复数的基本概念和几何意义
复数的概念及其几何意义
复数的概念及其定义复数是数学中一种特殊的数，它由实部和虚部组成。
一个复数可以用以下形式表示：z = a + bi其中，a是实部，b是虚部，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。
在复平面上，我们可以将复数z = a + bi表示为一个有序对(a, b)。
其中实部a对应于 x 轴的坐标，虚部b对应于 y 轴的坐标。
这样，在复平面上，每个点都对应着唯一的一个复数。
复数的重要性和应用1. 扩展了实数域复数扩展了实数域，使得我们可以处理更多的问题。
例如，在求解方程时，有些方程在实数域中无解，但在复数域中却有解。
2. 描述振荡和周期性现象振荡和周期性现象在科学和工程领域中非常常见。
通过使用复数来描述这些现象，我们可以更方便地进行分析和计算。
3. 信号处理在信号处理领域中，复数广泛用于描述和分析信号。
例如，在频域中使用傅里叶变换将信号从时域转换为频域时，复数起到了重要的作用。
4. 电路分析在电路分析中，复数被用来描述电压和电流的相位关系。
通过使用复数，我们可以方便地进行交流电路的计算和分析。
5. 分形和动力系统复数在分形和动力系统研究中也扮演着重要角色。
通过使用复数，我们可以更好地理解这些系统的行为和性质。
复数的几何意义中的关键概念在复平面上，有几个重要的概念与复数的几何意义密切相关。
1. 模长（Magnitude）一个复数z = a + bi的模长表示为|z|，它等于实部a和虚部b的平方和的平方根。
模长表示了一个复数到原点的距离。
|z| = √(a^2 + b^2)2. 辐角（Argument）辐角是一个与复数相关的角度，在极坐标系中表示。
辐角通常用 Greek 字母θ表示。
对于一个非零复数z = a + bi，其辐角定义如下：θ = arctan(b/a)需要注意的是，在计算辐角时需要考虑a的正负和a=0的特殊情况。
3. 共轭复数（Conjugate）对于一个复数z = a + bi，其共轭复数定义为z* = a - bi。
详解复数的运算和几何意义
详解复数的运算和几何意义复数是一种能够表示虚数单位 i 的数，它由实部和虚部组成，通常用 a+bi 的形式表示。
在现实生活中，复数的应用非常广泛，从电阻电容电感电路的计算到信号处理和量子计算，都少不了复数。
本文将详解复数的运算和几何意义。
一、基本概念首先，让我们来了解一些复数的基本概念。
实部和虚部是构成复数的两个基本元素，实部记为 Re(z)，虚部记为 Im(z)。
在复平面上，实部沿着 x 轴正半轴方向，虚部沿着 y 轴正半轴方向，因此复数可以看做一个有序对 (a,b)，a 是实部，b 是虚部。
复数的加减运算与实数的加减运算类似，只需将其实部和虚部分别相加减即可。
例如，设 z1=2+3i，z2=4+5i，则z1+z2=(2+4)+(3+5)i=6+8i，z1-z2=(2-4)+(3-5)i=-2-2i。
复数的乘法运算也是有许多规律的。
例如，设 z1=2+3i，z2=4+5i，则 z1*z2=(2*4-3*5)+(2*5+3*4)i=-7+22i。
从几何上讲，复数乘法的效果是将一个复数旋转了一个角度，并将其尺寸拉伸了一定的倍数。
具体来讲，设z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cosθ2+isin θ2)，则z1*z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))。
二、复数的除法复数的除法运算比较复杂，它涉及到两个复数的逆元的求解。
我们可以将除法转化为乘法，即 z1/z2=z1*1/z2。
因此，只要求出z2 的逆元即可。
设 z2=a+bi，则 z2 的逆元为 1/z2=(a-bi)/(a^2+b^2)。
将其带入上式，则可得到z1/z2=r1/r2(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))。
三、复数的共轭复数的共轭是指改变虚部的符号，即将 z=a+bi 的共轭记为z_bar=a-bi。
共轭的作用很广泛，它可以用来求模长、求逆元等。
例如，设 z=a+bi，则|z|^2=z*z_bar=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2，1/z=z_bar/|z|^2=(a-bi)/(a^2+b^2)。
复数的基本运算与几何意义解释
复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。
一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。
加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。
二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。
三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。
四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。
复数运算的几何意义解读
复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数构成的数学概念，具有实部和虚部两个部分。
在复平面中，复数可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a为实部，b为虚部。
复数运算的几何意义可以通过复平面的几何解释来理解。
首先，复数可以用来表示平面上的点。
复平面以实轴为x轴，以虚轴为y轴，每个复数可以对应平面上的一个点。
实部表示该点在x轴上的位置，虚部表示该点在y轴上的位置。
例如，复数z=3+4i表示平面上的一个点，该点在x轴上的位置是3，在y轴上的位置是4加法运算是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相加得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部之和，虚部等于两个复数的虚部之和。
在几何上，两个复数的加法可以理解为将两个平面上的点进行向量相加，得到一个新的点。
减法运算也是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相减得到的结果是一个新的复数，其实部等于第一个复数的实部减去第二个复数的实部，虚部等于第一个复数的虚部减去第二个复数的虚部。
在几何上，两个复数的减法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
乘法运算是复数运算中的另一种基本操作。
两个复数相乘得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部的乘积减去两个复数的虚部的乘积，虚部等于第一个复数的实部与第二个复数的虚部之积加上第一个复数的虚部与第二个复数的实部之积。
在几何上，两个复数的乘法可以理解为将两个平面上的点进行相乘得到一个新的点。
除法运算是复数运算中的一种特殊操作。
两个复数相除得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数相乘的实部之和除以两个复数相乘的模的平方，虚部等于两个复数相乘的虚部之差除以两个复数相乘的模的平方。
在几何上，两个复数的除法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数的模平方等于复数实部的平方加上虚部的平方。
复数的概念及几何意义
在数自身的发展中，求 解方程式数系扩充的重 要动力，
如：2x 1
得x 1 , 引入了有理数 2
x2 2 得x 2, 引入了无理数
？ x2 1
引进一个新数 i,叫做虚数单位，并规定 ： （1）它的平方等于 1，即i2 1
（2）实数与它进行四则运 算时，原有的加法、 乘法运算律仍然成立
复数a bi(a,b R)
实数（b
0）
虚数（b 0）（. 当a 0时为纯虚数）
全体复数构成的集合称为复数集， 记作C，显然R C
NZ Q R C
解：由复数相等的定义，得
x 2 3y, 2x y 1.
