数量积打印稿

课 题：平面向量的数量积
主备人：江利阳 审核：陈汝明
班级 姓名 学号
考纲要求：平面向量的数量积高考要求为C 级.
学习目标：
1．理解平面向量数量积的含义；掌握平面向量的数量积的性质与运算律．
2．能用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题．
主要知识点：
1.向量的夹角：非零向量a 和b ，作，b OB a OA ==,则(θ=∠AOB ≤≤θ ）叫a 和b 的夹角。

2.已知两个非零向量a 和b 的夹角为θ，则向量a 与b 的数量积=⋅b a 。

3.数量积的性质：
①a a ⋅ 2，②= ，③⋅（用=≥≤,,填写）
4.运算律：①=⋅ ，②=⋅)(λ = ，③=⋅+)( 。

5.向量数量积的坐标运算：设),(),,(2211y x y x ==（1）=⋅b a ，
（2= ，（3）= ，（4）a ⊥b ⇔ ⇔ 。

预习自测：
1．设,,a b c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题： . (1) =∙, (2)||||||=∙, (3)2
22)(∙=⋅, (4)220,a b += 则0a b == , (5)0b a =∙，则a 、b 中至少有一个是0 , (6)a ≠0 且c a b a ∙=∙，则b c = ,
(7)（a b ⋅ ）c －（c a ⋅ ）b =0；(8)|a |－|b |＜|a －b |；(9)（b c ⋅ ）a －（c a ⋅ ）b 与c 垂直； (10)（3a +2b ）·（3a －2b ）-=9|a |2－4|b |2.
2.已知)1,2(),3,(-==x ，若a 与b 的夹角为锐角，则x 的取值范围是 .
3.若向量和满足||=1,| |=2, 与的夹角为60°,则·(+)的值为 .
4.)0,1(),2,3(-=-=，向量)2()(-⊥+λ，则实数λ= .
5.已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,=+==的夹角为 .
6.半圆的直径AB=2,O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则⋅+)(的最小值为 .
7.已知向量)1 ,1(b ),1 ,1(a -=-=x x
x , 则||+的最小值是 . 8.已知向量|2|)1,3()sin ,(cos --==，则，向量θθ的最大值、最小值分别是 .
9.在△ABC 中，∠BAC=120
,AB=2, AC=1 , D 是BC 边的中点，则∙= .
10.已知,,满足=++，与与夹角分别为0135、
01201=，= . 问题探究：
例1.已知||a =4，||b =5，当a 与b 夹角为120︒时，求: ①∙； ②)b a ()b 2a (+∙-； ③,a b a b +- 的值.
例2.在ABC ∆中， G 是ABC ∆的重心，且sin 35sin 40sin 56=⋅+⋅+⋅C B A .
（1）求角B 的大小；（2）设k k A A ⋅>==),1)(1,4(),2cos ,(sin = 5，求k 的值。

例3.已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA
（1）求⋅，⋅，⋅的值； （2）求ABC ∆的面积。

例4.已知(3,0),(0,3),(sin ,cos )A B C αα
(1)若，1-=⋅BC AC 求sin 2α值；(2) ||OA OC + ，且(0,)απ∈，求,OB OC 的夹角,
(3)△ABC 的一个内角为直角，求tan α的值.
例5.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .
如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其
中,x y R ∈,求x y +的最大值.
课后作业：
1.ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则=⋅BC AD ．
2.|a |=3,|b |=4,a b ⊥ ，则,2a b a b -+ 的夹角是的余弦值 .
3.在三角形ABC 中，060,8,5===C b a ，则BC CA ⋅= .
4.已知向量OA =（2，2），OB =（4，1），在x 轴上一点P 使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是 .
5.在ABC △中，已知||=4，||=1，,3=∆ABC S 则⋅= .
6.已知B A O ,,是平面上的不共线的三点，设P 为线段AB 的垂直平分线上的任意一点，若
,57==则)(-⋅= .
7.在ABC △中，O 为中线AM 上一个动点，若，2=AM 则()OA OB OC ⋅+ 的最小值为 .
8.知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（-）·（-）=0，则||的最大值是 .
9.设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-
（1）若a 与2b c - 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c + 的最大值;
（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b
10.平面向量),1,2(),1,5(),7,1(===点X 为直线OP 上的一个动点。

（1）当⋅取最小值时，求的坐标；(2) 当X 满足（1）结论时，求AXB ∠cos 的值。

高考节选：
1.（广东）若向量,,满足∥且⊥，则()2+⋅= .
2.（福建）已知O 是坐标原点，点()1,1-A 若点()y x M ,为平面区域,21
2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+y x y x 上的一个动点，则OA ·OM
的取值范围是 .
3.（辽宁）若,,均为单位向量，且，0=⋅(),0-≤-⋅（则++的模最大值为 .
4.（江西）已知向量a ，b 满足1a = ，2b = ， a 与b 的夹角为60°，则a b -= .
5.（湖南）在边长为1的正ABC △中, 设2,3,BC BD CA CE == 则AD BE ⋅= .
6.（天津）已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB + 的最小值为 .
7.（江西理11）已知2a b == ,(2)a b + ·a b - （）=-2，则a 与b 的夹角为 .
8.（全国卷）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB
∙ 的最小值为 .。