华东师大初中数学初三中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--知识讲解(基础)

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华师大版九年级下册初三数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

华师大版九年级下册数学重难点突破全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习二次函数的概念—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.【要点梳理】要点一、函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.要点二、函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a, b, c 是常数，a≠0）的函数叫做x 的二次函数.若b=0，则y=ax 2+c ；若c=0，则y=ax 2+bx ；若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．【典型例题】类型一、函数的相关概念1、（2016•南宁）下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（）A. B. C. D.【思路点拨】根据函数的意义求解即可求出答案．【答案】 D ；【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故D 正确．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．举一反三：【变式】下列等式中，y 是x 的函数有（）个.22320,1,||,||x y x y y y x x y -=-==== A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C ；要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2时，y与它对应，对于||x y =，当x 取2时，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数定义的要求：y 都有惟一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义.2、求出下列函数中自变量x 的取值范围.（1）．52+-=x x y（2）．423xy x =- （3）．y =（4）．y =（5）．y =（6）．y =【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x 的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等. 【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义；（2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）．y =2x ＋3≥0，即32x ≥-；（4）．y =2x －1＞0，即12x >；（5）．y =x 为任何实数，函数都有意义；（6）．y =，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况.3、若y 与x 的关系式为2-+4+5y x x =，当x ＝2时，y 的值为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【思路点拨】把2x =代入关系式即可求得函数值. 【答案】B ；【解析】224259y =-+⨯+=.【总结升华】y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 类型二、函数的三种表示方法4、一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．(1)由记录表推出这5小时中水位高度y （米）随时间t•（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数. 【答案与解析】解：(1)由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0.05米，•这样的规律可以表示为：y=0.05t+10（0≤t ≤5）这个函数的图象如下图所示：(2)再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0.05t+10的函数值，从解析式容易算出：y=0.05×7+10=10.35,从函数图象也能得出这个值数．答：2小时后，预计水位高10.35米．【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题. 类型三、二次函数的概念5、当常数m≠ 时，函数y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是二次函数；当常数m= 时，这个函数是一次函数．【思路点拨】根据一次函数与二次函数的定义求解.【答案与解析】解：由函数y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是二次函数，得 m 2﹣2m ﹣8m≠0．解得m≠4，m≠﹣2，由y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是一次函数，得，解得m=4，故答案为：4，﹣2；4．【总结升华】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不能为零，一次函数一次项的系数不能为零．举一反三：【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A.22x y -= B.xx y 12-= C.22)2(x x y --= D.123+-=x x y 【答案】A 【变式2】若函数是二次函数，则m 的值是．【答案与解析】解：若函数是二次函数，则m 2﹣9m+20=2，再利用m ﹣6≠0，故（m ﹣3）（m ﹣6）=0，m≠6，解得：m=3．故答案为：3．二次函数的概念——巩固练习（基础）【巩固练习】一.选择题1．如图，表示y 是x 的函数图象是（）2. 当x=4时，函数2231y x x =-+-的值是（） A ．-19 B ．-20 C ．-21 D ．-223. 在函数31y x =-中，自变量x 的取值范围是（）A ．13x <B ．13x ≠-C ．13x ≠D ．13x >4．矩形的周长为18cm ，则它的面积S （2cm ）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式是（）A ．(9)(09)S x x x =-<<B ．(9)(09)S x x x =+<≤C ．(18)(09)S x x x =-<≤D ．(18)(09)S x x x =+<<5．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）间的函数关系用图象表示是（）6. （2017•浦东新区一模）在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（） A ．y=2x 2 B ．y=2x ﹣2C ．y=ax 2D ．二.填空题7. 油箱中有油30kg ，油从管道中匀速流出，1小时流完，•求油箱中剩余油量Q （kg ）与流出时间t （分钟）间的函数关系式为_____________，•自变量的范围是____________．当Q ＝10 kg 时，t ＝__________（分钟）． 8．（2016•银川校级一模）当m= 时，函数是二次函数．9. 用一根长为800厘米的木条，做一个长方形的窗框，若宽为x 厘米，则它的面积)(2cm y 与x )(cm 之间的函数解析式y=____________. 10.当x________________时，函数23y x x =+-.11.将(23)(1)3y x x =+--化成二次函数的一般式是：________________.12.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额为10000元，则两年后的本息和y （元）的表达式为________________. 三.解答题13.某工厂现在年产值25万元，计划今后每年增加2万元. （1）写出年产值y (万元)与年数x 的函数关系；（2）画出函数图象；（3）求计划7年后的年产值.14.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量y （件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系式y=162-3x ，求商场销售这种商品的日销售利润W （元）与每件商品的销售价x 元之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.15.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围. （2）设该宾馆每天的利润为w 元，请写出w 关于x 的函数关系式.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】把握函数的定义，对于自变量x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值和它对应. 2. 【答案】C.【解析】将x=4代入函数2231y x x =-+-即可求得. 3. 【答案】D ；【解析】要使函数有意义，需3x －1＞0. 4. 【答案】A ；【解析】矩形的另一边长为18292xx -=-，所以(9)(09)S x x x =-<<. 5. 【答案】D ； 6.【答案】A ；【解析】A 、是二次函数，故A 符合题意；B 、是一次函数，故B 错误；C 、a=0时，不是二次函数，故C 错误；D 、a ≠0时是分式方程，故D 错误.二.填空题7. 【答案】t Q 5.030-=；600≤≤t ；40．【解析】油从油箱里流出的速度为30÷60=0.5/min kg ，所以函数关系式t Q 5.030-= 8.【答案】1．【解析】解：根据题意得：m 2+1=2且m+1≠0，解得m=±1且m ≠﹣1，所以m=1． 9. 【答案】2400y x x =-+【解析】宽为xcm ，则长为（400-x ）cm ，所以面积2(400)400y x x x x =-=-+. 10.【答案】-2≤x ≤3；【解析】二次根式有意义，需要被开方数大于等于0，即2030x x +≥⎧⎨-≥⎩.11.【答案】226y x x =+-.12.【答案】2100002000010000y x x =++【解析】定期存款一年后本息和为：10000（1+x ）元，定期存款两年后本息和为：10000（1+x ）2元.二.解答题 13.【解析】解：（1）252y x =+ （2）通过列表，描点，画出下图：（3）当x ＝7时，y ＝25＋2×7＝25＋14＝39（万元），故计划7年后的年产值是39万元.14.【解析】解：由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么y 件的销售利润为 W=y×（x-30），又∵y=162-3x ， ∴W= (x-30)(162-3x)=-3x 2+252x-4860 ∵30016230x x -⎧⎨-⎩≥≥，解得30≤x ≤54.∴y=-3x 2+252x-4860（30≤x ≤54）. 15.【解析】解：（1）y=50—10x（0＜x ≤160，且为10的正整数倍）（2）()180205010x w x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭=2134800010x x -++（0＜x ≤160，且为10的正整数倍）二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1．（2016•潮南区模拟）二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2的顶点的坐标是，对称轴是．【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可．【答案】（3，2），直线x=3．【解析】二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2；顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x=3．故答案为：（3，2），直线x=3．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．举一反三：【课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 391919 练习2】【变式】将抛物线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为．【答案】23127y x x =-+-.2．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【答案与解析】解：y=x 2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， ∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．举一反三：【课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 391919 练习2】【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y 1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣，∴二次函数解析式为y 1=﹣（x ﹣2）2=﹣a 2+a ﹣1；设直线AB 解析式为y=kx+b ，把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y 1=y 2时，x=0或x=2，y 1＞y 2时，0＜x ＜2．【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：212y x =，2132y x =+，2132y x =-．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线212y x c =+的开口方向，对称轴及顶点坐标．【答案与解析】（1）列表：x... -3 -2 -1 0 1 2 3 (2)12y x =…142 212 012 2142…描点、连线，可得抛物线22y x =．将212y x =的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到2132y x =+与2132y x =-的图象（如图所示）．抛物线212y x =，2132y x =+与2132y x =-开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）抛物线212y x c =+的开口向上，对称轴是y 轴（或直线0x =），顶点坐标为（0，c ）．【总结升华】先用描点法画出212y x =的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．规律总结：2y ax k =+k ←−−−−−向上平移个单位2y ax =k −−−−→向下平移个单位2(0)y ax k k =->．二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.抛物线2(2)3y x =-+-的顶点坐标是（）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3) 2.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（） A.y=21(x －1)2+2 B.y=21(x －1)2+21 C.y=21(x －1)2－3 D.y=21(x+2)2－1 3．抛物线y=21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( ) A.y=21(x+3)2－2 B.y=21(x －3)2+2 C.y=21(x －3)2－2 D.y=21(x+3)2+2 4．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（）A ．2)1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y5．由二次函数22(3)1y x =-+，可知（）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（）.A. B. C. D.二、填空题7. （2015•怀化）二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为，对称轴是直线．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_ _____. 9．（2016•宝山区一模）抛物线y=﹣2（x ﹣3）2+4的顶点坐标是．10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____． 12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知3y kx =-+的图象经过点C ，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．（2016•盐城校级期末）已知二次函数y=（x ﹣2）2﹣4．（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出当y ＜0时x 的取值范围．14. 已知抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线2()y a x h k =-+；（1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出2()y a x h k =-+与212y x =-的图象；（3）观察2()y a x h k =-+的图象，当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，函数y 有最________值，最________值是y =________；（4）观察2()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？15．（2015•珠海）已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】D ；【解析】由顶点式可求顶点，由20x +=得2x =-，此时，3y =-． 2.【答案】D ；【解析】通过配方即可得到结论. 3.【答案】A ；【解析】抛物线 y=21x 2向左平移3个单位得到y=21(x+3)2，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y=21(x+3)2－2.4.【答案】B ；【解析】通过配方即可得到结论. 5.【答案】C ；【解析】可画草图进行判断. 6.【答案】D ；【解析】解：A 、由直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，n 2＜0，错误；B 、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知，m ＞0，由直线可知，﹣m ＞0，错误；C 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＜0，错误；D 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＞0，正确，故选D ．二、填空题 7．【答案】（﹣1，﹣1）； x=﹣1；【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x 2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．8．【答案】x ≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y 随x 的增大而减小，故x ≥－1.9.【答案】（3，4）．【解析】y=﹣2（x ﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）． 10．【答案】249y x x =---；【解析】设2(2)5y a x =+-过点（1，－14）得1a =-，所以22(2)549y x x x =-+-=---. 11．【答案】21027y x x =-+；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解. 12．【答案】 1；【解析】C(2，-6)，可求932y x =-+与x 轴交于2(,0)3，与y 轴交于(0，3)，∴ 123123S =⨯⨯=. 三、解答题13.【答案与解析】x … 0 1 2 3 4 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …（2）由图象可知：当y ＜0时x 的取值范围是0＜x ＜4． 14.【答案与解析】（1）由212y x =-向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是21(1)22y x =--+．∴ 12a =-，1h =，2k =．（2）函数21(1)22y x =--+与212y x =-的图象如图所示．（3）观察2()y a x h k =-+的图象，当1x <时，y 随x 的增大而增大；当1x =时，函数y 有最大值，最大值是2y =．（4）由图象知，对于一切x 的值，总有函数值2y ≤． 15.【答案与解析】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；（2）解：∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b﹣8=0， ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a ，∴16a﹣8a ﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴ax 2+bx ﹣8=0为：x 2﹣2x ﹣8=0，则（x ﹣4）（x+2）=0，解得：x 1=4，x 2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1. 会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3.经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭．对照2()y a x h k =-+，可知2bh a=-，244ac b k a -=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．要点诠释：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质2.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2bx a=-时，244ac b y a-=最值．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当2bx a=-时，244ac b y a -=最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，222y ax bx c =++最大值；当x ＝x 1时，211y ax bx c =++最小值，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，2b x a=-时y 值的情况．【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1．求抛物线2142y x x =-+-的对称轴和顶点坐标．【答案与解析】解法1（配方法）：2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =-+-=---=--+-- 211(1)422x =--+-217(1)22x =---．∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．解法2（公式法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-，∴ 11122()2b x a=-=-=⨯-，2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯-⨯-- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． ∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．解法3（代入法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-， ∴ 111222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．将1x =代入解析式中得，21711422y =-⨯+-=-．∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．举一反三：【课程名称：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 392790 例题1】【变式】把一般式2286y x x =-+-化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.2．（2016•泰安）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax 2+bx+c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax+b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．【答案】A ．【解析】解：∵y=ax 2+bx+c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax+b 的图象经过一，二，三象限．故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的取值范围．类型二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值3．求二次函数211322y x x =++的最小值. 【答案与解析】解法1(配方法)：∵ 2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++-+ 21(3)42x =+-，∴ 当x ＝-3时，4y =-最小．解法2(公式法)：∵ 102a =>，b ＝3，12c = ∴ 当331222b x a =-=-=-⨯时，22114341922414242ac b y a ⨯⨯---====-⨯最小．解法3(判别式法)：∵ 211322y x x =++，∴ 26(12)0x x y ++-=．∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4．∴ y 有最小值-4，此时2690x x ++=，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．举一反三：【课程名称：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 392790 例题2】【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？【答案】(30)S L L =-2(30)L L =-- 2(15)225L =--+（0<L <30）．15L ∴=（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠性质的综合应用4．已知二次函数21y x bx c =+++的图象过点P(2，1)．（1）求证：24c b =--；（2）求bc 的最大值．【答案与解析】（1）∵ 21y x bx c =+++的图象过点P(2，1)，∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．（2）22(24)2(2)2(1)2bc b b b b b =--=-+=-++．∴ 当1b =-时，bc 有最大值．最大值为2．【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可．（2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解．举一反三：【变式】（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A. 1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4，①正确；∵x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B ．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 将二次函数223=-+的形式，结果为（）．()y x h k=-+化为2y x xA．2y x=++D．2y x=-+(1)2(1)2=-+C．2(1)4y x=++B．2y x(1)42．（2016•益阳）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小3．若二次函数25y x k=-+，则b、k的值分别为（）．=++配方后为2y x bx(2)A．0，5 B．0，1 C．-4，5 D．-4，14．抛物线2=++的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式y x bx c为223=--，则b、c的值为（）．y x xA.b=2，c=2B. b=2，c=0C. b= -2，c= -1D. b= -3，c=25．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值( )A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题7．（2015•怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．8．已知二次函数22=-+，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．y ax ax c9．二次函数2y x bx c=++的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．二次函数23=-+的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值是________．y x mx第10题第11题11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___ ；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __. 12．（2016•玄武区一模）如图为函数：y=x 2﹣1，y=x 2+6x+8，y=x 2﹣6x+8，y=x 2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x 2﹣6x+8的图象的序号是．三、解答题 13．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．14. 如图所示，抛物线254y ax ax a =-+与x 轴相交于点A 、B ，且过点C （5，4）．（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．15.已知抛物线215322y x x =---： (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？函数y 有最大值还是最小值？最值为多少？【答案与解析】一、选择题。

