10-2 平面简谐波的波函数(大学物理)
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10-02 平面简谐波的波函数
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1)以 A 为坐标原点,写出波动方程 ) 为坐标原点,
A = 3×10 m T = 0.5s = 0
2
2
λ = uT = 10 m
x y = (3 × 10 ) cos(4π t )m 5
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
2)以 B 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道 点的振动方程) ) 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道B点的振动方程 点的振动方程)
( 0 .01cm -1 ) x 2 ] = 2 π
λ = x2 x1 = 200 cm
周期为相位传播一个波长所需的时间 周期为相位传播一个波长所需的时间
π [(2.50s-1 )t1 (0.01cm-1 ) x1 ] = π [(2.50s-1 )t2 (0.01cm-1 ) x2 ]
x2 x1 = λ = 200 cm
第十章 波动
y(x,t) = Acos(ωt kx +)
质元的振动速度, 质元的振动速度,加速度
t x y(x,t) = Acos[2 π( ) +] T λ
角波数
k= 2π
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u 2 y x 2 a = 2 = ω Acos[ω(t ) +] t u
y = A cos(ω t
O
2π
t=0 x=0
y ω
λ
x +)
π = 2
A
y y = 0, v = >0 t
t x π y = (1 . 0 m) cos[ 2 π ( ) ] 2.0s 2.0 m 2
10-2平面简谐波函数
y
0.1m
t t0
u x
o
y0 0.1cos(t )
解:
ห้องสมุดไป่ตู้
y0 0.1cos(t )
2
t 0
2
y
t 0
y0 0.1 cos[ (t t0 )
0.1m
t t0
2
]
u
t t0
A o
2
o x
x
x y ( x, t ) 0.1cos[ (t t0 ) ] u 2
推广至三维空间
2 2 2
2
——波函数
2
1 2 2 2 2 2 x y z u t
任何物理量 ，不管是力学量、电学量、热 普遍 意义 学量或其它的量，只要它与时间和坐标的关 系满足上述方程，这一物理量就以波的形式 传播，而偏导数 2 t 2的系数的倒数的平 方根就是这种波的传播速度。
u
M
o
x t 0 2
x
x
点P在 t 时刻的位移为
y P A cos[ t 0 2
x
]
沿OX轴正向传播的平面简谐波的波函数
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
沿OX轴负向传播的平面简谐波的波函数
y
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
*§10.2 平面简谐波的波函数
平面简谐波：在均匀、无吸收的介质中，当波 源作简谐振动时，在介质中所形成的平面波。 一、波的表达式（波函数）
数学上如何描述简谐波？？
10-02 平面简谐波的波函数(26)
y = (5cm) cosπ [(2.50s )t − (0.01cm ) x].
-1
(0)
解法一：比较系数法； 解法一：比较系数法；
t x ∵ y = A cos 2 π ( − ) T λ
(1)
2.50 -1 0.01 -1 s )t − ( cm ) x] (2) (0)式改写成： = (5cm) cos 2π [( 式改写成： 式改写成 y 2 2 T = 0.8 s (1)、(2)比较得： 比较得： 、 比较得
λ = 200 cm
u=
(3)
λ
T
= 250 cm ⋅ s −1
10 – 2 平面简谐波的波函数 解法二 由各物理量的定义确定； 解法二：由各物理量的定义确定；
第十章 波动
波长： 的两点间距: 波长：时刻 t 波线上相位差为 2π 的两点间距 周期：相位传播一个波长所需时间间隔； 周期：相位传播一个波长所需时间间隔； 波速：单位时间内某一振动状态传播的距离； 波速：单位时间内某一振动状态传播的距离； 于是有： 于是有：
第十章 波动
2.以 B 为坐标原点写出波动方程 以 为坐标原点写出波动方程: 分析： 点振动已知 点振动已知， 点振动可知， 分析： A点振动已知，故 B点振动可知，由振动 点振动可知 方程出发可求解； 点为坐标源点则有： 方程出发可求解；选 B点为坐标源点则有： 点为坐标源点则有
∵ y A = (3 × 10 m ) cos( 4 π s )t xB − xA −5 ϕB −ϕA = −2π = −2π = π ⇒ ϕ B = π λ 10 ∴ y B = (3 × 10 −2 m) cos[( 4 π s −1 )t + π ]
x x ∆ ϕ = −ω = − 2 π u λ
10-2平面简谐波的波函数
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动t 落Δ后t 时刻t 的ux,位P移点，在由t此时得刻的位移是O点在
y A
u
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo
(t
t)
A cos[ (t
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解从形式上看：波动是波形的传播.