解得：xy
1, 1.
实数与数轴上的点意义对应，我们可以用数轴上的点来表示实数。
430 1 2
x
复数z a bi(a,b R)由实部a和虚部b两个实数确定，复数用 什么图形来表示呢？
y
b
Z
.
O1
a
x
y
b
Z
.
O1aΒιβλιοθήκη x向量OZ的模称为复数z a bi(a,b R)的模，记作z 或 a bi .由模的定义可 知，z a bi a2 b2 .如果b 0,那么z a bi是一个实数a,它的模等于z
（1）z1 3 2i;
y
(2)z2 1 3i.
解：在复平面内作图如 左图.
z2 1 3i ●
● ●
●
● ●● ● ● ● ●
O1
x
●
●
● z1 3 2i
●
●
(1) z1 3 2i 32 22 13 ,
z1 3 2i
(2) z2 1 3i
完整版)复数的定义
完整版)复数的定义第十四章复数一、复数的概念1.虚数单位：i规定：（1）i²= -1；（2）虚数单位i，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。
2.复数：形如a+bi，a∈R，b∈R的数叫做复数，a叫实部，b叫虚部。
3.复数集：所有复数构成的集合，复数集C={x|x=a+bi。
a∈R。
b∈R}。
4.分类：b=0时为实数；b≠0时为虚数，a=0,b≠0时为纯虚数，且R∪C。
5.两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例1：下面五个命题①3+4i比2+4i大；②复数3-2i的实部为3，虚部为-2i；③Z1，Z2为复数，Z1-Z2>0，那么Z1>Z2；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数；⑤两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例2：已知：Z=(m+1)+(m-1)i，m∈R，求Z为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m的值。
例3：已知x²+y²-2i=6+(y-x)i，求实数x,y的值。
二、复数的几何意义Z=a+bi，a∈R，b∈R，与点(a,b)一一对应。
1.复平面：x轴叫实轴；y轴叫虚轴。
x轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。
2.Z=a+bi；连接点(a,b)与原点，得到向量OZ，点Z(a,b)，向量OZ，Z=a+bi之间一一对应。
3.模：Z=a+bi=OZ=√(a²+b²)。
注：Z的几何意义：令Z=x+yi(x,y∈R)，则Z=√(x²+y²)，由此可知表示复数Z的点到原点的距离就是Z的几何意义；Z1-Z2的几何意义是复平面内表示复数Z1，Z2的两点之间的距离。
三、复数的四则运算Z1=a+bi，Z2=c+di，a,b,c,d∈R。
1.加减法：Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i；Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i即实部与实部，虚部与虚部分别相加减。
高二数学复数知识点
高二数学复数知识点一、复数的概念与定义复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成，一般形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1的条件。
在复数中，当b不等于零时，我们称b为复数的虚部，而a则是实部。
如果b等于零，则复数退化为实数。
复数的引入，极大地丰富了数学的内涵，使得许多在实数范围内无法解决的问题得以解决。
二、复数的几何意义复数不仅仅是一种代数结构，它还具有丰富的几何意义。
在复平面上，每一个复数z=a+bi可以对应一个点(a,b)，其中a是该点在实轴上的位置，b是该点在虚轴上的位置。
这样，复数与平面上的点建立了一一对应的关系。
复数的这种几何解释，使得我们可以用图形的方式直观地理解和处理复数问题。
三、复数的运算规则复数的运算是复数理论中的重要内容。
两个复数的加法、减法、乘法和除法都有明确的规则。
例如，两个复数相加时，只需将对应的实部和虚部分别相加即可；相乘时，则需要使用分配律，即将一个复数的实部与另一个复数的实部和虚部分别相乘，然后再将结果相加。
复数的除法则稍微复杂，需要引入共轭复数的概念，通过乘以分母的共轭来消除虚部，从而简化计算。
四、复数的模与辐角复数的模（或绝对值）是指复数在复平面上对应的点到原点的距离，用符号|z|表示，计算公式为√(a²+b²)。
复数的辐角（或称为相位角）则是复数向量与实轴正方向的夹角，用符号arg(z)表示。
辐角的计算需要使用反三角函数，并且在计算时需要注意角度的范围。
模和辐角是复数的两个重要属性，它们在解决复数问题时具有重要的应用价值。
五、复数的应用复数在数学的许多领域都有广泛的应用，例如在解析几何中，复数可以用来描述和解决平面上的点和直线的问题；在代数中，复数域是实数域的自然扩展，它使得多项式方程的根的个数不再受限于实数范围内；在物理学中，复数用于处理交变电流、波动等现象；在工程学中，复数则用于信号处理和系统分析等领域。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。
理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。
下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。
一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。
二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。
