13解直角三角形(2)

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2023年中考数学一轮专题练习解直角三角形的实际应用2(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习 ——解直角三角形的实际应用（解答题部分）一、解答题（本大题共16小题）1. （湖北省恩施州2022年）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A 处测得古亭B 位于北偏东60°，他们向南走50m 到达D 点，测得古亭B 位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB 1.41≈ 1.73≈，结果精确到1m ）．2. （湖南省湘潭市2022年）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618DHAH≈）：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20cm AB AC ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数1.732≈）3. （湖南省怀化市2022年）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．，≈1.41）4. （湖南省邵阳市2022年）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60︒方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45︒方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈）1.414≈， 1.7325. （湖南省郴州市2022年）如图是某水库大坝的横截面，坝高20mCD=，背水坡BC i=．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员的坡度为11:1i=A与原起点B之间的距离．（参准备把背水坡的坡度改为2≈．结果精确到0.1m）≈ 1.731.416. （天津市2022年）如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为42︒，测得塔底B的仰角为35︒．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：，．︒≈︒≈tan350.70tan420.907. （四川省自贡市2022年）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O 处，另一端系小重物G ．测量时，使支杆OM 、量角器90°刻度线ON 与铅垂线OG 相互重合（如图①），绕点O 转动量角器，使观测目标P 与直径两端点,A B 共线（如图②），此目标P 的仰角POC GON ∠=∠．请说明两个角相等的理由．(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K 处测得顶端P 的仰角60POQ ∠=，观测点与树的距离KH 为5米，点O 到地面的距离OK 为1.5米；求树高PH 1.73≈，结果精确到0.1米）(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距离地面高度PH （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点,E F （,,E F H 在同一直线上），分别测得点P 的仰角,αβ，再测得,E F 间的距离m ，点12,O O 到地面的距离12,O E O F 均为1.5米；求PH （用,,m αβ表示）．8. （四川省遂宁市2022年）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A 处测得塔楼顶端点E 的仰角50.2GAE ∠=︒，台阶AB 长26米，台阶坡面AB 的坡度5:12i =，然后在点B 处测得塔楼顶端点E 的仰角63.4EBF ∠=︒，则塔顶到地面的高度EF 约为多少米．（参考数据：tan50.2 1.20︒≈，tan63.4 2.00︒≈，sin50.20.77︒≈，sin63.40.89︒≈）9. （四川省内江市2022年）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．(1)求河的宽度；(2)求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）10. （四川省眉山市2022年）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30，沿AD方向前进60m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45︒，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据： 1.41≈，≈）1.7311. （四川省泸州市2022年）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10 nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8 nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．12. （四川省凉山州2022年）去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C 处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B 处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B 处测得BC 与水平线的夹角为45°，塔基A 所在斜坡与水平线的夹角为30°，A 、B 两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．13. （湖北省鄂州市2022年）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A 的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF 上的D 处看见飞机A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG =30米（点E 、G 、C 、B 在同一水平线上）．求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD ； (2)此时飞机的高度AB ，（结果保留根号）14. （四川省成都市2022年）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角150AOB ∠=︒时，顶部边缘A 处离桌面的高度AC 的长为10cm ，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角108A OB '∠=︒时（点A '是A 的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A '处离桌面的高度A D '的长．（结果精确到1cm ；参考数据：sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）15. （黑龙江省绥化市2022年）如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．（结果保留小数点后一位）1.732≈，sin 480.743︒≈，cos480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）16. （四川省广元市2022年）如图，计划在山顶A 的正下方沿直线CD 方向开通穿山隧道EF ．在点E 处测得山顶A 的仰角为45°，在距E 点80m 的C 处测得山顶A 的仰角为30°，从与F 点相距10m 的D 处测得山顶A 的仰角为45°，点C 、E 、F 、D 在同一直线上，求隧道EF 的长度．参考答案1. 【答案】古亭与古柳之间的距离AB 的长约为137m 【分析】过点B 作AD 的垂直，交DA 延长线于点C ，设m AC x =，则(50)m CD x =+，分别在Rt BCD 和Rt ABC △中，解直角三角形求出,BC AB 的长，再建立方程，解方程可得x 的值，由此即可得出答案．【详解】解：如图，过点B 作AD 的垂直，交DA 延长线于点C ，由题意得：50m,60,45AD BAC D =∠=︒∠=︒，设m AC x =，则(50)m CD AC AD x =+=+，在Rt BCD 中，tan (50)m BC CD D x =⋅=+，在Rt ABC △中，tan m BC AC BAC =⋅∠=，2m cos ACAB x BAC==∠，则50x +=，解得25x =，则250137(m)AB x ==≈，答：古亭与古柳之间的距离AB 的长约为137m ．2. 【答案】72cm 【分析】过点B 作BE AH ⊥于点E ，解Rt ,Rt ABE BED ，分别求得,AE ED ，进而求得AD ，根据黄金比求得DH ，求得AH 的长，即可求解．【详解】如图，过点B 作BE AH ⊥于点EAB AC =，120BAC ∠=︒，AH 始终平分BAC ∠， 60BAE CAD ∴∠=∠=︒ 1cos60102AE AB AB ∴=︒⨯==，BE =,,AB AC BAD CAD AD AD =∠=∠=ADC ADB ∴≌ 90BDC ∠=︒ 45ADB ADC ∴∠=∠=︒BE ED ∴=1027.32AD AE ED ∴=+=+≈0.618DHAH≈ 0.618DHDH AD∴≈+解得44.2DH ≈27.3244.271.5272AH AD DH ∴=+=+=≈ 答：最少需要准备72cm 长的伞柄 3. 【答案】不穿过，理由见解析【分析】先作AD ⊥BC ，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°，设CD =x ，可表示AD 和BD ，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD ，与800米比较得出答案即可．【详解】不穿过，理由如下：过点A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°. 设CD =x ，则BD=2.4-x ，在Rt △ACD 中，∠ACD=45°， ∴∠CAD=45°， ∴AD=CD =x ．在Rt △ABD 中，tan 30ADBD︒=，即2.4x x =-，解得x =0.88，可知AD=0.88千米=880米，因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．4. 【答案】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析【分析】如图，过C 作CD ⊥AB 于点D ，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC =30°，∠CBD =45°，解Rt △ACD 和Rt △BCD ，求出CD 即可．【详解】解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．如图所示：根据题意可知∠BAC =90°−60°=30°，∠DBC =90°-45°=45°，AB =30×1=30（km ），在Rt △BCD 中，∠CDB =90°，∠DBC =45°， tan ∠DBC =CD BD ，即CDBD=1 ∴CD =BD 设BD =CD =x km ，在Rt △ACD 中，∠CDA =90°，∠DAC =30°，∴tan ∠DAC =CD AD ，即30x x =+解得x， ∵40.98km>40km∴这艘船继续向东航行安全．5. 【答案】背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离约为14.6m 【分析】通过解直角三角形Rt BCD 和Rt ACD ∆，分别求出AD 和BD 的长，由AB AD BD =-求出AB 的长．【详解】解：在Rt BCD 中，∵背水坡BC 的坡度11:1i =，∴1CDBD=， ∴()20m BD CD ==．在Rt ACD ∆中，∵背水坡AC 的坡度2i = ∴CD AD =∴)m AD ==，∴()2014.6m AB AD BD =-=≈．答：背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离约为14.6m ． 6. 【答案】这座山AB 的高度约为112m 【分析】在Rt PAB 中，·tan AB PA APB =∠，在Rt PAC △中，·tan AC PA APC =∠，利用AC AB BC =+，即可列出等式求解．【详解】解：如图，根据题意，324235BC APC APB ︒∠︒=∠==，，．在Rt PAC △中，tan ACAPC PA∠=， ∴tan ACPA APC=∠．在Rt PAB 中，tan AB APB PA∠=， ∴tan ABPA APB=∠．∵AC AB BC =+， ∴tan tan AB BC ABAPC APB+=∠∠．∴()tan 32tan 35320.70112m tan tan tan 42tan 350.900.70BC APB AB APC APB ⋅∠⨯︒⨯==≈=∠-∠︒-︒-．答：这座山AB 的高度约为112m ． 7. 【答案】(1)证明见解析 (2)10.2米(3)tan tan 1.5tan tan m αβαβ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭米【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH 的长，注意最后的结果；（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含αβ、、m 的式子表示出PH ．(1)证明：∵9090,COG AON ∠=︒∠=︒∴POC CON GON CON ∠+∠=∠+∠∴POC GON ∠=∠(2)由题意得：KH =OQ =5米，OK =QH =1.5米，9060,OQP POQ ∠=︒∠=︒，在Rt △POQ 中tan ∠POQ =5PQ PQ OQ ==∴PQ =∴15102PH PQ QH =+=+≈..（米）故答案为：10.2米．(3)由题意得：1212, 1.5O O EF m O E O F DH m =====，由图得：21==tan tan PD PD O D O D βα， 21tan tan PD PD O D O D βα==，， ∴1221O O O D O D =- ∴tan tan PD PD m βα=- ∴tan tan tan tan m PD αβαβ=- ∴tan tan 1.5tan tan m PH PD DH αβαβ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭米故答案为：tan tan 1.5tan tan m αβαβ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭米 8. 【答案】塔顶到地面的高度EF 约为47米【分析】延长EF 交AG 于点H ，则EH AG ⊥，过点B 作BP AG ⊥于点P ，则四边形BFHP 为矩形，设5BP x =，则12AP x =，根据解直角三角形建立方程求解即可．【详解】如图，延长EF 交AG 于点H ，则EH AG ⊥，过点B 作BP AG ⊥于点P ，则四边形BFHP 为矩形，∴FB HP =，FH BP =．由5:12i =，可设5BP x =，则12AP x =，由222BP AP AB +=可得()()22251226x x +=，解得2x =或2x =-（舍去），∴10BP FH ==，24AP =，设EF a =米，BF b =米，在Rt BEF △中tan EF EBF BF ∠=，即tan 63.42a b︒=≈，则2a b =① 在Rt EAH 中，tan EH EF FH EF BP EAH AH AP PH AP BF++∠===++，即10tan 50.2 1.2024a b +︒=≈+② 由①②得47a =，23.5b =．答：塔顶到地面的高度EF 约为47米．9. 【答案】(1)（）米；【分析】（1）过点A 作AE ⊥l 于点E ，设CE =x ，在Rt △ADE 中可表示出DE ，在Rt △ACE 中可表示出AE ，通过解直角三角形ADE 求出x 即可；（2）过点B 作BF ⊥l ，垂足为F ，继而得出CE 的长，在Rt △BCF 中，求出CF ，继而可求出AB ．(1)解：过点A 作AE ⊥l ，垂足为E ，设CE ＝x 米，∵CD ＝60米，∴DE ＝CE +CD ＝（x +60）米，∵∠ACB ＝15°，∠BCD ＝120°，∴∠ACE ＝180°﹣∠ACB ﹣∠BCD ＝45°，在Rt △AEC 中，AE ＝CE •tan 45°＝x （米），在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，∴tan 30°＝AE ED ＝60x x + ∴x ＝，经检验：x ＝30是原方程的根，∴AE ＝（30）米，∴河的宽度为（）米；(2)过点B 作BF ⊥l ，垂足为F ，则CE ＝AE ＝BF ＝（）米，AB ＝EF ，∵∠BCD ＝120°，∴∠BCF ＝180°﹣∠BCD ＝60°，在Rt △BCF 中，CF ＝tan 60BF ︒＝ ∴AB ＝EF ＝CE ﹣CF ＝30﹣（∴古树A 、B 之间的距离为10. 【答案】82米【分析】设CD 的长为x ，可以得出BD 的长也为x ，从而表示出AD 的长度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可．【详解】解：设CD 为x ，∵45CBD ∠=︒，∠CDB =90°，∴BD CD x ==，∴()60AD AB BD x =+=+，在Rt ACD 中，∠ADC =90°，∠DAC =30°，tan CD DAC AD∠=，即60x x =+ ∴30330x∴81.9m x =82m ≈．答：此建筑物的高度约为82m ．11. 【答案】B ，D 间的距离为14nmile ．【分析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据题意可得，∠BAC =∠ABC =45°，∠BAD =60°，AD =10 nmile ，BC ．再根据锐角三角函数即可求出B ，D 间的距离．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据题意可得，∠BAC =∠ABC =45°，∠BAD =60°，AD =10 nmile ，BC ．在Rt △ABC 中，AC =BC∴AB =16(nmile)，在Rt △ADE 中，AD =10 nmile ，∠EAD =60°，∴DE =AD ， AE =12AD =5 (nmile)， ∴BE =AB -AE =11(nmile)，∴BD =14(nmile)，答：B ，D 间的距离为14nmile ．12. 【答案】(8+米【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，在Rt △ABD 和Rt BCD 中，分别解直角三角形求出,,,AD BD CD BC 的长，由此即可得．【详解】解：如图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，由题意得：16AB =米，45,30,CBD E AC EF ∠=︒∠=︒⊥，BD EF ∴，30ABD E ∴∠=∠=︒，在Rt △ABD 中，182AD AB ==米，cos BD AB ABD =⋅∠=在Rt BCD 中，tan CD BD CBD =⋅∠=cos BD BC CBD ==∠则8AD CD BC ++=+答：压折前该输电铁塔的高度为(8+米．13. 【答案】(1)(2)()90米【分析】（1）先根据斜坡CF 的坡比=1：3，求出CG 的长，然后利用勾股定理求出CD 的长即可；（2）如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，BH =DG =30米，DH =BG ，证明AB =BC ，设AB =BC =x 米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，解直角三角形得到3090x x -=+ (1)解：∵斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG =30米， ∴13DG CG =， ∴90CG =米，∴CD ==米；(2)解：如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，∴BH =DG =30米，DH =BG ，∵∠ABC =90°，∠ACB =45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，设AB =BC =x 米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，在Rt △ADH中，tan AH ADH DH ∠==，∴3090x x -=+解得90x =，∴()90AB =米．14. 【答案】约为19cm【分析】在Rt △ACO 中，根据正弦函数可求OA =20cm ，在Rt △A DO '中，根据正弦函数求得A D '的值．【详解】解：在Rt △ACO 中，∠AOC =180°-∠AOB =30°，AC =10cm ，∴OA =10201sin 302OC，在Rt △A DO '中，18072A OC A OB ，20OA OA '==cm ， ∴sin72200.9519A D OA cm ．15. 【答案】4.9m【分析】先求出BC 的长度，再分别在Rt △ADC 和Rt △BEC 中用锐角三角函数求出EC 、DC ，即可求解．【详解】根据题意有AC =30m ，AB =10m ，∠C =90°，则BC =AC -AB =30-10=20，在Rt △ADC 中，tan 30tan 3010DC AC A =⨯∠=⨯=，在Rt △BEC 中，tan 20tan 48EC BC EBC =⨯∠=⨯，∴20tan 4810DE EC DC =-=⨯-即20tan 481020 1.11110 1.732 4.9DE =⨯-⨯-⨯=故广告牌DE 的高度为4.9m ．16. 【答案】隧道EF 的长度()30米．【分析】过点A 作AG ⊥CD 于点G ，然后根据题意易得AG =EG =DG ，则设AG =EG =DG =x ，进而根据三角函数可得出CG 的长，根据线段的和差关系则有80x +=，最后问题可求解．【详解】解：过点A 作AG ⊥CD 于点G ，如图所示：由题意得：80m,10m,45,30CE DF AEF ADE ACE ==∠=∠=︒∠=︒，∴△EAD 是等腰直角三角形，∴AG =EG =DG ，设AG =EG =DG =x ，∴tan 30AG CG ==︒，∴80x +=，解得：40x =，∴()40m AG EG DG ===，∴()401030m EF ED DF =-=-=；答：隧道EF 的长度()30米．。

