平面简谐波的波函数解读
合集下载
15-02_平面简谐波的波函数
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上所有质点 一定时，波函数表示该时刻波线上所有质点 相对其平衡位置的位移， 此刻的波形 相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
15 – 2 平面简谐波
考察某一时刻，距离波源 分别为 考察某一时刻，距离波源O分别为 x1和 x2 两点的相位差
x1 1 = ω (t ) + u x2 2 = ω (t ) + u ω 12 = 1 2 = ( x2 x1 ) u
15 – 2 平面简谐波 在均匀的、无吸收的介质中， 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时 在介质中所形成的波. 简谐运动时，在介质中所形成的波 复杂的波可以看成简谐波的叠加 复杂的波可以看成简谐波的叠加. 简谐波的叠加 平面简谐波：波面为平面的简谐波 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 简谐波 研究平面简谐波， 研究平面简谐波，只需要讨论与波阵面 平面简谐波 垂直的任一条波线上波的传播规律就可 以。
3 *
1
ω
1.0
4 *
2.0
*
*
t /s
x = 0.5 m 处质点的振动曲线
15 – 2 平面简谐波 沿直线传播,波 例3 一平面简谐波以速度u = 20m / s 沿直线传播 波 2 1 线上点 A 的简谐运动方程 y A = (3 × 10 m) cos(4 π s )t .
u
8m C B 5m 9m D
y( x, t ) = Acos(ωt kx + )
角波数 k =
2π
λ
15 – 2 平面简谐波 质点的振动速度， 质点的振动速度，加速度 振动速度
x y = A cos[ω ( t ) + ] u
x y v= = ωAsin[ω(t ) + ] u t
15 – 2 平面简谐波
考察某一时刻，距离波源 分别为 考察某一时刻，距离波源O分别为 x1和 x2 两点的相位差
x1 1 = ω (t ) + u x2 2 = ω (t ) + u ω 12 = 1 2 = ( x2 x1 ) u
15 – 2 平面简谐波 在均匀的、无吸收的介质中， 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时 在介质中所形成的波. 简谐运动时，在介质中所形成的波 复杂的波可以看成简谐波的叠加 复杂的波可以看成简谐波的叠加. 简谐波的叠加 平面简谐波：波面为平面的简谐波 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 简谐波 研究平面简谐波， 研究平面简谐波，只需要讨论与波阵面 平面简谐波 垂直的任一条波线上波的传播规律就可 以。
3 *
1
ω
1.0
4 *
2.0
*
*
t /s
x = 0.5 m 处质点的振动曲线
15 – 2 平面简谐波 沿直线传播,波 例3 一平面简谐波以速度u = 20m / s 沿直线传播 波 2 1 线上点 A 的简谐运动方程 y A = (3 × 10 m) cos(4 π s )t .
u
8m C B 5m 9m D
y( x, t ) = Acos(ωt kx + )
角波数 k =
2π
λ
15 – 2 平面简谐波 质点的振动速度， 质点的振动速度，加速度 振动速度
x y = A cos[ω ( t ) + ] u
x y v= = ωAsin[ω(t ) + ] u t
10-2平面简谐波的波函数
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动t 落Δ后t 时刻t 的ux,位P移点，在由t此时得刻的位移是O点在
y A
u
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo
(t
t)
A cos[ (t
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解从形式上看：波动是波形的传播.
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
大学物理 §§1100--22 平平面简面谐波简的谐波函波数 的波函数
一 平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振
动 y 随时间 t 变化的表达式。 y Acos[(t x) ]
u
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y A
u
P
uu
Acos[(t x ) ( x0 )]
理学u院 物理u系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
例4 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
6-2平面简谐波的波函数
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
1
各种不同的简谐波
合成 分解
复杂波
简谐波 1 简谐波 2
合成
复杂波
2
波源的振动方程
y A cos( t ) o 0
距波源为 x 处质点 P 的振动方程
x P 点的振动比振源落后一段时间 t u A cos[ ( t t ) ] P点的振动方程 y p 0
波函数的物理意义:
1. 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程.
d A cos t 例 x＝d（常数）时 y d 0 u
波函数变为距离波源为 d 处的质点的振动方程。
（波具有时间的周期性） y ( x , t ) y ( x , t T )
x t 0 u
在 x 处的质点在时刻 t 的相位
( u 0) x ut
即给定的相的位置随时间而改变，它的移动速度为
dx u dt
说明，波速 u也是相的传 播速度－又称为相速度.
