微专题训练 教师版
微专题——离子浓度大小比较(教师版)
微专题——离子浓度大小比较知识点一：溶液中的三种守恒：以Na2S和NaHS溶液为例：1、电荷守恒：Na2S水溶液：[Na+]+[H+]=2[S2-]+[HS-]+[OH-]NaHS水溶液：[Na+]+[H+]=2[S2-]+[HS-]+[OH-]意义：溶液呈电中性，因此阴阳离子所带正负电荷总数相等。
写法：将溶液中所有阳离子浓度相加，等于溶液中所有阴离子浓度相加，其中每个离子浓度前的系数等于其所带电荷电量的绝对值。
特点：电荷守恒式只与溶液中离子种类相关，与浓度无关。
2、物料守恒：Na2S水溶液：[Na+]=2([S2-]+[HS-]+[H2S])NaHS水溶液：[Na+]=[S2-]+[HS-]+[H2S]意义：加入的物质中各种原子进入溶液后只是存在形态发生的改变，但数目守恒。
写法：观察加入的物质中非H、O元素的原子比例，将溶液中某原子的所有存在微粒浓度相加表示该原子的总浓度，再根据原加入物质中原子数目之比配平系数。
特点：不能以H、O原子书写物料守恒，因为水中有大量的H、O原子。
3、质子守恒：Na2S水溶液：[OH-]=[HS-]+2[H2S]+[H+]NaHS水溶液：[OH-]+[S2-]=[H2S]+[H+]意义：溶液中各微粒得质子（即H+）总数等于失去的质子总数。
写法：①将电荷守恒与物料守恒联立，约去[Na+]即可得到质子守恒式。
②将溶液中得到质子后形成的微粒浓度乘以得到质子的数目再相加，相当于于得质子总数；所有失去质子后得到的微粒浓度乘以失去的质子数再相加，相当于失去的质子总数；二者相等即可。
物理意义写法：(Na2S为例)得到的质子总数=n(HS -)+2n(H 2S)+n(H +)，失去的质子数=n(OH -)，二者相等。
再除以溶液体积即可得到质子守恒式知识点二：溶液中离子的浓度大小比较：1、弱酸溶液：0.1mol/L 的HAc 溶液中离子浓度由大到小的排列顺序是：（[HAc] >）[H +] >[Ac -] >[OH -]0.1mol/L 的H 2S 溶液中离子浓度由大到小的排列顺序是：（[H 2S] >）[H +] >[HS -] >[OH -]>[S 2-]（说明：H 2S 的二级电离常数太小，导致[OH -]>[S 2-]，如果是碳酸，则是[CO 32-]>[OH -]）2、一元弱酸的正盐溶液：0.1mol/L 的CH 3COONa 溶液中离子浓度由大到小的排列顺序是：[Na +] >[Ac -] >[OH -]>[H +]3、二元弱酸的正盐溶液：0.1mol/L 的Na 2CO 3溶液中离子浓度由大到小的排列顺序是：[Na +]>[CO 32－]>[OH －]>[HCO 3－]（>[H 2CO 3]）>[H +]（一步水解后产生等量OH -和HCO 3－，但后者还要水解，浓度会减小，故[OH －]>[HCO 3－]，溶液碱性，[H +]最小） （关于碳酸与氢离子浓度大小比较可以由1323[][][]k H HCO H CO +-=进行讨论，常温下k 1数量级是10-7，而[HCO 3-]接近[OH -]，一般大于这个值，因此整个分数小于1，故[H 2CO 3]）>[H +]）4、二元弱酸的酸式盐溶液：0.1mol/L 的NaHCO 3溶液中离子浓度由大到小的排列顺序是：[Na +]>[HCO 3－]>[OH －]（>[H 2CO 3]）>[H +]>[CO 32－]（水解大于电离，故水解产物（H 2CO 3、OH -）浓度大于电离产物（CO 32－、H +）浓度，水也电离，故[H +]>[CO 32－]）0.1mol/L 的NaHSO 3溶液中离子浓度由大到小的排列顺序是：[Na +]>[HSO 3－]>[H +]>[SO 32－] >[OH －]（>[H 2SO 3]）（电离大于水解，因此电离产物（SO 32－与H +）浓度大于水解产物（OH -）浓度，水电离导致，[H 2SO 3]最小）5、常见的混合溶液情况分析：① 混合后若反应，则先弄清反应后溶液中的溶质以及各溶质浓度，计算浓度时不要忘记体积的稀释效果； ② 混合溶液中物料守恒可能等式的一边以具体的浓度出现，要能看出来。
微专题03 病句辨析和修改(对点练习)(教师版)
微专题03 病句辨析和修改（对点练习）（教师版）一．选择题1.(2021·新高考Ⅰ)文中画波浪线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是( )元宵线上活动直播间里热闹非凡，一场关于党史知识和传统民俗知识的直播宣讲“圈粉”无数，辖区党员、青年志愿者以及现场观众络绎不绝地进入直播间，感受节日的欢快气氛。
宣讲员平易的话语、幽默的口吻以及宣讲内容十分接地气，导致收看直播的群众既听得进又记得牢。
A．宣讲员话语平易，口吻幽默，宣讲内容也十分接地气，这导致收看直播的群众既听得进又记得牢。
B．宣讲员话语平易，口吻幽默，宣讲内容也十分接地气，导致收看直播的群众既听得进又记得牢。
C．宣讲员平易的话语、幽默的口吻以及宣讲内容十分接地气，这使得收看直播的群众既听得进又记得牢。
D．宣讲员平易的话语、幽默的口吻以及十分接地气的宣讲内容，使得收看直播的群众既听得进又记得牢。
【答案】D【解析】原句有两处语病：一是“宣讲内容十分接地气”与前面的偏正结构不协调，排除C项；二是“导致”用词不当，“导致”往往用于不好的结果，排除A、B两项。
故选D。
2．(2020·全国Ⅱ)下面的句子有语病，修改最恰当的一项是( )对于文字本身来说，汉代学者总结的“六书”的方法在甲骨文基本都已出现，已经说明它是成熟的文字。
A．就文字本身来说，汉代学者总结的“六书”的方法在甲骨文基本都已出现，已经说明它是成熟的文字。
B．对于文字本身来说，汉代学者总结的“六书”的方法在甲骨文中基本都已出现，已经说明它是成熟的文字。
C．对于文字本身来说，汉代学者总结的“六书”的方法在甲骨文基本都已出现，说明它已经是成熟的文字。
D．就文字本身来说，汉代学者总结的“六书”的方法在甲骨文中基本都已出现，说明它已经是成熟的文字。
【答案】D【解析】原句有三处语病：一是“对于文字本身来说”句式杂糅，应改为“对于文字本身”或“就文字本身来说”；二是“在……”缺少搭配词语，成分残缺；三是“已经说明它是成熟的文字”中“已经”语序不当，应放到“它”的后面。
微专题2：函数与数列放缩(教师版)
<
<
<
+
=
(n ∈ N*)．
(n ∈ N*)
类型二：构造放缩函数
1.求证
：ln22
+
ln3 3
+
ln4 4
+
⋯
+
ln3n 3n
<
3n
−
5n+6 6
(n
∈
N
*).
解析:先构造函数有
lnx
≤
x
−
1
⇒
lnx x
≤
1
−
x1 ,
从而
ln2 2
+
ln3 3
+
ln4 4
+
⋯
+
ln3n 3n
<
3n
−
1
−
(
1 2
+
1 3
1 2n + 3
⋅
1 2n
=
1 (2n + 1) ⋅ 2n − 1
−
1 (2n + 3) ⋅ 2n
(9) 1 = k(n + 1 − k)
1 n+1−k
+
1 k
1 n+1
,
1 n(n + 1 + k)
=
1 k+1
1 n
−
1 n+1+k
(10)
n (n + 1)!
=
1 n!
−
1 (n + 1)!
南京零模考点回归 2：函数与数列放缩
零模引例：
22．(本小题满分 12 分)
柯西不等式微专题(教师版)
《柯西不等式》微专题二维形式的柯西不等式：若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+当且仅当a c =bd 时，等号成立。
ac bd ≥+ac bd ≥+柯西不等式的向量形式：设 ,αβ是两个向量，则αβαβ≤，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使得k αβ=时，等号成立。
三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当0(1,2,3)i b i ==，或a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3时，等号成立。
一般形式的柯西不等式：222222212121122(+)(+)(+)n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++………当且仅当0(1,2,n)i b i ==…，，或a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=an b n时，等号成立。
例1 已知,a b 为实数，证明：4422332()()()a b a b a b ++≥+ 【证明】4422222222222332()()[()()]()()()a b a b a b a b a a b b a b ++=++≥⋅+⋅=+ 例2.求函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值．【思维导图】变形→构造柯西不等式的形式→巧拆常数→凑出定值 【解析】函数的定义域为{x |1≤x ≤5}．y ＝5x －1＋25－x ≤52＋2x －1＋5－x ＝27×2＝63，当且仅当55－x ＝2x －1，即x ＝12727时取等号，故函数的最大值为6 3.例3 已知3x 2＋2y 2＝6，求证：2x ＋y ≤11.【思维导图】观察结构→凑成柯西不等式的结构→利用公式得出结论【证明】由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y )． 由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122(3x 2＋2y 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12×6＝116×6＝11，∴|2x ＋y |≤11， ∴2x ＋y ≤11.例4 设123,,x x x 为正数，求证：123123111()()9x x x x x x ++++≥ 【生】：动笔演算。
微专题09 逻辑推理+图文转换(对点练习)(教师版)
微专题09 逻辑推理+图文转换（对点练习）（教师版）一．逻辑推理1.（2022·全国乙卷）阅读下面的文字,完成题目。
近日,眼科门诊一连来了几名特殊患者,都是晚上熬夜看手机,第二天早上看不见东西了,这种疾病被称为“眼中风”。
“中风”一词原指脑中风,包括缺血性和出血性脑中风,近几年被引入眼科。
临床上,眼科医生把视网膜动脉阻塞这类缺血性眼病和视网膜静脉阻塞这类出血性眼病统称为“眼中风”。
“眼中风”是眼科临床急症之一,不及时治疗会导致严重的视力损害。
视网膜动脉阻塞有三种。
第一种是中央动脉阻塞,会造成患者视力丧失,甚至永久失明。
第二种是分支动脉阻塞,视力下降程度不像第一种那么严重,多表现为视野缺损。
第三种是睫状动脉阻塞,视力下降程度相对较轻微,经过治疗可能得到一定程度恢复。
视网膜动脉阻塞时,视网膜缺血时间越久,对视功能危害越大。
缺血超过90分钟,视网膜光感受器组织损害不可逆;缺血超过4小时,视网膜就会出现萎缩,即使恢复了血供,视力也很难恢复。
因此患者最好能在2小时内、最迟不超过4小时接受治疗,以尽可能保住自己的视力。
视网膜静脉阻塞主要表现为眼底出血,并由此导致视物模糊变形、视野缺损或注视点黑影等,不及时治疗也会导致严重后果。
“眼中风”因和脑血管疾病“中风”有诸多相似而得名。
与此类似,“打笔仗”源自“打仗”。
请简述“打笔仗”的含义并分析它得名的缘由。
“打笔仗”【答案】“打笔仗”就是用笔打仗,以写作的方式去进行评论或抨击。
得名缘由:“打笔仗”与“打仗”有诸多相似之处。
①都有对立的双方或多方,②都存在有争议的问题,③目的都是通过斗争以压倒对方。
【解析】“眼中风”与“中风”的相似之处在于,它们都与大脑血管或视网膜缺血或出血有关。
然后据此分析“打仗”和“打笔仗”的相似之处。
“打仗”是指站在对立面的双方或多方拿着武器互相攻击,目的是压倒对方。
再看“打笔仗”,就是持有不同观点的人以笔写文章进行论辩,目的是压倒对方。
微专题05 正确使用修辞(对点练习)(教师版)
微专题05 正确使用修辞（对点练习）（教师版）一．选择题1．(2022·全国甲)下列选项中，加点的词语和文中“槐蝉”所用修辞手法不同的一项是( ) 古代社会，槐树还是三公(太师、太傅、太保)宰辅之位的象征，并出现了一些由“槐”字构成的具有政治寓意的词，如槐岳(朝廷高官)、槐蝉(高官显贵)、槐第(三公的宅第)等。
槐树因此也受到读书人的喜爱。
A．主人下马客在船，举酒欲饮无管弦．．。
B．埋骨何须桑梓．．地，人生无处不青山。
C．六军不发无奈何，宛转娥眉．．马前死。
D．心非木石．．岂无感？吞声踯躅不敢言。
【答案】D【解析】文中的“槐蝉”运用了借代的修辞手法，代指高官显贵。
A项“管弦”代指音乐。
B项“桑梓”代指家乡。
C项“娥眉”代指美貌的女子，此处指杨贵妃。
D项运用了比喻的修辞手法，“人心”是本体，“木石”是喻体。
故选D。
2．文中使用了哪些修辞手法( )不同的书，会散发不同的馨香。
温婉雅致的散文集，是淡雅的康乃馨，散发着淡淡的清香，可以让我们的心沉静下来；观照古今的历史书，是一树的泡桐花，散发着浓郁的芳香，会让我们的心灵充满生命的热情；引人入胜的小说故事，是奔放的芍药，要与牡丹争高下，可以让我们的世界充满神秘的幻想；优美的诗歌，是清丽的茉莉，读过之后连鼻尖似乎都带着墨香，仿佛我们的身心都沐浴在清香之中……这些或淡雅或浓郁的书香，陪伴着我们每一段闲暇的时光，让那些入心的文字辗转在五脏六腑之中，成为我们心灵的一部分。
A．比拟比喻夸张B．比拟比喻排比C．对偶借代排比D．对偶借代夸张【答案】B【解析】“温婉雅致的散文集，是……；观照古今的历史书，是……；引人入胜的小说故事，是……”使用了排比的修辞手法。
“温婉雅致的散文集，是淡雅的康乃馨”“观照古今的历史书，是一树的泡桐花”“引人入胜的小说故事，是奔放的芍药”使用了比喻的修辞手法。
“引人入胜的小说故事，是奔放的芍药，要与牡丹争高下”使用了比拟的修辞手法。
语段中没有使用夸张、对偶、借代的修辞手法。
微专题——阿伏伽德罗常数(教师版)
微专题——阿伏伽德罗常数单位物质的量的物质含有的粒子数叫阿伏伽德罗常数，符号是N A，单位mol－1，它与0.012 kg 12C所含碳原子数相等，大约为6.02×1023。
阿伏伽德罗常数（N A）是历年高考的热点，经久不衰，常常在考题中有意设置一些极易疏忽的干扰因素。
在分析解答这类问题时，要特别注意。
一、阿伏伽德罗常数正误判断的注意以下几点：1．物质的状态：如水在标况下是为液体或固体、HF为液体； SO3在标况下是固体，通常状况下是液体；而CHCl3、戊烷及碳原子数大于五的低碳烃，在标况下为液态或固态。
在标准状况下，乙醇、四氯化碳、氯仿、苯、二硫化碳等物质都不是气态。
2．特殊物质分子中的原子个数，如稀有气体均为单原子分子，O3、P4、S8为多原子分子等。
3．特殊物质的摩尔质量，如D2O、T2O、18O2、14CO2、H37Cl等。
4．特殊物质中的化学键的数目，如金刚石（1mol金刚石中含2mol C－C共价键）、晶体硅（1mol晶体硅中含2mol Si－Si共价键）、二氧化硅（1mol SiO2中含4mol Si－O共价键）、石墨（1mol石墨中含1.5mol C－C共价键）、P4（1mol白磷中含有6mol P－P共价键）、二氧化碳（1 molCO2中含2mol C＝O键）、烷烃[1molC n H2n+1中含有(3n+1)mol共价键]、P4O10（P4O10一般写成P2O5，1 mol P4O10中有4 mol P＝O键、12 mol P－O键）等。
5．某些离子如Fe3+、Al3+，还有某些原子团如NH4+、HCO3－在水溶液中发生水解，使其数目减少。
6．特殊的氧化还原反应中，转移电子数目的计算，如Na2O2 + H2O、H2S + SO2等。
7．凡是用到22.4 L·mol－1时，要注意是否处于标况下、是否为气体。
8．常见的可逆反应如2NO2N2O4，弱电解质的电离平衡等。
高考复习微专题—光电效应习题选编 含答案(教师版)
