组合数学课件_-_教案

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《组合数学第一讲》课件

《组合数学第一讲》课件

概率的乘法公式
如果事件A和B是独立的,那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
贝叶斯公式
用于计算在已知其他相关概率的情况下,某一事件发生的概率。
概率的应用实例
赌博游戏
概率可以用于计算赌博游戏中各种结果的可能性 。
保险业
保险公司使用概率来计算各种风险的赔付概率和 保费。
天气预报
气象学家使用概率来预测天气的发生可能性,例 如降雨的概率。
在排列中,各个元素的位置是独立的,互不影响。
排列的传递性
如果a>b且b>c,则a>c。
排列的公式与定理
排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,记 为P(n,m),计算公式为P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
排列数的性质
P(n,m)=P(n,n-m),P(n,m)=m!/[(n-m)!*m!]。
03
CATALOGUE
组合数学中的计数问题
计数原理
01 02
计数原理
在数学中,计数原理是一种基本原理,用于计算在特定条件下可能发生 的事件的数量。它通常用于组合数学中的计数问题,以确定不同排列和 组合的数量。
分类计数原理
分类计数原理是计数原理的一种,它涉及到将问题分解为几个独立的部 分,然后分别计算每个部分的可能性,最后将各部分的计数相加。
THANKS
感谢观看
《组合数学第一 讲》ppt课件
目录
• 组合数学简介 • 组合数学的基本概念 • 组合数学中的计数问题 • 组合数学中的排列问题 • 组合数学中的组合问题 • 组合数学中的概率问题
01
CATALOGUE

《高中数学-组合》课件

《高中数学-组合》课件
分步乘法原理
当某一事件可以分成几个连续步 骤完成时,该事件的发生次数等 于各个步骤发生次数的乘积。
排列组合问题
排列
从n个不同元素中取出m个元素(m≤n),按照一定的顺序排成一列,称为从 n个不同元素中取出m个元素的排列,记作$A_{n}^{m}$。
组合
从n个不同元素中取出m个元素(m≤n),不考虑顺序,称为从n个不同元素中 取出m个元素的组合,记作$C_{n}^{m}$。
THANKS
感谢观看
组合学在各领域的应用
组合学在计算机科学、统计学、物理学等领 域得到了广泛的应用,为解决实际问题提供
了重要的数学工具。
现代的组合数学
组合数学与其他学科的交叉
现代的组合数学已经与其他学科如概率论、统计学、 计算机科学等产生了密切的联系,推动了各学科的发 展。
新的研究方法和工具
随着计算机科学的发展,新的研究方法和工具不断涌 现,为组合数学的研究提供了更多的可能性。
排列是从n个不同元素中取出m个元素 (m≤n)进行有序排列,而组合则是 从n个不同元素中取出m个元素( m≤n)进行无序组合。
组合数的计算公式
组合数的计算公式是C(n,m) = n! / [m!(n-m)!],其中"!"表示阶乘,即 一个正整数的所有正整数乘积。
这个公式可以用来计算从n个不同元素 中取出m个元素的组合数,是组合数 学中的基本公式之一。
其他组合恒等式
总结词
除了杨辉三角和帕斯卡三角外,还有 许多其他的组合恒等式,它们在解决 组合问题时也非常有用。
详细描述
例如,德布鲁因恒等式、卡特兰恒等 式、范德蒙德恒等式等。这些恒等式 各有特点,适用于不同的情况。掌握 这些恒等式,可以帮助我们更高效地 解决组合问题。

