函数单调性的应用
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用1. 引言1.1 介绍函数单调性的概念函数单调性是高中数学中一个非常重要的概念，它在分析函数性质、求解极值和解不等式等问题中具有重要作用。
所谓函数单调性，指的是函数的增减性质，也就是函数在定义域内是单调递增还是单调递减。
具体来说，如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a小于b时，有f(a)小于等于f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调递增的；如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a小于b时，有f(a)大于等于f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调递减的。
函数单调性的概念非常直观和易懂，通过观察函数的图像我们也可以很容易地判断函数的单调性。
在学习函数单调性的过程中，我们需要掌握函数单调性的定义与分类、判断函数的单调性的方法，以及函数单调性在求极值和解不等式中的应用。
函数单调性不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以在解决数学问题时提供重要的线索。
深入学习函数单调性是我们在高中数学学习中不可或缺的一部分。
1.2 为什么函数单调性在高中数学中重要函数单调性是研究函数变化规律的基本性质之一。
通过分析函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的增减性质，从而更深入地理解函数在数学中的应用。
在解决实际问题时，函数的单调性也是确定函数取值范围和变化趋势的重要依据。
函数单调性是高中数学中求解极值和解不等式的重要工具。
根据函数的单调性，我们可以快速判断函数的最大值和最小值，进而求解极值问题。
通过函数的单调性可以帮助我们求解各类不等式，从而更好地解决数学中的实际问题。
函数单调性也与函数的图像密切相关。
通过研究函数的单调性，我们可以更好地理解函数的图像特征，包括函数的上升和下降区间，极值点位置等，从而更好地描绘函数的图像。
函数单调性在高中数学中的学习与运用具有重要的意义，可以帮助我们更深入地理解函数的特性，解决实际问题，并为学习其他数学内容打下扎实的基础。
掌握函数单调性不仅可以提高数学学习的效果，也可以在以后的学习和工作中发挥重要的作用。
函数的简单性质-单调性
求最值
求函数最大值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最大值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最小值。
求函数最小值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最小值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最大值。
对于函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$，其导数为$f'(x) = 3x^{2} - 6x$。要使$f(x)$在区间$( - infty,a)$上是 增函数，需要满足$f'(x) > 0$，即$3x^{2} - 6x > 0$， 解得$x < 0$或$x > 2$。因此，当$a < 0$或$a > 2$ 时，函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$在区间$( infty,a)$上是增函数。
反例应用
在研究经济发展时，需要考虑到各种因素对经济的影响，包括政策、技术、人口等。通过 找到单调性的反例，可以更全面地了解经济发展的实际情况，为政策制定提供更有针对性 的建议。
06 习题与解答
习题
判断函数$f(x) = x^{2} - 2x$在 区间$( - infty,a)$上是减函数的
条件是什么？
单调性与奇偶性的关系
总结词
函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，而单调性是指函数值随自变量变化的 趋势。虽然奇偶性和单调性是函数的两种不同性质，但它们之间也存在一定的关系。例 如，奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，因此奇函数在对称轴两侧的单调性是一致
的。
详细描述
对于奇函数，如果它在某个区间内单调递增，那么它在该区间内关于原点对称的区间内 也单调递增；同样地，如果奇函数在某个区间内单调递减，那么它在该区间内关于原点 对称的区间内也单调递减。而对于偶函数，由于其图像关于y轴对称，因此偶函数在任
浅谈数学中函数的单调性及其应用
浅谈数学中函数的单调性及其应用浅谈数学中函数的单调性及其应用摘要函数的单调性是高一数学课程中所接触到的函数的第一个性质，单调性的判断（用定义证明一个函数的单调性、求复合函数的单调性）及其应用（包括利用单调性求解不等式、利用单调性求函数的值域、利用单调性求函数的最值等）在高中数学中的作用和地位是非常重要的，它可以和高中阶段的很多知识点联系在一起，出题的方式、解题的方法也是多种多样的。
下面就我个人的理解和掌握，对函数的单调性判断及利用函数的单调性求解不等式、利用单调性求最值和参量等问题，举些具有代表性的例子。
关键词：函数；单调性；数学前言函数单调性是中学数学的重要内容之一，是高考的热点，常作为高考压轴题的考查内容，比如，本文通过整理发现陕西近年的高考数学题呈现一个现象，即多次要用函数单调性去做一些较难层次的题，分别是求参数范围、解不等式、证明不等式等。
同时，新课标对于函数单调性的教学目标是，要求学生能够熟练掌握单调性概念的证明方法，并应用单调性来求解一些基础题。
不管是高考趋势，还是新课标所倡导的教学理念，都对学生学习函数单调性提出了较高层次的要求。
但由于函数单调性的证明和应用的复杂性，使得学生在学习和做题过程中存在很多困难，例如，通常掌握单调性的概念证明是远远不够的。
那么，就出现了一个问题，除了它的的概念，是否还有其他可以证明函数单调性的方法，同时这些方法可以用来解决高考题。
针对于以上提到的两点，本文选择了函数单调性的判断和应用进行研究。
函数的单调性，是函数在它的定义域或其子集内如何增减的刻画。
它是研究函数必不可少的内容，不论是现实生活，还是学习其它理论知识，单调性都是一个很有用的工具。
函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是种重要的数学思想。
而函数的单调性则是函数的一条重要性质，它是历年高考重点考查的重要内容，它的应用十分广泛。
通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些学问题,若解题中注意应用函数的单调性，合理巧妙地加以运用，定会带来快捷的解题思路，可以使问题的解决简捷明快。
考点04 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向(解析版)
专题二函数考点4 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向【方法点拨】一、函数单调性的判断及解决应用问题的方法1.判断函数单调性的常用方法(1)定义法；（2）图象法；(3)利用函数的性质“增+增=增，减+减=减”判断；(4)复合函数的单调性根据“同增异减”判断；(5)导数法2.求函数的单调区间先定定义域，在定义域内求单调区间.单调区间不连续时，要用“和”或“，“连接，不能用“U”连接.3.单调性的应用的三个方向(1)比较大小：将自变量转化到同一个单调区间内，利用函数的单调性比较大小；(2)解函数型不等式：利用函数单调性，由条件脱去“f”；(3)求参数值或取值范围：利用函数的单调性构建参数满足的方程(组)、不等式(组).【高考模拟】1．函数()||1f x x =-与()()2g x x x =-的单调递增区间分别为（ ） A ．[1，+∞)，[1，+∞) B ．(﹣∞，1]，[1，+∞) C ．(1，+∞)，(﹣∞，1] D ．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【答案】A 【分析】先对()f x ，()g x 进行化简，再求单调区间即可. 【解析】 解：()1,111,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()222()211g x x x x x x -=-==--， ()g x ∴在[)1,+∞上单调递增，故选：A.2．函数y =）A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D 【分析】求出函数y =y =.【解析】由题意，230x x +≥，可得3x ≤-或0x ≥，函数y =(][),30,-∞-⋃+∞，令23t x x =+，则外层函数y =[)0,+∞上单调递增，内层函数23t x x =+在上(],3-∞-单调递减，在[)0,+∞上单调递增，所以，函数y =(],3-∞-.故选：D. 