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
大学物理 §§1100--22 平平面简面谐波简的谐波函波数 的波函数
一 平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振
动 y 随时间 t 变化的表达式。 y Acos[(t x) ]
u
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y A
u
P
uu
Acos[(t x ) ( x0 )]
理学u院 物理u系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
例4 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
第10章 波动2 平面简谐波的波函数PPT课件
yOAco（ s t＋O ） yPAco（ s t＋P ）
t x u
yP tx yO t0 u
Aco（ s u x＋ P） =Aco（ s O ）
x u
＋P
=O
P
=O
x u
3
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
P
=O
x u
yPAco（ st＋ P ）
点P 振动方程 yPAcos[(tux)＋O]4
u
T
1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动
方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
x2πx
u
λ
y(x,t)y(x,t T )（波具有时间的周期性）
8
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
波线上各点的简谐运动图
9
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
y A co ( t s x ) [] A c2 o π (ts x [ )]
第十章 机械波
3 若 x,t 均变化，波函数表示波形沿传播方
向的运动情况（行波）.
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
yAco2sπ(Tt x) ( t,x )( t t,x x )
2 π(T t x)2 π(t T t
11
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
➢ 波函数
A y u
P
Ox*
yAcos(tx)
u
点 O 振动方程
x
yoAcots
x0,0
A
相位落后法
10-02 平面简谐波的波函数
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ = 2π ∆x
∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π
x2 − x1
λ
= 2π
∆x21
λ
λ
9
10– 10 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 均变化， 向的运动情况（行波） 向的运动情况（行波）.
y
O
u
t
t + ∆t 时刻 时刻 p Q
x2 − x1 u= = 250 cm ⋅ s −1 t 2 − t1
19
第十章 波动 10– 10 2 平面简谐波的波函数 轴正方向传播， 例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A = 1.0m ， = 2 . 0 s ， = 2.0m . 在 t = 0 时坐标 T λ 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 1）波动方程 ） 解 写出波动方程的标准式
Y u=0.08m/s P . 0.02
yo = Acos(ω t +ϕ)
ϕ =− π
2
X
-0.04
λ = 0.04 A = 0.04
1 ∴T = = u 2
u = 0.08
λ
3π x π ) y = 0.04cos[4π (t − ) − ] (m) yP = 0.04cos(4πt − 2 )(m16 0.08 2
13
10– 10 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
讨论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 ）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和 x = 0 点的初相位. 点的初相位
2）平面简谐波的波函数为 y = A cos( Bt − Cx ) ） 为正常数，求波长、波速、 式中 A , B , C 为正常数，求波长、波速、波传播方 的两点间的相位差. 向上相距为 d 的两点间的相位差
§10.2 平面简谐波方程
（波具有空间的周期性）
动画演示
二、平面简谐波方程的物理意义
3 若 x,t 均变化，波函数表示波形沿传播方
向的运动情况（行波）.
