沪科版九年级数学上二次函数课件适用
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2
2.函数
y(m1)xm2mmx1
是二次函数， 求m的值。
2
3.函数
y(m2m)xm2m
是二次函数， 求m的值
2
例3. 一块矩形的草地，长为8m,宽为 6m，若将长和宽都增加xm,设增加的面 积为ym. （1）求y与x之间的函数关系式 （2）若要使草地的面积增加32m2，长 和宽都增加多少米？
随堂练习
(3) 0ba , 0c, 0
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
解：S=a(30-a)=30a-a²= -a²+30a .
是二次函数关系式.
随堂作业：
7、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，
但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵
树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每
多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）问题中有那些变量？ （2）假设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总 产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。
在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函
数，求m、n的值。
①∵
2m+n=2②∵
2m+n=1
③∵
2m+n=2
④∵
2m+n=2
⑤∵
2m+n=0
m-n=1 m-n=2
m-n=2 m-n=0 m-n=2
∴ m=1
m=1
∴
n=0
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次
项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
系可以表示为 y=6x2①
练习2:
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ n 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,连接与
点不相邻的各顶点,可以(作n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连接 相同两顶点的对角线是同一条对
M
N
角线,所以多边形的对角线总数
d 1nn3
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
练习、下列函数中，哪些是二次函数？若 是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x－1)²+1 (是)
(2)y=x+ (3)s=3－2_1x_t² (5)y= －x
函数,则k的值一定是_0_____
x 3.如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2
函数,则k的值是__1_，_2_，_3或3 5 2
+kx+1是一次
练习. y=(m+3)x m2－7 (1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1.函数 y(k1)x2k2k1 是一次函数，求k的值。0
AB=DC，∠B=600，梯形的周长为60，
设腰AB=x，梯形面积为y.
（1）写出y关于x的函数关系式，并求出自变量 x的取值范围。
（2）当x=15时，求y的值。 A
D
x
BE
FC
随堂练习
6.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关 系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
知识运用
例2:m取何值时， 函数y= (m+1)x m22m1
+(m-3)x+m 是二次函数？
来自百度文库解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
驶向胜利 的彼岸
练习：
x 1.如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值是_0_或__3__
x 2.如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
想一想
函数y ax2 bx c(其中ab,,c是常数)， 当a,b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
解：（1） 0a
(2 )0ab,0
21.1二次函数
基础回顾 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取 一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
问题2
一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天 应装配玩具190个，但如果每增加一人，那 么每人每天可少装配10个，问增加多少人可 使每天装配总数最多？最多时是多少个？
练习1: 正方体的六个面是全等的正方形,设
正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(6)v=r ²3
(否) (是(4))y=((7x)+y3=)²x－²+xx²³+25(否) (否) (8)y=2²+2x (否) (否) (是)
知识运用
练习2:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
(3)y=3x3+2x2 ( 不是 ) (4)y=2x2-2x+1( 是 )
2
即 d1n2 3n②
22
②式表示了多边形的 对角线数d与边数n之 间的关系,对于n的每一 个值,d都有唯一的对应 值,即d是n的函数。
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d12n232n②
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
随堂练习
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
4. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式.
m1nn1
2
即
m1n2 1n 22
随堂练习
5、如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
小结 拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
1、下列函数中，（x是自变量），是 二次函数的为( )
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2 +1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的 条件是( ) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n
D m,n为任何实数
(5)y=x-2+x (不是 ) (6)y=x2-x(1+x) (不是 )
驶向胜利的 彼岸
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
二次函数
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经 过的路线？它会与某种函数有联系吗？
运动场上飞舞的跳绳
赛场上腾空的篮球
以上图形给我们什 么形象，都有哪些共同
特点？
问题1 某水产养殖户用长40m的围 网，在水库中围一块矩形的水面，投 放鱼苗。要使围成的水面面积最大， 它的长应是多少米？
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
n=-1
m=4/3
∴
n=-2/3
m=2/3
∴
m=2/3
∴
n=2/3 n=-4/3
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
2.函数
y(m1)xm2mmx1
是二次函数， 求m的值。
2
3.函数
y(m2m)xm2m
是二次函数， 求m的值
2
例3. 一块矩形的草地，长为8m,宽为 6m，若将长和宽都增加xm,设增加的面 积为ym. （1）求y与x之间的函数关系式 （2）若要使草地的面积增加32m2，长 和宽都增加多少米？
随堂练习
(3) 0ba , 0c, 0
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
解：S=a(30-a)=30a-a²= -a²+30a .