解直角三角形知识点及跟踪习题

解直角三角形知识点及跟踪习题考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点知识点二．三角函数对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的. 因此这几个比值都是锐角∠A 的函数，记作sin A 、cos A 、tan A 、cot A ，即sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数.知识点三。

锐角三角函数的特征与性质：（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 （2）tan A •cot A =1（3）补充：sin tan cos AAA，cos cot sin AA A （视情况定）（4）补充：已知锐角∠A ，则22sin cos 1AA（视情况定）（5）锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，①.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ②.余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ③.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ④.余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大知识点四、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60°90° sinα 0 21 22 23 1 cos α 1 23 22 21 0 tan α 0 33 1 3不存在 cot α不存在3133 0︒15020米30米从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.（2在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图19.4.5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i ,即i =lh . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝lh=tan a 显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡. 知识点六．1.解直角三角形：在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

《解直角三角形》数学教学PPT课件(3篇)

b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1

4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)

人教版数学九年级下册《解直角三角形》PPT课件

∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？（3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ，你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，

九年级同步第13讲：解直角三角形的应用-教师版

ABCDE F12 3【例1】如图，90C DEB ∠=∠=︒，FB // AC ，从A 看D 的仰角是______；从B 看D 的俯角是______；从A 看B 的______角是______；从D 看B 的______角是______．【难度】★【答案】2∠；3∠；仰；1∠；仰；3∠．【解析】考查仰角、俯角的基本定义．【例2】升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示）【难度】★ 【答案】2338+．【解析解：如图所示，AB 为旗杆，CD 为某同学．则24==CA DE ，5.1==AE CD ，30BDE ∠=︒，在BDE Rt △中，DE BEBDE =∠tan ，∴2433BE=， ∴38=BE ，∴2338+=+=EB AE AB ．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．例题解析ABC D 【例3】如图，两建筑物水平距离为a 米，从点A 测得点C 的俯角为α，测得点D 的俯角为β，则较低建筑物CD 的高为（）A ．a 米B ．（tan a αg ）米C ．tan a α米D ．(tan tan )a αβ-米【难度】★ 【答案】D【解析】过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．由题意有：a BD CE ==，α=∠ACE ，β=∠ADB 在ACE Rt △中，CE AE ACE =∠tan ， ∴αtan a AE =在ABD Rt △中，BDABADB =∠tan ， ∴βtan a AB =∴()βαβαtan tan tan tan -=-=-==a a a AE AB BE DC【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解．【例4】如图，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D 处分别用测角仪器测得顶部A 的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号）【难度】★★ 【答案】15315+．【解析】解：由题意可得：︒=∠30ACB ，︒=∠45ADB ．设x AB =，则x BD =，在ABC Rt △中，BC AB ACB =∠tan ，∴3330=+x x ，解得：15315-=x ．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．AB CDEABCDAB CDE【例5】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m ，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ）【难度】★★ 【答案】277.1米．【解析】解：由题意可得：︒=∠60BAD ，︒=∠30CAD ，120=AD在ABD Rt △中，AD BDBAD =∠tan ，∴1203BD=，∴3120=BD ．在ACD Rt △中，AD CDCAD =∠tan ，∴12033CD=，∴340=CD ． ∴1.27731603403120≈=+=+=CD BD BC【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．【例6】如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得点D 和点C 的仰角为45°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE = 15米，3 1.73≈，计算结果保留整数）【难度】★★ 【答案】3【解析】解：由题意可得：︒=∠60CBE ，︒=∠45ADE ，在CBE Rt △中，BE CECBE =∠tan ，∴153CE=，∴315=CE 在AED Rt △中，AEDEDAE =∠tan ，∴1581+=DE，∴23=DE ． ∴323315≈-=-=ED EC CD ．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解和运用．【例7】某高层建筑物图中AB 所示，小明家住在高层建筑物附近的“祥和”大厦（图中 CD 所示），小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB 的高度．他先在自己家的阳台（图中的Q 点）测得AB 的顶端（点A ）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向AB 方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P 处），测得点A 的仰角为45°．已知点C 、P 、B 在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB 的高度．（参考数据：sin370.6︒=，cos370.8︒=，tan370.75︒=）【难度】★★★ 【答案】492米．【解析】过Q 作AE ⊥AB ，垂足为E ．解：由题意可得：︒=∠37AQE ，︒=∠45APB ， 60=CQ ，84=PC ．设x BA =，则x PB = 在AQE Rt △中，QEAEAQE =∠tan ， ∴xx+-=846075.0，∴492=x ．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．ABC D P QE【例8】如图，为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第 10层，每层的高度为3米，两楼间的距离AC = 30米．现需了解在某一时间段内，甲楼对乙楼采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B 落在乙楼的影子长EC = h ，太阳光线与水平线的夹角为α．（1）用含α的式子表示h ；（2）当α= 30°时，甲楼楼顶B 的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若α每小时增加10°，约几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．（结果精确到0.01）【难度】★★★【答案】(1)αtan 3030-=h ；（2）第4层，6小时．【解析】解：(1)由题意可得：30103=⨯=AB ．过E 作FE ⊥AB ，垂足为F ．在BEF Rt △中，EFFBBEF =∠tan ，∴tan 30FBα=，∴αtan 30=BF ．∴αtan 3030-=-==AF AB AF EC ．（2）如图2，30==AC AB ， ∴︒=∠45BCA∵若α每小时增加10°， ∴()5.1103045=÷-．∴需要1.5小时才能从30°到90°．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．BD甲楼乙楼太阳光EF北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°1、方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．【例9】如果由点A 测得点B 在北偏东15°的方向，则由B 测点A 的方向为（）A ．北偏东15°B ．北偏西75°C ．南偏西15°D ．南偏东75°【难度】★ 【答案】B【解析】考查方向角的定义．【例10】如图，小明从A 地沿北偏东30°方向走1003米到B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地，此时小明离A 地_____米．【难度】★ 【答案】100．【解析】解：由题意可知：︒=∠30ABD在ADB Rt △中，AB ADABD =∠cos ，∴310033BD =，∴150=BD ，35022=-=DB AB AD ．知识精讲例题解析A BC东南西D∴50150200=-=-=BD BC CD ．∴10022=+=CD AD AC ．【总结】本题主要考查对方位角的准确理解和运用．【例11】如图，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（） A ．30海里 B ．40海里C ．50海里D ．60海里【难度】★ 【答案】B【解析】解：∵AB BC =，︒=∠60ABC ∴ABC △为等边三角形．∴40=AC ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例12】在位于O 处某海防哨所的北偏东60°相距6海里的A 处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B 处，则A 、B 间的距离是______海里．（精确到0.1海里，2 1.414≈，3 1.732≈）【难度】★★ 【答案】5.5．【解析】解：由题意可知：6=OA ，︒=∠30AOC ，︒=∠45BOC在AOC Rt △中，AO ACAOC =∠sin ，∴216=AC ，∴3CA =，3322=-=AC AO OC ． ∴33==CO BC ．∴5.5333≈+=+=BC AC AB ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．北北 ABC【例13】如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，请问，此时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？（精确到0.01海里，cos250.91︒≈，sin340.559︒≈）【难度】★★ 【答案】130.23．【解析】解：在APC Rt △中，APPCAPC =∠cos ， ∴8091.0PC=，∴8.72=PC 在BPC Rt △中，BPPCCBP =∠sin ，∴BP8.72559.0=，∴23.130=PB ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例14】如图，A 、B 为湖滨的两个景点，C 为湖心一个景点．景点B 在景点C 的正东方向，从景点A 看，景点B 在北偏东75°方向，景点C 在北偏东30°方向．一游客自景点A 驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C ，之后又以同样的速度驶向景点B ，该游客从景点C 到景点B 需用多长时间？（tan75 3.732︒≈，精确到1分）【难度】★★ 【答案】27分．【解析】过A 作AD ⊥BC 的延长线于D ．由题意可得：︒=∠75BAD ，︒=∠30DAC ，2002010=⨯=AC ．在ADC Rt △中，ACDCCAD =∠cos ， ∴20023AD=，∴3100=AD ，100=DC 在ABD Rt △中，DABDBAD =∠tan ，∴3100732.3BD=，∴32.373=DB∴3824.64610032.373≈-=-=CD BD BC东南西北ABPCABC东北D∴2731.27203824.646≈==t ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例15】如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B 是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）B 在暗礁区外；（2）有危险．【解析】解：（1）由题意可得：︒=∠30CAB ，︒=∠60CBD ，182136=⨯=AB ．∴︒=︒-︒=∠-∠=∠303060CAB CBD ACB ， ∴ACB CAB ∠=∠ ∴1618>==BC AB∴B 在暗礁区外．（2）在BDC Rt △中，BCDCBCD =∠cos ， ∴1823CD=，∴16188.1539<≈=CD∴若继续向东航行有触礁危险．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，注意在触礁问题中的最小距离指的是垂直距离．东A B CD【例16】如图，AC 是某市环城路的一段，AE 、BF 、CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A 、B 、C ．经测量，花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上，AB = 2千米，15DAC ∠=︒．（1）求B 、D 之间的距离；（2）求C 、D 之间的距离．【难度】★★【答案】（1）2；（2）332．【解析】解：(1)由题意得：︒=∠45EAD ， ︒=∠30DBF ．∵FB AE ∥∴︒=∠=∠60EAB FBC ∴︒=∠30DBC ∵15DAC ∠=︒ ∴︒=∠15ADB ∴DAB ADB ∠=∠∴2==AB BD(2)∵CD AE ∥ ∴︒=∠=∠45ADC EAD ∴︒=∠30BDC过C 作CG ⊥BD ，垂足为G 在GDC Rt △中，DCDGBDC =∠cos ， ∴CD123=，∴332=CD ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．ABCDE F和平路文化路中山路G11 / 32【例17】如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2 小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇．（1）甲船从C 处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度？（结果保留根号）【难度】★★★【答案】（1）4小时；（2）231515+．【解析】解：由题意可得：︒=∠45BCA ， ︒=∠105BAC ，︒=∠30B ， 2302215=⨯=AC ．在ACD Rt △中，AC ADBCA =∠sin ，∴23022AD =， ∴30=AD ， ∴30==AD CD ，602==AD AB ，330=BD ． ∴（1）41560=÷=t ；（2）()231515433030+=÷+=v ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．东东北 ABCD12 / 32【例18】如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2千米，点B 位于点A 北偏东60°方向且与点A 相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A 正北方向的点D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度．（结果精确到0.1千米/时）（参考数据：3 1.73≈，sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈）【难度】★★★【答案】（1）3；（2）40.4．【解析】解：（1）由题意有：2=AD ，︒=∠30BAH ．在BAH Rt △中，521==AB BH ，3522=-=BH AB AH ，∴325=-=-=-=AD BH FH BH BF ．(2)在BCF Rt △中，BF CFCBF =∠tan ，∴301.4CF=，∴03.12=CF ． ∴3503.12-=-=-=AH CF DF CF CD ．∴()()112.03535min 12.035340.4/12v km km h km h =-÷=-÷≈．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题目中给出的条件．ABC D E l东北F H13 / 32ABCDABC【例19】某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高______米．【难度】★ 【答案】6．【解析】考查坡度的定义．【例20】某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______．【难度】★ 【答案】32．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例21】如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2米，则两树间的坡面距离AB 为（）A ．4米B 3C 43D ．43米【难度】★ 【答案】C【解析】考查坡角的定义．【例22】如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，B 的正切值为43，则它的里口宽BC = ______．【难度】★★14 / 32【答案】33毫米．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例23】河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD 的坡度为1 : 3，斜坡CB 的坡角为45°，则河堤横断面的面积为______平方米．【难度】★★ 【答案】96．【解析】考查坡角的基本定义．【例24】如图，一个大坝的横断面是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB = 3米，经测量背水坡AD = 20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i = 1 : 0.6，求迎水坡BC 的坡角C ∠的余切值和坝底宽CD ．【难度】★★【答案】53；3109+．【解析】过A 、B 作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ．由题意可得：356.01tan ==C ，10==BF AE ，∴5316.0cot ==C ．在BCF Rt △中，CFBFC =∠tan ， ∴CF1035=，∴6=CF ．在ADE Rt △中，31022=-=AE AD DE ，ABCDE F15 / 32ABCD∴931063310+=++=++=FC EF DE CD ．【总结】本题主要考查坡脚和坡比的概念．【例25】如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？【难度】★★ 【答案】2560．【解析】()6.18.02.18.221=⨯+⨯=ABCD S 梯形，256016006.1=⨯=V ．【总结】考查等腰梯形双高辅助线的做法和坡度的基本定义．【例26】如图，小杰发现垂直地面的旗杆AB 的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC 和CD ，经测量得BC =10米，CD =10米，斜坡CD 的坡度为1:3i =，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米，求旗杆AB 的长度．（答案保留整数，其中10 3.2≈）【难度】★★ 【答案】13．【解析】解：延长AD 和BC 交于点E ，过D 作DF ⊥BE ．由题意可知：31tan =∠DCF ，21tan =E ．在DCF Rt △中，CF DF DCF =∠tan ，∴CF DF=31．设x DF =，x CF 3=，则()101032222==+=+=x x x FC FD DC ，∴10=x ．