2017年秋季新版沪科版九年级数学上学期21.3、二次函数与一元二次方程导学案2
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计2
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计2一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图象和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，学会通过观察二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
教材通过具体的例子引导学生探究，从而让学生理解并掌握二次函数与一元二次方程之间的联系。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的图象和性质有了初步的了解。
但是，对于如何运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析、归纳，从而理解并掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.让学生学会通过观察二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.教学难点：如何通过观察二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，从而让学生理解并掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。
同时，通过案例教学，让学生学会如何通过观察二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
在小组合作学习环节，让学生在讨论和交流中，进一步巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学PPT。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
例如：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，求证：方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示相关的案例，让学生观察二次函数的图象，引导学生发现二次函数与一元二次方程之间的关系。
新沪科版九年级上册初中数学 21.3二次函数与一元二次函数 教学课件
新课导入
知识回顾
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次 函数与一元一次方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一 元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先来看下 面的问题．
第四页，共二十一页。
新课导入
前面我们学习通过观察一次函数的图象，研究了一次 函数与一次方程、一次不等式之间的关系。
b
叫做抛物线y＝
,
ax2＋bx＋c在x轴2上a的截距． a
AB m n AB
a
第七页，共二十一页。
新课讲解
例1 求抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标．
导引：要求抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的公共点的坐标，需求y＝0时
对应的x的值．可令y＝0，根据3x2－8x＋4＝0的根来确定抛物线与x轴的
C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3
第十七页，共二十一页。
当堂小练
2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0)，(3,0)，则这条 抛物线的对称轴是( ) C A.直线x=-1
B.直线x=0
C.直线x=1 D.直线x=3
第十八页，共二十一页。
拓展与延伸
1.在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象D 回答:
，并且两公共点关于直线
x
b 2a
对称．
第十二页，共二十一页。
新课讲解
例2 若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，且过点A(m，n)，B(m
＋6，n)，则 n＝____． 9
导引：∵抛物线y＝x2＋bx＋c 与x 轴只有一个公共点，
∴当
时，y＝0，且b2－4c＝0，即b2＝4c.
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计1
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解一元二次方程的解法以及二次函数与一元二次方程之间的关系。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固所学知识，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图像和性质已经有了一定的了解。
但是，对于一元二次方程的解法和二次函数与一元二次方程之间的关系可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和归纳，自主探索出一元二次方程的解法和二次函数与一元二次方程之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析和归纳，培养学生自主探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.教学难点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程之间的关系的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生自主探索和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件和数学软件，进行直观演示和练习。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数与一元二次方程的概念。
2.讲解与演示：利用多媒体课件和数学软件，讲解一元二次方程的解法，并展示二次函数与一元二次方程之间的关系。
3.练习与讨论：学生进行练习题，小组内讨论解题方法，互相交流心得。
4.总结与拓展：教师引导学生总结一元二次方程的解法和二次函数与一元二次方程之间的关系，并进行拓展讲解。
5.布置作业：布置一些相关的练习题，巩固所学知识。
上海沪科版初中数学九年级上册21.3 第1课时 二次函数与一元二次方程
上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！21.3 二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程学习目标：1．探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标．一、基础扫描1一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式当△＞0时当△﹤0时当△=0时2一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程_______，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程_______的解．二、探究1一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？函数：①y＝x2＋2x ② y＝x2－2x＋1 ③y＝x2－2x＋2图象：一元二次方程：⑴x2＋2x＝0 ⑵x2－2x＋1＝0 ⑶x2－2x＋2＝0一元二次方程根的形式：⑴△__0有_______ ⑵△__0 有_______ ⑶△__0 有_______ 一元二次方程的解：⑴___________ ⑵___________ ⑶___________函数与x轴交点的个数：①___________ ② ___________ ③___________函数与x轴交点的坐标：①___________ ②___________ ③___________结合元二次方程根的形式和函数与x轴交点的个数得出的结论是：结合一元二次方程的解和函数与x轴交点的坐标得出的结论是：(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？探究2我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么(1)h与t的关系式是什么？(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．(3)在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？三、知识超市1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为．2．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．3．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围．4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是抛物线y=x2－2x＋3可变形为y=（x－__）（x＋__）且与x轴交点的坐标与y轴交点的坐标，5画出函数y=x2－2x＋3的草图6．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．四、课后总结：相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
