广东省2012届高三全真模拟卷数学文4.
广东省广州市2012届高三调研测试数学(文)试题
试卷类型：B广州市2012届高三年级调研测试数 学（文科） 2011.12参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 球的表面积公式24S R =π，其中R 为球的半径．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则AB 等于A ．{}2-B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,1,2-2．已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于A ．1B ．2C ．3D ．4 3．设复数113i z =-，232i z =-，则21z z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知33a =，63=S ，则10a 的值是A ．1B ．3C ．10D ．55 5．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-6．直线1y kx =+与圆224x y +=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．与k 的取值有关 7．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 8．设一个球的表面积为1S ，它的内接正方体的表面积为2S ，则12S S 的值等于 A ．2π B ．6π C ．6π D ．π29．已知实数y x ,满足0,1,2210.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数y ax z +=()0≠a 取得最小值时最优解有无数个，则实数a 的值为A ．1-B ．12-C ．12D ．1 10．定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，则称变换T是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于)(x f 的同值变换的是A ．2)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称B ．12)(1-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数之和小于0.8的概 率是 ．12．已知程序框图如右，则输出的i = ．13．已知直线()2y k x =-()0k >与抛物线28y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若2FA FB =，则k 的值为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如右图，AB 是圆O 的直径，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若圆O 的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为 ． 15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的方程为θρcos 2=，则OA （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为 ．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）E如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=， 3cos 5ADC ∠=． （1）求sin ABD ∠的值； （2）求BD 的长． 17．（本小题满分12分）某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为分，“居民素质”得分为y 分，统计结果如下表：1 （1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率； （2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得1分的概率为110，求a 、b 的值．18.（本小题满分14分）各项均为正数的数列{}n a ，满足11a =，2212n n a a +-=（*n ∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．19.（本小题满分14分）如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，ACBD O =．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A BCD -．（1）求证：平面AOC ⊥平面BCD ；ABC D（2）若三棱锥A BCD -AC 的长． 20．（本小题满分14分）设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求⋅的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数()321232a f x x x x =-+-()a ∈R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （3）若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．广州市2012届高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．0.32 12．9 13． 14．1 15三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．…………………………………………………………2分 因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠=．…………………………………………………………4分 因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠ ………………………………6分 412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD =∠∠，………………………………10分所以533sin 132533sin 65AD BAD BD ABD⨯⨯∠===∠．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区数量为24个．…………………………………………………………………………………2分 设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则()P A =24125025=． 所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分 （2）从表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有()4a +个，……………………………6分因为“居民素质”得1分的概率为110， 所以415010a +=．………………………………………………………………………8分 解得1a =．……………………………………………………………………………………………10分 因为社区总数为50个，所以4750a b ++=． 解得2b =．……………………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）解：（1）因为2221=-+n n a a ，所以数列{}2n a 是首项为1，公差为2的等差数列． (2)分所以122)1(12-=⨯-+=n n a n ．…………………………………………………………………4分 因为0>n a，所以n a ()*n ∈N ．………………………………………………………6分（2）由（1）知，n a =22122n n na n -=．……………………………………………7分所以231135232122222n n nn n S ---=+++++， ①…………………………………………8分 则234111352321222222n n n n n S +--=+++++， ②…………………………………………9分 ①－②得，2341112222212222222n n n n S +-=+++++-…………………………………………11分234111111212222222n n n +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--…………………………………………………12分132322n n ++=-．……………………………………………………………………13分 所以2332n nn S +=-．………………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）证明：因为ABCD 是正方形，所以BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………1分 在折叠后的△ABD 和△BCD 中，仍有BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………2分 因为AO CO O =，所以BD ⊥平面AOC ．………3分因为BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD ．…………………………4分 （2）解：设三棱锥A BCD -的高为h ，由于三棱锥A BCD -所以13BCD S h ∆=．………………………………………………………………………………5分 因为1122222BCD S BC CD ∆=⨯=⨯⨯=，所以h =．………………………………………6分 以下分两种情形求AC 的长：①当AOC ∠为钝角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ． 所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即AH =．………………………………………………7分 在Rt △AOH中，因为AO =所以OH ===8分 在Rt △ACH中，因为CO=则22CH CO OH =+==．……………9分所以AC ===10分②当AOC ∠为锐角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ．所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即2AH =．………………………………………………11分 在Rt △AOH中，因为AO =， 所以OH =2==．…………12分在Rt △ACH中，因为CO =则22CH CO OH =-==．……………………………………………………………13分所以AC ===综上可知，AC…………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）由题设知，2A ⎛⎫⎪⎭，)1F ，…………………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ．……………………………………3分 解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．…………………………………………………………4分 （2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅ ………………………………………………………………6分 ()()NF NP NF NP =--⋅-……………………………………………………………7分2221NP NF NP =-=-．………………………………………………………………8分从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2的最大值．………………………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，…………………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x ．……………………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．……………………………13分所以⋅的最大值为11．………………………………………………………………………14分 方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ，因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--……………………………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………………………9分 因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………………10分 因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………………11分 所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．………………………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=+-⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭……………………………………………………9分 所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x PF PE ． ……………………………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．…………………………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =， 由22(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =．不妨设，()0,3E ，()0,1F ．………………………………………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =--，()00,1PF x y =--． 所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．…………………………13分综上可知，⋅的最大值为11．………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）当3a =时，()3213232f x x x x =-+-，得()2'32f x x x =-+-．…………………1分 因为()()()2'3212f x x x x x =-+-=---， 所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为()1,2，单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞．………………3分 （2）方法1：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立， 即对于任意[)1,x ∈+∞都有222(1)x ax a -+-<-成立，即对于任意[)1,x ∈+∞都有220x ax a -+>成立，………………………………………………4分令()22h x x ax a =-+，要使对任意[)1,x ∈+∞都有()0h x >成立，必须满足0∆<或()0,1,210.ah ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎩…………………………………………………………………………5分即280a a -<或280,1,210.a a a a ⎧-≥⎪⎪≤⎨⎪+>⎪⎩………………………………………………………………………6分所以实数a 的取值范围为()1,8-．…………………………………………………………………7分方法2：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立，所以问题转化为，对于任意[)1,x ∈+∞都有[]max '()2(1)f x a <-．……………………………4分因为()22224a a f x x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭，其图象开口向下，对称轴为2a x =． ①当12a <时，即2a <时，()'f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max ''13f x f a ==-，由()321a a -<-，得1a >-，此时12a -<<．………………………………………………5分 ②当12a ≥时，即2a ≥时，()'f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2max ''224a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 由()22214a a -<-，得08a <<，此时28a ≤<．…………………………………6分 综上①②可得，实数a 的取值范围为()1,8-．……………………………………………………7分（3）设点321,232a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象上的切点， 则过点P 的切线的斜率为()2'2k f t t at ==-+-，………………………………………………8分所以过点P 的切线方程为()()32212232a y t t t t at x t +-+=-+--．…………………………9分 因为点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭在切线上， 所以()()32211220332a t t t t at t -+-+=-+--， 即322110323t at -+=．……………………………………………………………………………10分 若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线， 则方程322110323t at -+=有三个不同的实数解．………………………………………………11分令()32211323g t t at =-+，则函数()y g t =与t 轴有三个不同的交点． 令()220g t t at '=-=，解得0t =或2a t =．……………………………………………………12分 因为()103g =，3112243a g a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以必须31102243a g a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，即2a >．……… ……………………………13分 所以实数a 的取值范围为()2,+∞．………………………………………………………………14分。
广东省2012届高三全真数学模拟试卷(文科)及答案
广东省2012届高三全真数学模拟试卷(文科)及答案广东省2012届高三全真模拟卷数学文科6一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图所示，U表示全集，则用A、B表示阴影部分正确的是()A.B.C.D.2.若复数是实数（是虚数单位），则实数的值为（）A．-2B．-1C．1D．23.已知向量=（）A．B.C.D.4.已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则的前项和为（）A．B.C．D．5.下面说法正确的是()A．命题“使得”的否定是“使得”；B．实数是成立的充要条件；C．设为简单命题，若“”为假命题，则“”也为假命题；D．命题“若则”的逆否命题为假命题.6.已知、是两个不同平面，是两条不同直线，则下列命题不正确的是() A．则B．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β7.一只小蜜蜂在一个棱长为的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体中心的距离不超过，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A.B.C.D.8.阅读如图所示的算法框图，输出的结果S的值为（）A．B．C．0D．9.已知△中，，，分别是，的等差中项与等比中项，则△的面积等于（）A．B．C．或D．或10.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）A．5B．7C．13D．15二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（11～13题）11.一个容量为的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中)分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70)频数2x3y24则样本在区间10，50)上的频率为．12.已知函数那么不等式的解集为．13.若目标函数在约束条件下的最大值是，则直线截圆所得的弦长的范围是______________.（二）选做题：请在14、15题中选做一题,如果两题都做,以第一题的得分为最后得分.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被曲线：所截得弦的中点的极坐标为．15.(几何证明选讲选做题)如图所示，AB是半径等于的⊙的直径，CD是⊙的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则___________.三、解答题(共80分)16.(本题满分12分）已知向量，且满足.（1）求函数的解析式；（2）求函数的最大值及其对应的值；（3）若，求的值.17．（本题满分12分）某学校共有高一、高二、高三学生名，各年级男、女生人数如下图：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．19．（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，问应在高三年级抽取多少名？（3）已知，求高三年级中女生比男生多的概率．18．（本题满分14分）如图：、是以为直径的圆上两点，，，是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．19．（本题满分14分）设曲线在点处的切线与y轴交于点.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，猜测的最大值并证明你的结论.20.（本题满分14分）已知椭圆的离心率，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)若为椭圆上的动点,为椭圆的右焦点,以为圆心,长为半径作圆,过点作圆的两条切线,（，为切点），求点的坐标，使得四边形的面积最大．21.（本题满分14分）已知函数.（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．参考答案一．选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案ACBCDDBACB二、填空题：(每小题5分，共20分)11.12.13.14.15.（或三、解答题：(共80分)16.解：（1），即，所以所以…………………………………………4分(2)当，即时，………………8分（3），即……………………………………………………9分两边平方得：，所以…………………………10分…………………………12分17.解：（1）由已知有；3分（2）由（1）知高二男女生一起人，又高一学生人，所以高三男女生一起人，按分层抽样，高三年级应抽取人；7分（3）因为，所以基本事件有：一共11个基本事件．9分其中女生比男生多，即的基本事件有：共5个基本事件，11分故女生必男生多的事件的概率为12分18解：（1）证明：依题意：…………………………2分平面∴……………2分∴平面．……………………………5分（2）证明：中，，∴………………………………6分中，，∴．……………………………………………………………………7分∴．…………………………………………………………8分∴在平面外∴平面．…………………………………………………………10分（3）解：由（2）知，，且∴到的距离等于到的距离为1．………………………………11分∴．……………………………………………………12分平面∴．……………14分19.解：（1）,…………………………1分∴点P处的切线斜率,…………………………2分∴切线方程为:,…………………………4分令得:,故数列的通项公式为:.…………………………………6分(2)------①…………………7分两边同乘得:------②①②得:………8分∴……………………10分其中,,,猜测的最大值为.证明如下:…………………11分(i)当为奇数时，；…………………12分(ii)当为偶数时，,设,则.,∴.…………13分故的最大值为,即的最大值为.………………14分20.解：（1）依题意得，………………………………3分解得，………………………………4分所以椭圆的方程为．………………………………5分（2）设，圆：，其中，…………7分…………8分又在椭圆上，则………………………………9分所以，………………………………10分令，，………………………11分当时，，当时，………………………12分所以当时，有最大值，即时，四边形面积取得最大值……13分此时点的坐标为或………………………………………14分21.解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．……………4分(2)由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．……………………………………6分①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．……………………………………8分②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．………………………10分【（方法二）由对任意成立等价于恒成立当，恒成立，则，又，所以此时………6分当，恒成立，则，令，则，……7分易知为上偶函数，考察，，，当时，，当时，，所以当时，，所以……………………………9分综上…………………………………………………………10分】(3)，，…………………………………………………………11分，……………………………………12分由此得，………………………………………13分故．…………………………14分。
