第6章抽样估计

参数
研究总体中 的品质标志
（只有两种表现） 只有两种表现）
总体方差
总体成数
P(1成数方差 σ2 = P(1-P)
统计量
x = ∑x n 样本平均数 x = ∑xf ∑f
σ =
研究数量 标志
样本标准差
∑ (x
=
− x
)
2
n
σ
x
∑ (x − ∑
p (1 − p )
x f
)
2
f
研究品质 标志
样本成数 p = 成数标准差
充分大时， 即当n充分大时， Z n ~ N (0,1)
近似的
6.德莫佛 德莫佛——拉普拉斯定理 德莫佛 拉普拉斯定理
定理 设随机变量 η n ( n = 1,2, L)服从参数为 n, p
t2 − 2
(0 < p < 1)的二项分布，则对于任 意x，有 的二项分布， η n − np x 1 lim P e ≤ x = ∫ −∞ n→ ∞ 2π np(1 − p ) dt
三、抽样推断的理论依据 1.伯努利大数定理
定理 发生的次数， 设n A是n次独立重复试验中事件 A发生的次数， p是事件 A在每次试验中发生的概 率，则对于任意正数
ε > 0，有
nA lim P − p <ε =1 n→ ∞ n nA lim P 或 − p ≥ε = 0 n→ ∞ n
抽样调查的作用
一）应用抽样法可对某些不可能或不容易进行全面 调查而又要了解其全面情况的社会经济现象进行 数量方面的统计分析。 • 1.对无限总体不可能进行全面调查。例如环境保 护要了解空气中某种有害气体的含量或水质中某 种物质的成分，是无法全面调查的；又如要研究 新的工艺设计是否改善产品质量，应该包括未来 生产的全部产品质量，但我们也只能抽取部分产 品进行检验。 • 2.有些现象总体范围过大，单位分布又过于分散， 很难或不必要进行全面调查。例如，要检验水库 的鱼苗数，森林的木材蓄积量。
二）应用抽样法可对全面调查的结果加以补充或订正 三）应用抽样法可对生产过程中产品质量进行检查和控制 四）应用抽样法可对总体的某种假设进行检验，来判断这种 假设的真伪，决定行动的取舍 • 例如新教学法的采用，新工艺新技术的推广，化工原料新 配方的使用，新医疗方法的使用等等是否有明显的效果， 可以对未知的或不完全知道的总体作出一些假设，然后利 用抽样的方法，根据实验资料对所做的假设进行检验，做 出判断，并在行动上做出抉择，这就是抽样法在决策上的 应用。
nA 很大时， 伯努利大数定理给出了 当n很大时， A发生的频率 n 的概率这一结论， 了频率的稳定性。 依概率收敛于 A的概率这一结论，证明 了频率的稳定性。
伯努利大数定理的证明
证明 其中， 因为n A = X 1 + X 2 + L + X n，其中， X 1 , X 2 ,L , X n
相互独立， 分布， 相互独立，且都服从参 数为p的(0 − 1)分布，因而 E ( x k ) = p, D( x k ) = p(1 − p )( k = 1,2,L)，则由切比雪夫大数定 理 有 1 lim P ( X 1 + X 2 + L + X n ) − p < ε = 1 n→ ∞ n nA lim P − p <ε =1 n→ ∞ n
德莫佛——拉普拉斯定理的证明 拉普拉斯定理的证明 德莫佛
定理 由于η n ( n = 1,2, L)服从参数为 n, p (0 < p < 1)的二项分布，则令 的二项分布，
ηn = ∑ X k
n n
σ
p
=
样本可能数目
1. 样本可能数目：又称样本个数，是指从一个有N 样本可能数目：又称样本个数，是指从一个有N 个单位的总体中抽取容量为n的样本时， 个单位的总体中抽取容量为n的样本时，有可能 出现的所有样本的个数，是一种理论概率分布。 出现的所有样本的个数，是一种理论概率分布。 2. 样本个数：一个样本包含的单位数。用 “n”表示。 样本个数：一个样本包含的单位数。 表示。 表示 一般要求 n ≥30 在总体单位数N和样本容量n一定的条件下， 3. 在总体单位数N和样本容量n一定的条件下，样本 可能数目与抽样方法有关。而在同一抽样方法下， 可能数目与抽样方法有关。而在同一抽样方法下， 又由于对被抽中的几个单位考虑顺序与否， 又由于对被抽中的几个单位考虑顺序与否，从而 有不等的样本可能数目。 有不等的样本可能数目。
它是由部分推断整体的一种认识方法 抽样推断建立在随机取样的基础上 抽样推断运用概率估计的方法。 抽样推断运用概率估计的方法 抽样推断的误差可以事先计算并加以控制
抽样推断的内容