沪科版九年级上数学21.3二次函数与一元二次方程教案设计
21.3二次函数与一元二次方程第一课时教学目标：知识与技能：1、理解二次函数y=ax2 +bx + c与x轴有交点，则一元二次方程Ax2 +bx + c = 0有实数根，若与x轴无交点，则方程无实数根2、知道抛物线与x轴三种位置关系，对应着一元二次方程的根的三种情况.过程与方法：通过对一元二次方程根的不同情况下，学生历经从函数解析式及函数图象角度探索与一元二次方程之间的关系，渗透了数形结合及转化的思想方法.情感、态度与价值观：通过师生交流、生生交流，学生养成了乐于探究、勇于探索的良好学习习惯，同时学生从中也感受了合作成功带来的喜悦.教学重点、教学难点：重点如何让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系.难点让学生理解用图形法能求方程解的合理性及方法步骤.教学方法与教学手段：教学方法采用“主动探究、合作交流”的数学活动模式，真正为学生创设一个自主探究、合作交流的活动空间，让每个人获得有价值的数学.教学手段为了使学生的活动更加充分有效，增强教学直观性，利用多媒体、来辅助教学教学过程：一、复习1、一元二次方程x2-2x-3=0的根为：。
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。
当△﹥0方程根的情况是：；当△=0时，方程；当△﹤0时，方程。
3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条，它与x轴的交点有几种可能的情况？y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2活动方式：学生回答，复习巩固已学知识.二、创设问题情境,引入新课师：上学期我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.三、活动探究二次函数①y= x2+2x, ②y=x2-2x+1, ③y= x2-2x+2的图象如下图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?师：还请大家先讨论后解答.答：(1)二次函数y= x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y= x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y= x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
沪科版-数学-九年级上册- 二次函数与一元二次方程 导学案3
九年级（上）数学导学案课题：21.3二次函数与一元二次方程（3）教学思路（纠错栏）学习目标：1.会利用二次函数与一元二次方程的关系综合解题．2.根据二次函数图象认识一元二次不等式的解集，体会数形结合的思想学习重点：利用二次函数与一元二次方程的知识综合解题．预设难点：用图象法求一元二次不等式的解集．☆预习导航☆一、链接：画出一次函数34+=xy的图象，利用图象：（1）当x为何值时,y=0?（2）当x为何值时,y<0?（3）当x为何值时,y>0?二、导读抛物线cbxaxy++=2与x轴有两个交点（7，0）、（-3，0），则方程02=++cbxax的解是．如果a>0，你能求出不等式ax2+bx+c>0的解集吗？☆合作探究☆1、画出函数223y x x=-++的图象，并根据图象解决下列问题（1）写出抛物线的顶点坐标、对称轴和抛物线与x轴、y轴的交点坐标（2）当x在什么范围内时y随x的增大而减小？（3）当x在什么范围内时,y>0?当x在什么范围内时，y<0 ?2、如图，已知抛物线cbxxy++-=2与x教学思路 （纠错栏）轴的两个交点分别为A （0,1x ）、B （0,2x ），且421=+x x ，3121=x x ． （1）求此抛物线的解析式； （2）求△ABC 的面积． ☆ 归纳反思 ☆ 对照学习目标谈谈这节课你们有什么收获，还有什么疑惑？ ☆ 达标检测 ☆ 1.抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若y>0，则x 的取值范围是( ) A ．-4<x<1 B ． -3<x<1 C ．x<-4或x>1 D ．x<-3或x>1 2. 不等式2x 2-5x+2>0的解集是 . 3、如图给出二次函数c bx ax y ++=2的图象，对于这个函数有下列五个结论，其中正确的有 . （1）ac b 42-<0； （2）0=+-c b a ；（3）ab > 0 ； （4）04=+b a ；（5）当y = 2时，x 只能等于0.y –1 1 3 O x。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图象和性质的基础上进行学习的，主要让学生通过探究二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系，进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程的知识。
教材通过实例引导学生探究，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，逐步理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。
三. 教学目标1.理解二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
2.学会运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
3.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
2.难点：如何运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际操作，探究二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，提高学生的抽象思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备计算机和投影仪等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节课的主题：二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现二次函数的图象，引导学生观察图象，发现图象与一元二次方程的解之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，运用二次函数的图象来解决一些一元二次方程的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
沪科版-数学-九年级上册-21.3 二次函数与一元二次方程 课件
自变量的取值(范围) x＜x1或x＞x2 x＝x1或x＝x2 x1＜x＜x2 x1＜x＜x2 x＝x1或x＝x2 x＜x1或x＞x2
1 已知关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴 有公共点． (1)求k的取值范围． (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个公共点的横坐标，且 满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2. ①求k的值； ②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值 和最小值．
n)，B(m＋6，n)，则 n＝__9__．
导引：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，
∴当x b 时，y＝0，且b2－4c＝0，即b2＝4c.
2
又∵抛物线过点A(m，n)，B(m＋6，n)，点A，B关于直
线
xb 2
对称,∴
A
b 2
3,
n
,
B
b 2
3,
n
.