y
u
t1 时刻
t1 t 时刻
O
x
u/T v/k
x
(k 2 / )
三、平面简谐波方程的多种表示形式
y Acos[ (t
x u
)
0
]
振动方程为: yP Acos(t 0 )
则平面简谐波方程为:
y
A cos[ (t
x
x0 u
)
0 ]
二、平面简谐波方程的物理意义
y
A cos[ (t
x u
)
0 ]
1.如果 x = x0
y
波函数变为
t T
y(x0
,t)
Acos[(t
x0 u
)
0
]
表示x0点的简谐振动规律（独舞）。
x) u
0
]
2 y t 2
A
2
cos[ ( t
x) u
0
]
2 y x 2
2
A u2
cos[ ( t
x u
)
0
]
波动方程:
2 y t 2
u2
2 y x 2
习题类型
1）已知波动方程，求波长、频率、波速。
2）已知某点振动状态，求波函数、某点 的振动方程。
y(x0,t) y(x0,t T ) （波具有时间的周期性）
动画演示
10-2-平面简谐波的波函数
-1
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1
第五版
为坐标原点， (1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程 )
A = 3 ×10−2 m T = 0.5 s ϕ = 0
λ = uT = 10 m
t x y = A cos[ 2π ( − ) + ϕ ] T λ t x −2 y = (3 × 10 m ) cos 2 π ( − ) 0 .5 s 10 m
λ = 10 m
xC − xD
λ
− 22 = −2π = 4.4π 10
9m
u
8m C B 5m
λ = 10 m
波沿 x 轴正向传播
第十章 波动
14
物理学
1010-2 平面简谐波的波函数
第五版
轴正方向传播， 例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A = 1.0 m， = 2 .0 s， = 2.0 m. 在 t = 0 T λ 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 ( )波动方程； ) 波形图； 运动. 运动 求： 1)波动方程；(2)t = 1 . 0 s波形图； (3) x = 0.5 m 处质点的振动规律并作图 处质点的振动规律并作图. ) 解 (1) 写出波动方程的标准式 )
1010-2 平面简谐波的波函数
第五版
点 D 的相位落后于点 A AD −2 ] y D = (3 ×10 m)cos[(4πt ) − 2π λ 9 −2 = (3 × 10 m ) cos[( 4 π t ) − π ] 5
λ = 10 m
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
物理学
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1
第五版
为坐标原点， (1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程 )
A = 3 ×10−2 m T = 0.5 s ϕ = 0
λ = uT = 10 m
t x y = A cos[ 2π ( − ) + ϕ ] T λ t x −2 y = (3 × 10 m ) cos 2 π ( − ) 0 .5 s 10 m
λ = 10 m
xC − xD
λ
− 22 = −2π = 4.4π 10
9m
u
8m C B 5m
λ = 10 m
波沿 x 轴正向传播
第十章 波动
14
物理学
1010-2 平面简谐波的波函数
第五版
轴正方向传播， 例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A = 1.0 m， = 2 .0 s， = 2.0 m. 在 t = 0 T λ 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 ( )波动方程； ) 波形图； 运动. 运动 求： 1)波动方程；(2)t = 1 . 0 s波形图； (3) x = 0.5 m 处质点的振动规律并作图 处质点的振动规律并作图. ) 解 (1) 写出波动方程的标准式 )
1010-2 平面简谐波的波函数
第五版
点 D 的相位落后于点 A AD −2 ] y D = (3 ×10 m)cos[(4πt ) − 2π λ 9 −2 = (3 × 10 m ) cos[( 4 π t ) − π ] 5
λ = 10 m
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
物理学
10-02 平面简谐波的波函数
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ = 2π ∆x
∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π
x2 − x1
λ
= 2π
∆x21
λ
λ
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
x t x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[2 π( − ) + ϕ ] u T λ
3. 若x和t两个都变化时，波方程就表示了波线上 两个都变化时， 和 两个都变化时 所有质点在各个不同时刻的位移分布情况。 所有质点在各个不同时刻的位移分布情况。 形象地说， 形象地说，在这个波动方程中包括了无数个不 同时刻的波形。随着t的增加波的表达式就描述 同时刻的波形。随着 的增加波的表达式就描述 波形沿传播方向的运动情况。 了波形沿传播方向的运动情况。