九年级数学中考解题指导华东师大版知识精讲

九年级数学中考解题指导华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考数学解题指导二. 知识讲解：1. 关于选择题选择题是数学考试中不可缺少的一种题型，怎样快捷、准确地解选择题是非常值得研究的。

选择题是数学命题的一种形式，它的解法蕴含着一般的数学思想方法，但它毕竟有别于其他题型，因此，它的解法又有独特之处。

一般来说，解答选择题的方法有如下几种：⑴直接法；⑵排除法；⑶特殊值法；⑷作图法；⑸验证法。

2. 关于填空题填空题也是中考数学的必考题型，它与选择题同属客观性试题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精悍，考查目标集中明确。

但它没有选择题的备选答案可供参考，即只能应用所学的数学知识，经过观察、猜想、计算、证明、归纳等方法得出正确答案，因此难度比选择题略大。

其解答方法有些与解选择题类似，但它又有别于选择的方法，比如：⑴规律探索型；⑵多解开放型；⑶跨学科型等等。

3. 关于中考数学解答题数学解答题的解题技巧，实际上就是对平时所学知识的灵活应用。

熟练掌握所学知识，是灵活应用的基础，同学们在平时学习的过程中，对知识进行积累，对习题的大量演练，对解好解答题不是什么困难的事，解答题是一个得分点，因为解答题都是由一些基础题和中档题组成。

其题型一般是代数计算题；几何计算题；几何证明题；实际应用题等。

4. 关于中考数学压轴题数学综合性试题常常是中考试卷中的把关题和压轴题，在中考中举足轻重，中考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。

目前的中考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型，尤其是创新能力型试题。

综合题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。

如何解好中考数学压轴题，我们有如下建议：⑴把好审题关。

⑵思路清晰，思维严谨。

①把抽象问题具体化；②把复杂问题简单化。

⑶提高转化能力。

①语言转换能力；②概念转换能力；③数形转换能力。

九年级数学中考第一轮复习⑺ 图形的变换华东师大版知识精讲

九年级数学中考第一轮复习⑺图形的变换华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第一轮复习⑺图形的变换二. 重点、难点扫描：1. 轴对称，轴对称图形；中心对称，中心对称图形；2. 平移的特征；画平移后的图形；旋转的特征；旋转对称图形；3. 基本作图：画线段，画角，画垂线，画垂直平分线，画角的平分线；4. 几何体的三视图与展开图；5. 平面直角坐标系：平面直角坐标系概念，坐标平面内点的坐标特征，不同位置点的坐标特征；6. 图形与坐标：用坐标确定位置，图形的运动与坐标。

三. 知识梳理：1. 图形的变换掌握这部分内容，首先弄明白轴对称及轴对称图形之间的区别与联系；以及中心对称与中心对称图形之间的区别与联系。

知道哪些图形是轴对称图形，哪些图形是旋转对称图形以及中心对称图形，中考中常以填空、选择形式出现。

弄明白平移，旋转的特征，及平移、旋转的决定因素，明确什么样的图形是旋转对称图形。

能灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。

2. 尺规作图掌握5种基本作图法，并能运用基本作图知识完成综合作图题（不要求证明）；根据全等三角形的判定方法利用基本作图作三角形；探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。

3. 基本几何体的三视图、展开图会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型；了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。

4. 平面直角坐标系的有关概念平面直角坐标系的有关概念不要死记硬背，应紧密结合坐标系来认识；在坐标平面内会正确地描点，对于坐标平面内的点要借助图形正确地写出，特别注意各象限内点的坐标符号。