将A 点的坐标代入抛物线对应的函数表达式，得
21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次 方程间的关系
1 课堂讲解 二次函数与一元二次方程之间的关系
抛物线与x轴的交点个数之间的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程， 认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节 我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识 二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面 的问题．
(3)解：由(2)得y＝2x2－2x，其图象如图所示． ∵抛物线与x轴的两个公共点的坐标分别为 (0，0)，(1，0)， ∴当y＜0时，0＜x＜1； 当y＞0时，x＜0或x＞1.
总结
根据图象可直观地回答使得函数y的值大于、等于或小于零 时x的取值(范围)，具体如下表所述：
沪科版九年级数学 21.3 二次函数与一元二次方程(学习、上课课件)
二次函数的图象与性质是解题关键．
感悟新知
知1－练
(1)若 m=－3，求该抛物线与 x 轴交点的坐标；
解：当 m=－3 时，抛物线为 y=x2+2x－3.
令 y=0，则 x2+2x－3=0，解得 x1=－3， x2=1，
∴该抛物线与 x 轴交点的坐标为( －3，0)和(1，0) .
线y=x2+2x+k 与 x 轴只有一个交点， 则
1 ．
k=_______
感悟新知
知识点 2
二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系
知2－讲
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的公共点的横坐标
是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解，因此可以借助二次函数的
图象求一元二次方程的解 .
知1－讲
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c的
图象
a>0
a<0
抛物线与
(x1，0)，(x2，0)
x轴的交点ቆ－b没来自交点，0ቇ感悟新知
拓宽视野
知1－讲
已知二次函数y＝ax2 ＋bx＋c，求当y＝m时自变量x
的值，可以解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m；反之，解一
元二次方程ax2＋bx＋c＝m可以看成是已知y＝ax2＋bx＋c
c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；
(3)公共点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解 .
感悟新知
知2－练
例2
[母题 教材 P34 习题 T4 ]利用二次函数的图象求一元
二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解(结果精确到0.1).
沪科初中数学九上《21.3 二次函数与一元二次方程》word教案 (2)
23.4 二次函数与一元二次方程教学目标：掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A ( ， ),B( ， )(2)当x= 时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1) y=x2-10x+25(2) y=3x2-4x+2(3) y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1. 如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
(1)请写出方程ax2+bx+c=0的根(2)列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。
初中数学沪科版九年级上册《21.3二次函数与一元二次方程》教案
21.3二次函数与一元二次方程教学设计题目：写出二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标,对称轴，并画出它的图象.教师提示：通过列表法展示该二次函数的画图过程探究一提问：当x为何值时，y=0?展示列表与图像，启发学生思考图像与x轴的交点，同时y=0时，即是方程x2-2x-3=0的解。
【例】如图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴有几个交点？交点的横坐标与一元二次方程x2+3x+2=0的根有什么关系？引导并帮学生完善结论：总结：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴有两个公共点(x1，0)、(x2，0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2 ,反之亦成立.探究二：观察二次函数y=x²-6x+9的图象和二次函数y=x²-2x+3的图象，分别说出一元二次方程x²-6x+9=0和x²-2x+3=0的根的情况.提问：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?例：用图象法求一元二次方程x²+2x－1= 0 的近似解（精确到0.1）。
教师展示两种不同的解答方法。
变式：利用二次函数的图象求一元二次方程x²+x －1= 0 的近似解。
小试牛刀：1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=（x-h）2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若AB=4，则点M到直线l的距离为（）A． 2 B．3 C．4 D．52.小明研究二次函数y=-x2+2mx-m2+1（m为常数）性质时有如下结论：①该二次函数图象顶点始终在平行于x轴的直线上；②该二次函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的值范围为m≥2；④点A（x1y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＞y2；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43. 一如图，抛物线y=x2-3x+k+1与x轴相交于O，A两点．求k的值及点A的坐标。
上海沪科版初中数学九年级上册21.3 第1课时 二次函数与一元二次方程2
上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！21.3 二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】用数形结合的思想解方程及不等式.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x 轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下 观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 .【答案】x1=1,x2=-52.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.(1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.五、继续探究,层层推进师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.学生看图.师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经学习了二次函数的图像和性质的基础上，进一步引导学生通过观察二次函数的图像，探究其与一元二次方程之间的关系，从而加深学生对二次函数和一元二次方程的理解。