3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。
4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。
四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。
复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。
共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。
复数的概念及几何意义
复数的概念及几何意义复数是数学中一种形式的数，包括实数和虚数。
它们一般有两个部分组成：实部和虚部。
复数的一般形式为a+bi，其中a和b分别是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1复数的几何意义可以通过将它们表示为平面上的点来理解。
实部表示复数在实轴上的位置，虚部则表示复数在虚轴上的位置。
复数a+bi可以被视为复平面上的一个点(x, y)，其中x是实部，y是虚部。
这个点与坐标原点形成的直角坐标系中的位置坐标。
复数的模是指复数与原点(0, 0)之间的距离，可以通过勾股定理计算。
给定复数a+bi，它的模记作，a+bi，定义为sqrt(a^2 + b^2)。
复数的模可以用来衡量复数的大小。
复数的幅角或辐角表示复数相对于正实轴的旋转角度。
可以使用三角函数来计算复数的幅角。
例如，对于复数a+bi，其幅角记作arg(a+bi)，可以通过求解tan(theta) = b/a来计算，其中theta是幅角。
复数的几何意义在很多数学和物理领域都有广泛应用。
以下是一些常见的应用领域：1.电路分析：复数在电路分析中起着重要的作用，特别是在交流电路的分析中。
复数可以表示电路元件的阻抗和容抗，并且可以通过复数运算来计算电路中电流和电压的相位关系。
2.信号处理：复数在信号处理领域中用于分析和处理复杂波形。
通过将信号表示为复数的幅角和频率，可以进行频域分析和滤波等操作。
3.控制理论：复数在控制系统理论中用于表示系统的频率响应和稳定性。
复数的幅角和模可以用于设计控制系统的稳定性条件。
4.波动理论：复数在波动理论中用于描述波的传播和干涉。
复数的幅角和模可以用于计算波的相位差和振幅。
5.分形几何：复数在分形几何中用于描述复杂图形的生成和变换。
复数的幅角可以用于旋转和缩放图形。
总结起来，复数是一种数学工具，它可以通过几何方法来理解和解释。
复数的几何意义涵盖了电路分析、信号处理、控制理论、波动理论和分形几何等多个领域。
通过了解复数的几何意义，可以更好地应用和理解复数的数学概念。
复数的概念及复数的几何意义
复数的概念及复数的几何意义复数是数学中一种特殊的数形式，由实数和虚数组成。
在复数形式中，虚数单位i满足i²=-1、一个典型的复数可以表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
复数的几何意义可以通过使用复平面来解释。
复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面，将复数表示为平面上的点。
实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
根据这个表示法可以将复数表示为平面上的点。
实部和虚部可以是任意实数，因此复数在平面上可以表示为平面上的任意点。
平面上的坐标点(a,b)对应于复数a+bi。
平面上的原点(0,0)对应于复数0，纵坐标为0的点(0,b)对应于纯虚数bi，而横坐标为0的点(a,0)对应于纯实数a。
复数的运算可以通过在复平面上进行向量运算来实现。
两个复数的加法就是将两个向量叠加在一起，而减法就是将一个向量从另一个向量中减去。
乘法可以通过将复数旋转和缩放来实现。
复数的模可以用勾股定理推导得出：对于复数a+bi，它的模等于√(a²+b²)，表示为，a+bi。
模是复数的长度或距离原点的距离。
两个复数的模的乘积等于它们的乘积的模，即，a+bi， * ，c+di， = ，(a+bi)(c+di)。
复数的共轭是将虚部取负得到的，即a-bi是复数a+bi的共轭。
共轭复数在复平面上呈镜像关系，共轭对称于实轴。
复数的实部是自身的共轭，虚部取负是自身的共轭。
通过使用复数，可以解决许多实数范围内无法解决的问题。
例如，求根公式中的虚数单位i是由复数域推导而来。
复数也广泛应用于工程学、物理学和信号处理等领域。
实际上，电路和信号可以使用复数进行建模和分析。
总之，复数是数学中重要的概念之一，它由实数和虚数组成，并可以通过复平面表示。
复数的几何意义在于将复数表示为平面上的点，实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
复数可以进行向量运算，包括加法、减法、乘法和取共轭。
复数的模是其到原点的距离，模的乘积等于乘积的模。
复数的共轭是虚部取负得到的。
复数的概念及其几何意义
m − 1 ≠ 0
2
即 纯虚数． 纯虚数．
2
复数z m = −1时，复数 是
练习: 练习:当m为何实数时，复数 为何实数时，
Z = m + m− 2 + (m −1)i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 (m = − 2 ) (m ≠ ± 1) (m = ± 1)
如何定义两个复数的相等？ 如何定义两个复数的相等？
a+i
bi
a+bi
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数 ∈ 的数叫做复数 的数叫做复数. 形如
全体复数所形成的集合叫做复数集 复数集， 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C 一般用字母C表示 .