广东省东莞市2012届高三模拟试题(一)(数学文)
广东省东莞市2012届高三模拟试题(一)数学文一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}B=|0x x x R ≥∈，，则A B ⋂=A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅ 2．已知复数i z +=21，21z ai =-，a R ∈，若z = 12z z ⋅在复平面上对应的点在虚轴上，则a 的值是 A ．-12 B ．12C ．2D ．-2 3．已知数列{}n a 的通项公式是()()11nn a n =-+，则12310a a a a ++++=A ．55-B ．5-C ．5D ．554.若,x y 满足约束条件2100408x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则43z x y =+的最小值为A ．20B ．22C ．24D ．285．在回归分析中，残差图中纵坐标为 A.残差 B.样本编号 C._x D.µi y 6．如图所示的程序框图运行的结果是A ．12012 B ．12013 C ．20112012 D ．201220137．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则其解析式可以是 A ．3sin(2)3y x π=+B ．3sin(2)3y x π=-+C ．13sin()212y x π=+ D ．13sin()212y x π=-+8．已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为A ．24y x = B. 24y x =－ C. 24x y = D. 28y x =9. ,,,A B C D 四位同学分别拿着5342，，，个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个。
要使他们打完水所花的总时间（含排队、打水的时间）最少，他们打水的顺序应该为 A. D B C A ，，，B. ,,,A B C DC. ,,,A C B DD. 任意顺序10．对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。
广东省广州市2012届高三下学期一模调研交流数学(文科)
广东省广州市2012届高三下学期一模调研交流数学（文）试题本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟，参考公式：1．锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 2．数据x 1，x l ，…，x n 的方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={(x ，y)| x ，y ∈z ，且|x|+|y|<1}的元素个数为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．函数1ln )(-=x x f 的定义域为A.(e ，+∞）B.[e ，+∞)C. (O ，e]D.(-∞，e] 3．已知复数z 满足(l-i)z=1+3i （i 是虚数单位），则z= A ．-2+i B ．2-i C ．1-2i D ．-1+2i4．等差数列{a n }的前n 项和为s n =n 2+2n+a+2，则常数a= A. -2 B.2 C.0 D.不确定5．已知平面向量),3(),3,1(x -==，且=b a //，则=⋅b a A. -30 B. 20 C. 15 D.06．已知直线l ：x+y=m 经过原点，则直线l 被圆x 2+y Z-2y=0截得的弦长是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．27．己知点F 1、F 2分别是双曲线C ：12222=-by a x 的两个焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率e= A ．2 B ．32 C ．32 D ．38．已知x ∈R ，“x=l ”是"01"2=-xx 的 A.充分不必要条件 B 。
必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件9．某个锥体（图1）的三视图如图根所示，据图中标出的尺寸，这个锥体的侧面积S= A ．6 B ．π132 C ．π136+ D ．π1326+10．a ∀，b ，c ，d ∈R ，定义行列式运算bc ad dc b a -=。
广东省2012年高考数学仿真模拟试题文科数学
广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：www ．gaokao8．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）． 1． 若集合2{|4}M x x =>，{|13}N x x =<≤，则()R NM =ð( )A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <2．在复平面内，与复数i+11对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3． “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A ． 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A ． lg y x =B ．tan y x =C ．3xy = D ．13y x =5．已知长方形ABCD 中，AB=4，BC=1，M 为AB 的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M 的距离小于1的概率为( )A ．4π B ．1-4π C ．8π D ．18π-6．若变量y x ,满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则y x z 2-=的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47． 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞ 8． 已知θ为锐角，向量(sin ,cos )a θθ=，(cos ,sin )b θθ=， 若a b ，则函数()sin(2)f x x θ=-的一条对称轴是( ) A ．x π=B ．2x π=C ．4x π=D ．78x π=9．已知ABC ∆的顶点B 、C在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( )A ．B ．C ．8D ．16正(主)视侧(左)视俯视图10．设等差数列{}n a的前n项和为n S，已知()37712012(1)1a a-+-=，()32006200612012(1)1a a-+-=-，则下列结论正确的是( )A．20122012S=，20127a a<B．20122012S=，20127a a>C．20122012S=-，20127a a<D．20122012S=-，20127a a>二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．已知1(,22aλλ→=+，(3,2)bλ→=，如果→a⊥→b，则实数λ= ．12．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积．13．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖___________块．【选做题】（请在下列两题中任选一题作答）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为θρcos2=，则曲线C上的点到直线tttx(21⎧=+-=为参数）的距离的最小值为．15．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，90AOB∠=︒，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．二、解答题（本大题共6小题，共80分）．16．（本小题满分12分）在ABC∆中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知222b c a bc+=+．（Ⅰ）求角A的大小：（Ⅱ）若222sin2sin122B C+=，判断ABC∆的形状．17．（本小题满分12分）（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由. 附：独立性检验的随机变量2K的计算公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++为样本容量．独立性检验的随机变量2K临界值参考表如下：如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值． 19．（本小题满分14分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ． (Ⅰ) 若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ) 求()f x 的单调区间；(Ⅲ) 设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20． （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值； （Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OPOMλ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21． （本小题满分14分）已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）若b>0，求证：111ni i i b b b =+<∑．广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题答案命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：www ．gaokao8．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．113--或 12． 2 13． 100 14．5554- ; 15． ．三、解答题（本大题共6小题，共80分）． 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2222cos b c a bc A +-=，又222b c a bc +=+∴1cos ,23A A π== ……………………………5分 （Ⅱ）∵222sin 2sin 122B C+=，∴1cos 1cos 1B C -+-= ……………………7分∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，∴22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=，1cos 12B B +=，∴sin()16B π+=， ∵0B π<<，∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形．……………………12分17．（本小题满分12分）解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==； ……………………5分 （2）由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>；………………10分所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系，即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作．……………………12分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．所以 四边形MNCD 是平行四边形，所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设EDFC O =．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ，所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分 所以 ⊥FC 平面NED ，所以 FC ND ⊥．………………9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >，(1)(3)f f ''=，解得23a =． ……………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >． ……………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<， 在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ……………………6分 ②当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a． …………………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． ……………………8分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a．……………………9分 （Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <．……………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤．……………………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a aa==---． 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ……………………13分 综上所述，ln 21a >-． ……………………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =，又3c e a ==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22132x y +=． ……………………3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(A，B ，则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1k =2k = 即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----， ∴12k k 为定值23-． ……………………6分 （Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈．由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈．……………………8分①当λ=26y =，所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；②当3λ≠时，方程变形为2222166313x y λλ+=-，其中[x ∈，当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤当13λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤ 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．……………………14分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+， 所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=， 所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以 11222n n n a -+=⋅=， 即21nn a =-． ……………………4分（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++．所以 22222()()()b b b b b b b +=++++， 解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列； 当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列． 所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……………………9分（ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+；所以 21n n n b b b +=-；所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=>；所以11122311*********()()()ni i i n n n b b b b b b b b b b b=+++=-+-++-=-<∑．……………………14分。
广东省2012届高三数学(文)仿真模拟试题18