教材通过具体的例子，引导学生从图像的角度去观察、分析和解决问题，提高学生的数形结合思想。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图像和性质，对二次函数有了初步的认识。
但是，对于如何通过二次函数的图像来解决一元二次方程，可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己去发现二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系，提高学生解决问题的能力。
2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考的能力，提高学生的数形结合思想。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：引导学生通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系。
2.难点：如何引导学生从图像的角度去分析和解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、观察法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己去发现二次函数与一元二次方程之间的关系，提高学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，准备好相关的教学工具和材料。
2.学生准备：预习相关内容，了解二次函数的图像和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次函数的图像和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，展示一个二次函数的图像，并提出相关问题，引导学生观察和思考。
3.操练（10分钟）教师引导学生通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系。
沪科版九年级数学导学案-二次函数与一元二次方程
21.3二次函數與一元二次方程【學習目標】理解二次函數圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係，經歷類比、觀察、發現、歸納的探索過程，體會函數與方程相互轉化的數學思想和數形結合的數學思想．【學習重點】二次函數與一元二次方程的關係的探索過程．【學習難點】準確理解二次函數與一元二次方程的關係．舊知回顧：1．一次函數y＝kx＋b的圖象經過(0，3)、(4，0)，則方程kx＋b＝0的解是x＝4．2．如圖，一次函數y＝kx＋b的圖象如圖所示，則方程kx＋b＝1的解是x＝－2．思考：對於二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當y取一個確定值時，它就變成了一個一元二次方程，由此可知一元二次方程與二次函數有著密切的關係．那麼，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之間到底有怎樣的關係呢？通過本節課的學習我們將能解決這個問題．基礎知識梳理知识模块一一元二次方程与二次函数的关系觀察二次函數y＝x2＋3x＋2的圖象，並回答下列問題．(1)函數圖象與x軸有幾個交點？(2)二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點座標與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什麼關係？解：(1)函數圖象與x軸有兩個交點．(2)從以上觀察可以得出，求函數y＝ax2＋bx＋c 的圖象與x軸交點座標即是求當y＝0時，引數x的值，也就是求方程ax2＋bx＋c＝0的根．歸納：二次函數與一元二次方程的關係：二次函數y＝ax2＋bx＋c 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 b2－4ac＞與x軸有兩個交點有兩個不等的實數根b2－4ac＝有兩個相等的實數根0 與x軸有一個交點b2－4ac＜與x軸沒有交點無實數根例：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根分別為x1＝1，x2＝2，則拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點座標分別為(1，0)，(2，0)．變式：二次函數y＝x2－6x＋n的部分圖象如圖所示，若關於x的一元二次方程x2－6x ＋n＝0的一個解為x1＝1，則另一個解x2＝5．知识模块二利用二次函数图象解一元二次方程閱讀教材P31～32頁，完成以下問題例：作出二次函數y＝x2－x－6的圖象，根據圖象回答下列問題：(1)圖象與x軸、y軸的交點座標分別是什麼；(2)當x取何值時，y＝0？這裏x的取值與方程x2－x－6＝0有什麼關係．解：圖略．(1)圖象與x軸的交點座標為(－2，0)，(3，0)；與y軸的交點座標為(0，－6)．(2)當x＝－2或x＝3時，y＝0.這裏x的取值與方程x2－x－6＝0的解相同．由上述過程我們知道可以利用二次函數的圖象求一元二次方程的根，由於作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般都是近似的．閱讀教材P32的內容，完成下麵的仿例：我們可以通過不斷縮小根所在的範圍估計一元二次方程的根．變式：用圖象法求一元二次方程x2＋2x－1＝0的近似解．解：設y＝x2＋2x－1.畫出拋物線y＝x2＋2x－1的圖象如圖所示．由圖象知，當x≈0.4或x≈－2.4時，y＝0.即方程x2＋2x－1＝0的近似解為x1≈0.4，x2≈－2.4.基礎知識訓練1．已知拋物線y＝x2－x－1與x軸的一個交點為(m，0)，則代數式m2－m＋2015的值為(D)A．2013 B．2014 C．2015 D．20162．如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)兩實根為－3及－5，則拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象的對稱軸是直線x＝－4．3．已知二次函數y＝－x2＋2x＋m的部分圖象如圖所示，則關於x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解為x1＝－1，x2＝3．本課內容反思1．收穫：________________________________________________________________________ 2．困惑________________________________________________________________________。
九年级数学上册 21.3 二次函数与一元二次方程精品导学
二次函数与一元二次方程1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当Δ＝b 2－4ac ≥0时，有实数根，这个实数根就是对应二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 当y ＝0时自变量x 的值，这个值就是二次函数与x 轴交点的横坐标．2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点；当Δ＝0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴有一个交点；当Δ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴没有交点；当Δ≥0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴有交点．3．抛物线y ＝kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( )．A ．k ≥－74B ．k ≥－74且k ≠0C ．k ＞－74D ．k ＞－74且k ≠0答案：B4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是________．答案：x 1＝－1，x 2＝31．