∴10=DF ，103=CF ．AB CDEF16 / 32在DEF Rt △中，EFDFE =∠tan ， ∴EF1021=，∴102=EF 在ABC Rt △中，EBABE =∠tan ，∴1021031021++=AB ，∴1351025≈+=AB ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例27】如图，斜坡AP 的坡度为1:2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度．（结果精确到1米）（参考数据：sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈）【难度】★★【答案】（1）10；（2）19．【解析】解：延长BC 交PQ 于点E ，过A 作AD ⊥PQ由题意可知：︒=∠76BAC ，︒=∠45BPE1254.2:1tan ==∠APD ．在APD Rt △中，PD DA APD =∠tan ，∴PD DA=125．设x DA 5=，x PD 12=，则()()26131252222==+=+=x x x PD AD PA ，∴2=x ．∴10=DA ，24=PD ．在BAC Rt △中，AC BC BAC =∠tan ，∴ACBC=01.4 设x CA =，x BC 01.4=，ABCPQD E17 / 32ABCDE F G H 在PBE Rt △中，EPEBBPE =∠tan ， ∴241001.41++=x x ，∴65.4=x ．∴1901.4≈=x BC ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例28】如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD ，背水坡AD 的坡度i 为1 : 1.2，坝高为5米．现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽1米，形成新的背水坡EF ，其坡度为1 : 1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少立方米的土？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少立方米？【难度】★★★【答案】（1）30000；（2）甲：1000；乙：500．【解析】由题意可知：652.1:1tan ==∠DAG ，754.1:1tan ==∠EFG ．在AGD Rt △中，AGDG DAG =∠tan ，∴AG565=，∴6=AG ． ∴516=-=-=GH AG AH ．在EFH Rt △中，FHEHEFG =∠tan ， ∴FH575=，∴7=FH ． ∴257=-=-=AH FH AF ． ∴()()2155212121=⋅+=⋅+=EH AF ED S EDAF 梯形．∴300004000215=⨯=V ．（2）设原计划甲工程队每天完成x 立方米，乙工程队每天完成y 立方米，18 / 32则根据题意可得：()()()()⎩⎨⎧=+++-=+30000]401301[5203000020y x y x ％％，解得：⎩⎨⎧==5001000y x ．∴原计划甲工程队每天完成1000立方米，乙工程队每天完成500立方米．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例29】如图所示，在风景区观测塔高时，塔的底部不能直接到达．测绘员从观景台（横截面为梯形ABCD ）的底部A 沿坡面AB 方向走30米到达顶部B 处，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）在点B 处测得塔顶E 的仰角是45°，沿BC 方向走20米到达点C 处测得塔顶E 的仰角是60°．已知坡面AB 的坡度是1:3，根据上述测量数据能否求出塔高？若能，请求出塔高（精确到1米）；若不能，说明还需测出哪些量才能求出塔高．【难度】★★★ 【答案】能，62米．【解析】由题意可知：︒=∠45EBC ，︒=∠60ECG ．333:1tan ==∠BAD ．过B 作BH ⊥AD ．在ECG Rt △中，CGEG ECG =∠tan ，∴31EGCG =．设x CG =，x EG 3=，在EBG Rt △中，BGEGEBG =∠tan ， ∴BGEG=1． ∴2031+=x x，∴31010+=x ． ∵333:1tan ==∠BAD ， ∴︒=∠30BAC ．∴1521==AB BH ．∴6231045153≈+=+=+=x GF EG EF ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注AB C DEFGH19 / 32意认真分析题目中的条件，分析清楚仰角分别指的是哪个角．【例30】如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF 上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE 的大树HD ．小智想要测量这棵大树HD 的高度．在下午的某个时刻，他观察到这棵大树树梢H 的影子落在楼房的外墙面上的点G 处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE 的木柱AB ，它在水平地面BE 上的影子BC 也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB = 1.6米，BC = 3.2米，DE =7.2米，EF = 2.6米，斜坡EF 的坡度i =1 : 2.4，FG = 1.6米．试求大树HD 的高．【难度】★★★ 【答案】7.4米．【解析】解：由题意可得：12:54.2:1tan ==∠FEN ，212.36.1tan tan ===∠=∠BC AB ACB HGM过F 作FM ⊥HD ，过F 作FN ⊥DN在EFN Rt △中，EN FN FEN =∠tan ，∴EN FN=125．设x FN 5=，x EN 12=， ∴则()()6.2131252222==+=+=x x x EN FN EF ，∴2.0=x ．∴1=FN ，4.2=EN ．∴6.94.22.7=+=+==EN DE DN MG ．在HGM Rt △中，MG HMHGM =∠tan ，∴6.921HM =，∴8.4=HM ．∴4.716.18.4=++=++=+=FN GF HM MD HM HD ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件．A B CDEF GHM N随堂检测【习题1】某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米．【难度】★800．【答案】3【解析】考查俯角的定义．【习题2】一船在海上点B处沿南偏东10°方向航行到点C处，这时在小岛A测得点C 在南偏西80°方向，则=______．ACB【难度】★【答案】90°【解析】考查方向角的定义．【习题3】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度为______．【难度】★【答案】1:2【解析】考查坡度的定义．20/ 32AB CDE【习题4】如图，已知楼房AB 高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD = 50米，塔高DC 150503+ ） A ．由楼顶望塔顶仰角为60° B ．由楼顶望塔基俯角为60° C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°【难度】★★ 【答案】C ．【解析】解：由图可知：50====AE DE DB AB ， ∴3350503350150=-+=-=ED CD EC ．在ACE Rt △中，33503350tan ===∠AE CE CAE ，∴︒=∠30CAE ．∴由楼顶望塔顶仰角为30°．【总结】本题主要考查利用已知条件解直角三角形，再利用锐角三角比的值求出角的度数．【习题5】 A 港在B 地的正南103A 港开出向西航行，某人第一次在B 处望见该船在南偏西30°，半小时后，有望见该船在南偏西60°，则该船速度为______．【难度】★★ 【答案】40h km /．【解析】解：在ACB Rt △中，ABAC CBA =∠tan ，∴33310=CA ，解得：10=CA ．在ADB Rt △中，ABAD DBA =∠tan ，∴3310=DA ，解得：30=DA ．∴201030=-=-=AC AD CD ，∴402120=÷=v ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．DABCNM 【习题6】如图，一架飞机在高度为5千米的点A 时，测得前方的山顶D 的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B 时，又测得山顶D 的俯角为45°，求这座山的高度DN ．（结果可保留根号）【难度】★★ 【答案】43-米．【解析】解：由题意可得：5==CN AM ， 2=AB ，︒=∠30CAD ，︒=∠45CBD ．设x CD =，则x BC =．在ACD Rt △中，tan DC CAD AC ∠=，∴233+=x x，解得：13+=x ， ∴()34135-=+-=-=CD CN DN ．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的有关概念解决实际问题．【习题7】小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东15°方向，求小岛B 离深水港口A 的距离．(精确到0.1千米)（参考数据：2 1.41≈，6 2.45≈，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【难度】★★ 【答案】38.6千米．【解析】解：由题意可得：203230=⨯=AC ， ︒=∠45CAB ，︒=∠30B ．过C 点作CD ⊥AB ．在ACD Rt △中，ACDC CAD =∠sin ，∴2022CD=，解得：210=CD ，∴210==CD AD ．在BCD Rt △中，BDDCB =tan ，∴BD 21033=，解得：610=BD ． ∴6.38610210≈+=+=BD AD AB ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．ABC北北 D【习题8】如图，以水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB的坡度1:3AB i =，斜坡CD 的坡度1:2.5CD i =．（1）求斜坡AB 和坝底AD 的长度；（2）若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB 的坡度AB i 由原来的1 : 3变为1 : 5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米．【难度】★★【答案】（1）1023，132.5；（2）598．【解析】解：由题意可得： 6=BC ，23==CF BE ，31tan =A ，525.21tan ==D ．在ABE Rt △中，AEBE A =tan ，∴AE2331=，解得：69=AE ． ∴102369232222=+=+=AE BE AB ．在CDF Rt △中，DFCF D =tan ，∴DF 2352=，解得：2115=DF ．∴5.1322115669=++=++=FD EF AE AD ．（2）由（1）可得：66369=-=-=ME AE AM ．在HGM Rt △中，HM GM H =tan ， ∴HM2351=，∴115=HM ． ∴4966115=-=-=AM HM AH ．∴()()598234932121=⋅+=⋅+=GM AH GB S GHAB 梯形．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．ABCDEFCD F G H【习题9】某城市规划期间，欲拆除河岸边的一根电线杆AB （如图），已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD = 14米，该河岸的坡面CD 的坡比为1 : 2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否需要将此人行道封上？（在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域）【难度】★★★【答案】不需要将此人行道封上．【解析】解：由题意可知：︒=∠30ACG ，21tan =D ．在Rt CDF △中，DF CF D =tan ，∴DF221=，解得：4=DF ， ∴52422222=+=+=DF CF CD ． ∴18414=+=+=DF BD BF ．在AGC Rt △中，GC AG ACG =∠tan ，∴1833AG=，解得：36=AG ， ∴392.12236≈+=+=GB AG AB ． ∴BD AB <．∴不需要将此人行道封上．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题10】如图，小唐同学在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，一会儿便飞抵C 处，此时，在AQ 延长线B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；（2）此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°．若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 约为多长？（结果保留根号）【难度】★★★ 【答案】65215+．【解析】解：（1）由题意可知：︒=∠30B ， ︒=∠45PAQ ，10=PQ ．在PBQ Rt △中，BQPQB =tan ，∴BQ1033=，解得：310=BQ ， ∵10==PQ AQ ，∴10310+=+=QA BQ AB ．（2）由题意有：︒=∠75CAD ∴︒=︒-︒=∠453075C ．过A 作AE ⊥BC ，在ABE Rt △中，ABAE B =sin ，∴3101023+=AE ，解得：1535+=AE ，在ACE Rt △中，ACEA C =sin ，∴AC351522+=，解得：65215+=AC ．【总结】本题综合性较强，主要是利用已知条件，结合仰角和俯角的运用解直角三角形．BCDPE【作业1】身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300米，250 米，200米，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高【难度】★ 【答案】D ．【解析】由仰角的定义和解直角三角形可得：甲的风筝离地面150米，乙的风筝离地面 2125米，丙的风筝离地面3100米．∵150********>>∴乙的风筝最高．【总结】本题主要考查方位角的概念以及特殊角的锐角三角比的值．【作业2】小明在东西方向是沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为______米．【难度】★ 【答案】3200．【解析】解：由题意可知：︒=∠30PAB ，︒=∠120PBA ． ∴︒=∠30APB ∴APB PAB ∠=∠ ∴400==PB AB过P 作PC ⊥AB ，垂足为C 在PBC Rt △中，PBPCPBC =∠sin ， ∴40023PC=∴3200=PC ．【总结】本题主要考查方位角的概念及运用．课后作业【作业3】某人从地面沿着坡度1:3i =的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．【难度】★ 【答案】50【解析】考查坡度的定义和解直角三角形．【作业4】如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°的方向，这艘渔船以 28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°的方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（）A ．14海里B ．142海里C ．7海里D ．72海里【难度】★★ 【答案】D【解析】解：由题意有：︒=∠30MAB ，︒=∠105ABM ，142128=⨯=AB ．∴︒=∠45M ．过B 作BC ⊥AM ，垂足为C在ABC Rt △中，721==AB BC ；在MBC Rt △中，MBBCM =sin ， ∴722MB=．∴27=MB ．【总结】本题主要考查利用方位角结合锐角三角比解决实际问题．A BM北东C【作业5】如图，在同一地面上有甲、乙两幢楼AB 、CD ，甲楼AB 高10米，从甲楼AB 的楼顶测得乙楼CD 的楼顶C 的仰角为30°，从乙楼CD 的楼顶C 拉下的节日庆典条幅 CE 与地面所成的角为60°，这时条幅与地面的固定点E 到甲楼B 的距离为24米，求条幅CE 的长度．【难度】★★【答案】24310+米．【解析】解：由题意可知：︒=∠30CAF ，︒=∠60CED 设x CE 2=，则x ED =，x CD 3=在ACF Rt △中，AF CF CAF =∠tan ，∴xx +-=2410333， ∴1235+=x ．∴243102+==x CE ．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．AB CDEF【作业6】如图，水坝的横截面是梯形ABCD ，上底AD = 4米，坝高3AM DN ==米，斜坡AB 的坡比11:3i =，斜坡DC 的坡比21:1i =．（1）求坝底BC 的长；（结果保留根号）（2）为了增加水坝的抗洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底2EF =米，求水坝增加的高度．（精确到0.1米，参考数据3 1.73≈）【难度】★★【答案】（1）733+；（2）0.7米．【解析】解：（1）在MBA Rt △中，MBAMB =tan ， ∴BM331=，∴33=MB ．在DNC Rt △中，NCDNC =tan ， ∴NC31=，∴3=NC ．∴7333433+=++=++=NC MN BM BC ．(2)在EGB Rt △中，BG EGB =tan ，∴BG EG =31，在FCH Rt △中，HC FH C =tan ，∴HCFH=1，设x FH EG ==，则x BG 3=，x CH =，∴73323+=++=++=++=x x HC EF BG HC GH BG BC ． ∴32+=x ．∴7.013332≈-=-+=∆h ．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．ABCDNMABCDNMEF GH【作业7】如图，某人在建筑物AB 的顶部测得一烟囱CD 的顶端C 的仰角为45°，测得点C 在湖中的倒影C 1的俯角为60°，已知AB = 20米，求烟囱CD 的高．【难度】★★【答案】40320+米．【解析】解：由题意可得：︒=∠45CAE ，︒=∠601EBC ．过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ．设x CE =，则x AE =． ∵C 和C 1关于BD 对称， ∴201+==x D C CD ．在1AEC Rt △中，AEEC EAC 11tan =∠， ∴xx 403+=，∴20320+=x ．∴4032020+=+=x CD ．【总结】本题主要考查利用俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题，注意认真分析．【作业8】如图，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD 和BC 的坡度为1： 0.6，现在测得放水前的水面宽EF 为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米，求放水后水面上升的高度．【难度】★★【答案】放水后水面上升的高度为0.75米．【解析】解：由题意可知：四边形GEFH 为等腰梯形． 356.0:1tan ==∠MGE ．过E 作EM ⊥GH ，过F 作FN ⊥GH 由等腰梯形的性质可得：45.0==NH GM ．在GME Rt △中，GM EMMGE =∠tan ，∴45.035EM=，∴75.0=EM ．∴放水后水面上升的高度为0.75米．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．ABC DC 1E AC D EF GHMN31 / 32 【作业9】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在以每小时15千米的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？（3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【难度】★★★【答案】（1）受影响；（2）h 154；（3）6.5级．【解析】解：（1）会受到台风影响．过A 作AD ⊥BC ．台风在移动时，距离A 最近D 处时，在ABD Rt △中，1102202121=⨯==AB AD 110÷20=5.5；12-5.5=6.5；6.5超过4级，受台风影响．（2）当台风在移动，其与A 距离是()km 16041220=-⨯时开始受影响或结束影响．持续时间为h h t 15415110160222=-⨯=．（3）由（1）可得：该城市受台风影响的最大风力是6.5级．【总结】本题主要考查对方位角的理解以及是否受影响的理解，解题时要认真分析题意．A B C D32 / 32 【作业10】如图，小明发现在小丘上种植着一棵香樟树AB ，它的影子恰好落在丘顶平地BC 和斜坡的坡面CD 上．小明测得BC = 4米，斜坡的坡面CD 的坡度为41:3，CD =2.5米．如果小明同时还测得附近的一根垂直于地面的2米高的木柱MN 的影长NP = 1.5 米，求这棵香樟树AB 的高度．【难度】★★★ 【答案】6.5米．【解析】解：由题意可得：4:334:1tan ==∠CDE 345.12tan tan ==∠=ADE P ． 4==EF BC ，设x FC 3=，x DF 4=， ∴()()5.25432222==+=+=x x x DF CF CD ． ∴5.0=x ，∴5.1=CF ，2=DF ，∴5.1==CF BE ．在AED Rt △中，ED AE ADE =∠tan ， ∴245.134++=AB ， ∴5.6=AB ．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，要认真分析题意，并且熟练使用相似的性质以及通过锐角三角比解直角三角形的方法．A B CD 光线P N M E F。