7
波函数 二
x y A cos t W 0 u
波数等于在2π的长度内 含有“完整波”的数目。
y x v A sin[ ( t ) ] 0 t u 2 y x 2 a 2 A cos[ ( t ) ] 0 t u
6
波函数
相速度
x y A cos t W 0 u
y A cos( t )
——振动方程是时间 t 的函 数，描写一个质元的位移。
y
o
y f (t)
5-2平面简谐波的波动方程详解
u 沿 x 轴正向 u 沿 x 轴负向
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 平面简谐波波函数的其它形式
大学物理学 （第3版）
t y A cos[2 π( T
y A cos[2 t
y A cos[ 2
2 x
x ) 0 ] λ
0 ]
(ut x) 0 ] A cos[k (ut x) 0 ]
x y A cos (t ) (沿x轴负向传播) u
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 如果原点的
大学物理学 （第3版）
A
O
y
u
初相位不为零
x
x 0, 0 0 A
点 O 振动方程
y0 A cos(t 0 )
波 函 数
x y A cos[ (t ) 0 ] u x y A cos[ (t ) 0 ] u
2 y G 2 y 2 t x2 2 y E 2 y 2 t x 2
G为切变模量
固体内弹性平面纵波
E为杨氏模量
张紧柔软线绳上传播横波
2 y T 2 y 2 t x 2
T为线绳所受张力，为线密度:单位长度线绳的质量
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 2、波速 固体中弹性横波 固体中弹性纵波 张紧软绳中横波
x0 x0 2 π u λ
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
波线上各点的简谐运动图
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
平面简谐波的波函数
也可以通过相位差来进行推导，则P点的振动在相位上比O点落后，故P点的振动为
不
难验证，以上两个方程实际上是同一个振动的两个不同的表述。它们都表示的是波线上(坐标为x)的任一点处质点的振动方程，这正是我们希望得到的沿x轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
或
这是波动方程常用的形式。
3、振动曲线与波形曲线
为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个
三、平面简谐波的波动方程
下面我们通过对相位的分析给出平面简谐波的波动方程。如下图所示，设有一列平面简谐波沿x轴的正方向传播，波速为u。取任意一条波线为x轴，设O为x轴的原点。假定O点处(即x=0处)质点的振动方程为
推导波动方程用图
现在考察波线上任意一点P的振动，设该点的坐标为x。如上所述，P点和O点振动的振幅和频率相同，而P点振动的相位比O点落后。O点到P点的波程为x，则P点的振动在时间上比O点落后，故P点的振动为
11-2 平面简谐波的波函数
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
上页 下页 返回 退出
P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
上页 下页 返回 退出
2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x x
上页 下页 返回 退出
当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x1和x2表示，则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2 角波数
y
y
A cos(t
Aei
(t
mx u
)0
m2 x
i (t
Ae
0
mk ) u
)
上页 下页 返回 退出
波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A
cos
10-2-平面简谐波的波函数
-1
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1
第五版
为坐标原点， (1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程 )
A = 3 ×10−2 m T = 0.5 s ϕ = 0
λ = uT = 10 m
t x y = A cos[ 2π ( − ) + ϕ ] T λ t x −2 y = (3 × 10 m ) cos 2 π ( − ) 0 .5 s 10 m
λ = 10 m
xC − xD
λ
− 22 = −2π = 4.4π 10
9m
u
8m C B 5m
λ = 10 m
波沿 x 轴正向传播
第十章 波动
14
物理学
1010-2 平面简谐波的波函数
第五版
轴正方向传播， 例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A = 1.0 m， = 2 .0 s， = 2.0 m. 在 t = 0 T λ 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 ( )波动方程； ) 波形图； 运动. 运动 求： 1)波动方程；(2)t = 1 . 0 s波形图； (3) x = 0.5 m 处质点的振动规律并作图 处质点的振动规律并作图. ) 解 (1) 写出波动方程的标准式 )
1010-2 平面简谐波的波函数
第五版
