高二数学下学期期末复习

2016-2017学年第二学期周练（1）试题卷高二数学（理科）2017.4.27一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．复数1ii-的虚部是 ． 2．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 ．（填数字） 3. 用反证法证明命题：“已知,a b N ∈，若ab 不能被7整除，则a ，b 都不能被7整除”时，假设的内容应为 ．4．函数xy e =在2x =处的切线的斜率为 ．5．用0到9这十个数字组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为 ．6. 在二项式的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中的系数为 ．7. (x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为 ．8．如果复数z 满足2z i -=，那么1+z 的最小值是 ．9. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ．10．集合{1,2,3,,}(3)n n ⋅⋅⋅≥中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为n T ，如：222231121323[6(123)]112T =⨯+⨯+⨯=-++=；2222241121314232434[10(1234)]352T =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-+++=；22222251121314153545[15(12345)]852T =⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=-++++=，则7T = ．（写出计算结果）11. 将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为 ．（填数字）12．已知椭圆C ：x 225 + y 29=1的左焦点为F ，点M 是椭圆C 上一点，点N 是MF 的中点，O 是椭圆的中心，ON =4，则点M 到椭圆C 的左准线的距离为 ．13．若函数f (x )＝x - 13sin 2x + a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是 ．122nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x14．已知函数x xax f -=)(，且对于任意)1,0(∈x 都有1)1()(≥-x f x f 恒成立.则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题14分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数： f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=x 3，f 4（x ）=sin x ，f 5（x ）=cos x ，f 6（x ）=2．（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．16．（本题14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC = 12，AD =1，CD =3．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）设PM =t MC ，若二面角M ﹣BQ ﹣C 的平面角的大小为30°，试确定t 的值．17. （本题14分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．18. （本题16分） 已知n n x x f )1()(+=，n ∈N *.(1) 若)(3)(2)()(654x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含2x 项的系数；(2) 若n p 是)(x f n 展开式中所有无理项的系数和，数列}{n a 是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：n p 12(1)n a a a ⋅⋅⋅+≥(1＋1a )(1＋2a )⋅⋅⋅(1＋n a )．19．（本题16分）设椭圆C ： x 2a 2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，过A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且F 1恰好是线段QF 2的中点． （1）若过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线3x -4y -7=0相切，求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，B 是椭圆C 的左顶点，过点R （32，0）作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于E 、F 两点，直线BE 、BF 分别交直线x = 83于M 、N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．20．（本题16分）已知函数2()()e xf x x a =-在2x =时取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，的值；若不存在，说明理由．1．122．48 3. ,a b 至少有一个能被7整除 4． 2e . 5．136 6.7. 解析：(x ＋y )8中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r ，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20. 答案：－20 8．2 9. 32 10．322 11．【答案】288 【解析】【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，用插空法分析可得此时的排法数目，②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，用捆绑法分析可得此时的排法数目，进而由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、3个男同学均不相邻，将三名女同学全排列，有A 33=6种排法，排好后有4个空位， 在4个空位中，任选3个，安排3个男同学，有A 43=24种安排方法，此时共有6×24=144种不同的排法； ②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考虑2人的顺序，有A 22=2种情况，将三名女同学全排列，有A 33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选2个，安排甲和这2个男同学，有A 42=12种安排方法，此时共有2×6×12=144种不同的排法； 则共有144+144=288种不同的排法； 故答案为：288．【标题】浙江省绍兴市2017届高考一模数学试题 12． 5213．