广东省2012届高三数学文科仿真模拟卷18一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则AB 等于A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}1,22．已知命题:p “若=，则||||=”，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =A ．21B ．22C ．23D ．244．某几何体的直观图如右图所示，则该几何体的侧（左）视图的面积为A ．25a πB ．25a C．2(5a π+ D．2(5a +5．函数2()12sin ()4f x x π=-+，则()6f π= A．．12-C ．12D6．已知为虚数单位，a 为实数，复数(12i)(i)z a =-+在复平面内对应的点为M ，则“12a >”是“点M 在第四象限”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知ABC ∆中，︒=∠45A ，6=AB ，2=BC ，则=∠CA ．︒30B ．︒60C ．︒120D ．︒60或︒1208．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为A ．2B ．C D9.右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i 10. 已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．4m ≥或2m -≤ B ．2m ≥或4m -≤C ．24m -<<D ．42m -<<二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分） (一)必做题(11～13题)11.某学校共有师生4200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为140的样本，已知从学生中抽取的人数为130，那么该学校的教师人数是__________.12. 已知直线22x y +=分别与x 轴、y 轴相交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值为__________.13. 已知函数f (x +1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1、x 2，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为__________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x （θ为参数）表示的图形上的点到直线x y =的最短距离为．15．（几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．2=AD ，52=AC ，则=AB ．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,16．（本小题满分12分）已知函数1()cos 2f x x x ππ=+,x R ∈． （Ⅰ）求函数f (x )的最大值和最小值；（Ⅱ）如图,函数f (x )在[－1,1]上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图象的最高点为P,求PM 与PN 的夹角的余弦．17．（本小题满分12分）“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏， “石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不B分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的． （Ⅰ）写出玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果； （Ⅱ）求出在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率． 18．（本小题满分14分）在数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=3，a n+2= 3a n+1- 2a n .(Ⅰ)证明数列{a n+1- a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =)1(log 2+n a ，{b n }的前n 项和为S n ，求证21111321<++++nS S S S . 19．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点，'A A ⊥平面ABCD.（Ⅰ）计算：多面体A 'B 'BAC 的体积； （Ⅱ）求证：CA '//平面BDE ；(Ⅲ) 求证：平面AC A '⊥平面BDE ． 20．（本小题满分14分）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点P 到两个焦点的距离的和为6，焦距为,A B分别是椭圆的左右顶点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值； （Ⅲ）设(,)(0)C x y x a <<为椭圆上一动点，D 为C 关于y 轴的对称点，四边形ABCD的面积为()S x ，设2()()3S x f x x =+，求函数()f x 的最大值.21．（本小题满分14分）已知函数x axxx f ln 1)(+-=（a 为常数）. （Ⅰ）求)(x f '；（Ⅱ）当a =1时，求)(x f 在∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1 上的最大值和最小值()71828.2≈e ；（Ⅲ）求证：1ln1n n n>-.1(>n ，且)*N n ∈16．解：解：(Ⅰ)∵1()cos 2f x x x ππ=+ =sin()6x ππ+…………2分∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴函数()f x 的最大值和最小值分别为1，—1．…………4分(Ⅱ)解法1：令()sin()06f x x ππ=+=得,6x k k Z πππ+=∈,∵[1,1]x ∈- ∴16x =-或56x = ∴15(,0),(,0),66M N -…………6分 由sin()16x ππ+=，且[1,1]x ∈-得13x = ∴ 1(,1),3P …………8分∴11(,1),(,1),22PM PN =--=-…………10分∴cos ,||||PM PN PM PN PM PN ⋅<>=⋅35=．…………12分解法2：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA = 由三角函数的性质知1||12MN T ==, …………6分 ||||PM PN ===,…………8分由余弦定理得222||||||cos ,2||||PM PN MN PM PN PM PN +-<>=⋅…………10分=521345524⨯-=⨯．…………12分 解法3：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA = 由三角函数的性质知1||12MN T ==,…………6分||||PM PN ===…………8分在Rt PAM ∆中，||cos ||PA MPA PM ∠===…………10分 ∵PA 平分MPN ∠ ∴2cos cos 22cos 1MPN MPA MPA ∠=∠=∠-23215=⨯-=．…………12分 17．解：（Ⅰ）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，基本事件共有9个，玩家甲不输于玩家乙的基本事件分别是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，布），共有6个．所以，在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率6293P ==．…………12分 18．解：解：(Ⅰ)由a n +2= 3a n +1- 2a n 得a n +2- a n +1= 2(a n +1- a n )，a 2-a 1=2，所以，{ a n +1- a n }是首项为2，公比为2的等比数列. …………………3分 a n +1-a n =2×2n -1=2n ，………………………………………………………4分a n =a 1+(a 2-a 1)+ (a 3-a 2)+…+(a n - a n -1)=1+2+22+…+2n -1=2121--n =2n-1；…7分(Ⅱ)b n =)1(log 2+n a =log 22n=n ，………………………………………………8分S n =2)1(+n n ，………………………………………………………………9分 )111(2)1(21+-=+=n n n n S n ， 所以)]111()3121()211[(21111321+-++-+-=++++n n S S S S n =2)111(+-n <2. ………………………14分 19．解：（Ⅰ）多面体A 'B 'BAC 是一个以A 'B'BA 为底,C 点为 顶点的四棱锥，由已知条件，知BC ⊥平面A 'B 'BA ， ∴3211333C A B BAA B BA a V S BC a a ''''-=⋅=⋅⋅=……4分 （Ⅱ）设AC 交BD 于M ，连结ME ． ABCD 为正方形，所以M 为AC 中点，又E 为A A '的中点∴ME 为AC A '∆的中位线C A ME '//∴………………6分又BDE C A BDE ME 平面平面⊄⊂' ,//'C A ∴平面BDE ． ………………9分(Ⅲ)ABCD BD AC ∴⊥为正方形 ………………………… 10分.''.','AC A BD A A A AC BD A A ABCD BD ABCD A A 平面又平面平面⊥∴=⊥∴⊂⊥ ……………………12分'.BD BDE A AC BDE ⊂∴⊥平面平面平面…………………………………………14分20．解：（Ⅰ）由题意得，26a =，∴3a =， ----------------1分又2c =，∴c =2221b a c =-=，故椭圆的方程为2219x y +=；-------------3分（Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(3,0)A -，(3,0)B ，则220019x y +=，即220019x y =-，则0103y k x =+，0203y k x =-， --------------------4分即2202001222200011(9)1999999x x y k k x x x --⋅====----，∴12k k 为定值19-．----------------8分 （Ⅲ）由题意可知，四边形ABCD 是梯形，则1()(62)2S x x y =+⋅，且2219x y =-，-----9分于是222232(3)(1)()9()(3)(1)3(03)33993x x S x x x x f x x x x x x +-===+-=--++<<++--------10分 22()133x f x x '=--+，令()0f x '=，解之得11,x =或3x =-（舍去） ----------11分当01x <<，()0f x '>，函数()f x 单调递增； -----------------12分当13x <<，()0f x '<，函数()f x 单调递减； ---------------------13分所以()f x 在1x =时取得极大值，也是最大值329. -----------------14分21．解：（Ⅰ） 21)(axax x f -='.…………………………………………………2分 （Ⅱ）当1=a 时，21)(x x x f -='，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1，而⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,1e x 时，0)(<'x f ；(]e x ,1∈时，0)(>'x f ，∴1=x 是)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1 上唯一的极小值点， ………………………………4分∴[]0)1()(min ==f x f .…………………………………………………5分 又01)2(112)(1>--=----=-⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e e e e ef e f ，………………………6分 ∴)(1e f e f >⎪⎭⎫ ⎝⎛， ∴[]21)(max -=⎪⎭⎫⎝⎛=e e f x f .……………………………7分 综上，当1=a 时，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1 上的最大值和最小值分别为2-e 和0. ………………………8分（Ⅲ）若1=a 时，由（2）知x xxx f ln 1)(+-=在[)+∞,1上为增函数，……………………………………10分 当1>n 时，令1-=n nx ，则1>x ，故0)1()(=>f x f ，……………………12分即01ln 11ln 1111>-+-=-+---=⎪⎭⎫⎝⎛-n n n n n n n n nn n f ， ∴1ln1n n n>-. ………………………………………………………………14分。
广东省2012届高三数学(文)仿真模拟试题5.pdf
广东省2012届高三数学文科仿真模拟卷5 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则实数的值为 A． B． C． D． 2．已知i为虚数单位, 若复数i，i，则 A．i B. i C. i D．i 3. 已知向量,,且，则的值为 A． B. C. D． 4. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点, 则的值为 A． B. C. D． 5. 各项都为正数的等比数列中，，则公比的值为 A． B. C. D． 6. 函数为自然对数的底数在上 A．有极大值 B. 有极小值 C. 是增函数 D．是减函数 7. 阅读图1的程序框图. 若输入, 则输出的值为 A． B． C． D． 8. 已知、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面， 则下列命题中为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 图1 9. 向等腰直角三角形内任意投一点, 则小于的概率为 A． B． C． D． 10. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件 则该校招聘的教师人数最多是 A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11.为了了解某地居民每户月均用电的基本情况, 抽取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图2所示, 若月均用电量在 区间上共有150户, 则月均用电 量在区间上的居民共有 户. 12. △的三个内角、、所对边的 长分别为、、，已知, 则的值为 . 13. 已知函数满足 且对任意R都有， 记，则 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. (几何证明选讲选做题) 如图3, 是圆的切线, 切点为, 点、在圆上， ， 则圆的面积为 . 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点 且与极轴垂直的直线交曲线于、两点， 图3 则 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分） 已知函数(R). 求的最小正周期和最大值； 若为锐角，且，求的值. 17. （本小题满分12分） 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重 量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4. 根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定； 若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率. 18. （本小题满分14分） 如图5,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点, ,. （1）求证：平面； (2) 求四棱锥的体积. 图5 19．（本小题满分14分） 动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．圆 的圆心是曲线上的动点, 圆与轴交于两点，且. （1）求曲线的方程； （2）设点2,若点到点的最短距离为,试判断直线与圆的位置关系, 并说明理由. 20. （本小题满分14分） 设各项均为正数的数列的前项和为,已知数列是首项为,公差为的等差 数列. (1) 求数列的通项公式； （2）令，若不等式对任意N都成立， 求实数的取值范围. 21. （本小题满分14分） 已知函数满足,对于任意R都有,且 ,令. 求函数的表达式； 求函数的单调区间； 研究函数在区间上的零点个数. 参考答案 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分. 题号123456 78910答案AABCCCBDDC 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共小题，每小题5分． 13. 32 14.15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分） …… 2分 …… 3分 . …… 4分 ∴的最小正周期为, 最大值为. …… 6分 (2) 解:∵, ∴. …… 7分 ∴. …… 8分 ∵为锐角，即, ∴. ∴. …… 10分 ∴. …… 12分 17．（本小题满分12分）, …… 1分 , …… 2分 , …… 3分 , …… 4分 ∵, , …… 5分 ∴甲车间的产品的重量相对较稳定. …… 6分 (2) 解: 从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法: ,. …… 8分 设表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则的基本事件有4种: ,. …… 10分 故所求概率为. …… 12分 18. （本小题满分1分）,设与相交于点,连接, ∵ 四边形是平行四边形, ∴点为的中点. ∵为的中点， ∴为△的中位线, ∴ . …… 3分 ∵平面,平面, ∴平面. …… 6分 (2)解法1: ∵平面,平面, ∴ 平面平面，且平面平面. 作，垂足为，则平面， …… 8分 ∵，， 在Rt△中，，， …… 10分 ∴四棱锥的体积 …… 12分 . ∴四棱锥的体积为. …… 14分 解法2: ∵平面,平面, ∴. ∵, ∴. ∵, ∴平面. …… 8分 取的中点,连接,则, ∴平面. 三棱柱的体积为, …… 10分 则,. …… 12分 而, ∴. ∴. ∴四棱锥的体积为. …… 14分 19．（本小题满分1分）的坐标为,依题意,得, 即, …… 2分 化简得:, ∴曲线的方程为. …… 4分 解法2:由于动点与点的距离和它到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线. …… 2分 ∴曲线的方程为. …… 4分 （2）解: 设点的坐标为,圆的半径为， ∵ 点是抛物线上的动点, ∴(). ∴ …… 6分 . ∵,∴,则当时,取得最小值为, …… 8分 依题意得 , 两边平方得, 解得或(不合题意,舍去). …… 10分 ∴,,即. ∴圆的圆心的坐标为. ∵ 圆与轴交于两点，且, ∴ . ∴. …… 12分 ∵点到直线的距离, ∴直线与圆相离. …… 14分 20．（本小题满分1分）是首项为,公差为的等差数列， ∴. ∴. …… 2分 当时，； 当时，. 又适合上式. ∴. …… 4分 （2）解： . …… 6分 ∴ . …… 8分 故要使不等式对任意N都成立， 即对任意N都成立， 得对任意N都成立. …… 10分 令，则. ∴. ∴. …… 12分 ∴. ∴实数的取值范围为. …… 14分 [另法]: . ∴. ∴. …… 12分 ∴. ∴实数的取值范围为. …… 14分 21．（本小题满分1分），∴. …… 1分 ∵对于任意R都有, ∴函数的对称轴为，即，得. …… 2分 又，即对于任意R都成立， ∴,且． ∵， ∴． ∴． …… 4分 (2) 解： …… 5分 ① 当时，函数的对称轴为， 若，即，函数在上单调递增； …… 6分 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减． …… 7分 ② 当时，函数的对称轴为， 则函数在上单调递增，在上单调递减． …… 8分 综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为 ； …… 9分 当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为 和． …… 10分 (3)解：① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增， 又， 故函数在区间上只有一个零点． …… 11分 ② 当时，则，而， ， （）若，由于， 且， 此时，函数在区间上只有一个零点； …… 12分 （）若，由于且，此时，函数在区间 上有两个不同的零点． …… 13分 综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点； 当时，函数在区间上有两个不同的零点． (14) 输入 否 是 结束 输出k ,n k＝k＋1 ＝3 开始。
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(数学文)(广东卷)
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（广东卷）数学（文科）考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷､答题卡规定填写自己的姓名､座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名､座位号与本人姓名､座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整､笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．､草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交．说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算．第Ⅰ卷一､选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则A B ⋂=（ ）A ．()1,-+∞B ．()+∞,0C ．()1,+∞D ．()2,+∞2．若函数)()(3x x a x f --=的递减区间为（33-，33），则a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．10a -<< C ．1a >D ．01a <<3．函数)1(log 2-=x y 的反函数图像是（ ）ABC D4．已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．13B ．-76C ．46D ．765．两个非零向量,a b 互相垂直，给出下列各式： ①0a b ⋅=； ②a b a b +=-； ③||||a b a b +=-； ④222()a b a b +=+； ⑤·0a b a b +-=（）（）． 其中正确的式子有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个6．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y ､2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6pD ．8p7．0a b c ∈+∞，，（，）且表示线段长度，则a b c ，，能构成锐角三角形的充要条件是（ ） A ．222c b a <+ B ．222||c b a <- C ．||||b a c b a +<<-D ．22222||b a c b a +<<-8．下列函数中，周期为π的偶函数是（ ） A ．cos y x = B ．cos(2)2y x π=+C ．sin(2)2y x π=+D ．tan y x =9．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．已知抛物线:C 24x y =，直线:1l y =-．PA ､PB 为曲线C 的两切线，切点为,A B ．令甲：若P 在l 上，乙：PA PB ⊥；则甲是乙（ ）条件 A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要第Ⅱ卷二､填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11-13题）11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是__________12．在回归分析中，对于x y ，随机抽取到的n 对数据,(1,2,...,)i i x y i n =（），样本相关系数r 具有下列哪些性质：（1）1r ≤；（2）r 越接近于1，x y ，的线性相关程度越弱； （3）r 越接近于1，x y ，的线性相关程度越强； （4）r 越接近于0，x y ，的线性相关程度越强； 请将正确的序号写出：__________13．若点P （αcos ，αsin ）在直线上x y 2-=上，则=+αα2cos 22sin ________． