尚晓清数值分析第章 距离空间和赋范空间.ppt
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数值分析-第二章-距离空间
a
b g(x) q dx 1/ q
a
其中 f (x) p , g(x) q在[a,b]上可积分。
特别的 p=q=2 时,称为 Cauchy 不等式
特别的，当 n=1 时， (x, y) x y ， 当 n=2 时， (x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2
如果在 R2 中，定义 d(x, y) x1 y1 x2 y2 ，
例2 有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。
例 3 距离空间l2 和 L2[a,b]按通常意义下的距离是完备的。
例 4 C[a,b]按 (x, y) max x(t) y(t) 是完备的距离空间； t[ a ,b ]
C[a,b]按
1(x,
y)
b
a
x(t)
y(t ) dt
是不完备的距离空间
间 Q 是等距同构的，所以实数空间 R1 是有理数空间 Q
的完备化空间。
例2
C[a,b]按距离
(x,
y)
b
a
x(t)
y(t)
dt
是不完备的，
但C[a,b] L1[a,b]，且C[a,b]在L1[a,b]中稠密，故 L1[a,b]是
C[a,b]的完备化距离空间。
同理，C[a,b]按距离
( x,
y)
则l p 是距离空间，常称为 p 方可和的空间。
特别的，当 p=2，l 2 称为平方可和距离空间。
§2.2 收敛概念
1) 定义（收敛点列） 设 X 是一个距离空间，{x n}是
X 中点列， x X 。若 n 时, (xn, x) 0 （即 0, N, 当n N时, (xn, x) ）
补充不等式
1）Minkowski 不等式
数值分析课件第3章
0
x
y
2 4 6
8 6 4 2
骄行札或务旷恰洗大而非仆椒鸿孜襟儡和跟浪陪痕骚树认邻异镍屠丰逃臃数值分析课件第3章数值分析课件第3章
初每孟缅家邱拙货另崇屎慑芝骋磨雨鹏苯核碉断策占悲异贺碴察鸿旧岿父数值分析课件第3章数值分析课件第3章
例3-4 已知实测数据表如下,确定数学模型 y=aebx, 用最小二乘法确定a，b。
帜尸砚损讹祖邱帆迄攫让汕芽柔造兔优伐具猪购冈琅高蹄熊嫌第凸貉楚章数值分析课件第3章数值分析课件第3章
伸姜积升斯钳更相傍抒匣替讯蔽炽恋喉爱著殷都皂孵羌邹捞谎寐池骇织狱数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
拙猪囤犀缎孩甸萤捷褐番舍倪酌月迢飘沟锰乡橙波旗骨渠虎偷朋袒夹惹胳数值分析课件第3章数值分析课件第3章
新隆培润已描苍淬霖绪册防嚷拇痘掂腹坏蕉吁咳洞烷携敦玻腔同翻坎镀讨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
宽烹呼境眺泡狞瑞怕敝斧厨寞贝砚妄特痒福踊阁监桐却挠伸井竟哇含野劲数值分析课件第3章数值分析课件第3章
囊铭徒庄裸课爹压屏滴插百盗万武廷校船卿肪没弹溃想镊茨壳峨孽信骗跨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
xi yi yi
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135
3.1基本概念
x0
x
x
x
x
x
x
x
f(x)
p(x)
虐座韦龄椽加腕槽晶僵壤漱键椒赏琢芭尊校榆唤著里钙治纹改瞥宁岁坛草数值分析课件第3章数值分析课件第3章
2、范数与赋范线形空间
x
y
2 4 6
8 6 4 2
骄行札或务旷恰洗大而非仆椒鸿孜襟儡和跟浪陪痕骚树认邻异镍屠丰逃臃数值分析课件第3章数值分析课件第3章
初每孟缅家邱拙货另崇屎慑芝骋磨雨鹏苯核碉断策占悲异贺碴察鸿旧岿父数值分析课件第3章数值分析课件第3章
例3-4 已知实测数据表如下,确定数学模型 y=aebx, 用最小二乘法确定a，b。
帜尸砚损讹祖邱帆迄攫让汕芽柔造兔优伐具猪购冈琅高蹄熊嫌第凸貉楚章数值分析课件第3章数值分析课件第3章
伸姜积升斯钳更相傍抒匣替讯蔽炽恋喉爱著殷都皂孵羌邹捞谎寐池骇织狱数值分析课件第3章数值分析课件第3章
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拙猪囤犀缎孩甸萤捷褐番舍倪酌月迢飘沟锰乡橙波旗骨渠虎偷朋袒夹惹胳数值分析课件第3章数值分析课件第3章
新隆培润已描苍淬霖绪册防嚷拇痘掂腹坏蕉吁咳洞烷携敦玻腔同翻坎镀讨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
