信号与系统综合训练第二题

《信号与系统》综合训练2报告一.训练要求1.利用现有电路知识，设计低通、带通、高通、带阻滤波器，2.写出滤波器的频率响应函数。

3.在MATLAB中，绘制滤波器的频谱图，指出滤波器主要参数，4.说明对所设计的滤波器要提高这些参数该如何改进。

写出改进后滤波器的频率响应函数，绘制改进后的滤波器频谱图二.训练目的1.练习设计低通、带通、高通、带阻滤波器，学会分析滤波器的频率响应函数。

2.学会利用MATLAB仿真分析各种滤波器的频率特性。

三．训练步骤A.低通滤波器1.低通滤波器电路图通过Multisim仿真对电路进行检验，检查电路是否具有低通滤波器的‘通低频，阻高频’的特性。

输入信号频率为10HZ时，通过滤波器的输出波形如下图输入信号频率为100HZ时，通过滤波器的输出波形如下图通过对比输入频率为10HZ和100HZ的输出波形，可以看出该电路具有低通滤波器的‘通低频，阻频’的特性。

2.滤波器的频率响应函数通过对电路进行分析，根据KVL 定理，可得dtdv RCv v cc s +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1） 假定系统初始松弛，这该系统就是线性时不变系统。

假定输入为st e ，这)(s H .将输入与输出代入（1）式中。

)2(1111)1()()()()()()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+=+=+=+=RCsH e RCs e H se RC H e s e RCH e H e dte H d RCe H e s stst s st s st st s st s st st s st s st从2式中可以看出，当s 趋于0时，)(s H 趋于1，此时输入电压等于输出电压。

当s 趋于∞时，)(s H 趋于0，此时输出电压几乎为0。

3.MATLAB 仿真分析频率特性根据频率响应函数RCsH s +=11)( 可以得到系数向量b=[0,1]，a=[r*c;1]。

利用MATLAB 求幅度频率响应与相位频率响应程序如下r=1000;c=1e-8; b=[0,1]; a=[r*c;1];w1=1/(r*c); %c f 的横坐标 w=0:200000;h=freqs(b,a,w); %使用filter 指令实现该滤波器 subplot(2,1,1),plot(w,abs(h),w1,0.707,'*r');grid %作系统的幅度频率响图 ylabel('幅度');subplot(2,1,2),plot(w,angle(h)/pi*180);grid %作系统的相位频率响图ylabel('相位');xlabel('角频率/(rad/s)');00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82x 1050.40.60.81幅度00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82x 105-80-60-40-200相位角频率/(rad/s)通过上面仿真得到系统的幅度频率响图和相位频率响图，可以清楚的看出该系统为一个低通滤波器，截止频率c f =100KHZ 。

4.提高参数为了提高低通滤波器的灵敏度，即降低截止频率c f 。

只需增大电容或减少电阻即可。

保持电阻不变，将电容由C=0.01μF 变到C=1μF 。

如下图频率响应函数RCsH s +=11)(利用MATLAB 求幅度频率响应与相位频率响应程序如下 r=1000;c=1e-6; b=[0,1]; a=[r*c;1]; w1=1/(r*c); w=0:5000; h=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1),plot(w,abs(h),w1,0.707,'*r');grid ylabel('幅度');subplot(2,1,2),plot(w,angle(h)/pi*180);grid ylabel('相位');xlabel('角频率/(rad/s)');50010001500200025003000350040004500500000.20.40.60.81幅度0500100015002000250030003500400045005000-80-60-40-200相位角频率/(rad/s)由系统的幅度频率响图可以看出截止频率c f 变小到1000HZ 。

缩小到原来的0.01倍。

B.带通滤波器 1.带通滤波器电路图通过Multisim仿真对电路进行检验，检查电路是否具有带通滤波器的一般特性。

（a）当输入信号频率为15HZ时，通过滤波器的输出波形如下图（b）当输入信号频率减小为1HZ时，通过滤波器的输出波形如下（c）输入信号频率增大到为100HZ时，通过滤波器的输出波形如下图通过对比，当输入频率为15kHZ时，输出电压接近输入电压；但无论输出频率减少到1KHZ还是增大到100kHZ，输出电压都会减少。

由此可以看出该电路具有带通滤波器的‘只对某段频率具有导通’的特性。

2.滤波器的频率响应函数通过KVL 定理，可得))1((1dtdt R v C v d C Rv R dt R v C v v t oo ot o o s ⎰⎰∞-∞-++++= （3） 假定系统初始松弛，这该系统就是线性时不变系统。