参数估计 参数估计是依据所获得的 样本观察资料，对所研究现象总体的水平、 样本观察资料，对所研究现象总体的水平、 结构、规模等数量特征进行估计。 结构、规模等数量特征进行估计。 假设检验 假设检验是利用样本的实 际资料来检验事先对总体某些数量特征所 作的假设是否可信的一种统计分析方法。 作的假设是否可信的一种统计分析方法。
第六章 抽样推断
第一节 第二节 第三节 第四节 抽样推断的概念与理论依据 抽样推断的概念与理论依据 抽样误差 参数估计基本方法 抽样调查的组织形式及抽样估计
抽样估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
抽样估计
假设检验
统计推断的过程
总体
样 本
样本统计量 例如：样本均 值、比例、方 差
抽样推断——是按随机原则从全部研 是按随机原则从全部研 抽样推断 究对象中抽取部分单位进行观察， 究对象中抽取部分单位进行观察，并根据 样本的实际数据对总体的数量特征作出具 有一定可靠程度的估计和判断。 抽样推断的特点： 抽样推断的特点：
∑(X
i =1
n
i
− µ) =
∑X
i =1
n
i
− nµ
nσ 的分布函数 Fn ( x )满足
n→ ∞ n→ ∞
nσ
x
lim Fn ( x ) = lim P {Yn ≤ x} = ∫
−∞
1 e 2π
t2 − 2
dt
X − µ 近似的 充分大时， ~ N (0,1) 即当n充分大时，
σ
n
4.李雅普诺夫中心极限定理 李雅普诺夫中心极限定理
可能样本数目的计算公式
不重复抽样 考虑 顺序 不考 虑顺 序 重复抽样
N! A = (N − n)!
n N n N
B =N
n N
n
N! (N + n −1)! n n C = DN = DN = n!(N − n)! n!(N −1)!
抽样框与抽样单位
抽样框：为便于抽样工作的组织，在抽样前在可能 抽样框：为便于抽样工作的组织， 条件下编制的用来进行抽样的记录或表明总体所有抽样 单元的框架。抽样框可以是一份清单（名单抽样框）、 单元的框架。抽样框可以是一份清单（名单抽样框）、 一张地图（区域抽样框）， ），它是设计和实施随即抽样所 一张地图（区域抽样框），它是设计和实施随即抽样所 必备的基础条件。 必备的基础条件。 一个理想的抽样框的要求是，它应该尽可能地与目 一个理想的抽样框的要求是， 标总体相一致。 标总体相一致。 一般而言，如果总体中的每个元素在清单上分别只 一般而言， 出现一次，且清单上又没有总体以外的其他元素出现， 出现一次，且清单上又没有总体以外的其他元素出现， 则该清单就是一个完备的抽样框。在完备的抽样框中， 则该清单就是一个完备的抽样框。在完备的抽样框中， 每个元素必须且只能同一个号码对应。 每个元素必须且只能同一个号码对应。
定理 设X 1 , X 2 , L , X n ,L是相互独立，它们具有 数学 是相互独立，
2 2 2 Bn = ∑ σ k k =1 n
期望和方差： 期望和方差： E ( X k ) = µ k , D( X k ) = σ k > 0( k = 1,2, L)，记
若存在正数 δ，使得当 n → ∞时， 1 B 则随机变量
返回
3.独立同分布的中心极限定理 独立同分布的中心极限定理
定理 是相互独立， 设X 1 , X 2 ,L , X n , L是相互独立，服从同一 分布 且具有数学期望和方差 ：E ( X i ) = µ , D( X i ) = σ 2 > 0 ( k = 1,2,L)，则对任意实数 x，随机变量 Yn =
2+δ k =1 n
∑ E{ X
n
k
− µk
2+δ
}→ 0
5.李雅普诺夫中心极限定理 李雅普诺夫中心极限定理

Zn =
∑X
i =1
n
i
− E (∑ X i )
i =1 n
n
=
∑ X −∑µ
i =1 i i =1
n
n
i
D( ∑ X i )
i =1
Bn
的分布函数 Fn ( x )对任意的 x，满足
n n t2 ∑ X i − ∑ µi x 1 −2 i =1 i =1 lim Fn ( x ) = lim P e dt ≤ x = ∫ −∞ n→ ∞ n→ ∞ Bn 2π
显然， 显然，贝努里大数定理 是辛钦定理的特殊情形 。
大数定律在概率论中的意义
大数定律给出了在试验次数很大时频率和平 均值的稳定性， 均值的稳定性，从理论上肯定了用算术平均值代 替均值，用频率代替概率的合理性。 替均值，用频率代替概率的合理性。它既验证了 概率论中一些假设的合理性， 概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用 样本推断总体提供了理论根据，所以说， 样本推断总体提供了理论根据，所以说，大数定 律是概率论中最重要的基本定律。 律是概率论中最重要的基本定律。