现在我们就引入这样一个数 i ，并且规定： 并且规定： （1）i2=−1； ） =−1 （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运 ） 进行四则运算， 算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、 算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。 合率和分配率)仍然成立。
y z=a+bi Z (a,b)
O
x
小结
求下列复数的模： 例4 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) ∈ 解
z
1
=
5
z
2
=
5
z3 = 5 2
z4 = 1+ m 2 z5 = 25a =−5a
a b
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) 直角坐标系中的点 （形） 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 复数平面 (简称复平面) 简称复平面 简称复平面
(完整版)复数的基本概念和几何意义
复数一、考点、热点回顾1.复数的有关概念 （1）复数①定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.注意：复数m ＋n i 的实部、虚部不一定是m 、n ，只有当m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示.2.复数的分类（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a 、b 、c 、d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当a ＝c 且b ＝d 的时候才有a ＋b i ＝c ＋d i ，a ＝c 和b ＝d 有一个不成立时，就有a ＋b i ≠c ＋d i. （3）由a ＋b i ＝0，a ，b ∈R ，可得a ＝0且b ＝0.4.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.5.复数的两种几何意义 （1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）.（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ →.6.复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2.注意：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.二、典型例题考点一、复数的概念 例1、下列命题：①若a ∈R ，则（a ＋1）i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（ ）A.①B.②C.③D.④ 【解析】 对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数.对于①，若a ＝－1，则（a ＋1）i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.【答案】 D变式训练1、1.对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ ）A.若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数B.若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2C.若b ＝0，则a ＋b i 为实数D.i 的平方等于1解析：选C.对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数； 对于B ，若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1； 对于D ，i 的平方为－1.故选C.2.若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为（ ） A.1 B.1或－4 C.－4 D.0或－4解析：选C.易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.考点二、复数的分类例2、已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋（m 2＋2m －3）i ，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？【解】 （1）要使z 为实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.（2）要使z 为虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.（3）要使z 为纯虚数，m 需满足m （m ＋2）m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或－2.变式训练2、当实数m 为何值时，复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.（2）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.考点三、复数相等 例3、（1）若（x ＋y ）＋y i ＝（x ＋1）i ，求实数x ，y 的值；（2）已知a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋m i ＝0（m ∈R ）成立，求实数a 的值；（3）若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝（10－x －2x 2）i 有实根，求实数a 的值.【解】 （1）由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.（2）因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋（2a ＋m ）i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，m ＝－22或⎩⎨⎧a ＝－2，m ＝22，所以a ＝±2.（3）设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝（10－m －2m 2）i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或－715.变式训练3、已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值.解：由题意知，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ），所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1， 所以a ＝－1.考点四、复数与复平面内的点例4、已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上； （2）在第三象限.【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.（2）若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 变式训练4、求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点（1）位于第二象限； （2）位于直线y ＝x 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点就是点Z （a 2＋a －2，a 2－3a ＋2）.（1）由点Z 位于第二象限，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为（－2，1）. （2）由点Z 位于直线y ＝x 上，得 a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a 的值为1.考点五、复数与复平面内的向量例5、（1）已知M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；（2）已知复数1，－1＋2i ，－3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.【解】 （1）OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ； OQ →表示的复数为－4.