离散数学习题答案如下

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离散数学练习题(含答案)

离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题第 2 页共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系第二部分非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。

离散数学第一章部分课后习题参考答案

第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)0∨(0∧1) 0（2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10.（3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1）? (0∧0∧0)0(4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 117．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。

并且，如果3是无理数，则也是无理数。

另外6能被2整除，6才能被4整除。

”答：p: 是无理数 1q: 3是无理数0r: 是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。

19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(q→p)（5）(p∧r) (p∧q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) (p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)(p∨q)∧(p∨r)p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q)(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q)1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1(p∨q)∧(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(p→q)→(q∨p)(2)(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(p→q)→(q p)(p q)(q p)(p q)(q p)(p q)(q p)(q p)(p q)(p q)(p q)(p q)(p q)∑(0,2,3)主合取范式：(p→q)→(q p)(p q)(q p)(p q)(q p)(p(q p))(q(q p))1(p q)(p q) M1∏(1)(2) 主合取范式为：(p→q)q r(p q)q r(p q)q r0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p(q r))→(p q r)(p(q r))→(p q r)(p(q r))(p q r)(p(p q r))((q r))(p q r))1 11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p q,(q r),r结论：p(4)前提：q p,q s,s t,t r结论：p q证明：（2）①(q r) 前提引入②q r ①置换③q r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤q ③④拒取式⑥p q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t r 前提引入②t ①化简律③q s 前提引入④s t 前提引入⑤q t ③④等价三段论⑥（q t）(t q) ⑤置换⑦（q t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p(q r),s p,q结论：s r证明①s 附加前提引入②s p 前提引入③p ①②假言推理④p(q r) 前提引入⑤q r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p q,r q,r s结论：p证明：①p 结论的否定引入②p﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。

离散数学第3版习题答案

离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。

离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。

在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。

本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。

第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。

(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。

(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。

1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。

(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。

(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。

1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。

《离散数学》练习题和参考答案

《离散数学》练习题和参考答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PQ→⌝（2）QP⌝→（3）QP⌝↔（4）QP→⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

离散数学第五章习题答案

离散数学第五章习题答案题目1: 定义一个关系R在集合A上，如果对于所有的a, b, c属于A，满足以下条件：- 如果(a, b)属于R，则(b, a)属于R。

- 如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)属于R。

证明R是传递的。

答案：根据题目给出的条件，R是对称的和传递的。

首先，对称性意味着如果(a, b)属于R，那么(b, a)也必须属于R。

其次，传递性意味着如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也必须属于R。

结合这两个性质，我们可以得出结论：对于任意的a, b, c属于A，如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也属于R，从而证明了R的传递性。

题目2: 给定一个函数f: A → B，如果对于A中的每个元素a，都有唯一的b属于B使得f(a) = b，那么称f为单射（或一一映射）。

证明如果函数f是单射，那么它的逆函数f^-1也是单射。

答案：要证明f^-1是单射，我们需要证明对于B中的任意两个元素b1和b2，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1 = b2。

假设f^-1(b1) = a且f^-1(b2) = a'，其中a, a'属于A。

由于f是单射，我们知道f(a) = b1且f(a') = b2。

根据f^-1的定义，我们有b1 = f(a) = f(a') = b2。

因此，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1必须等于b2，这证明了f^-1是单射。

题目3: 证明一个函数f: A → B是满射（或到上映射）当且仅当对于B中的每个元素b，都存在A中的元素a使得f(a) = b。

答案：首先，我们证明如果f是满射，那么对于B中的每个元素b，都存在A 中的元素a使得f(a) = b。

假设f是满射，这意味着B中的每个元素都是A中某个元素的像。

因此，对于B中的任意元素b，我们可以找到一个a属于A，使得f(a) = b。

离散数学课后习题答案

1.3.1习题1.1解答1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}⊆S,{{a},1,3,4}⊂R,R=S,{a}⊆S,{a}⊆R,φ⊆R,φ⊆{{a}}⊆R⊆E,{φ}⊆S,φ∈R,φ⊆{{3},4}。

解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ⊆ S ，{{a}，1，3，4 } ⊂ R ，R = S ，{a}⊆S ，{a}⊆ R ，φ⊆ R ，φ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ E ，{φ} ⊆ S ，φ∈R ，φ⊆ {{3}，4 } 2写出下面集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；(3)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；(4)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。