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是圆O 的直径，108AD DE AB BD ===，，，则cos BCE ∠=________15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的参数方程为：214x ty t==+⎧⎨⎩（t 为参数），圆C的极坐标为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为________三､解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明､证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a b c ﹑﹑，若cos cos A bB a= 且sin cos C A =． （1）求角A B C ､､的大小；（2）设函数()()sin cos 222C f x x x A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距离．17．（本小题满分13分）袋中有6张卡片，编号分别是1､2､3､4､5､6，现从袋中任意抽取3张卡片，并记号码最大的为ξ．（1）求ξ的分布列和期望；（2）若3张卡片是有放回的抽取，则最大号码为4的概率是多少?18．（本小题满分13分）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（1）证明：SO ⊥平面ABC ； （2）求二面角A SC B --的余弦值．19．（本小题满分14分）某森林出现火灾，火势正以每分钟2m 100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m 50，所消耗的灭火材料､劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆､器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少?OSBAC20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中的各项均为正数，且满足()111122,1n n n n a a a n N a a +*+-==∈-．记2n nn b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n x ，且1()2n n f x x =．（1）数列{}n b 和{}n a 的通项公式； （2）求证：()()()()()()()12312122n n f f f x x x n n n N f f x f x x *+-<+++<∈L ．21．（本小题满分14分）直线l ∶1y ax =+与双曲线C ∶1322=-y x 相交于A B ，两点． （1）a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点；（2）是否存在这样的实数a ，使A B ，关于直线20x y -=对称，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（广东卷）数学（文科）1.选择题 1-5.BACBB 6-10.ADCCA二．填空题 11．-1212．（1）（3） 13．-2 14．3515．相交 三．解答题16．（本小题满分12分） 解：（1）由题设及正弦定理知：cos sin cos sin A BB A=， 得sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=．当A B =时，有sin(2)cos A A π-=， 即1sin 2A =，得6A B π==，23C π=；当2A B π+=时，有sin()cos 2A ππ-=，即cos 1A =，不符题设， ∴6A B π==，23C π=． （2）由（1）及题设知：()sin(2)cos(2)2sin(2)636f x x x x πππ=++-=+； 当2[2,2]()622x k k k Z πππππ+∈-+∈时， ()2sin(2)6f x x π=+为增函数，即()2sin(2)6f x x π=+的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈．它的相邻两对称轴间的距离为2π． 17．（本小题满分13分） （1）25.535.16.015.0=+++=ξE（2）21637666333444=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=P 18．（本小题满分13分）解：（1）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AOBO O =． 所以SO ⊥平面ABC ．（2）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（1）知SO OC SA AC ==，， 得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角． 由AO BC AO SO SOBC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又2AM SA =，故sinAO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B -- 解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴､y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，． 00MO SC MA SC ⋅=⋅=∴，．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B --的平面角．3cos MO MA MO MA MO MA⋅<>==⋅，所以二面角A SC B --的余弦值为3． 19．（本小题满分14分）解析：设派x 名消防员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则210100501005-=-⨯=x x t y =灭火劳务津贴+车辆､器械装备费+森林损失费=125t x +100x +60（500+100t ）=26000030000100210125-+++-⋅⋅x x x x =2600030000)22(1002221250-+++-+-+-⋅x x x x =262500)2(10031450-+-+x x3645062500100231450=⨯+≥当且仅当262500)2(100-=-x x ，即x =27时，y 有最小值36450．故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元． 20．（本小题满分14分） 解：（1）)(2211212111n n n n n n n n a a a a a a a a -=-⇒=--++++，}{,2,12n n n n n n b b b a a b 数列∴=-=+ 是公比和首项均为2的等比数列，nn b 2=∴，即).0(2211222>++=⇒=-+n n n nn na a a a （2）证明：因为等比数列{nb }的前n 项和,2212)12(21-=--=+n n n x 所以.12)(-=n n x f故,,,3,2,1,21)212(2121212)()(11n k x f x f k k k k k k =<--=--=++ 所以.2)()()()()()(13221nx f x f x f x f x f x f n n <++++ 另一方面,)12(21211212)()(111--=--=+++k k k k k x f x f.,,2,1,2121222121111n k k k k k =->-+-=+++ .21)211(212)212121(2)()()()()()(13213221->--=+++-≥+++∴++n n n x f x f x f x f x f x f n n n n.2)()()()()()(2113221nx f x f x f x f x f x f n n n <+++<-∴+ 21．（本小题满分14分）解：（1）联立方程ax+1=y 与1322=-y x ，消去y 得：022)3(22=---ax x a （*） 又直线与双曲线相交于A B ，两点， ∴660<<-⇒>∆a ．又依题OA ⊥OB ，令A B ，两点坐标分别为（1x ，1y ），（2x ，2y ），则2121x x y y -=． 且212121221211)()1)(1(x x x x a x x a ax ax y y -=+++=++=1221()1(x a a x x ++⇒)2x +01=+，而由方程（*）知：22132a a x x -=+，32221-=a x x 代入上式得1101323)1(222221±=⇒=⇒=+-+-+-a a aa a a ．满足条件．（2）假设这样的点A ，B 存在，则l ：y=ax+1斜率a=-2．又AB 中点2(21x x +，)221y y + 在x y 21=上，则)(212121x x y y +=+， 又2)(2121++=+x x a y y ， 代入上式知6324)(22212121=⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=++=++a a a x x x x x x a 又这与2-=a 矛盾．故这样的实数a 不存在．。
广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题 (四)文科数学
广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题 (四)文科数学一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合M ＝{x |y ＝3－x 2}，N ＝{x |－3≤x ≤1}，且M 、N 都是全集I 的子集，则韦恩图(如右图阴影所示)中阴影部分表示的集合为( C )A ．{x |－3≤x ≤1}B ．{x |－3≤x ≤1}C ．{x |－3≤x <－3}D ．{x |1<x ≤3}解析：M ＝[－3，3]，N ＝[－3,1]；由韦恩图知x ∈N 且x ∉M ， 故x ∈{x |－3≤x <－3}．2.已知f (x )＝2x ＋1x 2的导函数为f ′(x )，若i 为虚数单位，则f ′(i)＝( D )A ．2＋2iB ．－2－2iC ．－2＋2iD ．2－2i解析：因为f ′(x )＝2x 2－2x (2x ＋1)x 4＝－2x 2－2xx 4，所以f ′(i)＝2－2i. 3.若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 11＝22π3，则tan a 6＝( B )A. 3 B ．－ 3 C ．±3 D ．－33解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6⇒a 6＝2π3，所以tan a 6＝－ 3.4.下图的算法流程图的输出结果是( C )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：i ＝3→S ＝3，i ＝5→S ＝15，i ＝7→S ＝105，i ＝9，结束．5.函数f (x )＝ax －b的图象如右图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( D )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 解析：由图象单调递减，得0<a <1，由图象与y 轴交点的纵坐标大于0且小于1，得b <0. 6.已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m|＝3，|n|＝2，在△ABC 中，AB →＝m ＋n ，AC →＝m－3n ，D 为BC 边的中点，则|AD →|＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：AD →＝12(AB →＋AC →)＝m －n⇒|AD →|2＝m 2＋n 2－2m ·n ＝3＋4－2×2×3cos π6＝1⇒|AD →|＝1.7.x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据．根据右表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( A )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5 解析：因为a ＝y －－b x －，由回归方程知0.35＝y －－0.7x －＝2.5＋t ＋4＋4.54－0.7×3＋4＋5＋64，解得t ＝3.8.已知0<a <1，b >1，且ab >1，则M ＝log a 1b ，N ＝log a b ，P ＝log b 1b ，则这三个数的大小关系为( B )A ．P <N <MB ．N <P <MC ．N <M <PD ．P <M <N解析：由0<a <1，b >1，知M >0，N <0，又P ＝－1<0，代入选择肢检验，C 、D 被排除；又由ab >1⇒log a ab <0⇒log a b ＋1<0⇒log a b <－1，即log a b <log b 1b，所以N <P <M .9.若sin2x 、sin x 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为( A ) A.1＋338 B.1－338 C.1±338 D.1－24解析：依题意得2sin2x ＝sin θ＋cos θ，sin 2x ＝sin θcos θ， 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以4cos 22x －cos2x －2＝0，得cos2x ＝1±338，又由sin 2x ＝sin θcos θ，得cos2x ＝1－sin2θ≥0，所以1－338不合题意，舍去．10.如右图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD.点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( A )解析：取AD的中点H，连接MH、MP和PH，因为△ADP为正三角形，则PH⊥AD，又因平面PAD⊥平面ABCD于AD，所以PH⊥平面ABCD，所以PH⊥HM，由勾股定理得MP2＝MH2＋HP2，又MP2＝MC2，所以MC2＝MH2＋HP2，设正方形ABCD边长为2，则HP＝3，即MC2－MH2＝HP2＝3，而M、H、C三点都在平面ABCD上，可得点M在正方形ABCD 内的轨迹为连接点D与AB边中点的线段．二、填空题(本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．)(一)必做题(11～13题)11.空间三条直线互相平行，由每两条平行线确定一个平面，则可确定的平面个数为1或3个．解析：若三条平行线都在同一个平面内，则可确定1个平面；若三条平行线不同在任一个平面内，则可确定3个平面．12.不论k为何实数，直线y＝kx＋1与曲线x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是[－1,3].解析：题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，或等价于点(0,1)到圆(x－a)2＋y2＝2a＋4的圆心的距离不超过半径，所以－1≤a≤3.13.有下列各式：1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>321＋12＋13＋…＋115>2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为1＋12＋13＋…＋12n＋1－1>n＋12(n∈N*).(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)如右图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，C为圆上任意一点，过C点作圆的切线分别与过A，B两点的切线交于P，Q两点，则CP·CQ＝4.解析：依条件有BQ －AP ＝CQ －CP .过P 点作BQ 的垂线，构造直角三角形，且有PQ 2＝AB 2＋(BQ －AP )2⇒(BQ ＋AP )2＝42＋(BQ －AP )2⇒CP ·CQ ＝4.15.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)，则曲线C 上的点到直线3x －4y ＋4＝0的距离的最大值为 3 .解析：曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2,0)到直线3x －4y ＋4＝0的距离是d ＝|3×2－4×0＋4|32＋42＝2，故曲线C 上的点到直线3x －4y ＋4＝0的距离的最大值为3.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，n ＝(cos x ，cos x )，p ＝(23，1)． (1)若m ∥p ，求m ·n 的值； (2)若角x 为△ABC 的最小角，求函数f (x )＝m ·n 的值域． 解：(1)若m ∥p ，得3sin x cos x ＝231⇒sin x ＝2cos x ，2分 因为cos x ≠0，所以tan x ＝2，3分 所以m ·n ＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝3sin x cos x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝3tan x ＋1tan 2x ＋1＝23＋15.6分 (2)由角x 为△ABC 的最小角，得x ∈(0，π3]，8分f (x )＝3sin x cos x ＋cos x cos x ＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin(2x ＋π6)＋12.10分 因为x ∈(0，π3]，所以2x ＋π6∈(π6，5π6]，所以sin(2x ＋π6)∈[12，1]，所以f (x )∈[1，32]，即函数f (x )＝m ·n 的值域为[1，32].12分17.(本小题满分13分)某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，其余情况不中奖．(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．解：两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，设“中三等奖”的事件为A ，“中奖”的事件为B ，从四个小球中任选两个共有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)六种不同的方法.3分(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：(0,3)、(1,2)，5分 故P (A )＝26＝13.答：中三等奖的概率为13.7分(2)方法1：两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：(0,1)；8分 两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：(0,2)；10分故P (B )＝1－26＝23.12分答：中奖的概率为23.13分方法2：两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：(0,3)、(1,2)；8分 两个小球号码相加之和等于4的取法有1种：(1,3)；10分 两个小球号码相加之和等于5的取法有1种：(2,3)；11分 故P (B )＝26＋16＋16＝46＝23分答：中奖的概率为23.13分18.(本小题满分13分)已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝x ，G 是BC 的中点．如图所示，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使得平面AEFD ⊥平面EBCF .(1)当x ＝2时，求证：BD ⊥EG ；(2)若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为V (x )，求V (x )的最大值．解：(1)证明：作DH ⊥EF 于H ，连接BH ，GH ， 由平面AEFD ⊥平面EBCF ，得DH ⊥平面EBCF ， 而EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH .2分因为EF ∥BC ，所以∠AEH ＝∠EBC ＝π2，所以AE ⊥EF ，所以AE ∥DH .因为AD ∥EF ，所以AEHD 为平行四边形，所以EH ＝AD ＝2，所以EH ∥BC ，EH ＝12BC ，且∠EBC ＝π2，BE ＝BG ＝2，所以四边形BGHE 为正方形，所以EG ⊥BH ，5分又BH ∩DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ，而BD ⊂平面DBH ，所以EG ⊥BD .7分 (2)因为AD ∥平面BFC ，AE ⊥平面BFC ， 所以V (x )＝V D －BCF ＝V A －BFC ＝13×S △BCF ×AE＝13×12×4(4－x )x ＝－23x －2)2＋83≤83，11分 即x ＝2时，V (x )有最大值为83.13分19.(本小题满分14分)已知f (x )是二次函数，f ′(x )是它的导函数，且对任意的x ∈R ，f ′(x )＝f (x ＋1)＋x 2恒成立．(1)求f (x )的表达式； (2)设t >0，曲线y ＝f (x )在点P (t ，f (t ))处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为S (t )．求S (t )的最小值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (其中a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，2分 f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＋c . 由已知，得2ax ＋b ＝(a ＋1)x 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＋c ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝02a ＋b ＝2aa ＋b ＋c ＝b，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0c ＝1，所以f (x )＝－x 2＋1.5分(2)由(1)得，P (t,1－t 2)，切线l 的斜率k ＝f ′(t )＝－2t ，所以切线l 的方程为y －(1－t 2)＝－2t (x －t )，即y ＝－2tx ＋t 2＋1.7分 从而l 与x 轴的交点为A (t 2＋12t ，0)，l 与y 轴的交点为B (0，t 2＋1)，所以S (t )＝(t 2＋1)24t ＝t 4＋2t 2＋14t (其中t >0).9分所以S ′(t )＝(t 2＋1)(3t ＋1)(3t －1)4t 2.11分令S ′(t )＝0，得t ＝33，或t ＝－33(舍去)． 当0<t <33时，S ′(t )<0，S (t )是减函数；当t >33时，S ′(t )>0，S (t )是增函数.13分 所以[S (t )]min ＝S (33)＝439.14分 20.