微专题—光电效应习题选编一、单项选择题1、某光源发出的光由不同波长的光组成，不同波长的光的强度如图所示，表中给出了一些材料的极限波长，用该光源发出的光照射表中材料（）A．仅钠能产生光电子B．仅钠、铜能产生光电子C．仅铜、铂能产生光电子D．都能产生光电子【答案】D2、入射光照射到某金属表面上发生光电效应，若入射光的强度减弱，而频率保持不变，则( )A．从光照至金属表面上到发射出光电子之间的时间间隔将明显增加B．逸出的光电子的最大初动能将减小C．有可能不发生光电效应D．单位时间内从金属表面逸出的光电子数目将减少【答案】D3、现用某一光电管进行光电效应实验，当用某一频率的光照射时，有光电流产生，下列说法不正确的是（）A．保持照射光的频率不变，增大照射光的强度，饱和光电流变大B．照射光的频率变高，光电子的最大初动能变大C．保持照射光的强度不变，不断减小照射光的频率，始终有光电流产生D．遏止电压的大小与照射光的频率有关，与照射光的强度无关【答案】C4、对光电效应的解释正确的是( )A．只要光照射的时间足够长，任何金属都能产生光电效应B．如果入射光子的能量小于金属表面的电子克服原子核的引力而逸出时所需做的最小功，便不能发生光电效应C．金属钠的每个电子可以吸收一个或一个以上的光子，当它积累的动能足够大时，就能逸出金属D．发生光电效应时，入射光越强，光子的能量就越大，光电子的最大初动能就越大【答案】B5、如图，用一定频率的单色光照射光电管时，电流表指针会发生偏转，则（）A．电源右端应为正极B．流过电流表G的电流大小取决于照射光的频率C．流过电流表G的电流方向是a流向bD．普朗克解释了光电效应并提出光子能量E=hν【答案】C6、用波长为300nm的光照射锌板，电子逸出锌板表面的最大初动能为1.28×10-19J，已知普朗克常量为6. 63×10-34J.s，真空中的光速为3×108m/s，能使锌产生光电效应单色光的最低频率（）A．1×1014HzB．8×1015HzC．.2×1015HzD．8×1014Hz【答案】D7、下列说法正确的是（）A．某金属能发生光电效应，当入射光的颜色不变而增大光照强度时，逸出的光电子的最大初动能也增大B．若利用黄光和蓝光分别在同一装置研究光电效应，用蓝光照射时的遏止电压大于用黄光照射时的遏止电压C．换用频率小的光照射，但入射光的强度不变，则逸出的光电子的最大初动能不变D．换用频率小的光照射，但入射光的强度不变，则从光照射到金属表面上到发射出电子的时间明显减少【答案】B8、光电效应是物理学中一个重要而神奇的现象。
微专题：分布系数图精选22题(学生版+教师版)
微专题：分布系数图班级______________ 座号______________ 姓名______________ 评价______________【基础知识】分布系数（物质的量分数）图简介（以草酸H 2C 2O 4为例）：1.δ0为H 2C 2O 4分布系数、δ1为HC 2O －4分布系数、δ2为C 2O 2－4分布系数 2.随着pH 增大，溶质分子浓度不断减小，离子浓度逐渐增大，酸根离子增多。
根据分布系数可以书写一定pH 时所发生反应的离子方程式；3.同一pH 条件下可以存在多种溶质微粒，根据在一定pH 的微粒分布系数和酸的分析浓度，就可以计算各成分在该pH 时的平衡浓度。
4.解题技巧：抓住交点进行分析计算！根据交点坐标值可以计算电离常数（思考：交点的个数代表什么？）【考题精选】1.（2020国Ⅱ真题）次氯酸为一元弱酸，具有漂白和杀菌作用，其电离平衡体系中各成分的组成分数δ[δ(X)=X HClO ClO c c c（）（）+（），X 为HClO 或ClO −]与pH 的关系如图所示。
HClO 的电离常数K a 值为___2.（2020江苏真题，节选）吸收工厂烟气中的SO 2，能有效减少SO 2对空气的污染。
氨水、ZnO 水悬浊液吸收烟气中SO 2后经O 2催化氧化，可得到硫酸盐。
已知：室温下，ZnSO 3微溶于水，Zn （HSO 3）2易溶于水；溶液中H 2SO 3、HSO 3-、SO 32-的物质的量分数随pH 的分布如图所示：氨水吸收SO 2。
向氨水中通入少量SO 2，主要反应的离子方程式为 ；当通入SO 2至溶液pH=6时，溶液中浓度最大的阴离子是 （填化学式）。
3．（2020国Ⅱ真题）以酚酞为指示剂，用0.1000 mol·L −1的NaOH 溶液滴定20.00 mL 未知 浓度的二元酸H 2A 溶液。
溶液中，pH 、分布系数δ随滴加NaOH 溶液体积a N OH V 的变化关 系如下图所示。
分类讨论证明或求函数的单调区间(含参)(教师版)--2024新高考数学导数微专题训练
专题14分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）1．设函数21()sin cos 2f x x x x ax =+-．（1）当12a =时，讨论()f x 在(,)ππ-内的单调性；（2）当13a >时，证明：()f x 有且仅有两个零点．【答案】（1）在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭或,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．【详解】（1）当12a =时，21()sin cos 4f x x x x x =+-，11()sin cos sin (cos 22f x x x x x x x x ∴'=+--=-，令()0f x '=，解得0x =或3x π=，3x π=-，当()0f x '<时，解得03x π-<<或3x ππ<<，当()0f x '>时，解得3x ππ-<<-或03x π<<，()f x ∴在(3π-，0)或(3π，)π上单调递减，在(,)3ππ--或(0,)3π上单调递增；（2）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x -=--+-+-=+-= ，()f x ∴为偶函数，(0)10f => ，()f x ∴有且仅有两个零点等价于()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，()(cos )f x x x a '=- ，当1a 时，cos 0x a -，()0f x '恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，2211()sin cos 1022f a a ππππππ=+-=--< ，(0)·()0f f π∴<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，当113a <<时，令()(cos )0f x x x a '=-=，即cos x a =，可知存在唯一(0,)2πθ∈，使得cos a θ=，当(0,)x θ∈或(22,22)x k k ππθππθ∈+-++时，k ∈N ，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(2,22)x k k πθππθ∈++-时，k ∈N ，()0f x '<，函数()f x 单调递减，由tan θ=113a <<，可得0tan θ<<，当k ∈N ，22tan 2(k ππθθπ++->，2221113(22tan )10(22)[(22tan )1][(22tan )1]022626k f k a k k a ππθθππθππθθππθθ++--∴++=-++--+<-++--+=-<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，综上所述，当13a >时，()f x 有且仅有两个零点．【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.2．已知函数2()2ln 2(1)f x mx x m x =-+-．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≠时，求证：2286ln 3521x x x x x x---<-．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先求导，分为0m ≥，1m =-，1m <-和10m -<<四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）等价于3226(1ln )23501x x x x x-+--<-，令()()3261ln 235h x x x x x =-+--，利用当2m =时的结论，根据导数判断()h x 与0的关系，即可证明.【详解】解：()f x 的定义域为(0,)+∞，则22(1)1(1)(1)()22(1)22mx m x mx x f x mx m x x x+--+-'=-+-=⋅=⋅，当0m 时，10mx +>，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当0m <时，令()0f x '=，解得1x =或1x m=-，当1m =-时，2(1)()2·0x f x x-'=-恒成立，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，101m<-<，当1(0,x m ∈-或(1,)+∞时，()0f x '<，当1(x m∈-，1)时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -或(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)，当10m -<<，11m ->，当(0,1)x ∈或1(m -，)+∞时，()0f x '<，当1(1,x m∈-时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,m．综上所述：当0m 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当1m =-时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -，(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)，当10m -<<时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,)m．（2）证明：要证2286ln 3521x x x x x x---<-，即证3226(1ln )23501x x x x x -+--<-，令32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，则22()66ln 6663(22ln 2)h x x x x x x x '=--+-=--，由（1），当2m =时，2()22ln 2f x x x x =--，可得()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，即()h x '的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，()h x h ∴''（1）0=，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，h （1）6(1ln1)2350=-+--=，∴当01x <<时，()0h x <，210x ->，当1x >时，()0h x >，210x -<，∴3226(1)23501x lnx x x x -+--<-，即22863521x xlnx x x x---<-．【点睛】含有参数的函数单调性讨论常见的形式：（1）对二次项系数的符号进行讨论；（2）导函数是否有零点进行讨论；（3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.3．已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.（1）若1a =，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a =时，求得()1x f x x-=，利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）求得()()10ax f x x x-'=>，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）当1a =时，()1ln f x x x =--，所以，()()1110x f x x x x-¢=-=>，列表；x1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1(]1,e ()f x '-+()f x 单调递减极小单调递增所以，()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的有极小值()10f =，无极大值；（2） 函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=.当0a ≤时，10ax -<，从而()0f x '<，故函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，若10x a<<，则10ax -<，从而()0f x '<；若1x a>，则10ax ->，从而()0f x '>.故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：（1）求导后看函数的最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.4．已知函数()21()xm x xf x e++=．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）若0m ≤，证明：()ln ef x x x +≤．【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数进行求导得(1)(1)()xx mx m f x e--'+=-，再对m 分三种情况讨论，即0m =，0m >，0m <三种情况；（2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-，而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，再利用函数的单调性，即可得证；【详解】解析：（1）因为(1)(1)()xx mx m f x e --'+=-，①当0m =时，1()x x f x e-=-'，当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当0m >时，1(1)11(),11x m x x m f x e m'⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=--<，当11,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,1(1,)x m ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在11,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,1,(1,)m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递减；③当0m <时，111m ->，当11,1x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1(,1)1,x m ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在11,1m ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在1(,1),1,m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增．（2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-，而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，当0m =时，()x xf x e =，由（1）知()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)f x f e==；当0m <时，()211()xx m x xx f x e e e++=<≤，故()ln ef x x x +≤．【点睛】利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.5．已知函数()e x f x ax =，a 为非零常数.（1）求()f x 单调递减区间；（2）讨论方程()()21f x x =+的根的个数.【答案】（1）当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞；（2）当0a >时，原方程有且仅有一个解；当0a <时，原方程有两个解.【分析】（1）求导，对a 分类讨论，利用()0f x '<可解得结果；（2）转化为函数2(1)()exx g x x +=与y a =的图象的交点的个数，利用导数可求得结果.