y = y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置 平衡位置
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 平面简谐波的波方程 （1）导出波方程的思路 ） 已知波源的振动方程，当振动传到各质元时， ◆ 已知波源的振动方程，当振动传到各质元时，各 质元都以相同的振幅、 频率来重复波源的振动。 质元都以相同的振幅、 频率来重复波源的振动。 波源的振动状态以某一速度先后传播到各个质元， ◆ 波源的振动状态以某一速度先后传播到各个质元， 沿波的传播方向上的各质元振动的相位依次落后。 沿波的传播方向上的各质元振动的相位依次落后。 （2）导出波方程步骤 ） 选定坐标并明确波的传播方向。 ◆ 选定坐标并明确波的传播方向。 给出波的传播方向上某点(参考点 波源)的振动方 参考点、 ◆ 给出波的传播方向上某点 参考点、波源 的振动方 程。 比较位于x处的任一点和参考点相位的超前和落后 ◆ 比较位于 处的任一点和参考点相位的超前和落后 关系，由参考点的振动表达式即可得出波的表达式。 关系，由参考点的振动表达式即可得出波的表达式。
10-2 平面简谐波的波函数
1010-2 平面简谐波的波函数
波线上各 点的简谐 运动图
5
2πx y = Acosωt − +ϕ λ
1010-2 平面简谐波的波函数
2 t 一定 x变化 变化 表示t时刻波上各质点的位移 时刻波上各质点的位移, 时刻的波形（ 曲线 曲线） 表示 时刻波上各质点的位移 即t时刻的波形（y-x曲线） 时刻的波形 y o x
−2
D为原点的波动方程为 为原点的波动方程为
x 9π π 9 −2 yDW = 3×10 cos[4 π(t − ) − ] = 3×10 cos(4 πt − x − π) 20 5 5 5
−2
λ = 10 m
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
y
3 4 1.0
y/m
3 *
4 2 * 1.0 * 2.0 * t / s 0 O 2 * -1.0*1 1 ω x = 0 .5 m 处质点的振动曲线
10
1010-2 平面简谐波的波函数 沿直线传播， 例2 一平面简谐波以速度 u = 20 m⋅ s-1 沿直线传播， 波线上点 A 的简谐运动方 程 yA = 3×10−2 cos(4 πt)
18
1010-2 平面简谐波的波函数
y1 = Acos(100πt −15.5π ) y2 = Acos(100πt −5.5π )
Qt = 0, x = 0 y = 0 v > 0
π ∴ϕ = − 2 t x π y = cos[2π( − ) − ] (m ) 2.0 2.0 2
O
v A
y ω
8
1010-2 平面简谐波的波函数 (2)求t=1.0 s 波形图 )
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波是一种特殊的波形，它的波函数表达式可以用以下公式表示：
y = A sin(ωt + φ)
其中，y表示波的振幅，A表示最大振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
平面简谐波是一种具有周期性的波形，它的周期T可以用以下公式计算：
T = 2π/ω
角频率ω是一个常数，它表示单位时间内波形的变化次数。
因此，角
频率越大，波形变化的速度就越快，周期就越短。
初相位φ是一个常数，它表示波形在t=0时的相位。
不同的初相位会导致波形的相位差异，从而产生不同的波形。
平面简谐波的波函数表达式可以用于描述许多物理现象，例如声波、
电磁波等。
在声学中，平面简谐波可以用于描述声音的振动，而在电磁学中，平面简谐波可以用于描述电磁场的振动。
平面简谐波的振幅和角频率是两个重要的参数，它们可以影响波形的形状和特性。
振幅越大，波形的振动幅度就越大，而角频率越大，波形的变化速度就越快。
平面简谐波还具有一些重要的性质，例如叠加原理和相位差。
叠加原理指出，当两个或多个平面简谐波叠加在一起时，它们的振幅可以相加，从而形成一个新的波形。
相位差指出，当两个平面简谐波的相位差为0时，它们的振幅可以相加，而当相位差为π时，它们的振幅可以相消。
总之，平面简谐波是一种重要的波形，它的波函数表达式可以用于描述许多物理现象。
了解平面简谐波的特性和性质，可以帮助我们更好地理解和应用它们。
大学本科大学物理第5次课 波函数
os2π
t T
x
A c ost
2πx
第十章 波动
5
物理学
第五版
10-6 多普勒效应
波函数
y Acos[(t x) ]
u
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 y t 2
2
A cos[ (t
x) u
]
第十章 波动
6
物理学
第五版
10-6 多普勒效应
二 波函数的物理含义
y
y/m
3
3
1.0
*
4O
2
0 2* 1.0 *4 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
第十章 波动
16
物理学
第五版
10-6 多普勒效应
例2 一平面简谐波以速度u 20 m s-1
沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
yu
O
x
第十章 波动
10
物理学
第五版
10-6 多普勒效应
4 沿 x轴方向传播的波动方程
如图，设 O 点振动方程为
yO A cost
P点振动比O点超前了 Δt x u
y
u
A
P
x
O
x
A
第十章 波动
11
物理学
第五版
10-6 多普勒效应
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo (t
t)
A c os [ (t
点C 的相位比点A 超前
波函数
x P 点振动比O点超前了 Δt u
A
y
O
u
P x
x
A
第十章 波动
11