(完整)【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)(2),推荐文档

一、直角三角形的性质《解直角三角形》专题复习1、直角三角形的两个锐角互余A几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

1D几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC= AB 】23、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠ACB=90° D 为 AB 的中点 ∴ CD= 1 AB=BD=AD 】2C B4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方几何表示：【在 Rt△ABC 中∵∠ACB=90° ∴ a 2 + b 2 = c 2 】5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

即：【∵∠ACB=90°CD⊥AB∴ CD 2 = AD • BDAC 2 = AD • AB BC 2 = BD • AB 】6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。

（ a • b = c • h ）由上图可得：AB • CD=AC • BC二、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°sin A = ∠A 的对边 =a斜边 c cos A = ∠A 的邻边 =b斜边 c tan A = ∠A 的对边 =a∠A 的邻边 b cot A = ∠A 的邻边 =b ∠A 的对边 a锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于 1) sin 2 A + cos 2 A = 1 （2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA • tan(90°—A)=1； cotA • cot(90°—A)=1；（3）弦切关系tanA= sin A cos A cotA= cos Asin A （4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)30°23 60°C仰角俯角北东南iα1tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)四、特殊角的三角函数值A说明：锐角三角函数的增减性，当角度在 0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） B（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） A（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）2五、解直角三角形2 在 Rt△中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解直角三角形的函数值列举：(2)

∙概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，（1）三边之间的关系：（勾股定理）；（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系：。

∙解直角三角形的函数值:锐角三角函数：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a（1）互余角的三角函数值之间的关系：若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA（2）同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1②tanA=sinA/cosA③tanA=1/tanB④a/sinA=b/sinB=c/sinC（3）锐角三角函数随角度的变化规律：锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。

∙解直角三角形的应用：一般步骤是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画图，转化为直角三角形的问题）；（2）根据题目的条件，适当选择锐角三角函数等去解三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）还原为实际问题的答案。