举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x⊆A。

由于A⊆B，故x⊆B，从而x∈ρ(B)，于是ρ(A)⊆ρ(B)。

充分性，任取x∈A，知{x}⊆A，于是有{x}∈ρ(A)。

由于ρ(A)⊆ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A⊆B。

（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X⊆A或X⊆B∴X⊆(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X⊆A且X⊆B∴X⊆ A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y⊆ A∩B∴Y⊆A且Y⊆B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。

离散数学第一学期习题及答案

结论：s r 9.在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理：
前提：p q, r q,r s 结论： p
参考答案:
1.
（1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0
（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) （0↔1）∧(1∨1) 0∧1 0
（3）（ p∧ q∧r）↔(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） ↔ (0∧0∧0) 0
6. 判断下列各式的类型:
(1)
(2)
yF(x,y).
7. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。
(1) (F(x)
(2) x(F(x) G(x) H(x)) 8.给定解释Ｉ如下:
(a)个体域 D={3,4};
(b) f (x) 为 f (3) 4, f (4) 3
(c) F (x, y)为F (3,3) F (4,4) 0, F (3,4) F (4,3) 1.
后件为存在实数 x 对任意实数 y 都有 x+y=5，后件假，]
此时为假命题
再取解释 I 个体域为自然数 N，
F(x,y)：:x+y=5
所以,前件为任意自然数 x 存在自然数 y 使 x+y=5，前件假。此时为假命题。此公式为非永真式的可满足式。
7.解:(1)个体域:本班同学
F(x)：x 会吃饭, G(x)：x 会睡觉.成真解释
所以公式类型为永真式
(3) P
q
r
00
0
p∨q 0
p∧r
（p∨q）→(p∧r)
0
1
00
1
0
0
1
01
0
1
0
0
01
1
1
0
0
1
00

离散数学(刘任任版)第4章答案

a : A B T \ B C 于是 T ' <y \ A C 是双射，因
此，A~C。故|A| = |C|。
再证定理4. 2. 3。 (1)令A , (x) = X，x e a 于是是单射。故
TA| |A|. ' ⑵设⑷ |B|且|B| |A|,则存在单射:
cr : A —> 乃，T : B —> A
设A为无限集，任取，因A无限，故存在如
此下去，有，显然
:
是A的可数子集。
令禮- 则
再证存在双射｝， B 艺令
a:AB
显然，是A到B的双射。故结论成立。
(2) 令＜r2⑷=n3，n e N (3) 令cr3(n) = 3n2，n e N
(4) 令cr4(zi) = 1/n,n e N
将NXN的元素如下排列，设〈x，y>eNXN。
(2)设有52个整数a1,a2,…，a52。若存在1<=i<j<=52,使ai =aj，则 100|(ai_aj)。否则不妨设a1<a2〈…<a52。令bi二a52_ai, i=1，…，51
cj=a52+aj, j=1,…，51 (2) 假设结论不成立，贝Ubi，cj均不能被100整除。设 100除bi余数为ri，i=1，…，51 ; 100除ci余为 si， i=1，…，51 ,则 1<=ri，si<=99。
由于(1)，(2)式共有102个，因此，余数也有102个。故由抽屉原理知必有i，j使得
ri=rj
_
參
番或 si=sj (1<=(ii<<=j<i<=j5<1=)51)(c_1(a)_1) 或 ri=sj (1<=i<j<=51) (b_1)

离散数学课后习题答案

离散数学课后习题答案离散数学课后习题答案离散数学是计算机科学中的一门重要课程，它涵盖了诸多数学概念与技巧，为计算机科学的理论基础打下了坚实的基础。

在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

然而，有时候我们会遇到一些难以解答的问题，需要参考一些答案来进行思考与学习。

本文将为大家提供一些离散数学课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

一、集合论1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。

2. 证明：任意集合A和B，有(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)。

答案：首先，对于任意元素x，如果x属于(A-B)∪(B-A)，那么x属于A-B或者x属于B-A。

如果x属于A-B，那么x属于A∪B，但x不属于A∩B；如果x属于B-A，同样有x属于A∪B，但x不属于A∩B。

所以(A-B)∪(B-A)属于(A∪B)-(A∩B)。

另一方面，对于任意元素x，如果x属于(A∪B)-(A∩B)，那么x属于A∪B，但x不属于A∩B。

所以x属于A或者x属于B。

如果x属于A，但x不属于B，那么x属于A-B；如果x属于B，但x不属于A，那么x属于B-A。

所以x属于(A-B)∪(B-A)。

所以(A∪B)-(A∩B)属于(A-B)∪(B-A)。

综上所述，(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)。

证毕。

二、逻辑与证明1. 证明：如果p为真命题，那么¬p为假命题。

答案：根据命题的定义，命题要么为真，要么为假，不存在其他情况。

所以如果p为真命题，那么¬p为假命题。

2. 证明：对于任意整数n，如果n^2为偶数，则n为偶数。

答案：假设n为奇数，即n=2k+1（k为整数）。

那么n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1。

根据偶数的定义，2(2k^2+2k)为偶数，所以n^2为奇数。

离散数学课后习题答案(第一章)