二次函数与一元二次方程【例1】 已知抛物线的函数关系式为y ＝x 2－(2m －1)x ＋m 2－m . (1)求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；(2)若此抛物线与直线y ＝x －3m ＋4的一个交点在y 轴上，求m 的值．(1)证明：令y ＝0，得0＝x 2－(2m －1)x ＋m 2－m ，①∵Δ＝[－(2m －1)]2－4(m 2－m )＝1＞0， ∴方程①有两个不等的实数根．∴此抛物线与x 轴有两个不同的交点．(2)解：令x ＝0，根据题意有m 2－m ＝－3m ＋4. 解得m ＝－1＋5或m ＝－1－ 5.针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第3题2．抛物线与x 轴的交点与一元二次方程根的关系【例2】 我们知道，由于地球引力的作用，竖直上抛的物体上升到一定高度后会随之下落．竖直上抛物体的高度h (m)与运动时间t (s)的关系可以用公式h ＝－5t 2＋v 0t ＋h 0表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0 (m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40 m /s 的速度竖直向上抛起，小球的高度h (m)与运动时间t (s)的关系如下图所示．(1)h与t的关系是什么？(2)小球经过多少秒后落地？(3)当小球的高度为35 m时，求小球运动的时间？(4)在什么时间内，小球的高度大于0?解：(1)因为小球是从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，此时v0＝40，h0＝0，所以h与t的关系为h＝－5t2＋40t.(2)因为落地时h＝0，所以－5t2＋40t＝0，解得t＝8(s)或t＝0(舍去)．(3)小球的高度为35 m时，h＝35，解方程－5t2＋40t＝35，可得t＝1或7.(4)小球的高度大于0，即小球在地面以上的时间，从图象上看出是在x轴上方的部分，即0＜t＜8.求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标，实际上是令二次函数中的y＝0，求得x 的值，就是与x轴交点的横坐标．针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第5题1．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是( )．A．2和－3 B．－2和3 C．2和3 D．－2和－3 答案：A2．已知抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴的交点的横坐标为－1，则a＋c的值为( )．A．1 B．－1 C．2 D．－2解析：把(－1,0)代入抛物线y＝ax2＋x＋c得a＋c＝1.答案：A3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )．A．a＜0，b＜0，c＞0，b2－4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2－4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2－4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0答案：D4．二次函数y＝x2－mx＋3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是________．解析：把点(1,0)代入y＝x2－mx＋3，得4－m＝0，m＝4.答案：45．用图象法求一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似解(精确到0.1)解：画出函数y＝x2＋2x－10的图象．由图象知方程有两个根，一个根在－4与－5之间，另一个根在2和3之间．先求－5与－4之间的根，利用计算器进行探索：x －4.1－4.2－4.3－4.4y －1.39－0.76－0.110.56因此，x＝－4.3同理，可求得另一个精确到0.1的近似根为x＝2.3.所以x1＝－4.3，x2＝2.3.。
最新沪科版九年级数学上册精品教案21.3 第2课时 二次函数与一元二次不等式
21.3二次函数与一元二次方程第2课时二次函数与一元二次不等式教学目标【知识与能力】1．通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间的联系；2．会用二次函数的图象求出一元二次不等式的解集。
【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系。
【情感态度价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神。
教学重难点【教学重点】二次函数与一元二次不等式之间的联系。
【教学难点】用二次函数的图象求出一元二次不等式的解集。
课前准备课件等。
教学过程一、情境导入如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集吗？请你直接写出来．二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次不等式的关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式例1 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是()A ．x ＜2B ．x ＞－3C ．－3＜x ＜1D ．x ＜－3或x ＞1解析：观察图象，可知当x <－3或x >1时，抛物线在x 轴上方，此时y ＞0，即ax 2＋bx ＋c ＞0，∴关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是x <－3或x >1.故选D.方法总结：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在x 轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集；在x 轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x 的所有值就是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集，所以利用二次函数的图象，可以直观地求得一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0的解集．【类型二】 确定抛物线相应位置的自变量的取值范围例2 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则函数值y 在x 轴下方时，x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x ＜－1或x ＞3解析：由二次函数图象可知，当－1＜x ＜3时，函数图象在x 轴的下方．故选C.方法总结：利用数形结合思想来求解．当y ＝0时，对应x 的值为x 1＝－1，x 2＝3，当y ＞0时，看抛物线在x 轴上方的部分，x 的取值范围是x ＜－1或x ＞3；当y ＜0时，看抛物线在x 轴下方的部分，x 的取值范围是－1＜x ＜3.例3 已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，与y 轴的交点坐标为(0，3)．(1)求出b ，c 的值，并写出此二次函数的关系式；(2)根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．解析：用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数关系式，即可求出b ，c 的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与x 轴的另一个交点坐标，由图象法求得函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.