5. 坐标平面内点的坐标特征注意两坐标轴上点的坐标的不同，且x轴、y轴不属于任何一个象限。

2019年最新中考数学专题复习：动手操作与运动变换型问题-知识讲解(基础)及答案解.析

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（基础）【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的折叠1．如图所示，一个平行四边形纸片ABCD中，E，F分别为BC，CD边上的点，将纸片沿AE，EF折叠，使B，C 的对应点B′，C′及点E在同一直线上，则∠AEF＝________．【思路点拨】纸片沿AE折叠，折叠前后的两个图形关于直线AE对称，所以△AEB与△AEB′全等，对应角相等．同理沿EF 折叠的两个三角形的对应角也相等．【答案】∠AEF＝90°．【解析】解: 由轴对称的性质，知∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，而∠AEB＋∠AEB′＋∠CEF＋∠C′EF=180°．所以∠AEF－∠AEB′+∠C′EF＝90°．【总结升华】图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用．解题时应抓住折叠前后的图形全等找出对应关系．举一反三：【变式】如图所示，已知四边形纸片ABCD ，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：________ (用“能”或“不能”填空)．若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．【答案】解：能.如图所示，取四边形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，连接EG ，FH ，交点为O ．以EG ，FH 为裁剪线，EG ，FH 将四边形ABCD 分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，拼接时图中的Ⅰ不动，将Ⅱ，Ⅳ分别绕E ，H 旋转180°，将Ⅲ平移，拼成的四边形OO 1O 2O 3即为所求．沿CA 方向平移，将点C 平移到点A 位置．类型二、实践操作2．如图,在等腰梯形ABCD 中AB ∥CD,AB ＝高CE ＝对角线AC 、BD 交于H ，平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ；当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒,直线RQ 平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x 秒.(1)填空:∠AHB ＝____________；AC ＝_____________； (2) 若213S S =,求x ；(3) 若21S mS =,求m 的变化范围.【思路点拨】(1) 如例2图-1所示,平移对角线DB,交AB的延长线于P.则四边形BPCD是平行四边形,BD＝PC,BP＝DC因为等腰梯形ABCD,AB∥CD,所以AC＝BD. 所以AC＝PC.又高CE＝AB＝所以AE＝EP＝所以∠AHB＝90°AC＝4；⑵直线移动有两种情况:32x<<及322x≤≤,需要分类讨论.①当32x<<时, 有2214S AGS AF⎛⎫==⎪⎝⎭. ∴213S S≠②当322x≤≤时,先用含有x的代数式分别表示1S,2S,然后由213S S=列出方程,解之可得x的值； (3) 分情况讨论:①当32x<<时, 214SmS==.②当322x≤≤时,由21S mS=,得()222188223xSmS x--==＝2123643x⎛⎫--+⎪⎝⎭.然后讨论这个函数的最值,确定m的变化范围. 【答案与解析】解： (1) 90°,4；(2)直线移动有两种情况:302x <<和322x ≤≤. ①当302x <<时,∵MN ∥BD,∴△AMN ∽△ARQ,△ANF ∽△AQG. 2214S AG S AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭. ∴213S S ≠ ②当322x ≤≤时, 如例2图-2所示,CG ＝4－2x,CH ＝1,14122BCDS ∆=⨯⨯=. ()22422821CRQ x S x ∆-⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭2123S x =,()22882S x =-- 由213S S =,得方程()22288233x x --=⨯, 解得165x =(舍去),22x =. ∴x ＝2. (3) 当302x <<时,m ＝4 当322x ≤≤时, 由21S mS =,得()2288223x m x --=＝2364812x x -+-＝2123643x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. M 是1x 的二次函数, 当322x ≤≤时, 即当11223x ≤≤时, M 随1x 的增大而增大. 当32x =时,最大值m ＝4. 当x ＝2时,最小值m ＝3.∴3≤m ≤4. 【总结升华】本题是一道几何代数综合压轴题,重点考查等腰梯形, 相似三角形的性质,二次函数的增减性和最值及分类讨论,由特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题时,(1)小题,通过平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,从而使问题得以简化,是我们解决梯形问题常用的方法. (2) 小题直线移动有两种情况:302x <<及322x ≤≤,需要分类讨论.这点万不可忽略,解题时用到的知识点主要是相似三角形面积比等于相似比的平方.(3) 小题仍需要分情况讨论.对于函数2123643m x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,讨论它的增减性和最值是个难点. 讨论之前点明我们把这个函数看作“M 是1x的二次函数”对顺利作答至关重要.3．已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，DE ⊥BC 于点E ，过点G 作GF ⊥BC 于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG 、DE 、GF 按图①所示方式折叠．点A 、B 、C 分别落在A ′、B ′、C ′处．若点A ′、B ′、C ′在矩形DEFG 内或其边上．且互不重合，此时我们称A B C '''△ (即图中阴影部分)为“重叠三角形”．(1)若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格图中(图中每个小三角形都是边长为l 的等边三角形)，点A 、B 、C 、D 恰好落在网格图中的格点上，如图②所示，请直接写出此时重叠三角形A ′B ′C ′的面积；(2)实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A ′B ′C ′存在，试用含m 的代数式表示重叠三角形A ′B ′C ′的面积，并写出m 的取值范围(直接写出结果，备用图供实验探究使用)．【思路点拨】本题是折叠与对称类型操作题，折叠实质为对称变换，故轴对称的性质运用是解本类型题的关键．另外，本题对新概念“重叠三角形”的理解正确才能求得m 的取值范围．【答案与解析】解：(1)重叠三角形A ′B ′C理由：如题图，△A ′B ′C ′是边长为2的等边三角形．122⨯=(2)用含m 的代数式表示重叠三角形A ′B ′C 2)m -，m 的取值范围是83≤m ＜4．理由：如图(1)，AD ＝m ，则BD ＝GC ＝8-m ，由轴对称的性质知DB ′＝DB ＝8-m ．DA ′＝DA ＝m ． ∴A ′B ′＝DB ′－DA ′＝8－m —m ＝2(4－m)，由△ABC 是等边三角形及折叠过程知AA ′B ′C ′是等边三角形．2(4))m m -=-．212(4)))2A B C S m m m '''=⨯--=-△．以下求m 的取值范围：如图(1)，若B ′与F 重合，则C ′与E 重合．由折叠过程知BE ＝EB ′＝EF ． CF ＝FC ′＝FE ．∴BE ＝EF ＝FC ＝83． ∵∠B ＝60°，BD ＝2BE ＝163， 168833AD =-=，即83m =．若83m <，如图(2)，点B ′、C ′落在矩形DEFG 外，不合题意．∴83m ≥．又由A ′B ′＝2(4-m)＞0，得m ＜4．∴m的取值范围是84 3m≤<．【总结升华】亲自操作实验有助于突破难点．举一反三：【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题例2 】【变式】阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC中，P为BC边上一定点，过点P作一直线，使其等分△ABC的面积．解决：情形1：如图①，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可．情形2：如图②，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，联结AP，过点D作DE∥AP交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线．问题解决：如图③，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明．【答案】解：如图③，取对角线AC的中点O，联结BO、DO、BD,过点O作OE∥BD交CD于E,∴直线BE即为所求直线类型三、动态数学问题4．如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′.(1)如图②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是形；（2）如图③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为度；连接CC′，四边形CDBC′是形；（3）如图④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由.【思路点拨】（1）利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；（2）利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可；（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CE，即可得出答案．【答案与解析】解：（1）平行四边形；证明：∵AD=AB，AA′=AC，∴A′C与BD互相平分，∴四边形A′BCD是平行四边形；（2）∵DA由垂直于AB，逆时针旋转到点D、A、B在同一直线上，∴旋转角为90度；证明：∵∠D=∠B=90°，A，D，B在一条直线上，∴CD∥BC′，∴四边形CDBC′是直角梯形；故答案为：90，直角梯；（3）四边形ADBC是等腰梯形；证明：过点B作BM⊥AC，过点D作DN⊥AC，垂足分别为M，N，∵有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′．∴△ACD≌△A′BC′，∴BM=ND，∴BD∥AC，∵AD=BC，∴四边形ADBC是等腰梯形．【总结升华】此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识，熟练掌握判定定理是解题关键．举一反三：【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题例1 】【变式】△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为______．【答案】（322，）或（3-2-2，）.5．如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了秒（结果保留根号）．【思路点拨】根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD 的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度，计算即可得解．【答案】（4+2）．【解析】解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB=2cm，BC=2cm，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，则四边形BCFE是矩形，∴BE=CF，BC=EF=2cm，∵∠A=60°，∴BE=ABsin60°=2×=，AE=ABcos60°=2×=1，∴×AD×BE=3，即×AD×=3，解得AD=6cm，∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3，在Rt△CDF中，CD===2，所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2=4+2，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）÷1=4+2（秒）．故答案为：（4+2）．【总结升华】本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、BC的长度是解题的关键，在梯形的问题中，作过梯形的上底边的两个顶点的高线是常见的辅助线．。

华东师大初中数学初三中考冲刺：几何综合问题--知识讲解(基础)

中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（基础）：【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？D ABC QP【思路点拨】⑴中应由△QAP为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP，由AQ=6－t，AP=2t，可求出t的值；⑵中四边形QAPC是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC与△PBC的面积求出；⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论.【答案与解析】【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC的面积也可由△QAC与△CAP的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.2．（永春县校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度向终点C运动；动点N同时从点C出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒（1）直接写出梯形ABCD的中位线长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，使得MC=MN．【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）利用MC=MN时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【答案与解析】解：（1）∵AD=3，BC=10，∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG，∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴△MNC∽△GDC．∴=，即=．解得，t=；（3）当MC=MN时，如图2，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t．∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC，∴=，即=，解得：t=．综上所述，t=时，MC=MN．【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.3.（2016秋•泗阳县期末）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①题（2）的结论还成立吗？请说明理由；②连结BE，若BE=10，BC=6，求AE的长．【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；②由△ABD≌△ACE，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE；（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；（3）①运用（2）中的方法得出BD2+CD2=DE2；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得=8，进而得出CD=8﹣6=2，在Rt△DCE中，求得，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长．【答案与解析】解：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；②∵BD=CE，AC=BC，又∵BC=BD+CD，∴AC=CE+CD；（2）BD2+CD2=DE2．证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°=∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，∴=8，∴BD=CE=8，∴CD=8﹣6=2，∴Rt△DCE中，∵△ADE是等腰直角三角形，==∴【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.举一反三：【变式】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0︒＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．【答案】（1）∠BPD= 30°；（2）如图3，连结CD ．∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，∴ ∠1=∠2．∵ △ABC 是等边三角形，∴ BA=BC=AC ，∠ACB= 60°．∵ BP=BA ，∴ BP=BC ．∵ BD= BD ，∴ △PBD ≌△CBD ．∴ ∠BPD=∠3．∵ DB=DA ，BC=AC ，CD=CD ，∴ △BCD ≌△ACD ．∴ 134302ACB ∠=∠=∠=︒．∴ ∠BPD =30°．（3）∠BPD= 30°或 150°.类型二、几何计算型问题【几何综合问题例1 】4.如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E.(1) DE 的长为；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于．【答案与解析】【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题．举一反三【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 . 【答案】在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2，∴AE=BE=2，∴S△ABE=1．由翻折的性质可知：△AB ′E ≌△ABE ，∴EB ′=EB=2∴B ′C=BB ′－BC=22－2，∵四边形ABCD 是菱形，∴CF ∥BA ．∴∠ B ′FC=∠B ′AB=90°, ∠B ′CF=∠B=45°∴CF='2B C ∴S B FC △' =221CF =3－22 ∴S 阴=S B E ′△A －S B FC′△=22－2．5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm ，CD=4 cm ，等腰直角△PMN 的斜边MN=10 cm ， A 点与N 点重合， MN 和AB 在一条直线上，设等腰梯形ABCD 不动，等腰直角△PMN 沿AB 所在直线以1 cm ／s 的速度向右移动，直到点N 与点B 重合为止.(1)等腰直角△PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状由________形变化为________形；(2)设当等腰直角△PMN 移动x (s)时，等腰直角△PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为y(cm 2)，求y与x 之间的函数关系式；(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积.【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN ，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可；（2）可分为以下两种情况：①当0＜x ≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN ，AN=x （cm ），过点E 作EH ⊥AB 于点H ，则EH 平分AN ，求出EH ，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x ≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED ，求出AN=x （cm ），CE=BN=10-x ，DE=x-6，过点D 作DF ⊥AB 于F ，过点C 作CG ⊥AB 于G ，求出DF ，代入梯形面积公式求出即可.【答案与解析】(1)等腰直角三角形；等腰梯形.(2)等腰直角△PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重合部分图形的形状可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，∴EH=AN=x，∴y=S△ANE=AN·EH=x·x=.②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)．此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC，∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，∴y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)×3=3x-9.综上，.(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，∴当x=4 (s)时，y=x2=×42=4.∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状.【答案】(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x.∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，∴∠PAN=∠D=30°.在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=(20-x)，即N到AB距离为(20-x).∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15.(2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值，∴当S五边形BCDMN最小时，应使S△AMN最大据(1)，S△AMN=AM·NP=.∵＜0，∴当x=10时，S△AMN有最大值.∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形.。

华东师大初中数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--知识讲解(提高)(1)(精选)

九年级数学图形变换与证明华东师大版知识精讲

九年级数学图形变换与证明华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：图形变换与证明我们学习平面几何知识从与现实生活相结合的意义上讲，会识别图形的移动，会实现一个平面图形的移动，是一个实现平面几何价值的问题。