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
故P点的振动方程（波动方程）为：
x y yo (t t ) A cos[ (t ) ] u
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播.
(3) x 0.5 m 处质点的振动规律并作图. 解 (1) 写出波动方程的标准式 t x y A cos[ 2π ( ) ] T
第十章 波动
13
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
t x y A cos[ 2π ( ) ] T
t 0 x0
π y y 0, v 0 2 t t x π y cos[ 2 π ( ) ] (m) 2.0 2.0 2
2 1
2
1
AC
]
410 πs u y A (3 10 m) cos( m )t 8m 5m 9m
C B
2
1
oA
D
x
20
第十章 波动
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
点 D 的相位落后于点 A
AD y D (3 10 m)cos[4 s ]t 2 λ 9 2 1 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π] 5
y
o
第十章 波动
x
9
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
A
y
O
u
P x
x
A
第十章 波动
11
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
故P点的振动方程（波动方程）为：
x y yo (t t ) A cos[ (t ) ] u
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播.
(3) x 0.5 m 处质点的振动规律并作图. 解 (1) 写出波动方程的标准式 t x y A cos[ 2π ( ) ] T
第十章 波动
13
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
t x y A cos[ 2π ( ) ] T
t 0 x0
π y y 0, v 0 2 t t x π y cos[ 2 π ( ) ] (m) 2.0 2.0 2
2 1
2
1
AC
]
410 πs u y A (3 10 m) cos( m )t 8m 5m 9m
C B
2
1
oA
D
x
20
第十章 波动
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
点 D 的相位落后于点 A
AD y D (3 10 m)cos[4 s ]t 2 λ 9 2 1 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π] 5
y
o
第十章 波动
x
9
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
平面简谐波的波函数
解 确定坐标原点的 Y
振动初相0
A
由图知：t=0时， A/2
u=100m /s
x=0处的质点位于
0
1
X(
A/2处 且向位移正方向运动
-A
m)
由图知：t=0时， x=1m处的质点位于平 衡位置处且向位移负方
向运动
第十章 波动
21
物理学
第五版
0
π 3
,
2.4m,
u 100(m/s)
T /u 0.024s
在 理学
第五版
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第十章 波动
6
物理学
第五版
波函数的几种常用形式
第十章 波动
7
物理学
第五版
演示实验安排
周三 第3节 7班 第4节 8班
第十章 波动
8
物理学
第五版
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
解
确定坐标原点的振动初相0
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章 波动
18
物第理五例版学 4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播. 图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方 程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0
t/s
t=5s时质点第一次回到平
第十章 波动
28
物理学
第五版
(1/4) 2A2
o
EP Ek
Y
WpWk x = x0
Tt
y
第十章 波动
t
大学物理 平面简谐波的波函数
17
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
C
8m
y A 310 cos( 4 π t )m 10m 5m 9m
B
2
oA
D
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
cos( 4 π t 2 π )m 13 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5 点 D 的相位落后于点 A AD 2 y D 3 10 cos( 4 π t 2 π )m 9 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5
4
波动方程的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ y( x, t ) A cos(t kx )
质点的振动速度，加速度 角波数 k 2 π
(wave number)
y x v A sin[ (t ) ] t u