故所求关系式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3，0)．∴由图象可知函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围是－1＜x ＜3.探究点二：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的位置与b 2－4ac 的关系例4 求证：无论a 是什么实数，二次函数y ＝x 2＋ax ＋a －2的图象都与x 轴有两个不同的交点．解析：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，于是问题就转化成证明Δ>0的问题．证明：由题意知Δ＝a 2－4(a －2)＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4.∵无论a 取什么实数，(a －2)2≥0，∴(a －2)2＋4>0，即Δ>0.∴无论a 是什么实数，二次函数y ＝x 2＋ax ＋a －2的图象都与x 轴有两个不同的交点．三、板书设计二次函数与一元二次不等式⎩⎪⎨⎪⎧1.确定抛物线对应的自变量的取 值范围2.利用抛物线解一元二次不等式教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学会利用图象的直观性和性质来解决问题，体会数形结合思想．。
新沪科版九年级数学上册21.3二次函数与一元二次方程教学设计
21.3 二次函数与一元二次方程【学习目标】理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．【学习重点】二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．【学习难点】准确理解二次函数与一元二次方程的关系．方法指导：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值h，求自变量x的值的解题步骤；1．令y＝h，从而将二次函数化为一元二次方程．2．解相应的一元二次方程得自变量的值．情景导入生成问题旧知回顾：1．一次函数y＝kx＋b的图象经过(0，3)、(4，0)，则方程kx＋b＝0的解是x＝4．2．如图，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝1的解是x＝－2．思考：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？通过本节课的学习我们将能解决这个问题．自学互研生成能力知识模块一一元二次方程与二次函数的关系1．观察二次函数y＝x2＋3x＋2的图象，并回答下列问题．(1)函数图象与x轴有几个交点？(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？解：(1)函数图象与x轴有两个交点．(2)从以上观察可以得出，求函数y＝ax2＋bx ＋c的图象与x轴交点坐标即是求当y＝0时，自变量x的值，也就是求方程ax2＋bx＋c＝0的根．归纳：二次函数与一元二次方程的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c一元二次方程ax2＋bx＋c＝0b2－4ac＞0与x轴有两个交点有两个不等的实数根b2－4ac＝0与x轴有一个交点有两个相等的实数根b2－4ac＜0与x轴没有交点无实数根范例：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为(1，0)(2，0)．仿例：二次函数y＝x2－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为x1＝1，则另一个解x2＝5．知识模块二利用二次函数图象解一元二次方程阅读教材P31～32页，完成以下问题范例：作出二次函数y＝x2－x－6的图象，根据图象回答下列问题：(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么；(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2－x－6＝0有什么关系．解：图略．(1)图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)；与y轴的交点坐标为(0，－6)．(2)当x＝－2或x＝3时，y＝0.这里x的取值与方程x2－x－6＝0的解相同．由上述过程我们知道可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般都是近似的．阅读教材P32的内容，完成下面的仿例：我们可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．仿例：用图象法求一元二次方程x2＋2x－1＝0的近似解．解：设y＝x2＋2x－1.画出抛物线y＝x2＋2x－1的图象如图所示．由图象知，当x≈0.4或x≈－2.4时，y＝0.即方程x2＋2x－1＝0的近似解为x1≈0.4，x2≈－2.4.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一一元二次方程与二次函数的关系知识模块二利用二次函数图象解一元二次方程检测反馈达成目标1．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋的值为( D )A． B． C． D．2．如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两实根为－3及－5，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴是直线x＝－4．3．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为x1＝－1，x2＝3．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑________________________________________________________________________。
沪科版数学九年级上册教案2：21.3 二次函数与一元二次方程
21.3 二次函数与一元二次方程教学目标1．理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化．2．会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解．3．探求利用图象求一元二次方程根的过程，掌握数形结合的思想方法．教学重难点探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用．教学过程导入新课出示二次函数的图象，如图所示，根据图象回答：1．x为何值时，y＝0?2．你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？3．函数y＝x2－2x－3与方程x2－2x－3＝0之间有何关系呢？推进新课一、合作探究【问题1】画出函数y＝x2＋3x＋2的图象，根据图象回答下列问题．(1)图象与x轴交点的坐标是什么？(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2＋3x＋2＝0有什么关系？(3)你能从中得到什么启发？教学设计：1.先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2＋3x＋2的图象．2．教师巡视，与学生合作、交流．3．教师讲评，并画出函数图象．4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－1,0)和(－2,0)．5．让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2＋3x＋2的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2＋3x＋2＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2＋3x＋2的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2＋3x＋2＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．