（2）复数1对应的向量为OA →，其中A （1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B （－1，2）；复数－3i 对应的向量为OC →，其中C （0，－3）；复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D （6，－7）. 如图所示.（3）记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝（2，3），OB →＝（3，2），OC →＝（－2，－3）.设OD →＝（x ，y ），则AD →＝（x －2，y －3），BC →＝（－5，－5）.由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.变式训练5、在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是_____________.解析：3－3i 对应向量为（3，－3），与x 轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y 轴负半轴上，且模为2 3.故所得向量对应的复数是－23i.答案：－23i考点六、复数的模 例6、（1）设（1＋i ）x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2 （2）已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 （1）选B.因为x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1， 所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. （2）法一：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， 则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.所以z ＝－15＋8i.法二：由原方程得z ＝2－|z |＋8i （*）. 因为|z |∈R ，所以2－|z |为z 的实部， 故|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝4－4|z |＋|z |2＋64，得|z |＝17. 将|z |＝17代入（*）式得z ＝－15＋8i.变式训练6、已知复数z ＝3＋a i （a ∈R ），且|z |<4，求实数a 的取值范围.解：法一：因为z ＝3＋a i （a ∈R ），所以|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈（－7，7）.法二：由|z |<4知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z （3，a ）的集合， 由图可知－7<a <7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A. B.2 C.0 D.1解析:由复数相等的充要条件知,x+y＝０，ｘ－１＝０故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.答案:D5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0,即m≠sinθ+cosθ.∵sinθ+cosθ∈[],∴m∈(-∞,)∪,+∞).答案:(-∞,)∪,+∞)9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-1≠0即a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:{a|a≠-1}10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________. 解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上,设z=-a+ai(a>0).∵|z|=1,∴a2=12.而a>0,∴∴z=+答案:z=+11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则代入方程得,2+8i,∴解得a=-15∴z=-15+8i.答案:-15+8i12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解析:M∪P=P,∴M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得m=2.综上可知m=1或m=2.答案:m=1或m=213.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线. 解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y),则x=2+cosθ,y=1+sinθ即cosθ=x-2,sinθ=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.所以复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆. 答案:复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.14． 已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 答案: (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0.。
(完整版)复数的基本概念和几何意义
一、考点、热点回顾1. 复数的有关概念 （1）复数① 定义：形如 a ＋ bi （ a ， b ∈ R ）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i 2＝－ 1. ② 表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋bi （ a ，b ∈ R ），这一表示形式叫做复数的代数形式 .a 叫做复 数 z 的实部， b 叫做复数 z 的虚部 .注意：复数 m ＋ni 的实部、虚部不一定是 m 、 n ，只有当 m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部 . （ 2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集 . ②表示：通常用大写字母 C 表示 .2. 复数的分类实数（ b ＝0）2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3. 复数相等的充要条件设 a 、 b 、 c 、 d 都是实数，则 a ＋bi ＝c ＋di? a ＝c 且 b ＝d ，a ＋bi ＝0?a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）的形式，即分离实部和虚 部.2）只有当 a ＝c 且 b ＝d 的时候才有 a ＋bi ＝c ＋di ，a ＝ c 和 b ＝d 有一个不成立时，就有 a ＋bi ≠c ＋ di.3）由 a ＋ bi ＝ 0，a ，b ∈R ，可得 a ＝0 且 b ＝ 0. 4.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 .实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 .6.复数的模复数 z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）对应的向量为 O →Z ，则O →Z 的模叫做复数 z 的模，记作 |z|，且 |z|＝ a 2＋b 2. 注意：复数 a ＋bi （a ， b ∈R ）的模 |a ＋ bi|＝ a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以 比较大小 .考点一、复数的概念 例 1、下列命题：①若 a ∈ R ，则（ a ＋1）i 是纯虚数； ②若 a ，b ∈R ，且 a>b ，则 a ＋i>b ＋ i ；复数1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）虚数（ b ≠0）纯虚数 a ＝ 0 非纯虚数5.复数的两种几何意义 （ 1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）一一对应←一―一对―应→复平面内的点Z （a ，b ） 一一对应←―平面向量 O →Z.典型例题③若（ x2－ 4）＋（ x2＋3x＋ 2）i 是纯虚数，则实数 x＝±2；④实数集是复数集的真子集 .