1-1，1-2（1）指出下列哪些语句是命题，那些不是命题，如果是命题，指出它的真值。

a)离散数学是计算机科学系的一门必修课。

是命题，真值为T。

b)计算机有空吗？不是命题。

c)明天我去看电影。

是命题，真值要根据具体情况确定。

d)请勿随地吐痰。

不是命题。

e)不存在最大的质数。

是命题，真值为T。

f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。

是命题，真值为T。

g)9+5≤12.是命题，真值为F。

h)X=3.不是命题。

i)我们要努力学习。

不是命题。

（2）举例说明原子命题和复合命题。

原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。

（3）设P 表示命题“天下雪。

”Q 表示“我将去镇上。

”R 表示命题“我有时间。

”以符号形式写出下列命题a)如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。

(┓P ∧R)→Q b)我将去镇上，仅当我有时间时。

Q→R c)天不下雪。

┓P d)天下雪，那么我不去镇上。

P→┓Q（4）用汉语写出一些句子，对应下列每一个命题。

a)()Q R P ∧¬�Q:我将去参加舞会。

R:我有时间。

P:天下雨。

Q ↔(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。

b)R Q∧R:我在看电视。

Q:我在吃苹果。

R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c)()()Q R R Q →∧→Q:一个数是奇数。

R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。

(5)将下列命题符号化。

a)王强身体很好，成绩也很好。

设P：王强身体很好。

Q：王强成绩很好。

P∧Qb)小李一边看书，一边听音乐。

设P：小李看书。

Q：小李听音乐。

P∧Qc)气候很好或很热。

设P：气候很好。

Q：气候很热。

P∨Qd)如果a 和b 是偶数，则a b +是偶数。

设P：a 和b 是偶数。

Q：a+b 是偶数。

P→Qe)四边形ABCD 是平行四边形，当且仅当它的对边平行。

(完整版)哈工大《离散数学》教科书习题答案

教材习题解答第一章集合及其运算8P 习题3. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。

解：2210x x ++=的根为1x =-，故所求集合为{1}- 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈；b)对每个集A ，A φ⊆； c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆； i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆； m)对每个集A ，{}A A =；n){}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈；r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈；t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈；答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证： 12n A A A ===证明：由1241n A A A A A ⊆⊆⊆⊆⊆，可得12A A ⊆且21A A ⊆，故12A A =。

同理可得：134n A A A A ====因此123n A A A A ====6.设{,{}}S φφ=，试求2S ？解：2{,{},{{}},{,{}}}S φφφφφ=7.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。

证明：（1）当n ＝0时，0,2{},212S S S φφ====，命题成立。

（2）假设当(0,)n k k k N =≥∈时命题成立，即22S k =（S k =时）。

那么对于1S ∀（11S k =+），12S 中的元素可分为两类，一类为不包含1S 中某一元素x 的集合，另一类为包含x 的集合。

离散数学习题答案1-2-6-7-8-9章-2009-12-17

习题1：1. 解（1）{2，3，5，7，11，13，17，19}（2）{x|x=20*k,k 是自然数}（3）{2，-1}2. 解（1）{2，4}（2）{1，2，3，4，5}（3）{1，3}（4）{1，3，5}3. 解（1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}（2）φ（3）全体自然数（4）{0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}（5）1，3，5，7，9，11，13，15，17，19}4. 解（1）正确（2）正确（3）错误（4）正确5. 解（1）A={1}，B={{1}}，C={{1}}（2）A={1}，B={{1}}，C={{{1}}}6. 解（1）正确。