∙解直角三角形的函数值列举：sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097sin3=0.05233595624294383sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816sin6=0.10452846326765346sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544sin9=0.15643446504023087sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448sin12=0.20791169081775931sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773sin15=0.25881904510252074sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705sin48=0.7431448254773941sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009sin67=0.9205048534524404 sin68=0.9271838545667873 sin69=0.9335804264972017sin70=0.9396926207859083 sin71=0.9455185755993167 sin72=0.9510565162951535sin73=0.9563047559630354 sin74=0.9612616959383189 sin75=0.9659258262890683sin76=0.9702957262759965 sin77=0.9743700647852352 sin78=0.9781476007338057sin79=0.981627183447664 sin80=0.984807753012208sin81=0.9876883405951378sin82=0.9902680687415704 sin83=0.992546151641322 sin84=0.9945218953682733sin85=0.9961946980917455 sin86=0.9975640502598242 sin87=0.9986295347545738sin88=0.9993908270190958 sin89=0.9998476951563913 sin90=1cos1=0.9998476951563913 cos2=0.9993908270190958 cos3=0.9986295347545738cos4=0.9975640502598242 cos5=0.9961946980917455 cos6=0.9945218953682733cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378cos10=0.984807753012208 cos11=0.981627183447664 cos12=0.9781476007338057cos13=0.9743700647852352 cos14=0.9702957262759965 cos15=0.9659258262890683cos16=0.9612616959383189 cos17=0.9563047559630355 cos18=0.9510565162951535cos19=0.9455185755993168 cos20=0.9396926207859084 cos21=0.9335804264972017cos22=0.9271838545667874 cos23=0.9205048534524404cos24=0.9135454576426009cos25=0.9063077870366499 cos26=0.898794046299167 cos27=0.8910065241883679cos28=0.882947592858927 cos29=0.8746197071393957 cos30=0.8660254037844387cos31=0.8571673007021123 cos32=0.848048096156426 cos33=0.838670567945424cos34=0.8290375725550417 cos35=0.8191520442889918 cos36=0.8090169943749474cos37=0.7986355100472928 cos38=0.7880107536067219 cos39=0.7771459614569709cos40=0.766044443118978 cos41=0.754709580222772 cos42=0.7431448254773942cos43=0.7313537016191705 cos44=0.7193398003386512 cos45=0.7071067811865476cos46=0.6946583704589974 cos47=0.6819983600624985 cos48=0.6691306063588582cos49=0.6560590289905074 cos50=0.6427876096865394 cos51=0.6293203910498375cos52=0.6156614753256583 cos53=0.6018150231520484 cos54=0.5877852522924731cos55=0.5735764363510462 cos56=0.5591929034707468cos57=0.5446390350150272cos58=0.5299192642332049 cos59=0.5150380749100544 cos60=0.5000000000000001cos61=0.4848096202463371 cos62=0.46947156278589086 cos63=0.4539904997395468cos64=0.43837114678907746 cos65=0.42261826174069944 cos66=0.4067366430758004cos67=0.3907311284892737 cos68=0.3746065934159122 cos69=0.35836794954530015cos70=0.3420201433256688 cos71=0.32556815445715675 cos72=0.30901699437494745cos73=0.29237170472273677 cos74=0.27563735581699916 cos75=0.25881904510252074cos76=0.24192189559966767 cos77=0.22495105434386514 cos78=0.20791169081775923cos79=0.19080899537654491 cos80=0.17364817766693041 cos81=0.15643446504023092cos82=0.13917310096006546 cos83=0.12186934340514749 cos84=0.10452846326765346cos85=0.08715574274765836 cos86=0.06975647374412523 cos87=0.052335956242943966cos88=0.03489949670250108 cos89=0.0174524064372836 cos90=0tan1=0.017455064928217585 tan2=0.03492076949174773 tan3=0.052407779283041196tan4=0.06992681194351041 tan5=0.08748866352592401 tan6=0.10510423526567646tan7=0.1227845609029046 tan8=0.14054083470239145 tan9=0.15838444032453627tan10=0.17632698070846497 tan11=0.19438030913771848 tan12=0.2125565616700221tan13=0.2308681911255631 tan14=0.24932800284318068 tan15=0.2679491924311227tan16=0.2867453857588079 tan17=0.30573068145866033 tan18=0.3249196962329063tan19=0.34432761328966527 tan20=0.36397023426620234 tan21=0.3838640350354158tan22=0.4040262258351568 tan23=0.4244748162096047 tan24=0.4452286853085361tan25=0.4663076581549986 tan26=0.4877325885658614 tan27=0.5095254494944288tan28=0.5317094316614788 tan29=0.554309051452769 tan30=0.5773502691896257tan31=0.6008606190275604 tan32=0.6248693519093275 tan33=0.6494075931975104tan34=0.6745085168424265 tan35=0.7002075382097097 tan36=0.7265425280053609tan37=0.7535540501027942 tan38=0.7812856265067174 tan39=0.8097840331950072tan40=0.8390996311772799 tan41=0.8692867378162267 tan42=0.9004040442978399tan43=0.9325150861376618 tan44=0.9656887748070739 tan45=0.9999999999999999tan46=1.0355303137905693 tan47=1.0723687100246826 tan48=1.1106125148291927tan49=1.1503684072210092 tan50=1.19175359259421 tan51=1.234897156535051tan52=1.2799416321930785 tan53=1.3270448216204098 tan54=1.3763819204711733tan55=1.4281480067421144 tan56=1.4825609685127403 tan57=1.5398649638145827tan58=1.6003345290410506 tan59=1.6642794823505173 tan60=1.7320508075688767tan61=1.8040477552714235 tan62=1.8807264653463318 tan63=1.9626105055051503tan64=2.050303841579296 tan65=2.1445069205095586 tan66=2.246036773904215tan67=2.355852365823753 tan68=2.4750868534162946 tan69=2.6050890646938023tan70=2.7474774194546216 tan71=2.904210877675822 tan72=3.0776835371752526tan73=3.2708526184841404 tan74=3.4874144438409087 tan75=3.7320508075688776tan76=4.0107809335358455 tan77=4.331475874284153 tan78=4.704630109478456tan79=5.144554015970307 tan80=5.671281819617707 tan81=6.313751514675041tan82=7.115369722384207 tan83=8.144346427974593 tan84=9.514364454222587tan85=11.43005230276132 tan86=14.300666256711942 tan87=19.08113668772816tan88=28.636253282915515 tan89=57.289961630759144 tan90=(无限)。

初三数学解直角三角形试题答案及解析

初三数学解直角三角形试题答案及解析1.一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：，）【答案】53米.【解析】首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC 中，利用三角函数即可求解．试题解析：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC-∠B=60°-30°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=62（米）．在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62×=31≈31×1.7=52.7≈53（米）．答：小岛的高度约为53米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，∴，即，整理得：x2+x-1=0，解得：x1=，x2=（负值，舍去），则x=；（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，∵BD=CD，∴E为CD中点，即DE=CE=，在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，在Rt△BCE中，cosC=cos72°=，则cos36°-cos72°=-=．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AD=3，cosB=3/5，则AC等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】B.【解析】∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，∴cos∠CAD=cosB=，在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，AD=3，∴cos∠CAD=，∴AC=5．故选B．【考点】解直角三角形．4.在△ACB中，∠C=90°，AB=10，，，.则BC的长为（）A．6B．7.5C．8D．12.5【答案】A．【解析】∵∠C=90°，∴.又∵AB=10，∴.故选A．【考点】1.解直角三角形；2.锐角三角函数定义．5.已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【答案】(1)10米；（2）19米.【解析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AH的关系求出即可；（2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°=，求出即可．试题解析：：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．∴13k=26．解得k=2．∴AH=10．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x-14．在Rt△ABC中，tan76°=，即，解得x=，即x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．【考点】1.解直角三角形的应用-坡度坡角问题；2.解直角三角形的应用-仰角俯角问题．6.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离(AC)为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC＝75°.(1)求B、C两点的距离；(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？(计算时距离精确到1米，参考数据：sin 75°≈0.965 9，cos 75°≈0.258 8，tan 75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒)【答案】（1）112(米) （2）此车没有超过限制速度【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，AC＝30，∴BC＝AC·tan ∠BAC＝30×tan 75°≈30×3.732≈112(米)．(2)∵此车速度＝112÷8＝14(米/秒)＜16.7(米/秒)＝60(千米/小时)∴此车没有超过限制速度．7.在△ABC中，若∠A、∠B满足|cos A－|＋＝0，则∠C＝________．【答案】75°【解析】∵|cos A－|＋＝0，∴cos A－＝0，sin B－＝0，∴cos A＝，sin B＝，∴∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.8.在△ABC中，∠C＝90°，，则（）．A．B．C．D．【答案】D．【解析】由sin A=，设∠A的对边是3k，则斜边是5k，∠A的邻边是4k．再根据正切值的定义，得tanA=．故选D．【考点】锐角三角函数．9.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm.（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】2.7【解析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E.在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴BD＝OD＝2cm，∴CE＝BD＝2cm.在△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，∵tan37°＝≈0.75，∴OE≈2.7cm.∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7 cm.10.如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD.（i＝CE∶ED，单位：m）【答案】（7.5＋4）m【解析】解：作BF⊥AD于点F.则BF＝CE＝4m，在直角△ABF中，AF＝＝＝3m，在直角△CED中，根据i＝，则ED＝＝＝4m.则AD＝AF＋EF＋ED＝3＋4.5＋4＝（7.5＋4）m.11.如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）【答案】（5+5-5）千米【解析】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5，在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC=5，则用AC+BC-（AD+BD）=10+5-（5+5）=5+5-5（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5-5）千米．12.在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A的值，再求出sinA的值即可．∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A是锐角，∵cosA==，∴设AB=25x，BC=7x，由勾股定理得：AC=24x，∴sinA=.故选A．考点:同角三角函数的关系.13.如图，在△中，，，则△的面积是（）A．B．12C．14D．21【答案】A【解析】如图，作因为，所以.由勾股定理得.又，所以所以所以所以14.计算下列各题：（1）；（2）.【答案】（1）2 （2）【解析】解：（1）（2）15.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，设BC=3x，则AB=5x，∴AC=4x．∴cosB=．故选C．考点: 互余两角三角函数的关系.16.计算：【答案】-2.【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、负整数指数幂以及绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：考点: 实数的混合运算.17.若（为锐角），则=【答案】1.【解析】因为所以得,代入可得值为1【考点】正切和正、余弦函数的关系.18.如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是________【答案】.【解析】折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．根据题意，BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8-x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2解得x=，∴tan∠CBE==考点:（1）锐角三角函数的定义；（2）勾股定理；（3）翻折变换（折叠问题）．19.（1）一个人由山底爬到山顶，需先爬450的山坡200ｍ，再爬300的山坡300ｍ，求山的高度（结果可保留根号）。

解直角三角形公式

解直角三角形公式直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度是90度（也称为直角）。

由于直角三角形具有特殊的性质和结构，我们可以使用一些公式来解决与它们相关的问题。

解直角三角形的公式主要涉及三个重要的量：斜边（hypotenuse）、对边（opposite）、和邻边（adjacent）。

斜边是连接直角三角形两个直角边的边，对边是与待求角度相对的边，邻边是与待求角度相邻的边。

边长关系直角三角形中，边长之间有一些特殊的关系，这些关系是解直角三角形的基础。

我们可以使用勾股定理来计算直角三角形的边长关系，根据该定理，斜边的平方等于对边的平方加上邻边的平方。

在直角三角形中，假设斜边的长度为c，对边的长度为a，邻边的长度为b，则有以下关系：（1）勾股定理：c² = a² + b²这个公式是我们计算直角三角形边长关系的基础。

通过已知的边长，我们可以使用这个公式来计算其他未知边长。

角度关系除了边长关系，直角三角形中角度之间也有一些特殊的关系。

这些关系可以帮助我们解决与直角三角形相关的角度问题。

在直角三角形中，假设某个角度为θ，则有以下关系：（1）正弦定理：sin(θ) = 对边 / 斜边（2）余弦定理：cos(θ) = 邻边 / 斜边（3）正切定理：tan(θ) = 对边 / 邻边当我们知道一个角度和一个边长时，我们可以使用这些公式来计算其他未知边长或角度。

实例演示下面通过一个实例演示如何使用解直角三角形的公式。

假设有一个直角三角形，已知对边长为5，邻边长为12，我们要求解斜边长和其他角度。

首先，我们可以使用勾股定理来计算斜边长。

根据勾股定理，斜边的平方等于对边的平方加上邻边的平方。

c² = a² + b² c² = 5² + 12² c² = 25 + 144 c² = 169 c = √169 c = 13所以，斜边的长度为13。

中考数学一轮综合复习同步讲义(第13课解直角三角形)

