云南省红河州蒙自一中2017-2018学年高二下学期开学数学试卷(27-32班) Word版含解析

云南省红河州蒙自一中2017-2018学年高二下学期开学数学试卷（27-32班）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4} C．{2，4} D．∅2．计算：lg20﹣lg2﹣log23•log32+2=（）A．B．C．D．3．直线y=kx与直线y=2x+1垂直，则k等于（）A．﹣2 B．2C．D．4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位5．设，且，则锐角α为（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}是等比数列，且a1=﹣1，a2=﹣2，那么a5=（）A．﹣6 B．8．C．16 D．﹣167．在等差数列{a n}中，若3a2=32，3a12=118，则a4+a10=（）A．45 B．50 C．75 D．608．如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π9．若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤810．函数f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定义在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函数，则f=（）A．1B．3C．D．不存在11．若0＜a＜1，且函数f（x）=|log a x|，则下列各式中成立的是（）A．f（2）＞f（）＞f（）B．f（）＞f（2）＞f（）C． f（）＞f （2）＞f（）D．f（）＞f（）＞f（2）12．已知函数f（x）=sinx，则下列等式成立的是（）A．f（﹣x）=f（x）B．f（2π﹣x）=f（x）C．f（2π+x）=f（x）D． f （π+x）=f（x）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知幂函数f（x）的图象过点（2，2），则f（x）的解析式为．14．以点（﹣3，4）为圆心且与y轴相切的圆的标准方程是．15．若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是．16．若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知向量=2（sin2x﹣1，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求函数f（x）在m[0，]时的最大值与最小值．18．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x﹣y|≤5}，事件F={|x﹣y|＞15}，求P（E∪F）．19．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC1D1；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．（1）求角C的大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．21．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+6a2=1，a22=9a1•a5，．（I ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1•a2•a3…a n=，求数列{b n}的前n项和．22．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆的方程；（2）若直线ax﹣y+5=0（a≠0）与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．云南省红河州蒙自一中2017-2018学年高二下学期开学数学试卷（27-32班）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4} C．{2，4} D．∅考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，∴∁U A={2，4}，则（∁U A）∩B={2，4}，故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．计算：lg20﹣lg2﹣log23•log32+2=（）A．B．C．D．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的运算性质计算即可．解答：解：lg20﹣lg2﹣log23•log32+2=lg10﹣+=1﹣1+=，故选：B．点评：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．3．直线y=kx与直线y=2x+1垂直，则k等于（）A．﹣2 B．2C．D．考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：由于直线y=2x+1的斜率为2，所以直线y=kx的斜率存在，两条直线垂直，利用斜率之积为﹣1，直接求出k的值．解答：解：直线y=kx与直线y=2x+1垂直，由于直线y=2x+1的斜率为2，所以两条直线的斜率之积为﹣1，所以k=故选C．点评：本题考查两条直线垂直的斜率关系，考查计算能力，是基础题．4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型．分析：先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．解答：解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x﹣）的图象，故选B．点评：本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．5．设，且，则锐角α为（）A．B．C．D．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：利用向量共线的充要条件列出关于角x的方程，利用三角函数的二倍角公式化简求出值．解答：解：∵∴sin2x=1∵x是锐角∴x=故选B．点评：本题考查向量共线的坐标形式的充要条件、考查三角函数的二倍角公式及三角方程的解等基本知识，属于基础题．6．已知数列{a n}是等比数列，且a1=﹣1，a2=﹣2，那么a5=（）A．﹣6 B．8．C．16 D．﹣16考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用确定公比，进而可得结论．解答：解：依题意，公比q===2，∴a5=a1•q5﹣1=﹣16，故选：D．点评：本题考查等比数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．7．在等差数列{a n}中，若3a2=32，3a12=118，则a4+a10=（）A．45 B．50 C．75 D．60考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知数据可得a2和a12，由等差数列的性质可得a4+a10=a2+a12，代入计算可得．解答：解：∵等差数列{a n}中3a2=32，3a12=118，∴由等差数列的性质可得a4+a10=a2+a12=+=50故选：B点评：本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．8．如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2．取PC的中点O，则点O是该几何体的外接球的球心．