由子集的定义。

（2）不一定。

如：A={1}，B={{1}}，C={{1}}。

（3）不一定。

如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}（4）不一定。

如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}。

7. 解 A={1，2}，B={1}，C={2}，有B A ≠，但是C B C A =成立。

A={1，2}，B={1}，C={1}，有B A ≠，但是C B C A =成立。

8. 解（1）φ（2）{φ}（3）{{φ}}（4）{φ，{φ}}9. 解（1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9}（2）{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}（3）{0,3,6,7,8,9}10. 解 33311. 解 2512. 解（1）454（2）124（3）22013. 解（1）{φ}（2）{φ，{a}}（3）{φ，{φ}，{a}，{φ,a}}（4）{φ，{φ}，{{φ}}，{{φ},φ}}（5）{φ，{{φ}}，{φ}，{a}，{{φ},φ}，{{φ},a}，{φ,a}，{{φ},φ,a}}14. 证明：假设B ≠C ，则至少存在一元素x ∈B 且x ∉C 。

(完整版)《离散数学》同步练习答案

华南理工大学网络教育学院《离散数学》练习题参考答案第一章命题逻辑一填空题（1）设：p：派小王去开会。

q：派小李去开会。

则命题：“派小王或小李中的一人去开会”可符号化为：(p∨⌝q) ∧ (⌝p∨q) 。

（2）设A，B都是命题公式，A⇒B，则A→B的真值是T。

（3）设：p：刘平聪明。

q：刘平用功。

在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p∧q。

（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A → B⇔⌝A∨B。

（5）设，p：径一事；q：长一智。

在命题逻辑中，命题：“不径一事，不长一智。

”可符号化为：⌝ p→⌝q 。

（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德•摩根律为⌝（A ∧ B）⇔⌝A ∨⌝B）。

（7）设，p：选小王当班长；q：选小李当班长。

则命题：“选小王或小李中的一人当班长。

”可符号化为：(p∨⌝q) ∧ (⌝p∨q) 。

（8）设，P：他聪明；Q：他用功。

在命题逻辑中，命题：“他既聪明又用功。

”可符号化为：P∧Q 。

（9）对于命题公式A，B，当且仅当 A → B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A⇒B。

（10）设：P：我们划船。

Q：我们跑步。

在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。

”可符号化为：⌝ (P∧Q) 。

（11）设P , Q是命题公式，德·摩根律为：⌝（P∨Q）⇔⌝P∧⌝Q）。

（12）设P：你努力。

Q：你失败。

在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。

”可符号化为：⌝P→Q。

（13）设p：小王是100米赛跑冠军。

q：小王是400米赛跑冠军。

在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军。

”可符号化为：p∨q。

（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A→C为一重言式时，称C可由A逻辑地推出。

二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A→B⇔⌝A∧B。

（⨯）2.命题公式⌝p∧q∧⌝r是析取范式。

（√）3.陈述句“x + y > 5”是命题。

离散数学习题的答案解析

离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5.q ：大熊猫产在中国.r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒00p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。

习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。

*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。

离散数学习题解答

离散数学习题答案习题一1. 判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。

（1）3是正数吗？（2）x＋1=0。

（3）请穿上外衣。

（4）2＋1＝0。

（5）任一个实数的平方都是正实数。

（6）不存在最大素数。

（7）明天我去看电影。

（8）9＋5≤12。

（9）实践出真知。

（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。

解：（1）、（2）、（3）不是命题。

（4）、（8）是假命题。

（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。

（7）是命题，只是现在无法确定真值。

2. 设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。

（1）如果天不下雪并且我有时间，那么我将去书店。

（2）我将去书店，仅当我有时间。

（3）天不下雪。

（4）天下雪，我将不去书店。

解：（1）（┐P∧R）→Q。

（2）Q→R。

（3）┐P。

（4）P→┐Q。

3. 将下列命题符号化。

（1）王皓球打得好，歌也唱得好。

（2）我一边看书，一边听音乐。

（3）老张和老李都是球迷。

（4）只要努力学习，成绩会好的。

（5）只有休息好，才能工作好。

（6）如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数。

（7）我们不能既游泳又跑步。

（8）我反悔，仅当太阳从西边出来。

（9）如果f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微。

反之亦然。

（10）如果张老师和李老师都不讲这门课，那么王老师就讲这门课。

（11）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当ABCD的对边平行。

（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。

解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。

原命题可符号化：P∧Q。

（2）P：我看书，Q：我听音乐。

原命题可符号化：P∧Q。

（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。

原命题可符号化：P∧Q。

（4）P：努力学习，Q：成绩会好。

原命题可符号化：P→Q。

（5）P：休息好，Q：工作好。

原命题可符号化：Q→P。

（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。

离散数学第1章习题答案

<><><>100;{[];;} ;( *S){>1;}( * x){(>1){("\n !"); 0;}>;>[>];1;}( *S){(>1);}( * *x){((S)){("\n !");0;}*>[>];>;1;}( N){e;*(*)(());(S); (N){(2);2;}((S)){();(" ");}}(){ n;("请输入待转换的值n：\n");("");(n);}习题1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1)离散数学是计算机专业的一门必修课。