第13课解直角三角形=========⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=∠=∠=∠000000000000060tan ;45tan ;30tan 60cos ;45cos ;30cos 60sin ;45sin ;30sin :)900()900(tan ,cos ,sin 特殊三角函数值平方关系：正切：余弦：正弦：：取值范围越大，正切值正切：越大，余弦值余弦：越大，正弦值正弦：：增减性αααααA A A中考真题练习1.在Rt △ABC 中，∠C=900，若sinA=513,则cosA 的值为（） A.512B.813C.23D.12132.式子2000)160(tan 45tan 30cos 2---的值是（） A.232-B.0C.32D.23.在△ABC 中，若0)21(cos 21sin 2=-+-B A ,则∠C 的度数是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 4.如图,在△ABC 中,∠C=900，AB=5,BC=3,则sinA 的值是（） A.34B.43C.35 D.455.如图,在直角坐标系中,P 是第一象限内的点,其坐标是（3,m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43,则sin α的值是( ) A.45 B.54 C.35 D.536.如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（） A.23B.32C.21313 D.31313第6题图第7题图第8题图7.如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h,滑梯的坡角为a,那么滑梯长l 为( )A.h sinaB.h tanaC.h cosaD.h ·sina 8.如图,在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交成的锐角为α,若AC=a ，BD=b ，则□ABCD 的面积是（） A.αsin 21ab B.αsin ab C.αcos ab D.αcos 21ab9.在△ABC 中,AB=AC=5,sin ∠ABC=0.8，则BC=10.如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=300，则该山坡的高BC 的长为米．第10题图第11题图第12题图11.如图，在小山的东侧A 点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成750角的方向飞行,25分钟后到达C 处,此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为300，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为米．12.如图,在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为300，底部D 处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）13.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900，D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E,BC=6,sinA=35，则DE= ．第13题图第14题图14.如图，点E （0,4），O （0,0），C （5,0）在⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦．则tan ∠OBE=________．16.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为米．第16题图第17题图第18题图17.如图,某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心,AD长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点,分别测得∠ABD=300,∠ACD=600，则直径AD= 米.18.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD平分AC,若BD=8,AC=6,∠BOC=1200，则四边形ABCD的面积为．（结果保留根号）19.如图,是一张宽m的矩形台球桌ABCD,一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC,然后反弹到边AB上的P点.如果MC n=，CMNα∠=.那么P点与B点的距离为 .第19题图第20题图20.如图,正方向ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°，M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于cm．21.已知α是锐角,且sin(α+150)=32.计算1184cos( 3.14)tan3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值.22.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=450，sinB=13,AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．23.如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向,办公楼B 位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C 处,此时测得教学楼A 恰好位于正北方向,办公楼B 正好位于正南方向.求教学楼A 与办公楼B 之间的距离.24.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直,测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=300，∠CBD=600．（1）求AB 的长；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．25.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为600．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为450，已知山坡AB 的坡度3:1=i ，AB=10米,AE=15米．（3:1=i 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH 的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH ；（2）求广告牌CD的高度．26.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．27.如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？28.如图,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,23 DB DCDP DO==．（1）求证:直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．29.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成300角,长为20km；BC段与AB、CD段都垂直,长为10km，CD段长为30km,求两高速公路间的距离．30.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为120，支架AC长为0.8m，∠ACD为800，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin120=cos780≈0.21，sin680=cos220≈0.93，tan680≈2.48）31.解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（1）如图①,已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启,则AC开启至A/C/的位置时,A/C/的长为m；（2）如图②,某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ,在观景平台M处测得∠PMQ=540，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=730，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．32.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD，斜坡AB的长为22 m,坡角∠BAD=680，为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过500时,可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BF至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.9272,cos 680≈0.3746,tan 680≈2.4751,sin500≈0.7660,cos500≈0.6428,tan500≈1.1918)第13课解直角三角形测试题日期：月日满分：100分时间：20分钟姓名：得分：1.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A.1,2,3B.1,1,2C.1,1,3D.1,2,32.在Rt △ACB 中,∠C=900，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC 的长为（） A.6 B.7.5 C.8D.12.53.点M （-sin600，cosn600）关于x 轴对称的点的坐标是（） A ．（32，12） B ．（32-，12-） C ．（32-，12） D ．（12-，32-） 4.如图,P 是∠α的边OA 上一点,点P 的坐标为（12，5），则tan α等于（） A.513B.1213C.512D.125第4题图第5题图第6题图5.如图,在△ABC 中,∠C=900，AD 是BC 边上的中线,BD=4,52=AD ,则tan ∠CAD 的值是（） A.2 B.2 C.3 D.56.如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC /B /，则tanB /的值为（） A.12B.13C.14D.247.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为（） A.34米 B.56米 C.512米 D.24米8.如图,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD,使点B 落在AD 边上的点F 处,若AB=4，BC=5,则tan ∠AFE 的值为（） A.43 B.35C.34D.45 9.△ABC 中,∠C=900，AB=8,cosA=43,则BC 的长 10.若a=3-tan600，则196)121(2-+-÷--a a a a = 11.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900,∠B=370，BC=32,则AC= ．（sin370≈0.60，cos370≈0.80,tan370≈0.75）第11题图第12题图第13题图第14题图12.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=_____13.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．2,则AB的长为．14.如图,在△ABC中,∠A=300,∠B=450,AC=315.如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=250,∠CBA=370,因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250≈0.42,cos250≈0.91,sin370≈0.60,tan370≈0.75）16.如图,在Rt△ABC中,∠C=900，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．17.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD 方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为600（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．。

人教版九年级数学下册：28.2.1《解直角三角形》说课稿3

人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》说课稿3一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第28章第2节《解直角三角形》是整个初中数学的重要内容之一。

本节课主要介绍了解直角三角形的知识和方法，通过学习，学生能够掌握直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数解直角三角形。

教材从实际问题出发，引导学生探索直角三角形的边角关系，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，对函数、勾股定理等概念有了一定的了解。

但是，对于如何将实际问题转化为数学问题，以及如何运用所学知识解决实际问题，部分学生还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高学生解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数解直角三角形。

2.过程与方法：通过观察、操作、探索，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，锐角三角函数在解直角三角形中的应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，以及如何运用所学知识解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何画板等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题，引导学生思考如何解决这些问题，从而引出本节课的主题。

2.自主学习：让学生通过观察、操作、探索，掌握直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数解直角三角形。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，解决学习中遇到的问题。

4.教师讲解：针对学生的讨论情况进行讲解，解答学生心中的疑问。

5.巩固练习：布置适量的练习题，让学生巩固所学知识。

6.总结拓展：对本节课的知识进行总结，引导学生思考如何将所学知识应用于实际问题。

【万能解题模型】13 解直角三角形的实际应用中的基本模型(课件)中考数学

解：过点 B 作 BE⊥AD 于点 D，BF⊥CD 于点 F. ∵CD⊥AD， ∴四边形 BEDF 是矩形． ∴FD＝BE，FB＝DE. 在 Rt△ABE 中，BE∶AE＝1∶2.4＝5∶12，设 BE＝5x，AE＝12x，根据勾股定理，得 AB＝13x， ∴13x＝52.
解得 x＝4. ∴BE＝FD＝5x＝20，AE＝12x＝48. ∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24. ∴在 Rt△CBF 中， CF＝FB·tan ∠CBF≈24×43＝32. ∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52. 答：大楼的高度 CD 约为 52 米．
图形演变 2：
3．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角α是 45°，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i＝1∶ 3，则大楼 AB 的高度约为(精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)( D )
又∵BC＝221，即 CD＋BD＝221， ∴0.85x＋0.53x＝221，解得 x≈160. 答：AB 的长约为 160 m.
模型 2 母子型(在三角形外部作高)
模型分析：通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边是解题的关键．
等量关系：在 Rt△ABC 和 Rt△DBC 中，BC 为公共边，AD＋DC＝AC. 图形演变 1：
2．如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC， BC.测得 BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°.根据测得的数据，求 AB 的长．(结果取整数，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60)

沪教版九年级数学暑假同步讲义第13讲解直角三角形的应用

仰角视线水平线视线俯角铅垂线解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．1、仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．解直角三角形的应用内容分析知识结构模块一：仰角与俯角知识精讲例题解析ABCD【例1】如图，90C DEB∠=∠=︒，FB// AC，从A看D的仰角是______；从B看D 的俯角是______；从A看B的______角是______；从D看B的______角是______．【例2】升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示）【例3】如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为α，测得点D的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（）A．a米B．（tana α）米C．tanaα米D．(tan tan)aαβ-米【例4】如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号）ABC D ABCDE 北北偏东30°北偏西70°30°70° 45° 50°【例5】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m ，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ）【例6】如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距8米的A 、B两处测得点D 和点C 的仰角为45°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE = 15米，求这块广告牌的高度．（取3 1.73 ，计算结果保留整数）1、方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．模块二：方向角知识精讲步同级年九4 / 13ABC 东南西北【例7】如果由点A 测得点B 在北偏东15°的方向，则由B 测点A 的方向为（）A ．北偏东15°B ．北偏西75°C ．南偏西15°D ．南偏东75°【例8】如图，小明从A 地沿北偏东30°方向走1003米到B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地，此时小明离A 地_____米．【例9】如图，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（）A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里【例10】在位于O 处某海防哨所的北偏东60°相距6方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B 处，则A 、B 间的距离是______海里．（精确到0.1海里，2 1.414≈，3 1.732≈）例题解析北北 ABC【例11】如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，请问，此时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？（精确到0.01海里，cos250.91︒≈，sin340.559︒≈）【例12】如图，A 、B 为湖滨的两个景点，C 为湖心一个景点．景点B 在景点C 的正东方向，从景点A 看，景点B 在北偏东75°方向，景点C 在北偏东30°方向．一游客自景点A 驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C ，之后又以同样的速度驶向景点B ，该游客从景点C 到景点B 需用多长时间？（tan75 3.732︒≈，精确到1分）【例13】如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B 是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．东南西北ABP步同级年九6/ 13ABCD EF环城路和平路文化路中山路【例14】如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A、B、C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB = 2千米，15DAC∠=︒．（1）求B、D之间的距离；（2）求C、D之间的距离．模块三：坡度（坡比）知识精讲αhlABCDA BC 1、坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=．坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi lα==．【例15】某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高______米．【例16】某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______．【例17】如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2米，则两树间的坡面距离AB 为（） A ．4米B ．3米C ．433米 D ．43米【例18】如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，B ∠的正切值为43，则它的里口宽BC = ______．【例19】河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD 的坡度为1 : 3，斜坡例题解析A BCDAB CDABCDCB 的坡角为45°，则河堤横断面的面积为______平方米．【例20】如图，一个大坝的横断面是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB = 3米，经测量背水坡AD = 20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i = 1 : 0.6，求迎水坡BC 的坡角C ∠的余切值和坝底宽CD ．【例21】如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？【例22】如图，小杰发现垂直地面的旗杆AB 的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC 和CD ，经测量得BC =10米，CD =10米，斜坡CD 的坡度为1:3i =，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米，求旗杆AB 的长度．（答案3.2≈）【例23】如图，斜坡AP 的坡度为1:2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度．（结果精确到1米）（参考数据：sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈）A B CDE【习题1】某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米．【习题2】一船在海上点B处沿南偏东10°方向航行到点C处，这时在小岛A测得点C在南偏西80°方向，则=ACB∠______．【习题3】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度为______．【习题4】如图，已知楼房AB高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD = 50米，塔高DC为1505033+米，下列结论中，正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°随堂检测DABCNM A BCD【习题5】A 港在B 地的正南千米处，一艘轮船由A 港开出向西航行，某人第一次在B 处望见该船在南偏西30°，半小时后，有望见该船在南偏西60°，则该船速度为______．【习题6】如图，一架飞机在高度为5千米的点A 时，测得前方的山顶D 的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B 时，又测得山顶D 的俯角为45°，求这座山的高度DN ．（结果可保留根号）【习题7】【习题8】小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东15°方向，求小岛B 离深水港口A 的距离．(精确到0.1千米)1.412.45≈，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【习题9】如图，以水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB 的坡度1:3AB i =，斜坡CD 的坡度1:2.5CD i =．（1）求斜坡AB 和坝底AD 的长度；（2）若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB 的坡度AB i 由原来的1 : 3变为1 : 5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米．ABM 北东【作业1】身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300米，250米，200米，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高【作业2】小明在东西方向是沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为______米．【作业3】某人从地面沿着坡度1:3i 的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．【作业4】如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°的方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°的方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（）A ．14海里B ．142海里C ．7海里D ．72海里课后作业ABCDEAB CDNMAB CDNME FABCD【作业5】如图，在同一地面上有甲、乙两幢楼AB、CD，甲楼AB高10米，从甲楼AB的楼顶测得乙楼CD的楼顶C的仰角为30°，从乙楼CD的楼顶C拉下的节日庆典条幅CE与地面所成的角为60°，这时条幅与地面的固定点E到甲楼B 的距离为24米，求条幅CE的长度．【作业6】如图，水坝的横截面是梯形ABCD，上底AD=4米，坝高3AM DN==米，斜坡AB的坡比1i=，斜坡DC的坡比21:1i=．（1）求坝底BC的长；（结果保留根号）（2）为了增加水坝的抗洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底2EF=米，求水坝增加的高度．（精确到0.11.73≈）【作业7】如图，某人在建筑物AB的顶部测得一烟囱CD的顶端C的仰角为45°，测得点C在湖中的倒影C1的俯角为60°，已知AB = 20米，求烟囱CD的高．ABC D E FGH【作业8】如图，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD 和BC 的坡度为1：0.6，现在测得放水前的水面宽EF 为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米，求放水后水面上升的高度．。

