角平分线的性质与判定.
角平分线的性质定理和判定定理(含答案)
几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理一、 知识点(抄一遍)：1. 角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线.2. 角平分线的性质定理：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 3. 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 二、 专题检测题1. 证明角平分线的性质定理.（注意：证明文字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明角平分线的判定定理. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理：∵ ， ∴ . （2）角平分线的判定定理：∵ ， ∴ .4. 已知：如图所示，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，BN 、CP 相交于O点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的角平分线.5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂足，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD.B6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD.7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的一点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；（2）OP 是CD 的垂直平分线； （3）OC=OD.O几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理答案1. 证明角平分线的性质定理.已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E求证: PD=PE证明：∵OC 平分∠ AOB∴ ∠1= ∠2∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP∴△PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE2.证明角平分线的判定定理.已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，PD ＝PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上 证明: 经过点P 作射线OC∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴ ∠PDO ＝∠PEO ＝90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）∴ ∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上.3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理：∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴ DP=EP. （2）角平分线的判定定理：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ． ∴ OP 平分∠AOB ．OO4.已知：如图所示，BN、CP分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BN、CP相交于O点，连接AO，并延长交BC于M求证：AM是∠BAC的角平分线.证明：作OE⊥AC，OG⊥AB，OF⊥BC，垂足分别为E、G、F.∵BN平分∠ABC，OG⊥AB，OF⊥BC，∴OG=OF.同理可证：OE=OF.∴OG=OE又∵OE⊥AC，OG⊥AB，∴AM是∠BAC的角平分线.5.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂足，D是BE与CF的交点，AD平分∠BAC.求证：BD=CD.证明：∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，CF⊥AB，∴DF=DE.∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠DFB=∠DEC=90°. 在△DFB和△DEC中，∠EDC=∠FDBDF=DE∠DFB=∠DEC∴△DFB≌△DEC（ASA）∴BD=CD.6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC. AD是∠CAB的平分线.求证：AB=AC+CD.证明：过点D作DE⊥AB，垂足为点E.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD.∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C.在△CAD和△EAD中，∠CAD=∠BAD，∠DEA=∠C，AD=AD.∴△CAD≌△EAD（AAS）.∴AC=AE，CD=DE.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，∵∠DEB=90°，∴∠EDB=45°=∠B.∴DE=BE,∴CD=BE，∴AB=AE+BE=AC+CD.B7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.证明：过点M 作ME ⊥AD ，垂足为E ，∵DM 平分∠ADC ， ∴∠1=∠2， ∵MC ⊥CD ，ME ⊥AD ，∴ME=MC （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵MC=MB ， ∴ME=MB ，∵MB ⊥AB ，ME ⊥AD ，∴AM 平分∠DAB （到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的一点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；（2）OP 是CD 的垂直平分线； （3）OC=OD.证明：（1）∵OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， ∴PC=PD ∴∠PCD=∠PDC. （2）∵OP 平分∠AOB ， ∴∠COP=∠DOP. ∵PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， ∴∠PCO=∠PDO=90°， ∴∠CPO=∠DPO. ∵PC=PD ，∴△CDP 是等腰三角形，∴PM 是等腰三角形底边上的中线和高线. 即OP 是CD 的垂直平分线. （3）由（2）知，∠CPO=∠DPO. ∴OP 平分∠CPD ， 又∵CP ⊥OA ，DP 垂直OB ， ∴OC=OD （角平分线的性质定理）.O。
