海南中学2020届高三第三次月考数学试题(含解析)

海南中学2020届高三第三次月考数学试题一、单选题（每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共10小题，满分40分）1.已知集合{}{}1log |,1|22<=<=x x B x x A ，则如图所示阴影部分表示的集合为 （ ）A 、{}11|<<-x xB 、{}10|<<x xC 、{}20|<<x xD 、{}21|<<-x x【解答】A ={x |−1<x <1}, B ={x |0<x <2}∴A ∩B =0<x <1, 【答案】选B.2. 【虚则实之，实则虚之；虚实相生，皆成妙境】若复数1iz i=-，其中是i 虚数单位，则Z = （ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+D ．1122i --【解答】解：由(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+， ∴1122z i =--．【答案】选D ．3. 【世界上没有垃圾，只有放错位置的宝藏】2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为A ．13B ．23C ．14D ．34【解答】厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶,该上海居民向四个垃圾桶内随意丢垃圾,有四种可能,投放错误有三种结果,故被罚款和行政处罚的概率为3/4. 【答案】选D ．4．【不必仰望别人，自己亦是风景。

生活中幸福的标准不是唯一的，而数学中的实数的大小是确定的,只要你找到了标准】已知3log 4a =，log 3b π=，0.55c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 【解答】1<3log 4a =<2,0 <log 3b π=<1,2<0.55c =,∴b a c <<. 【答案】选D ．5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为A ．32B ．32-C ．23D ．23-【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，816S =，61a =， ∴816187816251S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得1133a =，23d =-，数列{}n a 的公差为23-．【答案】选D ．6．【盛夏季节，我们曾经邂逅相遇；晚秋时分，你可记得我的倩影?】《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”。

该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ＝136l 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V ≈25942l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取 ( )A.227B.258C.15750D.355113 【答案】选C.解析 V ＝13πr 2h ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫l 2π2h ＝112πl 2h ，由112π≈25942，得π≈15750，故选C.7.直角△ABC 中，点D 为斜边BC 中点，AB＝AC ＝6，1AE ED 2=，则AE EB ⋅＝（ ）．A ．7B ．9C ．14D ． 18【解析】以O 为坐标建立平面直角坐标系即可，建系后可得A(0，0)，B(0，，C(6，0)，D(3，，E(1)，所以AE =(1，EB =(﹣1，，则AE EB ⋅＝﹣1＋15＝14．【答案】选C8. 【心中有像，数在心中，一切皆禅】函数sin ln ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】选A.9．【人生当如向量，方向一旦确定，无论你走到哪,始终如一；如果随意改变方向，只能原地踏步(零向量)】如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为 （ ） A ．23B ．25C ．16D ．34【解答】解：由题意及图，()(1)AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-， 又，23AN NC =，所以25AN AC =，∴2(1)5AP mAC m AB =+-， 又13AP t AB AC =+，所以12153m tm -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得56m =，16t =，【答案】选C ．10. 【函数眼前过，图像心中留】已知()f x '是函数f （x ）的导函数，且对任意的实数x 都有()()23xf x f x x e'-=+（e 是自然对数的底数），f （0）＝1，若不等式f （x ）﹣k ＜0的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[﹣1e2，1e 3） B ．[﹣1e2，0] C ．（﹣1e2，0] D ．（﹣1e 2，0）【分析】令G （x ）＝，可得G ′（x ）＝＝2x +3，可设G （x ）＝x 2+3x +c ，G （0）＝f（0）＝1．解得c ＝1．f （x ）＝（x 2+3x +1）e x ，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出． 【解答】解：令G （x ）＝，则G ′（x ）＝＝2x +3，可设G （x ）＝x 2+3x +c ，∵G （0）＝f （0）＝1．∴c ＝1． ∴f （x ）＝（x 2+3x +1）e x ，∴f ′（x ）＝（x 2+5x +4）e x ＝（x +1）（x +4）e x ． 可得：x ＝﹣4时，函数f （x ）取得极大值，x ＝﹣1时，函数f （x ）取得极小值．f （﹣1）＝﹣，f （0）＝1，f （﹣2）＝﹣＜0，f （﹣3）＝＞0．∴＜k ≤0时，不等式f （x ）﹣k ＜0的解集中恰有两个整数﹣1，﹣2．故k 的取值范围是．【答案】选C ．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及其图象性质、方程与不等式的解法、数形结合思想方法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、 多选题（每个小题有多个正确选项，每小题4分，多选或选错不得分，少选得2分，共3小题，满分12分）11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中正确的是（ ） A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B ．函数()g x 的最大值为2.C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12||x x -最小值为2π【答案】A.D.12．给出下列四个命题：A.一组数据1、2、3、3、4、5的平均数、众数、中位数相同；B.甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲；C.