解直角三角形及其应用复习课

E MM
600
150
A
B
C
15
2、星期天，小强去水库大坝玩，他站在大坝上的A处看到一
棵大树的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子
在同一平面内），此时太阳光线与地面成600角，在A处测
得树顶D的俯角为 1.如50图所示,已知AB与地面的夹角为 ,
AB6为008米.请你帮助小强计算一下这棵大树的高度(结果精
9．如图25－4，直线y＝－ 3 x＋ 3 与坐标轴交于A、B两点，求 AB的长和∠OAB的大小．
图25－4 解：直线与坐标轴的交点分别为A(1,0)，B(0, 3 )，则OA＝1， OB＝ 3 ，由勾股定理，AB＝ OA2＋OB2 ＝ 12＋ 32 ＝2， tan∠OAB＝OOAB＝ 13＝ 3.所以∠OAB＝60°.
B 间的距离为(C )
A．150 3 米 B．180 3 米 C．200 3 米 D．220 3 米
图（3）
[解析]由题意得∠A＝30°，∠B＝60°，AD＝taCnDA＝150 3，
BD＝
CD tanB
＝50
3 ，则AB＝AD＋BD＝150
3 ＋50
3＝
200 3.
·新课标
7、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
分析：我们知道，在视线与水平线所
仰角
成的角中视线在水平线上方的是仰角，
B
视线在水平线下方的是俯角，因此，
在图中，a=30°,β=60°
αD
Aβ
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出

《解直角三角形》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (13)

邻两树间的坡面距离是多少米?第二棵树离开地面的高
度是多少米？（（精确到米）
B
解：在Rt△ABC中，∠C=90°
AcBoscAAoA C AsACBc5o.25s40 ≈（米C）
24º 5.5米
A
tanA BC AC
B C ta A .A n C ta 2o n .4 A C 2 .4 (米）
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离是米。
解直角三角形(1)
数学家华罗庚曾经说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。” 这是对数学与生活的精彩描述。在我们周围处处有数学，时时会碰到数学问题。
生活中的数学问题
引例：在山坡上种树（从低处往高处种），要求株距
（相邻两树间的水平距离）是米，测得斜坡倾斜角是
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，
AB=3，解这个直角三角形。（边长保留2个有效
数字）（求a，b 和∠B）
解：Rt△ABC中
∠B=900-∠A=400 有斜用弦，
A
3
b
sinA a
无斜用切，
AB
B
a
C
∴a=AB×sinA=3×sin500
cosA b AB
宁乘勿除，取原避中。
24º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？第二
棵树离开地面的高度是多少米？（精确到米）
B
建立数学模型
24º
A
C
5.5米
5.5米
问题1.在直角三角形中，三边之间具有怎样的关系？
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
B
即:a2+b2=c2

解直角三角形知识点及典型例题

板块一解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：cba CBA⑴ 三边之间的关系：222a b c += (勾股定理)； ⑵ 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒； ⑶ 边角之间的关系：sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot b A a=. 三、解直角三角形的四种基本类型⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； ⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；⑶ 已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin ac A=；⑷ 已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠.具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A =等.四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．直角三角形两锐角间的三角函数关系（五）解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故s in c o s (90)c o s A A B =︒-=，cos sin A B =，tan cot A B =，cot tan A B =.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化解直角三角形为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等.【例1】在三角形ABC 中，903010C A AB ∠=︒∠=︒=，，，则AC 的长度为（）A． B． C． D．【例2】已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A ∠=︒，4b =；【例3】已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A ∠=︒，6a b +=；【例4】已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：45A ∠=︒，12S ∆=.【例5】如图，在Rt ABC ∆中，已知1CD AB BC ⊥=，，如果40BCD ∠=︒，求AC 的长度D C BA【例6】如图，在Rt ABC ∆中，已知1CD AB BC ⊥=，，如果1tan 3BCD ∠=，求CD 的长度D C BA【例7】如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是AC 边上的一点，且53AD DB CD ===，，求t a n CBD ∠和sin A 的值．DCB A【例8】如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P ，A B ，是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角45PAB ∠=︒，仰角30PBA ∠=︒，求汽球P 的高度（精确到0.1米，3=1.732）PACPBA【例9】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若sin tan A B =，求cos A 的值.【例10】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos cot A B =，求sin A 的值.【例11】在三角形ABC 中，90C ∠=︒，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，已知603B a b ∠=︒+=+，求a b ，【例12】如图，在ABC ∆中，已知20AB AC BC ===，ABC ∆中各内角的度数 DCBA【例13】如图，已知：ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接CE ，求sin ACE ∠的值.FED CBA【例14】如图所示，天空中有一静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 的仰角为45°，从地面B 点测得C 的仰角为60°．已知20AB =米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度CD （结果保留根号）．DCBA【例16】已知：如图，ABC ∆中，45B AB ∠=︒=，，D 是BC 上一点，53AD CD ==，，求ADC ∠的度数及AC 的长．C BA板块二解直角三角形应用（七）直角三角形中其他重要概念⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位.（一）、仰角俯角【例17】如图，一艘核潜艇在海面下500米A 点处测得俯角为30︒正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B 点处测得俯角为60︒正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点处距离海面的深度？（精确到米）海面60°30°D CBA【例18】亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ．然后测出两人之间的距离 1.25m CD =，颖颖与楼之间的距离30m DN =（C D N 、、在一条直线上），颖颖的身高 1.6m BD =，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离0.8m AC =．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？M【例19】某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=︒，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=︒，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=︒，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． ⑴ 求ADB ∠的度数； ⑵ 求索道AB 的长．（结果保留根号）【例20】如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角23AEF ∠=︒，量得树干倾斜角38BAC ∠=︒，大树被折断部分和坡面所成的角604m ADC AD ∠=︒=，． ⑴求CAE ∠的度数；⑵求这棵大树折断前的高度．1.4 1.72.4==）．A CDE FBGACDEFB【例21】一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°(量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图)；然后她向小山走50米到达点F 处(点B F D ，，在同一直线上)，这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为( ) Ａ．68米Ｂ．70米Ｃ．121米Ｄ．123米( 1.732≈ 1.414≈供计算时选用)DPGCO A【例22】如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的坡角BCA ∠为12︒，设台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，求AC 的长度（精确到1cm ）DC BA【例23】课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度. 如图，在A 处用测角仪(离地高度1.5米)测得旗杆顶端的仰角为15︒，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30︒，求旗杆EG 的高度.C60°38°BDE23°AF【例24】在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．(参考数值：3tan315︒≈，1sin312︒≈)【例25】如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．A⑴ 请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用m ，n …表示，角用α，β…表示，测倾器高度忽略不计)；⑵ 根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．【例26】如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45︒和60︒，且A 、B 、E三点在一条直线上，若15BE =米，求这块广告牌的高度．(取1.73≈，计算结果保留整数)EDC BA60︒45︒【例27】由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45︒，从A 沿倾斜角为30︒的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60︒，求山高CD .DCBA【例28】如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45︒，沿着坡度为30︒的斜坡前进400米到D 处(即30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB .【例29】如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距30米，从A 点看C 点，仰角为5︒；从A点看D 点，俯角为30，解决下列问题：⑴ 求两幢楼分别高多少米？(结果精确到1米)⑵ 若冬日上午9:00太阳光的入射角最低为30(光线与水平线的夹角)，问一号楼的光照是否会有影响？请说明理由，若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响？(结果精确到1米)(参考数据：tan50.0875≈ tan300.5774≈ cos30 1.732≈)DCDCB A【例30】若每层楼高2.2米，问在例题的第⑵问中，在一号楼中至少住在第几层光照就不会受到二号楼的影响？F 30︒ED CBA【例31】某住宅小区有一郑南朝向的居民楼，如图，该楼底层是高为6m 的超市，超市以上是居民住房，在该楼前方15m 处准备盖一幢高20m 的新楼，已知当地冬季正午的阳光与水平线夹角为32︒ ⑴超市以上居民住房采光是否受到影响？为什么？⑵若要使居民住房采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（精确到0.1m ）新楼居民楼新楼32°BADCBA【例32】如图，“五一”期间在某商贸大厦上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30︒，测得条幅端点B 的俯角为45︒；小雯在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45︒，测得条幅端点B 的俯角为30︒．若设楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB 的长．(结果精确到个位，参考数据1.732)【例33】如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD （用含a αβθ，，，的代数式表示）（二）、坡度角【例34】为了加固一段河堤，需要运来砂石和土将堤面加宽1m ，使坡度由原来的1:2变成1:3，如图所示，已知原来背水坡长12BC m ，堤长100m ，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据3≈1.7，5≈2.7)CFEDBA【例35】燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 为55°，外口宽AD 为180 mm ，燕尾槽的深度为70 mm ，求它的里口宽BC （精确到1 mm ）F EDCBA【例36】创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．⑴请你帮助小王在下图中把图形补画完整；⑵由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i=是坡面CE的坡度），求r的值．【例37】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花.⑴求整修后背水坡面的面积；⑵如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？DCBA【例38】城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，如图所示，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度为2，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30︒，D、E之间是宽为2m的人行道，试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心.以AB的长为半径的圆形区域为危险区域)．FE人行道DCB A【例39】如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m ，从乙的顶部A 测得甲的顶部C 的仰角为60︒，测得甲的底部D 的俯角为30︒，求两建筑物的高.B【例40】在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由1θ减至2θ，这样楼梯占用地板的长度由1d 增加到2d ，已知11440d m θ=∠=︒，，236θ∠=︒，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m ．参考数据：tan36°=0.7256， tan40°=0.8391．）θ地板地板【例41】武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44︒减至32︒，已知原台阶AB 的长为5米(BC 所在地面为水平面)． ⑴ 改善后的台阶会加长多少？(精确到0.01米)⑵ 改善后的台阶多占多长一段地面？(精确到0.01米)44︒32︒CBA【例42】我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡角60BAD ∠=︒，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）？ABD CEF G ECDBA（三）、方位角【例43】如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒．（1）求B D ，之间的距离；（2）求C D ，之间的距离．中山路文化路和平路环城路环城路和平路文化路中山路BCD45°30°15°15°30°45°ODC BABCA44︒【例44】如图所示，某轮船以30海里／时的速度航行，在A 点处测得海面上的哨所P 在南偏东60︒，向北航行40分钟后到达B 点，测得哨所P 在南偏东30︒，轮船改变为北偏东60︒的航向再航行2小时到达C 点，若在PC 上存在一点M ，点M 在点B 的南偏东60︒处，且在点M 的周围有方圆15海里的暗礁区，问轮船从B 点到C 点的航行中有无触礁的危险?是否需要改变航向?EDB A【例45】为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你计算图中CE 的长（精确到0.1m ）【例46】如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A 点测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到B 点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明B 点是否在暗礁区域外．（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．东【例47】如图，公路MN 和公路PQ 在P 处交会，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所学校，160m AP =，假设拖拉机行使时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么当拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向以10m/s 的速度行使时，⑴ 学校是否会受到噪音的影响？为什么？⑵若学校会受到噪音的影响，受影响的时间是多少？【例48】随着科学技术的发展，机器人已经能按照设计的指令完成各种动作，在坐标平面上，根据指令[s ，]α(0a ≥，0360α︒≤<︒)机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其面对的方向沿直线行走距离s.⑴填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点(2A，2)，则给机器人发出的指令应是_________⑵机器人在完成上述指令后，发现(6P，0)处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器原地旋转时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球.(如图，点C为机器人最快截住小球的位置)(角度精确到度；参考数据：sin490.75︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，tan390.80︒≈)NyxPOANyxPO CBA【例49】第⑵问中，将“小球的滚动速度与机器人行走的速度相同”改为“小球速度为机器人的2”，则要在最短时间内截住小球应下的指令为.【例50】如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60︒方向上，港口D在港口A北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．【例51】渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60︒方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15︒方向，求此时灯塔M与渔船的距离.北东北15︒60︒MBA北东北60︒15︒NM BA【例52】如图，某剧组在东海拍摄广告风光片，拍摄基地位于A 处，在其正南方向15海里处一小岛B ，在B的正东方向20海里处有一小岛C ，小岛D 位于AC 上，且距小岛A 有10海里. ⑴ 求A ∠的度数(精确到1︒)和点D 到BC 的距离；⑵ 摄制组甲从A 处乘甲船出发，沿A B C →→的方向匀速航行，摄制组乙从D 处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B 、C 间的F 处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)北C B北EC B【例53】海面上B 处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C 时，在驶向正西方的目的地A 处，且200CA CB ==海里，在AB 中点O 处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？(路程保留整数海里，角度精确到度)【例54】为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在海岸线上相距20n mile 的A B ，两地设立观测站，按国际惯例，海岸线以外12n mile 范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海，某日，观测员发现一外国船只行驶至P 处，在A 观测站测得P 在北偏东27︒，同时在B 观测站测得P 在北偏西56︒，问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海？（参考数据：932sin63tan632sin34tan341053︒≈︒≈︒≈︒≈，，，）56°27°PBA【例55】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响. ⑴ 该城市是否会受这次台风影响？请说明理由.⑵ 若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ ⑶ 该城市受台风影响的最大风力是几级？（四）其它【例56】公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得10BC CD ==米，120B C ∠=∠=︒，45A ∠=︒．请你求出这块草地的面积．DCBA【例57】如图，不透明圆锥体DEC 放在水平面上，在A 处灯光照射下形成影子，设BP 过底面圆的直径，已知圆锥体的高为，底面半径为2m ，4BE m =⑴求B ∠的度数；⑵若2ACP B ∠=∠，求光源A 距水平面的高度PEDCBA【例58】小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全.他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈)【例59】如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．⑴ 求AO 与BO 的长；⑵ 若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．图1图2图3【例60】如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）图3图2B【例61】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AB的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连结BD ，若3cos 5BDC ∠=，求tan A 的值．（图1）NM DCA【例62】如图所示，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，D 是BC 上一点，DE AB ⊥，垂足为E ，CD DE =，9AC CD +=.求：⑴ BC 的长；⑵ CE 的长.EDCBA【例63】如图，某居民小区内A B ，两楼之间的距离30MN =米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B楼窗户朝南．B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离2DN =米，窗户高 1.8CD =米．当正午时刻太阳光线与地面成30角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．(1.4141.732=2.236=)【例64】如图，水坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽6m AD =，坡面CD =，AB 的坡度为，135ADC ∠=︒，求水坝的横截面积．DBA【例65】水坝的横截面是等腰梯形ABCD ，坝顶宽6AD m =，坝高4m ，斜坡AB 的坡度为1:2，现要将水坝加高2m ，要求坝顶宽度不变，背水坡AB 改为EG 后，坡度改为1:2.5，如图，按这样的要求，加固一条长为50m 的水坝，需要多少土方？Q HR G FEDCB A【例66】如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西60︒方向前进，乙船以每小时15km 的速度沿东北方向前进，甲船航行2h 到达C 处，发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75︒的方向追赶，结果两船在B 处相遇. ⑴ 甲船从C 处追上乙船用了多长时间？ ⑵ 甲船追赶乙船的速度是多少？北【例67】如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，建筑物周围没有开阔平整地带，建筑物顶端宽度AD 、高度DC 都可以直接测得，从A D C ，，三点都可看到塔顶H⑴试根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：①可供使用的测量工具有皮尺、测角器；②测量数据尽可能少；③在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A D ，间距离，用m 表示，D C ，间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ，，表示）⑵根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示，测角器高度忽略不计）DBA【例68】如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ，两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）。