角平分线的判定(用)
为了证明角平分线的判定定理， 我们可以按照以下步骤进行推导
综上所述，我们证明了角平分线 的判定定理。
03 判定定理的应用
在几何证明中的应用
证明角平分线
利用角平分线的判定定理，可以 证明某个角是另一个角的平分线。
证明等腰三角形
在三角形中，如果一个角的平分线 与对边相交，则该交点与对边的两 个端点所形成的三角形是等腰三角 形。
进行证明。
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证明线段比例
利用角平分线定理，可以证明线段 之间的比例关系。
在三角形中的运用
01
02
03
确定角的平分线
在三角形中，可以利用角 平分线的判定定理来确定 角的平分线位置。
计算线段长度
利用角平分线定理，可以 计Байду номын сангаас三角形中某些线段的 长度。
判断三角形形状
在三角形中，可以利用角 平分线的性质来判断三角 形的形状。
在日常生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，角平分线 的判定定理可用于确定窗 户、门等部件的位置和角 度。
道路规划
在道路规划中，可以利用 角平分线的判定定理来确 定交叉路口的角度和道路 的走向。
机械制造
在机械制造中，角平分线 的判定定理可用于确定零 件的精确位置和角度。
04 判定定理的推论与变种
推论一
角平分线的判定定理
目录
• 角平分线的定义与性质 • 角平分线的判定定理 • 判定定理的应用 • 判定定理的推论与变种
01 角平分线的定义与性质
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将 该角分为两个相等的部分的一条射线。
角平分线上的任意一点到这个角的两 边的距离相等。
角平分线的判定
角平分线的性质和判定一、基础知识回顾。
角平分线的性质： 角平分线的判定：一、分线的判定定理角平分线的判定：到角两边距离相等的点在 。
如图：∵P D ⊥OA,PF ⊥OB ，PD=PE ，∴P 在∠AOB 的平分线上，或（∠AOP=∠BOP ）1、如图，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BD=2CD ，BC=9，求点D 到AB 的距离。
D C BA2、如图，求作到三条直线距离相等的所有点。
3、如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，求证：AM 平分DAB ∠。
MDCBA4. 如图所示，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD . 求证：AD 平分∠BAC .5、如图，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE=DF ，求证：GE=GF 。
FGDCBAE6、如图，CD AB ⊥，BE AC ⊥，OB OC =，求证12∠=∠。
O21A B CDE7、如图，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，BD=DF ，求证：CF=EB 。
FD C BAE8 如图，BE=CF ，BE ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E,BF 和CE 交于点D ，求证：AD 平分∠BAC.9.如图在△ABC 中，∠B=∠C ,D 是BC 的中点，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AD 平分∠BACCFABC10.如图BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE,CF相交于点D，且CE=BF，求证:点D在∠BAC的平分线上11，在Rt△ABC中，∠C=90。
，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，AE=BC，DE⊥AB，垂足为E，求证△DBE的周长等于AB.12，在△ABC中，外角∠CBE和∠BCG的平分线相交于点F，求证：点F在∠BAC的平分线上13，已知∠B=∠C=90。
，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，探究线段BM与CM的关系，说明理由。
_角平分线的性质和判定(包含答案)
角平分线的性质和判定（1）以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；（2）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，相交于点；（3）连接点和并延长，则射线就是的角平分线若DP=EP，则点P在∠AOB的角平分线上一．考点：角平分线的尺规作图，角平分线的性质和判定二．重难点：角平分线的性质和判定三．易错点：1．角平分线的性质和判定混淆不清导致解题出错．题模一：尺规作图例1.1.1如图，已知M、N分别是AOB∠的边OA上任意两点．（1）尺规作图：作AOB∠的平分线OC；（2）在AOB∠的平分线OC上求作一点P，使PM PN+的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）例1.1.2作图题：（简要写出作法，保留作图痕迹）如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到点M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．题模二：性质例1.2.1如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2例1.2.2如图，在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BP＋CQ－AR＝________．例 1.2.3 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．题模三：判定例1.3.1 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥CB 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，DE 平分∠ADC ，且点E 为BC 的中点，连接AE ．（1）求证：AE 平分∠BAD ； （2）求∠AED 的度数．例 1.3.2 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．随练1.1 尺规作图（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）如图，两条公路EA 和FB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路EA 、FB 的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．