点 D 的相位落后于点 A AD −2 ] y D = (3 ×10 m)cos[(4πt ) − 2π λ 9 −2 = (3 × 10 m ) cos[( 4 π t ) − π ] 5
λ = 10 m
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
物理学
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1
第五版
为坐标原点， (1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程 )
A = 3 ×10−2 m T = 0.5 s ϕ = 0
λ = uT = 10 m
t x y = A cos[ 2π ( − ) + ϕ ] T λ t x −2 y = (3 × 10 m ) cos 2 π ( − ) 0 .5 s 10 m
λ = 10 m
xC − xD
λ
− 22 = −2π = 4.4π 10
9m
u
8m C B 5m
λ = 10 m
波沿 x 轴正向传播
第十章 波动
14
物理学
1010-2 平面简谐波的波函数
第五版
轴正方向传播， 例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A = 1.0 m， = 2 .0 s， = 2.0 m. 在 t = 0 T λ 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 ( )波动方程； ) 波形图； 运动. 运动 求： 1)波动方程；(2)t = 1 . 0 s波形图； (3) x = 0.5 m 处质点的振动规律并作图 处质点的振动规律并作图. ) 解 (1) 写出波动方程的标准式 )
1010-2 平面简谐波的波函数
第五版
点 D 的相位落后于点 A AD −2 ] y D = (3 ×10 m)cos[(4πt ) − 2π λ 9 −2 = (3 × 10 m ) cos[( 4 π t ) − π ] 5
λ = 10 m
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
物理学
平面简谐波波函数
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
平面简谐波的波函数
在上图中，P点的坐标x为正值，如果x为负值，P点的相位应该比O点超前。把x带入波函数中，由于x是负值，这表示P点的相位确实比O点超前，可见方程的形式不会因考察点的位置而改变。
在上面的讨论中，我们设波是沿着x轴正向传播的，这称为正行波。若波逆着x轴传播(反行波)，则图中的P点的相位应比O点超前，我们规定波速u始终取正值(速率)，因而波函数表达式中x前面的负号应改为正号，因而简谐波的波动方程的一般形式(通式)为
二、平面简谐波的特点
我们在上一知识点中知道，平面简谐波传播时，介质中各质点的振动频率相同。对于在无吸收的均匀介质中传播的平面波，各质点的振幅也相等。因而介质中各质点的振动仅相位不同，表现为相位沿波的传播方向依次落后，因此我们将重点讨论相位。根据波阵面的定义我们知道，在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，因而有相同的位移。因此，只要知道了任意一条波线上波的传播规律，就可以知道整个平面波的传播规律。
平面简谐波的波程和相位差
由于A点和B点在进行同频率的简谐振动，按前面讨论过的两个同频率振动的相位差和时间差的关系，我们可以得到A点和B点的相位差
这表示B点距离波源比A点每远一个λ，相位落后一个2π。从上式我们容易判断，在同一波线上的两点，若它们的距离为整数个λ，则它们的振动同相；若它们的距离为半整数个λ，则它们的振动反相。
或
这是波动方程常用的形式。
3、振动曲线与波形曲线
为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个波长，相位落后一个2π。
在上面的讨论中，我们设波是沿着x轴正向传播的，这称为正行波。若波逆着x轴传播(反行波)，则图中的P点的相位应比O点超前，我们规定波速u始终取正值(速率)，因而波函数表达式中x前面的负号应改为正号，因而简谐波的波动方程的一般形式(通式)为
二、平面简谐波的特点
我们在上一知识点中知道，平面简谐波传播时，介质中各质点的振动频率相同。对于在无吸收的均匀介质中传播的平面波，各质点的振幅也相等。因而介质中各质点的振动仅相位不同，表现为相位沿波的传播方向依次落后，因此我们将重点讨论相位。根据波阵面的定义我们知道，在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，因而有相同的位移。因此，只要知道了任意一条波线上波的传播规律，就可以知道整个平面波的传播规律。
平面简谐波的波程和相位差
由于A点和B点在进行同频率的简谐振动，按前面讨论过的两个同频率振动的相位差和时间差的关系，我们可以得到A点和B点的相位差
这表示B点距离波源比A点每远一个λ，相位落后一个2π。从上式我们容易判断，在同一波线上的两点，若它们的距离为整数个λ，则它们的振动同相；若它们的距离为半整数个λ，则它们的振动反相。
或
这是波动方程常用的形式。
3、振动曲线与波形曲线
为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个波长，相位落后一个2π。
物理学14-平面简谐波的波函数与波动方程
若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 )
x y A cos[ (t ) 0 ] u
或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2t ) 0 ] 2 y A cos[ (ut x) 0 ] A cos[ k (ut x) 0 ]