中考数学解直角三角形

中考数学解直角三角形一、定义：在一个直角三角形中，斜边上的高分两个直角三角形，其中一个与原三角形相似，另一个与原三角形轴对称。

二、解直角三角形的步骤：1、判断三角形的形状：在一个三角形中，最大的角是90°，所以只要有一个角是90°的三角形就是直角三角形。

2、已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b：公式： a2 + b2 = c2或 b = √c2 – a2 (在实数范围内进行运算)。

3、已知直角三角形的一个锐角α和斜边c，求另一直角边b：公式： sinα = a / c或 a = c × sinα，求b： tanα = a / b 或 b = a / tanα。

4、判断一个三角形是否是直角三角形的方法：①有一个角是90°的三角形是直角三角形；②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；③一边的中线等于这条中线的二分之一的三角形是直角三角形。

解直角三角形中考题在平面几何中，解直角三角形是中考必考知识点之一，也是初中数学的重点内容之一。

下面从以下几个方面来探讨解直角三角形在中考中的常见题型和解法。

一、锐角三角函数锐角三角函数是解直角三角形的基础知识，主要考查学生对三角函数的掌握程度。

一般题型为：已知一个锐角，求其它锐角的三角函数值。

例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA=____，cosA=____，tanA=____。

解析：根据勾股定理可求得AB=5，再根据锐角三角函数的定义可求得答案。

二、解直角三角形解直角三角形是解直角三角形中最重要的题型，主要考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握以及应用能力。

一般题型为：已知一直角三角形中的两个边长或一个边长和另一个角的三角函数值，求未知边的长度。

例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=0.6，求AC的长。

解析：根据已知条件可求得∠B的三角函数值，再利用勾股定理可求得AC的长。

2020届中考数学专题：解直角三角形及其应用知识点及典型例题(含答案)

解直角三角形及其应用【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a＝4； (2)a＝1，3b=．【答案】(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由tanbBa=知，tan4tan6043b a B==⨯=g°．由cosaBc=知，48cos cos60acB===°．(2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°． ∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，解这个直角三角形．【答案】由∠C ＝90°知，∠A+∠B ＝90°，而∠B ＝30°， ∴ ∠A ＝90°-30°＝60°．又 sin 30b c=°，∴ 1202c =．∴ c ＝40．由勾股定理知222a cb =-．∴ 2224020a =-，203a =．举一反三：（1）已知a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°；（2）a=4；b=25 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是»AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值；(3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案】(1)∵ »»AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°．∴△ABE∽△DBC．(2)由△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．在Rt△BDC中，BC＝52，CD＝52，∴ BD＝225BC CD-=，∴ sin∠AEB＝sin∠DCB＝525552BDBC==．(3)在Rt△BDC中，BD＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE＝∠BDA，∴△AED∽△BAD．∴AD DEDB AD=，∴2AD DE DB=g．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭g，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BE．sin∠AEB＝32355452⨯=．举一反三：如图，在△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=13．（1）求AB边上的高CD；（2）求△ABC的面积S；（3）求tanB．【答案】（1）CD=4cm；（2）S=32 cm2；（3）tanB=+224.类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为1:3i=（i＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)．【答案】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5．在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532，在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【巩固练习】一、选择题1.在△ABC 中，∠C ＝90°，4sin 5A =，则tan B ＝( )． A ．43 B ．34 C ．35 D ．452．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为( )．A ．7sin 35°B ．7cos35°C ．7cos 35°D ．7tan 35°3．河堤、横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )．A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为( )．A ．12B ．22C ．32D ．1第3题第4题第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h α B ．tan h α C ．cos h αD ．sin h αg6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若3cos5BDC∠=，则BD的长是( )．A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距( )．A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里第6题第7题第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m的M和N两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )．A．2003m B．20033m C．1003m D．100m二、填空题9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝35，则tan∠B的值为______．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．第9题第10题第11题11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE 沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1:3(即AB:BC＝1:3)，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16. 如图所示，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度(3≈1.732，结果保留一位小数)．17．如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°．(1)求垂直支架CD的长度．(结果保留根号)(2)求水箱半径OD的长度．(结果保留三个有效数字，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B ；【解析】如图，sin A ＝45BC AB =，设BC ＝4x ．则AB ＝5x ．根据勾股定理可得AC ＝223AC AB BC x =-=，∴ 33tan 44AC x B BC x ===． 2.【答案】C ；【解析】在Rt △ABC 中，cos BCB AB=．∴ BC ＝ABcosB ＝7cos 35°． 3.【答案】A ；【解析】由tan BCi A BC===1:3知，353AC BC ==g (米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ 2cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==，设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里． 8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=，2003PM =．二、填空题9．【答案】23；【解析】在Rt△ACM中，sin∠CAM＝35，设CM＝3k，则AM＝5k，AC＝4k．又∵ AM是BC边上的中线，∴ BM＝3k，∴ tan∠B＝4263 AC kBC k==．10．【答案】32；【解析】由已知条件可证△ACE≌△CBD．从而得出∠CAE＝∠BCD．∴∠AFG＝∠CAE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝60°，在Rt△AFG中，3sin602 AGAF==°．11．【答案】40403+；【解析】在Rt△APC中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝2 402402⨯=．在Rt△BPC中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝403，所以AB＝AC+BC＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以21 tan tan42BFBCE BDFDF∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴ DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58 14．【答案】200；【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴ BC＝AB＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴ AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，在Rt△CDE中，3tan tan603DE DECE xDCE===∠°．在Rt △ABC 中，∵ 13AB BC =，AB ＝2，∴ 23BC =．在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x-2．∴ 23(2)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°∵ AF ＝BE ＝BC+CE ． ∴ 33(2)233x x -=+，解得6x =．答：树DE 的高度为6米．16.【答案与解析】根据题意可知：∠BAD ＝45°，∠BCD ＝30°，AC ＝20m ．在Rt △ABD 中，由∠BAD ＝∠BDA ＝45°，得AB ＝BD ．在Rt △BDC 中，由tan ∠BCD ＝BD BC ，得3tan 30BD BC BD ==°．又∵ BC-AB ＝AC ．∴ 320BD BD -=，∴ BD ＝2031-≈27.3(m)．答：该古塔的高度约为27.3m ．17.【答案与解析】(1)在Rt △DCE 中，∠CED ＝60°，DE ＝76，∵ sin ∠CED ＝DC DE，∴ DC ＝DE ×sin ∠CED ＝383(厘米) 答：垂直支架CD 的长度为383厘米．(2)设水箱半径OD ＝x 厘米，则OC ＝(383)x +厘米，AO ＝(150)x +厘米，∵ Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°∴ AO ＝2×OC ，即：150+x ＝2(383)x +厘米，AO ＝(150+x)厘米，解得：150763x =-≈18.52≈18.5(厘米)答：水箱半径OD 的长度约为18.5厘米．。

人教版九年级数学下册解直角三角形ppt课件

AD 4 2 2
∴∠ADC=45°, ∴∠ADB=180°-45°=135°.
5.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形. (1)已知a=5,∠B=60°; (2)已知a=5 2 ,b=5 6 .
解析 (1)∵∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=30°, ∵cos B=cos 60°= a = 1 ,a=5,∴c=10,
5
(1)求AB的长; (2)求cos∠BAD的值.
图28-2-1-6
解析 (1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠ADC= AC = 4,AD=5,∴AC=4.
AD 5
由勾股定理得CD= AD2 -AC2 =3, ∴BC=CD+DB=3+5=8, 在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得AB= AC2 BC2 = 42 82 =4 5 . (2)∵AD=BD, ∴∠BAD=∠ABD.
知识点一解直角三角形 1.解直角三角形的定义与边角关系
2.解直角三角形的类型
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
已知条件
解法
两直角边斜边、一直角边(如c,a) 一锐角与邻边(如∠A,b) 一锐角与对边(如∠A,a) 斜边与一锐角(如c,∠A)
由tan A= a,求∠A;∠B=90°-∠A;c= a2 b2
点O,AB⊥AC.若AB=8,tan∠ACB= 2,则BD的长是
.
3
图28-2-1-3
答案 20
解析 ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB
⊥AC,AB=8,tan∠ACB= 2= AB ,∴AC= 3AB=12,∴OA=6,∴BO= OA2 AB2=