组合数学课件_-_教案

P(9,5) 4 2 P(7,3) 15120 1680 13440
§1.2 圆排列
§1.2 排列
1.2.2 圆排列
定义 1.2 定理 1.2
设A={an} ，从A中取r个(0≤r≤n)元素按 某种顺序（如逆时针）排成一个圆圈， 称为圆排列（循环排列）。 设A={an}，A的r圆排列个数为Pi是第i类奖品的集合 (i=1,2,3)，显然，Si∩Sj=Φ (i≠j) ，根据加法法则有
|S|
3 i 1
Si |S1 ||S2 ||S3 | 3 4 2 9
§1.1 加法法则例2、3 §1.1 加法法则和乘法法则
1.1.1 加法法则
相关课程
使用教材
《数学分析》《高等代数》《离散数学》
书名：组合数学（第三版）
目录（1）
目
引言 第1章 排列与组合
1.1 加法法则和乘法法则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式及其含义 1.6 模型转换 本章小结 习题
录
习题
第3章 容斥原理
3.1 容斥原理 3.2 重集r-组合 3.3 错排问题 3.4 有限制排列 3.5* 一般有限制排列 3.6* 广义容斥原理 本章小结 习题
§1.1 重集的概念
§1.1 加法法则和乘法法则
重集的概念
1.1.3 计数问题的分类
• 有序安排或有序选择 ——允许重复/不允许重复 • 无序安排或无序选择 ——允许重复/不允许重复
• 标准集的特性：确定、无序、 相异等。 • 重集：B={k *b , k *b ,…,
1 1 2 2
kn*bn}，其中：bi为n个互不相 同的元素，称 ki为bi的重数， i=1,2,…,n，n=1,2,…,∞， ki=1,2,…,∞。
§1.2 排列 1.2.1 线排列
例 题
§1.2 线排列例3
例 3 、有多少个 5 位数，每位数字都 不相同，不能取0，且数字7和9不能 相邻？
解：由于所有的5位数字互不相同，且不能取0，故每一 个 5 位数就是集合 {1,2,…,9} 的一个 5- 排列，其排列数为 P(9,5) ，其中 7 和 9 相邻的排列数为 [c(7,3)4!2]4×2×P(7,3) ， 满足题目要求的5位数个数为
§1.2 线排列推论 § 1.2 排列 1
1.2.1 线排列
两个推论
推论1.1.1：如n, r∈N且n≥r≥2，则 P(n,r)=n×P(n-1,r-1) 。
证明：在集合 A 的 n 个元素中，任一个元素都可以排在 它的r−排列首位，故首位有 n种取法；首位取定后，其 他位置的元素正好是从 A 的另 n-1 个元素中取 r-1 个的排 列，因此有P(n-1,r-1)种取法。由乘法法则有 P(n,r)=n×P(n-1,r-1) 证毕。
m i 1 m
设S是有限集合，若 S i S , S
时， Si
S j ，则有 S
m i 1
S i，且 i j
Si Si
i 1
。
§1.1 加法法则例1 §1.1 加法法则和乘法法则
1.1.1 加法法则
例 题
例1、有一所学校给一名物理竞赛优胜 者发奖，奖品有三类，第一类是三种 不同版本的法汉词典；第二类是四种 不同类型的物理参考书；第三类是二 种不同的奖杯。这位优胜者只能挑选 一样奖品。那么，这位优胜者挑选奖 品的方法有多少种？
证明：由于把一个圆排列旋转所得到另一个圆排列视为 相同的圆排列，因此线排列 a1a2…ar ， a2a3…ara1 ， … ara1a2…ar-1 在圆排列中是一个，即一个圆排列可产生 r 个不同的线排列；同理， r个不同的线排列对应一个圆 排列。而总共有P(n,r)个线排列，故圆排列的个数为 P(n,r)/r= n!/(r×(n-r)!) 证毕。
注：加*的章节一般性了解
引
发展历史 涵盖内容
言
学习目的 学习方法
• 古老 • 年轻
• 存在性问题 • 科学的组织 • 练习 • 计数和枚举 • 科学的推理 • 思考总结 • 优化问题 • 笔记 • 构造性问题
组合数学研究的中心问题是按照一定的规 则来安排有限多个对象
• 如果人们想把有限多个对象按照它们所应满足的条 件来进行安排，当符合要求的安排并非显然存在或显 然不存在时，首要的问题就是要证明或者否定它的存 在。这就是存在性问题。如果所要求的安排存在，则 可能有多种不同的安排，这又经常给人们提出这样的 问题：有多少种可能的安排方案？如何对安排的方案 进行分类？这就是计数问题。如果一个组合问题有解， 则往往需要给出求其某一特定解的算法，这就是所谓 的构造性问题。如果算法很多，就需要在一定的条件 下找出一个或者几个最优或近乎最优的安排方案，这 就是优化问题。
解：设S是所求的道路数集合，S1、 S2、S3分别是从A到 B、从B到C、从C到D的道路集合，根据乘法法则有
|S | |S1 ||S 2 ||S 3 | 2 4 3 24