求出即可．解答：解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA=2．取PC的中点O，则点O是该几何体的外接球的球心．OC=PC==．∴该几何体的外接球的表面积=4πR2=12π．故选：C．点评：本题考查了四棱锥外接球的表面积、三视图的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8考点：程序框图．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26=126，故①中应填n≤6．故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．10．函数f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定义在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函数，则f=（）A．1B．3C．D．不存在考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由偶函数的定义域关于原点对称可求a，由函数为偶函数可得二次函数的对称轴为x=0可求b，代入可求函数值解答：解：由偶函数的定义域关于原点对称可知，2a﹣2=a∴a=2，又函数f（x）=2x2+（2﹣2b）x+1的定义域为（﹣2，0）∪（0，2）的偶函数∴函数的对称轴x=1﹣b=0∴b=1∴f（x）=2x2+1∴f=f（1）=3故选B点评：本题主要考查了偶函数的定义域关与原点对称的性质及偶函数的定义的应用，解题的关键是熟练应用基本知识11．若0＜a＜1，且函数f（x）=|log a x|，则下列各式中成立的是（）A．f（2）＞f（）＞f（）B．f（）＞f（2）＞f（）C． f（）＞f （2）＞f（）D．f（）＞f（）＞f（2）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由0＜a＜1，将f（2）转化为log a，将f（）转化为log a，将f（）转化为log a，再利用对数函数f（x）=log a x在（0，+∞）上是减函数得到结论．解答：解：∵0＜a＜1∴f（2）=|log a2|=|﹣log a||=log af（）=|log a|=log af（）=|log a|=log a，∵0＜a＜1，函数f（x）=log a x，在（0，+∞）上是减函数，∴f（）＞f（）＞f（2）故选D点评：本题主要考查对数函数的图象分布及其单调性的应用，要注意：对数函数值的正负由“1”来划分，其单调性由底数来确定，另外，在解题时要充分利用数形结合的思想和方法．12．已知函数f（x）=sinx，则下列等式成立的是（）A．f（﹣x）=f（x）B．f（2π﹣x）=f（x）C．f（2π+x）=f（x）D． f （π+x）=f（x）考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正弦函数的周期性，可得结论．解答：解：∵函数f（x）=sinx，∴函数f（x+2π）=sin（x+2π）=sinx=f（x），故选：C．点评：本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知幂函数f（x）的图象过点（2，2），则f（x）的解析式为．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用待定系数法进行求解即可．解答：解：设f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（2，2），∴f（2）=，则α=，则，故答案为：点评：本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．14．以点（﹣3，4）为圆心且与y轴相切的圆的标准方程是（x+3）2+（y﹣4）2=9．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由条件求得圆的半径，即可求得圆的标准方程．解答：解：以点（﹣3，4）为圆心且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是（x+3）2+（y﹣4）2=9，故答案为（x+3）2+（y﹣4）2=9．点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相切的性质，求出圆的半径，是解题的关键，属于中档题．15．若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是24π．考点：球的体积和表面积；棱柱的结构特征．专题：计算题；综合题．分析：先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．解答：解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，它的底面边长是：2，所以它的体对角线的长是：，球的直径是：，所以这个球的表面积是：故答案为：24π点评：本题考查正四棱柱的外接球的表面积．考查计算能力，是基础题．16．若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为．考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：分别求出不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB的面积及区域N的为图中的阴影部分面积为，代入几何概率的计算公式可求．解答：解：不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB，A（）B（4，4）设y=2x﹣4与x轴的交点为M（2，0）S△AOB=S OBM+S△OAM=区域N的为图中的阴影部分，面积为由几何概率的计算公式可得P=，故答案为：点评：本题主要考查了几何概型的求解，还考查了线性规划的知识，同时考查了数形结合的思想，属于简单综合．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知向量=2（sin2x﹣1，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求函数f（x）在m[0，]时的最大值与最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：（1）根据题意，利用数量积以及三角恒等变换公式可得=，由正弦函数的性质计算可得答案；（2）由（1）的结论，结合正弦函数的图象性质，分析可得答案．解答：解：（1）=…∴函数f（x）的最小正周期T==π…（2）∵，∴∴当时，即时，当时，即时，f（x）min=﹣1…点评：本题考查三角函数的恒等变换的运用，关键是利用三角函数的有关公式，将•变形为Asin（ωx+φ）的形式．18．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x﹣y|≤5}，事件F={|x﹣y|＞15}，求P（E∪F）．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先由第六组的人数除以样本容量得到第六组的频率，然后用1减去出第七组外各组的频率和即可得到第七组的频率；（Ⅱ）因为过中位数的直线两侧的矩形的面积相等，经计算前三组的频率和小于0.5，后四组的频率和大于0.5，由此断定中位数位于第四组，设出中位数m，由0.04+0.08+0.2+（m﹣170）×0.04=0.5即可求得中位数m的值；（Ⅲ）分别求出第六组和第八组的人数，利用列举法列出从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生的总的方法，再分别求出事件E和事件F的概率，最后利用互斥事件的概率加法公式进行计算．