分析：
2 3 ( D) 2
( B)
,
由波形图可判定O点在该时刻的振动方向竖直向 上（如图示）
A x
3 由旋转矢量图可知此时的相位为 2
23
3.在下面几种说法中,正确的说法是: （C）
(A)波源不动时,波源的振动周期与波动的周期在数 值上是不同的。 (B)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相超前。 (C)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相滞后。 (D) 波源的振动速度与波速相同。
在t＝1／v时刻：
1 v | x x2 2A sin 2 (1 ) 2A 4
即速度比为-1。
3 v | x x1 2A sin 2 (1 ) 2A 4
平面简谐波的波动方程三种形式
一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。
简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。
二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。
它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。
2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。
复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。
四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。
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u
8m C B 5m 9m D
oA
x
16
第十章 波动
物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
为坐标原点, (1) 以 A 为坐标原点,写出波动方程 )
A = 3 ×102 m T = 0.5 s = 0
λ = uT = 10 m
t x y = A cos[ 2π ( ) + ] T λ t x 2 y = (3 × 10 m ) cos 2 π ( ) 0 .5 s 10 m
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
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第十章 波动
物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
为坐标原点, (2) 以 B 为坐标原点,写出波动方程 )
y A = (3 × 10 m ) cos( 4 π s )t xB x A 5 B A = 2π = 2π =π λ 10
2
1
B =π
C B
2
1
oA
D
x
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第十章 波动
物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
(4)分别求出 BC ,CD 两点间的相位差 )
y A = (3 ×10 m) cos(4 π s )t xB xC 8 B C = 2π = 2π = 1.6π λ 10
2
1
C D = 2π
λ = 10 m
t x y = (3 ×10 m) cos[2π ( ) +π ] 0.5s 10m
2
y B = (3 × 10 2 m) cos[(4π s 1 )t + π ]
u
8m C 5m A 9m D
oB
x
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第十章 波动
物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
(3) 写出传播方向上点 ,D的运动方程 ) 写出传播方向上点C 的运动方程 的相位比点A 点C 的相位比点 超前
y
o
第十章 波动
x
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物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
3 x, t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移, 方程表示在不同时刻各质点的位移, 即不同时刻的波形,体现了波的传播. 即不同时刻的波形,体现了波的传播
y
O
u
x
第十章 波动
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物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
4 沿 x轴方向传播的波动方程 如图, 如图,设 O 点振动方程为
yO = Acos(ωt +)
x P 点振动比O点超前了 t = u
y
A
u
P x
x
A
O
第十章 波动
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物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程(波动方程)为: 点的振动方程(波动方程)
x y = yo (t + t) = Acos[ω(t + ) +] u
对波动方程的各种形式, 应着重从 对波动方程的各种形式 , 物理意义上去理解和把握. 物理意义上去理解和把握 从实质上看:波动是振动的传播 从实质上看:波动是振动的传播. 从形式上看:波动是波形的传播 从形式上看:波动是波形的传播.