(本小题满分14分) 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆的半焦距为c (c >0)，因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝43＋143＝6，所以a ＝3.2分又PF 1⊥F 1F 2，所以|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25，即2c ＝25，所以c ＝ 5.从而b 2＝a 2－c 2＝32－(5)2＝4.5分 因此，椭圆C 的方程为x 29＋y24＝1.6分(2)方法1：圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的方程可化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5， 所以圆心M 的坐标为(－2,1)，(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，即l ⊥x 轴时，A 、B 两点关于点(－2,0)对称，不可能关于点M 对称，所以此时不合题意，舍去.8分(ⅱ)当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，即y ＝kx ＋2k ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1y ＝kx ＋2k ＋1，得x 29＋(kx ＋2k ＋1)24＝1，即(9k 2＋4)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0，10分设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝－36k 2＋18k 9k 2＋4，x 1x 2＝36k 2＋36k －279k 2＋4，且Δ>0.因为A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝2×(－2)， 所以－36k 2＋18k 9k 2＋4＝－4，即18k ＝16，所以k ＝89.12分 而此时Δ＝(36k 2＋18k )2－4(9k 2＋4)(36k 2＋36k －27)＝144(5k 2－4k ＋3) ＝144×[5×(89)2－4×89＋3]＝144×(3281＋3)>0，符合题意.13分 所以直线l 的方程为y －1＝89(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0.14分方法2：圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的方程可化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5， 所以圆心M 的坐标为(－2,1)，7分设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有 x 219＋y 214＝1， ① x 229＋y 224＝1， ② 由①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)9＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0.9分因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2， 所以－4(x 1－x 2)9＋2(y 1－y 2)4＝0，即y 1－y 2＝89(x 1－x 2).11分 若x 1＝x 2，则AB ⊥x 轴，此时A 、B 两点关于点(－2,0)对称，不可能关于点M 对称，此时不合题意，舍去.12分所以，x 1≠x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝89，即直线l 的斜率为89分又直线l 过点M (－2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝89(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0.因此，直线l 的方程为8x －9y ＋25＝0.14分21.(本小题满分14分)如图所示，在y 轴的正半轴上依次有点A 1，A 2，…，A n ，…其中点A 1(0,1)，A 2(0,10)，且|A n －1A n |＝3|A n A n ＋1|(n ＝2,3,4，…)，在射线y ＝x (x ≥0)上依次有点B 1，B 2，…，B n ，…，点B 1的坐标为(3,3)，且|OB n |＝|OB n －1|＋22(n ＝2,3,4，…)．(1)用含n 的式子表示|A n A n ＋1|；(2)用含n 的式子表示A n ，B n 的坐标； (3)求四边形A n A n ＋1B n ＋1B n 面积的最大值． 解：(1)因为|A n A n ＋1||A n －1A n |＝13，且|A 1A 2|＝10－1＝9，所以{|A n A n ＋1|}是以9为首项，13为公比的等比数列.2分所以|A n A n ＋1|＝|A 1A 2|(13)n －1＝9(13)n －1＝(13)n －3.3分(2)由(1)得|A 1A 2|＋|A 2A 3|＋…＋|A n －1A n |＝9＋3＋1＋…＋(13)n －4＝272－12(13)n －4， 即|A 1A n |＝272－12(13)n －4，得|OA n |＝|OA 1|＋|A 1A n |＝292－12(13)n －4，所以点A n 的坐标为(0，292－12(13)n －4)，6分因为|OB n |－|OB n －1|＝22且|OB 1|＝32，所以{|OB n |}是以32为首项，22为公差的等差数列．所以|OB n |＝32＋(n －1)22＝(2n ＋1)2，所以B n 的坐标为(2n ＋1,2n ＋1).9分 (3)连接A n B n ＋1，设四边形A n A n ＋1B n ＋1B n 的面积为S n ，则 S n ＝S △A n A n ＋1B n ＋1＋S △B n B n ＋1A n＝12[(13)n －3]·(2n ＋3)＋12×22×[292－12(13n －4]×22 ＝292＋n3n －3，12分 所以S n ＋1－S n ＝1－2n3n －2<0，即S n ＋1<S n ，所以{S n }单调递减．所以S n 的最大值为S 1＝292＋9＝472.14分。
广州市2012届高三年级调研测试答案(文科数学)
广州市2012届高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．0.32 12．9 13． 14．1 15三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．…………………………………………………………2分 因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠==．…………………………………………………………4分 因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠ ………………………………6分 412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD =∠∠，………………………………10分所以533sin 132533sin 65AD BAD BD ABD⨯⨯∠===∠．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区数量为24个．…………………………………………………………………………………2分 设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则()P A =24125025=． 所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分 （2）从表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有()4a +个，……………………………6分 因为“居民素质”得1分的概率为110， 所以415010a +=．………………………………………………………………………………………8分 解得1a =．……………………………………………………………………………………………10分 因为社区总数为个，所以4750a b ++=．解得．……………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）解：（1）因为2221=-+n n a a ，所以数列{}2n a 是首项为1，公差为2的等差数列．…………………………………………………2分 所以122)1(12-=⨯-+=n n a n ．…………………………………………………………………4分因为0>n a，所以n a =()*n ∈N ．………………………………………………………6分（2）由（1）知，n a =22122n n na n -=．……………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n S ---=+++++， ①…………………………………………8分 则234111352321222222n n n n n S +--=+++++， ②…………………………………………9分 ①－②得，2341112222212222222n n n n S +-=+++++-…………………………………………11分234111111212222222n n n +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--…………………………………………………12分132322n n ++=-．……………………………………………………………………13分 所以2332n nn S +=-．………………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）证明：因为ABCD 是正方形，所以BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………1分 在折叠后的△ABD 和△BCD 中，仍有BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………2分 因为AO CO O =，所以BD ⊥平面AOC ．………3分 因为BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD ．…………………………4分 （2）解：设三棱锥A BCD -的高为h ， 由于三棱锥A BCD -的体积为3所以133BCD S h ∆=．………………………………………………………………………………5分 因为1122222BCD S BC CD ∆=⨯=⨯⨯=，所以2h =．………………………………………6分 以下分两种情形求AC 的长：①当AOC ∠为钝角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ． 所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即2AH =．………………………………………………7分 在Rt △AOH中，因为AO =所以OH =2==8分 在Rt △ACH中，因为CO =则22CH CO OH =+=+=．……………9分所以AC ===10分②当AOC ∠为锐角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ．所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即AH =11分在Rt △AOH中，因为AO =，所以OH =2==12分 在Rt △ACH中，因为CO =则CH CO OH =-==．……………………………………………………………13分所以AC ===综上可知，AC．…………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）由题设知，2A⎛⎫⎪⎭，)1F ，…………………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ．……………………………………3分 解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．…………………………………………………………4分 （2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅ ………………………………………………………………6分 ()()NF NP NF NP =--⋅-……………………………………………………………7分2221NP NF NP =-=-．………………………………………………………………8分从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值．………………………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，…………………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x ．……………………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．……………………………13分所以PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………………14分 方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ， 因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--……………………………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………………………9分因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………………10分因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………………11分所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．………………………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=-+-⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ……………………………………………………9分 所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ． ……………………………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =，由220(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =． 不妨设，()0,3E ，()0,1F ．………………………………………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =--，()00,1PF x y =--． 所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………13分综上可知，PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）当3a =时，()3213232f x x x x =-+-，得()2'32f x x x =-+-．…………………1分 因为()()()2'3212f x x x x x =-+-=---， 所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为()1,2，单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞．………………3分 （2）方法1：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立， 即对于任意[)1,x ∈+∞都有222(1)x ax a -+-<-成立，即对于任意[)1,x ∈+∞都有220x ax a -+>成立，………………………………………………4分令()22h x x ax a =-+，要使对任意[)1,x ∈+∞都有()0h x >成立，必须满足0∆<或()0,1,210.ah ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎩…………………………………………………………………………5分即280a a -<或280,1,210.a a a a ⎧-≥⎪⎪≤⎨⎪+>⎪⎩………………………………………………………………………6分所以实数a 的取值范围为()1,8-．…………………………………………………………………7分 方法2：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立，所以问题转化为，对于任意[)1,x ∈+∞都有[]max '()2(1)f x a <-．……………………………4分因为()22224a a f x x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭，其图象开口向下，对称轴为2a x =．①当12a<时，即2a <时，()'f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max ''13f x f a ==-，由()321a a -<-，得1a >-，此时12a -<<．………………………………………………5分②当12a ≥时，即2a ≥时，()'f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2max''224a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由()22214a a -<-，得08a <<，此时28a ≤<．……………………………………………6分 综上①②可得，实数a 的取值范围为()1,8-．……………………………………………………7分 （3）设点321,232a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象上的切点， 则过点P 的切线的斜率为()2'2k f t t at ==-+-，………………………………………………8分 所以过点P 的切线方程为()()32212232a y t t t t at x t +-+=-+--．…………………………9分 因为点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭在切线上， 所以()()32211220332a t t t t at t -+-+=-+--，即322110323t at -+=．……………………………………………………………………………10分 若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，则方程322110323t at -+=有三个不同的实数解．………………………………………………11分 令()32211323g t t at =-+，则函数()y g t =与t 轴有三个不同的交点．令()220g t t at '=-=，解得0t =或2at =．……………………………………………………12分因为()103g =，3112243a g a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以必须31102243a g a ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭，即2a >．……………………………………………………13分 所以实数a 的取值范围为()2,+∞．………………………………………………………………14分。
广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题 (六)文科数学
广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题 (六)文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合A ＝{－2，－1,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则下列结论正确的是( A ) A ．(∁R B )∩A ＝{－2，－1,2} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0] C ．B ∩(∁R A )＝[0,1)∪(1,2)∪(2，＋∞) D ．A ∪B ＝{1,2}2.若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝( D )A ．－2B ．－12 C.12D ．2解析：(1＋b i)(2＋i)＝(2－b )＋(1＋2b )i 为纯虚数，则2－b ＝0且1＋2b ≠0，所以b ＝2.3.已知{a n }是等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 2)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( C )A ．4 B.14 C ．－4 D. －14解析：由a 1＝15，S 5＝55，得d ＝－2，所以k PQ ＝a 4－a 24－3＝2d ＝－4.4.在检查产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b )是其中一组，抽查出的个体在该组上频率为m ，该组上的频率分布直方图的高为h ，则|a －b |＝( B )A ．hm B.m h C.hmD ．h ＋m解析：因为频率分布直方图的高h ＝频率组距＝m |a －b |，所以|a －b |＝mh 。