【点睛】方法点睛：求解函数的单调区间一般有以下几种方法：一是图象法，主要适用与基本初等函数及其在基本初等函数的基础上进行简单变化后的函数以及分段函数，可以借助图像来得到函数的单调区间；二是复合函数法，主要适用于函数结构较为复杂的函数，采用换元的思想将函数解析式分解为多层，利用同增异减的原理来求解；三是导数法，对于可导函数，可以解相应的导数不等式来求解函数的单调区间.3．函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，则使得()3=-y f x 为增函数的区间为（ ） A ．()2,3- B ．()1,7-C ．()1,10-D ．()10,4--【答案】C 【分析】先将函数()3=-y f x 看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，再判断增区间即可. 【解析】函数()3=-y f x 可以看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，故由函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，得()3=-y f x 在区间()1,10-上是增函数. 故选：C.4．函数()2f x x x =-的单调减区间是（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,0-C ．[]0,2D ．[2,)+∞【答案】A 【分析】将函数写成分段函数的形式，即()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩再根据解析式得到函数的单调区间；【解析】()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩∴直接通过解析式，结合二次函数图象得：(,1),(2,)-∞+∞递增，在[]1,2递减，故选：A.5．函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4)上递减，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(,3]-∞- C ．(,5)-∞ D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的大小，列不等式可得a 的取值范围． 【解析】函数f(x)的对称轴是1x a =-，开口向上，则14a -≥，解得3a ≤- 故选：B6．若函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(0,)+∞ D ．(,0)-∞【答案】D 【分析】直接由单调性的定义求解即可 【解析】解：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，因为函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，所以12()()f x f x <，即22120ax ax ---<，所以221211()0a x x -<，21212212()()0x x x x a x x +-⋅<⋅， 因为120x x <<，所以210x x +>，210x x ->，22120x x ⋅>，所以0a <． 故选：D7．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】A【分析】求出二次函数的对称轴，根据单调区间与对称轴之间的关系建立条件，即可求出a 的取值范围． 【解析】 解：二次函数2()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴为2(1)(1)12a x a a -=-=--=-，抛物线开口向上，∴函数在(-∞，1]a -上单调递减，要使()f x 在区间(-∞，4]上单调递减， 则对称轴14a -， 解得3a-．故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数单调性与对称轴之间的关系是解决本题的关键． 8．“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x=-+单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】求出()y f x =的导函数，利用()y f x =单调递减，则()0f x '≤恒成立，求出m 的范围，比较所求范围和条件中给定范围的关系，得出结论. 【解析】 由221()f x m x x '=--，若函数()y f x =单调递减，必有当(0,)x ∈+∞时，2210m x x--≤恒成立，可化为2111m x ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，可得m 1≥．故“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x =-+单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 9．若函数2()1f x x =-的定义域是(﹣∞，1)∪[2，5)，则其值域为（ ） A ．(﹣∞，0)B ．(﹣∞，2]C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】分x<1和x ∈[2，5)两种情况，利用反比例函数的性质得出函数的值域． 【解析】由题意可得：当x<1时，则x ﹣1<0所以y ∈(﹣∞，0) 当x ∈[2，5)时，则x ﹣1∈[1，4)，所以y ∈1,22⎛⎤⎥⎝⎦所以函数的值域为1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦.故选：D.10．若关于x 的不等式342xx a+-在[0x ∈，1]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，1]2-B ．(0，1]C ．1[2-，1]D ．[1，)+∞【答案】D 【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【解析】解：由题意知，342xx a +-在(0x ∈，1]2上恒成立，设3()42x f x x =+-，则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222f x f ==+-=-=， 则1a ， 故选：D . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.11．若01m n <<<且1mn =，则2m n +的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．[3,)+∞C．)+∞D ．(3,)+∞【答案】D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=，再求其值域即得结果. 【解析】由01m n <<<且1mn =知，22m n m m +=+，故设()2(),01f m m m m+<<=， 设1201m m <<<，则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12120,01m m m m -<<<，即1222m m >，故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即12()()f m f m >， 函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减，2(1)131f =+=，故函数的值域为(3,)+∞. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <； （2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 12．函数()()2404xf x x x x x =++>+的最小值为（ ） A ．2 B ．103C ．174D ．265【答案】C 【分析】 令4t x x =+，利用基本不等式求得4t ≥，构造函数()1g t t t=+，证明出函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，由此可求得函数()f x 的最小值. 【解析】令4t x x =+，则21144x x t x x==++，因为0x >，所以44t x x =+≥=，又2414x y x t x x t =++=++，令()1g t t t=+，其中4t ≥， 任取1t 、[)24,t ∈+∞且12t t >，即124t t >≥，则()()()()()121221121212121212111t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 124t t >≥，120t t ∴->，121t t >，()()120g t g t ∴->，即()()12g t g t >，所以，函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，因此，()()min 1174444f xg ==+=. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．若函数1y ax =+在区间[]1,3上的最大值是4，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．1C ．3D ．1或3【答案】B 【分析】分0a >和0a <两种情况求解，0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，从而可求出其最大值，当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答案 【解析】解：当0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，则当3x =时，y 取得最大值，即314a +=，解得1a =；当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，则当1x =时，y 取得最大值，即14a +=，解得3a =舍去， 所以1a =， 故选：B14．函数2y ax =+在[1，2]上的最大值与最小值的差为3，则实数a 为（ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．3或-3【答案】D 【分析】讨论a 的取值，判断函数的单调性，求出函数的最值，作差即可求解. 【解析】解：①当0a =时，2=2y ax =+，不符合题意；②当0a >时，2y ax =+在[]1,2上递增，则()()2223a a +-+=，解得3a =； ③当0a <时，2y ax =+在[]1,2上递减，则()()2223a a +-+=，解得3a =-．综上，得3a =±， 故选：D ．15．已知函数24()2tx t f x x --+=+在区间[1,2]-上的最大值为2，则实数t 的值为（ ）A ．2或3B ．1或3C ．2D ．3【答案】A 【分析】 函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+，根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可. 【解析】 由题函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+ ()24422tx t f x t x x --+==-+++的最大值为4t -或1t -当41t t -≥-时，即52t ≤时，最大值42t -=解得：2t =；当41t t -<-时，即52t >时，最大值12t -=解得：3t = 综上所述：t 的值等于2或3. 故选：A 【点睛】解决本题的关键是利用单调性求出42t x -++的范围，再结合绝对值的性质进行求解. 16．若函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1[2，1)B ．1(0,)7C ．1[7，1)2D ．1[2，1]【答案】C 【分析】根据分段函数的值域为R ，具有连续性，由12log y x =是减函数，可得(21)3y a x a =-+也是减函数，故得210a -<，(21)231a a -⨯+-，可得答案. 【解析】解：函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ， 由12log y x =是减函数，(21)3y a x a ∴=-+也是减函数，故得210a -<， 解得：12a <， 函数()f x 的值域为R ，12(21)23log 21a a -⨯+=-，解得：17a. ∴实数a 的取值范围是1[7，1)2.故选：C .17．若函数()f x 是R 上的减函数，0a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2()()f a f a < B ．1()f a f a ⎛⎫<⎪⎝⎭C ．()(2)f a f a <D ．2()(1)f a f a <-【答案】D 【分析】根据函数单调性，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【解析】因为函数()f x 是R 上的减函数，0a >，A 选项，()21a a a a -=-，当1a >时，2a a >，所以2()()f a f a <；当01a <<时，2a a <，所以2()()f a f a >，即B 不一定成立； B 选项，当1a >时，1a a >，所以1()f a f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭；当01a <<时，1a a <，所以1()f a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即B 不一定成立；C 选项，0a >时，2a a >，则()(2)f a f a >，所以C 不成立；D 选项，()2221311024a a a a a ⎛⎫--=-+=-+> ⎪⎝⎭，则21a a >-；所以2()(1)f a f a <-，即D一定成立. 故选：D.18．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<- D ．(4)(0)(4)f f f <<-【答案】C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【解析】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换； （3）根据函数的单调性求得结果.19．若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则下列各式一定成立的是（ ） A ．()()06f f < B ．()()32f f -> C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【解析】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误； C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确； D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误； 故选：C20．设函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数，又若a R ∈，则（ ） A ．()()2f a f a >B ．()()2f a f a < C ．()()2f a a f a +<D ．()()211f a f +≤【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项的正误，利用函数的单调性可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项，取0a =，则2a a =，()()2f a f a ∴=，A 选项错误； 对于B 选项，取0a =，则2a a =，所以，()()2f af a =，B 选项错误；对于C 选项，取0a =，则2a a a +=，所以，()()2f a a f a +=，C 选项错误；对于D 选项，对任意的a R ∈，211a +≥，所以，()()211f a f +≤，D 选项正确.故选：D.21．函数()f x 的定义域为,(1)0,()f f x '=R 为()f x 的导函数，且()0f x '>，则不等式()()20x f x ->的解集是（ ）A ．(,1)(2,)-∞⋃+∞B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)(2,)+∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A 【分析】依题意可得()f x 再定义域上单调递增，又()10f =，即可得到1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >；再分类讨论分别计算最后取并集即可；【解析】解：由题意可知()f x 在(),-∞+∞单调递增，又()10f =，1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >； 对于()()2 0x f x ->，当2x >时，不等式成立， 当12x <<时，()20, 0x f x -<>，不等式不成立； 当1x <时，20x -<，且()0f x <， 不等式成立不等式的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞ 故选：A .22．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭）A ．()6063,e +∞B ．()20210,eC ．()2021,e +∞D ．