要求：会按照要求对图形作相应的移动；会识别图形经过移动后的图形关系；会利用图形的变换解决一些几何问题或与现实生活相结合的问题。

【典型例题】例1. ∆ABC 与∆A B C '''关于点O 成中心对称，直线m 经过点O ，∆ABC 与∆A B C ''''''关于直线m 对称。

是否存在这样的直线，使得∆A B C '''与∆A B C ''''''关于该直线对称？如果存在，请指出该直线具有何特征？解：这样的直线是存在的，即存在直线n ，使得∆A B C '''与∆A B C ''''''关于直线n 对称。

直线n 经过点O ，且直线n 垂直于直线m 。

说明：图形经过两次翻折（对称轴互相垂直），得到的图形与原图形关于两条对称轴的交点成中心对称；而图形经过两次翻折（对称轴相交），得到的图形可以看作是原图形绕着两条对称轴的交点旋转得到的，旋转角为两条对称轴的夹角的两倍。

例2. 请你不借助作图工具画一个三角形的高线。

简析：一般讲我们画三角形的高线采取的方法是：过已知边所对的顶点，用三角板画一条与已知边相垂直的线段。

但是此例要求不借助作图工具，即不借助直尺、三角板、圆规等直接画高线。

这时要考虑画高线关键在于确定垂足，如果画出垂足就可以实现画高线。

根据我们所学的轴对称关系的性质可知，它可以提供垂直关系。

简解：如图，已知∆ABC 作∆ABC 的BC 边上的高。

方法：把点C 沿CB 边对折，使折痕经过点A ，且点C 落在BC 的C '点处，则折痕AD 就是所要求画的高。

(原创)中考数学名师点拨：动手操作与运动变换型问题-巩固练习(基础) 及答案解析

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（） A. 2 B. 2 C. 22 D.32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（） A. 47 B. 1 C. 47或1 D. 47或1或493. 如图，正方形ABCD 的边长为4cm,动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B →C 和A →D →C 的路径向点C 运动，设运动时间为x （单位：s ），四边形PBDQ 的面积为y （单位：cm 2）,则y 与x （0≤x ≤8）之间的函数关系可用图象表示为（）二、填空题4．如图,已知点A （0,2）、B （23,2）、C(0,4),过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连结AP,以AP 为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB 、BA.若四边形ABPQ 为梯形,则（1）当AB 为梯形的底时,点P 的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 .5．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 .6.如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 .三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形格，请在所给格中，按下列要求操作：(1)请在格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA B''是何特殊四边形，并说明理由．8. (1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. 如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．(1)试证明：无论点．P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的16?(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形?【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ；【解析】连接PP ′交BC 于点D ，若四边形QPCP 为菱形，则PP ′⊥BC ，CD ＝12CQ=12（6-t ）， ∴BD=6-12（6-t ）=3+12t.在Rt △BPD 中，PB=AB-AP=62-2t ，而PB=2BD ， ∴62-2t=2（3+12t ），解得：t=2，故选B.2.【答案】D ；【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC 中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm .①当∠BFE=90°时；Rt△BEF 中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm ；故此时AE=AB-BE=2cm ；∴E 点运动的距离为：2cm 或6cm ，故t=1s 或3s ；由于0≤t＜3，故t=3s 不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s ；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm ，此时AE=AB-BE=3.5cm ；∴E 点运动的距离为：3.5cm 或4.5cm ，故t=1.75s 或2.25s ；综上所述，当t 的值为1、1.75或2.25s 时，△BEF 是直角三角形．故选D ．3.【答案】B.【解析】在0≤x ≤4时,y 随x 的增大而减小，在4≤x ≤8时,y 随x 的增大而增大；且y 与x 的函数关系是二次函数，故选B.二、填空题4.【答案】（1）332；（2）0， 32；【解析】（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB ∥PQ ，即PQ ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC ＝2，由几何关系知，点P 的横坐标是332.（2）当AB 为梯形的腰时，当PB ∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的横坐标是32.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE ，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE ，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE ，三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.6.【答案】①④⑤．【解析】由折叠知：∠ADG =∠GD O 根据外角定理∠AGD=∠GD O+∠G OD 而∠G OD=90°，∠GD O = 21∠AD O=22.5°得∠AGD=112.5°所以①正确. 由折叠知△AGD≌△FGD 得S △AGD =S △FGD 所以③错误.∠A ED=90°-22.5°=67.5°，∠AG E=45°+22.5°=67.5°故∠A ED=∠AG E 可得AE=AG ，易证AG=FG ，AE=EF ，从而得AG=FG=AE=EF.所以④正确.BE=2EF ，EF= FG=2OG ，故BE=2OG 所以⑤正确. AE= FG=2OG ，AD= AB=AE+ BE=（2+2）OG ，在Rt △AED 中tan∠AED=AE AD =222+，所以②错误.三、解答题7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．(2)如图画出点C ，C(-1，1)．△ABC 的周长是22210+．(3)如图画出△A ′B ′C ，四边形ABA ′B ′是矩形．理由：∵CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∴四边形ABA ′B ′是平行四边形.又∵CA ＝CB ，∴CA ＝CA ′＝CB ＝CB ′．∴AA ′＝BB ′．∴四边形ABA ′B ′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ．又由折叠知，∠AGE ＝∠AGF ＝90°，所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE 是正方形∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°．又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ，所以∠DEG ＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．9．【答案与解析】解：(1)①连接DB ，利用△BMD ≌△CND 或△ADM ∽△BDN 即可证明DM ＝DN ．②由△BMD ≌△CND 知，BMD CND S S =△△，∴1124DBN DMB DBN DNC ABC DMBN S S S S S S =+=+==△△△△△四边形．即在直角三角板DEF 旋转过程中，四边形DMBN 的面积始终等于14，不发生变化．(2)连接DB ，由△BMD ≌△CND 可证明DM ＝DN ，即DM ＝DN 仍然成立．(3)连接DB ．由△BMD ≌△CND ，可证明DM ＝ND 仍成立．10．【答案与解析】解：(1)证明：在正方形ABCD 中，无论点P 运动到AB 上何处时，都有AD ＝AB ，∠DAQ ＝∠BAQ ，AQ ＝AQ ，∴△ADQ ≌△ABQ ．(2)解：假设下图中△ADQ 的面积恰好是正方形ABCD 面积的16．过点Q 作QE ⊥AD 于E ，QF ⊥AB 于F ，则QE ＝QF ，118263ABCD AD QE S ⨯==正方形． ∴43QE =．由△DEQ ∽△DAP 得QE DE AP DA=，解得AP ＝2． ∴AP ＝2时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的16． (3)若△ADQ 是等腰三角形，则有DQ ＝QA 或DA ＝DQ 或AQ ＝AD ．①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知QD ＝QA ，此时△ADQ 是等腰三角形． ②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，此时DA ＝DQ ，△ADQ 是等腰三角形．③如图所示，设点P 在BC 边上运动到CP ＝x 时，有AD ＝AQ ．∵AD ∥BC ，∴∠ADQ ＝∠CPQ ．又∵∠AQD ＝∠CQP ，∠ADQ ＝∠AQD ，∴∠CQP ＝∠CPQ ．∴CQ ＝CP ＝x ．∵AC＝42，AQ＝QD＝4，-，∴x＝CQ＝AC－AQ＝424-时，△ADQ是等腰三角形．即当CP＝424。

华东师大版初三综合复习专题：压轴题几何变换

几何变换（旋转）掌握几何图形的旋转问题例1.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长；（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】（1）理由见试题解析；（2）26；（3）6．试题解析：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，在△ADG 和△ABE中，∵AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，∴∠AEB+∠ADG=90°，在△EDH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，∴∠DHE=90°，则DG⊥BE；教学目标学习内容例题讲解（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6．例2.用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．（2）由（1）可知，．如答图2所示，以点A 为圆心，以长为半径画弧，与BC 交于点P 1、P 2，则AP 1=AP 2=。

北师大版中考总复习资料,补习复习资料：59动手操作与运动变换型问题(提高)