高中数学组合优秀教案

高中数学组合优秀教案

高中数学组合优秀教案
主题:组合数
主要内容:组合数的概念及性质,组合数的运算法则,组合数在实际问题中的应用
一、学习目标
1. 理解组合数的概念和性质。

2. 掌握组合数的运算法则。

3. 能够灵活运用组合数解决实际问题。

二、教学重点
1. 组合数的定义和性质。

2. 组合数的运算法则。

3. 实际问题中组合数的应用。

三、教学难点
1. 灵活运用组合数解决实际问题。

2. 深入理解组合数的概念和性质。

四、教学过程
1. 导入:通过一个有趣的问题引出组合数的概念,让学生产生兴趣。

2. 授课:讲解组合数的定义和性质,介绍组合数的运算法则。

3. 拓展:通过练习让学生掌握组合数的运算技巧。

4. 应用:通过实际问题让学生灵活运用组合数解决问题。

5. 总结:回顾本节课的内容,强调组合数在数学中的重要性。

五、教学反馈
1. 布置作业:留作业巩固学习成果。

2. 点评作业:对学生的学习情况进行评价,及时纠正错误。

3. 反馈教学:根据学生的反馈对教学方法进行调整,提高教学效果。

六、教学资源
1. 教材:《高中数学》
2. 辅助教材:《高中数学组合数专题讲义》
3. 多媒体教学设备:电脑、投影仪
七、教学评估
1. 学生态度:学生是否主动参与课堂活动。

2. 学生表现:学生是否能够熟练运用组合数解决问题。

3. 教学效果:学生是否能够掌握组合数的相关知识和技能。

组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)

组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
21
:应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解:先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002,这样从000到999。
试求从1到1000的整数中,0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林(Stirling公式)
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例:求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解:小于10000的正整数是1到9999,如果我们 把不到4位的数前面补零,
{1,2},{1,3}, {2,3},
如果允许重复,多了
{1,1}, {2,2}, {3,3}。
组合模型:

高中数学组合教案

高中数学组合教案

高中数学组合教案教学目标:1. 理解并掌握基本的组合概念和计算方法2. 能够灵活运用组合的知识解决实际问题3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力教学重点:1. 组合的定义和基本性质2. 组合的计算方法3. 组合问题的实际应用教学难点:1. 灵活运用组合的计算方法解决实际问题2. 分析问题,确定适当的组合模型教学准备:1. 教材:高中数学教材相关章节2. 板书:组合的定义、性质、计算公式及例题3. 教具:计算器、白板、彩色粉笔、课件教学过程:一、导入(5分钟)教师通过简单的例子引出组合的概念,让学生了解组合在生活中的应用和重要性。

二、展示与讲解(15分钟)1. 引导学生理解组合的定义和性质。

2. 讲解组合的计算方法,包括排列数和组合数的关系。

3. 讲解如何通过公式计算组合数,提供一些例题进行讲解和引导。

三、练习与讨论(20分钟)1. 带领学生做一些练习题,巩固组合的基本计算方法。

2. 引导学生思考如何将组合的知识运用到实际问题中,讨论解题思路和方法。

3. 学生讨论并分享解题思路,互相学习和交流。

四、拓展与应用(10分钟)1. 提出一些拓展性的组合问题,让学生应用所学知识解决。

2. 引导学生思考更复杂的组合问题,培养他们的数学思维能力。

五、总结与评价(5分钟)1. 整理本节课的重点知识,让学生进行总结并反思自己的学习情况。

2. 对学生的表现进行评价,鼓励优秀学生,指导较弱学生。

教学反思:本节课主要围绕组合的基本概念和计算方法展开,结合实际应用训练学生的数学思维和解题能力。

通过互动式的教学方法,激发学生的兴趣,提高他们的学习积极性,并培养他们的逻辑思维和数学推理能力。

高中高三数学上册《组合》教案

高中高三数学上册《组合》教案

高中高三数学上册《组合》教案教案目标:1.让学生理解组合的概念及性质;2.使学生掌握组合数的计算公式及组合数的性质;3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点:1.组合的概念及性质;2.组合数的计算公式及性质。

教学难点:1.组合数公式的推导;2.组合数性质的运用。

教学准备:1.教材:高中高三数学上册;2.教学工具:PPT、黑板、粉笔。

教学过程:一、导入1.引导学生回顾排列的概念,让学生举例说明排列的特点;2.提问:排列与组合有什么区别?二、新课讲解1.讲解组合的概念(1)定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;(2)表示:用符号C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数;(3)性质:组合中的元素是无序的。