()60630,e【答案】D 【分析】由题意构造新函数()()xf x F x e =，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果 【解析】 由题可设()()x f x F x e=，'()()0f x f x ->，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e--==>， 所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e==，将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=， 可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，有1ln 20213x <，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60630,e ，故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()()xf x F x e =、()()F x xf x =或者()()f x F x x =等，需要结合条件或者问题出发进行构造.23．已知函数2()121xf x =-+，且()41(3)xf f ->，则实数x 的取值范围是（ ）． A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】D 【分析】用导数判断函数()f x 的单调性，再解不等式即可. 【解析】 因为()()22ln 2021x xf x -=<+'，所以函数2()121x f x =-+在R 上单调递减， 由于()41(3)xf f ->所以413x-<，得1x <故选：D 【点睛】关键点点晴：判断函数()f x 的单调性是解题的关键.24．已知定义在R 上的函数()f x 满足()13f =，对x ∀∈R 恒有()2f x '<，则()21f x x ≥+的解集为（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】B 【分析】构造新函数()()21F x f x x =--，利用导数判断()F x 单减，又(1)0F =可解1x ≤. 【解析】令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-， 又因为对x ∀∈R 恒有()2f x '< 所以()()20F x f x ''=-<恒成立， 所以()()21F x f x x =--在R 上单减. 又(1)(1)210F f =--=， 所以()0F x ≥的解集为(],1-∞ 故选：B 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式； (2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式； (4)解析式较复杂的不等式；25．已知函数f (x ) f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4) ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪(2,＋∞)B ．[2,6)C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦∪[2,6)D ．(0,6)【答案】C 【分析】由解析式知()f x 在定义域上递增，由已知函数不等式有2222544a a a a ≤-+<++，即可求解a 的取值范围. 【解析】由题意，()f x 在[2,)+∞上单调递增，∵22(254)(4)f a a f a a -+<++，即2222544a a a a ≤-+<++， ∴260a a -<或22520a a -+≥，可得26a ≤<或102a <≤. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.26．已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，则不等式(2)(1)f x f x >-的解集为__________． 【答案】1(,1)(,)3-∞-⋃+∞ 【分析】由题意可得()f x 为偶函数，再由偶函数的性质可将(2)(1)f x f x >-，转化为(2)(1)f x f x >-，再由当0x ≥时，()f x 单调递增，可得21x x >-，从而可求出x 的范围 【解析】解：依题意，()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递增，要满足(2)(1)f x f x >-，则要求21x x >-，两边平方得22412x x x >-+，即23210x x +->，即(1)(31)0x x +->，解得1(,1)(,)3x ∈-∞-⋃+∞． 故答案为：1(,1)(,)3-∞-⋃+∞．27．设()xf x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.【答案】()1,+∞ 【分析】先由()36f =，解出a ，讨论()xf x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【解析】因为()xf x a x =+，且()36f =，，所以33a =，解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+' ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为：21x x ->解得：1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为：()1,+∞ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；28．已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，则不等式(1)01f x x +≥-的解集为___________.【答案】[]3,1-- 【分析】先由定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，画出()f x 的草图，结合图像对(1)01f x x +≥-进行等价转化，解不等式即可.【解析】()f x 是定义域为R 的奇函数，且在区间(0,)+∞上为严格减函数，有()20f =，∴()f x 在区间(,0)-∞上为严格减函数且()20f =，可作出()f x 的草图：不等式(1)01f x x +≥-可化为：()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩或()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩对于()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩，当1x >时()12,10x f x +>+<，无解；对于()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩，当1x <时()12,10x f x +<+≤，由图像观察，210x -≤+≤解得：31x -≤≤- 所以不等式(1)01f x x +≥-的解集为[]3,1--.故答案为：[]3,1-- 【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．29．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R上恒成立，列不等式解得a 的范围. 【解析】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式.30．设函数3,1()1+1,1x x f x x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则不等式()26()f x f x ->的解集为_________．【答案】()3,2- 【分析】先判断函数的单调性，再解抽象不等式. 【解析】当1x >时，31+1y x x=-是增函数，此时1y >； 当1x ≤时， y x =是增函数，此时1y ≤， 所以函数()f x 是单调递增函数，()()2266f x f x x x ->⇔->，解得：32x -<<，所以不等式的解集是()3,2-. 故答案为：()3,2-。
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用【摘要】在高中数学中，函数单调性是一个重要的概念，对于学生来说是必须掌握的知识点。
本文从函数单调性的定义和分类入手，详细介绍了函数单调性在高中数学中的学习方法，以及如何应用函数单调性解决实际问题。
文章还探讨了函数单调性与数学建模的关系，并列举了一些函数单调性在高中数学考试中常见的题型。
通过阅读本文，读者将更好地掌握函数单调性的相关知识，提高解题能力和应用能力。
函数单调性不仅是数学学习的重要内容，也在数学建模和实际问题中发挥着重要作用，帮助我们更好地理解数学知识的实际应用。
学习和掌握函数单调性是高中数学学习中必不可少的一部分。