【详解】（1）()(1)e x x x f x ae axe a x '=+=+，由()0f x '=得1x =-，①若0a >时，由()0f x '<得1x <-，所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-；②若0a <时，由()0f x '<得1x >-，所以()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.综上所述，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-；当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.（2）因为方程2()(1)f x x =+等价于2(1)e x x a x +=，令2(1)()exx g x x +=，所以方程()()21f x x =+的根的个数等于函数2(1)()exx g x x +=与y a =的图象的交点的个数，因为()2222(1)12(1)(1)()()()ex x x x x x x x xe x e xe g x xe x +++-++=-'=，由()0g x '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-，时，()0g x '>，()g x 在(,1)-∞-上单调递增；当()()1,00,x ∈-+∞ 时，()0g x '<，所以()g x 在()1,0-，()0,∞+上单调递减，又()10g -=，所以当(,1)x ∈-∞-时，()(),0g x ∈-∞；当()1,0x ∈-时，()(),0g x ∈-∞；当()0,x ∈+∞时，()()0,g x ∈+∞.所以，当0a >时，原方程有且仅有一个解；当0a <时，原方程有两个解.【点睛】方法点睛：讨论函数零点(或方程根)的个数的常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的个数；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解6．已知函数()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，()()g x f x '=.（1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）证明：1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭ .【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2a e =；（3）证明见解析.【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；（3）先构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，证明其小于零，即得1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+，再将1nx n =+代入求和即证结论.【详解】解：（1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故()11ax g x a x x-'=-=，0x >.当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数，当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数.（2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3.当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去当1a e >时10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--=⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2.（3）构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，则119()3033x h x x x -'=-=>，故1()ln 313h x x x =-+在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减，111111()ln 3120232232h x h ⎛⎫≤=-⨯+=--< ⎪⎝⎭，故1ln 3103x x -+<，即1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+，而11,1112n n N x n n *⎡⎫∈==-⎪⎢++⎣⎭，故13ln 1311n n n n >++⋅+，即[]ln(13ln 131)1n n n n ->++⋅+，将n *∈N 依次代入并相加得[]()1ln1ln 12313ln 2ln 3...ln(1)ln 1231ln 4323n n n n n n n ⎛⎫++++>-+-++-+-+ ⎭+⎪+⎝= ，即1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>- ⎪+⎝⎭ .【点睛】本题解题关键在于观察证明式1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭ ，构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，以证明13ln 13x x >+，将1n x n =+代入求和即突破难点.用导数解决与正整数n 有关的不等式证明问题，属于难点，突破点就在于观察构造合适的函数，通过导数证明不等式，再将关于n 的式子代入即可.7．已知函数()()21ln ,2f x ax x x b a b R =-⋅+∈，()()g x f x '=.（1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由；【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2a e =.【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；【详解】（1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故()11ax g x a x x-'=-=.当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数，当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数.（2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3.当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去.当1a e >时，10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =，故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，讨论不等式何时()0f x '>和()0f x '<③对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.8．已知函数()()()ln 1f x x ax a =+-∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性.（2）若()()2112g x x x a f x =--+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，求证:()()12152ln 28x g x g -≥-.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求得()f x 的定义域和导函数()'fx ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）求得()g x 的表达式，求得()'g x ，利用根与系数关系得到12,x x 的关系式以及1x 的取值范围，将()()12g x g x -表示为只含1x 的形式，利用构造函数法求得()()12g x g x -的最小值，从而证得不等式成立.【详解】(1)由题意得，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，()11f x a x '=-+.当0a ≤时，()101f x a x '=->+，∴函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增.当0a >时，令()0f x '=，得11x a=-+.若11,1x a ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；若11,x a ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，此时函数()f x 单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在11,1a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)()()21ln 12g x x x a x =+-+Q ，0x >，()()11g x x a x '∴=+-+()211x a x x-++=.由()0g x '=得()2110x a x -++=，()240321a a ∆=+⇒-≥>121x x a ∴+=+，121=x x ，211x x ∴=.32a ≥Q ，512a +≥，12x x <111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，解得1102x <≤.()()12x g x g ∴-()()()221121221ln12x x x a x x x =+--+-21121112ln 2x x x⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设()221112ln 022x h x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22331210x h x x x x x-'=--=-<，∴函数()h x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.∴当112x =时，()min 1152ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.32a ∴≥时，()()12152ln 28x g x g -≥-成立.【点睛】求解含有参数的函数的单调性题，求导后要根据导函数的形式进行分类讨论.9．已知函数()2xf x e ae x =-.（1）讨论()f x 的单调区间；（2）当0a <时，证明：()2ln f x e x >.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当0a >时，()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞，（2）证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导数，分0a ≤和0a >，分别由导数大于零和小于零，可求得函数的单调区间；（2）要证明22ln x ae x e x e ->，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()2ln xg x e e x =-，然后利用导数求出此函数的最小值即可，或要证明22ln xae x e x e ->，只要证22ln x e x xe x ae ->，构造函数()()20x g x ae x x e =->，然后用导数求其最小值，构造函数()()2ln 0x h x e x x=>，然后利用导数求其最大值，或要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()()()222222ln ln x x g x e e x e x e x e e e e x =-=-++--，令()()220x h x e e x e x =-+>，()222ln m x e x e e x =--，再利用导数求其最小值即可【详解】（1）解：()f x 的定义域为(),-∞+∞，()2x f x e ae '=-．当0a ≤时，()0f x ¢>，则()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间．当0a >时，由()0f x ¢=，得2ln x a =+．当(),2ln x a ∈-∞+时，()0f x ¢<；当()2ln ,x a ∈++∞时，()0f x ¢>，所以()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞．（2）证明：法一：要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．设()2ln xg x e e x =-，则()2xg x e e x '=-，()220xg x e xe ''=+>，所以()g x '在()0,+¥上是增函数．又()210g e e '=-<，()2222022e g ee '=-=>，所以存在()01,2x ∈，使得()02000x g e x e x '=-=，即020x e e x =，00ln 2x x =-．所以当()00,x x ∈时，()0g x ¢<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x ¢>，因此()g x 在()00,x 上是减函数，在()0,x +∞上是增函数，所以()g x 有极小值，且极小值为()()022222222000000ln 22220x g x e e x e x e x e e e x e x e =-=--=+->-=．因此()0gx >，即2ln 0x e x -->．综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法二：要证明22ln xae x e x e ->，只要证22ln x e x xe x ae ->．设()()20x g x ae x x e =->，则()()21x x e g x x-'=．当01x <<时，()0g x ¢<；当1x >时，()0g x ¢>，所以()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+¥上是增函数，所以1x =是()g x 的极小值点，也是最小值点，且()()2min 1g x g e ae ==-．令()()2ln 0xh x e x x =>，则()()221ln x h x xe -'=．当0x e <<时，()0h x '>；当e x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，所以x e =是()h x 的极大值点，也是最大值点，且()()max h x h e e ==，所以当0a <时，()()2g x e ae e h x ≥->≥，即22ln x e x xe x ae ->．综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法三：要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．设()()()222222ln ln xxg x e e x e x ex ee e e x =-=-++--，令()()220xh x e e x ex =-+>，则()2x h x e e '=-，当02x <<时，()0h x '<；当2x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上是减函数，在()2,+¥上是增函数，所以2x =是()h x 的极小值点，也是()h x 的最小值点，即()()min 20h x h ==．设()222ln m x e x e e x =--，则()()2221x e m x e x xe-'=-=．