y
O
u
x
x
p
x O点振动状态传到p点需用 t u t 时刻p处质点的振动状态重复
y
O
u
x
x
p
x t 时刻O处质点的振动状态 u
x p点的振动方程： y A cos ( t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) 平面简谐波的波动方程 u
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
O
u
t
t t
x x
x
可见，波函数y(x,t)反映了波形的传播。 它描述的是在跑动的波，这种波被称为 行波（travelling wave）
三、平面波的波动微分方程
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
求t 的二阶导数
2x0
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2
பைடு நூலகம்
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) 0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形
平面简谐波的波函数
解 确定坐标原点的 Y
振动初相0
A
由图知：t=0时， A/2
u=100m /s
x=0处的质点位于
0
1
X(
A/2处 且向位移正方向运动
-A
m)
由图知：t=0时， x=1m处的质点位于平 衡位置处且向位移负方
向运动
第十章 波动
21
物理学
第五版
0
π 3
,
2.4m,
u 100(m/s)
T /u 0.024s
在 理学
第五版
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第十章 波动
6
物理学
第五版
波函数的几种常用形式
第十章 波动
7
物理学
第五版
演示实验安排
周三 第3节 7班 第4节 8班
第十章 波动
8
物理学
第五版
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
解
确定坐标原点的振动初相0
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章 波动
18
物第理五例版学 4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播. 图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方 程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0
t/s
t=5s时质点第一次回到平
第十章 波动
28
物理学
第五版
(1/4) 2A2
o
EP Ek
Y
WpWk x = x0
Tt
y
第十章 波动
t
52平面简谐波讲解
A 2
cos
t
x u
信息学院 物理教研室
例题:某潜水艇的声纳发出的超声波为平面简谐
波，其振幅为 A 1.2103 m，频率 5.0104 Hz ，波
长 2.85102 m，波源振动的初相 0，求:
(1)该超声波的波函数；
t
x
3
4 u
2
Acos
t
x u
y
y
u
O
P x(x)
信息学院 物理教研室
(2):
v
y t
A
sin
t
x u
2
A sint
2
2、负向波的波函数
若波动向x轴负向传播，则:
y
B点比O点早起振 t x
u
所以: yB (t) yO (t t)
O x
则:
y( x、t)
Acos
t
x u
B
x
x轴负向传播的平面简谐波的波动方程
信息学院 物理教研室
x轴正向传播的波动方程
y( x、t)
信息学院 物理教研室
例题:一平面余弦波，波线上各质元振动的振幅
和角频率分别为A和，波沿 x 轴正向传播，波
速为u，设某一瞬时的波形如图，并取图示瞬时
为计时零点。 (1)在O点和P点各有一观察者，试
9-2平面简谐波的波函数
x ut
第九章 机械9波
9-2 平面简谐波的波函数
思考 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向
和 x 0 点的初相位.
y Acos2π ( t x )
T
(向x 轴正向传播,
π)
y Acos (t x) (向x 轴负向传播 , π )
u
2）平面简谐波的波函数为 y Acos(Bt Cx)
u 1.50103 ms1
第九章 机械12波
9-2 平面简谐波的波函数
例9-2 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波速
u 200m s-1。位于 xB 145m 处的 B 点的简谐运
动方程为
yB
0.1cos(20πt
π) 2
式中，yB的单位
为 m , t 的单位为s。求波函数。
解 x 处质点的振动 在时间上比xB 处质点
的振动落后 x xB u
y
A cos
(t
x
xB u
)
B
0.1cos
20π(t
x
145) 200
π 2
0.1cos
20π(t
x) 200
π
第九章 机械13波
第九章 机械6波
9-2 平面简谐波的波函数
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点
相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
y
A cos[ (t0
x) u
]
A y u
x
O
A
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
第九章 机械9波
9-2 平面简谐波的波函数
思考 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向
和 x 0 点的初相位.