已知具有线性相关关系的两个变量满足的回归直线方程为12y x =-．则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；D.统计的10个样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在114.5,[124.5)内的频率为0.4 其中真命题为（A. C .D.） 【答案】A. C .D.【解析】解：数据1、2、3、3、4、5的平均数为115(12345)355++++==，众数、中位数都是3，∴A 正确；甲组数据的方差为5，乙组数据的平均数为56910575++++=，方差为22222141494(57)(67)(97)(107)(57) 4.455++++⎡⎤-+-+-+-+-==⎣⎦小于甲的方差，乙稳定.∴B 错误；已知具有线性相关关系的两个变量满足的回归直线方程为12y x =-．则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位，∴C 正确；样本数据落在114.5,[124.5)内的有120，122，116，120共4个，∴所求频率为40.410=，∴D 正确． 【点评】本题主要考查统计的有关知识，要求熟练掌握统计的有关概念，比较基础．13．给出以下结论：A. 若向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝2;B. |a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°,则|a ＋b |= 43;C. 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为π6;D. 向量m ＝(a ，－2)，n ＝(1,1－a )，且m ∥n ，则实数a ＝0. 则以上结论正确的序号为（ ） 【答案】A. B.C【解析】因为a ⊥b ，所以a·b ＝－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2，故A.正确;因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a ＋b |＝4 3.故B 正确; 因为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b|＝1×3＋3×12×2＝32，所以a 与b 夹角的大小为π6故C 正确，D 显然不正确，故选A. B.C .三、 填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）14.5（1-的展开式的各个二项式系数的和为 ；含的项的系数是 ． 【答案】32；-80.15. 在∆ABC 中cos 35C =，BC=1，AC=5，则AB= ;若D 是AB 的中点，则CD= ．【答案】2√5；2√2.16. 函数()sin2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____． 【答案】π；a 【解析】()sin2cos2f x x x =+in(2)4x π+，最小正周期T =π，依题意，知：()a f x ≥恒成立，所以，max ()a f x ≥a 17. 我国南宋数学家杨辉在所著《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列{}n a ，则a 14= ；若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则67S =_____．【答案】4; 2048【解析】令每行的序数与该行的项数相等可得第k 行最后项在数列{}n a 中的项数为()12k k +；根据()()116722k k k k -+<≤可求得12k =，进而可确定67a 位于第12行第1个；根据每一行数字和的规律可知()01211600172222S C +++⋅⋅⋅++=，计算可得结果.【详解】a 14=4;又要使得每行的序数与该行的项数相等，则第k 行最后项在数列{}n a 中的项数为：()12k k +设67a 位于第()*k k ∈N行，则：()()116722k k k k -+<≤，解得：12k =且第11行最后一项在数列{}n a 中的项数为：1112662⨯= 67a ∴位于杨辉三角数阵的第12行第1个.而第一行各项和为012=，第二行各项和为122=，第三行各项的和为242= 依此类推，第k 行各项的和为12k -()110121001171612222212204812C S 1-+++⋅⋅⋅++=∴+===-四、 解答题（共6小题，满分82分）18. 【努力的你，值得温柔以待】（本小题满分10分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,a,b c ，3a =，的b =，cos 13B =-．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）若D 为BC 边上的点，并且43AD =，求ADB ∠． 【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理可得：222cos 2a +c b B ac-=，即219123+c 6c--=， ………………3分整理得2230c +c -=，解得1c =或3c =-（舍）．所以1c=． ………………5分（Ⅱ）在ABD △中，由正弦定理sin sin AD AB BADB=∠，可得sin ADB ∠． ………………7分 又因为cos 103B =-<，所以π2B >． 所以π02ADB <<∠． 所以π4ADB =∠． ………………10分19. 【你若不弃，我便尽心尽力；你若放弃，我也无能为力】（本小题满分14分）已知n S 是数列{}n a 的前n项和，11a =，23a =，对*n N ∀∈，1n >，都有1121n n n S S S n +-+=++成立. （1）求n a ； （2）若12n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解答】解:（1）由11a =，23a =， ∵1121n n n S S S n +-+=++(2n ≥)， ∴11()()1n n n n S S S S n +----=+， 即11n n a a n +-=+(2n ≥)， 又21a a -=2.21324311=()+()+()++()+n n n a a a a a a a a a a -----=2+3+4+⋯+n+1(2n ≥)，可得：(1)2n n n a +=(2n ≥). 经检验n=1时也符合上式,∴(1)2n n n a +=. （2）由已知11112(1)1n n b a n n n n ===-++， 由列项相消法得：11111111()()()()1223341n T n n =-+-+-+-+ 1111n T n n n =-+=+.20. 【多得一分，多一种权利，多一份机会】 （本小题满分14分）设向量m ＝cos()x ωϕ+)，n ＝(sin()x ωϕ+，-1)，若函数()f x m n =⋅为偶函数（其中0πϕ<<，0ω>），且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2． （1）求ϕ； （2）若π8x =，求()f x 的值； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间． 