【关键词】函数单调性、高中数学、学习方法、应用举例、数学建模、考试题型1. 引言1.1 引言函数单调性在高中数学中是一个非常重要的概念，它不仅涉及到数学理论的学习，还可以在实际问题中得到应用。
在学习函数单调性的过程中，我们需要了解其定义及分类，掌握学习方法，探讨其应用举例，探讨与数学建模之间的联系，以及在高中数学考试中常见的题型。
通过深入学习这些内容，可以帮助我们更好地理解函数的性质，提高解题效率，拓展数学思维，培养数学建模能力。
2. 正文2.1 函数单调性的定义及分类函数单调性是高中数学中重要的概念之一，它描述了函数在一定区间内的增减趋势。
具体来说，一个函数在某个区间内是单调递增的，意味着函数的值随着自变量的增加而增加；而单调递减则表示函数的值随着自变量的增加而减少。
在函数单调性的研究中，我们通常将函数分为严格单调递增、严格单调递减、非严格单调递增、非严格单调递减四类。
首先是严格单调递增函数，其定义为在定义域内的任意两个不同的数x1和x2，都有f(x1) < f(x2)成立。
这种函数图像呈现为严陡的上升趋势。
严格单调递减函数则正好相反，任意两个不同的数x1和x2，都有f(x1) > f(x2)。
这样的函数图像呈现为严陡的下降趋势。
函数函数的单调性课件
定义法、导数法（对于可导函数） 。
复合函数的单调性例题解析
01
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复合函数单调性的概念、性质及判定方法
02 03
详细描述
复合函数单调性取决于内外层函数单调性的关系。若外层函数单调递增 （减），内层函数单调递增（减），则复合函数为单调递增（减）函数 。
判定方法
根据复合函数单调性的性质进行判断。
易错点提醒
在求解函数的单调性问题时，容易忽略函数的定义域、导数的正负与函数单调性的关系以及如何根据 题目要求进行分类讨论。同时需要注意极值点不一定是拐点，要根据题目要求进行求解。
THANKS
感谢观看
05
总结与回顾
函数单调性的定义与性质回顾
函数单调性的定义
函数在某区间上的单调性是指函 数在该区间内随着自变量的增加 ，函数值随之增加（或减少）。
函数单调性的性质
函数的单调性可以通过导数来刻 画，如果导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0 ，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的应用与解题技巧总结
详细描述
函数单调性可以用于优化问题、经济问题、交通问题等多个领域。例如，在投资决策中，通过观察股票价格的波 动和单调性，可以更好地把握投资机会。在交通规划中，通过观察交通流量的变化和单调性，可以更好地规划交 通路线。
04
函数单调性的例题解析
单调递增函数的例题解析
总结词
单调递增函数的概念、性质及判 定方法
03
函数单调性的应用
利用函数单调性求函数的值域
总结词
函数单调性是求解函数值域的重要工具。
详细描述
通过观察函数在定义域内的单调性，可以容易地求出函数的值域。例如，对于一 次函数，其在定义域内是单调的，可以直接根据定义域和单调性求出值域。对于 二次函数，可以通过观察其对称轴和顶点位置，结合单调性来求解值域。
函数的单调性及其应用
函数的单调性及其应用
函数的单调性是指函数在定义域内的取值增减情况。
具体地说，设函数$f(x)$在区间$I$内有定义，如果对于$I$内任意的$x_1$和
$x_2$，只要$x_1<x_2$，就有$f(x_1)<f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$内单调递增；如果对于$I$内任意的$x_1$和$x_2$，只要
$x_1<x_2$，就有$f(x_1)>f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$内单调递减。
应用方面，函数的单调性可以帮助我们判断函数的图像和性质，如：
1. 判断函数的最值及其取值范围：单调递增的函数在定义域内
最小值是在端点处取得，最大值是在定义域最大值处取得；单调递
减的函数则恰好相反。
2. 判断函数零点：若函数为单调递增，则只有一个零点；若函
数为单调递减，则只有一个零点。
3. 判断函数的奇偶性：若函数为奇函数，则当$x<0$时单调递减，$x>0$时单调递增；若函数为偶函数，则在整个定义域内都单调
递增或单调递减。
4. 判断函数解析式的符号：已知某函数在某区间单调递增或单
调递减，则我们可以根据函数图像的位置，得到函数解析式的符号。
函数单调性课件ppt
导数与函数单调性
01
02
03
导数大于0
函数在对应区间内单调递 增
导数小于0
函数在对应区间内单调递 减
导数等于0
函数可能存在拐点或不可 导点
复合函数的单调性
同增异减
内外层函数单调性相同，则复合 函数单调递增；内外层函数单调 性不同，则复合函数单调递减。
注意拐点
复合函数在拐点处可能改变单调 性。
常见函数的单调性
函数单调性课件
目录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的实例分析 • 函数单调性的综合练习
01
函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的 增减性。如果函数在某个区间内单调 递增，那么对于该区间内的任意两个 数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时 ，有$f(x_1) < f(x_2)$；反之，如果 函数在某个区间内单调递减，那么对 于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$，当$x_1 < x_2$时，有 $f(x_1) > f(x_2)$。
03
函数单调性的应用
利用单调性证明不等式
总结词
单调性是证明不等式的一种有效工具 ，通过比较函数在不同区间的增减性 ，可以推导出不等式的正确性。
详细描述
利用单调性证明不等式的基本思路是 ，首先确定函数在指定区间上的单调 性，然后根据单调性定义，比较函数 值的大小，从而证明不等式。
利用单调性求函数的极值
VS
单调性是函数的一种固有属性，与函 数的定义域和值域无关，只与函数的 增减性有关。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内单调递增的函数。对于任意两 个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$。
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用1. 引言1.1 引言在高中数学学习中，函数单调性是一个重要的概念。
它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在解决实际问题中也具有很大的应用价值。
本文将从函数单调性的概念入手，探讨在高中数学中函数单调性的学习与运用。
函数单调性是指函数在定义域上的增减性质。
在高中数学课程中，我们学习了很多种函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
了解这些函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质，进而解决各种数学问题。
在学习函数单调性时，我们需要掌握如何判断一个函数的单调性。
一般来说，可以通过求导数或者利用函数的增减性质来确定一个函数的单调性。
我们还需要注意函数在定义域上的特殊点，如奇点和间断点，这些点可能影响函数的单调性。
函数单调性在高中数学中有着广泛的应用。
比如在求函数的最值、解不等式、证明不等式等问题中，函数的单调性往往能起到关键作用。
在物理、化学等自然科学中，函数的单调性也常常被用来描述物理规律和现象。
2. 正文2.1 函数单调性的概念函数单调性是函数在定义域内具有特定的增减规律的性质。
简单来说，就是函数随着自变量的增大而增大，或随着自变量的减小而减小。
在数学中，函数单调性是对函数变化规律的一种重要描述，它能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
具体来说，函数的单调性分为严格单调和非严格单调两种。
严格单调是指函数在整个定义域内严格递增或严格递减，即任意两个不同的自变量对应的函数值之间的大小关系是确定的。
非严格单调则是指函数在整个定义域内递增或递减，但可以存在相等的情况。
函数单调性的概念为我们提供了研究函数的新视角，通过研究函数的单调性，我们可以得到函数图像的大致形状和变化规律。
这对于解题和分析问题都有重要意义。
在高中数学中，函数单调性是一个重要的概念，通过对函数单调性的学习和理解，我们可以更深入地掌握函数的性质和特点。
函数单调性是数学中一个基础而重要的概念，它在高中数学中具有重要的教学意义和应用价值。
函数的单调性的应用
2
f (u )的对称轴u 1 2 x x 1
2
u 2 x 的对称轴x 0
2
Y随x的变化如下表所示:
x
1 1 0
u
1 2 1
y
1 2 1 7
Y=g(x） 的单调性
7 6 7
6 7
0 1 1
ax+1 1 例5：讨论函数f(x)= (a )在(-2,+)上的单调性 x+2 2
总结：此函数以下单调规律： 两边为增，中间为减．
－a０ຫໍສະໝຸດ －a点拨:含参函数,不能化为基本函数类型，常采用定义 法解题.