其中正确的是（ ） A. ① B.② C.③ D.④【解析】 对于复数 a ＋bi （a ，b ∈R ），当 a ＝0且 b ≠0 时，为纯虚数 .对于① ，若 a ＝－ 1，则（ a ＋1）i 不 是纯虚数，即 ①错误.两个虚数不能比较大小，则 ②错误.对于 ③，若 x ＝－2，则 x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时 （x 2－4）＋（ x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则 ③错误 .显然，④正确 .故选 D.【 答案】 D 变式训练 1、 1.对于复数 a ＋ bi （ a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ A. 若 a ＝0，则 a ＋bi 为纯虚数B. 若 a ＋（ b －1）i ＝3－2i ，则 a ＝ 3，b ＝－ 2C. 若 b ＝0，则 a ＋bi 为实数D. i 的平方等于 1 解析： 选 C.对于 A ，当 a ＝0 时， a ＋bi 也可能为实数； 对于 B ，若 a ＋（ b － 1） i ＝ 3－ 2i ， 对于 D ，i 的平方为－ 1.故选 C.2. 若 4－3a －a 2i ＝a 2＋4ai ，则实数 A.1 C.－4 4 － 3a ＝ a 2，解析： 选 C.易知 2 解得－a 2＝4a ， 考点二、复数的分类例 2、已知 m ∈R ，复数 z ＝m （m ＋2）m －1（1）z 为实数？（ 2）z 为虚数？（ 3） z 为纯虚数？则 a ＝3，b ＝－ 1；a 的值为（ ） B.1 或－ 4D.0 或－ 4 a ＝－ 4. （m 2＋2m －3）i ，当 m 为何值时，解】 2） 要使1）要使 z 为实数， m 需满足 m 2＋2m －3＝0，且 m （ m ＋ 2）有意义，即 m －1≠0，解得 m ＝－3. m －1 z 为虚数， m 需满足 m 2＋ 2m － 3≠ 0，且m （ m ＋ 2）有意义，即 m －1≠ 0，解得 m ≠1 且m ≠－3. m －13） 要使z 为纯虚数， m 需满足m （ m ＋ 2）变式训练 2、 当实数 m 为何值时，复数 纯虚数；（ 2）实数 . ＝0，且 m 2＋2m －3≠0，解得 m ＝0 或－ 2. m －1lg （ m 2－ 2m － 7）＋（ m 2＋ 5m ＋ 6） i 是解：（1）复数 lg （ m 2－ 2m － 7）＋ m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则lg 2（m2－2m －7）＝0，m 2＋ 5m ＋6≠0，解得 m ＝ 4.m2－2m －7>0 ，2）复数 lg （ m 2－ 2m － 7）＋（ m 2＋ 5m ＋ 6） i 是实数，则 m 2＋5m ＋6＝0，解得 m ＝－ 2 或 m ＝－ 3.考点三、复数相等 例 3、（ 1） 3） 若（ x ＋y ）＋ yi ＝（ x ＋1）i ，求实数 x ，y 的值；已知 a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋mi ＝0（m ∈R ）成立，求实数 a 的值； 若关于 x 的方程 3x 2－ a 2x － 1＝（ 10－ x － 2x 2）求实数 a 的值 . x ＋y ＝0， 解】 （ 1）由复数相等的充要条件，得解得 y ＝x ＋1， 1 x ＝－ 2， 2）因为 a ，m ∈ R ，所以由 a 2＋ am ＋2＋（ 2a ＋m ）i ＝ 0，可得 1y ＝12. a 2＋ am ＋2＝0， 2a ＋ m ＝0，解得a m ＝＝－22，2或 a ＝－ 2， m ＝ 2 2， 所以 a ＝ ± 2.（ 3）设方程的实根为 x ＝ m ，则原方程可变为 3m 2－a 2m －1＝（ 10－m －2m 2） i ，2a3m 2－m － 1＝0， 712 解得 a ＝ 11 或－ 71. 25 10－ m － 2m 2＝ 0，考点五、复数与复平面内的向量例 5、（1）已知 M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出 O →M ，O →N ，O →P ， O →Q 所表示的复数；（ 2）已知复数 1，－ 1＋2i ，－ 3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（ 3）在复平面内的长方形 ABCD 的四个顶点中，点 A ，B ，C 对应的复数分别是 2＋3i ，3＋2i ，－ 2－3i ，求 点 D 对应的复数 .【 解】 （ 1）O →M 表示的复数为 1＋ 3i ； O →N 表示的复数为 4－i ； O →P 表示的复数为 2i ； O →Q 表示的复数为－ 4.（2）复数 1 对应的向量为 O →A ，其中 A （1，0）；复数－ 1＋2i 对应的向量为 O →B ，其中 B （－ 1，2）； 复数－ 3i 对应的向量为 O →C ，其中 C （0，－ 3）；复数 6－7i 对应的向量为 O →D ，其中 D （6，－7）. 如图所示 .所以 变式训练所以所以3、已知 A ＝｛1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ｝，B ＝｛－1，3｝，A ∩B ＝｛3｝ ，求实数 a 的值. 由题意知， a 2－ 3a － 1＋ a 2－ 3a － 1＝ 3 ， a 2－ 5a － 6＝ 0 ， a ＝－ 1.a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ）， a ＝ 4或 a ＝－ 1， 即 考点四、复数与复平面内的点例 4、已知复数 z ＝（ a 2－ 1）＋ 的值（或取值范围） .（ 1）在实轴上； （ 2）在第三象限 .【 解】 （ 1 ）若对应的点在实轴上，则有12a －1＝ 0，解得 a ＝ 2.（ 2）若 z 对应的点在第三象限，则有 a 2 －1<0 ， 1解得－ 1<a<1.故 a 的取值范围是 － 1， 2a － 1<0. 2变式训练 4、求实数 a 取什么值时，复平面内表示复数（ 1）位于第二象限；（ 2）位于直线 y ＝ x 上 .解： 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 a 2－ 3a ＋ 2） .（ 1）由点 Z 位于第二象限，得 a 2＋a －2<0，2 解得－ 2<a<1. a 2－3a ＋2>0，故满足条件的实数 a 的取值范围为（－ 2，1）.2a －1）i ，其中 a ∈R.当复数 z 在复平面内对应的点 Z 满足下列条件时，求 a 1 2.z ＝a 2＋a －2＋（ a 2－3a ＋2）i z ＝a 2＋a －2＋（ a 2－3a ＋ 2）i 的点就是点 Z （ a 2＋a －2，解析： 3－ 3i 对应向量为（ 3，－ 3），与 x 轴正半轴夹角为 30°，顺时针旋转 60°后所得向量终点在 y 轴 负半轴上，且模为 2 3.故所得向量对应的复数是－ 2 3i.答案： － 2 3i 考点六、复数的模例 6、（ 1）设（ 1＋i ）x ＝1＋yi ，其中 x ，y 是实数，则 |x ＋ yi|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2（ 2）已知复数 z 满足 z ＋|z|＝2＋8i ，求复数 z.【 解】 （1）选 B.因为 x ＋ xi ＝ 1＋ yi ，所以 x ＝ y ＝1， 所以 |x ＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12＝ 2.（ 2）法一： 设 z ＝a ＋bi （ a ，b ∈R ），则 |z|＝ a 2＋ b 2 ， 代入原方程得 a ＋ bi ＋ a 2＋b 2＝2＋ 8i ， a ＋ a 2＋ b 2＝ 2， 根据复数相等的充要条件，得 ＋ 解得b ＝8， 所以 z ＝－ 15＋ 8i. 法二： 由原方程得 z ＝2－|z|＋8i （* ）. 因为|z|∈R ，所以 2－|z|为 z 的实部， 故 |z|＝ （ 2－|z|）2＋82， 即|z|2＝4－4|z|＋|z|2＋64，得 |z|＝17. 将|z|＝17代入（ *）式得 z ＝－ 15＋8i. 变式训练 6、已知复数 z ＝ 3＋ ai （ a ∈ R ），且 |z|<4，求实数 解：法一： 因为 z ＝3＋ ai （a ∈ R ），所以 | 由已知得 32＋ a 2<4 2，所以 a 2<7，所以 a ∈ 法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4为半径的圆内（不包括边界） ，由 z ＝3＋ ai 知z 对应的点在直线 x ＝ 3 上，所以线段 AB （除去端点）为动点 Z （3，由图可知－ 7<a< 7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y ∈R),则 2x+y 的值为 ( )A. B.2 C.0 D.1 解析 :由复数相等的充要条件知 ,x+y ＝０，ｘ－１＝０ 故 x+y=0. 