前一项的比等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做 等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 。
2.等比数列的分类： q>1 0<q<1 a1>0 递增 a1<0 递减递减 递增Fra bibliotekq=1
q<0
常数列 摆动数列 常数列 摆动数列
3、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G b 2 G ab G ab (aGb 0); a G
定义式： an q(n 1) an1
或
an1 * q(n N ) an
思考:
(1) 等比数列中有为0的项吗? 没有,每一项都不为0 (2)公比q能是0吗？
不能
(3) 公比为1的数列是什么数列？ 非零常数列 (4) 既是等差数列又是等比数列的数列 存在吗？是什么样的数列？ (5) 常数列都是等比数列吗？
③看前n项和法： n S
An Bn( A、B为常数)
2
6. 数列{an}的an与前n项和Sn的关系
（n 1) S1 利 an与Sn的关系为an 求通项公式 用 Sn - Sn-1（n 1)
7. 等差数列{an}的前n项和Sn的最值问题 法一：利用通项公式
两种方法：
(1) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，求得n的值；
证明： am an a1q a p • aq a1q
m 1 p 1
• a1q • a1q
n 1
a q
2 1
mn2 p q 2
q 1
a q
2 1
m n p q a •a a
m n
p
• aq
5.等比数列的性质 (2)若数列an 是公比为q的等比数列，m、
(5)性质：①an＝amqn－ m(n，m∈N＋ )． ②若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq (p，q，m，n∈N＋ )．
③若数列 {an }是等比数列，则
Sk ,S2k - Sk ,S3k - S2k ,S4k - S3k .....也是等比数列
复习回顾 an an1 d (n 1, n N * ) 1.等差数列的定义式： 2.等差数列的通项公式： an＝a1＋(n－1)d. 3.等差数列的性质： ①an＝am＋(n－m)d ②若m+n=p+q,则am + an= ap + aq ③若a，A，b成等差数列，则2 A a b ④等差数列的单调性 递增数列 若公差d 0, 则数列an 为-------------------------递减数列 若公差d 0, 则数列an 为-------------------------常数列 若公差d 0, 则数列an 为-------------------------⑤Sk , S2k - Sk , S3k - S2k , S4k - S3k ,成等差，公差k 2d ⑥ 若am n, an m 则 am n 0,
定义
等差数列()
等比数列()
an 1 an d
d∈R
等差中项
an 1 q an
q≠0且q∈R
等比中项
公比(差)
等比(差) 中项 通项公式
2A a b
G ab
an a1 (n 1)d an am (n m)d
an a1q
n 1
an am q
an a1q
*
n 1
(n N , a1 0, q 0)
(迭代法)
写出通项公式
(1)1,2,4,8,
1 1 1 (2)1, , , , 2 4 8
(3)1,20,202 ,203 ,
an 2 1 n-1 an ） （ 2 n -1 an -20） （
n -1
应用 (1). 等比数列通项公式的应用
(a1 a2 n 1 ) (2n 1) an A2 n 1 2 b n (2n 1) (b1 b2 n 1 ) B2 n 1 2
一、新课引入
观察以下数列 :
(1)1,2,4,8,
1 1 1 ( 2)1, , , , 2 4 8
(3)1,20,202 ,203 ,
nm
性质 (若m+n=p+q)
am an a p aq am an a p aq
2．等比数列 an＋1 (1)定义式： ＝q(n∈N＋，q 为非零常数)． an a1qn－1 . (2)通项公式：a ＝
n
na1 q＝1 (3)前 n 项和公式：Sn＝ a11－qn q≠1 1－q . 2 (4)等比中项公式：an＝an－1an＋1(n∈N＋，n≥2)．
当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，求得n的值.
法二：利用前n项和公式
(2) 由
Sn An Bn
2
利用二次函
函数配方法求得最值时n的值.
8. 等差数列{|an|}的前n项和Tn问题
9.若两个等差数列an 和bn 的前n项和An和Bn满足 An 7n 1 a3 a7 an 关系式 ,求 ， ， . Bn 4n 7 b3 b7 bn
an nm n N ，那么是否有 q 成立？ am

证明： an a1q ，am a1q
n -1 m -1
an a1q n -m q m -1 am a1q
n -1
an amq
n- m
应用 (2).证明等比数列的方法 例4、若 an , bn 是项数相同的等比数列, 求证 : an bn 也是等比数列.
2
a3 12, a4 18,
n1
练习2
在等比数列an 中: (1)a4 27, q 3, 求a7 ;
(2)a2 18, a4 8, 求a1和q;
5.等比数列的性质
(1)若数列an 为公比为q等比数列，且有 m n p q，否有am • an a p • aq ？
练习3 n 在数列an 中,an 7 , 求证:数列an 是等比数列 3
思考1：如果an 是等比数列，c是非零常数，数列c • an 是等比数列吗？ an 思考2：如果 an ，bn 是等比数列，数列 是等比数列吗？ bn
总结比较：
非零的常数列 不一定，各项为0 的常数列除外
(6) 若一数列不是从第2项起而是从第3项 或第4项开始，后项与前项的比值等于同 一个常数，此数列是等比数列吗？ 不是
注：对定义的认识
1.等比数列的每一项都不为0，即an≠0。 2.公比不为0，即q≠0。
问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？ 如果是,a必须满足什么条件？ (1) a＝0; 它只是等差数列。 (2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。
若Sn m，Sm n则Sm n （m n） -
4.等差数列的前n项和公式
n(a1 an ) n(n 1) Sn na1 d 2 2
5.等差数列判定 ①定义法： an1 an d ②看通项法：
an - an-1 d n 1） （
an kn （其中k, b为常数） b
练习1
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数 就会成为一个等比数列：
（1）1，±3， 9 （3）-12， ，-3 ±6 （2）-1，±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
依据：G ab
4.等比数列的通项公式
如果等比数列an 的首项是a1 , 公比是q, 则an ？
a2 a1q, 2 a3 a2 q a1q , 3 a4 a3 q a1q , n 1 an an 1q a1q .