解答：解：（Ⅰ）第六组的频率为，所以第七组的频率为1﹣0.08﹣5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.06；（Ⅱ）身高在第一组[155，160）的频率为0.008×5=0.04，身高在第二组[160，165）的频率为0.016×5=0.08，身高在第三组[165，170）的频率为0.04×5=0.2，身高在第四组[170，175）的频率为0.04×5=0.2，由于0.04+0.08+0.2=0.32＜0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52＞0.5估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170＜m＜175由0.04+0.08+0.2+（m﹣170）×0.04=0.5得m=174.5所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18，所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为0.18×800=144人．（Ⅲ）第六组[180，185）的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组[190，195]的人数为2人，设为A，B，则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15种情况，因事件E={|x﹣y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况，故．由于|x﹣y|max=195﹣180=15，所以事件F={|x﹣y|＞15}是不可能事件，P（F）=0由于事件E和事件F是互斥事件，所以．点评：本题考查了频率分布直方图，考查了列举法求基本事件及事件发生的概率，解答此题的关键是明确频率直方图中各矩形的频率和等于1，中位数是频率分布直方图中，过该点的直线把各矩形面积均分的点的横坐标，此题是基础题．19．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC1D1；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）欲证EF∥平面ABC1D1，只需在平面ABC1D1中找一直线与EF平行，根据E、F分别为DD1、DB的中点，可得EF∥BD1，最后根据线面平行的判定定理可得结论；（Ⅱ）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．解答：（Ⅰ）证明：连接BD1，∵E、F分别为DD1、DB的中点，∴EF是三角形BD1D的中位线，即EF∥BD1；…又EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，…所以EF∥平面ABC1D1（Ⅱ）解：∵EF⊥平面B1FC，∴EF⊥FB1EF=，FB1=Rt△B1EF的面积=×EF×FB1=××=∵CB=CD，BF=DF，∴CF⊥BD．∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥CF又DD1∩BD=D，∴CF⊥平面BDD1B1又CF=，∴V B1﹣EFC==1…点评：本题主要考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，考查三棱锥的体积，同时考查了推理论证的能力和空间想象能力，属于中档题．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．（1）求角C的大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．（2）B=﹣A，化简sinA﹣cos （B+）=2sin（A+）．因为0＜A＜，推出求出2sin（A+）取得最大值2．得到A=，B=解答：解：（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，又cosC≠0，所以tanC=1，C=．（2）有（1）知，B=﹣A，于是=sinA+cosA=2sin（A+）．因为0＜A＜，所以从而当A+，即A=时2sin（A+）取得最大值2．综上所述，cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=点评：本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型．21．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+6a2=1，a22=9a1•a5，．（I ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1•a2•a3…a n=，求数列{b n}的前n项和．考点：等比数列的性质；数列的求和．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设{an}的公比为q，则q＞0，由已知有，解方程可求a1，q，进而可求通项（Ⅱ）由（I）可知，==，则可得，，利用裂项可求和解答：解：（Ⅰ）设{an}的公比为q，则q＞0，由已知有可解得（舍去），．∴=．…（Ⅱ）∵====∴，即=．…∴S n=b1+b2+…+b n==﹣2（1﹣）=．…点评：本土主要考查了利用基本量a1，q表示等比数列的项，这也是2015届高考在数列部分最基本的考查试题类型，及裂项求数列的和，要注意裂项时不要漏掉系数．22．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆的方程；（2）若直线ax﹣y+5=0（a≠0）与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．专题：综合题．分析：（1）由题意圆心在x轴，且圆心横坐标是整数，设出圆心M的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据直线与圆相切，得到d与半径r相等，列出关于m的不等式，求出不等式的解即可得到m的值，确定出圆心坐标，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可；（2）假设符合条件的实数a存在，由a不为0，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由直线ax﹣y+5=0的斜率表示出直线l方程的斜率，再由P的坐标和表示出的斜率表示出直线l的方程，根据直线l垂直平分弦AB，得到圆心M必然在直线l上，所以把M的坐标代入直线l方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入确定出直线l 的方程，经过检验发现直线ax﹣y+5=0与圆有两个交点，故存在．解答：解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|=25．即4m﹣29=25或4m﹣29=﹣25，解得m=或m=1，因为m为整数，故m=1，故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25；（2）设符合条件的实数a存在，∵a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．经检验时，直线ax﹣y+5=0与圆有两个交点，故存在实数，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质．要求学生掌握直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．根据直线l垂直平分弦AB得到圆心M必然在直线l上是解本题第二问的关键．。