y Acos2π ( t x )
T
(向x 轴正向传播,
π)
y Acos (t x) (向x 轴负向传播 , π )
u
2）平面简谐波的波函数为 y Acos(Bt Cx)
u 1.50103 ms1
第九章 机械12波
9-2 平面简谐波的波函数
例9-2 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波速
u 200m s-1。位于 xB 145m 处的 B 点的简谐运
动方程为
yB
0.1cos(20πt
π) 2
式中，yB的单位
为 m , t 的单位为s。求波函数。
解 x 处质点的振动 在时间上比xB 处质点
的振动落后 x xB u
y
A cos
(t
x
xB u
)
B
0.1cos
20π(t
x
145) 200
π 2
0.1cos
20π(t
x) 200
π
第九章 机械13波
第九章 机械6波
9-2 平面简谐波的波函数
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点
相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
y
A cos[ (t0
x) u
]
A y u
x
O
A
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
平面简谐波的波动方程三种形式
一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。
简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。
二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。
它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。
2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。
复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。
四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。
平面简谐波的波函数
y(0) Acos[t0 0 ] y
t=t0
2
( x2
x1 )
0
x
反映了波动的空间周期性 6
例题: P86 4.3.9
解：（1）该波函数为
y Acos(Bt Cx)
而波函数的一般形式为
y
A c os [ (t
x u
)
0
)]
Acos(t
2
x 0)
比较两式可得
振幅为 A
而 B 2 C 所以
周期为 T 2 2 B
频率为
1 T
B
2
波长为 2
C
波速为 u B
TC 7
（2）由波函数 y Acos(Bt Cx) 可得
传播方向上距离波源为 l 处一点的振动方程为
y Acos( Bt Cl )
（3）相距为 d 的两点的波动方程分别为
y1 Acos( Bt Cx ) y2 Acos( Bt Cx Cd )
y(t)
Acos[(t
x0 u
)
0
]
Acos[t 2
x0
0 ]
令
2
x0
0
则
y(t) Acos(t ) ——x0处质点的振动方程
y(x，t) → y(t)
3
y(t) Acos(t ) ——x0处质点的振动方程
x0处的质点，两个时刻的振动相位差
t2
t1
2
t2 t1 T
若 t2-t1=kT, k=1,2,…
练习: P87 4.3.12
相距为 d 的两点的相位差为
Cd
8
0
)
令 t0 0 则y(x)源自A c os (x u
6_2 平面简谐波的波函数
2
4）
8 2π 1.6π B C 2π 10 x x 22 C D 2π C D 2π 4.4π 10
y A cos 2π ( t x ) (向x 轴正向传播 T x y A cos ( t ) (向x 轴负向传播 u
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
距离原点O为x1和x2的两质点的相位分别为
x1 t x ) 2π ( 1) u T x t x 2 (t 2 ) 2 π ( 2 ) u T
1 (t
π t 1.0s波形方程 y 1.0 cos( 2 π x) 1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m
处质点的振动方程
y 1.0 cos(π t π)
y
3 1.0 2 0
y/m
3 * 2 * 4 *
4
O
1
y A x轴负向 u
t x y(x,t) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2π 2 π , T
y ( x, t ) A cos(t kx )
角波数
u
T
k
2π
沿 x 轴正向传播的平面简谐波，已知距O点x0的Q点的振动规律为
1.0
x 0.5 m
-1.0 *1
* t /s 2.0 *
处质点的振动曲线
例3 一平面简谐波以速度 谐运动方程
u 20m / s 沿直线传播,波线上点 A 的简 y A (3102 ) cos(4 π t ) .