【解答】解: （1）()=3sin()cos()1=2)cos()22sin()6f x m n x x x x x ωϕωϕωϕωϕπωϕ=⋅+-+⎤+-+⎥⎣⎦=+-因为()f x 为偶函数，所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立， 因此ππsin()sin 66x x ωϕωϕ⎛⎫-+-=+- ⎪⎝⎭． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得πsin cos 06x ωϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为0ω>，且x ∈R ，所以πcos 06ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又因为0πϕ<<，故ππ62ϕ-=．∴2π3ϕ=. （2）由（Ⅰ）得π()2sin 6f x x ωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭且2π3ϕ= ， 所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 由题意得2ππ22ω=，所以2ω=． 故()2cos 2f x x =．因此ππ2cos 84f ⎛⎫==⎪⎝⎭（3）将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 当π2π22ππ3k x k -+≤≤（k ∈Z ）， 即π2πππ63k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减， 因此()g x 的单调递减区间为π2πππ63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）. 21．【都是数学惹的“祸”，让你高高兴兴上大学】（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 是递增数列，且51172a a +=，244a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若(*)n n b na n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）由{}n a 是递增等比数列，15172a a +=，224344a a a === 411172a a q ∴+=，221()4a q =； 解得：112a =，2q =； ∴数列{}n a 的通项公式：22n n a -=；（2）由(*)n n b na n N =∈，22n n b n -∴=；112S ∴=；那么10121222322n n S n --=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+，①则012212122232(1)22n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-+，② 将②-①得：21112222n n n S n --=----⋯-+；即：10221111(22222)2222n n n n n S n n -----=-+++++=-+．22. 【永远不要走捷径，没有人是可以不劳而获的】（本小题满分15分）在脱贫攻坚中，某市教育局定点帮扶前进村100户贫困户．驻村工作队对这100户村民的贫困程度以及家庭平均受教育程度进行了调查，并将该村贫困户按贫困程度分为“绝对贫困户”与“相对贫困户”，同时按家庭平均受教育程度分为“家庭平均受教育年限≥5年”与“家庭平均受教育年限＜5年”，具体调查结果如表所示：（1的30户贫困户中任意抽取6户，再从所抽取的6户中随机抽取2户参加“谈心谈话”活动，求至少有1户是绝对贫户的概率；（2）以以上数据估计全市“绝对贫困户”与“相对贫困户”的状况,从全市所有贫困户中任取三户,求“绝对贫困户”户数X 的数学期望和方差；（3）根据上述表格判断：是否有95%的把握认为贫困程度与家庭平均受教育程度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++参考数据：，F ，从中选2户参加谈心谈话活动的所有组合为AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF 共15种，其中至少有一户是绝对贫困户的概率为915=35．（2）依题意,“绝对贫困户”户数X ～B (3，12) ，E (X )＝32，D (X )＝34. （3）K 2=(30×10−40×20)270×30×50×50=10021≈4.762＞3.841，所以有95%的把握认为贫困程度与家庭平均受教育程度有关． 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题．23. 【《Nothing to Lose 》You know exactly what to do, You make these dreams come true. 】（本小题满分15分）已知函数f （x ）＝ln （x +1）﹣22a (1)x x x ++，其中a 为常数． （1）若函数f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为12,求a 的值； （2）当1＜a ≤2时，讨论f （x ）的单调性；（3）当x ＞0时，证明g （x ）＝xln （1+）+ln （1+x ）≤2ln 2．【解答】解：（1）由f （x ）＝ln （x +1）﹣22a (1)x x x ++，得3(2a 3)()(1)x x f x x -+'=+（x ＞﹣1）． ∴f ′（1）=4−2a 8=12, 解得a=0. （2）由f （x ）＝ln （x +1）﹣22a (1)x x x ++，得3(2a 3)()(1)x x f x x -+'=+（x ＞﹣1）． 当1＜a ＜时，()f x '在（﹣1，2a ﹣3），（0，+∞）上大于0,∴f （x ）在（﹣1，2a ﹣3），（0，+∞）上为增函数，()f x '在（2a ﹣3，0）上小于0, ∴f （x ）在（2a ﹣3，0）上为减函数；同理可得:当a ＝时，f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增；当a 时，f （x ）在（﹣1，0），（2a ﹣3，+∞）上单调递增，在（0，2a ﹣3）上单调递减；（3）∵g （x ）＝xln （1+）+ln （1+x ），∴g （x ）＝g （），则g （x ）在（0，+∞）上的最大值等价于在（0，1]上的最大值，g ′（x ）＝，记h （x ）＝g ′（x ）＝，则h ′（x ）＝．由（2）得：当a=2时, f （x ）在（0，2a ﹣3）即在（0，1]上单调递减；f （x ）= ln （x +1）﹣222(1)x x x ++≤f (0)=0, ∴在（0，1]上()0h x '≤, h （x ）在（0，1]上单调递减，则h （x ）≥h （1）＝0，即在（0，1]上g ()0x '≥, 则g （x ）在（0，1]上单调递增，g （x ）的最大值为g （1）＝2ln 2．∴当x ＞0时，g （x ）≤2ln 2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，考查数学转化思想方法，属难题．。