当01x <<时，()0m x '<；当2x >时，()0m x '>，所以()m x 在()0,1上是减函数，在()1,+¥上是增函数，所以1x =是()m x 的极小值点，也是()m x 的最小值点，即()()min 10m x m ==．综上，()0h x ≥（当且仅当2x =时取等号），()0m x ≥（当且仅当1x =时取等号），所以()()()0g x h x m x =+>，故当0a <时，()2ln f x e x >．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将不等式等价转化，然后构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题10．已知函数2()ln f x x ax x =-+.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0a <，满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，在(0,)+∞单调递增；当0a >时，在10,4a ⎛-+ ⎝⎭单调递增，在14a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减；（2）1k ≤或3221k e -+≥.【分析】（1）首先求函数的导数2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>，分0a ≤和0a >两千情况讨论导数的正负，确定函数的单调性；（2）由方程()f x kx =，转化为2ln x ax xk x -+=，构造函数()2ln x ax x h x x-+=，利用二阶导数判断函数的单调性，并分情况讨论()h x '最小值的正负，并结合零点存在性定理，确定函数的性质，根据2ln x ax xk x-+=有唯一解，确定k 的取值范围.【详解】（1）2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>当0a ≤时，恒有'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令2210ax x -++=，则180a ∆=+>，则10x =，211804x a-=<（舍去），当1(0,)4x a -+∈时，'()0f x >，()f x 在1(0,)4a-+单调递增；当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x在)+∞单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在118(0,)4a -单调递增，()f x 在118()4a-+∞单调递减.（2）原命题等价于对任意0a <，2ln x ax x kx -+=有且仅有一解，即2ln x ax xk x-+=；令ln ()1x h x ax x =-+则21ln '()x h x a x -=-，332(ln )2''()x h x x -=，令''()0h x =得32x e =所以)'(h x 在32(0,)e 上递减，在32(,)e +∞上递增，3232min 331ln 1'()'()2e h x h e a ae e -==-=--当312a e ≤-时，'()0h x ≥，所以()h x 在R 上单调递增，又当0x →时，ln ,0xax x→-∞-→，所以()h x →-∞；当x →+∞时，ln ,xax x→+∞-→+∞，所以()h x →+∞.所以()h x 在R 上必存在唯一零点，此时k ∈R ；当3102a e-<<时，32min '()'()0h x h e =<，同时又当0x →时，21ln ,x a x-→+∞-→+∞，所以'()h x →+∞；当x →+∞时，21ln 0,x a x-→-→+∞，所以'()h x →+∞.所以方程'()0h x =存在两根12,x x ，即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--=且332212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞，所以()h x 在1(0,)x 上单调递增，12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以()h x 的极大值为1()h x ，极小值为2()h x 要使有方程2ln x ax xk x-+=唯一解，必有1()k h x >或2()k h x <，又2222222222ln ln 1ln 2ln 1()111x x x x h x ax x x x x --=-+=-+=+，又322(,)x e ∈+∞，则2ln 1()1x x x ϕ-=+，232ln '()0x x xϕ-=<，所以()ϕx 在32(,)e +∞递减，且x →+∞时，2ln 1()11x x xϕ-=+→，所以1k ≤；同理1112ln 1()1x h x x -=+，321(0,)x e ∈，2ln 1()1x x x ϕ-=+在32(0,)e 递增，3322322()()121x e eeϕϕ-<=+=+，所以3221k e -+≥.综上可得，1k ≤或3221k e -+≥.【点睛】思路点睛：本题是一道利用导数研究函数性质，零点的综合应用题型，属于难题，一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时，需根据题意构造函数()f x ，利用导数研究函数在该区间上的单调性，极值，端点值等性质，以及零点存在性定理等研究函数的零点.11．设函数223223()3,()33,22a a f x x x ax g x ax x a ⎛⎫=-+=-++-∈ ⎪⎝⎭R .（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数[]()23()()()0,222a x f x g x x x ϕ=--∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为93,13⎛-∞- ⎝⎭和9313⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1⎛-+ ⎝⎭；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）先对()f x 求导，对导函数分3a ≥和3a <两种情况讨论即可.（2）因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可.【详解】解：（1）()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-，当3a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，令()0f x '>，得13x <-或13x >+，所以()f x 的单调递增区间为93,13⎛-∞- ⎝⎭和9313⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭令()0f x '<，得1133x -<<+，所以()f x 的单调递减区间为9393133⎛-+ ⎝⎭.综上，当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞- ⎝⎭和1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为9393133⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭.（2）由题意得[]322133()(1)3,0,2222x ax a x x a x ϕ=+--+∈.因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，即[]3213(1)30,0,222ax a x x x +--∈，当0x =时，显然成立.当(]0,2x ∈时，得()21313022ax a x +--≤，即()()()()()22323232322221+2x x ax xx x x x ++==++-+-+--.令(]22,4t x =+∈，则2()1,(2,4]th t t t =--∈，()2210h t t '=+>恒成立，所以2()1,(2,4]t h t t t =--∈是增函数，5()0,2h t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3625(2)12x x +--+，即65a ，所以a 的取值范围为6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.12．已知函数()()()21ln 1f x x a x x =-+-+（0a >）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1ln x xf x x x-'≥在()1+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）02a <≤.【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断函数的单调性即可；（2原不等式化为：ln 2x a x x ≤-在()1+∞，上恒成立，设()ln 2xh x x x=-，()1,x ∈+∞，求出函数的导数，再令()221ln g x x x =-+，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【详解】（1）()()()1121121x f x x a x a x x -⎛⎫⎛⎫'=-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121a x x a x x xx---=--=，()0,x ∈+∞，令()0f x '=，则2ax =或1x =，当02a <<时，函数()f x 在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在区间,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当2a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，当2a >时，函数()f x 在区间()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；（2）原不等式化为：ln 2xa x x≤-在()1+∞，上恒成立，设()ln 2xh x x x=-，()1,x ∈+∞，()2221ln 21ln 2x x x h x x x--+'=-=，令()221ln g x x x =-+，则()140g x x x '=+>，所以()g x 在()1+∞，上单调递增，()()110g x g >=>，所以()0h x '>，则函数()h x 在()1+∞，上单调递增，且()12h =，02a ∴<≤.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究单调性（含参），考查利用导数研究恒成立问题，解决第（2）问的关键是将原不等式转化为ln 2xa x x≤-在()1+∞，上恒成立，进而利用导数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于常考题.13．已知函数()ln 2ag x x x x=++.（1）讨论()g x 的单调性；（2）当10a e <<时，函数()()222a f x xg x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在其定义域内有两个不同的极值点，记作1x 、2x ，且11x x <，若m 1≥，证明：112m mx x e +⋅>.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数()g x 的定义域，求得()222x x a g x x+-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()g x 的单调递增区间和递减区间；（2）利用分析法得出所证不等式等价于()()()121212121ln0m x x x x x x x mx +-<>>+，令()120,1x t x =∈，构造函数()()()11ln m t h t t t m+-=-+，其中()0,1t ∈，利用导数证明出()0h t <对任意的()0,1t ∈恒成立，由此可证得原不等式成立.【详解】（1）函数()ln 2ag x x x x=++的定义域为()0,∞+，()()222122a x x ag x a R x x x+-'=+-=∈，方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+.①当18a ≤-时，0∆≤，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+为增函数；②当18a >-时，0∆>，方程220x x a +-=的两根为114x -'=，214x -'=，（i ）当108a -<≤时，120x x ''<≤，对任意的0x >，()0g x '>，()g x 在()0,∞+为增函数；（ii ）当0a >时，120x x ''<<，令()0g x '<，可得20x x '<<，令()0g x '>，可得2x x '>.所以，()g x在1,4⎛⎫+∞⎝⎪⎪⎭为增函数，在10,4⎛⎤- ⎥ ⎝⎦为减函数.综上所述：当0a ≤时，()g x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当0a >时，()g x的增区间为1,4⎛⎫+∞- ⎝⎪⎪⎭，减区间10,4⎛⎤- ⎥ ⎝⎦；（2）证明：()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈ ，所以()ln f x x ax '=-，因为()f x 有两极值点1x 、2x ，所以11ln x ax =，22ln x ax =，欲证112mm x x e +⋅>等价于要证：()112ln ln m m x x e +⋅>，即121ln ln m x m x +<+，所以()1212121ln ln m x m x ax max a x mx +<+=+=+，因为m 1≥，120x x <<，所以原不等式等价于要证明121ma x mx +>+.又11ln x ax =，22ln x ax =，作差得()1122lnx a x x x =-，1212ln x x a x x ∴=-，所以原不等式等价于要证明()()112211212212ln11ln x m x x x x m x x x mx x x mx +-+>⇔<-++，令12x t x =，()0,1t ∈，上式等价于要证()()11ln m t t t m+-<+，()0,1t ∈，令()()()11ln m t h t t t m+-=-+，所以()()()()221t t m h t t t m --'=+，当m 1≥时，20t m -<，则()0h t '>，所以()h t 在()0,1上单调递增，因此()()10h t h <=，()()11ln m t t t m+-∴<+在()0,1t ∈上恒成立，所以原不等式成立.【点睛】利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.14．已知实数0a >，函数()22ln f x a x x x=++，()0,10x ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ､()()22,Q x f x (12x x <)处的切线分别为1l ､2l ，且1l ､2l 在y 轴上的截距分别为1b ､2b .若12//l l ，求12b b -的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）对函数求导，按照110a ≥、1010a<<分类，求得()0f x '<、()0f x '>的解集即可得解；（2）由极值点的性质可得1a =，由导数的几何意义可得1b 、2b 及()12122x x x x =+，转化条件为1211212221ln 1x x x b b x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=++，构造新函数结合导数即可得解.