【问题2】画出二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象，并根据图象观察：(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0各有几个根？用根的判别式验证一下，你有什么发现？二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：①有两个交点；②有一个交点；③没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的c＞(1)当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0?当－2＜x＜－1时，y＜0；当x＜－2或x＞－1时，y＞0.(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？能用含有x的不等式来描述(1)中的问题，即x2＋3x＋2＜0的解集是什么？x2＋3x＋2＞0的解集是什么？【问题4】想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？让学生类比二次函数与一元二次方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．【问题5】利用函数y＝x2－2x－2的图象，求方程x2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)．分析：用描点法画函数y＝x2－2x－2的图象，图象要求尽可能准确(如图)．方法一：确定抛物线与x轴的两个交点的位置，估计方程x2－2x－2＝0两根的范围．观察图象，x1≈－0.7时，y的值最接近于0；x2≈2.7时，y的值最接近于0.从而估计方程的根为x1≈－0.7，x2≈2.7.方法二：观察图象发现，当自变量为2时，函数值小于0；当自变量为3时，函数值大于0，抛物线是一段连续曲线，所以在2和3之间的某个值，函数值为0，即在2和3之间有根．采用“逐渐逼近”的方法，逐步缩小两个数值的范围，直到确定符合条件的近似根：将2.5代入函数中，函数值小于0，所以方程在2.5与3之间有一个根；将2.75代入函数中，函数值大于0，所以方程在2.5与2.75之间有一个根；……最后确定这个根大约是2.7.采用同样的方法，确定另一个根大约是－0.7.点拨：此题看起来容易，实际上学生不容易理解，做起来有一定难度．故教师应多指导，理清思路．二、应用示例【例1】如图所示，(1)一元二次方程－x 2＋2x ＋3＝0的根是多少？(2)一元二次方程－x 2＋2x ＋3＝3的根是多少？(3)不等式－x 2＋2x ＋3＞3的解集是什么？(4)一元二次方程－x 2＋2x ＋3＝k 有两个根，则k 的取值范围是什么？解：根据图象知：(1)方程－x 2＋2x ＋3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝3.(2)方程－x 2＋2x ＋3＝3的两根为x 1＝0，x 2＝2.(3)不等式－x 2＋2x ＋3＞3的解集是0＜x ＜2.(4)k 的取值范围是k ＜4.点评：此题充分展示了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系．【例2】 已知抛物线y ＝x 2＋(2k ＋1)x －k 2＋k .(1)求证：此抛物线与x 轴有两个不同的交点；(2)当k ＝0时，求此抛物线与坐标轴的交点坐标．分析：(1)证明方程x 2＋(2k ＋1)x －k 2＋k ＝0有两个不相等的实数根即可．(2)通过解方程，求值即可．点拨：(1)注意利用b 2－4ac 的值――→判断二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况――→判断y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的个数．(2)掌握抛物线与坐标轴交点的求法．三、巩固提高1．抛物线y ＝－x 2＋2kx ＋2与x 轴交点的个数有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都不对2．小强从如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，观察得出了下面五条信息：(1)a＜0；(2)c ＞1；(3)b ＞0；(4)a ＋b ＋c ＞0；(5)a －b ＋c ＞0.你认为其中，正确信息的个数有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与y ＝－x 2＋3x ＋2的两交点关于原点对称，则a 、b 分别为__________．4．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点分别为A (－1,0)和B (2,0)，当y ＜0时，x 的取值范围是__________．5．抛物线y＝x2－6x＋8与x轴交点坐标为(2,0)，(4,0)，求方程x2－6x＋8＝0的根．6．已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)．(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．本课小结1．所学知识：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系．当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．(2)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(x0,0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．(3)利用二次函数图象求一元二次方程的近似解．2．思想方法是数形结合、逐渐逼近的探求方法．二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0实际上是二次函数y＝ax2＋bx＋c中y＝0时的一种特殊情有一个交点实根奥赛链接已知点A ，B 的坐标分别为(1,0)，(2,0)．若二次函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋3的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是__________．解析：分两种情况：(1)因为二次函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋3的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为(1,0)，(2,0)，所以[12＋(a －3)×1＋3]×[22＋(a －3)×2＋3]＜0.解得－1＜a ＜12-. 由12＋(a －3)×1＋3＝0，得a ＝－1，此时x 1＝1，x 2＝3，符合题意； 由22＋(a －3)×2＋3＝0，得a ＝12-，此时x 1＝2，x 2＝32，不符合题意．(2)令x 2＋(a －3)x ＋3＝0，由判别式Δ＝0，得a ＝3±当a ＝3＋x 1＝x 2＝a ＝3－x 1＝x 2题意．综上所述，a 的取值范围是－1≤a ＜12-或a ＝3－答案：－1≤a ＜12-或a ＝3－。
新沪科版九年级上册初中数学 21.3 二次函数与一元二次函数 教案