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（提高）【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的剪拼问题1．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下(如图所示)：请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；(2)对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．【思路点拨】对于三角形的分割重组，要想拼成一个矩形，则分割时必须构造出直角来，示例中通过作中位线的垂线段而分割出①③两个直角三角形．对于四边形的分割重组，可以先把四边形转化为三角形的问题，再利用三角形的分割重组方法进行．【答案与解析】解：(1)如图所示：(2)如图所示：【总结升华】按照三角形的剪拼方法，探索规律，将任意四边形先分割成三角形，再进行剪拼，使学生经历由简单到复杂的探索过程．举一反三：【变式】如图所示，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是( )．【答案】裁剪之后，将最后折叠成的小正方形按原来对折相反的方向展开，折痕(虚线)所在直线即为对称轴，则剪出的菱形小洞会对称地出现在折痕的另一侧，见下图：故选D ．类型二、实践操作2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）要证APB=BPH ，由内错角APB=PBC ，即证PBC=BPH ，折叠后EBP=EPB=90°，再由性质等角的余角相等即可得证．（2）△PHD 的周长为PD+DH+PH ．过B 作BQ ⊥PH 构造直角三角形，再利用三角形全等：△ABP ≌△QBP 和△BCH ≌△BQH ．证明AP=QP ， CH=QH ，可得其周长为定值．（3），关键是用x 来表示BE 、CF ．过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，先由边角关系得△EFM ≌△BPA ，得=x ．在Rt △APE 中可由勾股定理表示出BE ，再由，很容易用x 表示出S ，再配方求最值．【答案与解析】解：（1）∵PE=BE ，∴EBP=EPB ．又∵EPH=EBC=90°，∴EPH-EPB=EBC-EBP ．ABCD ∠∠∠∠∠∠∠∠1()2S BE CF BC =+EM AP =228x CF BE EM x =-=+-∠∠∠∠∠∠∠∠即PBC=BPH ．又∵AD ∥BC ，∴APB=PBC ．∴APB=BPH ．（2）△PHD 的周长不变，为定值 8．证明：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知APB=BPH ，又∵A=BQP=90°，BP=BP ，∴△ABP ≌△QBP ．∴AP=QP , AB=BQ ．又∵ AB=BC ，∴BC = BQ ．又∵C=BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.（3）过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则.又EF 为折痕，∴EF ⊥BP .∴，∴．又∵A=EMF=90°，∴△EFM ≌△BPA ．∴=x ．∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠FM BC AB ==90EFM MEF ABP BEF ∠+∠=∠+∠=︒EFM ABP ∠=∠∠∠EM AP =∴在Rt △APE 中，．解得，． ∴．又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等，∴．即：．配方得，， ∴当x =2时，S 有最小值6．【总结升华】本题将函数和几何知识较好的综合起来，对能力的要求较高．本题考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识．难度较大，是一道很好的压轴题，通过此题能够反映出学生的思维能力及数学知识的掌握程度，解答本题要学会将题目中的已知量与待求量联系起来．此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用x 来表示S ．3．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B ＝90°，∠A ＝，∠A ＝30°，BC ＝6 cm ；图(参中，∠D ＝90°，∠E ＝45°，DE ＝4 cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．(1)在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐________．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD ＝15°？如果存在，求出AD 的长222(4)BE x BE -+=228x BE =+228x CF BE EM x =-=+-211()(4)4224x S BE CF BC x =+=+-⨯21282S x x =-+21(2)62S x =-+90°度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．【思路点拨】本题以动三角形为背景，考查特殊角的三角函数值、勾股定理．【答案与解析】解：(1)变小．(2)问题①：∵∠B ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝6，∴AC ＝12．∵∠FDE ＝90°，∠DEF ＝45°，DE ＝4，∴DF ＝4．连结FC ，设FC ∥AB ，∴∠FCD ＝∠A ＝30° ∴在Rt △FDC 中，DC ＝∴AD ＝AC－DC ＝即AD ＝cm 时，FC ∥AB ．问题②：设AD ＝x ，在Rt △FDC 中，FC 2＝DC 2+FD 2＝(12-x)2+16．(i)当FC 为斜边时，由AD 2+BC 2＝FC 2得，． 12-(12-2226(12)16x x +=-+316x =(ii)当AD 为斜边时，由得，(不符合题意，舍去)． (iii)当BC 为斜边时，由得，，△＝144－248＜0，∴方程无解．另解：BC 不能为斜边．∵FC ＞CD ．∴FC+AD ＞12．∴FC 、AD 中至少有一条线段的长度大于6．∴BC 不能为斜边．∴由(i)、(ii)、(iii)得，当cm 时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形．问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．理由如下：假设∠FCD ＝15°．由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°．作∠EFC 的平分线，交AC 于点P ，则∠EFP ＝∠CFP ＝∠FCP ＝15°，∴PF ＝PC ．∠DFP ＝∠DFE+∠EFP ＝60°．∴PD ＝PC ＝PF ＝2FD ＝8．∴PC+PD ＝8+．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．假设∠FCD ＝15°，设AD ＝x ．由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°．222FC BC AD +=22(12)16x x -+=4986x =>222AD FC BC +=222(12)166x x +-+=212620x x -+=316x =12>作EH ⊥FC ，垂足为H ．∴HE ＝EF ＝，CE ＝AC －AD －DE ＝8-x ，且．∵∠FDC ＝∠EHC ＝90°，∠DCF 为公共角，∴△CHE ∽△CDF ．∴．又，∴．整理后，得到方程． ∴(不符合题意，舍去)，(不符合题意，舍去)．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．【总结升华】本题的突破点是将图形静止于所要求的特殊位置，根据题中条件得出相应的结论．本题涉及分类讨论思想、方程思想，有一定的难度．举一反三：【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题例3 】【变式】如图，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ，OB=6,CD=BC=4，BC ⊥OB 于B,以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处.为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在求出直线的解析式,若不存在，请说明理由.1222(12)16FC x =-+EC HE FC DF=2212HE DF ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭212EC FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭22(8)1(12)162x x -=-+140x =-<248x =+>【答案】解：如图③，存在符合条件的直线，过点D作DA⊥OB于点A，则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心∴过点P的直线只要平分的面积即可.易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将面积平分，从而，直线PH平分梯形OBCD的面积.即直线PH为所求直线设直线PH的表达式为且过点∵直线OD的表达式为解之，得∴点H的坐标为∴PH与线段AD的交点F的坐标为∴解之，得∴直线的表达式为类型三、平移旋转型操作题 4．两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A ＝60°，AC ＝1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1)如图所示，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积．(2)如图所示，当D 点移动到．AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．(3)如图所示，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时，点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sin α的值．【思路点拨】平移时，CF AD ，AD ＝BE ，根据等底等高的特征，将求梯形面积转化为求，旋转时需知道∠ABE ＝90°，BE ＝CB ，运用相似等知识解答．l ABC S △【答案与解析】【解析】(1)过C 点作CG ⊥AB 于G ，如图．在Rt △AGC 中，∵， ∴． ∵AB ＝2，∴． (2)菱形．∵CD ∥BF ，FC ∥BD ，∴四边形CDBF 是平行四边形∵DF ∥AC ，∠ACB ＝90°，∴CB ⊥DF ，∴四边形CDBF 是菱形．(3)解法一：过D 点作DH ⊥AE 于H ，如图，则又，． sin 60CG AC=°2CG =122ABC CDBF S S ==⨯=△梯形11122ADE S AD EB ==⨯=△132ADE S AE DH ==△7DH AE ⎛⎫==⎪⎪⎭或∴在Rt △DHE 中，．解法二：∵△ADH ∽△AEB ，∴， ∴，∴．【总结升华】本题是平移和旋转类型的操作题，需知道平移和旋转的性质，这两种变换都是全等变换. 类型四、动态数学问题5．如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，4），动点A 以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿轴的正方向运动，M 是线段AC 的中点．将线段AM 以点A 为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB ．过点B 作轴的垂线，垂足为E ，过点C 作轴的垂线，交直线BE 于点D ，运动时间为秒．（1）当点B 与点D 重合时，求的值；（2）设△BCD 的面积为S ，当为何值时，；（3）连接MB ，当MB ∥OA 时，如果抛物线的顶点在△ABM 内部（不包括边），求a 的取值范围．【思路点拨】（1）易证Rt △CAO ∽Rt △ABE ；当B 、D 重合时，BE 的长已知（即OC 长），根据AC 、AB 的比例关系，可得AO 、BE 的比例关系，由此求得t 的值．（2）求△BCD 的面积时，可以CD 为底、BD 为高来解，那么表示出BD 的长是关键；Rt △CAO ∽Rt △ABE ，且知道AC 、AB 的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE 的长，进一步得到BD 的长，sin 14DH DE α⎛==⎭或DH AD BE DE ==DH =sin 14DH DE α⎛⎫==⎪⎪⎭或x ︒90x y t t t 425=S ax ax y 102-=在表达BD 长时，应分两种情况考虑：①B 在线段DE 上，②B 在ED 的延长线上．（3）通过配方法，可得抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线MB 、AB 的解析式中，可得抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出a 的取值范围．【答案与解析】解：（1）∵，，∴．∴Rt △CAO ∽Rt △ABE ．∴， ∴， ∴．（2）由Rt △CAO ∽Rt △ABE 可知：，．当0＜＜8时，． ∴．当＞8时，． ∴，（为负数，舍去）．当或时，．（3）如图，过M 作MN ⊥轴于N ，则．当MB ∥OA 时，，．抛物线的顶点坐标为（5，）．它的顶点在直线上移动．直线交MB 于点（5，2），交AB 于点（5，1）．∴1＜＜2．︒=∠+∠90BAE CAO ︒=∠+∠90BAE ABE ABE CAO ∠=∠BEAO AB CA =42t AB AB =8=t t BE 21=2=AE t 425)24)(2(2121=-+=⋅=t t BD CD S 321==t t t 425)42)(2(2121=-+=⋅=t t BD CD S 2531+=t 2532-=t 3=t 253+425=S x 221==COMN 2==MN BE 42==BE OA ax ax y 102-=a 25-5=x 5=x a 25-∴＜＜．【总结升华】本题是二次函数综合题，属于图形的动点问题，前两问的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．最后一问中，先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键．举一反三：【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题例4 】【变式】如图，平行四边形ABCD 中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P 从点A 出发沿折线AB-BC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当P 与C 重合时停止运动，过点P 作AB 的垂线PQ 交AD 或DC 于Q ．设P 运动时间为t 秒，直线PQ 扫过平行四边形ABCD 的面积为S ．求S 关于t 的函数解析式．【答案】解：（1）；（2）；（3） . 综上，S 关于t 的函数解析式为：252-a 251-21S=(03)2t t ∙=≤≤1S=-310)2t t t +∙=（）＜≤116-t )S=10222t -⨯∙∙=1016-8t ⨯2（）216)t =+-＜≤中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是（）2.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形22(03)(310)-(1016)8t S t t ⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+-⎪⎪⎩≤≤＜≤＜≤3. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B ′处.得到Rt △AB ′E （图乙），再延长EB ′交AD 于F ，所得到的△EAF 是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则CE 的长是（）A 、B 、、 D 、二、填空题5.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．6．如图,△ABC 中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB= ,D 是线段BC 上的一个动点,以AD 为直径画⊙O分别交AB,AC 于E,F ,连接EF,则线段EF 长度的最小值为___________1510-520-7．如图(1)所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE —ED —DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P 、Q 同发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图象如图(2)(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论： ①AD ＝BE ＝5；②cos ∠ABE ＝；③当0＜t ≤5时，y ＝t 2；④当t ＝秒时，△ABE ∽△QBP ；其中正确的结论是__ __(填序号)．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图(2)所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点D 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG ．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图(3)所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4)，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ ．请在图(4)中探究平行四边形MNPQ 面积的大小(画图并直接写出结果)．9. 如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a ．3525294(1)如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；(3)如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11.在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE 在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. 在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.（1）求证：MA=MB；（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】本题是折叠、裁剪问题，折叠会体现对称，可以动手操作验证.2.【答案】D；【解析】本题一方面考查学生的空间想象能力，另一方面还考查学生的动手操作能力.当学生的空间想象受到影响时，可借助动手实践，直接折纸、剪纸，得到答案.答案为D.3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.；【解析】由垂线段的性质可知，当AD 为△ABC的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF=2EH=20E •sin∠EOH=20E •sin60°，当半径OE 最短时，EF 最短，连接OE ，OF ，过O点作OH ⊥EF ，垂足为H ，在Rt △ADB 中，解直角三角形求直径AD ，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt △EOH 中，解直角三角形求EH ，由垂径定理可知EF=2EH ．如图，连接OE ，OF ，过O 点作OH ⊥EF ，垂足为H ，∵在Rt △ADB 中，∠ABC=45°，AB= ，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt △EOH 中，EH=OE •sin ∠EOH=1 ，由垂径定理可知．7.【答案】①③④；【解析】首先，分析函数的图象两个坐标轴表示的实际意义及函数的图象的增减情况.横轴表示时间t ，纵轴表示△BPQ 的面积y.当0＜t ≤5时，图象为抛物线，图象过原点，且关于y 轴对称，y 随的t 增大而增大，t=5的时候，△BPQ 的面积最大，5＜t ＜7时，y 是常函数，△BPQ 的面积不变，为10.12从而得到结论：t=5的时候，点Q 运动到点C ，点P 运动到点E ，所以BE ＝BC=AD ＝5×1=5cm ，5＜t ＜7时，点P 从E →D ，所以ED=2×1=2cm ，AE=3cm ，AB=4cm.cos ∠ABE ＝. 设抛物线OM 的函数关系式为（0＜t ≤5),把（5,10）代入得到，所以，所以当0＜t ≤5时， y ＝t 2 当t ＞5时，点P 位于线段CD 上，点Q 与点C 重合.当t ＝秒，点P 位于P ′处，C P ′=CD －DP ′=4－（－7）= cm. 在△ABE 和△Q ′BP ′中，,∠A ＝Q ′=90°，所以△ABE ∽△Q ′BP ′.三、解答题8．【答案与解析】解：(1)拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．(2)正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ 的面积为．9．【答案与解析】解：，，．54=BE AB 2at y =,0≠a a 2510=52=a 5229429441534''==CP B Q AE AB 254a 14a(2)． (3)设DG ＝x ．在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠90°．∵∠HGF ＝90°，∴∠DHG ＝∠CGF ＝90°－∠DGH ，∴△HDG ∽△GCF ，∴． ∴CF ＝2DG ＝2x ．同理∠BEF ＝∠CFG ．∵EF ＝FG ．∴△FBE ∽△GCF ，∴BF ＝CG ＝． ∴．解得，即． (4)，．10．【答案与解析】(1)由对称性可证∠ECB ＝∠B ．(2)如图所示，有3种折法．(3)答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．11．【答案与解析】解：实验探究(1)(2)剪拼方法如图(1)(2)(3)．12DG HG CF GF ==14a x -1244x a x a +-=14x a =14DG a =2316a 2278-22ab +联想拓展能，剪拼方法如图(4)(图中BG ＝DH ＝b )．(注意；图(4)用其他剪拼方法能拼接成面积为的正方形均可)12. 【答案与解析】（1）证明：连接OM.∵⊿PQR 是等腰之间三角形且M 是斜边PQ 的中点， ∴MO=MQ ，∠MOA=∠MOAMQB=450.∵∠AMO+∠OMB=900，∠OMB+∠AMO =900.∴∠AMO =∠AMO.∴⊿AMO ≌⊿AMO.∴MA=MB.（2）解：由（1）中⊿AMO ≌⊿AMO 得AO=BQ.设AO=x ，则OB=4-x.22a b在Rt ⊿OAB 中，.∴当x=2时，AB 的最小值为， ∴⊿AOB 的周长的最小值为.AB ==。