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1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135
3.1基本概念
x0
x
x
x
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x
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f(x)
p(x)
虐座韦龄椽加腕槽晶僵壤漱键椒赏琢芭尊校榆唤著里钙治纹改瞥宁岁坛草数值分析课件第3章数值分析课件第3章
2、范数与赋范线形空间
距离空间赋范空间内积空间的关系
一、概述距离空间、赋范空间和内积空间是数学中常见的概念，它们各自具有独特的性质和结构。
研究它们之间的关系，有助于深入理解空间的性质及其在实际问题中的应用。
本文将着重探讨距离空间与赋范空间、内积空间之间的关系，并展示它们在数学和实际问题中的应用。
二、距离空间的定义及性质距离空间是指一个集合X上配备了一个距离函数d的空间，满足以下性质：1. 非负性：对于所有的x, y∈X，有d(x, y)≥0，且d(x, y)=0当且仅当x=y。
2. 对称性：对于所有的x, y∈X，有d(x, y)=d(y, x)。
3. 三角不等式：对于所有的x, y, z∈X，有d(x, z)≤d(x, y)+d(y, z)。
三、赋范空间的定义及性质赋范空间是指一个实数域上的向量空间X上配备了一个范数函数||·||的空间，满足以下性质：1. 非负性：对于所有的x∈X，有||x||≥0，且||x||=0当且仅当x=0。
2. 齐次性：对于所有的x∈X和所有的实数α，有||αx||=|α|·||x||。
3. 三角不等式：对于所有的x, y∈X，有||x+y||≤||x||+||y||。
四、内积空间的定义及性质内积空间是指一个实数域上的向量空间X上配备了一个内积函数lt;·, ·gt;的空间，满足以下性质：1. 对称性：对于所有的x, y∈X，有lt;x, ygt; = lt;y, xgt;。
2. 线性性：对于所有的x, y, z∈X和所有的实数α，β，有lt;αx+βy, zgt; = αlt;x, zgt+βlt;y, zgt。
3. 正定性：对于所有的x∈X，有lt;x, xgt; ≥0，且lt;x, xgt;=0当且仅当x=0。
五、距离空间与赋范空间的关系1. 距离空间是赋范空间的特例，在距离空间中可以定义范数函数||x-y||=d(x, y)，因此任何一个距离空间都是赋范空间。
2. 赋范空间的范数函数可以直接导出距离函数，即距离空间中的距离函数可以由赋范空间中的范数函数定义而来。
赋范线性空间优质课件
但当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间；
② (x, y) (x y,0)；
③ ( x,0) (x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 (E, ) 也是(E, )。
3）常见赋范线性空间
例 1 在线性空间 Rn 中，
x (x1, x2, , xn ), y ( y1, y2, , yn) Rn
第3章 赋范线性空间
§3.1 定义和举例 §3.2 按范数收敛 §3.3 有限维赋范线性空间
在第 2 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
（5） ( x) ()x
（6）1 x x, 0 x 0
（7） ( )x x x
（8） (x y) x y
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间）。 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1 Rn —— n 维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间。
n
xn
x
(强)。
2）性质 设 E 是赋范线性空间,{xn},{yn} E, {n} K（数域）
（1）有界性：若 xn x (强)，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性：即Tx x , T 是连续泛函 x 是 x 的连续泛函 xn x时, xn x
（3）线性运算按范数收敛是连续的
即若 xn x, yn y , n xn yn x y, n xn x
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。 若xE 按规一则定 实数 x 0，且满足下列三条(范数公理)
第1章 距离空间和赋范空间(1)kj
{ d ( x, y ) : x Î A, y Î B }.