【详解】（1）由题意，()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<，0a > ，010x <<，∴20ax +>，①当110a ≥，即10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x ∴在()0,10上单调递减；②当1010a <<，即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述：当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,10上单调递减；当1,10a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）∵1x =是()f x 的极值点，∴()10f '=，即()()210a a +-=，解得1a =或2a =-（舍），此时()2ln f x x x x =++，()2211f x x x'=-++，1l ∴方程为()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，得1114ln 1b x x =+-，同理可得2224ln 1b x x =+-，12//l l ，221122212111x x x x ∴-++=-++，整理得：()12122x x x x =+，12122x x x ∴=-，又12010x x <<<，则1112102x x x <<-，解得1542x <<，()1212211111211221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x xb b x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴-=+=+=+++，令12x t x =，则1111211,1224x x t x x -⎛⎫=⋅=-∈ ⎪⎝⎭，设()()211ln ,,114t g t t t t -⎛⎫=+∈ ⎪+⎝⎭，则()()()()222141011t g t t t t t -'=-+=>++，()g t ∴在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()10g =，16ln 445g ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()6ln 4,05g t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，即12b b -的取值范围为6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，再构造新函数，结合导数即可得解.15．已知函数32()23(1)6()f x x m x mx x R =+++∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若(1)5f =，函数2()()(ln 1)0f x g x a x x=+-≤在(1,)+∞上恒成立，求证：2a e <.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导后分解因式，分类讨论即可得到函数的单调性；（2）由题意求出0m =，转化为23ln 1x a x +≤+在(1,)x ∈+∞上恒成立，利用导数求出23()(1)ln 1x h x x x +=>+的最小值，即可求解.【详解】（1）()()()'22661661fx x m x m x m x m ⎡⎤=+++=+++⎣⎦6(1)()x x m =++若1m =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增；若1m >时，1m -<-，当x m <-或1x >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1m x -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数，若1m <时，1m ->-，当1x <-或x m >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1x m -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数.综上，1m =时，()f x 在R 上单调递增；当1m >时，()f x 在(,)-∞-m 和(1,)-+∞上单调递增，在(,1)m --上单调递减；当1m <时，()f x 在(,1)-∞-和(,)m -+∞上单调递增，在(1,)m --上单调递减.（2）由(1)23(1)65f m m =+++=，解得0m =，所以32()23f x x x =+，由(1,)x ∈+∞时，ln 10x +>，可知()(ln 1)230g x a x x =+--≤在(1,)+∞上恒成立可化为23ln 1x a x +≤+在(1,)x ∈+∞上恒成立，设23()(1)ln 1x h x x x +=>+，则22132(ln 1)(23)2ln ()(ln 1)(ln 1)x x x x x h x x x +-+⨯-'==++，设3()2ln (1)x x x x ϕ=->，则223()0x x xϕ'=+>，所以()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，又3ln163(2)2ln 2022ϕ-=-=<，3()20e eϕ=->所以方程()0h x '=有且只有一个实根0x ，且00032,2ln .x e x x <<=所以在0(1,)x 上，()0h x '<，()h x 单调递减，在0(,)x +∞上，()0,()h x h x '>单调递增，所以函数()h x 的最小值为0000002323()223ln 112x x h x x e x x ++===<++，从而022.a x e ≤<【点睛】关键点点睛：解答本题的难点在于得到232ln ()(ln 1)x x h x x -'=+后，不能求出()h x '的零点，需要根据()h x '的单调性及零点存在定理得到0x 的大致范围，再利用0x 的范围及0032ln x x =证明不等式.16．设()1,,54m h x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，其中m 是不等于零的常数，（1）写出()4h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）答案见解析.【分析】（1）由已知得出1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，解出x 可得()4h x 的定义域；（2）对函数()h x 求导，按0m <，1016m <≤，12516m <<和25m ≥四种情况，分别求出函数的单调递增区间即可．【详解】（1）∵1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴15164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()4h x 的定义域为15164⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）()21m h x x '=-0m <时，()0h x '>恒成立，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增；0m >时，令()0h x '>，解得x >或x <，即函数的单调增区间为(,-∞，)+∞14≤即1016m <≤时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增当154<<即12516m <<时，()h x 在⎤⎦递增5≥即25m ≥时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，无递增区间综上可得：0m <时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增；1016m <≤时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增；12516m <<时，()h x 在⎤⎦递增【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义域，考查导数研究函数的单调性，解决本题的关键是令()0h x '>求出函数的单调增区间，讨论定义域的区间端点和单调区间的关系，考查了学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．17．已知1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦，函数2()(1)x f x x e kx =--．（ 2.71828e = 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[0,]k 上的最大值．【答案】（1）单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，，单调减区间为(0,ln 2)k ；（2）3(1)k k e k --.【分析】（1）由题得()(2)x f x x e k '=-，再利用导数求函数的单调区间得解；（2）证明0(2)ln k k <<，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．【详解】（1）由题得()(1)2(2)x x x f x e x e kx x e k '=+--=-，令0()0,20x x f x e k >⎧'>∴⎨->⎩或020x x e k <⎧⎨-<⎩，因为1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以122k <≤，所以不等式组的解为ln 2x k >或0x <，所以函数()f x 的单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，；令0()0,20x x f x e k >⎧'<∴⎨-<⎩或020x x e k <⎧⎨->⎩，解之得0ln 2x k <<，所以函数()f x 的单调减区间为(0,ln 2)k ；所以函数()f x 的单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，，单调减区间为(0,ln 2)k .（2）令()(2)k k ln k ϕ=-，1(2k ∈，1]，11()10k k k k ϕ-'=-=所以()k ϕ在1(2，1]上是减函数，ϕ∴（1）1()()2k ϕϕ<，112()2ln k k ϕ∴-<<．即0(2)ln k k<<所以()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：x(0，(2))ln k (2)ln k ((2)ln k ，)k ()'f x -0+()f x极小值(0)1f =-，()(0)f k f -3(1)(0)k k e k f =---3(1)1k k e k =--+3(1)(1)k k e k =---2(1)(1)(1)k k e k k k =---++2(1)[(1)]k k e k k =--++。
微专题08 扩写和压缩(对点练习)(教师版)
微专题08 扩写和压缩（对点练习）（教师版）1.请以“光阴是一把神奇而无情的刻刀”为开头写一段话，要求：①运用对比手法；②句式整散结合；③40～80个字。
光阴是一把神奇而无情的刻刀，________________________________________________________________________________________________________________。
【答案】(示例)(光阴是一把神奇而无情的刻刀，)当你用功学习时，它会在你的脑海里不断地刻下用之不尽的知识财富；当你虚度光阴时，它会在你的脑海里不断地刻下无用的空白，让你悔恨终生。
【解析】解答此题，除了要注意题目中关于修辞、句式和字数的要求，还要认真体会“光阴是一把神奇而无情的刻刀”这句话的内涵。
此句开头用的是比喻的修辞手法，写光阴在人身上(当然也可认为是在别的事物上)起的作用。
事实上，开头一句已有所暗示：“神奇而无情”是我们对待光阴不同态度的不同后果，珍惜光阴会有应得的收获，虚度光阴则会让你一无所获。
想到了这点，答案就好写了。
解答此类题还要注意字数限制，比如本题要求“40～80个字”。
2.使用下面的词语写一段描写性文字，要求运用比喻、拟人的修辞手法。
(不超过60字)银杏树初冬疾风骤雨凋零答：_______________________________________________【答案】(示例)初冬时节，银杏树经霜的黄叶在北风中凋零，吟唱着飘向大地。
一阵疾风骤雨过后，银杏树只剩下光秃秃的枝干，如剑直指苍穹。
【解析】解答本题时，首先要根据所给的词语展开丰富的想象，创设出一个具体的情境，然后进行描写。
创设情境时，还必须顾及试题给出的四个词语之间的相互关系，“初冬”点明季节，“疾风骤雨”是“银杏树”“凋零”的原因。
在进行描写时，必须根据试题要求运用比喻、拟人的修辞方法。
3.请从下列词语中，选择三个关键词来描述自己的高中生活。
ER03专题01-第3讲电磁场中的平衡问题教师版
（化学）化学化学图像题汇编练习题20篇及解析一、中考化学图像题汇编1．下列图象能正确反应对应变化关系的是（）A．表示水通电分解产生的气体质量m与反应时间t的关系B．表示两份完全相同的双氧水在有无MnO2的情况下，产生O2的质量m 与反应时间t的关系C．表示等质量的Fe、Mg与足量稀盐酸的反应D．向稀盐酸中逐渐滴加NaOH溶液至过量【来源】2019年四川省眉山市东坡区苏祠中学共同体中考模拟化学试题【答案】D【解析】【分析】【详解】A、水通电时，产生氢气和氧气的体积比是2：1，不是质量比，不符合题意；B、在该反应中，加入的二氧化锰属于催化剂，只能改变反应速率，产生氧气的质量相等，不符合题意；Fe+2HCl=FeCl+H↑，镁与稀盐酸反应：C、铁与稀盐酸反应：22Mg+2HCl=MgCl+H↑，铁的相对分子质量大于镁，故等质量的Fe、Mg与足量稀盐22酸的反应，镁产生的氢气多，而且镁反应速率快，不符合题意；D、向稀盐酸中逐渐滴加NaOH溶液至过量，一开始，pH<7，氢氧化钠与稀盐酸反应生成氯化钠与水，随着反应的进行，pH逐渐增大，待氢氧化钠与稀盐酸恰好完全反应时，pH=7，氢氧化钠过量后，pH>7，符合题意。
故选D。
2．向下表中的甲物质中逐滴加入乙物质溶液至过量，符合如下曲线描述的是序号甲乙①硫酸和硫酸铜的混合溶液氢氧化钠溶液②氢氧化钠和氯化钡的混合溶液稀硫酸③氯化钠和氯化钙的混合溶液碳酸钠溶液④铜锌的混合物粉末稀盐酸A．①②B．②C．①②③D．①②④【答案】A【解析】【分析】【详解】①向硫酸和硫酸铜的混合溶液加入氢氧化钠溶液，由于硫酸的存在，氢氧化钠不能与硫酸铜反应生成了氢氧化铜沉淀；氢氧化钠先与硫酸反应生成硫酸钠和水，既无气体也无沉淀；待硫酸完全反应后，所加入的氢氧化钠开始与硫酸铜反应产生氢氧化铜蓝色沉淀至硫酸铜完全反应为止，与曲线所示一致，故正确；②向氢氧化钠和氯化钡的混合溶液中滴加稀硫酸，加入硫酸开始硫酸就与氢氧化钠和氯化钡同时反应，因此一开始就产生硫酸钡沉淀至氯化钡完全反应为止，与曲线所示不一致，故不正确；③向氯化钠和氯化钙的混合溶液加入碳酸钠溶液，氯化钙与碳酸钠生成不溶于水碳酸钙沉淀，因此随溶液的加入生成沉淀的量不断增加，至氯化钙完全反应为止；与曲线所示不一致，故不正确；④向铜锌合金中滴加稀盐酸，锌与盐酸反应放出氢气而铜不反应，因此随稀盐酸的加入氢气就不断放出至锌完全反应为止，与曲线所示不一致，故不正确。
微专题——元素周期律(教师版)
微专题——元素周期律（一）知识框架① 、按原子序数递增的顺序从左到右排列；排列原则 ②、将电子层数相同的元素排成一个横行；③、把最外层电子数相同的元素（个别除外）排成一个纵行。
①、短周期（一、二、三周期）周期（7个横行） ②、长周期（四、五、六周期）周期表结构 ③、不完全周期（第七周期）① 主族（ⅠA ～ⅦA 共7个）1、元素周期表 族（18个纵行） ②、副族（ⅠB ～ⅦB 共7个）③、Ⅷ族（8、9、10纵行） ④、零族（稀有气体）同周期同主族元素性质的递变规律 ①、核电荷数，电子层结构，最外层电子数 ②、原子半径性质递变 ③、主要化合价④、金属性与非金属性 ⑤、气态氢化物的稳定性⑥、最高价氧化物的水化物酸碱性2、元素周期律元素的性质随着原子序数的递增而呈周期性变化，这个规律叫做元素周期律。