§1.1 乘法法则例5
§1.1 加法法则和乘法法则
1.1.2 乘法法则 例5、由数字1,2,3,4,5可以构成多少个
例 题
所有数字互不相同的四位偶数？
解：所求的是四位偶数，故个位只能选2或4，有两种选 择方法；又由于要求四位数字互不相同，故个位选中后， 十位只有四种选择方法；同理，百位、千位分别有三种、 两种选择方法，根据乘法法则，四位数互不相同的偶数 个数为 2×4×3×2=48
§1.1 乘法法则例6
§1.1 加法法则和乘法法则
例 题
例2、大于 0小于 10的奇偶数 有多少个？
解：设S是符合条件数的集合，S1、S2分别是符合条件的 奇数、偶数集合，显然，S1∩S2=Φ ，根据加法法则有
|S | |S1 ||S 2 | 5 4 9
例 3 、小于 20 可被 2 或 3 整除的自然 数有多少个？
§1.1 乘法法则 §1.1 加法法则和乘法法则
§1.2 线排列推论 § 1.2 排列 2
推论1.1.1：如n, r∈N且n≥r≥2，则 两个推论 P(n,r)=n×P(n-1,r-1) 。 推论1.1.2：如n, r∈N且n≥r≥2，则 P(n,r)= r×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 。 证明：当r≥2时，把集合A的r−排列分为两大类：一类包含 A中的某个固定元素，不妨设为 a1，另一类不包含 a1 。第 一类排列相当于先从 A-{a1} 中取 r-1 个元素进行排列，有 P(n-1,r-1)种取法，再将a1放入每一个上述排列中，对任一 排列， a1 都有 r 种放法。由乘法法则，第一类排列共有 r×P(n-1,r-1) 个。第二类排列实质上是 A-{a1} 的 r− 排列，共 有P(n-1,r)个。再由加法法则有 P(n,r)= r×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 证毕。
例6、求出从8个计算机系的学生、 9 个数学系的学生和10个经济系的学生 中选出两个不同专业的学生的方法数。
1.1.2 乘法法则
例 题
解：由乘法法则有 选一个计算机系和一个数学系的方法数为8×9=72 选一个数学系和一个经济系的方法数为9×10=90 选一个经济系和一个计算机系的方法数为10×8=80 由加法法则，符合要求的方法数为 72+90+80=242
第1章 排列与组合
本章重点介绍以下的基本计数方法：
• 加法法则和乘法法则 • 排列 • 组合 • 二项式定理的应用 • 组合恒等式
1.1 加法法则 §1.1 § 加法法则和乘法法则
1.1.1 加法法则
加法法则
集合论定义
相互独立的事件 A、B 分别有 k 和 l 种方法产生，则产生 A 或 B 的方 法数为 k+l 种。 若|A|=k，|B|=l ，且A∩B=Φ ， 则|A∪B| = k+l 。
第5章 递推关系
5.1 递推关系的建立 5.2 常系数线性齐次递推关系 5.3 常系数线性非齐次递推关系 5.4 迭代法与归纳法 5.5 母函数在递推关系中的应用 5.6* 典型的递推关系 本章小结 习题
********************** 课程总结
第6章 Pó lya定理
6.1 群的概念 6.2 置换群 6.3 循环、奇循环与偶循环
第2章 鸽笼原理
2.1 鸽笼原理 2.2 鸽笼原理的推广 2.3 Ramsey定理 本章小结
第4章 母函数
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 母函数的基本概念 母函数的基本运算 在排列组合中的应用 整数的拆分 Ferrers图
目录（2） 4.6* 在组合恒等式中的应用 本章小结 习题 6.4 Burnside引理 6.5 Pó lya定理 6.6 Pó lya定理的应用 6.7 母函数形式的Pó lya定理 6.8* 图的计数 6.9* Pó lya定理的若干推广 本章小结 习题
组合数学课件
课程简介
本课程针对计算机科学中的一个重要学科 ——组合数学， 组合数学是数学的一个分支，它研究事物在结定模式下的配 置，研究这种配置的存在性，所有可能配置的计数和分类以 及配置的各种性质。组合数学在计算机科学中有着极其广泛 的应用。 组合学问题求解方法层出不穷、干变万化，应以理解为 基础，善于总结各种技巧，掌握科学的组织和推理方法。
1.2.1 线排列
§1.2 排列 1.2.1 线排列
例 题
§1.2 线排列例1
例 1 、由数字 1,2,3,4,5 可以构成多 少个所有数字互不相同的四位数？
解：由于所有的四位数字互不相同，故每一个四位数就 是集合 {1,2,3,4,5} 的一个 4− 排列，因而所求的四位数个 数为 5! P (5, 4) 120 (5 4)!
§ 1.2 线排列例 § 1.2 排列 2