5.已知不同直线a ，b 和不重合平面α，β，则a ∥b 的一个充分条件是( C )A ．a ∥α，b ∥αB ．a ∥α，b ∥β，α∥βC ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βD ．α⊥β，a ⊥α，b ∥β解析：因为a ⊥α，b ⊥β，α∥β，所以a ∥b ，故选C.6.设点P (t 2＋2t ，1)(t >0)，则|O P →|(O 为坐标原点)的最小值是( D )A ．3B ．5 C.3 D. 5解析：|OP →|2＝(t 2＋2t )2＋1＝t 24＋4t 2＋3≥5，当且仅当t ＝2时等号成立，所以|OP →|min ＝ 5.7.已知cos A ＋sin A ＝－713，A 为第二象限角，则tan A ＝( A )A ．－512B ．－125 C.125 D.512解析：利用勾股数52＋122＝132，由题意得sin A ＝513，cos A ＝－1213，所以tan A ＝－512.8.从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( B )A ．12B ．10C ．8D ．6解析：由题意得抛物线焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，由|PM |＝5，得P (4，±4)，S △MPF ＝12|PM |·|y p |＝10.9.已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0和直线l 2：x ＋y ＝0，设点P 到l 1与l 2的距离分别为d 1与d 2，记d ＝max{d 1，d 2}，那么当d ≥2时，点P 所在的区域是( D )A B C D解析：因为l 1与l 2的距离为2，由线性规划得，满足d ≥2的点P 所在的区域是图D. 10.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则( C ) A ．f (sin π6)<f (cos π6) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos2)>f (sin2)D ．f (cos 2π3)<f (sin 2π3)解析：由题意得函数图象为 因为sin π6<cos π6，sin1>cos1，|sin2π3|>|cos 2π3|，|sin2|>|cos2| 结合函数在x ∈[－1,1]上的单调性，排除得C.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，其中11－13为必做题，14－15为选做题，14－15题只需选做1小题．共20分．(一)必做题11.若框图所给的程序运行结果为S ＝41，那么判断框中应填入的关于i 的条件是 i ≤6？ .解析：即S ＝1＋2＋4＋7＋11＋16＝4112.若△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知m ＝(a ＋b ，c )，n ＝(a －b ，c －a )，若|m ＋n |＝|m －n |，则角B 的大小为 60° .解析：由|m ＋n |＝|m －n |，得m ·n ＝0，即(a ＋b )(a －b )＋c (c －a )＝0，得a 2＋c 2－b 2＝ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝60°.13.已知数组：(11)，(12，21)，(13，22，31)，(14，23，32，41)，…，(1n ，2n －1，3n －2，…，n －12，n 1)，…记该数组为：(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，…，则a 2012＝ 595. 解析：由排数的规律得1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2≥2012，计算得n ＝63且a 2016＝631，故a 2012＝595.(二)选做题(请考生在以下两个小题中任选一题做答)14.(几何证明选讲选做题)如图，过点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝ 75° .解析：因为PE 为圆O 的切线，则PE 2＝PB ·P A ，所以△PBE ∽△PEA ，故∠PED ＝∠CAP .又∠EPD ＝∠APC ，所以△PDE ∽△PCA ，所以∠PDE ＝∠PCA ，即∠PCE ＋∠AEB ＝180°－∠PCE ，又∠AEB ＝30°，得∠PCE ＝75°.15.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A ，B ，则|AB |＝ 23 .解析：在平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知|AB |＝2 3.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分12分)设函数f (x )＝23sin x cos x ＋m cos 2x ＋n ，且f (0)＝2＋n ，其中m ，n 为常数． (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求n 的值．解析：(1)由f (0)＝2＋n ，得m ＝2，则(2分) f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋n ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＋n ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋n .(5分)若f (x )单调递减，则2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的递减区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．(8分)(2)当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6，则2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取到最小值，(10分)即2sin(2×π2＋π6)＋n ＋1＝－2，所以n ＝－2.(12分)17.(本小题满分13分)(1)在区间[0,4]上随机取出两个整数m 、n ，求关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率；(2)在区间[0,4]上随机取两个数m 、n ，求关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率．解析：因为方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根，所以Δ＝n －4m ≥0.(1)由于m 、n ∈[0,4]，且m ，n 是整数，因此，m 、n 的可能取值共有25组，(2分)又满足n ≥4m 的分别为⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0n ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0n ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝4，共6组，(4分)因此有实数根的概率为625.(5分)故在区间[0,4]上随机取出两个整数m ，n ，则关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率为625.(6分)(2)如图，由于⎩⎪⎨⎪⎧0≤m ≤40≤n ≤4对应的区域面积为16，(8分)而不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n －4m ≥00≤m ≤40≤n ≤4，表示为阴影部分区域，面积为2.(10分)因此有实数根的概率为S 阴影S 正方形＝18.(12分)故在区间[0,4]上随机取两个数m ，n ，则关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率为18.(13分)18.(本小题满分13分) 已知直三棱柱的正视图、侧视图和直观图如下图所示，其中侧视图是边长为2的正三角形，正视图是矩形且AA 1＝3，设D 为AA 1的中点．正视图 侧视图 直观图(1)请画出该直三棱柱的俯视图，并求其体积； (2)求证：平面BB 1C 1C ⊥平面BDC 1；(3)BC 边上是否存在点P ，使AP ∥平面BDC 1？若不存在，请说明理由；若存在，请证明你的结论．俯视图解析：(1)俯视图如右图所示(2分)因为几何体的底面积S＝3，高h＝3，所以所求体积V＝3 3.(5分)(2)证明：连接B1C，BC1，且交于E点，则E为B1C、BC1的中点，连接DE.又因为AD＝A1D，AB＝A1C1，∠BAD＝∠DA1C1＝90°，所以△ABD≌△A1C1D，则BD＝DC1，故DE⊥BC1.(8分)同理DE⊥B1C.又B1C∩BC1＝E，则DE⊥平面BB1C1C，又DE⊂平面BDC1，则平面BDC1⊥平面BB1C1C.(10分)(3)在BC上存在点P，使得AP∥平面BDC1，此时P为BC中点，(11分)证明：连接PE，则PE∥AD，且PE＝AD，所以四边形APED为平行四边形，则AP瘙 綊 DE ，(12分)又DE ⊂平面BDC 1，AP ⊄平面BDC 1，所以AP ∥平面BDC 1.(13分) 19.(本小题满分14分)已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足OA →＋OB →＝0(O 为坐标原点)，AF 2→·F 1F 2→＝0，若椭圆的离心率等于22；(1)求直线AB 的方程；(2)若|AB |＝23，设P 为椭圆上不同于A 、B 的动点，求△P AB 的面积的取值范围． 解析：(1)由题意得a ＝2b ＝2c .(1分)设A 点坐标为(x 0，y 0)，因为AF 2→·F 1F 2→＝0，所以AF 2⊥F 1F 2.将x 0＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 0＝b 2a ＝22c ，所以k OA ＝22.(4分)又OA →＋OB →＝0，则A ，O ，B 三点共线，所以直线AB 方程为y ＝22x .(5分)(2)因为|AB |＝2|OA |＝23，所以|OA |2＝c 2＋c 22＝32c 2＝3.则c 2＝2＝b 2，得a 2＝4，故椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(8分)设平行于直线AB 的直线l ：y ＝22x ＋m 与椭圆相切，则联立消去y ， 得x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，由Δ＝2m 2－4(m 2－2)＝0，得m ＝±2.(11分) 平行直线AB 与l 间的距离为d ＝263，△P AB 面积的最大值为12|AB |·d ＝2 2.所以△P AB 的面积的取值范围为(0,22]．(14分)20.(本小题满分14分)设函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝a 2x 2.(1)若函数y ＝f (x )图象与直线2x －y －1＝0相切，求a 的值；(2)是否存在正实数a ，使f (x )≤g (x )对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：(1)f ′(x )＝a ＋1x，(1分)设切点为P (x 0，y 0)，由题意得f ′(x 0)＝a ＋1x 0＝2, ①(2分)由①知x 0＝12－a ，2x 0－ax 0＝1，又因为y 0＝ax 0＋ln x 0＝2x 0－1，(4分) 消去x 0，得ln 12－a＝0，所以a ＝1.(6分)(2)假设存在正数a ，令F (x )＝f (x )－g (x )(x >0)，f (x )≤g (x )对一切正实数x 都成立，则F (x )max ≤0(x >0)， 由F ′(x )＝a ＋1x －2a 2x ＝0，得x ＝1a.(8分)当x >1a 时，F ′(x )<0，故F (x )为减函数；当0<x <1a 时，F ′(x )>0，故F (x )为增函数．(10分)所以F (x )max ＝F (1a )＝ln 1a ，(12分)由ln 1a≤0，得a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞)．(14分) 21.(本小题满分14分)已知正项数列{a n }的首项为1，且对任意n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.数列{a n }的前10项和为55.(1)求数列{a n }的通项公式，并加以证明；(2)设数列{a n }满足x n ＝(1＋1a 2n )(1＋1a 2n ＋2)…(1＋1a 4n －2)(1＋1a 4n )，证明：14n ＜x n －2＜2n . 解析：(1)因为1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1， ① 所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2， ②②－①得，1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－na 1a n ＋1，(2分)因为数列的各项均不为0，所以a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2, ③ 将n 换成n －1，得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1, ④由③④，得(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝na n －(n －1)a n ＋1，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 所以，数列{a n }成等差数列．(4分)因为a 1＝1，S 10＝10a 1＋45d ＝55，所以d ＝1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(5分) (2)由(1)得x n ＝(1＋1a 2n )(1＋1a 2n ＋2)…(1＋1a 4n －2)(1＋1a 4n )＝(2n ＋1)(2n ＋3)…(4n －1)(4n ＋1)(2n )(2n ＋2)…(4n －2)(4n ).利用不等关系(x ＋1)(x －1)＜x 2， 得(2n ＋1)(2n ＋3)＜(2n ＋2)2， (2n ＋3)(2n ＋5)＜(2n ＋4)2， …(4n －3)(4n －1)＜(4n －2)2， (4n －1)(4n ＋1)＜(4n )2，将这些不等式相乘得(2n ＋1)(2n ＋3)2…(4n －1)2(4n ＋1)＜(2n ＋2)2(2n ＋4)2…(4n －2)2(4n )2，于是x 2n <(2n ＋1)(4n ＋1)(2n )2＝8n 2＋6n ＋1(2n )2<8n 2＋8n (2n )2＝2＋2n.⑤(8分)又利用不等关系(x ＋1)(x －1)＜x 2得(2n )(2n ＋2)＜(2n ＋1)2， (2n ＋2)(2n ＋4)＜(2n ＋3)2，…(4n －4)(4n －2)＜(4n －3)2， (4n －2)(4n )＜(4n －1)2，将这些不等式相乘得(2n )(2n ＋2)2…(4n －2)2(4n )＜(2n ＋1)2(2n ＋3)2…(4n －3)2(4n －1)2， 于是x 2n ＞(4n ＋1)2(2n )(4n )＝16n 2＋8n ＋18n 2＞16n 2＋8n 8n 2＝2＋1n. ⑥(11分)由⑥，得x 2n －2＞0，所以，x n －2＝x 2n －2x n ＋2＜x 2n －2＜2n (12分) 由⑤，得x 2n ＜2＋2＝4，所以x n ＜2，于是x n －2＝x 2n －2x n ＋2＞x 2n －22＋2＞1(2＋2)n >14n.(13分)综上，14n ＜x n －2＜2n .(14分)。
广东省广州市2012届高三第一次模拟考试数学(文)试题
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．23．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 4．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为 AB． C ．8 D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =，()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．89．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2α的值． 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10的概率．18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）证明△PBC 为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T <≤．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．11．0 12．[]0,1 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）()tan α=+π…………………………6分tan 2α==．…………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………9分 所以2cos 22cos 1αα=-………………………………11分132155=⨯-=-．…………………………12分解法2：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………5分()tan α=+π……………………6分tan 2α==．………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………10分 221tan 1tan αα-=+………………………11分 143145-==-+．…………………12分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．…11分所以所求概率为()715P M =．……………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………2分 记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =， 所以AC BE ⊥．因为AB BC ==，4=AC ，所以BE ===4分所以△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=5分 因为2=PD ，在Rt △PBD 中，因为90PDB ∠=o ，2PD =，BD =，所以PB ===12分在PBC∆中，因为BC=PB =PC =，所以222BC PB PC +=．……………………13分所以PBC∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列{}n a 是等差数列，所以()11n a a n d =+-，()112n n n S na d -=+．………………1分 依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩……………3分 解得16a =，4d =．……………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*n ∈N ）．…………………………6分 （2）证明：由（1）可得224n S n n =+．……………………………………………………………………7分所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭．……8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭当0a =时，()0f x '≤，函数()f x 没有单调递增区间；……………………2分 当0a >时，令()0f x '>，得203a x <<． 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………3分 当0a <时，令()0f x '>，得203ax <<． 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………4分综上所述，当0a =时，函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………5分因为对任意[]3,4a ∈，3427a b >-恒成立，所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭．………………13分所以实数b 的取值范围是()4,0-．……………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b=．所以双曲线C的方程为2214yx-=．………………………3分证法2：设点11(,)P x y、22(,)T x y（0ix>，0iy>，1,2i=），则111APykx=+，221ATykx=+．……………………4分因为AP ATk k=，所以121211y yx x=++，即()()2212221211y yx x=++．…………5分因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以221114yx-=，222214yx+=．即()221141y x=-，()222241y x=-．……………6分所以()()()()22122212414111x xx x--=++，即12121111x xx x--=++．…………7分所以121x x⋅=．………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--． 因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，。
广东省广州市2012届高三数学一模考试(文)