2.讲解组合数的计算公式(1)排列数公式:A(n,m)=n!/(n-m)!;(2)组合数公式:C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[m!(n-m)!];(3)推导过程:通过排列数公式推导组合数公式。

3.讲解组合数的性质(1)性质1:C(n,m)=C(n,n-m);(2)性质2:C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。

4.举例讲解(1)例1:从5个男生和4个女生中,任选3人参加比赛,求不同的选法有多少种?(2)例2:某班级有10名学生,其中甲必须参加,乙、丙两位同学至多参加一位,不同的站队方法一共有多少种?三、课堂练习1.练习1:从6个男生和5个女生中,任选4人参加比赛,求不同的选法有多少种?2.练习2:某班级有8名学生,其中甲必须参加,乙、丙两位同学至多参加一位,不同的站队方法一共有多少种?四、课堂小结2.强调组合与排列的区别。

五、课后作业1.作业1:从7个男生和6个女生中,任选5人参加比赛,求不同的选法有多少种?2.作业2:某班级有9名学生,其中甲必须参加,乙、丙两位同学至多参加一位,不同的站队方法一共有多少种?教学反思:本节课通过讲解组合的概念、组合数的计算公式及性质,让学生掌握了组合的基本知识。

《组合(一)》课件

《组合(一)》课件
《组合(一)》ppt课件
目录
CONTENTS
• 组合数学简介 • 组合计数原理 • 组合数的计算方法 • 组合数的性质与定理 • 组合数在概率论中的应用 • 总结与展望
01 组合数学简介
CHAPTER
组合数学的定义
总结词
组合数学是一门研究组合问题的 数学分支。
详细描述
组合数学主要研究的是在一定条 件下,从n个不同元素中选取k个 元素(0≤k≤n)的所有可能组合 的数量和性质。
组合数具有一些重要的性质,如递归性质、对称性质和组 合恒等式等。这些性质在概率论中有广泛的应用。
概率论中的排列与组合问题
排列与组合问题的求解方法
在概率论中,排列与组合问题通常采用组合数学中的方法进行求解,如递推关系、容斥原 理、生成函数等。
排列与组合问题的应用
排列与组合问题在概率论中有广泛的应用,如概率计算、随机过程、统计学等领域。
排列与组合的关系
排列
从n个不同元素中取出m个元素( 0<m≤n),按照一定的顺序排成一 列,叫做从n个元素中取出m个元素的 一个排列。
组合
关系
排列与组合的区别在于是否考虑顺序 。排列考虑顺序,组合不考虑顺序。
从n个不同元素中取出m个元素( 0<m≤n),不考虑顺序,叫做从n个 元素中取出m个元素的一个组合。
通过本章的学习,学生可以掌握组合数学的基本知识和方法,为后续的学习打下的基本概念和 原理,掌握其应用方法和技巧。
多做练习题,加深对组合数学的 理解和掌握,提高解题能力。
积极探索组合数学在实际生活中 的应用,培养数学思维和解决问
题的能力。
未来展望
随着科技的发展和社会的进步 ,组合数学的应用越来越广泛 ,涉及到计算机科学、信息论 、统计学等领域。

《组合与组合数公式》课件

《组合与组合数公式》课件

进阶练习题
题目4
在7个不同元素中取出5个 元素有多少种不同的取法 ?
题目5
从8个人中选出3个人来组 成一个小组,其中某个人 必须被选中,有多少种不 同的选法?
题目6
从10个不同的元素中取出 4个元素的组合数是多少?
答案解析
题目1答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的 选法。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质简化计算
通过组合数的性质,可以将复杂的组合数计算转化为简单的计算,例如利用性质 公式和递推公式简化计算。
解决实际问题
组合数在现实生活中有着广泛的应用,例如在概率论、统计学、计算机科学等领 域中都有涉及。通过掌握组合数的性质,可以更好地解决实际问题。
03
组合数公式的推导
题目2答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的组 合数。
题目3答案
$C_{4}^{2} = frac{4!}{2!2!} = 6$种不同的取法 。
题目4答案
$C_{7}^{5} = frac{7!}{5!2!} = 21$种不同的取法。
题目5答案
$C_{8}^{3} - C_{7}^{2} = 56 - 21 = 35$种不同 的选法。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质,包括组合数的 对称性、组合数的递推关系、组合数的性质 等。
详细描述
组合数具有对称性,即C(n, m) = C(n, nm),这意味着从n个不同元素中取出m个元 素和从n个不同元素中取出n-m个元素的方 式数量是相等的。此外,组合数还具有递推 关系,即C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1,