元素性质的周期性变化是元素原子的核外电子排布的周期性变化的必然结果。
原子结构及性质变化规律七主七副零和八三长三短一不全①与水反应置换氢的难易②最高价氧化物的水化物碱性强弱金属性强弱③单质的还原性或离子的氧化性（电解中在阴极上得电子的先后）④互相置换反应依据：⑤原电池反应中正负极①与H2化合的难易及氢化物的稳定性元素的非金属性强弱②最高价氧化物的水化物酸性强弱金属性或非金属③单质的氧化性或离子的还原性性强弱的判断④互相置换反应①、同周期元素的金属性，随荷电荷数的增加而减小，如：Na>Mg>Al;非金属性，随荷电荷数的增加而增大，如：Si<P<S<Cl。
规律：②、同主族元素的金属性，随荷电荷数的增加而增大，如：Li<Na<K<Rb<Cs;非金属性，随荷电荷数的增加而减小，如：F>Cl>Br>I。
③、金属活动性顺序表：K>Ca>Mg>Al>Zn>Fe>Sn>Pb>(H)>Cu>Hg>Ag>Pt>Au电子层数：相同条件下，电子层越多，半径越大。
第四章元素周期律(4微专题)教师版
微专题1 元素金属性、非金属性强弱的比较1．金属性强弱的判断方法金属性是指金属元素在化学反应中失电子的能力，通常用如下两种方法判断其强弱：(1)根据金属单质与水或非氧化性酸反应置换出氢气的难易程度判断，置换出氢气越容易，则金属性越强。
(2)根据金属元素最高价氧化物对应的水化物的碱性强弱判断，碱性越强，则金属元素的金属性越强。
2．非金属性强弱的判断方法非金属性是指非金属元素的原子得电子的能力，通常用如下两种方法判断：(1)根据非金属单质与H2化合的难易程度、生成气态氢化物的稳定性判断，越易化合，生成的气态氢化物越稳定，则非金属性越强。
(2)根据非金属元素最高价氧化物对应的水化物的酸性强弱判断，酸性越强，则元素的非金属性越强。
【随堂演练】1．已知铍(Be)的原子序数为4，下列关于铍及其化合物的叙述中正确的是( )A．铍的金属性比镁强B．氯化镁的氧化性比氯化铍强C．氢氧化铍的碱性比氢氧化钙的弱D．单质铍易和冷水反应产生氢气【答案】C【解析】Be位于第ⅡA族，金属性Be、Mg、Ca依次增强，A、B错，C正确；镁与冷水很难反应，Be与冷水更难反应，D错。
2．(2019·郑州高一期末)下列叙述中，能肯定A金属比B金属活泼性强的是( )A．A原子的最外层电子数比B原子的最外层电子数少B．A原子的电子层数比B原子的电子层数多C．1 mol A从酸中置换出的氢气比1 mol B从酸中置换出的氢气多D．常温时，A能从水中置换出氢气而B不能【答案】D【解析】选项A中只指出A、B两种元素原子的最外层电子数的多少，而没有指明它们的电子层数的多少，因而不能确定A、B金属的活泼性强弱，如Li的最外层电子数比Ca的少，但不如Ca活泼，A项错误；比较金属的活泼性强弱不能只根据电子层数的多少，如Na的电子层数比Cu的少，但Na比Cu活泼，B项错误；1 mol A从酸中置换出的H2比1 mol B从酸中置换出的H2多，只能说明1 mol A失去电子数比1 mol B多，而金属的活泼性强弱与原子失电子数目的多少无关，C项错误；常温时，A能从水中置换出氢气而B不能，说明A易失去电子，则A 金属的活泼性肯定比B金属的活泼性强，D项正确。
高考复习微专题—回旋加速器(选择题)习题选编 教师版
微专题—回旋加速器（选择题）习题选编一、单项选择题1．如图所示，回旋加速器是用来加速带电粒子使它获得很大动能的装置．其核心部分是两个D形金属盒，置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连．则下列说法正确的是（）A．带电粒子加速所获得的最大动能与金属盒的半径有关B．带电粒子从磁场中获得能量C．带电粒子加速所获得的最大动能与加速电压的大小有关D．带电粒子做圆周运动的周期随半径增大【答案】A【解析】【详解】粒子做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，根据qvB=m2vR得，最大速度：qBRvm=，则最大动能：E km=12mv2=2()2qBRm，知最大动能和金属盒的半径以及磁感应强度有关，与加速电压的大小无关，故A正确，C错误；磁场使粒子偏转，电场使粒子加速，粒子从电场中获得能量．故B错误；根据：qvB=mvω，其中：ω=2Tπ，联立解得：2mTqBπ=，故周期与半径的大小无关，不变，故D错误；故选A．【点睛】解决本题的关键知道当粒子从D形盒中出来时，速度最大．以及知道回旋加速器粒子在磁场中运动的周期和高频交流电的周期相等．2．如图所示为一种获得高能粒子的装置一一环形加速器，环形区域内存在垂直纸面向外的可变匀强磁场，质量为m、电荷量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动，A、B为两块中心开有小孔的极板，原来电势都为零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为+U，B板电势仍保持为零，设粒子的初速度为零，在两极板间的电场中加速，每当粒子离开电场区域时，A板电势又降为零，粒子在电场多次加速下动能不断增试卷第2页，总32页大，而在环形区域内绕中心运动的半径不变（设极板间距远小于R ），粒子重力不计，下列关于环形加速器的说法中正确的是（ ）A ．加速器对带正电粒子顺时针加速，对带负电粒子加速需要升高B 板电势 B ．电势U 越高，粒子最终的速度就越大C ．粒子第n 次绕行一圈所需的时间t n 与下一次所需时间t n+1的关系为1n n t t +=D ．第n 次绕行的磁感应强度大小B n 与下一次磁感应强度大小B n+1之比为1n n B B +=【答案】D 【解析】 【详解】A ．磁场方向垂直纸面向外，要使带正电的粒子能在环形区域做圆周运动，则由左手定则判断可知，带正电粒子顺时针运动，带负电粒子需逆时针运动，所以对带负电粒子加速需要升高A 板电势，A 错误；B ．粒子最终的速度与带电粒子被加速的次数有关，即使电势U 比较低，但如果加速次数多，速度也可以更大，B 错误；C ．粒子绕行n 圈获得的动能等于电场力对粒子做的功，设粒子绕行n 圈获得的速度为v n ，由动能定理：212n nqU mv =解得：n v =粒子绕行第n 圈所需时间：22n n R T vqUnππ== 所以1nn t t +=，C 错误； D ．粒子在环形区域磁场中，受洛伦兹力作用做半径为R 的匀速圆周运动：2nn n v qv B m R=解得：n n mv B qR ==所以1n n B B +=D 正确。
高中地理复习-1-0高考复习微专题练习：大坝(教师版)
…………外…………○…………○…………线…………学校:___________……内…………○…………装…………○…………订………内…………○…………装…一、单选题“丁”字坝是一段伸入河水（或海水）中的堤，与堤岸呈“丁”字形（如下图所示），可减缓近岸水的流速。
据此完成下列各题。
1．下图所示①、②、③、④四处最需建“丁”字坝的是 A ．① B ．② C ．③ D ．④ 2．“丁”字坝建成后A ．河流淤积加剧B ．河流水位下降，减轻洪涝灾害C ．河岸侵蚀加剧D ．河道中心通航能力增强 3．黄河济南北部某铁路桥附近多“丁”字坝，其主要作用是 A ．防洪 B ．减淤 C ．护堤 D ．防凌 【答案】1．A 2．D 3．C 【解析】1．“丁”字坝是一段伸入河水（或海水）中的堤，可减缓近岸水的流速；河流在凹岸水流速速度快，凸岸流速慢；需建“丁”字坝的是凹岸①；②是凸岸、③④在直河流上，河中心流速快。
选A 正确。
2．“丁”字坝深入河道，使水流集中在河道中心以加快流速、刷深河床、抑制泥沙沉积、加深航道水深等作用；靠近河岸处流速缓慢，避免水流冲刷河岸、泥沙在坝里淤积，改善航道。
选D 正确。
3．黄河在山东境内是地上河，铁路桥附近多“丁”字坝，利于保护河堤。
选C 正确。
【点晴】丁字坝是一段伸入水中或海吕的堤，呈丁字形，一般与河岸或路基成丁字形，与水流方向的夹角约为60-90度。
丁字坝的走向深入河道，用来使水流集中在河道中心以加快流速、刷深河床、抑制泥沙沉积、与加深航道水深等；同时使靠近河岸的流速减缓，避免水流冲刷河岸，泥沙在坝里淤积。
也在改善航道、维护河相及保护生物多样性方面发挥作用。
读下图，完成下列各题。
4．图中①②③④附近河水流速最快的是 A ．① B ．② C ．③ D ．④5．在图示区域内拟建一座小型水库，设计坝高约13 m 。
若仅考虑地形因素，最适宜建坝处的坝顶长度约 A ．15m B ．40m C ．90m D ．65m 【答案】4．C 5．B【解析】4．图中③附近河段等高线密集，表明该处坡度大，河水流速快。
微专题恒成立与能成立问题教师版
恒成立问题的几种类型一、在R 上恒成立问题【例1】不等式x 2－ax ＋1≥0对实数x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．答案：[－2，2]．解法1由题意得Δ≤0，所以－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围为[－2，2]．解法2当x ＝0时，x 2－ax ＋1≥0恒成立，∴a ∈R ，当x ≠0时，ax ≤x 2＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，a ≤x ＋1x ，且⎩⎪⎨⎪⎧x <0，a ≥x ＋1x ，恒成立． ∴－2≤a ≤2，综上所述，－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围为[－2，2]．【变式1】已知关于x 的不等式(m 2+4m -5)x 2-4(m -1)x +3>0对一切实数x 成立，求实数m 的取值范围.【变式2】已知函数f (x )=mx 2-mx -1，若f (x )<0对一切实数x 成立，求实数m 的取值范围.【练习1】已知022>--m x x 对R x ∈恒成立，求m 的取值范围.【练习2】已知R x mx x x ∈->+对12恒成立，求m 的取值范围.【练习3】若的取值范围恒成立，求对m R x x mx ∈>+-0122.二、在某定区间上恒成立问题【例2】对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a <0恒成立，求实数a 的取值范围．答案：(3，＋∞)．解法1：(利用函数最值)由题意得f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 在[－1，1]上的最大值小于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）<0，f （1）<0，解得a >3.所以实数a 的取值范围为(3，＋∞)． 解法2：(分离参数法)a >（x －2）22－x＝2－x 恒成立－1≤x ≤1，所以a >3. 所以实数a 的取值范围为(3，＋∞)．【变式1】不等式x 2－ax －1≥0对a ∈[－1，1]恒成立的，求实数x 的取值范围．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1＋52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，＋∞ 解析：设f (a )＝(－x )a ＋x 2－1，⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0f （1）≥0，所以x ≥1＋52或x ≤－1＋52， 即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1＋52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，＋∞. 【变式2】(2018·镇江期末)已知函数f (x )＝x 2－kx ＋4对任意的x ∈[1，3]，不等式f (x )≥0恒成立，则实数k 的最大值为________________．答案：4.解析：因为不等式f (x )≥0对任意的x ∈[1，3]恒成立，所以k ≤x 2＋4x ，因为x 2＋4x ＝x ＋4x≥ 2x·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号，所以k ≤4. 【变式3】已知函数f (x )=x 2+ax +3-a ，若f (x )<0对一切实数x ∈[-2,-2]成立，求实数a 的取值范围.点评：此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，我们分类标准是轴在区间上和在区间外，还有与其相反的，轴动区间定，讨论标准相同。
专题2 第14练 函数的零点与方程的解(教师版) 2022年新高考数学微专题加餐练
第14练函数的零点与方程的根考点一函数零点所在区间的判定1．函数f(x)＝lg x－12x的零点所在区间为() A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)答案B解析因为函数f(x)＝lg x－12x ，所以f(1)＝lg 1－121＝－12<0，f(2)＝lg 2－122＝lg 2－14>0，所以f(1)·f(2)<0，由零点存在定理可知，零点在区间(1,2)内．2．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则g()x0等于()A．4 B．5 C．2 D．3答案C解析函数f(x)＝ln x＋x－4在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以函数f(x)存在唯一的零点x0∈(2,3)，故g()x0＝2.3．(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是()A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点C．f(x)在区间(1,2)上可能有零点D．f(x)在区间(1,2)上一定有零点答案AC解析 因为f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，所以f (0)·f (1)<0，因为函数f (x )的图象在R 上连续不断，由零点存在定理，可得f (x )在区间()0，1上一定有零点．又f (1)·f (2)>0，因此无法判断f (x )在区间()1，2上是否有零点．考点二 函数零点个数的判定4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x －3，x ≤－2，lg ⎝⎛⎭⎫52＋x ，x >－2，的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 当x ≤－2时，令f (x )＝x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2±7，∵x ≤－2，∴x ＝－2－7；当x >－2时，令f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝0，解得x ＝－32. 综上，f (x )有2个零点．5．y ＝f (x )为定义在[]－5，5上周期为2的奇函数，则函数y ＝f (x )在[]－5，5上零点的个数为( )A ．5B ．6C ．11D ．12答案 C解析 因为y ＝f (x )为定义在[]－5，5上周期为2的奇函数，所以f (0)＝0，f ()x ＋2＝f (x )，所以f (2)＝0，f ()－2＝0，f (4)＝0，f ()－4＝0，所以f ()x ＋2＝f (x )＝－f (－x )，所以f (1)＝－f (1)，即f (1)＝0，。
微专题-化学中的文字表达题训练一(教师版)
【微专题-化学中的文字表达题训练一】一、回答文字表达题的要求 1、完整性 2、准确性 3、因果关系二、常见问题归纳1、XX 的作用、目的、理由、原因、优点、缺点是 ；XX 可以是装置、步骤、误差、试剂、仪器等；2、XX 的操作/方法/步骤是 ；XX 可以是检验离子、提取/回收某物质、仪器使用、检查气密性；3、XX 的现象是 ；4、XX 满足的条件是 ；5、根据XX 现象/图表/数据，得到的结论是： ；6、设计/补充的实验方案/对实验方案提出的改进建议/提出的假设是 ； 三、文字表达题的考虑角度1、环保角度：防污染空气、污染水、防止中毒等2、安全角度：防倒吸、防爆炸、防堵塞、平衡气压等3、减小误差，提高准确度：称量误差、气体体积误差4、反应条件角度：浓度、温度（水浴加热、直接加热、高温）、压强、催化剂、表面积等5、平衡移动角度：提高转化率、提高产率、抑制副反应的发生等6、原子利用率的角度：利用率100%等7、速率理论角度：浓度、温度、压强、催化剂、表面积等8、物质的物理性质：挥发性、溶解性、熔沸点，升华、凝固、液化等9、物质的化学性质：稳定性、氧化性、还原性、酸碱性、副反应、杂质的反应等 10、物质内部结构的角度：化学键、晶体结构、分子间作用力、分子的极性等 11、保护官能团的角度；12、成本角度：原料便宜、易得，方便运输。