解析：选C f ′(x )＝1－23cos 2x ＋acos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋acos x ＝－43cos 2x ＋acos49516x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，令cos x ＝t ，t ∈－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在－1,1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在－1,1]上恒成立，令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13 14 41-≤a 或1≥a15. 【解析】【考点】离散型随机变量及其分布列；奇函数．【分析】（1）由任意两个奇函数的和为奇函数，而原来的六个函数中奇函数有三个，故可用古典概型求解；（2）ξ可取1，2，3，4，ξ=k 的含义为前k ﹣1次取出的均为奇函数，第k 次取出的是偶函数，分别求概率，列出分布列，再求期望即可．【解答】解：（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知．（2）ξ可取1，2，3，4，；故ξ的分布列为．答：ξ的数学期望为．16. 解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12， 所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.即顾客抽奖1次能获奖的概率是710. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验， 由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.17.【答案】(1) 解：g(x)中含x2项的系数为C44＋2C45＋3C46＝1＋10＋45＝56.(3分)(2) 证明：由题意，p n＝2n－1.(5分)①当n＝1时，p1(a1＋1)＝a1＋1，成立；②假设当n＝k时，p k(a1a2…a k＋1)≥(1＋a1)(1＋a2)…(1＋a k)成立，当n＝k＋1时，(1＋a1)(1＋a2)…(1＋a k)(1＋a k＋1)≤2k－1(a1a2…a k＋1)(1＋a k＋1)＝2k－1(a1a2…a k a k＋1＋a1a2…a k＋a k＋1＋1)．(*)∵ a k＞1，a1a2…a k(a k＋1－1)≥a k＋1－1，即a1a2…a k a k＋1＋1≥a1a2…a k＋a k＋1，代入(*)式得(1＋a1)(1＋a2)…(1＋a k)(1＋a k＋1)≤2k(a1a2…a k a k＋1＋1)成立．综合①②可知，p n（a1a2…a n＋1）≥（1＋a1）（1＋a2）…（1＋a n）对任意n∈N*成立．（10分）18．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，可得四边形BCDQ为平行四边形，得到CD∥BQ．结合∠ADC=90°，得QB⊥AD．然后利用面面垂直的性质得BQ⊥平面PAD．再由线面垂直的判定得平面PQB⊥平面PAD；（2）由PA=PD，Q为AD的中点，得PQ⊥AD．结合（1）可得PQ⊥平面ABCD．以Q 为原点建立空间直角坐标系．然后求出平面BQC的一个法向量，再由PM=tMC把平面MBQ 的一个法向量用含有t的代数式表示，结合二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°求得t 的值．【解答】（1）求证：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则面BQC的法向量为；Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，）．设M（x，y，z），则，，∵PM=tMC，∴，则，即，在平面MBQ中，，，设平面MBQ的一个法向量，由，，取z=t，得x=．∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，解得t=3．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．19．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知b2=3c2，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线PQ方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得M和N点的纵坐标，利用斜率公式求得k1，k2，利用韦达定理即可求得k1k2．【解答】解：（1）由题意可知A（0，b），F1是线段QF1的中点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则Q（﹣3c，0），∵∠QAF1=90°，∴b2=3c2，由题意Rt△QAF1外接圆圆心为斜边的QF1中点F1（﹣c，0），半径等于2c，由A，Q，F2，三点恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，∴F1（﹣c，0）到直线的距离等于半径2c，即=2c，解得：c=1，b2=3，a2=4，∴椭圆的标准方程：；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+，代入椭圆方程，4（4+3m2）y2+36my﹣21=0，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由B，E，M，三点共线，可知：=，即y M=，同理可得：y N=，∴k1k2=×==，由4（x1+2）（x2+2）=（2my1+7）（2my2+7）=4m2y1y2+14m（y1+y2）+49，∴k 1k 2==﹣，∴k 1k 2是否为定值﹣．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，属于中档题．20． （1）()e ()(2)x f x x a x a '=--+，由题意知(2)0f '=，解得2a =或4a =．当2a =时，()e (2)x f x x x '=-，易知()f x 在(0,2)上为减函数，在(2,)+∞上为增函数，符合题意；当4a =时，()e (2)(4)x f x x x '=--，易知()f x 在(0,2)上为增函数，在(2,4)，(4,)+∞上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的2a =．（2）因为()0f x ≥，所以0m ≥．① 若0m =，则2n ≥，因为4(0)4e f n =<，所以24(2)e e n n n -=． 设2(2)()e (2)x x g x x x -=≥，则2224(2)()e 0x x x g x x x ⎡⎤--'=+⎢⎥⎣⎦≥， 所以()g x 在[2,)+∞上为增函数．由于4(4)e g =，即方程24(2)e e n n n -=有唯一解为4n =．② 若0m >，则[]2,m n ∉，即2n m >>或02m n <<<．（Ⅰ）2n m >>时，2424()(2)e e ()(2)e e m n f m m m f n n n ⎧=-=⎨=-=⎩， 由①可知不存在满足条件的,m n ．（Ⅱ）02m n <<<时，2424(2)e e (2)e e m n m n n m⎧-=⎨-=⎩，两式相除得22(2)e (2)e m n m m n n -=-．设2()(2)e (02)x h x x x x =-<<，则32()(44)e (2)(1)(2)e x x h x x x x x x x '=--+=+--，()h x 在(0,1)递增，在(1,2)递减，由()()h m h n =得01m <<，12n <<，此时24(2)e 4e e m m n -<<，矛盾．综上所述，满足条件的,m n 值只有一组，且0,4m n ==．。