例3.已知定义在(0,+)上的函数f(x)满足 : 对x,y (0,+)都有f(xy)=f(x)+f(y), 当x>1时,f(x)>0. 试证明:f(x)在(0,+)上是增函数
函数的单调性
１．函数单调性的判定． ２．函数单调性的证明． ３．函数单调性的应用．
一．函数单调性的判定方法：
１.利用已知函数的单调性 ２.利用函数图象 ３.复合函数的判定方法 ４.利用定义
例1.若函数f(x)在实数集上是减函数,求f(2x-x2) 的单调区间以及单调性.
例4：作出函数f(x)= x2 6 x 9 + x2 6 x 9 的图象，并指出函数f(x)的单调区间
分析：作出函数图象，直观地判断函数的单调区间 解： 原函数可化为： -2x f(x)=|x-3|+|x+3|= 6 2x x -3 -3<x<3 x3
Y=-2x 6 y
例2.函数g(x)在区间A上是增函数,函数f(x)在区间B上是 减函数,g(x) B,则f[g(x)]在区间A上是_________
函数单调性的应用
函数单调性的应用 The latest revision on November 22, 2020函数单调性的应用一、比较大小例1若函数f(x)＝x2＋mx＋n，对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)成立，试比较f(－1)，f(2)，f(4)的大小.解依题意可知f(x)的对称轴为x＝2，∴f(－1)＝f(5).∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)<f(4)<f(5)，即f(2)<f(4)<f(－1).评注(1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间.二、解不等式例2已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是增函数，且f(t－1)<f(1－2t)，求实数t的取值范围.解依题意可得解得0<t<.评注(1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式.(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围.(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错.三、求参数的值或取值范围例3已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围.解任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0.Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x－ax2)－(x－ax1)＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x－a).∵1≤x1<x2，∴x＋x1x2＋x>3.显然不存在常数a，使(x＋x1x2＋x－a)恒为负值.又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，∴必有一个常数a，使x＋x1x2＋x－a恒为正数，即x＋x1x2＋x>a.当x1，x2∈[1，＋∞)时，x＋x1x2＋x>3，∴a≤3.此时，∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0，即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴a的取值范围是(0,3].四、利用函数单调性求函数的最值例4已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；(2)当a＝时，求f(x)的最小值；(3)若a为正常数，求f(x)的最小值.解(1)当a＝4时，f(x)＝x＋＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6.(2)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数.∴f(x)min＝f(1)＝.(3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数.当>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，∴f(x)min＝f()＝2＋2.当≤1，即0<a≤1时，f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝a＋3.。
函数单调性的应用课件
1 1 解：由题意得 1, 即 1 0 x x x 1 0, 即x( x 1) 0 x x 0或x 1
考点二：利用单调性解不等式
变式训练3：(暂停2分钟，点播放后讲评)
已知函数f ( x)是定义在 (1,1)上的单调增函数， 解不等式f (2 x) f (1 x).
考点三：利用单调性求函数的最值
变式训练5：(暂停2分钟，点播放后讲评)
2
设函数f ( x) x 2ax 2, x [1,1],求f ( x)的最大值
解：f ( x) ( x a ) 2 a , x [1,1]
2 2
当a 0时，f ( x) max f ( 1) 3 2a; 当a 0时，f ( x) max f (1) 3 2a; 综上所述， f ( x) max 3 2a, a 0 3 2a, a 0
a 3 0 解：由题意得a 0 a 3 5 2 a
第二段函数 递减的条件
两段函数衔接点的 函数值大小关系
解得： 0a2
例2.若函数f ( x) x 2 2ax 3的单调减区间是 (,4]， 则实数a的取值情况是__________ ____
内容小结
1.利用单调性求参数的值（范围）； 2.利用单调性解不等式； 3.利用单调性求函数的最值；
定义法判断 函数单调性 利用单调性 确定最值
考点三：利用单调性求函数的最值
x 1 例4.已知函数 f ( x) , x [3,5], 求函数 f ( x)的最值 . 2 x
x 1 (2 x) 3 3 （法二）解： f ( x) 1 2 x 2 x 2 x 3 3 又 g ( x) 在[3,5]上是增函数 2 x x2 f ( x)在[3,5]上是增函数 分离常数， f ( x) max f (5) 2; f ( x) min f (3) 4.