故 2x+y =2 0=1. 答案 :D则A →D ＝（x －2，y －3），B →C ＝（－ 5，－5）. → → x － 2＝－ 5， 由题知， A →D ＝B →C ，所以 即 x ＝－ 3，故点 D 对应的复数为－ 3－ 2i.变式训练 5 、在复平面内，把复数 3－ 3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3 ，所得向量对应的复a ＝－15， b ＝ a 的取值范围 . ＝ 32 ＋a 2，－ 7，2.已知集合 M={1,2,(m 2-3m-1)+(m 2-5m-6)i},N={-1,3}, 且 M∩ N={3}, 则实数 m的值为 ( )A.4B.-1C.-1 或 4D.-1 或 6 解析 :由于 M∩N={3} ,故 3∈M, 必有 m2-3m-1+(m 2-5m-6)i=3, 所以得 m=-1.答案 :B3. _______________________________________________________________ 给出下列复数 :①-2i,②3+,③8i2,④isin π⑤,4+i;其中表示实数的有 (填上序号 ) __________ .解析 :②为实数 ;③8i2=-8 为实数 ;④i · sin π =0为·实i=数0 ,其余为虚数 .答案 :②③④4.下列复数模大于 3,且对应的点位于第三象限的为 ( )A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i 解析 :A 中 |z|=<3;B 中对应点 (2,-3) 在第四象限 ;C 中对应点 (3,2)在第一象限 ;D 中对应点 (-3,-2) 在第三象限,|z|=>3.答案 :D5.已知复数 z满足 |z|2-2|z|-3=0,则复数 z对应点的轨迹为 ( ) A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆解析 :∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0, ∴|z|=3,表示一个圆 ,故选 A.答案 :A6. _______________________________________________________ 已知在△ABC 中 ,对应的复数分别为 -1+2i,-2-3i, 则对应的复数为______________________________ .解析 : 因为对应的复数分别为 -1+2i,-2-3i,所以 =(-1,2),=(-2,-3). 又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5), 所以对应的复数为 -1-5i.答案 :-1-5i7.在复平面内 ,若复数 z=(m2-m-2)+(m 2-3m+2)i 的对应点 ,(1) 在虚轴上 ,求复数 z;(2)在实轴负半轴上 ,求复数 z. 答案 :(1) 若复数 z 的对应点在虚轴上 ,则 m2-m-2=0, 所以 m=-1或 m=2. 此时 z=6i 或 z=0.(2)若复数 z 的对应点在实轴负半轴上 ,则 m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1能力提升8. _____________________________________________________ 若复数 z=cos θ +(-msin -θcosθ )i为虚数 ,则实数 m 的取值范围是________________________ .解析 :∵z 为虚数 ,∴ m-sin θ-cosθ≠ 0,即 m ≠ sin θ+cos θ.∵ sin θ +cos ∈θ[ - 2 , 2 ], ∴ m ∈ (-∞,- 2 )∪( 2 ,+ ∞). 答案 :(-∞,- 2 )∪( 2 ,+ ∞)9. _____________________________________________________ 若复数 (a 2-a-2)+(|a-1|-1)i(a ∈ R)不是纯虚数 ,则 a 的取值范围是 ________________________解析 :若复数为纯虚数 ,则有 a 2-a-2=0,|a-1|-1≠0 即 a=-1. 故复数不是纯虚数时 a ≠-1. 答案 :{a|a ≠-1} 10. _______________________________________________________ 已知向量与实轴正向夹角为 135°,向量对应复数 z 的模为 1,则 z= _________________________________ .解析 :依题意知 Z 点在第二象限且在直线 y=-x 上 , 设 z=-a+ai(a>0).1∵ |z|=1,∴ a 2= .而 a>0,2∴ a=22 答案 :z= i2211. ___________________________________ 已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i, 则复数 z= . 解析 :设 z=a+bi(a,b ∈R), 则 |z|= a 2b2 ,代入方程得 ,a+bi+ a 2b 2= 2+8i,∴解得 a=-15∴ z=-15+8i. 答案 :-15+8i12. 已知 M= {1,(m 2-2m)+(m 2+m-2)i}, P={ -1,1,4i}, 若 M ∪ P=P ,求实数 m 的值. 解析 :M ∪P=P,∴M?P,即 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1 或 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=4i. 由 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1, 得解得 m=1;由 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=4i,解得 m=2. 综上可知 m=1 或 m=2. 答案 :m=1 或 m=213. 已知复数 z=2+cos θ +(1+sin θ∈)iR( ), θ试确定复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线 解析 : 设复数 z=2+cos θ +(1+sin θ对)i 应的点为 Z(x,y), 则 x=2+cos θ ,y=1+sin θ 即 cos θ =-x2,sin θ =-1y 所以 (x-2)2+(y-1) 2=1.∴z22所以复数 z 在复平面内对应点的轨迹是以 (2,1)为圆心 ,1 为半径的圆答案 :复数 z在复平面内对应点的轨迹是以 (2,1)为圆心 ,1为半径的圆14．已知复数 z＝ m(m－ 1)＋ (m2＋ 2m－3)i( m∈ R )．(1)若 z 是实数，求 m 的值；(2)若 z是纯虚数，求 m 的值；(3)若在复平面 C 内， z所对应的点在第四象限，求答案 : (1)∵z 为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得 m＝－(2)∵z 为纯虚数，m m－ 1 ＝0 ， m2＋ 2m－ 3≠0.m 的取值范围．解得 m＝ 0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，m m－ 1 >0 ，∴ 2解得－ 3<m<0. m2＋ 2m－ 3<0.。
复数的基本运算及几何意义
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
复数的几何意义知识点总结
复数的几何意义知识点总结一、复数的几何表示。
1. 复平面。
- 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
- 例如，复数z = 3 + 2i，在复平面内对应的点为(3,2)，其中3是实部，对应实轴上的坐标；2是虚部，对应虚轴上的坐标。
2. 复数的向量表示。
- 复数z = a+bi(a,b∈ R)与复平面内的向量→OZ=(a,b)一一对应，其中O为坐标原点，Z(a,b)为复数z对应的点。
- 向量的模|→OZ|=√(a^2)+b^{2}，这个模就等于复数z = a + bi的模|z|=√(a^2)+b^{2}。
例如，对于复数z = 1 + i，其模| z|=√(1^2)+1^{2}=√(2)，在复平面内对应的向量→OZ=(1,1)，向量的模也是√(2)。
3. 复数的加减法的几何意义。
- 设复数z_1=a + bi，z_2=c+di(a,b,c,d∈ R)，它们在复平面内对应的向量分别为→OZ_1=(a,b)，→OZ_2=(c,d)。
- 复数的加法：z_1+z_2=(a + c)+(b + d)i，其几何意义是对应的向量相加，即→OZ_1+→OZ_2=(a + c,b + d)。