(2)李梅能歌善舞。

(3)这朵花真美丽！(4)３＋２＞６。

(5)只要我有时间，我就来看你。

(6)x＝５。

(7)尽管他有病，但他仍坚持工作。

(8)太阳系外有宇宙人。

(9)小王和小张是同桌。

(10)不存在最大的素数。

解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。

(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。

其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。

其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。

2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？(1)(P(P∨Q))。

(2)(P Q)(Q P)))。

(3)((P Q)(Q P))。

(4)(Q R∧S)。

(5)(P∨)S。

(6)((R(Q R)(P Q))。

解 (1)是命题公式。

(2)不是命题公式，因为括号不配对。

(3)是命题公式。

(4)是命题公式。

(5)不是命题公式，因为没有意义。

(6)不是命题公式，因为R(Q R)(P Q) 没有意义。

3.将下列命题符号化：(1)我们不能既划船又跑步。

(2)我去新华书店，仅当我有时间。

离散数学-第七章习题答案

第7章习题答案1．f（x）=2|x|+1是从整数集合到正整数集合的函数，它的值域是什么？解：它的值域是正奇数集合。

2．试问下列关系中哪个能构成函数？（1）{〈x，y〉|x，y∈N，x+y<10}（2）{〈x，y〉|x，y∈R，y=x2}（3）{〈x，y〉|x，y∈R，y2=x}解；（1）、（3）不满足函数的定义，只有（2）是函数。

3．下列集合能够定义函数吗？如果能，求出它们的定义域和值域。

（1）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈3,〈1,4〉〉,〈4,〈1,4〉〉}（2）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈3,〈3,2〉〉}（3）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈1,〈2,4〉〉}（4）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈2,3〉〉,〈3,〈2,3〉〉}解：(1)、(2)、(4)定义的是函数。

(1)的定义域是{1,2,3,4},值域是{〈2,3〉,〈3,4〉,〈1,4〉}(2)的定义域是{1,2,3},值域是{〈2,3〉,〈3,4〉,〈3,2〉}(4)的定义域是{1,2,3},值域是{〈2,3〉}4．设f，g都是函数，并且有f⊆g和dom（g）=dom（f），证明f=g证明：假设f≠g，因为f⊆g和dom（g）=dom（f），则存在x1∈dom（g）和dom（f），使得〈x1,y1〉∈g但〈x1,y1〉∉f，因为f是函数，在定义域上处处有定义，所以必存在y2，使得〈x1,y2〉∈f，由f⊆g得〈x1,y2〉∈g，这与g是函数满足单值性矛盾。

故假设错误，必有f=g。

6．设X={0，1，2}，求出X X中的如下函数（1） f2（x）=f（x）（2） f2（x）=x（3） f3（x）=x解：（1）有10个函数，分别是：f1（x）={〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,0〉}f2（x）={〈0,1〉,〈1,1〉,〈2,1〉}f3（x）={〈0,2〉,〈1,2〉,〈2,2〉}f4（x）={〈0,1〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f5（x）={〈0,2〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f6（x）={〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,2〉}f7（x）={〈0,0〉,〈1,2〉,〈2,2〉}f8（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,0〉}f9（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,1〉}f10（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}（2）有4个函数，分别是：f1（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f2（x）={〈0,0〉,〈1,2〉,〈2,1〉}f3（x）={〈0,2〉,〈1,1〉,〈2,0〉}f4（x）={〈0,1〉,〈1,0〉,〈2,2〉}（3）有3个函数，分别是：f 1（x ）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f 2（x ）={〈0,1〉,〈1,2〉,〈2,0〉}f 3（x ）={〈0,2〉,〈1,0〉,〈2,1〉}8．设f,g,h 是N → N 的函数, 其中N 是自然数集合，f(n)＝n ＋1, g(n)＝2n,⎩⎨⎧=是奇数若是偶数若n n n h 10)(试确定：f f ，f g ，g h ，h g 及(f g) h 。