第二十一章二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程【知识与技能】1.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征.【过程与方法】经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想.【情感态度与价值观】培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质.经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程.准确理解二次函数与一元二次方程的关系.多媒体课件.（课件展示问题）我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx ＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.【教学说明】让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质.一、思考探究，获取新知1.观察二次函数y=x2+3x+2的图象，并回答下列问题.（1）每个图象与x轴有几个交点？（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根有什么关系？【教学说明】引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，大胆猜想，通过交流寻求解决类似问题的方法.【归纳结论】一元二次方程ax2+bx+c=0.当Δ≥0时有实数根，这个实数根就是对应二次函数y＝ax2＋bx＋c的值等于0时自变量x的一个值，即二次函数的图象与x轴一个交点的横坐标.2.用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0近似解.（精确到0.1）由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3和-2之间，另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：观察上表可以发现，当x分别取-3和-2时，对应的y由正变负，可见在-3和-2之间肯定有一个x使y=0,即方程的一个根.题目要求精确到0.1,当x=-2.4时，y=-0.04比y=0.25更接近0，所以选x=-2.4.因此，方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4.请仿照上面的方法，求出方程精确到0.1的另一个根.3.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求：分别画出函数y=x2,y=-2x+1的图象，如图，它们交点A,B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.【教学说明】引导学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳.二、典例精析，掌握新知【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表:x …-2.5 -2.4 …y …0.25 -0.04 …观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.三、运用新知，深化理解1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ B ）A.ac＞0B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C.2a-b=0D.当x＞0时，y随x的增大而减小【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断.解：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；B.∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C.∵抛物线对称轴为x=1，∴2a+b=0，故本选项错误；D.∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误.故选B.2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（ C ）A.-1.6B.3.2C.4.4D.以上都不对【分析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图形和已知条件即可求出x2.解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4. 故选C.3.根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ C ）A.8＜x＜9B.9＜x＜10C.10＜x＜11D.11＜x＜12【分析】根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围.解：依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x ＜11.故选C.【教学说明】学生独立完成3个小题，小组交流所做结果，练习巩固，加深理解.先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.1.布置作业：教材“习题21.3”中第2、4、8题.本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想.三种题型：函数图象与x轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标.。
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y x 2 4x 5 ； y x 2 4x 4 ； y x 2 4x 5
（1）每个函数的图象与 x 轴有几个交点？交点的坐标是多少？
2 （2）方程 x 4 x 5 0 、 x
2
4 x 4 0 和 x 2 4 x 5 0 根的情况如
何？ （3） 猜想二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交点的横坐标与一元二次方程
ax 2 bx c 0 的根有什么关系？
☆
2
合作探究
☆
教学思路 （纠错栏）
1、已知抛物线 y=2x +5x+c 与 x 轴没有交点， 求 c 的取值范围.
2、如图， 在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于 A（－1， 0） 、点 B（3，0）和点 C（0，－3） ，一次函数的图象与抛物线交于 B、C 两点． ⑴求一次函数与二次函数的解析式 根据图象直接回答列下列问题： ⑵当自变量 x 时，一次函数值大于二次函数值． y
A
B
－1 O 1 －3 C ☆ 归纳反思 ☆
3
x
2 2 一元二次方程 ax bx c 0 ，当 b 4ac 0 时有实数根，这个
实数根就是对应二次函数 y ax2 bx c 当 y =0 时自变量 x 的值， 这个值就是 二次函数图象与 x 轴交点的 ．
☆
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☆ 个根。
2、利用一次函数 y 2 x 3 的图象并回答下列问题 a、求直线 y 2 x 3 与 x 轴的交点坐标； b、解方程 2 x 3 0 c、说出直线 y 2 x 3 与 x 轴交点的横坐标和方程 2x 3 0 根的关系 3、解方程 x -5x+4=0 4、画二次函数 y= x -5x+4 的图象 二、导读 1、观察二次函数 y= x -5x+4 的图象，抛物线与 x 轴有几个交点？交点的 横坐标与一元二次方程 x -5x+4=0 的根有什么关系？ 2、确定抛物线的顶点坐标画出草图，并根据图象回答问题：
☆
1、判断下列二次函数的图象与 x 轴有无交点，如有，求出交点坐标；如没有， 说明理由．
y 4x 2 4x 1 ；
y x 2 2x 3 ；
y
1 2 x 3x 4 2
2、证明：抛物线 y=x -（2p-1）x+p -p 与 x 轴必有两个不同的交点。
2
2
课题：23.4 二次函数与一元二次方程（1）
教学思路 （纠错栏） 学习目标： 1、知道二次函数与与坐标轴交点坐标，会结合函数图象求方程的根， 形结合思想，养成良好的学习习惯． 学习重点：二次函数与一元二次方程的联系． 预设难点：用二次函数与一元二次方程的关系综合解题． ☆ 一、链接： 1、不解方程 3x -2x+4=0 此方程有