假定输入为st e ，这该系统的响应就为st s e H )(.将输入与输出代入（3）式中。

)4*(*******1313)13()1(1))1((1222)(222)(222)()(2)()()()(++=++=++=++++=++++=⎰⎰∞-∞-RCs s R C RCsH e RCs s R C RCse H e RCs s R C H RCse s e H Rs e CH R s e H R e H CR e H se dtdt R v C v d CRvR dt R v C v v s stst s sts st st s st s sts sts st s st t oo o t o o s 两边同时求导从4式中可以看出，)(s H 为双曲线，且存在最大值。

RCss R C RCH s 3122)(++=在RC s =时， )(s H 取到最大值，此时输出最大。

具有带通滤波器的‘只对某段频率具有导通’的特性。

3. MATLAB 仿真分析频率特性根据频率响应函数13222)(++=RCs s R C RCsH s可以得到系数向量b=[r*c,0]，a=[r^2*c^2,3r*c;1]。

利用MATLAB 求幅度频率响应与相位频率响应程序如下 r=1000;c=1e-8; b=[r*c,0];a=[r^2*c^2,3*r*c,1];w1=1/(r*c); %c f 的横坐标 w=0:400000;h=freqs(b,a,w); %使用filter 指令实现该滤波器 subplot(2,1,1);plot(w,abs(h),w1,max(abs(h)),'*r');grid %作系统的幅度频率响图 ylabel('幅度');subplot(2,1,2),plot(w,angle(h)/pi*180);grid %作系统的相位频率响图ylabel('相位');xlabel('角频率/(rad/s)');0.511.522.533.54x 10500.10.20.30.4幅度00.511.522.53 3.54x 105-100-50050100相位角频率/(rad/s)通过上面仿真得到系统的幅度频率响图和相位频率响图，可以清楚的看出该系统为一个带通滤波器，截止频率c f =100KHZ 。

4.提高参数带通滤波器的截止频率c f ，主要由电阻与电容决定。

从频率函数RCss R C RCH s 3122)(++=中可以看出输出Vo 也是由RC 决定的，带宽与CR成反比。

为了增加小带宽，将RC 减少，R=100，C=1e-9。

（同理可以减少带宽） 频率响应函数13222)(++=RCs s R C RCsH s利用MATLAB 求幅度频率响应与相位频率响应程序如下 r=100;c=1e-9； b=[r*c,0];a=[r^2*c^2,3*r*c,1];w1=1/(r*c); %c f 的横坐标 w=0:400000;h=freqs(b,a,w); %使用filter 指令实现该滤波器 subplot(2,1,1);plot(w,abs(h),w1,max(abs(h)),'*r');grid %作系统的幅度频率响图 ylabel('幅度');subplot(2,1,2),plot(w,angle(h)/pi*180);grid %作系统的相位频率响图ylabel('相位');xlabel('角频率/(rad/s)');0.20.40.60.811.21.41.61.82x 10700.10.20.30.4幅度0.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82x 107-50050100相位角频率/(rad/s)从上图可以看出减少RC 后，该滤波器的带宽增大了100倍。

C.高通滤波器 1.高通滤波器电路图通过Multisim 仿真对电路进行检验，检查电路是否具有高通滤波器的一般特性。

（a ）当输入信号频率为10kHZ 时，通过滤波器的输出波形如下图（b）当输入信号频率减小为100kHZ时，通过滤波器的输出波形如下图通过对比输入频率为10HZ和100HZ的输出波形，可以看出该电路具有低通滤波器的‘通高频，阻低频’的特性。

2.滤波器的频率响应函数通过对电路进行分析，根据KVL 定理，可得dtR v C v v t oo s ⎰∞-+=1 （5）假定系统初始松弛，这该系统就是线性时不变系统。

假定输入为st e ，这该系统的响应就为st s e H )(.将输入与输出代入（5）式中。

)6*(***********111)()()()(RCsRCs H eRCs RCs e H RCe H s e H se dtRv C v v s stst s st s st s st t oo s +=+=+=+=⎰∞-两边同时求导从6式中可以看出，当s 趋于0时，)(s H 趋于0，此时输出电压几乎为0。

当s 趋于∞时，)(s H 趋于1，此时输入电压等于输出电压。

3. MATLAB 仿真分析频率特性根据频率响应函数RCsRCsH s +=1)( 可以得到系数向量b=[r*c,0]，a=[r*c;1]。