函数单调性的七种应用
函数单调性的七种应用
一、内容提要如果函数f()对于区间(a,b)内任意两个值1和2,当1
如果对于区间(a,b)内任意两个值1和2,当1f(2),那么f()叫做在区间(a,b)内是单调减少的,区间(a,b)叫做函数f()的单调减少区间。
在其中一区间单调增加或单调减少的函数叫做这个区间的单调函数,
这个区间叫做这个函数的单调区间。
二、函数单调性的应用
函数的单调性既属于数学的基础知识,也是解决数学问题的重要工具。
许多数学问题,比如,确定参变量的范围、证明不等式、求解三角方程、高
次方程、超越方程、求解高难度的不等式,以及确定函数的周期,都要用到
函数的单调性。
上面我所提到的这些问题看上去用初等方法解决起来都较
为困难。
但是,如果采用函数的单调性来求解的话,那将变得很简单、可行。
三、例题分析
例1:f()=,其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2,如果f()当
∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
解:要使f()有意义必须且只须1+2+3…(n-1)+na>0恒成立,从而a>
①,令①右端为式g(),则g()在(-∞,1]上单调递增。
从而有
g()≤g(1),∈(-∞,1]而g(1)=
∴g()≤≤(∵n≥2)
由式①可得a>
例2:设00时,有f()在(0,1)上是增函数。
则f()0
解:改写原不等式为
()3+>3+5
令f()=3+5,则原不等式即为
f()>f()⑥
∵f()是实数集R上的单调增函数
∴不等式⑥等价于不等式>
解之得原不等式的解为-1。
函数单调性在生活中实际应用
函数单调性在生活中实际应用函数单调性在我们生活中有着广泛的应用，其中最常见的就是经济学中的供求关系。
例如在市场中，当价格上涨时，需求量会逐渐减少，反之价格下跌时，需求量会增加，这就是函数单调性的应用。
另外，函数单调性还可以应用在企业的生产管理方面，可以帮助企业确定生产规模，从而获取较大的经济效益，同时也可以有效的防止企业的生产成本过高。
此外，函数单调性也可以应用在社会管理方面，可以帮助政府有效的进行政策调整，以达到更好的社会效果。
例如，政府可以采取政策措施来控制房价，房价过高时政府可以采取控制房价的措施，从而降低房价；反之，如果房价过低时，政府可以采取政策手段来提高房价。
此外，函数单调性还可以应用在财政管理方面，可以帮助政府有效的调整财政支出和税率，从而获取较大的财政收入。
函数单调性作为一种运用自然现象的规律，其应用非常广泛，可以方便政府和企业更好的进行规划，实现更高效的管理。
此外，函数单调性也广泛应用在数学中，可以用来寻找极值点。
函数单调性可以帮助我们确定函数在某一点是最大值还是最小值，从而可以有效的计算函数的最大和最小值从而获得更好的结果。
因此函数单调性在解决数学难题方面也发挥着重要的作用。
另外，函数单调性在经济学的投资分析中也有重要作用，它可以帮助投资者对风险有效的进行评估和预测，以便于投资者采取更加谨慎的投资行为，从而获得最优投资收益。
总之，函数单调性在日常生活、社会管理、财政管理、数学以及投资分析中都发挥重要作用，它不仅可以帮助政府和企业更好的制定规划，同时也可以帮助投资者对风险有效的进行评估和预测。
此外，函数单调性在建筑设计、农业生产以及工程管理等领域也有着重要的作用。
在建筑设计中，函数单调性可以帮助建筑设计师确定合理的建筑尺寸，从而实现安全可靠的建筑设计。
在农业生产中，函数单调性可以帮助农民们确定合理的种植模式，从而最大化农作物的产量。
在工程管理中，函数单调性可以帮助工程管理者有效的完成复杂的工程，从而节约时间和金钱。
函数单调性的应用
y=2x+1
性质： (1)当k>0时， y随x的增大而增大； (2)当k<0时， y随x的增大而减小。
二次函数y=ax2+bx+c的单调性
a>0
y y
a<0
x 0 0
x
反比例函数
y
1
k y x
的单调性
y y1
1 y x1x1o Nhomakorabeax
x
－1
o
K>0
K<0
2 例1：(1)若函数 f ( x) 4x mx 5 m在 [2, ) 上是增 函数，在 (, 2] 上是减函数，则实数m的值 为 ； （2）若函数 f ( x) 4x2 mx 5 m在 [2, ) 上是增函 数，则实数m的取值范围为 ； f ( x) 4x2 mx 5 m的单调递增区间 （3）若函数 为 [2, ) ，则实数m的值为 ．
如果函数y=f(x)在区间M上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有严格的单调性， 区间M叫做函数y=f(x)的单调区间.
证明：函数f（x）＝－x3＋1在（－∞，＋∞）上是 减函数。 证明：设x1＜x2，则
x x2 x1 0
y f ( x2 ) f ( x1 ) x13 x23 ( x1 x2 )(x12 x1 x2 x22 )
1 2 3 2 ( x1 x 2 )[(x1 x 2 ) x 2 ]. 2 41 3 2 2 由x1＜x2，x1－x2＜0且 ( x1 x2 ) x2 ＞0 2 4
y 0
因此，f（x）＝－x3＋1在（－∞，＋∞）上是减函数。
一次函数y=kx+b的单调性
函数单调性的应用
2
a≥（2－a）×1＋1，
7. 已知函数 () = ቐ
( − 2), ≥ 2,
满足对任意的实数 1 ≠ 2 ，都有
− 1, < 2
13
(−∞, ]
8
(1 )−(2 )
< 0 成立，则实数 的取值范围为_______________.
1
( )
2
1 −2
2
1
，＋∞.
2
a（x＋2）＋1－2a
1－2a
方法二：f(x)＝
＝a＋
，∵f(x)在(－2，＋∞)上单调递
x＋2
x＋2
1
增，∴1－2a<0，∴a>2.
(1，2)
4. 已知函数 y＝loga(2－ax)在[0，
1]上是减函数，
则实数 a 的取值范围是________．
【解析】 设 u＝2－ax，∵a>0，且 a≠1，
2 − > 0,
[解析] 由已知可得 ൞ + 3 > 0,
解得 −3 < < −1 或 > 3 ，所以实数 的
2 − > + 3,
取值范围为 (−3, −1) ∪ (3, +∞) .
1
2. 已知函数 () 为 上的减函数，则满足 (| |) < (1) 的实数 的取值范围
− 2 < 0,
1 2
[解析] 由题意知函数 () 是 上的减函数，于是有 ൝
( − 2) × 2 ≤ ( ) − 1,
2
由此解得 ≤
13
13
，即实数 的取值范围是 (−∞, ] .