组合数学教案

组合数学教案

组合数学教案一、教学目标通过本节课的学习,学生应能够:1. 理解组合数学的基本概念和应用;2. 掌握计算排列和组合的方法;3.能够解决与组合数学相关的实际问题。

二、教学重点1. 排列和组合的概念;2. 计算排列和组合的方法;3. 实际问题的应用。

三、教学内容与方法1. 教学内容(1)排列的概念及计算方法(2)组合的概念及计算方法(3)排列与组合的实际应用2. 教学方法(1)讲授法:通过讲解组合数学的基本概念和计算方法,引导学生理解相关概念和方法;(2)示例法:通过实际问题的例子,引导学生运用所学知识解决实际问题;(3)讨论法:组织学生进行小组讨论,以增进彼此之间的交流和思维碰撞。

四、教学过程安排1. 引入:概述组合数学的基本概念和应用领域,激发学生对组合数学的兴趣。

2. 讲解排列的概念和计算方法:(1)定义排列的概念,介绍排列的基本性质;(2)示例讲解排列的计算方法,如何实际应用到问题中。

3. 讲解组合的概念和计算方法:(1)定义组合的概念,介绍组合的基本性质;(2)示例讲解组合的计算方法,如何实际应用到问题中。

4. 排列与组合的实际应用:(1)通过实际问题引导学生思考如何应用排列和组合的方法;(2)组织学生进行小组讨论,分享自己的解题思路和答案;(3)展示不同解题方法,引导学生思考优化解题思路。

五、教学评价与反馈1. 打造一个积极互动的学习氛围,鼓励学生提问和发表观点。

2. 通过学生小组讨论和展示,评价学生对排列和组合的理解和应用能力。

3. 给予学生及时的反馈和指导,帮助他们提高问题解决的能力。

六、课堂练习与作业布置1. 课堂练习:布置一定数量的排列和组合练习题,学生在课堂上个别完成,并相互讨论解题思路。

2. 作业布置:布置一定数量的排列和组合的作业题,要求学生认真完成,并按时上交。

七、教学反思本节课采用多种教学方法,充分调动学生的学习积极性和参与度,帮助学生理解和掌握组合数学的基本概念和计算方法。

高中数学_组合教学课件设计

高中数学_组合教学课件设计
= n!
n-m !
第30届夏季奥运会已于2012年7月在伦敦成功举 办.为了给中国男篮八名队员服务,现从中国医 护人员a,b,c三人中选取两名前去服务, 分别担 任正、副组长,有多少种不同选法?
问题一:从中国医护人员a,b,c三人中选取两名 前去服务,分别担任正、副组长, 有多少种不 同选法? 问题二:从中国医护人员a,b,c三人中选取两名
从中国医护人 员a,b,c三人 中选取两名 前去服务,有 多少种不同的 选法?
无 顺 序
组合
组合的定义
一般地说,从 n 个不同元素中,任取 m
(m≤n) 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素
中取出 m 个元素的
一个组合.
组合数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的 个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,
用符号 Cmn(C是英文字母Combination(组合)的第一
个字母)表示.
排列定义: 一般地,从n个不同元素中取出m
(m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列.
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m
(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元
并确定这3个城市的游览顺序,有多少种不同的
选法?
A43
问题一:
abc , abd , acd , bcd
问题二:从a.b.c.d 4个城市中选出三个旅
游,并确定这3个城市的游览顺序,有多少种
不同的选法?