FABCDEOOEDCBA随练1.2如图，△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.65°B.60°C.55°D.45°随练1.3如图，已知ABC∆的周长是20，OB和OC分别平分ABC∠和ACB∠，OD BC⊥于点D，且3OD=，则ABC∆的面积是（）A.20B.25C.30D.35随练 1.4如图，AB CD∥，BP和CP分别平分ABC∠和DCB∠，AD过点P，且与AB垂直．若8AD=，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2随练1.5三角形中到三边的距离相等的点是（）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点随练1.6如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线，求证：点P在∠A的平分线上．拓展1如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．拓展2如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A.四处B.三处C.两处D.一处拓展3在ABC∆中，AB AC=，70ABC∠=︒（1）用直尺和圆规作ABC∠的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，BDC∠=________．PCBA拓展4 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点拓展5 如图，已知在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，2DE =，则BCE ∆的面积等于________．拓展6 如图，ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC ∆分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5拓展7 如图，已知：BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥于E ，236ABC S cm ∆=；，12AB cm =，18BC cm =，则DE 的长为________cm ．拓展8 如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥交AF 的延长线于F ．（1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长．拓展9 如图，△ABC 和△AED 为等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ，连接BE 、CD 交于点O ，连接AO ． 求证：（1）△BAE ≌△CAD ； （2）OA 平分∠BOD ．GFE DC BA答案解析角平分线题模一：尺规作图例1.1.1【答案】（1）（2）【解析】（1）如图1所示，OC即为所求作的AOB∠的平分线．（2）如图2，作点M关于OC的对称点M'，连接M N'交OC于点P，则点P即为所求．例1.1.2【答案】【解析】（1）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA、OB于点C、点D，（2）再分别以点C、点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于一点E，（3）连接OE，则OE为∠AOB的角平分线，（4）连接MN，分别以M、N为圆心，大于12MN长为半径作弧，两弧交于点F、点H，（5）连接FH，则FH为线段MN的垂直平分线，（6）直线FH与OE交于点P，点P即为所求．题模二：性质例1.2.1【答案】C【解析】过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．例1.2.2【答案】4【解析】连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR ＝OQ ，OR ＝OP ，∴由勾股定理得：AR 2＝OA 2－OR 2，AQ 2＝AO 2－OQ 2， ∴AR ＝AQ ，同理BR ＝BP ，CQ ＝CP ， 即O 在∠ACB 角平分线上，设BP ＝BR ＝x ，CP ＝CQ ＝y ，AQ ＝AR ＝z ， 则987y z x y x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ x ＝3，y ＝5，z ＝4，∴BP ＝3，CQ ＝5，AR ＝4， BP ＋CQ －AR ＝3＋5－4＝4．例1.2.3【答案】31.5【解析】∵O 点为ABC △中角平分线的交点， ∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=题模三：判定 例1.3.1【答案】（1）见解析 （2）90°【解析】（1）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，图略．∵DE 平分∠ADC ，EC ⊥CD ，EF ⊥AD ，∴EC ＝EF ，又EC ＝EB ，∴EF ＝EB ，又EF ⊥AD ，EB ⊥AB ，∴点E 在∠BAD 的平分线上，∴AE 平分∠BAD ． （2）∠AED ＝90°． 例1.3.2【答案】见解析．【解析】因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=︒， 则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌．进而由AF AO=得AFO AOF∠=∠；由AOE AFO∠=∠可得AOF∠=AOE∠，即OA平分DOE∠．随练1.1【答案】【解析】如图所示：作CD的垂直平分线，AOB∠的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．P和1P都是所求的点．随练1.2【答案】A【解析】解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF＝AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG 是∠CAB 的平分线，∵∠CAB ＝50°，∴∠CAD ＝25°；在△ADC 中，∠C ＝90°，∠CAD ＝25°，∴∠ADC ＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）．随练1.3【答案】C【解析】如图，连接OA ，过O 作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ，OB 、OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，3OE OF OD ∴===，ABC ∆的周长是20，OD BC ⊥于D ，且3OD =，1111()32222ABC S AB OE BC OD AC OF AB BC AC ∆∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯ 1203302=⨯⨯=．随练1.4【答案】C【解析】过点P 作PE BC ⊥于E ，AB CD ∥，PA AB ⊥，PD CD ∴⊥， BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，PA PE ∴=，PD PE =，PE PA PD ∴==，8PA PD AD +==，4PA PD ∴==，4PE ∴=．