- 例如，z_1=1+2i，z_2=3 - i，z_1+z_2=(1 + 3)+(2-1)i = 4 + i，在复平面内→OZ_1=(1,2)，→OZ_2=(3,-1)，→OZ_1+→OZ_2=(1 + 3,2-1)=(4,1)。
- 复数的减法：z_1-z_2=(a - c)+(b - d)i，其几何意义是对应的向量相减，即→OZ_1-→OZ_2=(a - c,b - d)。
例如，z_1=3+2i，z_2=1 + i，z_1-z_2=(3 - 1)+(2 - 1)i=2 + i，在复平面内→OZ_1=(3,2)，→OZ_2=(1,1)，→OZ_1-→OZ_2=(3 - 1,2 - 1)=(2,1)。
复数的基本概念和几何意义
复数的基本概念和几何意义复数是数学中的一个重要概念，它由一个实数部分和一个虚数部分组成。
一个复数可以用以下形式表示：a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，即i^2=-1复数的基本概念包括实数部分和虚数部分。
实数部分是复数的实际部分，它可以是任何实数。
虚数部分是复数中的虚构部分，它必须乘以虚数单位i才能表示。
实数部分和虚数部分都可以是负数。
复数的几何意义可以通过复平面理解。
复平面是一个由实数轴和虚数轴构成的平面。
实数轴表示实数部分，虚数轴表示虚数部分。
复数a+bi 可以在复平面上表示为一个点，实数部分对应的是x坐标，虚数部分对应的是y坐标。
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理求得。
模的值是一个非负实数。
复数的共轭表示实数部分不变，虚数部分取相反数，即a-bi。
复数可以进行加法、乘法和求逆运算。
复数的加法和减法可以通过实数部分和虚数部分分别相加或相减得到。
复数的乘法可以通过FOIL法则展开得到。
复数的求逆可以通过取共轭复数，将实数部分除以模的平方得到。
复数的基本性质包括交换律、结合律、分配律等。
复数可以进行四则运算，并满足这些性质。
复数的重要应用包括在电路分析、量子力学、工程计算等领域。
复数在这些领域中能够提供更加精确和便捷的计算手段。
总结起来，复数是由实数部分和虚数部分组成的数，它可以在复平面上表示为一个点。
复数有加法、乘法和求逆等运算，满足交换律、结合律和分配律。
复数的几何意义可以帮助我们理解和应用它们。
复数在数学和实际应用中都有重要的意义。
复数知识点归纳
复数知识点归纳复数是高中数学中的一个重要概念，它既包含实数，又包含虚数，是实数和虚数的统一。
复数的概念和性质在数学的许多领域都有着广泛的应用，如在微积分、线性代数、信号处理等领域。
下面是对复数知识点较为详细的归纳和介绍。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足i^2 = -1。
2. 复数的分类：-纯虚数：当a = 0，b ≠0 时，复数z = bi 称为纯虚数。
-实数：当b = 0 时，复数z = a 称为实数。
-非纯虚数：当a ≠0，b ≠0 时，复数z = a + bi 称为非纯虚数。
3. 复数的几何意义：复数可以表示为复平面上的点，实部表示点在x 轴上的位置，虚部表示点在y 轴上的位置。
二、复数的四则运算1. 加法：两个复数相加，实部相加，虚部相加，即(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。
2. 减法：两个复数相减，实部相减，虚部相减，即(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法：两个复数相乘，实部乘实部，虚部乘虚部，实部加虚部的乘积，即(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法：两个复数相除，先乘以共轭复数，即(a + bi)/(c + di) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc -ad)/(c^2 + d^2)i。
三、复数的特殊性质1. 复数的模：复数z = a + bi 的模定义为|z| = √(a^2 + b^2)，表示复数z 在复平面上到原点的距离。
2. 复数的共轭：复数z = a + bi 的共轭复数为z 的实部不变，虚部变号，即z 的共轭复数为a - bi。
3. 复数的乘方和开方：复数乘方遵循实数乘方规则，即(a + bi)^n = (a^n + n*a^(n-1)*bi) + ... + b^n*i^(n-1)。
复数的几何意义
复数的几何意义
复数的几何意义是指将复数视为在平面上的点或向量，并将其与平面上的几何图形相对应。
在平面上，复数可以用坐标表示，其中实部表示点的横坐标，虚部表示点的纵坐标。
复数的几何意义可以从以下几个方面进行解释：
1. 向量表示：可以将复数看作是一个具有大小和方向的向量。
复数的模表示向量的长度，模的平方表示向量的长度的平方。
复数的幅角表示向量与正实轴之间的夹角，幅角可以通过反三角函数计算得到。
2. 平面几何：复数可以用来表示平面上的点。
实部和虚部分别表示点的横坐标和纵坐标，通过给定复数的坐标，可以确定平面上的一个点。
反之，给定一个平面上的点，可以用复数表示其坐标。
3. 旋转和缩放：复数的模表示向量的长度，幅角表示向量与正实轴之间的夹角。
利用复数的属性，可以进行旋转和缩放的操作。
例如，将复数乘以一个实数可以对向量进行缩放，将复数乘以虚数单位i可以将向量逆时针旋转90度。
4. 复平面：复数可以用来构建复平面，即以复数为坐标的平面。
复平面上的每个点都对应一个复数，反之每个复数都对应复平面上的一个点。
通过复数的运算，可以在复平面上进行向量相加、相乘等操作。
在复平面上，可以进行直线的绘制、点的位置计算、图形的变换等。
复数的几何意义在数学、物理和工程中都有广泛的应用，如电路分析、信号处理、图像处理、控制系统等领域。
总结起来，复数的几何意义是将复数视为平面上的点或向量，并通过复数的实部和虚部表示点的坐标。
复数的模表示向量的长度，幅角表示向量与正实轴之间的夹角。
复数的几何意义在几何图形的构建、运算和变换中具有重要的应用。
复数几何意义及运算知识点讲解+例题讲解(含解析)
复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析 依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案 －1考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2， 解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数， 得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。
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复数的基本概念和几何意义
复数是数学中的一个重要概念，它包含实数和虚数部分，可以用
a+bi的形式表示，其中a是实数部分，bi是虚数部分，i是虚数单位，
它满足i^2 = -
复数的几何意义可以通过复平面来理解。
复平面是一个二维平面，横
轴表示实数轴，纵轴表示虚数轴。
复数可以在复平面上表示为一个点。
实
数部分决定了复数的横坐标，虚数部分决定了复数的纵坐标。
复数的模长
表示复数到原点的距离，即复数的绝对值，用，z，表示。
复数的几何意义可以表现在以下几个方面：
1.向量：复数可以看作是向量，实部表示向量在横轴上的投影，虚部
表示向量在纵轴上的投影。
复数的加减法对应了向量的加减法，复数的乘
法对应了向量的缩放和旋转。
2. 极坐标：复数可以用极坐标表示，在复平面上，复数z可以表示
为z = r(cosθ + isinθ)，其中r表示模长，θ表示与正实数轴的夹角。
复数的极坐标形式可以简化复数的运算。
3.旋转：复数的乘法可以表示复平面中的旋转。
如果复数z1表示一
个向量，复数z2代表一个旋转角度，那么z1×z2的结果就表示了z1绕
原点旋转z2对应的角度后的位置。
4.平移：将一个向量加上一个复数的结果就是将这个向量沿着复平面
的一些方向平移。
平移是复数的加法对应的几何意义。
5. 共轭复数：共轭复数是将复数的虚数部分取负得到的，即z的共轭复数为z* = a - bi。
在复平面中，共轭复数对应于复数关于实数轴的对称点。
复数的几何意义在多个学科中都得到了广泛的应用。
在工程和物理学中，复数用于描述交流电路的电压和电流，光学中的波长和波矢也可以用复数表示。
在信号处理和通信领域，复数被用于分析和处理信号的频谱特性。
在数学中，复数进一步推广了实数域，使得更多的方程和函数都能够得到解析解。
而在几何学中，复数以及复数的扩展形式，如四元数和八元数等，被用于描述高维空间中的旋转和变换。
总之，复数不仅是数学中的重要概念，也具有丰富的几何意义。
它不仅可以用于解决实数域无法处理的问题，还能够用于表示各种向量、旋转和变换等几何概念。
复数在现代数学和科学中的广泛应用，使得它成为了一种不可或缺的工具。