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学试题(文科)本试卷共21小题，满分为150分.考试用时120分钟. 2012年3月15日注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答、漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式1V=Sh3，其中S为锥体的底面面积，h为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给了的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、函数1y=x+1的定义域为为A.(－∞，－1]B. (－∞，－1)]C.[－1，+∞)D.(－1，+∞)2、已知复数a+bi =i(1－i)，(其中a，b∈R，i是虚数单位)，则a+b的值为A.－2B.－1C.0D. 23、如果函数πf(x)=sin(ωx+)6(ω>0)的最小正周期为2，则ω的值为A.1B.2C.4D.84、在△ABC中，∠ABC=600，AB=2，BC=3，在BC上任取一点D，使△ABD 为钝角三角形的概率为A.16B.13C.12D.235、如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为A.433B.43C.8D.126、在平面直角坐标系中，若不等式组x y 20x y 20x t +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域的面积为4， 则实数t 的值为A.1B.2C.3D.4 7、已知幂函数22m 6y =(m 5m+7)x--在区间(0，+∞)上单调递增，则实数的值为A.3B.2C.2或3D.－2或－38、已知两个非零向量a 与b ，定义|a b ||a ||b |sin ⨯=θ ，其中θ为a 与b的夹角，若a (34)=- ，，b (02)= ，，则|a b |⨯的值为 A.－8 B.－6 C.6 D.89、已知函数f(x)=2x+1，对于任意正数a ，|x 1－x 2|<a 是|f(x 1)－f(x 2)|<a 成立的，A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既充分也不必要条件 10、已知圆O ：x 2+y 2=r 2，点P(a ，b)(ab ≠0)是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为l 1，直线l 2的方程为ax+by+r 2=0，那么A. l 1∥l 2，且直线l 2与圆O 相离B. l 1⊥l 2，且直线l 2与圆O 相切C. l 1∥l 2，且直线l 2与圆O 相交D. l 1⊥l 2，且直线l 2与圆O 相离 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. (一)必做题：(11～13题)11、若函数f(x)=ln(x 2+ax+1)是偶函数，则实数a 的值为 .12、已知集合A={x|1≤x ≤3}，B={x|a ≤x ≤a+3}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为 . 13、两千年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石能排列成的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角星数，其中第1个五角星数记作a 1=1，第2个五角星数记作a 2=5，第3个五角星数记作a 3=12，第4个五角星数记作a 4=22，…，若按此规律继续下去，则a 5=______，若a n =145，则n= .22俯视图图12正(主)视图222侧(左)视图22(二)选做题：(14—15题，考生只能从中选做一题)14、(几何证明选讲选做题)如图3，圆O 的半径为5cm ， 点P 是弦AB 的中点，OP=3cm ，弦CD 过点P ，且 CP ：CD=1：3，则CD 的长为 cm.15、(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：x =1+sy =1s⎧⎨-⎩ (s 为参数)和C ：2x =t +2y =t ⎧⎨⎩(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|=_______. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16、(本小题满分12分) 已知函数πf(x)=tan(3x +)4.(1)求πf()9的值； (2)若απf(+)=234，求cos2α的值.17、(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，...， [90，100)后得到如图4的频率分布直方图. (1)求图中的实数a 的值；(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； (3)若从数学成绩在[40，50)与[90，100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.频率/组距a 0.025B AC D O 图3……1 5 1222图218、(本小题满分14分)如图5所示，在三棱锥P-ABC 中，AB =BC =6，平面PAC ⊥平面ABC ，PD ⊥AC 于点D ，AD=1，CD=3，PD=2.(1)求三棱锥P-ABC 的体积； (2)证明：△PBC 为直角三角形.19、(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的公差为d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5=70，且a 2，a 7，a 22成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列n1{}S 的前n 项和为T n ，求证：n 13T 68≤<.20、(本小题满分14分)已知函数f(x)=－x 3+ax 2+b (a ，b ∈R). (1)求函数f(x)的单调递增区间；；(2)若对任意a ∈[3，4]，函数f(x)在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围.B AC P D图521、(本小题满分14分)已知椭圆22y x +=14的左右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心率为5的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T. (1)求曲线C 的方程；(2)设点P 、T 扥横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1·x 2 =1；(3)设△TAB 与△POB(其中O 为坐标原点)的面积分别为S 1，S 2，且PA PB 15⋅≤ ，求S 12－S 22的取值范围.2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)试题参考答案及评分标准说明：1、参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2、对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCBCBACBA二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每 小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13 题仅填对一个，则给3分.11、0； 12、[0，1]； 13、35，10； 14、62； 15、2. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、(本小题满分12分) 已知函数πf(x)=tan(3x +)4.(1)求πf()9的值； (2)若απf(+)=234，求cos2α的值. (本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力) (1)解：πππf()=tan(+)934……1分ππtan+tan 34=ππ1tan tan34-⋅ ……3分 3+1=2313=---. ……4分(2)解法1：απ3ππf(+)=tan(++)3444α ……5分 =tan(α+π) ……6分 = tan α=2. ……7分 所以sin α2cos α=，即sin α=2cos α， ① 因为sin 2α+cos 2α=1， ②由①、②得21cos α5=. ……9分 所以cos2α=2cos 2α－1 ……11分132155=⨯-=-. ……12分解法2：因为απ3ππf(+)=tan(++)3444α ……5分 =tan(α+π) ……6分= tanα=2. ……7分 所以cos2α=cos 2α－sin 2α ……9分2222cos αsin αcos αsin α-=+ ……10分 221tan α1tan α-=+ ……11分 143145-==-+. ……12分 17、(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，...， [90，100)后得到如图4的频率分布直方图. (1)求图中的实数a 的值；(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； (3)若从数学成绩在[40，50)与[90，100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.(本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力(1)解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1， ……1分 所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01) =1，解得a=0.03. ……2分 (2)解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的平频率为1－10×(0.005+0.01)=0.85. ……3分80 10070 90 60 50 40 频率/组距分数 a 0.0050.010 0.020 0.025 图 4O由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校 高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人. ……5分 (3)解：成绩在[40，50) 分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A 、B.……6分成绩在[90，100)分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C 、D 、E 、F.……7分若从数学成绩在[40，50)与[90，100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)， (B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)， (D ，F)，(E ，F)共15种. ……9分 如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100)分数段内， 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(A ，B)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F) 共7种. ……11分 所以所求的概率为7P(M)=15. ……12分 18、(本小题满分14分)如图5所示，在三棱锥P-ABC 中，AB =BC =6，平面PAC ⊥平面ABC ， PD ⊥AC 于点D ，AD=1，CD=3，PD=2. (1)求三棱锥P-ABC 的体积； (2)证明：△PBC 为直角三角形.(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)解：因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC∩平面ABC=AC ，PD ⊂平面 PAC ，PD ⊥AC ，所以PD ⊥平面ABC. ……2分 记AC 的中点为E ，在△ABC 中，因为AB=BC ，所以BE ⊥AC ， 因为AB =BC =6，AC=4，所以2222BE =BC CE (6)22-=-=， ……4分所以△ABC 的面积为ABC 1S =AC BE 222⨯⨯= ， ……5分 因为PD=2，BACPD图5所以三棱锥P-ABC 的体积为P ABC 142V =22233-⨯⨯=. ……7分 (2)证法1：因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形，因为PD=2，CD=3， 所以2222PC =PD CD 2313+=+=. ……9分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为∠BED=900， BE =2，DE=1，所以2222BD =BE DE (2)13+=+=.……10分 由(1)知PD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ， 在Rt △PBD 中，因为∠PBD=900，PD=2，BD =3，所以2222PB =PD BD 2(3)7+=+=. ……12分在△PBC 中，因为BC =6，PB =7，PC =13，所以BC 2+PB 2=PC 2，所以△PBC 为直角三角形. ……14分 证法2：连接BD ，在Rt △BDE 中，因为∠BED=900，BE =2，DE=1，所以2222BD =BE DE (2)13+=+=.……8分 在△BCD 中，CD=3，BC =6， BD =3，所以BC 2+BD 2=CD 2，所以BC ⊥BD. ……10分由(1)知PD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥PD ， 因为BC∩PD=D ，所以BC ⊥平面PBD ， ……12分 因为BC ⊂平面PBD ，所以BC ⊥PB ，所以△PBC 为直角三角形. ……14分 19、(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的公差为d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5=70，且a 2，a 7，a 22成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列n1{}S 的前n 项和为T n ，求证：n 13T 68≤<.(本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化BACPDEBACPDE的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解：因为{a n }是等差数列，所以a n = a 1+(n －1)d ，n 1n(n 1)S na 2-=+， ……1分依题意，有527222S 70a a a =⎧⎪⎨=⋅⎪⎩，即121115a 10d 70(a 6d)(a d)(a 21d)+=⎧⎨+=++⎩， ……3分 解得a 1=6，d=4. ……5分所以数列{a n }的通项公式为a n =4n+2(n ∈N*). ……6分 (2)证明：由(1)可得S n =2n 2+4n(n ∈N*). ……7分 所以2n 111111==()S 2n +4n 2n(n +2)4n n +2=-， ……8分 所以n 123n-1n11111T ...S S S S S =+++++ 1111111111[(1)()()...()()]432435n 1n 1n n 2=-+-+-++-+--++ 11113111[1]()42n 1n 284n 1n 2=+--=-+++++. ……10分 因为n 3111T ()084n 1n 2-=-+<++，所以n 3T 8<. ……11分因为n+1n 111T T ()04n 1n 3-=+>++，所以数列{T n }是递增数列，……12分所以n 11T T 6≥=， ……13分所以n 13T 68≤<. ……14分20、(本小题满分14分)已知函数f(x)=－x 3+ax+b(a ，b ∈R). (2)求函数f(x)的单调递增区间；；(2)若对任意a ∈[3，4]，函数f(x)在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围.(本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） (1)解：因为f(x)=－x 3+ax 2+b ，所以22a f (x)=3x +2ax =3x(x )3'---，……1分①当a=0时，f′(x)≤0，函数f(x)没有单调增区间； ……2分 ②当a>0时，f′(x)>0，得2a 0x 3<<，故函数f(x)的单调增区间为2a (0)3，；……3分③当a<0时，令f′(x)>0，得2a x 03<<，故函数f(x)的单调增区间为2a (0)3，； ……4分综上可知，当a=0时，函数f(x)没有单调增区间； 当a>0时，函数f(x)的单调增区间为2a (0)3，；当a<0时函数f(x)的单调增区间为2a (0)3， .……5分(2)解：由(1)知，a ∈[3，4]时，函数f(x)的单调增区间为2a (0)3，，单调减区间为2a ()3+∞，， .……6分所以函数f(x)在x=0出取得极小值f(0)=b ， .……7分函数f(x)在2a x 3=出取得极大值32a 4a f()=+b 327. .……8分 由于对任意a ∈[3，4]，函数f(x)在R 上都有三个零点，所以f(0)<02af()>03⎧⎪⎨⎪⎩， 即3b <04a +b >027⎧⎪⎨⎪⎩， ……10分 解得34a <b <027-. ……11分因为对任意a ∈[3，4]，34a b >27-恒成立，所以33max 4a 43b >[]42727⨯-=-=-.……13分所以实数b 的取值范围是(－4，0). 21、(本小题满分14分)已知椭圆22y x +=14的左右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心率为5的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T. (1)求曲线C 的方程；(2)设点P 、T 扥横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1·x 2 =1；(3)设△TAB 与△POB(其中O 为坐标原点)的面积分别为S 1，S 2，且PA PB 15⋅≤ ，求S 12－S 22的取值范围.(本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）(1)解：依题意可得，A(－1，0)、B(1，0)， ……1分 设双曲线C 的方程为222y x =1(b >0)b -，因为双曲线的离心率为5，所以21b 51+=，即b=2.所以双曲线C 的方程为22y x =14-. ……3分 (2)证法1：设点P(x 1，y 1)，T(x 2，y 2)，(x i >0，y i >0，i=1，2)，直线AP 的斜率为k(k>0)，则直线AP 的方程为y=k(x+1). ……4分联立方程组22y =k(x +1)y x +=14⎧⎪⎨⎪⎩， ……5分 整理，得(4+k 2)x 2+2k 2x+k 2－4=0，解得x=－1或，224k x =4+k-.所以2224k x =4+k -， ……6分同理可得，2124k x =4k+-， ……7分所以x 1·x 2 =1. ……8分 证法2：设点P(x 1，y 1)，T(x 2，y 2)，(x i >0，y i >0，i=1，2)，则1AP1y k =x +1，2AT2y k =x +1， ……4分 因为k AP = k AT ，所以1212y y =x +1x +1，即12222212y y =(x +1)(x +1)， ……5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以2211y x =14-，2222y x +=14，即y 12=4(x 12－1)，y 22=4(x 22－1)， ……6分所以122222124(x 1)4(1x )=(x +1)(x +1)--，即1212x 11x =x +1x +1--， ……7分 所以x 1·x 2 =1. ……8分 证法3：设点P(x 1，y 1)，则直线AP 的方程为11y y (x +1)x +1=. ……4分联立方程组1122y y (x +1)x +1y x +=14⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩， ……5分 整理，得[(x 1+1)2+y 12] x 2+2y 12x+ y 12－4(x 1+1)2=0，解得x=－1或221122114(x 1)y x =4(x 1)y +-++. ……6分将y 12=4(x 12－1)代入221122114(x 1)y x =4(x 1)y +-++，得11x =x ，即211x =x ，所以x 1·x 2 =1. ……8分(3)解：设点P(x 1，y 1)，T(x 2，y 2)，(x i >0，y i >0，i=1，2)， 则11PA (1x y )=--- ，，11PB (1x y )=-- ，， 因为PA PB 15⋅≤，所以(―1―x 1)( 1―x 1)+y 12≤15，x 12+y 12≤16，……9分 因为点P 是双曲线在第一象限内的点，所以1<x 1≤2. ……10分所以1221S =|AB ||y |=|y |2，21111S =|OB ||y |=|y |22，所以12212112222222221S S =y y (44x )(x 1)5x 4x 4--=---=--， ……11分由(2)知，x 1·x 2 =1，即211x =x ，设t= x 12，则1<t<4，12224S S =5t t---， 设4f (t)=5t t --，则224(2t)(2t)f (t)=1t t -+'-+=， 当1<t<2时，f ′(t)>0；当2<t<4时，f ′(t)<0，所以函数f (t)在(1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减. 因为f(2)=1， f(1)= f(4)=0，所以当t=4时，即x 1=2时，1222max [S S ]=f(4)0-=. ……12分当t=2时，即1x 2=时，1222max [S S ]=f(2)1-=. ……13分 所以S 12－S 22的取值范围为[0，1]. ……14分 说明：1212222212S S =5(x 4x )54x x 1--+≤-=，得[S 12－S 22]max =1，给1分.。
2012年高考数学 仿真模拟卷 文4 新课标版
2012届高考数学仿真模拟卷——新课标版（文4）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知p ：关于x 的不等式220x ax a +->的解集是,q R ：10a -<<，则p 是q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分有非必要条件2. 已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 的边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则2AGGD=”。
若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3. 已知定义域为R 的函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，当2x <时，()f x 单调递减，如果124x x +>且12(2)(2)0x x --<，则12()()f x f x +的值（ ） A ．等于0 B ．是不等于0的任何实数 C ．恒大于0D ．恒小于04. 若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值X 围是（ ） A ．（－2，2）B ．[－2，2]C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞5. 已知函数2()n f x x ax =+的导数'()23f x x =+，则数列1(*)()2n f n ⎧⎫∈⎨⎬+⎩⎭N 的前n 项和是（ ）A ．1nn + B ．12(1)n n -+C ．2(2)nn +D ．(1)(2)nn n ++6. 若tan 2θ=，则cos2θ的值为（ ） A ．－3B ．3C ．35-D ．357. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为（ ） A ．6πB ．3πC ．6π或56π D ．3π或23π8. 下列命题中：①一条直线和两条平行线都相交，那么这三条直线共面；②每两条都相交，但不共点的四条直线一定共面；③两条相交直线上的三个点确定一个平面；④空间四点不共面，则其中任意三点不共线.其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9. 设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使120AF AF ⋅=，且123AF AF =,则双曲线的离心率为（ ）A B C D 10. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分。
广东省2012年高考数学仿真模拟试题文科数学