随练1.5【答案】D【解析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知： 三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．随练1.6【答案】见解析【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =．同理可证PF PG =．所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上．拓展1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）如图1，射线CP 为所求作的图形．（2）∵CP 是∠ACB 的平分线∴∠DCE=∠BCE ．在△CDE 和△CBE 中，CD=CB DCE=BCE CE=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCE ≌△BCE （SAS ），P∴BE=DE．拓展2【答案】A【解析】满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．拓展3【答案】（1）（2）75︒【解析】（1）如图所示，BD 即为所求；（2）在ABC ∆中，AB AC =，70ABC ∠=︒，180218014040A ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， BD 是ABC ∠的平分线，11703522ABD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒， BDC ∠是ABD ∆的外角，403575BDC A ABD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．拓展4【答案】D【解析】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴角形三边距离相等的点应是这个三角形三个内角平分线的交点．拓展5【答案】6【解析】作EF BC ⊥于F ， BE 平分ABC ∠，EF BC ⊥，ED AB ⊥，2EF DE ∴==，BCE ∴∆的面积162BC EF =⨯⨯=．拓展6【答案】C【解析】过点O 作OD AC ⊥于D ，OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，点O 是内心，OE OF OD ∴==， 111::::::2:3:4222ABO BCO CAO S S S AB OE BC OF AC OD AB BC AC ∆∆∆∴===．拓展7【答案】2.4【解析】如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥， DE DF ∴=，ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，1122AB DF BC DE =+， 11121822DE DE =⨯+⨯， 15DE =，236ABC cm ∆=，1536DE ∴=，解得 2.4DE cm =．拓展8【答案】（1）见解析；（2）2a b BE -=，2a b AE += 【解析】（1）连接DB 、DC ，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴DB DC =．∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE DF =．90AED BED ACD DCF ∠=∠=∠=∠=︒在Rt △DBE 和Rt △DCF 中DB DC DE DF =⎧⎨=⎩Rt △DBE ≌Rt △DCF （HL ），∴BE CF =．（2）在Rt △ADE 和Rt △ADF 中∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）．AD AD DE DF =⎧⎨=⎩∴AE AF =．∵AC CF AF +=，∴AE AC CF =+．∵AE AB BE =-，∴AC CF AB BE +=-∵AB a =，AC b =，∴b BE a BE +=-， ∴2a b BE -=， ∴22a b a b AE AB BE a -+=-=-=．拓展9【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）过点A 分别作AF ⊥BE 于F ，AG ⊥CD 于G ．如图所示：G F EDCB A∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，AB ACBAE CAD AE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△CAD（SAS），（2）连接AO并延长交CE为点H，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，∴AF＝AG，∵AF⊥BE于F，AG⊥CD于G，∴OA平分∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠COH＝∠AOD，∠EOH＝∠AOB，∴∠COH＝∠EOH．∴OA平分∠BOD．。
初二讲义角平分线的判定与性质
第7讲角平分线的判定与性质【知识点与方法梳理】角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．角平分线的性质及判定1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．2角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．推导：已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在R t△PAO和R t△PBO中，∴R t△PAO≌R t△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【经典例题】FEDAB CNMGOED BAC例1．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上BD=DF ，求证：CF=EB 例2.已知：如图，AD 、BE 是△ABC 的两条角平分线，AD 、BE 相交于O 点求证：O 在∠C 的平分线上例3.如图AB ∥CD ，∠B ＝90°，E 是BC 的中点。
角平分线的性质和判定
角平分线的性质和判定
一、角平分线的性质：
1、角平分线可以得到两个相等的角。
2、角平分线上的点到角两边的距离相等。
3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
二、判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
因此根据直线公理。
1角平分线定义
1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
2角平分线画法
方法1