4）
8 2π 1.6π B C 2π 10 x x 22 C D 2π C D 2π 4.4π 10
y A cos 2π ( t x ) (向x 轴正向传播 T x y A cos ( t ) (向x 轴负向传播 u
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
距离原点O为x1和x2的两质点的相位分别为
x1 t x ) 2π ( 1) u T x t x 2 (t 2 ) 2 π ( 2 ) u T
1 (t
π t 1.0s波形方程 y 1.0 cos( 2 π x) 1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m
处质点的振动方程
y 1.0 cos(π t π)
y
3 1.0 2 0
y/m
3 * 2 * 4 *
4
O
1
y A x轴负向 u
t x y(x,t) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2π 2 π , T
y ( x, t ) A cos(t kx )
角波数
u
T
k
2π
沿 x 轴正向传播的平面简谐波，已知距O点x0的Q点的振动规律为
1.0
x 0.5 m
-1.0 *1
* t /s 2.0 *
处质点的振动曲线
例3 一平面简谐波以速度 谐运动方程
u 20m / s 沿直线传播,波线上点 A 的简 y A (3102 ) cos(4 π t ) .
6-02 平面简谐波的波函数
写出波动式
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] (m) 2.0 2.0 2
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2）求 t 1.0s 波形图.
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2
t 1.0s
2
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方 x 程 2 2 y 3 10 cos 4 π( t ) y A 3 10 cos4 π t 20
u
C
8m
5m
9m
10m
D
B
oA
2
x
把点 C 的坐标代入
13 yc 3 10 cos[ 4 π t π] 5
把点 D 的坐标代入
例1 已知波函数如下，求波长、周期和波速. y 5 cos π[2.50t 0.01x](cm).
解：（比较系数法）. 把波动方程改写成
t x y A cos 2π ( ) T
比较得
2.50 0.01 y 5 cos 2 π[ t x] 2 2
2 T s 0.8 s 2.5 2cm 200 cm 0.01
y
u
x
x0
已知 x0点振动方程
O
x
y x0 A cos( t )
x x0 时间落后 u
x x0
任一点
x 比 x0
相位落后 2
任一点 x 振动方程——波函数
x x0 y A cos[ ( t ) ] u x x0 y A cos[ t 2 ]
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
平面简谐波波函数
平面简谐波的特点是，它的波形是一个不断振荡的正弦波，在时间t和空间x两个方向上都呈现出波动的特征。平面简谐波在许多物理学领域中都有广泛应用，例如电磁波、声波、光波等。
平面简谐波的波函数可以用数学工具，如幂级数或傅里叶级数来表示。这些工具可以帮助我们分析平面简谐波的特性，例如波长、周期、波速等。
平面简谐波（plane harmonic wave）是物理学中常用的一种波动形式。它是由两个正弦波叠加而成的，其中一个正弦波的波长和波速是定值，另一个正弦波的波长和波速是变化的。
平面简谐波的波函数可以用下面的公式表示：
f(x,，k是波数，ω是角速度，φ是相位。
平面简谐波的波函数可以用数学工具，如幂级数或傅里叶级数来表示。这些工具可以帮助我们分析平面简谐波的特性，例如波长、周期、波速等。
平面简谐波（plane harmonic wave）是物理学中常用的一种波动形式。它是由两个正弦波叠加而成的，其中一个正弦波的波长和波速是定值，另一个正弦波的波长和波速是变化的。
平面简谐波的波函数可以用下面的公式表示：
f(x,，k是波数，ω是角速度，φ是相位。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十章 波动
5
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数二源自波函数的物理含义2π
2πx y A cos t
1 x一定， t 变化 令
x
y
则 y A cost
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y( x, t ) y( x, t T ) （波具有时间的周期性）
8m C B
第十章
0
2.0
t 1.0 s
第十章
x/m
-1.0
时刻波形图
波动
14
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
y cos[π t π] (m)
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
一
平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O 处质点的振动方程为
yO A cost
u
P
A
y
x
A
O
x
第十章
波动
1
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
yO A cost
yO 表示质点O 在 t 时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上 P 点(坐标 x ), P 点比 O 点的 x 振动落后 t , P 点在 t 时刻的位移是 O 点
y
o
第十章 波动
x
8
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
y
O
u
x
第十章 波动
9
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
4 沿 x轴方向传播的波动方程 如图，设 O 点振动方程为
yO A cost
(3) x 0.5 m 处质点的振动规律并作图. 解 (1) 写出波动方程的标准式 t x y A cos[ 2π ( ) ] T
第十章 波动
12
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
t x y A cos[ 2π ( ) ] T t 0 x0
π y y 0, v 0 2 t t x π y cos[ 2 π ( ) ] (m) 2.0 2.0 2
第十章 波动
3
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x A cos 2 π T 2 πx A cos t
x P 点振动比O点超前了 Δt u
A
y
O
u
P x
x
A
第十章
波动
10
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
x y yo (t t ) A cos[ (t ) ] u
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播.