13、资源综合利用；充分利用原料，用能量。
【高考真题选题】文字表达题从10-14年占比逐年增加【14高考】合成氨工艺的一个重要工序是铜洗，其目的是用铜液[醋酸二氨合铜（Ⅰ），氨水]吸收在生产过程中产生的2CO CO 和等气体，铜液吸收CO 的反应是放热反应，其反应方程式为：()332Cu NH Ac+CO+NH ()33Cu NH CO Ac ⎡⎤⎣⎦25. 简述铜液吸收CO 及铜液再生的操作步骤（注明吸收和再生的条件）。
27.已知2CS 与2CO 分子结构相似，2CS 熔点高于2CO ，其原因是答案：25.①低温加压下吸收CO;②然后将铜洗液转移至另一容器中；③高温下低压释放CO,然后将铜洗液循环利用。
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微专题训练1 自由落体和竖直上抛运动1．(单选)从某高处释放一粒小石子，经过1 s 从同一地点再释放另一粒小石子，则在它们落地之前，两粒石子间的距离将 ( )． A ．保持不变 B ．不断增大C ．不断减小D ．有时增大，有时减小解析 设第1粒石子运动的时间为t s ，则第2粒石子运动的时间为(t －1)s ，两粒石子间的距离为Δh ＝12gt 2－12g (t －1)2＝gt －12g ，可见，两粒石子间的距离随t 的增大而增大，故B 正确． 答案 B2．(多选)从水平地面竖直向上抛出一物体，物体在空中运动，到最后又落回地面．在不计空气阻力的条件下，以下判断正确的是 ( )． A ．物体上升阶段的加速度与物体下落阶段的加速度相同 B ．物体上升阶段的加速度与物体下落阶段的加速度方向相反 C ．物体上升过程经历的时间等于物体下落过程经历的时间 D ．物体上升过程经历的时间小于物体下落过程经历的时间解析 物体竖直上抛，不计空气阻力，只受重力，则物体上升和下降阶段加速度相同，大小为g ，方向向下，A 正确，B 错误；上升和下落阶段位移大小相等，加速度大小相等，所以上升和下落过程所经历的时间相等，C 正确，D 错误． 答案 AC3．(单选)取一根长2 m 左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘．在线的一端系上第一个垫圈，隔12 cm 再系一个，以后垫圈之间的距离分别为36 cm 、60 cm 、84 cm ，如图1所示．站在椅子上，向上提起线的另一端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地面上的金属盘内．松手后开始计时，若不计空气阻力，则第2、3、4、5各垫圈( )．图1A ．落到盘上的声音时间间隔越来越大B ．落到盘上的声音时间间隔相等C ．依次落到盘上的速率关系为1∶2∶3∶2D ．依次落到盘上的时间关系为1∶(2－1)∶(3－2)∶(2－3)解析 垫圈之间的距离分别为12 cm 、36 cm 、60 cm 、84 cm ，满足1∶3∶5∶7的关系，因此时间间隔相等，A 项错误，B 项正确．垫圈依次落到盘上的速率关系为1∶2∶3∶4∶…，垫圈依次落到盘上的时间关系为1∶2∶3∶4∶…，C 、D 项错误． 答案 B4．(单选)一物体自空中的A 点以一定的初速度竖直向上抛出，1 s 后物体的速率变为10 m/s ，则此时物体的位置和速度方向可能是(不计空气阻力，g ＝10 m/s 2)( )．A ．在A 点上方，速度方向向下B ．在A 点上方，速度方向向上C ．正在A 点，速度方向向下D ．在A 点下方，速度方向向下解析 做竖直上抛运动的物体，要先后经过上升和下降两个阶段，若1 s 后物体处在下降阶段，即速度方向向下，速度大小为10 m/s ，那么抛出时的速度大小为0，这显然与题中“以一定的初速度竖直向上抛出”不符，所以1 s 后物体只能处在上升阶段，即此时物体正在A 点上方，速度方向向上． 答案 B5．(单选)一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点a 的时间间隔是T a ，两次经过一个较高点b 的时间间隔是T b ，则a 、b 之间的距离为( )． A.18g (T 2a －T 2b ) B.14g (T 2a －T 2b ) C.12g (T 2a －T 2b ) D.12g (T a－T b ) 解析 根据时间的对称性，物体从a 点到最高点的时间为T a2，从b 点到最高点的时间为T b 2，所以a 点到最高点的距离h a ＝12g ⎝⎛⎭⎫T a 22＝gT 2a 8，b 点到最高点的距离h b ＝12g ⎝⎛⎭⎫T b 22＝gT 2b 8，故a 、b 之间的距离为h a －h b ＝18g (T 2a －T 2b )，故选A. 答案 A6．(2013·淮阴模拟)(单选)如图2所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图2中1、2、3、4、5…所示小球运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T ，每块砖的厚度为d .根据图中的信息，下列判断错误的是 ( )．图2A ．位置“1”是小球的初始位置B ．小球做匀加速直线运动C ．小球下落的加速度为dT 2D ．小球在位置“3”的速度为7d2T解析 由题图可知相邻的相等时间间隔的位移差相等都为d ，B 对；由Δx ＝aT 2＝d 可知C 对；位臵“3”是小球从位臵“2”到位臵“4”的中间时刻，据推论有v 3＝3d ＋4d 2T ＝7d2T ，D 对；位臵“1”到位臵“2”的距离与位臵“2”到位臵“3”的距离之比为2∶3，位臵“1”不是小球释放的初始位臵，故选A. 答案 A7．(单选)小球从空中某处由静止开始自由下落，与水平地面碰撞后上升到空中某一高度，此过程中小球速度随时间变化的关系如图3所示，则( )．图3A ．在下落和上升两个过程中，小球的加速度不同B ．小球开始下落处离地面的高度为0.8 mC ．整个过程中小球的位移为1.0 mD ．整个过程中小球的平均速度大小为2 m/s解析 v -t 图象斜率相同，即加速度相同，A 选项不正确；0～0.4 s 内小球做自由落体过程，通过的位移即为高度0.8 m ，B 选项正确；前0.4 s 小球自由下落0.8 m ，后0.2 s 反弹向上运动0.2 m ，所以整个过程中小球的位移为0.6 m ，C 选项不正确；整个过程中小球的平均速度大小为1m/s ，D 选项不正确． 答案 B8．李煜课外活动小组自制一枚火箭，火箭从地面发射后，始终在垂直于地面的方向上运动，火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s 到达离地面40 m 高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2，求： (1)燃料恰好用完时火箭的速度； (2)火箭离地面的最大高度；(3)火箭从发射到残骸落回地面过程的总时间． 解析 (1)设火箭的速度为v 则12v t ＝h ，所以v ＝20 m/s (2)最大高度h m ＝40 m ＋v 22g ＝60 m(3)t 1＝4 s ，t 2＝vg＝2 s ，t 3＝2h mg＝23s t ＝t 1＋t 2＋t 3＝(6＋23)s ＝9.46 s 答案 (1)20 m/s (2)60 m (3)9.46 s微专题训练2 汽车的“刹车”问题1．(单选)汽车进行刹车试验，若速率从8 m/s 匀减速至零，需用时间1 s ，按规定速率为8 m/s的汽车刹车后拖行路程不得超过5.9 m ，那么上述刹车试验的拖行路程是否符合规定( )．A ．拖行路程为8 m ，符合规定B ．拖行路程为8 m ，不符合规定C ．拖行路程为4 m ，符合规定D ．拖行路程为4 m ，不符合规定解析 由x ＝v 02t 可得：汽车刹车后的拖行路程为x ＝82×1 m ＝4 m<5.9 m ，所以刹车试验的拖行路程符合规定，C 正确． 答案 C2．(单选)一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1 s 内和第2s 内位移大小依次为9 m 和7 m ．则刹车后6 s 内的位移是( )． A ．20 m B ．24 m C ．25 mD ．75 m解析 由Δx ＝aT 2得：a ＝－2 m/s 2，由v 0T ＋12aT 2＝x 1得：v 0＝10 m/s ，汽车刹车时间t ＝0－v 0a ＝5 s<6 s ，故刹车后6 s 内的位移为x ＝0－v 202a ＝25 m ，C 正确．答案 C3．(多选)匀速运动的汽车从某时刻开始刹车，匀减速运动直至停止．若测得刹车时间为t ，刹车位移为x ，根据这些测量结果，可以求出 ( )．A ．汽车刹车过程的初速度B ．汽车刹车过程的加速度C ．汽车刹车过程的平均速度D ．汽车刹车过程的制动力解析 因汽车做匀减速直线运动，所以有x ＝12at 2＝v －t ，可以求出汽车刹车过程的加速度a 、平均速度v －，B 、C 正确；又v ＝at ，可求出汽车刹车过程的初速度，A 正确；因不知道汽车的质量，无法求出汽车刹车过程的制动力，D 错误． 答案 ABC4．(多选)一汽车在公路上以54 km/h 的速度行驶，突然发现前方30 m 处有一障碍物，为使汽车不撞上障碍物，驾驶员立刻刹车，刹车的加速度大小为6 m/s 2，则驾驶员允许的反应时间可以为( )．A ．0.5 sB ．0.7 sC ．0.8 sD ．0.9 s解析 汽车在驾驶员的反应时间内做匀速直线运动，刹车后做匀减速直线运动．根据题意和匀速直线运动、匀变速直线运动规律可得v 0t ＋v 202a ≤l ，代入数据解得t ≤0.75 s.答案 AB5．某驾驶员以30 m/s 的速度匀速行驶，发现前方70 m 处车辆突然停止，如果驾驶员看到前方车辆停止时的反应时间为0.5 s ，该汽车是否会有安全问题？已知该车刹车的最大加速度大小为7.5 m/s 2.解析 汽车做匀速直线运动的位移为 x 1＝v t ＝30×0.5 m ＝15 m 汽车做匀减速直线运动的位移：x 2＝0－v 22a ＝－3022×(－7.5) m ＝60 m汽车停下来的实际位移为： x ＝x 1＋x 2＝15 m ＋60 m ＝75 m由于前方距离只有70 m ，所以会有安全问题． 答案 有安全问题6．一辆汽车刹车前的速度为90 km/h ，刹车获得的加速度大小为10 m/s 2，求：(1)汽车刹车开始后10 s 内滑行的距离x 0；(2)从开始刹车到汽车位移为30 m 时所经历的时间t ； (3)汽车静止前1 s 内滑行的距离x ′. 解析 (1)判断汽车刹车所经历的时间由0＝v 0＋at 0及a ＝－10 m/s 2，v 0＝90 km/h ＝25 m/s 得：t 0＝－v 0a ＝2510 s ＝2.5 s<10 s汽车刹车后经过2.5 s 停下来，因此10 s 内汽车的位移只是2.5 s 内的位移 根据v 21－v 20＝2ax 0得x 0＝v 21－v 202a ＝0－2522×(－10)m ＝31.25 m.(2)根据x ＝v 0t ＋12at 2解得：t 1＝2 s ，t 2＝3 s>2.5 s(舍去)．(3)把汽车减速到速度为零的过程，看作反向的初速度为零的匀加速直线运动过程，求出汽车以10 m/s 2的加速度经过1 s 的位移，即：x ′＝12(－a )t ′2＝12×10×12m ＝5 m.答案 (1)31.25 m (2)2 s (3)5 m7．图是《驾驶员守则》中的安全距离图示和部分安全距离表格．(1)如果驾驶员的反应时间一定，请在表格中填上A 的数据； (2)如果路面情况相同，请在表格中填上B 、C 的数据；(3)如果路面情况相同，一名喝了酒的驾驶员发现前面50 m 处有一队学生正在横穿马路，此时他的车速为72 km/h ，而他的反应时间比正常时慢了0.1 s ，请问他能在50 m 内停下来吗？解析 (1)反应时间为t ＝s 1v 1＝0.9 s ，A ＝v t ＝20 m.(2)加速度a ＝v 22x 刹车＝50081 m/s 2，B ＝v 22a ＝40 m ，所以C ＝60 m.(3)司机的反应距离为x 1＝v t ＝20×(0.9＋0.1)m ＝20 m 司机的刹车距离为x 2＝v 22a＝2022×1 000162m ＝32.4 m ，x ＝x 1＋x 2＝52.4 m>50 m ，故不能． 答案 (1)20 m (2)40 m 60 m (3)不能微专题训练3 追及、相遇问题1．(多选)如图1是做直线运动的甲、乙两个物体的位移—时间图象，由图象可知( )．图1A ．乙开始运动时，两物体相距20 mB ．在0～10 s 这段时间内，两物体间的距离逐渐增大C ．在10～25 s 这段时间内，两物体间的距离逐渐变小D ．两物体在10 s 时相距最远，在25 s 时相遇解析 在0～10 s 这段时间内，两物体纵坐标的差值逐渐增大，说明两物体间的距离逐渐增大；在10～25 s 这段时间内，两物体纵坐标的差值逐渐减小，说明两物体间的距离逐渐变小，因此，两物体在10 s 时相距最远；在25 s 时，两图线相交，两物体纵坐标相等，说明它们到达同一位臵而相遇．选项B 、C 、D 正确． 答案 BCD2．(多选)a 、b 、c 三个物体在同一条直线上运动，三个物体的x -t 图象如图2所示，图象c 是一条抛物线，坐标原点是抛物线的顶点，下列说法中正确的是( )．图2A ．a 、b 两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同B ．a 、b 两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度大小相等，方向相反C ．在0～5 s 内，当t ＝5 s 时，a 、b 两个物体相距最近D ．物体c 一定做变速直线运动解析 a 、b 两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度大小相等，方向相反，A 错、B 正确；在0～5 s 内，当t ＝5 s 时，a 、b 两个物体相距最远x ＝20 m ，C 错；根据x -t 图象的斜率可判断D 选项是正确的． 答案 BD3．(单选)A 、B 两物体相距s ＝7 m ，物体A 在水平拉力和摩擦力的作用下，正以v A ＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B 此时在摩擦力作用下正以v B ＝10 m/s 的速度向右匀减速运动，加速度a ＝－2 m/s 2，则A 追上B 所经历的时间是( )．图3A ．7 sB ．8 sC ．9 sD ．10 s解析 t ＝5 s 时，物体B 的速度减为零，位移大小x B ＝12at 2＝25 m ，此时A 的位移x A ＝v A t ＝20 m ，A 、B 两物体相距Δs ＝s ＋x B －x A ＝7 m ＋25 m －20 m ＝12 m ，再经过Δt ＝Δs /v A ＝3 s ，A 追上B ，所以A 追上B 所经历的时间是5 s ＋3 s ＝8 s ，选项B 正确． 答案 B4．(2013·商丘二模)(单选)甲、乙两个物体从同一地点、沿同一直线同时做直线运动，其v -t 图象如图4所示，则( )．图4A．1 s时甲和乙相遇B．0～6 s内甲乙相距最大距离为1 mC．2～6 s内甲相对乙做匀速直线运动D．4 s时乙的加速度方向反向解析两物体从同一地点出发，t＝1 s之前乙的速度一直大于甲的速度，故两物体在t ＝1 s时不会相遇，A错误；在0～6 s内，在t＝6 s时两物体间距最大，最大距离为8 m，B错误；因2～6 s内甲、乙两物体减速的加速度相同，故v甲－v乙恒定不变，即甲相对乙做匀速直线运动，C正确，D错误．答案 C5．(单选)汽车A在红灯前停住，绿灯亮时启动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始()．A．A车在加速过程中与B车相遇B．A、B相遇时速度相同C．相遇时A车做匀速运动D．两车不可能相遇解析作出A、B两车运动的v -t图象如图所示，v -t图象所包围的“面积”表示位移，经过30 s时，两车运动图象所围面积并不相等，所以在A车加速运动的过程中，两车并未相遇，所以选项A错误；30 s后A车以12 m/s的速度做匀速直线运动，随着图象所围“面积”越来越大，可以判断在30 s后某时刻两车图象所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于B车的速度，所以两车不可能再次相遇，选项C正确，选项B、D错误．答案 C6．现有A 、B 两列火车在同一轨道上同向行驶，A 车在前，其速度v A ＝10 m/s ，B 车速度v B＝30 m/s.