1、以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB 两边于点M、N。
2、分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
方法2
1、在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD。
2、连接CN与DM，相交于P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
角平分线的性质是什么
角平分线的性质是什么
角平分线的性质
1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
扩展资料
基本结构
1、见角平分线上的一点向角的一边作的垂线，可过该点向另一边作垂线；
2、见角平分线上的一点向角平分线作的垂线，可延长该垂线段交于角的另一边；
3、在角平分线的两边截取等线段，构造全等。
三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。
三角形的'内心到三角形三边的距离相等。
三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
定义
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的性质和判定讲义2017.8
角平分线的性质及判定文档内容指引:角平分线尺规作图 角平分线性质 角平分线判定 经典例题 课后练习一. 教学内容：1. 角平分线的作法．2. 角平分线的性质及判定．3. 角平分线的性质及判定的应用．二. 知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）3. 角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．三. 重点难点：1. 重点：角平分线的性质及判定2. 难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的．【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. （2007年浙江义乌）如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DEB. ∠AED＝90°C. ∠ADE＝∠ADCD. DB＝DC6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．17. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？18. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．19. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．答案：例1：分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）．即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．例2：分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．解：AD平分∠BAC．∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．评析：由角平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．例3：分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．例：4分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上，∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又∵点P到公路的距离是400m，∴点P（学校）到铁路的距离是400m．（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．例5：分析：由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE．在R t△ACD和R t△AED中，，∴R t△ACD≌R t△AED（HL）．∴AC＝AE．又∵AC＝BC，∴AE＝BC．∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系．本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常用的一种数学思想．。
角的平分线的判定
如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的 外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正 确的是( B ) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
性质
(2)点在角的平分线上 判定定理 点到这个角两边的距离 相等．
证明：如图，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线 AC，AB，BC，垂足分别为F，G，H. 因为BD是△ABC的∠ABC的外角的平分线，点 P在BD上， 所以PG＝PH(角的平分线上 的点到角的两边的距离相等)． 同理PF＝PH， 所以PG＝PH＝PF，即点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等．
上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件： “垂直”和“相等”.
1 在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是( A ) A．点M B．点N C．点P D．点Q
2. 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距 离相等，则点P是( C ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的 垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
D
A
P E
B
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上． 书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
例1 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
导引：要证AD平分∠BAC，已知 条件中有两个垂直，即有 点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即 可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证 明△BDE和△CDF全等来完成．
角平分线的性质与判定