第十章 波动
6
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
波线上各点的简谐运动图
第十章
波动
7
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
从形式上看：波动是波形的传播.
第十章 波动
11
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A 1.0 m， T 2.0 s， λ 2.0 m. 在 t 0 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 (1)波动方程；(2)t 1.0 s波形图； 运动. 求：
y
3 4 1.0
y/m
3 *
4 2 * * 1.0 0 O 2 2.0 * t / s * 1 -1.0*1 x 0.5 m 处质点的振动曲线
第十章 波动
15
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
例2 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程 y A 3102 cos( 4 π t ) ; ( y, t 单位分别为m，s). 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； (3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程； (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.
u 在 t Δt 时刻的位移，由此得
A
y
O
u
P
x
A
x
第十章
波动
2
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ
x A cos t u
由于 P 为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数，又称波动方程.
第十章 波动
4
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
波函数
x y A cos[ (t ) ] u
质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
O
A
y
第十章
波动
13
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
(2)求 t 1.0s 波形图 t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 π y 1.0 cos[ π x ] 2 t 1.0 s sin πx (m) 波形方程
y/m
1.0
5
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数二源自波函数的物理含义2π
2πx y A cos t
1 x一定， t 变化 令
x
y
则 y A cost
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y( x, t ) y( x, t T ) （波具有时间的周期性）
8m C B
第十章
0
2.0
t 1.0 s
第十章
x/m
-1.0
时刻波形图
波动
14
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
y cos[π t π] (m)
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
一
平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O 处质点的振动方程为
yO A cost
u
P
A
y
x
A
O
x
第十章
波动
1
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
yO A cost
yO 表示质点O 在 t 时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上 P 点(坐标 x ), P 点比 O 点的 x 振动落后 t , P 点在 t 时刻的位移是 O 点
y
o
第十章 波动
x
8
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
y
O
u
x
第十章 波动
9
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
4 沿 x轴方向传播的波动方程 如图，设 O 点振动方程为
yO A cost
(3) x 0.5 m 处质点的振动规律并作图. 解 (1) 写出波动方程的标准式 t x y A cos[ 2π ( ) ] T
第十章 波动
12
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
t x y A cos[ 2π ( ) ] T t 0 x0
π y y 0, v 0 2 t t x π y cos[ 2 π ( ) ] (m) 2.0 2.0 2
第十章 波动
3
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x A cos 2 π T 2 πx A cos t
x P 点振动比O点超前了 Δt u
A
y
O
u
P x
x
A
第十章
波动
10
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
x y yo (t t ) A cos[ (t ) ] u
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播.
第十章 波动
6
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
波线上各点的简谐运动图
第十章
波动
7
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
从形式上看：波动是波形的传播.
第十章 波动
11
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A 1.0 m， T 2.0 s， λ 2.0 m. 在 t 0 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 (1)波动方程；(2)t 1.0 s波形图； 运动. 求：
y
3 4 1.0
y/m
3 *
4 2 * * 1.0 0 O 2 2.0 * t / s * 1 -1.0*1 x 0.5 m 处质点的振动曲线
第十章 波动
15
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
例2 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程 y A 3102 cos( 4 π t ) ; ( y, t 单位分别为m，s). 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； (3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程； (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.
u 在 t Δt 时刻的位移，由此得
A
y
O
u
P
x
A
x
第十章
波动
2
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ
x A cos t u
由于 P 为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数，又称波动方程.
第十章 波动
4
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
波函数
x y A cos[ (t ) ] u
质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
O
A
y
第十章
波动
13
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
(2)求 t 1.0s 波形图 t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 π y 1.0 cos[ π x ] 2 t 1.0 s sin πx (m) 波形方程
y/m
1.0