函数单调性及其应用
函数单调性及其应用
函数单调性是指函数在某个定义域内的取值随着自变量的增加或减少而单调递增或递减的特性。
如果函数在该定义域内只有单调递增或单调递减的情况，则称该函数具有单调性。
应用方面，函数单调性可以用于优化问题的求解、最大值和最小值问题的解决以及一些相关定理的证明。
常见的应用包括：
1. 优化问题的求解。
如果在某个定义域上，函数单调递增，则可以通过增大自变量的取值达到最大化函数值的目的；如果函数单调递减，则可以通过减小自变量的取值达到最大化函数值的目的。
2. 最大值和最小值问题的解决。
如果函数具有单调性，则可以通过确定其定义域上的边界值来确定函数的极值点。
3. 相关定理的证明。
函数单调性对于一些相关定理的证明具有十分重要的作用，例如拉格朗日中值定理和柯西-施瓦茨不等式等。
综上所述，函数单调性在数学领域中具有广泛的应用和重要的意义。
函数单调性及其应用的研究
函数单调性及其应用的研究
函数单调性指的是函数在其定义域上的增减性质。
具体来说，如果函数f的定义域上的任意两个自变量x1和x2满足x1<x2，则有f(x1)<f(x2)（即f单调递增），或者f(x1)>f(x2)（即f单调递减）。
如果函数既不单调递增也不单调递减，则称之为不单调。
函数单调性的研究在数学分析、微积分、数值分析、优化等领域中有着广泛的应用。
以下是一些具体的应用：
1. 函数单调性可以帮助我们确定函数的最值和极值，从而指导我们在实际问题中找到最优解。
2. 在微积分中，函数单调性可以帮助我们证明一些基本定理，例如中值定理、罗尔定理等。
3. 函数单调性还可以为数值计算提供依据。
如果我们知道函数f在一个区间上单调递增或递减，那么我们就可以使用二分法等技术来快速找到这个区间内的零点或极值点。
4. 在优化问题中，函数单调性可以帮助我们确定最优解空间的边界和方向，从而指导我们设计更加高效的优化算法。
总之，函数单调性是数学中一个非常重要的概念，它不仅可以帮助我们求解各种实际问题，还可以为理论研究提供有力的工具和方法。
函数的单调性的应用
y u,u 1 ,v x2 2x 3 v
在（-，-1）上v是减函数且u,v恒为正
在（3，+）上是增函数且u,
3
在（-，-1）上是增函数
在（3，+）上是减函数
y=
1 在（-，-1）上是增函数，
x2 2x 3
在（3，+）上是减函数
； 作文加盟品牌 作文培训机构加盟 小学生作文加盟 快乐作文培训加盟 作文班加盟 作文加盟排行榜 作文培训加盟哪家好 ；
解：先求定义域：
y f (u)
u 2x x2
u在（-，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数
而y=f(u)在R上是减函数
y f (2x x2 )在（-，1）上是减函数
在（1，+）上是增函数
例2：判断函数y
1 的单调性 x2 2x 3
解：定义域：x2 2x 3 0 x (, 1) (3, )
函数的单调性
１．函数单调性的判定． ２．函数单调性的证明． ３．函数单调性的应用．
一．函数单调性的判定方法：
１.利用已知函数的单调性 ２.利用函数图象 ３.复合函数的判定方法 ４.利用定义
例1.若函数f(x)在实数集上是减函数,求f(2x-x2) 的单调区间以及单调性.
例4：作出函数f(x)= x2 6x 9+ x2 6x 9 的图象，并指出函数f(x)的单调区间
分析：作出函数图象，直观地判断函数的单调区间
y
解： 原函数可化为：
-2x x -3
f(x)=|x-3|+|x+3|= 6 2x
-3<x<3 Y=-2x x3
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函数单调性的应用
作者：吕秀娟
来源：《教育教学论坛》2013年第40期
摘要：函数的单调性是函数性质中重要的性质之一，是历年高考重点考查内容，也是解决数学问题的有力工具，灵活运用函数的单调性，充分发挥它的功能可使我们达到事半功倍的效果，下面笔者从七个方面浅谈函数单调性的应用。
关键词：函数单调性；应用；方法
中图分类号：O174 文献标志码：A ？摇文章编号：1674-9324（2013）40-0089-02
一、利用函数单调性比较大小
例：比较log3（x+1）和log3（2x+3）的大小。
分析：从题设的两个对数，便联想起y=log3t在（0，+∞）上是单调增函数，因此，只须比较真数的大小，原题就获解。
解：由x+1>02x+3>0得x>-1。
当x>-1时，有0
二、利用函数单调性解不等式
例：已知函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x>0时f（x）f （x+4）。
分析：若函数f（x）在区间D上单调递增，则x1，x2∈D且f（x1）>f（x2）时，有
x1>x1。
若函数f（x）在区间D上单调递减，则x1，x2∈D且f（x1）>
f（x2）时，有x1
本题为抽象函数，故代入求值解不等式不可行，因此，利用上述函数单调性的这种可递性来解。
解：令x=y=0，则f（0）=0
令x=-y，可得f（-x）=-f（x）
在R上任取x1>x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）
∵x1>x2，∴x1-x2>0，又∵x>0时f（x）
即f（x1）-f（x2）f（x2）∴f（x）在R上单调递减。
由f（x2-2x）>f（x+4），得x2-2x
∴不等式解集为（-1，4）。
三、利用函数单调性求函数值域
例：求y=■-■的值域。
解：函数的定义域为[1，2]，显然函数在[1，2]上递增，∴值域为[-1，1]。
四、利用函数单调性求参数的取值范围
例：已知函数f（x）=x2+■（x≠0，常数a∈R），若函数在[2，+∞）上为增函数，求a的范围。
分析：已知函数在某区间上的单调性，求参数的取值范围的本质就是转化为不等式恒成立的问题。
解：f'（x）=2x-■≥0在[2，+∞）上恒成立，
即a≤2x3在[2，+∞）上恒成立，
∴a≤16，∴a的范围（-∞，16]。
五、利用函数单调性作图
例：画出函数，f（x）=■的图像。
解：∵f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，根据奇函数图像关于原点对称，只需画出（0，+∞）上的图像。
当x>0时，由f'（x）=■=0，得x=1，
∵x∈（0，1）时，f'（x）>0，∴f（x）在（0，1）上递增，
∵x∈（1，+∞）时f'（x）
当x→+∞时f（x）=■→0，又f（0）=0，综上可画出函数f（x）的图像。
六、构造函数判断单调性，再利用单调性解决相关问题
例：已知a>1且ax-logay>ay-logax，比较x、y的大小。
分析：根据题目的特点，构造适当的函数，利用它的单调性解题是一种常用的解题技巧。
解：由条件得ax+logax>ay+logay，构造函数f（t）=at+logat，则上式即为f（x）>f （y），显然f（t）=at+logat在（0，+∞）上是增函数，∴x>y。
七、函数单调性在数列中的应用
例：已知数列{an}中，an=■，Sn为其前n项和，求证Sn≥■。
分析：数列的通项公式是由一个等差数列和等比数列组合而成，我们可以先求出Sn，再证Sn≥■，但这样太过繁锁，故考虑利用函数单调性求解。
解：由错位相消法得Sn=■-■，当n≥2时，
Sn-Sn-1=-■+■=■>0
∴{Sn}为递增数列，∴Sn≥S1≥■。