利用相似三角形的性质和角平分线的 性质进行证明。
角平分线在三角形中的性质
性质
在三角形中，角平分线与对边相交形成的线段之比等于相邻 两边之比。
应用
利用角平分线的性质定理和三角形中的其他性质，可以证明 三角形中的一些重要结论，如“直角三角形中，斜边上的中 线等于斜边的一半”。
02
CATALOGUE
判定方法
角平分线的判定方法一
利用角平分线的定义。在角的内部作一条射线，使得角的两边长度相等，则这 条射线是角的平分线。
角平分线的判定方法二
利用等腰三角形的性质。在角的内部作一条射线，使得与角的两边分别相交并 形成两个等腰三角形，则这条射线是角的平分线。
判定在三角形中的运用
在三角形中，角平分线将三角形分为两个面积相等的部分。这是因为角平分线将 三角形划分为两个等腰三角形，而等腰三角形的面积等于底乘高的一半，由于两 个等腰三角形的底相等且高相等，所以它们的面积相等。
04
CATALOGUE
角平分线的作法
作法步骤Biblioteka 010203第一步
在角的顶点上，以角的两 边为邻边，作一个等腰三 角形。
第二步
从等腰三角形的顶点向底 边作垂线，将底边分为两 等份。
第三步
连接角的顶点和垂足，这 条连线就是角平分线。
作法在三角形中的运用
在三角形中，可以利用角平分线作法 来找到角的平分线，从而进一步研究 三角形的性质和判定。
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角平分线的判定
判定定理
角平分线的判定定理
从角的顶点出发，将角平分线引到角的两边，使得角的两边长度相等，则这条射 线就是角的平分线。
证明角平分线判定定理
在角的内部作一条射线，并使角的两边长度相等。然后，通过角的顶点和射线的 端点作一条直线，这条直线将与角的两边相交于两点。由于角的两边长度相等， 所以这两点与射线端点的距离相等，从而证明了射线是角的平分线。
初中数学 什么是角平分线的性质
初中数学什么是角平分线的性质
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在初中数学中，角平分线有一些重要的性质，下面将详细介绍。
1. 角平分线将角分成两个相等的角：角平分线的最基本性质是将一个角分成两个相等的角。
这意味着，如果你画出一个角的角平分线，那么它将把角分成两个大小相等的部分。
2. 角平分线与角的两边相交：角平分线与角的两边相交。
也就是说，如果你画出一个角的角平分线，那么它将与角的两边相交于两个点，将角分成两个部分。
3. 角平分线与角的对边垂直：角平分线与角的对边垂直相交。
也就是说，如果你画出一个角的角平分线，那么它将与角的对边垂直相交于一个点。
4. 角平分线上的点到角的两边距离相等：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
也就是说，如果你选择角平分线上的任意一点，那么它到角的两边的距离将相等。
5. 角平分线可以应用于解决与角相关的问题：角平分线的性质可以应用于解决与角相关的问题。
例如，通过利用角平分线的性质，我们可以找到缺失的角度，证明两个角度相等，判断两个角度是否相似，以及解决与角度相关的几何问题等等。
总结起来，角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
角平分线将角分成两个相等的角，与角的两边相交，与角的对边垂直相交，角平分线上的点到角的两边距离相等。
角平分线的性质可以应用于解决与角相关的问题。
角平分线的性质定理和判定
角平分线的性质定理和判定第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线;2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离;3、角平分线的判定定理：至U角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例 1.已知：在等腰Rt △ ABCxx AC=BC Z C=90 , AD平分/ BAC DE I AB 于点E, AB=15cm(1) 求证：BD+DE=AC(2)求^ DBE勺周长.例2.如图，Z B=Z C=9ff , M是BC中点，DM平分Z ADC求证：AM平分Z DAB例3.如图，已知△ ABC的周长是22, 0B 0C分别平分/ ABC和/ACBODL BC于D,且0D=3 △ ABC的面积是多少?第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD L AB于点D, BE L AC于点E, BE CD交于点0 且AO平分/ BAC求证：OB=O C【变式练习】如图，已知/仁/2, P为BN上的一点，PF L BC于F, PA=PC求证：/ PCB吃BAP =1800例2、已知：如图，/ B二/ C=90 , M是BC的中点，DM平分/ ADC(1)若连接AM则AM是否平分/ BAD请你证明你的结论;(2) 线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.(3) CD AB AD间？直接写出结果【变式练习】如图，△ ABCxx P是角平分线AD BE的交点.求证：点P在/C的平分线上.D例3.如图，在^ ABCxx BD为/ABC勺平分线，DEI AB于点E,且DE=2cmAB=9cm BC=6crm 求^ ABC的面积.【变式练习】如图，D E、F分别是△ ABC勺三条边上的点, CE=BF △ DCE 和^ DBF的面积相等.求证：AD平分/ BAC第四部分：思维误区、忽视“垂直”条件例 1.已知，如图，CEIAB,BD1 AC,/ B二/ C, BF=CF 求证：AF为/BAC的平分线。
角平分线的性质和判定
填空：
A
练一练 12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_D_E____
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_∠__1_=_∠__2___
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直 于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM
上（已知）
A
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离D
相等）
N
PM
F
同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF.
B
C
E
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
求证：PD=PE.
D
POBE源自角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
P
∴PD=PE.
1
O
2
B
E
交换定理的题设和结论得到的命题为：
角平分线的判定
定理：到一个角的两边的距离相等的点，在 这个角平分线上。
已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，
A
C C′
B
课堂小结
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定 理是证明角相等、线段相等的新途径.