求 A43可以分两步完成:

C 第一步,选取元素有
3 种方法;
4

A 第二步,排位置有 3种方法; 3

初中数学组合教案

初中数学组合教案

初中数学组合教案
教学目标:
1. 理解组合的概念,掌握组合的计算公式。

2. 能够运用组合知识解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点:
1. 组合的概念和计算公式。

2. 运用组合知识解决实际问题。

教学难点:
1. 理解组合的计算公式。

2. 灵活运用组合知识解决实际问题。

教学准备:
1. 教学课件或黑板。

2. 练习题。

教学过程:
一、导入(5分钟)
1. 引入组合的概念,让学生举例说明生活中常见的组合现象。

2. 引导学生思考组合的计算方法。

二、新课讲解(15分钟)
1. 讲解组合的定义和计算公式。

2. 通过例题讲解组合的计算方法。

3. 引导学生总结组合的计算规律。

三、课堂练习(15分钟)
1. 让学生独立完成练习题,巩固组合的知识。

2. 讲解练习题的答案,解析解题思路。

四、应用拓展(10分钟)
1. 让学生运用组合的知识解决实际问题。

2. 引导学生思考组合知识在其他学科中的应用。

五、总结(5分钟)
1. 回顾本节课所学的内容,让学生总结组合的概念和计算方法。

2. 强调组合知识在实际生活中的重要性。

教学反思:
本节课通过讲解组合的概念和计算公式,让学生掌握了组合的计算方法,并能够运用组合知识解决实际问题。

在教学过程中,注意引导学生思考组合知识在其他学科中的应用,培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

同时,通过课堂练习和应用拓展环节,巩固了组合的知识,提高了学生的学习效果。

组合数学课件-第一章:排列与组合

组合数学课件-第一章:排列与组合

积分性质
若G(x)是母函数,则它的不定积分∫G(x)dx (其中C为常数)也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数,则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)(k1和k2是 常数)也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数,则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数,则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m),即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m),即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1,即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数,求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数(1至6)中取4个数的组合数,即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中,各位数字之和等于10的三位数有 多少个?
解析
此问题可转化为从9个数字(1至9)中取3个数字的组合 数,即C(9,3),然后考虑三个数字的全排列,即3!,因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘,即C(n,m)=A(n,m)/m!。 因此,在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r),其中C表示组合数。
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P(9,5) 4 2 P(7,3) 15120 1680 13440
§1.2 圆排列
§1.2 排列
1.2.2 圆排列
定义 1.2 定理 1.2
设A={an} ,从A中取r个(0≤r≤n)元素按 某种顺序(如逆时针)排成一个圆圈, 称为圆排列(循环排列)。 设A={an},A的r圆排列个数为Pi是第i类奖品的集合 (i=1,2,3),显然,Si∩Sj=Φ (i≠j) ,根据加法法则有
|S|
3 i 1
Si |S1 ||S2 ||S3 | 3 4 2 9
§1.1 加法法则例2、3 §1.1 加法法则和乘法法则
1.1.1 加法法则
相关课程
使用教材
《数学分析》《高等代数》《离散数学》
书名:组合数学(第三版)
目录(1)

引言 第1章 排列与组合
1.1 加法法则和乘法法则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式及其含义 1.6 模型转换 本章小结 习题