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题(基础)含答案

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题(基础)一、选择题1. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP为菱形，则t的值为（）A. B. 2 C. D. 32．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°.若动点E以2cm/s 的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为（）A. B. 1 C. 或1 D. 或1或3. （2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是（）.A．B．C．D．二、填空题4．如图,已知点A（0,2）、B（,2）、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连结AP以AP为边在其左侧作等边△APQ连结PB、BA.若四边形ABPQ 为梯形,则（1）当AB为梯形的底时,点P的横坐标是 ___；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 ______.5．如图,矩形纸片ABCD,AB=2，点E在BC上,且AE=EC．若将纸片沿AE折叠,点B恰好落在AC上，则AC的长是______.6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是______．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；（3）画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形是何特殊四边形，并说明理由．8. （1）观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图（1），已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．（1）在图（1）中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图（2）所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图（3）所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝CQ=（6-t），∴BD=6-（6-t）=3+t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=6-t，而PB=BD，∴6-t=（3+t），解得：t=2，故选B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s或3s；由于0≤t＜3，故t=3s不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm，此时AE=AB-BE=3.5cm；∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s；综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，△BEF是直角三角形．故选D．3.【答案】D.【解析】（1）如图1，当点N在AD上运动时，s=AM•AN=×t×3t=t2．（2）如图2，当点N在CD上运动时，s=AM•AD=t×1=t．（3）如图3，当点N在BC上运动时，s=AM•BN=×t×（3﹣3t）=﹣t2+t综上可得，能大致反映s与t的函数关系的图象是选项D中的图象．故选：D．二、填空题4.【答案】（1）；（2）0，；【解析】（1）由题意知，当AB为梯形的底时，AB∥PQ，即PQ⊥y轴，又△APQ为等边三角形，AC＝2，由几何关系知，点P的横坐标是.（2）当AB为梯形的腰时，当PB∥y轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P的横坐标是.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE，因为AE=EC所以∠CAE=∠ACE，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE，三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：==，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）=≠3．故答案为：①②③．三、解答题7.【答案与解析】（1）如图所示建立平面直角坐标系．（2）如图画出点C，C(-1，1)．△ABC的周长是．（3）如图画出△A′B′C，四边形ABA′B′是矩形．理由：∵CA＝CA′，CB＝CB′，∴四边形ABA′B′是平行四边形.又∵CA＝CB，∴CA＝CA′＝CB＝CB′．∴AA′＝BB′．∴四边形ABA′B′是矩形．8.【答案与解析】解：（1）同意．如图所示，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD．又由折叠知，∠AGE＝∠AGF＝90°，所以∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF，即△AEF为等腰三角形．（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形∠AEB＝45°，所以∠BED＝135°．又由折叠知，∠BEG＝∠DEG，所以∠DEG＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．9.【答案与解析】解：（1）①连接DB，利用△BMD≌△CND或△ADM∽△BDN即可证明DM＝DN．②由△BMD≌△CND知，，∴．即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积始终等于，不发生变化．（2）连接DB，由△BMD≌△CND可证明DM＝DN，即DM＝DN仍然成立．（3）连接DB．由△BMD≌△CND，可证明DM＝ND仍成立．10.【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C（2，0），D（0，），∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，∵DE⊥DC，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD∠=90°，∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．。

[精品]华东师大初中数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--巩固练习(提高)

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（）A ．B ．C ．D ．2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（）A ．1080°B ．360°C ．180°D ．900°3. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B ′处.得到Rt △AB ′E （图乙），再延长EB ′交AD 于F ，所得到的△EAF 是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则CE 的长是（）A 、10315-B 、1053-C 、535-D 、20103-二、填空题5.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=22,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是cm．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图(2)所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图(3)所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4)，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图(4)中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．9. 如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．(1)如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；(3)如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11.在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE 在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. （2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．2.【答案】A；【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】3；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= 12∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×32=32，由垂径定理可知EF=2EH=3，故答案为：3 ．7.【答案】10；【解析】解：设OE 的解析式为y=kt ，∵点M （4，5），∴k=，如图，当Q 运动到G 点时，点P 运动到A 点，BQ=t ，AB=，∵AG ⊥BC ，∴四边形ADCG 是矩形，∴AG=DC=6，∴AB 2=BG 2+AG 2， ∴（）2=t 2+62，解得：t=8，∴AB=×8=10（cm ）．三、解答题8．【答案与解析】解：(1)拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．(2)正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ 的面积为25．9．【答案与解析】解：(1)2，24a ，14a ． (2)相等，比值为2．(3)设DG ＝x ．在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠90°．∵∠HGF ＝90°，∴∠DHG ＝∠CGF ＝90°－∠DGH ，∴△HDG ∽△GCF ， ∴12DG HG CF GF ==． ∴CF ＝2DG ＝2x ．同理∠BEF ＝∠CFG ．∵EF ＝FG ．∴△FBE ∽△GCF ，∴BF ＝CG ＝14a x -． ∴12244x a x a +-=．解得214x a -=，即214DG a -=． (4)2316a ，2271828a -．10．【答案与解析】(1)由对称性可证∠ECB ＝∠B ．(2)如图所示，有3种折法．(3)答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．11．【答案与解析】解：实验探究(1)22a b +(2)剪拼方法如图(1)(2)(3)．联想拓展能，剪拼方法如图(4)(图中BG ＝DH ＝b )．(注意；图(4)用其他剪拼方法能拼接成面积为22a b 的正方形均可)12. 【答案与解析】解：（1）如图1中，∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF 是由△CAD 旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB 与CE 重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF ，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF ∥AC ．（2）①如图2中，∵CA=CE ，CD=CF ，∴∠CAE=∠CEA ，∠CDF=∠CFD ，∵∠ACD=∠ECF ，∴∠ACE=∠DCF ，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF ，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．。

【精编】北师大初中数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--巩固练习(提高)

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（）A ．B ．C ．D ．2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（）A ．1080°B ．360°C ．180°D ．900°3. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B ′处.得到Rt △AB ′E （图乙），再延长EB ′交AD 于F ，所得到的△EAF 是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则CE 的长是（） A 、10315- B 、1053- C 、535- D 、20103-二、填空题5.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．6．如图,△ABC 中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB= 22,D 是线段BC 上的一个动点,以AD 为直径画⊙O分别交AB,AC 于E,F ,连接EF,则线段EF 长度的最小值为___________7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，CD=6cm ．动点Q 从点B 出发，以1cm/S 的速度沿BC 运动到点C 停止，同时，动点P 也从B 点出发，沿折线B →A →D 运动到点D 停止，且PQ ⊥BC ．设运动时间为t （s ），点P 运动的路程为y （cm ），在直角坐标系中画出y 关于t 的函数图象为折线段OE 和EF （如图②）．已知点M （4，5）在线段OE 上，则图①中AB 的长是 cm ．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图(2)所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图(3)所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4)，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图(4)中探究平行四边形MNPQ 面积的大小(画图并直接写出结果)．9. 如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．(1)如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；(3)如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11.在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD 和AE在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB 并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA 方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. （2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．2.【答案】A；【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】3；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= 12∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×32=32，由垂径定理可知EF=2EH=3，故答案为：3．7.【答案】10；【解析】解：设OE的解析式为y=kt，∵点M（4，5），∴k=，如图，当Q运动到G点时，点P运动到A点，BQ=t，AB=，∵AG⊥BC，∴四边形ADCG是矩形，∴AG=DC=6，∴AB2=BG2+AG2，∴（）2=t2+62，解得：t=8，∴AB=×8=10（cm）．三、解答题8．【答案与解析】解：(1)拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．(2)正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ的面积为25．9．【答案与解析】解：(1)2，24a，14a．(2)相等，比值为2．(3)设DG＝x．在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝∠90°．∵∠HGF＝90°，∴∠DHG＝∠CGF＝90°－∠DGH，∴△HDG∽△GCF，∴12 DG HGCF GF==．∴CF＝2DG＝2x．同理∠BEF＝∠CFG．∵EF＝FG．∴△FBE∽△GCF，∴BF＝CG＝14a x-．∴12244x a x a+-=．解得214x a-=，即214DG a-=．(4)2316a ，2271828a -．10．【答案与解析】(1)由对称性可证∠ECB ＝∠B ．(2)如图所示，有3种折法．(3)答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．11．【答案与解析】解：实验探究 (1)22a b +(2)剪拼方法如图(1)(2)(3)．联想拓展能，剪拼方法如图(4)(图中BG ＝DH ＝b )．(注意；图(4)用其他剪拼方法能拼接成面积为22a b +的正方形均可) 12. 【答案与解析】解：（1）如图1中，∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF 是由△CAD 旋转逆时针α得到，α=90°， ∴CB 与CE 重合， ∴∠CBE=∠A=45°， ∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°， ∵BG=AD=BF ， ∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°， ∴GF ∥AC ．（2）①如图2中，∵CA=CE ，CD=CF ，∴∠CAE=∠CEA ，∠CDF=∠CFD ， ∵∠ACD=∠ECF ， ∴∠ACE=∠DCF ，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°， ∴∠CAE=∠CDF ， ∴A 、D 、M 、C 四点共圆， ∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．。