第十章 波动
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物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
2π = 2πν 和 λ = uT 利用 ω = T 可得波动方程的几种不同形式: 可得波动方程的几种不同形式:
x y = Acosωt + u t x = Acos2π + T λ 2πx = Acosωt + λ
5
物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
二 波函数的物理含义
1 x一定, 变化 一定, t 令 ′ =
2πx + y = Acosωt λ
2π
λ
x +
y
O
则 y = Acos(ωt +′)
t
表示 x点处质点的振动方程( y — t 的关系) 点处质点的振动方程( 的关系)
y ( x , t ) = y ( x , t + T ) (波具有时间的周期性) 波具有时间的周期性)
yC = (3 × 10 m ) cos[( 4 π s )t + 2 π
13 = (3 × 10 m ) cos[( 4 π s )t + π ] 5
2 1
2
1
AC
λ
]
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
C B
2
1
oA
D
x
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第十章 波动
物理学
u 时刻的位移, t t 时刻的位移,由此得
y
A
u
P
x
A
O
x
第十章 波动
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物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
yP = yO (t t) = Acos[ω(t t ) + φ]
x = Acosωt + u
由于 P 为波传播方向上任一点,因此上 为波传播方向上任一点, 述方程能描述波传播方向上任一点的振动, 述方程能描述波传播方向上任一点的振动, 具有一般意义,即为沿 x 轴正方向传播的平 具有一般意义, 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数,又称波动方程. 面简谐波的波函数,又称波动方程
O
A
y ω
第十章 波动
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物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
(2)求 t = 1 . 0 s 波形图 ) t x π y = 1 .0 cos[ 2 π ( ) ] 2 .0 2 .0 2 π y = (1 . 0 ) cos[ π x ] 2 t = 1 .0 s = sin πx (m) 波形方程
第十章 波动
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物理学
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1010-2 平面简谐波的波函数
波函数
x y = A cos[ω (t ) + ] u
质点的振动速度, 质点的振动速度,加速度
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u 2 y x 2 a = 2 = ω Acos[ω(t ) +] t u
第十章 波动
第十章 波动
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物理学
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1010-2 平面简谐波的波函数
波线上各点的简谐运动图
第十章 波动
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1010-2 平面简谐波的波函数
2πx + 2 t一定 x变化 y = Acosωt λ (定值) 令 ′′ = ωt + = C 定值) 2πx +′′ 则 y = Acos λ 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 时刻的波形( 的关系) 的位移 即 t 时刻的波形(y — x的关系)
第十章 波动
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物理学
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1010-2 平面简谐波的波函数
轴正方向传播, 例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播, 已知振幅 A = 1.0 m, = 2 .0 s, = 2.0 m. 在 t = 0 T λ 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 ( )波动方程; ) 波形图; 运动. 运动 求: 1)波动方程;(2)t = 1 . 0 s波形图; (3) x = 0.5 m 处质点的振动规律并作图 处质点的振动规律并作图. ) 解 (1) 写出波动方程的标准式 )
物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
一
平面简谐波的波函数
轴正方向传播, 设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播, 波速为u,坐标原点 O处质点的振动方程为
yO = Acos(ωt +)
u
P
y
A
x
A
O
x
第十章 波动
1
物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
yO = Acos(ωt +)
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离 时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上P点(坐标 x), P点比 O点的振 坐标 , x 动落后t = , P 点在 t 时刻的位移是O点在
xC xD
λ
22 = 2π = 4.4π 10
9m
u
8m C B 5m
λ = 10 m
D
oA
x
21
第十章 波动
�
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
点 D 的相位落后于点 A
AD y D = (3 ×10 m)cos[4πs ]t 2π λ 9 2 1 = (3 × 10 m ) cos[( 4 π s )t π ] 5
2 -1
λ = 10 m
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
y/m
1.0
0
2.0
t = 1 .0 s
x/m
-1.0
时刻波形图
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第十章 波动
物理学
第五版
1010-2 平面简谐波的波函数
(3) x = 0 .5 m 处质点的振动规律并作图 ) t x π y = (1.0) cos[2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x = 0 .5 m 处质点的振动方程
y = cos[π t π ] (m)
y
3 4 1.0
y/m
3 *
4 2 * 1.0 * 2.0 * t / s 0 O 2 * -1.0*1 1 ω x = 0 .5 m 处质点的振动曲线