角平分线的性质定理和判定(经典)
角平分线的性质定理和判定第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，（1）求证：BD+DE=AC．（2）求△DBE的周长．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是多少？第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC ，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点． 求证：点P 在∠C 的平分线上．21NPF CBA例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．第四部分：思维误区一、忽视“垂直”条件例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
课时1 角平分线的性质与判定
新课讲解
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上．
书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
新课讲解
典例分析
例 如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF 和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
)D
B．AD＝DE
C．AD<DE
D．不确定
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两 边的距离相等.
A D
P到OA的距离
C 角平分线上的点
P
O
E
B P到OB的距离
新课讲解
如图，PD由^ OA
于点 D ， PE ^ OB
于点E，PD= PE ，
可
O
以到得一到个什角么的结两论边的？距离相等 的点， 在这个角的平分线上.
D
A
P E
B
新课讲解
证明过程：
四．角平分线 课时1 角平分线的性质与判定
学习目标
角平分线的性质 角平分线的判定.（重点、难点）
新课导入
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等 的角. 你有什么办法？
对折
A
C
O
B
再打开纸片 ，看看折痕 与这个角有何关系？
新课讲解
知识点1
角平分线的性质
还记得角平分线上的点有什么性质吗？你 是怎样得到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交 流.
求证：PD＝PE.
新课讲解
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).Fra bibliotek新课讲解
角的平分线性质
《角的平分线性质》
平分角的直线叫做这个角的平分线.
判定定理:平分线上的点到角两边的距离相等.推论:角平分线上的点和角的两边的距离相等(用字母表示).
性质定理:如果一个角有一条平分线和它的对边相交,那么这个角的每一个余角都是这条平分线上的点和角的另一边的点所组成.若一个角有两条平分线与它的各边相交,那么这两条平分线将这个角分成的两个角相等或互为余角.证明:假设∠1=∠2,且∠1=∠2,那么∠3+∠2+∠1=180°,由于两边分别平分∠1和∠2,所以可得:∠1+∠2=180°,因此,∠1=∠2,即∠1是∠2的平分线,同理可知,∠2是∠1的平分线.。
第四讲 角平分线的性质与判定
第四讲——角平分线性质定理知识点一：角平分线性质： 【知识透析】 1、角平分线的做法： 已知：∠AOB 。
求作：∠AOB 的平分线。
2、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
几何表达：∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ， ∴ PM =PNPONMAB【典型例题】例1、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若AC =10cm ，求△DBE的周长。
DECBA例2、如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC 。
求证：BE ＝CF 。
F DCBAEN MOCB A【随堂练习】1． 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长分别为20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则S △OAB : S △OBC : S △OAC ．2．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD3．如图，△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S ．若AQ =PQ ，PR =PS ， 下列结论：①AS =AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP ．其中正确的是( )． A 、①③B 、②③C 、①②D 、①②③题2图OCBA题1图21PDEBAO题3图Q S RPCBA题4图yxC (m-1,2n)O BA4.如图，在平面直角坐标系中，在x 轴、y 轴的正半轴上分别截取OA 、OB ，使OA =OB ；再分别以点A 、 B 为圆心，以大于21AB 长为半径作弧，两弧交于点C ．若点C 的坐标为（m -1，2n ），则m 与n 的关 系为（ ）5.如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF 于F ． 求证：CE = CFFE DCB A6．如图，在△ABC 中，AB =AC ,∠A =900，∠B 的平分线交AC 于点D 。
第3讲 角平分线的性质和判定
角平分线的性质、判定【知识点一】角平分线的性质2、角平分线的性质：角平分线上的点到________________________相等。
点到直线的距离即垂线段。
示范格式：如图，∵_____________________________________，∴____________________________。
到三边距离相等的点是这个三角形三个内角的___________________的交点。
例1、如图，两条交叉的公路OA，OB在O处相交，一条铁路MN穿过公路OA，问在铁路MN上的何处建一个货物中转站，使这个中转站到两条交叉公路OA、OB的距离相等，请你在图上画出这点。
1、如图1，利用圆规和直尺作出∠AOB的平分线，方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D，再分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由做法得△OCP≌△ODP 的根据是（）A、SASB、ASAC、AASD、SSS图1 图22、如图2，直线a，b，c表示三条相互交叉的公路，现在建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2、OA=OB，AC⊥OB于C，BD⊥OA于点D，AC交BD于点E，AE=BE。
求证：（1）△AOE≌△BOE；（2）EC=ED。
3、如图1的角平分线AD交BC于点D，，则点D到AB的距离是（）A、1B、2C、3D、44、如图2，∠1=∠2，FD⊥OA，FE⊥OB，垂足分别是D、E，下列结论中错误的是（）A、FD=FEB、OD=OEC、∠DFO=∠EFOD、FD=OD5、如图3，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，，AB=18cm，BC=12cm，则DE= 。