习题
第3章 容斥原理
3.1 容斥原理 3.2 重集r-组合 3.3 错排问题 3.4 有限制排列 3.5* 一般有限制排列 3.6* 广义容斥原理 本章小结 习题
§1.1 重集的概念
§1.1 加法法则和乘法法则
重集的概念
1.1.3 计数问题的分类
• 有序安排或有序选择 ——允许重复/不允许重复 • 无序安排或无序选择 ——允许重复/不允许重复
• 标准集的特性:确定、无序、 相异等。 • 重集:B={k *b , k *b ,…,
1 1 2 2
kn*bn},其中:bi为n个互不相 同的元素,称 ki为bi的重数, i=1,2,…,n,n=1,2,…,∞, ki=1,2,…,∞。
§1.2 排列 1.2.1 线排列
例 题
§1.2 线排列例3
例 3 、有多少个 5 位数,每位数字都 不相同,不能取0,且数字7和9不能 相邻?
解:由于所有的5位数字互不相同,且不能取0,故每一 个 5 位数就是集合 {1,2,…,9} 的一个 5- 排列,其排列数为 P(9,5) ,其中 7 和 9 相邻的排列数为 [c(7,3)4!2]4×2×P(7,3) , 满足题目要求的5位数个数为
§1.2 线排列推论 § 1.2 排列 1
1.2.1 线排列
两个推论
推论1.1.1:如n, r∈N且n≥r≥2,则 P(n,r)=n×P(n-1,r-1) 。
证明:在集合 A 的 n 个元素中,任一个元素都可以排在 它的r−排列首位,故首位有 n种取法;首位取定后,其 他位置的元素正好是从 A 的另 n-1 个元素中取 r-1 个的排 列,因此有P(n-1,r-1)种取法。由乘法法则有 P(n,r)=n×P(n-1,r-1) 证毕。
m i 1 m
设S是有限集合,若 S i S , S
时, Si
S j ,则有 S
m i 1
S i,且 i j
Si Si
i 1

§1.1 加法法则例1 §1.1 加法法则和乘法法则
1.1.1 加法法则
例 题
例1、有一所学校给一名物理竞赛优胜 者发奖,奖品有三类,第一类是三种 不同版本的法汉词典;第二类是四种 不同类型的物理参考书;第三类是二 种不同的奖杯。这位优胜者只能挑选 一样奖品。那么,这位优胜者挑选奖 品的方法有多少种?
证明:由于把一个圆排列旋转所得到另一个圆排列视为 相同的圆排列,因此线排列 a1a2…ar , a2a3…ara1 , … ara1a2…ar-1 在圆排列中是一个,即一个圆排列可产生 r 个不同的线排列;同理, r个不同的线排列对应一个圆 排列。而总共有P(n,r)个线排列,故圆排列的个数为 P(n,r)/r= n!/(r×(n-r)!) 证毕。
注:加*的章节一般性了解