因大雾能见度低，B 车在距A 车600 m 时才发现前方有A 车，此时B 车立即刹车，但B 车要减速1 800 m 才能够停止． (1)B 车刹车后减速运动的加速度多大？(2)若B 车刹车8 s 后，A 车以加速度a 1＝0.5 m/s 2加速前进，问能否避免事故？若能够避免则两车最近时相距多远？解析 (1)设B 车减速运动的加速度大小为a ，有0－v 2B ＝－2ax 1，解得：a ＝0.25 m/s 2.(2)设B 车减速t 秒时两车的速度相同，有 v B －at ＝v A ＋a 1(t －Δt ) 代入数值解得t ＝32 s ，在此过程中B 车前进的位移为x B ＝v B t －at 22＝832 mA 车前进的位移为x A ＝v A Δt ＋v A (t －Δt )＋12a 1(t －Δt )2＝464 m ，因x A ＋x >x B ，故不会发生撞车事故， 此时Δx ＝x A ＋x －x B ＝232 m.答案 (1)0.25 m/s 2 (2)可以避免事故 232 m7．甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L 1＝11 m 处，乙车速度v 乙＝60 m/s ，甲车速度v 甲＝50 m/s ，此时乙车离终点线尚有L 2＝600 m ，如图5所示．若甲车加速运动，加速度a ＝2 m/s 2，乙车速度不变，不计车长．求：图5(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？ (2)到达终点时甲车能否超过乙车？解析 (1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v 甲＋at 1＝v 乙，得t 1＝v 乙－v 甲a ＝60－502s ＝5 s ； 甲车位移x 甲＝v 甲t 1＋12at 21＝275 m ，乙车位移x 乙＝v 乙t 1＝60×5 m ＝300 m ， 此时两车间距离Δx ＝x 乙＋L 1－x 甲＝36 m (2)甲车追上乙车时，位移关系x 甲′＝x 乙′＋L 1甲车位移x 甲′＝v 甲t 2＋12at 22，乙车位移x 乙′＝v 乙t 2， 将x 甲′、x 乙′代入位移关系，得v 甲t 2＋12at 22＝v 乙t 2＋L 1， 代入数值并整理得t 22－10t 2－11＝0，解得t 2＝－1 s(舍去)或t 2＝11 s ，此时乙车位移x 乙′＝v 乙t 2＝660 m ，因x 乙′>L 2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能追上乙车．答案 (1)5 s 36 m (2)不能微专题训练4 “滑轮”模型和“死结”模型问题 )1．(单选)如图1所示，杆BC 的B 端用铰链接在竖直墙上，另一端C 为一滑轮．重物G 上系一绳经过滑轮固定于墙上A 点处，杆恰好平衡．若将绳的A 端沿墙缓慢向下移(BC 杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则( )．图1A ．绳的拉力增大，BC 杆受绳的压力增大B ．绳的拉力不变，BC 杆受绳的压力增大C ．绳的拉力不变，BC 杆受绳的压力减小D ．绳的拉力不变，BC 杆受绳的压力不变解析 选取绳子与滑轮的接触点为研究对象，对其受力分析，如图所示，绳中的弹力大小相等，即T 1＝T 2＝G ，C 点处于三力平衡状态，将三个力的示意图平移可以组成闭合三角形，如图中虚线所示，设AC 段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可知F＝2G sin θ2，当绳的A端沿墙缓慢向下移时，绳的拉力不变，θ增大，F也增大，根据牛顿第三定律知，BC杆受绳的压力增大，B正确．答案 B2．(单选)如图2所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体A、B，A悬挂起来，B穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计绳与滑轮、B与竖直杆间的摩擦，已知绳与竖直杆间的夹角θ，则物体A、B的质量之比m A∶m B等于()．图2A．cos θ∶1 B．1∶cos θC．tan θ∶1 D．1∶sin θ解析由物体A平衡可知，绳中张力F＝m A g，物体B平衡，竖直方向合力为零，则有F cos θ＝m B g，故得：m A∶m B＝1∶cos θ，B正确．答案 B图33．(2013·扬州调研)(单选)两物体M、m用跨过光滑定滑轮的轻绳相连，如图3所示，OA、OB与水平面的夹角分别为30°、60°，M、m均处于静止状态．则()．A．绳OA对M的拉力大小大于绳OB对M的拉力B．绳OA对M的拉力大小等于绳OB对M的拉力C．m受到水平面的静摩擦力大小为零D．m受到水平面的静摩擦力的方向水平向左解析设绳OA对M的拉力为F A，绳OB对M的拉力为F B，由O点合力为零可得：F A·cos 30°＝F B·cos 60°即3F A＝F B.故A、B均错误；因F B>F A，物体m有向右滑动的趋势，m 受到水平面的摩擦力的方向水平向左，D正确，C错误．答案 D4．(单选)在如图4所示的四幅图中，AB、BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链相连接．下列说法正确的是()．图4A．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、乙B．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、丙、丁C．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丙D．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丁解析如果杆端受拉力作用，则可用等长的轻绳代替，若杆端受到沿杆的压力作用，则杆不可用等长的轻绳代替，如图甲、丙、丁中的AB杆受拉力作用，而甲、乙、丁中的BC杆均受沿杆的压力作用，故A、C、D均错误，只有B正确．答案 B5．如图5所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体，∠ACB＝30°，g取10 m/s2，求：图5(1)轻绳AC段的张力F AC的大小；(2)横梁BC对C端的支持力大小及方向．解析物体M处于平衡状态，根据平衡条件可判断，与物体相连的轻绳拉力大小等于物体的重力，取C点为研究对象，进行受力分析，如图所示．(1)图中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M的物体，物体处于平衡状态，绳AC段的拉力大小为：F AC＝F CD＝Mg＝10×10 N＝100 N(2)由几何关系得：F C＝F AC＝Mg＝100 N方向和水平方向成30°角斜向右上方答案(1)100 N(2)100 N方向与水平方向成30°角斜向右上方6．若上题中横梁BC换为水平轻杆，且B端用铰链固定在竖直墙上，如图6所示，轻绳AD 拴接在C端，求：图6(1)轻绳AC段的张力F AC的大小；(2)轻杆BC对C端的支持力．解析物体M处于平衡状态，与物体相连的轻绳拉力大小等于物体的重力，取C点为研究对象，进行受力分析，如图所示．(1)由F AC sin 30°＝F CD＝Mg得；F AC＝2Mg＝2×10×10 N＝200 N(2)由平衡方程得：F AC cos 30°－F C＝0解得：F C＝2Mg cos 30°＝3Mg≈173 N方向水平向右．答案 (1)200 N(2)173 N ，方向水平向右微专题训练5 平衡中的临界、极值问题1．(单选)如图1所示，在绳下端挂一物体，用力F 拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α，且保持其平衡．保持α不变，当拉力F 有最小值时，F 与水平方向的夹角β应是( )．图1A ．0B.π2 C ．α D ．2α解析 由题图可知当F 与倾斜绳子垂直时具有最小值，所以β＝α.答案 C2．(多选)如图2甲所示，一物块在粗糙斜面上，在平行斜面向上的外力F 作用下，斜面和物块始终处于静止状态．当外力F 按照图乙所示规律变化时，下列说法正确的是( )．图2A ．地面对斜面的摩擦力逐渐减小B ．地面对斜面的摩擦力逐渐增大C ．物块对斜面的摩擦力可能一直增大D ．物块对斜面的摩擦力可能一直减小解析 设斜面的倾角为θ，物块和斜面均处于平衡状态，以物块和斜面作为整体研究，在水平方向上有F f ＝F cos θ，外力不断减小，故地面对斜面的摩擦力不断减小，故A 正确、B 错误．对于物块m ，沿斜面方向：(1)若F 0>mg sin θ，随外力F 不断减小，斜面对物块的摩擦力先沿斜面向下减小为零，再沿斜面向上逐渐增大；(2)若F 0≤mg sin θ，随外力F 不断减小，斜面对物块的摩擦力沿斜面向上不断增大，故C 正确、D 错误． 答案 AC3．(单选)如图3所示，光滑斜面的倾角为30°，轻绳通过两个滑轮与A 相连，轻绳的另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦．物块A 的质量为m ，不计滑轮的质量，挂上物块B 后，当动滑轮两边轻绳的夹角为90°时，A 、B 恰能保持静止，则物块B 的质量为( )．图3 A.22m B.2mC ．mD ．2m 解析 先以A 为研究对象，由A 物块受力及平衡条件可得绳中张力F T ＝mg sin 30°.再以动滑轮为研究对象，分析其受力并由平衡条件有m B g ＝2F T cos 45°＝2F T ，解得m B ＝22m ，A 正确．答案 A4．(单选)如图4所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上，用挡板AO 将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则 ( )．图4A ．当β＝30°时，挡板AO 所受压力最小，最小值为mg sin αB ．当β＝60°时，挡板AO 所受压力最小，最小值为mg cos αC ．当β＝60°时，挡板AO 所受压力最小，最小值为mg sin αD ．当β＝90°时，挡板AO 所受压力最小，最小值为mg sin α解析 以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个：对斜面产生的压力F N 1、对挡板产生的压力F N 2，根据重力产生的效果将重力分解，如图所示．当挡板与斜面的夹角β由图示位臵变化时，F N 1大小改变但方向不变，始终与斜面垂直，F N 2的大小和方向均改变，由图可看出当挡板AO 与斜面垂直，即β＝90°时，挡板AO 所受压力最小，最小压力F N2min ＝mg sin α，D 项正确．答案 D5．(单选)如图5所示，三根长度均为l 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距为2l .现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加的力的最小值为 ( )．图5A ．mg B.33mg C.12mg D.14mg 解析如图所示，对C 点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD 对C 点的拉力F CD ＝mg tan 30°；对D 点进行受力分析，绳CD 对D 点的拉力F 2＝F CD ＝mg tan 30°，F 1方向一定，则当F 3垂直于绳BD 时，F 3最小，由几何关系可知，F 3＝F 2sin 60°＝12mg .答案 C6．如图6所示，两个完全相同的球，重力大小均为G ，两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ，且假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，一根轻绳两端固结在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为α.问当F 至少为多大时，两球将会发生滑动？图6解析 对结点O 受力分析如图(a)所示，由平衡条件得：F 1＝F 2＝F 2cos α2对任一球(如右球)受力分析如图(b)所示，球发生滑动的临界条件是：F 2′sin α2＝μF N . 又F 2′cos α2＋F N ＝G .F 2′＝F 2 联立解得：F ＝2μG μ＋tan α2. 答案 2μG μ＋tan α2微专题训练6 含弹簧的平衡问题1．(单选)如图1所示，完全相同的、质量为m 的A 、B 两球，用两根等长的细线悬挂在O 点，两球之间夹着一根劲度系数为k 的轻弹簧，静止不动时，弹簧处于水平方向，两根细线之间的夹角为θ，则弹簧的长度被压缩了( )．图1A.mg tan θkB.2mg tan θkC.mg tan θ2kD.2mg tan θ2k解析 对A 受力分析可知，A 球受竖直向下的重力mg 、沿着细线方向的拉力F T 以及水平向左的弹簧弹力F ，由正交分解法可得水平方向F T sin θ2＝F ＝k Δx ，竖直方向F T cos θ2＝mg ，解得Δx ＝mg tan θ2k，C 正确． 答案 C2．(多选)如图2所示，A 、B 、C 、D 是四个完全相同的木块，在图甲中，水平力F 作用于B 上，A 、B 处于静止状态，图乙中，竖直弹簧作用于D 上，C 、D 处于静止状态，则关于A 、B 、C 、D 的受力情况，下列说法正确的是( )．图2A ．图甲中A 受五个力，图乙中C 受三个力B ．图乙中墙对C 可能有摩擦力C ．图甲中墙对A 一定没有摩擦力D ．图乙中D 对C 一定有向右上方的摩擦力解析 在图甲中，A 受重力、墙的支持力、B 的支持力、墙的摩擦力(向上)，B 的摩擦力(左下方)，共五个力，而图乙中，墙对C 没有摩擦力和支持力，A 正确，B 错误；选整体为研究对象，可知图甲中，墙对A 一定有向上的摩擦力，C 错误；而图乙中，C 处于静止状态，一定受到D 对其向右上方的摩擦力，D 正确．答案 AD3．(单选)如图3所示，在水平传送带上有三个质量分别为m 1、m 2、m 3的木块1、2、3,1和2及2和3间分别用原长为L ，劲度系数为k 的轻弹簧连接起来，木块与传送带间的动摩擦因数均为μ，现用水平细绳将木块1固定在左边的墙上，传送带按图示方向匀速运动，当三个木块达到平衡后，1、3两木块之间的距离是( )．图3A ．2L ＋μ(m 2＋m 3)g kB ．2L ＋μ(m 2＋2m 3)g kC ．2L ＋μ(m 1＋m 2＋m 3)g kD ．2L ＋μm 3g k解析 先以2、3为整体分析，设1、2间弹簧的伸长量为x 1，有kx 1＝μ(m 2＋m 3)g ；再以3为研究对象，设2、3间弹簧伸长量为x 2.有kx 2＝μm 3g ，所以1、3两木块之间的距离为2L ＋x 1＋x 2，故选B.答案 B4．(单选)如图4所示，A 、B 两物体叠放在水平地面上，A 物体质量m ＝20 kg ，B 物体质量M ＝30 kg.处于水平位置的轻弹簧一端固定于墙壁，另一端与A 物体相连，弹簧处于自然状态，其劲度系数为250 N/m ，A 与B 之间、B 与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.5.现有一水平推力F 作用于物体B 上缓慢地向墙壁移动，当移动0.2 m 时，水平推力F 的大小为(g 取10 m/s 2)( )．图4A ．350 NB ．300 NC ．250 ND ．200 N解析 由题意可知f A max ＝μmg ＝100 N ．当A 向左移动0.2 m 时，F 弹＝k Δx ＝50 N ，F 弹<f A max，即A、B间未出现相对滑动，对整体受力分析可知，F＝f B＋F弹＝μ(m＋M)g＋kΔx＝300 N，B选项正确．答案 B5．(单选)如图5所示，在光滑水平面上，用弹簧水平连接一斜面体，弹簧的另一端固定在墙上，一玩具遥控小车放在斜面上，系统静止不动．用遥控启动小车，小车沿斜面加速上升，则()．图5A．系统静止时弹簧处于压缩状态B．小车加速时弹簧处于原长C．小车加速时弹簧处于压缩状态D．小车加速时可将弹簧换成细绳解析系统静止时，其合力为零，对系统受力分析，如图所示．系统水平方向不受弹簧的作用力，即弹簧处于原长状态，A错误；当小车沿斜面加速上升时，仍对系统受力分析，如图所示．由图中关系可知：弹簧对斜面体有水平向右的拉力，即弹簧处于伸长状态，可以将弹簧换成细绳，B、C错误，D正确．答案 D6．(单选)三个质量均为1 kg的相同木块a、b、c和两个劲度系数均为500 N/m的相同轻弹簧p、q用轻绳连接如图6，其中a放在光滑水平桌面上．开始时p弹簧处于原长，木块都处于静止状态．现用水平力缓慢地向左拉p弹簧的左端，直到c木块刚好离开水平地面为止，g取10 m/s2.该过程p弹簧的左端向左移动的距离是()．图6A．4 cm B．6 cm。