是二次函数关系式.
随堂作业：
7、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，
但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵
树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每
多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）问题中有那些变量？ （2）假设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总 产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。
在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函
数，求m、n的值。
①∵
2m+n=2②∵
2m+n=1
③∵
2m+n=2
④∵
2m+n=2
⑤∵
2m+n=0
m-n=1 m-n=2
m-n=2 m-n=0 m-n=2
∴ m=1
m=1
∴
n=0
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次
项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
系可以表示为 y=6x2①
练习2:
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ n 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,连接与
点不相邻的各顶点,可以(作n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连接 相同两顶点的对角线是同一条对
M
N
角线,所以多边形的对角线总数
d 1nn3
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
练习、下列函数中，哪些是二次函数？若 是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x－1)²+1 (是)
(2)y=x+ (3)s=3－2_1x_t² (5)y= －x
函数,则k的值一定是_0_____
x 3.如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2
函数,则k的值是__1_，_2_，_3或3 5 2
+kx+1是一次
练习. y=(m+3)x m2－7 (1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1.函数 y(k1)x2k2k1 是一次函数，求k的值。0
AB=DC，∠B=600，梯形的周长为60，
设腰AB=x，梯形面积为y.
（1）写出y关于x的函数关系式，并求出自变量 x的取值范围。
（2）当x=15时，求y的值。 A
D
x
BE
FC
随堂练习
6.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关 系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
知识运用
例2:m取何值时， 函数y= (m+1)x m22m1
+(m-3)x+m 是二次函数？
来自百度文库解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
驶向胜利 的彼岸
练习：
x 1.如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值是_0_或__3__
x 2.如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
想一想
函数y ax2 bx c(其中ab,,c是常数)， 当a,b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
解：（1） 0a
(2 )0ab,0
21.1二次函数
基础回顾 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取 一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
问题2
一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天 应装配玩具190个，但如果每增加一人，那 么每人每天可少装配10个，问增加多少人可 使每天装配总数最多？最多时是多少个？
练习1: 正方体的六个面是全等的正方形,设
正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(6)v=r ²3
(否) (是(4))y=((7x)+y3=)²x－²+xx²³+25(否) (否) (8)y=2²+2x (否) (否) (是)
知识运用
练习2:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
(3)y=3x3+2x2 ( 不是 ) (4)y=2x2-2x+1( 是 )
2
即 d1n2 3n②
22
②式表示了多边形的 对角线数d与边数n之 间的关系,对于n的每一 个值,d都有唯一的对应 值,即d是n的函数。
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d12n232n②
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
随堂练习
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
4. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式.
m1nn1
2
即
m1n2 1n 22
随堂练习
5、如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
小结 拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
1、下列函数中，（x是自变量），是 二次函数的为( )
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2 +1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的 条件是( ) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n
D m,n为任何实数
(5)y=x-2+x (不是 ) (6)y=x2-x(1+x) (不是 )
驶向胜利的 彼岸
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
二次函数
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经 过的路线？它会与某种函数有联系吗？
运动场上飞舞的跳绳
赛场上腾空的篮球
以上图形给我们什 么形象，都有哪些共同
特点？
问题1 某水产养殖户用长40m的围 网，在水库中围一块矩形的水面，投 放鱼苗。要使围成的水面面积最大， 它的长应是多少米？
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
n=-1
m=4/3
∴
n=-2/3
m=2/3
∴
m=2/3
∴
n=2/3 n=-4/3
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)