北师大初中数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--巩固练习(提高)-精编

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（）A ．B ．C ．D ． 2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（）A ．1080°B ．360°C ．180°D ．900°3. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B ′处.得到Rt △AB ′E （图乙），再延长EB ′交AD 于F ，所得到的△EAF 是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则CE 的长是（）A 、10315-B 、1053-C 、535-D 、20103-二、填空题 5.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB= 22,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是 cm．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图(2)所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图(3)所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4)，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图(4)中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．知标准纸的短边长为a．(1)如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；(3)如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11. 在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. （2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．2.【答案】A；【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】3；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= 12∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×32=32，由垂径定理可知EF=2EH=3，故答案为：3．7.【答案】10；【解析】解：设OE 的解析式为y=kt ，∵点M （4，5）， ∴k=，如图，当Q 运动到G 点时，点P 运动到A 点，BQ=t ，AB=，∵AG⊥BC，∴四边形ADCG 是矩形，∴AG=DC=6，∴AB 2=BG 2+AG 2， ∴（）2=t 2+62，解得：t=8， ∴AB=×8=10（cm ）．三、解答题8．【答案与解析】解：(1)拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．(2)正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ 的面积为25．9．【答案与解析】解：(1)2，24a ，14a ． (2)相等，比值为2．(3)设DG ＝x ．在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠90°．∵∠HGF ＝90°，∴∠DHG ＝∠CGF ＝90°－∠DGH ，∴△HDG ∽△GCF ， ∴12DG HG CF GF ==． ∴CF ＝2DG ＝2x ．同理∠BEF ＝∠CFG ．∵EF ＝FG ．∴△FBE ∽△GCF ，∴BF ＝CG ＝14a x -． ∴12244x a x a +-=．解得214x a -=，即214DG a -=． (4)2316a ，2271828a -． 10．【答案与解析】(1)由对称性可证∠ECB ＝∠B ．(2)如图所示，有3种折法．(3)答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．11．【答案与解析】解：实验探究(1)22a b +(2)剪拼方法如图(1)(2)(3)．联想拓展能，剪拼方法如图(4)(图中BG ＝DH ＝b)．(注意；图(4)用其他剪拼方法能拼接成面积为22a b 的正方形均可)12. 【答案与解析】解：（1）如图1中，∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF 是由△CAD 旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB 与CE 重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF ，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF ∥AC ．（2）①如图2中，∵CA=CE ，CD=CF ，∴∠CAE=∠CEA ，∠CDF=∠CFD ，∵∠ACD=∠ECF ，∴∠ACE=∠DCF ，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF ，∴A 、D 、M 、C 四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．。

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中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（）A ．B ．C ．D ．2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（）A ．1080°B ．360°C ．180°D ．900°3. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B ′处.得到Rt △AB ′E （图乙），再延长EB ′交AD 于F ，所得到的△EAF 是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则CE 的长是（）A 、10315-B 、1053-C 、535-D 、20103-二、填空题5.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB= 22,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是 cm．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图(2)所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图(3)所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4)，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图(4)中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．知标准纸的短边长为a．(1)如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；(3)如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11. 在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. （2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．2.【答案】A；【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】3；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= 12∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×32=32，由垂径定理可知EF=2EH=3，故答案为：3．7.【答案】10；【解析】解：设OE的解析式为y=kt，∵点M（4，5），∴k=，如图，当Q运动到G点时，点P运动到A点，BQ=t，AB=，∵AG⊥BC，∴四边形ADCG是矩形，∴AG=DC=6，∴AB2=BG2+AG2，∴（）2=t2+62，解得：t=8，∴AB=×8=10（cm）．三、解答题8．【答案与解析】解：(1)拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．(2)正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ 的面积为25．9．【答案与解析】解：(1)2，24a ，14a ． (2)相等，比值为2．(3)设DG ＝x ．在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠90°．∵∠HGF ＝90°，∴∠DHG ＝∠CGF ＝90°－∠DGH ，∴△HDG ∽△GCF ， ∴12DG HG CF GF ==． ∴CF ＝2DG ＝2x ．同理∠BEF ＝∠CFG ．∵EF ＝FG ．∴△FBE ∽△GCF ，∴BF ＝CG ＝14a x -． ∴12244x a x a +-=．解得214x a -=，即214DG a -=．(4)2316a ，2271828a -．10．【答案与解析】(1)由对称性可证∠ECB ＝∠B ．(2)如图所示，有3种折法．(3)答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．11．【答案与解析】解：实验探究(1)22a b +(2)剪拼方法如图(1)(2)(3)．联想拓展能，剪拼方法如图(4)(图中BG ＝DH ＝b)．(注意；图(4)用其他剪拼方法能拼接成面积为22a b +的正方形均可)12. 【答案与解析】解：（1）如图1中，∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF 是由△CAD 旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB 与CE 重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF ，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，∴∠ACE=∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．。

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中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（）A ．B ．C ．D ．2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（）A ．1080°B ．360°C ．180°D ．900°3. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B ′处.得到Rt △AB ′E （图乙），再延长EB ′交AD 于F ，所得到的△EAF 是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则CE 的长是（）A 、10315-B 、1053-C 、535-D 、20103-二、填空题5.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB= 22,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是 cm．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图(2)所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图(3)所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4)，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图(4)中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．知标准纸的短边长为a．(1)如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；(3)如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11. 在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. （2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．2.【答案】A；【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】3；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= 12∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×32=32，由垂径定理可知EF=2EH=3，故答案为：3．7.【答案】10；【解析】解：设OE的解析式为y=kt，∵点M（4，5），∴k=，如图，当Q运动到G点时，点P运动到A点，BQ=t，AB=，∵AG⊥BC，∴四边形ADCG是矩形，∴AG=DC=6，∴AB2=BG2+AG2，∴（）2=t2+62，解得：t=8，∴AB=×8=10（cm）．三、解答题8．【答案与解析】解：(1)拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．(2)正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ 的面积为25．9．【答案与解析】解：(1)2，24a ，14a ． (2)相等，比值为2．(3)设DG ＝x ．在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠90°．∵∠HGF ＝90°，∴∠DHG ＝∠CGF ＝90°－∠DGH ，∴△HDG ∽△GCF ， ∴12DG HG CF GF ==． ∴CF ＝2DG ＝2x ．同理∠BEF ＝∠CFG ．∵EF ＝FG ．∴△FBE ∽△GCF ，∴BF ＝CG ＝14a x -． ∴12244x a x a +-=．解得214x a -=，即214DG a -=．(4)2316a ，2271828a -．10．【答案与解析】(1)由对称性可证∠ECB ＝∠B ．(2)如图所示，有3种折法．(3)答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．11．【答案与解析】解：实验探究(1)22a b +(2)剪拼方法如图(1)(2)(3)．联想拓展能，剪拼方法如图(4)(图中BG ＝DH ＝b)．(注意；图(4)用其他剪拼方法能拼接成面积为22a b +的正方形均可)12. 【答案与解析】解：（1）如图1中，∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF 是由△CAD 旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB 与CE 重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，∴∠ACE=∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．。

北师大初中数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--巩固练习(提高)-精编

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（）A ．B ．C ．D ．2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（）A ．1080°B ．360°C ．180°D ．900°3. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B ′处.得到Rt △AB ′E （图乙），再延长EB ′交AD 于F ，所得到的△EAF 是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则CE 的长是（）A 、10315-B 、1053-C 、535-D 、20103-二、填空题5.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=22,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是cm．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图(2)所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图(3)所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4)，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图(4)中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．知标准纸的短边长为a．(1)如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；(3)如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11.在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE 在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. （2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．2.【答案】A；【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】3；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= 12∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×32=32，由垂径定理可知EF=2EH=3，故答案为：3．7.【答案】10；【解析】解：设OE的解析式为y=kt，∵点M（4，5），∴k=，如图，当Q运动到G点时，点P运动到A点，BQ=t，AB=，∵AG⊥BC，∴四边形ADCG是矩形，∴AG=DC=6，∴AB2=BG2+AG2，∴（）2=t2+62，解得：t=8，∴AB=×8=10（cm）．三、解答题8．【答案与解析】解：(1)拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．(2)正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ 的面积为25．9．【答案与解析】解：(1)2，24a ，14a ． (2)相等，比值为2．(3)设DG ＝x ．在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠90°．∵∠HGF ＝90°，∴∠DHG ＝∠CGF ＝90°－∠DGH ，∴△HDG ∽△GCF ， ∴12DG HG CF GF ==． ∴CF ＝2DG ＝2x ．同理∠BEF ＝∠CFG ．∵EF ＝FG ．∴△FBE ∽△GCF ，∴BF ＝CG ＝14a x -． ∴12244x a x a +-=．解得214x a -=，即214DG a -=． (4)2316a ，2271828a -．10．【答案与解析】(1)由对称性可证∠ECB ＝∠B ．(2)如图所示，有3种折法．(3)答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．11．【答案与解析】解：实验探究(1)22a b +(2)剪拼方法如图(1)(2)(3)．联想拓展能，剪拼方法如图(4)(图中BG ＝DH ＝b )． (注意；图(4)用其他剪拼方法能拼接成面积为22a b +的正方形均可)12. 【答案与解析】解：（1）如图1中，∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF 是由△CAD 旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB 与CE 重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF ，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，∴∠ACE=∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．。

2021年华师版数学中考总复习知识点总结第四单元图形的变换

第四单元图形的变化第10章轴对称、平移与旋转1.轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，我们称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。

【注】一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条。

（2）成轴对称把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。

（3）轴对称的性质①轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）沿对称轴折叠后两部分是完全重合的，所以它的对应线段相等，对应角相等。