广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：www ．gaokao8．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1． 若集合2{|4}M x x =>，{|13}N x x =<≤，则()R N M =I ð( )A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <2．在复平面内，与复数i+11对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3． “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A ． 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A ． lg y x =B ．tan y x =C ．3xy = D ．13y x =5．已知长方形ABCD 中，AB=4，BC=1，M 为AB 的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M 的距离小于1的概率为( )A ．4π B ．1-4π C ．8π D ．18π-6．若变量y x ,满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则y x z 2-=的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47． 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞8． 已知θ为锐角，向量(sin ,cos )a θθ=r ，(cos ,sin )b θθ=r， 若a b r rP ，则函数()sin(2)f x x θ=-的一条对称轴是( )A ．x π=B ．2x π=C ．4x π=D ．78x π=13211正(主)视侧(左)视俯视图9．已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( )A ．23B ．3C ．8D ．1610．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( )A ．20122012S =，20127a a <B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =-，20127a a >二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．已知1(,2)2a λλ→=+，(3,2)b λ→=，如果→a ⊥→b ，则实数λ= ．12．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的体积 ．13．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案， 则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖___________块．【选做题】（请在下列两题中任选一题作答）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，则曲线C 上的点到直线t ty tx (21⎩⎨⎧=+-=为参数）的距离的最小值为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O 中，90AOB ∠=︒，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为 ．A BODE二、解答题（本大题共6小题，共80分）． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+． （Ⅰ）求角A 的大小： （Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状．17．（本小题满分12分）某班主任对全班 50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.附：独立性检验的随机变量2K 的计算公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量．独立性检验的随机变量2K 临界值参考表如下：18． （本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．A BCDEF19．（本小题满分14分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ． K s 5u (Ⅰ) 若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ) 求()f x 的单调区间；(Ⅲ) 设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20． （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k g 为定值； （Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OP OMλ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21． （本小题满分14分）已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）若b>0，求证：111ni i i b b b =+<∑．广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题答案命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：www ．gaokao8．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．113--或 12． 2 13． 100 14．5554- ; 15． ．三、解答题（本大题共6小题，共80分）． 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2222cos b c a bc A +-=，又222b c a bc +=+∴1cos ,23A A π== ……………………………5分 （Ⅱ）∵222sin 2sin 122B C+=，∴1cos 1cos 1B C -+-= ……………………7分∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，∴22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=，∴1sin cos 122B B +=，∴sin()16B π+=， ∵0B π<<，∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形．……………………12分17．（本小题满分12分）解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==； ……………………5分 （2）由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>；………………10分所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系，即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作．……………………12分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．所以 四边形MNCD 是平行四边形，所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O =I ．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ，所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分 所以 ⊥FC 平面NED ，所以 FC ND ⊥．………………9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >，(1)(3)f f ''=，解得23a =． ……………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >． ……………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<， 在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ……………………6分 ②当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a． …………………7分K s 5u③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． ……………………8分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a．……………………9分 （Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <．……………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤．……………………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a ==---． 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ……………………13分综上所述，ln 21a >-． ……………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=，∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =又c e a ==a =，222abc =+，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22132x y +=． ……………………3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(A，B ， 则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1k =2k =K s 5u 即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----， ∴12k k g 为定值23-． ……………………6分 （Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈． 由已知222OPOM λ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈．……………………8分①当λ=26y =，所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；②当3λ≠时，方程变形为2222166313x y λλ+=-，其中[x ∈，当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤当13λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤ 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．……………………14分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+，所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=，所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以 11222n n n a -+=⋅=， 即21n n a =-． ……………………4分（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++．所以 22222()()()b b b b b b b +=++++，解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列；当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列．所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……………………9分（ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+； 所以 21n n n b b b +=-；所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=>L ；所以 11122311*********()()()n i i i n n n b b b b b b b b b b b =+++=-+-++-=-<∑L ．……………………14分。
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y=h(x)y=g(x)y=f(x)广东省2012届高三全真模拟卷数学文科4第I 卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ＝{x |x 2＜4，N ＝{x |x 2－2x －3＜0，则集合M ∩N ＝( ) A ．{x |x ＜－2 B ．{x |x ＞3} C ．{x |－1＜x ＜2 D ．{x |2＜x ＜3 2．已知为虚数单位, 则复数11ii-+的虚部为（ ） A. 0C. 1D.1-3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何 体的表面积为 A ．144 B ．124 C ．104 D ．844．在同一平面直角坐标系中，画出函数()3sin cos ,()sin(2)3cos(2),u x x x v x x x =-=+ ()2sin 2cos x x x ϕ=+的部分图像如下，则（ ） A ．()(),()(),()()f x u x g x v x h x x ϕ=== B ．()(),()(),()()f x x g x u x h x v x ϕ=== C ．()(),()(),()()f x u x g x x h x v x ϕ===D ．()(),()(),()()f x v x g x x h x u x ϕ===5. 设变量x y ，满足约束条件162x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z ＝xy 的取值范围为（ ）A ．[]2,8B ．352,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,9 D ．358,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．执行如图的程序框图，如果输入7p =，则输出的=S （ ） A ．6364 B. 12764 C. 127128 D. 2551287. 对任意实数,a 函数21y ax ax =++的图象都不经过点,P 则点P 的轨迹是（ ）A ．两条平行直线 B. 四条除去顶点的射线C. 两条抛物线D. 两条除去顶点的抛物线 8. 如下图所示，两射线OA 与OB 交于点O ，下列5个向量中，①2OA OB - ②3143OA OB + ③1123OA OB + ④3145OA OB + ⑤3145OA OB - 若以O 为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（ ）个. A ．1 B. 2 C. 3 D.49. 已知数列{}n a 满足1a a =，且111(1)2(1)n n n n n a a a a a +⎧->⎪=⎨⎪≤⎩，对任意的*N n ∈，总有3n n a a +=成立，则a 在(]0,1内的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知定义域为区间[]a b ，的函数()f x ，其图象是一条连续不断地曲线，且满足下列条件：①()f x 的值域为G ，且[]G a b ⊆，；②对任意不同的x 、[]y a b ∈，，都有()()f x f y x y -<-，那么函数()()g x f x x =-在区间[a ，b ]上（ ）A ．没有零点B. 有且只有一个零点C ．恰有两个不同的零点D ．有无数个不同的零点x第Ⅱ卷二.填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分。
11．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，调查了100名 同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方 图（如图）.则这100名同学中学习时间在6至8小时 的同学为 人.12. 设圆122=+y x 的切线与x 轴的正半轴,y 轴的正半轴分别交于点A ,B ，当||AB 取最小值时，切线的方程为 .13. 图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形。
在下图中，将第1个三角形的三边中点为顶点的三角形着色,将第(N )k k *∈个图形中的每个未着色三角形的三边中点为顶点的三角形着色,得到第1k +个图形, 这样这些图形中着色三角形的个数依次构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的通项公式为 .14. 由函数()ln f x x x x =-的图像在点(e,(e))P f 处的切 线,l 直线1e ,x -=直线e x =（其中e 是自然对数的底 数）及曲线ln y x =所围成的曲边四边形(如图中的阴 影部分)的面积S = .15.（在给出的二个题中，任选一题作答. 若多选做，则 按所做的第一题给分）（1）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线2cos 2sin ρθθ=的焦点的极坐标为.（2）（不等式选讲）若不等式)0(>≥+a x a x 的解集为}|{n x m x ≤≤，且a n m 2||=-，则a 的取值集合为 .三.解答题：本大题共75分。
其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 16．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求表达式sin cos cos sin B Ct B C+=+的取值范围．17．（本小题满分12分）已知四棱锥ABCD P -（如图）底面是边长为2的正方形.⊥PA 平面ABCD ，2PA =，M ,N 分别为AD ,BC 的中点，PD MQ ⊥于Q .（Ⅰ）求证：平面PMN ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角Q MN P --的余弦值.18．（本小题满分12分）某投资公司在2011年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115．（Ⅰ）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （Ⅱ）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？ （参考数据：lg 20.3010=，lg 30.4771=）19．（本小题满分12分）已知函数32()(1)(5)f x x k x k x =+-++，其中k ∈R ． （I ）若函数()f x 有三个不同零点，求k 的取值范围；（II ）若函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，求k 的取值范围.20.（本题满分13分）如图, 双曲线2212:14x y C b -=与椭圆2222:1(02)4x y C b b+=<<的左、右顶点分别为1A 、2,A 第一象限内的点P 在双曲线1C 上，线段OP 与椭圆2C 交于点,A O 为坐标原点. （I ）求证：1212AA AA PA PA k k k k ++为定值（其中1AA k 表示直线1AA 的斜率，2AA k 等意义类似）；（II ）证明：2OAA ∆与2OA P ∆不相似. （III）设满{}{}22222(,)1,R ,R (,)0,R ,R443x y x y x y x y x y x y m-=∈∈⊆->∈∈的数m 的最大值是b ，求b 的值；21．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 和n S 满足：11,S =-121(N ),n n S S n *++=-∈数列{}n b 的通项公式为34(N ).n b n n *=-∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）试比较n a 与n b 的大小；（III ）某圆的圆心C 在x 轴上，问点列{}111222(,):(,),(,),,(,),n n n n n n A b a A b a A b a A b a中是否至少存在三点落在圆C 上?说明理由.参考答案 第I 卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 【答案】C【解析】(2,2),(1,3),(1,2)M N M N =-=-=-.2．【答案】D【解析】21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2---===-++- 3．【答案】A【解析】如图，此几何体是正四棱锥，其底面边长为8，侧面的斜高为5,从而表面积为188485144.2⨯+⨯⨯⨯=4．【答案】D【解析】由π()),()),())4u x x v x x x x αβϕ=+=+=+知函数(),(),()u xv x x ϕπ,π,2π.对照图形便知选D. 5. 【答案】C【解析】如图，可行域为ABC ∆的边界及内部，双曲线 xy z =点时29.z ≤≤ 6. 【答案】C 【解析】2771111127()()12222128S =+++=-=7. 【答案】B【解析】设(,)P x y ，则对任意实数,a 函数21y ax ax =++的图象都不经过点P ⇔关于a 的方程2()1a x x y +=-没有实数解200110x x x y y =⎧+=⎧⇔⇔⎨⎨≠-≠⎩⎩或1.1x y =-⎧⎨≠⎩ 所以点P 的轨迹是除去两点(0,1),(1,1)-的两条平行直线0x =与 1.x =-8. 【答案】 A【解析】设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，则存在实数[]0,1,t ∈使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1,r ≥使得OM rON =，从而(1),(1)1OM rtOA r t OB rt r t r =+-+-=≥，且,(1)0rt r t -≥.只有②符合.9. 【答案】B【解析】(]120,1,2.a a a a =∈=①若(]23418,0140,,20,1,4,.11121,442a a a a a a a a a a ⎧<≤⎪⎪⎛⎤∈=∈==⎨ ⎥⎝⎦⎪-<≤⎪⎩由41a a a ==得1142a <≤，且114a a -=，故12a =，此时经检验对任意的*N n ∈，总有3n n a a +=.②若(]23411131,1,21,2,1,,2.2224a a a a a a a⎛⎤⎛⎤∈=∈=-∈=- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ 由41a a a ==得1a =，此时经检验对任意的*N n ∈，总有3n n a a +=. 故12a =或1a =. 10．【答案】B【解析】由①知()()0,()()0.g a f a a a a g b f b b b b =-≥-==-≤-=设12a x x b ≤<≤，由②知2121221121()(),()(),()().f x f x x x f x x f x x g x g x -<--<-< 函数()g x 在区间[a ，b ]上是减函数，从而函数()g x 在区间[a ，b ]上有且只有一个零点。