发展历史 涵盖内容

学习目的 学习方法
• 古老 • 年轻
• 存在性问题 • 科学的组织 • 练习 • 计数和枚举 • 科学的推理 • 思考总结 • 优化问题 • 笔记 • 构造性问题
组合数学研究的中心问题是按照一定的规 则来安排有限多个对象
• 如果人们想把有限多个对象按照它们所应满足的条 件来进行安排,当符合要求的安排并非显然存在或显 然不存在时,首要的问题就是要证明或者否定它的存 在。这就是存在性问题。如果所要求的安排存在,则 可能有多种不同的安排,这又经常给人们提出这样的 问题:有多少种可能的安排方案?如何对安排的方案 进行分类?这就是计数问题。如果一个组合问题有解, 则往往需要给出求其某一特定解的算法,这就是所谓 的构造性问题。如果算法很多,就需要在一定的条件 下找出一个或者几个最优或近乎最优的安排方案,这 就是优化问题。
解:设S是所求的道路数集合,S1、 S2、S3分别是从A到 B、从B到C、从C到D的道路集合,根据乘法法则有
|S | |S1 ||S 2 ||S 3 | 2 4 3 24
§1.1 乘法法则例5
§1.1 加法法则和乘法法则
1.1.2 乘法法则 例5、由数字1,2,3,4,5可以构成多少个
例 题
所有数字互不相同的四位偶数?
解:所求的是四位偶数,故个位只能选2或4,有两种选 择方法;又由于要求四位数字互不相同,故个位选中后, 十位只有四种选择方法;同理,百位、千位分别有三种、 两种选择方法,根据乘法法则,四位数互不相同的偶数 个数为 2×4×3×2=48
§1.1 乘法法则例6
§1.1 加法法则和乘法法则
例 题
例2、大于 0小于 10的奇偶数 有多少个?
解:设S是符合条件数的集合,S1、S2分别是符合条件的 奇数、偶数集合,显然,S1∩S2=Φ ,根据加法法则有
|S | |S1 ||S 2 | 5 4 9
例 3 、小于 20 可被 2 或 3 整除的自然 数有多少个?
§1.1 乘法法则 §1.1 加法法则和乘法法则
§1.2 线排列推论 § 1.2 排列 2
推论1.1.1:如n, r∈N且n≥r≥2,则 两个推论 P(n,r)=n×P(n-1,r-1) 。 推论1.1.2:如n, r∈N且n≥r≥2,则 P(n,r)= r×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 。 证明:当r≥2时,把集合A的r−排列分为两大类:一类包含 A中的某个固定元素,不妨设为 a1,另一类不包含 a1 。第 一类排列相当于先从 A-{a1} 中取 r-1 个元素进行排列,有 P(n-1,r-1)种取法,再将a1放入每一个上述排列中,对任一 排列, a1 都有 r 种放法。由乘法法则,第一类排列共有 r×P(n-1,r-1) 个。第二类排列实质上是 A-{a1} 的 r− 排列,共 有P(n-1,r)个。再由加法法则有 P(n,r)= r×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 证毕。
例6、求出从8个计算机系的学生、 9 个数学系的学生和10个经济系的学生 中选出两个不同专业的学生的方法数。
1.1.2 乘法法则
例 题
解:由乘法法则有 选一个计算机系和一个数学系的方法数为8×9=72 选一个数学系和一个经济系的方法数为9×10=90 选一个经济系和一个计算机系的方法数为10×8=80 由加法法则,符合要求的方法数为 72+90+80=242
第1章 排列与组合
本章重点介绍以下的基本计数方法:
• 加法法则和乘法法则 • 排列 • 组合 • 二项式定理的应用 • 组合恒等式
1.1 加法法则 §1.1 § 加法法则和乘法法则
1.1.1 加法法则
加法法则
集合论定义
相互独立的事件 A、B 分别有 k 和 l 种方法产生,则产生 A 或 B 的方 法数为 k+l 种。 若|A|=k,|B|=l ,且A∩B=Φ , 则|A∪B| = k+l 。
第5章 递推关系
5.1 递推关系的建立 5.2 常系数线性齐次递推关系 5.3 常系数线性非齐次递推关系 5.4 迭代法与归纳法 5.5 母函数在递推关系中的应用 5.6* 典型的递推关系 本章小结 习题
********************** 课程总结
第6章 Pó lya定理
6.1 群的概念 6.2 置换群 6.3 循环、奇循环与偶循环
第2章 鸽笼原理
2.1 鸽笼原理 2.2 鸽笼原理的推广 2.3 Ramsey定理 本章小结
第4章 母函数
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 母函数的基本概念 母函数的基本运算 在排列组合中的应用 整数的拆分 Ferrers图
目录(2) 4.6* 在组合恒等式中的应用 本章小结 习题 6.4 Burnside引理 6.5 Pó lya定理 6.6 Pó lya定理的应用 6.7 母函数形式的Pó lya定理 6.8* 图的计数 6.9* Pó lya定理的若干推广 本章小结 习题
组合数学课件
课程简介
本课程针对计算机科学中的一个重要学科 ——组合数学, 组合数学是数学的一个分支,它研究事物在结定模式下的配 置,研究这种配置的存在性,所有可能配置的计数和分类以 及配置的各种性质。组合数学在计算机科学中有着极其广泛 的应用。 组合学问题求解方法层出不穷、干变万化,应以理解为 基础,善于总结各种技巧,掌握科学的组织和推理方法。
1.2.1 线排列
§1.2 排列 1.2.1 线排列
例 题
§1.2 线排列例1
例 1 、由数字 1,2,3,4,5 可以构成多 少个所有数字互不相同的四位数?
解:由于所有的四位数字互不相同,故每一个四位数就 是集合 {1,2,3,4,5} 的一个 4− 排列,因而所求的四位数个 数为 5! P (5, 4) 120 (5 4)!
§ 1.2 线排列例 § 1.2 排列 2
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