②关于某条直线对称的两个图形是全等形。

③如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。

（4）简单的轴对称图形——线段和角①垂直平分线：把垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。

又称为中垂线。

②垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

③线段的对称轴是本身所在的直线和它的垂直平分线。

④角的对称轴是它的角平分线所在的直线。

⑤角平分线上的点到角两边的距离相等。

2.画轴对称图形（1）画某点关于某条直线的对称点的方法①过已知点作已知直线的垂线，标出垂足。

②在这条直线的另一侧从垂足出发截取与已知点到垂足距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点。

（2）画已知图形关于某直线的对称图形①画出图形的特殊点的对称点②连结对称点，即可。

3. 平移（1）平移：图形的平行移动，简称为平移。

它由移动的方向和距离所决定。

如下图：把点A 与点'A 叫做对应点，把线段AB 与线段''B A 叫做对应线段，∠A 与'A 叫做对应角。

△ABC 平移的方向就是由点B 到点'B 的方向，平移的距离就是线段'BB 的长度。

（2）平移的特征①平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

九年级数学中考第二轮专题复习⑶ 运动型问题华东师大版

九年级数学中考第二轮专题复习⑶ 运动型问题华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第二轮专题复习⑶ 运动型问题二. 知识讲解：用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一，体现了数中“变”与“不变”及由简单到复杂，由特殊到一般的辩证思想，对培养同学们的思维品质和数学能力都有很大的促进作用，它集代数与几何的众多知识于一体，渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要数学思想，综合性较强，已成为中考热点试题。

新课程改革倡导培养学生的实践能力和创新精神，运动型试题所考查的知识与能力很好地体现了课改精神，如教材新增内容：图形的三种变换（平移、旋转、翻折）、图形与坐标等知识内容，以网格纸、坐标系等为背景，三角尺、多边形纸张等为工具，以运动为载体来设计试题，具有背景新颖、题材丰富、可操作性强的特点，已成为新课程中考的压轴题。

运动型试题主要包含质点运动型试题与图形变换型试题两类，命题的设置往往带有开放性、操作性、探究性和综合性的特点。

【典型例题】例1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC 的长为常数，点P 从起点C 出发，沿CB 向终点B 运动，设点P 所走过的路程CP 的长为x ，△APB 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（）解析：解答本题的关键是通过APB ABCACP S S S ∆∆∆=-，找出y 与x 之间的函数关系，考查同学们函数运动变化观点。

选C 。

例2. 如图2，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝50，AD ＝75，BC ＝135。

点P 从点B 出发沿折线段BA －AD －DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD －DA －AB 于点E 。

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中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（基础）：【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的折叠1．（2016•济南）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG= ．【思路点拨】如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，利用勾股定理求出x，再利用△DME∽△FEN，得=，求出EN，EM，求出tan∠AMN，再证明∠EHG=∠AMN即可解决问题．【答案】45°．【解析】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，∵DE=EC，AB=CD=8，∴DE=CD=4，在RT△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（4）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴=，∴=，∴EN=，∴AN=EN=，∴tan∠AMN==，如图3中，∵ME⊥EN，HG⊥EN，∴EM∥GH，∴∠NME=∠NHG，∵∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，∴∠AMN=∠EHG，∴tan∠EHG=tan∠AMN=．故答案为．【总结升华】本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把问题转化，证明∠AMN=∠EHG是关键，属于中考填空题中的压轴题．举一反三：【变式】如图所示，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：________ (用“能”或“不能”填空)．若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．【答案】解：能.如图所示，取四边形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，连接EG ，FH ，交点为O ．以EG ，FH 为裁剪线，EG ，FH 将四边形ABCD 分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，拼接时图中的Ⅰ不动，将Ⅱ，Ⅳ分别绕E ，H 旋转180°，将Ⅲ平移，拼成的四边形OO 1O 2O 3即为所求．沿CA 方向平移，将点C 平移到点A 位置．类型二、实践操作2．如图,在等腰梯形ABCD 中AB ∥CD,AB ＝高CE ＝对角线AC 、BD 交于H ，平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ；当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒,直线RQ 平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x 秒.(1)填空:∠AHB ＝____________；AC ＝_____________；(2) 若213S S =,求x ；(3) 若21S mS =,求m 的变化范围.【思路点拨】(1) 如例2图-1所示,平移对角线DB,交AB的延长线于P.则四边形BPCD是平行四边形,BD＝PC,BP＝DC因为等腰梯形ABCD,AB∥CD,所以AC＝BD. 所以AC＝PC.又高CE＝＝所以AE＝EP＝所以∠AHB＝90°AC＝4；⑵直线移动有两种情况:32x<<及322x≤≤,需要分类讨论.①当32x<<时, 有2214S AGS AF⎛⎫==⎪⎝⎭. ∴213S S≠②当322x≤≤时,先用含有x的代数式分别表示1S,2S,然后由213S S=列出方程,解之可得x的值；(3) 分情况讨论:①当32x<<时, 214SmS==.②当322x≤≤时,由21S mS=,得()222188223xSmS x--==＝2123643x⎛⎫--+⎪⎝⎭.然后讨论这个函数的最值,确定m的变化范围. 【答案与解析】解： (1) 90°,4；(2)直线移动有两种情况:302x <<和322x ≤≤. ①当302x <<时,∵MN ∥BD,∴△AMN ∽△ARQ,△ANF ∽△AQG. 2214S AG S AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭. ∴213S S ≠ ②当322x ≤≤时, 如例2图-2所示,CG ＝4－2x,CH ＝1,14122BCD S ∆=⨯⨯=. ()22422821CRQ x S x ∆-⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭ 2123S x =,()22882S x =-- 由213S S =,得方程()22288233x x --=⨯, 解得165x =(舍去),22x =. ∴x ＝2.(3) 当302x <<时,m ＝4 当322x ≤≤时, 由21S mS =,得()2288223x m x --=＝2364812x x -+-＝2123643x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. M 是1x 的二次函数, 当322x ≤≤时, 即当11223x ≤≤时, M 随1x 的增大而增大. 当32x =时,最大值m ＝4. 当x ＝2时,最小值m ＝3. ∴3≤m ≤4.【总结升华】本题是一道几何代数综合压轴题,重点考查等腰梯形, 相似三角形的性质,二次函数的增减性和最值及分类讨论,由特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题时,(1)小题,通过平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,从而使问题得以简化,是我们解决梯形问题常用的方法.(2) 小题直线移动有两种情况:302x <<及322x ≤≤,需要分类讨论.这点万不可忽略,解题时用到的知识点主要是相似三角形面积比等于相似比的平方.(3) 小题仍需要分情况讨论.对于函数2123643m x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,讨论它的增减性和最值是个难点. 讨论之前点明我们把这个函数看作“M 是1x的二次函数”对顺利作答至关重要.3．已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，DE ⊥BC 于点E ，过点G 作GF ⊥BC 于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG 、DE 、GF 按图①所示方式折叠．点A 、B 、C 分别落在A ′、B ′、C ′处．若点A ′、B ′、C ′在矩形DEFG 内或其边上．且互不重合，此时我们称A B C '''△ (即图中阴影部分)为“重叠三角形”．(1)若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格图中(图中每个小三角形都是边长为l 的等边三角形)，点A 、B 、C 、D 恰好落在网格图中的格点上，如图②所示，请直接写出此时重叠三角形A ′B ′C ′的面积；(2)实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A ′B ′C ′存在，试用含m 的代数式表示重叠三角形A ′B ′C ′的面积，并写出m 的取值范围(直接写出结果，备用图供实验探究使用)．【思路点拨】本题是折叠与对称类型操作题，折叠实质为对称变换，故轴对称的性质运用是解本类型题的关键．另外，本题对新概念“重叠三角形”的理解正确才能求得m 的取值范围．【答案与解析】解：(1)重叠三角形A ′B ′C理由：如题图，△A ′B ′C ′是边长为2的等边三角形．122⨯=(2)用含m 的代数式表示重叠三角形A ′B ′C 2)m -，m 的取值范围是83≤m ＜4．理由：如图(1)，AD ＝m ，则BD ＝GC ＝8-m ，由轴对称的性质知DB ′＝DB ＝8-m ．DA ′＝DA ＝m ．∴A ′B ′＝DB ′－DA ′＝8－m —m ＝2(4－m)，由△ABC 是等边三角形及折叠过程知AA ′B ′C ′是等边三角形．2(4))m m -=-．212(4)))2A B C S m m m '''=⨯--=-△．以下求m 的取值范围：如图(1)，若B ′与F 重合，则C ′与E 重合．由折叠过程知BE ＝EB ′＝EF ．CF ＝FC ′＝FE ．∴BE ＝EF ＝FC ＝83． ∵∠B ＝60°，BD ＝2BE ＝163， 168833AD =-=，即83m =．若83m <，如图(2)，点B ′、C ′落在矩形DEFG 外，不合题意．∴83m ≥．又由A ′B ′＝2(4-m)＞0，得m ＜4． ∴m 的取值范围是843m ≤<．【总结升华】亲自操作实验有助于突破难点．举一反三：【图形的设计与操作及运动变换型问题例2 】【变式】阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积．解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，联结AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线．问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．【答案】解：如图③，取对角线AC的中点O，联结BO、DO、BD,过点O作OE∥BD交CD于E,∴直线BE即为所求直线类型三、动态数学问题4．如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′.(1)如图②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是形；（2）如图③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为度；连接CC′，四边形CDBC′是形；（3）如图④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由.【思路点拨】（1）利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；（2）利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可；（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CE，即可得出答案．【答案与解析】解：（1）平行四边形；证明：∵AD=AB，AA′=AC，∴A′C与BD互相平分，∴四边形A′BCD是平行四边形；（2）∵DA由垂直于AB，逆时针旋转到点D、A、B在同一直线上，∴旋转角为90度；证明：∵∠D=∠B=90°，A，D，B在一条直线上，∴CD∥BC′，∴四边形CDBC′是直角梯形；故答案为：90，直角梯；（3）四边形ADBC是等腰梯形；证明：过点B作BM⊥AC，过点D作DN⊥AC，垂足分别为M，N，∵有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′．∴△ACD≌△A′BC′，∴BM=ND，∴BD∥AC，∵AD=BC，∴四边形ADBC是等腰梯形．【总结升华】此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识，熟练掌握判定定理是解题关键．举一反三：【图形的设计与操作及运动变换型问题例1 】【变式】（2015秋•莘县期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1：2，则线段AC中点P变换后对应点的坐标为．【答案】（322，）或（3-2-2，）.【解析】解：如图，∵A（2，2），C（6，4），∴点P的坐标为（4，3），∵以原点为位似中心将△ABC缩小位似比为1：2，∴线段AC的中点P变换后的对应点的坐标为（﹣2，﹣）或（2，）．故答案为：（2，）或（﹣2，﹣）．5．如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了秒（结果保留根号）．【思路点拨】根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度，计算即可得解．【答案】（4+2）．【解析】解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB=2cm，BC=2cm，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，则四边形BCFE是矩形，∴BE=CF，BC=EF=2cm，∵∠A=60°，∴BE=ABsin60°=2×=，AE=ABcos60°=2×=1，∴×AD×BE=3，即×AD×=3，解得AD=6cm，∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3，在Rt△CDF中，CD===2，所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2=4+2，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）÷1=4+2（秒）．故答案为：（4+2）．【总结升华】本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、BC的长度是解题的关键，在梯形的问题中，作过梯形的上底边的两个顶点的高线是常见的辅助线．。

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