6、如图4，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是D、E、F，下列结论：①AD平分∠BAC；②DA平分∠EDF；③AE=AF；④AD上的点到AB、AC两边距离相等.其中正确的有（）A 、1个B、2个C、3个D、4个图1 图2 图3 图47、如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：BD=CD。
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B
∴DC=BC
错误
A
C
(2)如图② ，∵BC⊥AB,DC⊥AD
∴DB=DC
错误
(3)如图②，∵AD平分∠BAC，
且DB⊥AB，DC⊥AC
∴BD=CD
正确 A
D
图①
B
D
C
图②
如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 _P_D_⊥__O_A__，_P__E_⊥__O_B_
角∴的P平D分=线P上E 的(点
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想一想：
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
1、在△OAB中，OE是它的角平分线，且 EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： 推理的理由有三个，
必须写完全，不能
A
∵ ∠1= ∠2
少了任何一个。
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
1
(角的平分线上的点到角的两边 O
2
的距离相等)
P
E
B
判断下列各题是否正确地使用了角的平分线的性质?
(1)如图① ，∵AC平分∠BAD
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
ND
M
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
P
F
B
C
E
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
C D
BE= BF 。
B
FC
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，
∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
10.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
你会吗？
D
A
EB
到角的两边的距离相等
A
D
)C
P
O
E B
复习提问
4、角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上。
用符号语言表示为：
A D
∵
PD OA
PE OB
P
O
PD= PE
\ OP 是 AOB的平分线
E B
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平
分线上）
定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
Ｍ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
求证：AC=BD.
O
C
D
A
E
B
2、 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
A
E
CD
B
3、 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
A
F
E
CD B
4、已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
§11.3 角平分线的 性质与判定（第2课时）
安居育才中学初二备课组
1、 已知：如图，∠C = ∠C′= 90° ，AC = AC ′ 求证（1） ∠ABC = ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ （要求不用三角形全等的判定）
⊥ O A , P E ⊥ O B , 垂 足 分 别， 是 D 、 E , P D = 4 c m , 则 PE=__________cm.
A E
D
A
C
P
D B
E
B
C
O
练习
A
8 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足
E
分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，
§11.3 角平分线的 性质与判定（2课时）
安居育才中学初二备课组
复习提问
1、角平分线的平分线。
A
1
C
o
2
B
复习提问 2、点到直线距离:
从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离。
P
我的长度
A
O
B
复习提问
3、角平分线的性质
5、如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ 与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线 的距离相等．
H
Ｄ
Ｃ
更上一层楼！
F ＰＥ Ａ
ＢG
知识应用
6、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
7、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD
角的平分线的作法
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A
放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条
射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
证明： 在△ACD和△ACB中
A
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴∴∠△CAACDD=≌∠△CAABC（B（全S等S三S）角形E的C对应边相等）
练习1：
A
填空：
12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_D_E____ (__角__平_分__线__上__的_点__到__角_的__两__边__的_距__离__相__等__C______D_____)
B
(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_A∠_D_平1_=_分∠__∠2_B_A_ C (_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
∵ OP 是 AOB 的平分线
PD OA PE OB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
定理 2 角的内部到角的两边的距离相等
E
B
的点 在角的平分线上。
∵ PD OA PE OB PD = PE
\ OP 是 AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线
由上面两个定理可知：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 反过来，到角的两边的距离相等的点都在这个角平分线上。