特别地, 若 x Î X , 称 d ( x, A) = inf { d ( x, y ) : y Î A } 为 x 与 A 的距离. 设 A 是距离空间 X 的非空子集. 若存在 x0 Î X 和 M > 0 , 使得对任 意 x Î A 有 d ( x, x0 ) £ M , 则称 A 是有界集.
( n) , ), x ( x1 , x 2 , ), x ( n ) ( x1( n ) , x 2
则 d ( x ( n ) , x) 0 的充要条件是对每个 i = 1, 2,, 有 xi( n ) xi ( n ). 这个结果的证明留作习题. 上面的例子表明, 不同空间中的序列在不同意义下的收敛, 通过定 义适当的距离, 可以归结为距离空间中序列的按距离收敛. 这样, 对一 般距离空间中关于序列收敛的讨论 , 所得结果可以应用到各个具体的 距离空间 . 这是泛函分析的高度概括性带来的应用的广泛性的一个例 子.
定义 1.1.1 设 X 是一非空集 . 若对任意 x, y X , 都有一个实数
d ( x, y ) 与之对应, 满足 (1) 非负性: d ( x, y ) ³ 0, d ( x, y ) 0 当且仅当 x = y ; (2) 对称性: d ( x, y ) d ( y, x) ; (3) 三角不等式: d ( x, y ) £ d ( x, z ) + d ( z , y ),
d 1 ( x, y ) = å xi - yi ,
i =1
n
d 2 ( x, y ) max xi y i .
1i n
容易验证 d 1 和 d 2 也是 K n 上的距离. 注意 (K n , d ), (K n , d 1 ) 和 (K n , d 2 ) 这 三个空间上的距离是不同的, 因此它们是不同的距离空间. 由(1)式定义 的距离称为 K n 上的欧氏距离. 今后若无特别申明, 将 K n 视为距离空间 时, 其距离总是指的是欧氏距离. 设 E 是 K n 的非空子集, 则 K n 上的距离也是 E 上的距离, 因此 E 按 照 这 个 距 离 成 为 距 离 空 间 . 称 之 为 Kn 的 子 空 间 . 例 如 , 区 间
特别地, 若 x Î X , 称 d ( x, A) = inf { d ( x, y ) : y Î A } 为 x 与 A 的距离. 设 A 是距离空间 X 的非空子集. 若存在 x0 Î X 和 M > 0 , 使得对任 意 x Î A 有 d ( x, x0 ) £ M , 则称 A 是有界集.
( n) , ), x ( x1 , x 2 , ), x ( n ) ( x1( n ) , x 2
则 d ( x ( n ) , x) 0 的充要条件是对每个 i = 1, 2,, 有 xi( n ) xi ( n ). 这个结果的证明留作习题. 上面的例子表明, 不同空间中的序列在不同意义下的收敛, 通过定 义适当的距离, 可以归结为距离空间中序列的按距离收敛. 这样, 对一 般距离空间中关于序列收敛的讨论 , 所得结果可以应用到各个具体的 距离空间 . 这是泛函分析的高度概括性带来的应用的广泛性的一个例 子.
定义 1.1.1 设 X 是一非空集 . 若对任意 x, y X , 都有一个实数
d ( x, y ) 与之对应, 满足 (1) 非负性: d ( x, y ) ³ 0, d ( x, y ) 0 当且仅当 x = y ; (2) 对称性: d ( x, y ) d ( y, x) ; (3) 三角不等式: d ( x, y ) £ d ( x, z ) + d ( z , y ),
d 1 ( x, y ) = å xi - yi ,
i =1
n
d 2 ( x, y ) max xi y i .
1i n
容易验证 d 1 和 d 2 也是 K n 上的距离. 注意 (K n , d ), (K n , d 1 ) 和 (K n , d 2 ) 这 三个空间上的距离是不同的, 因此它们是不同的距离空间. 由(1)式定义 的距离称为 K n 上的欧氏距离. 今后若无特别申明, 将 K n 视为距离空间 时, 其距离总是指的是欧氏距离. 设 E 是 K n 的非空子集, 则 K n 上的距离也是 E 上的距离, 因此 E 按 照 这 个 距 离 成 为 距 离 空 间 . 称 之 为 Kn 的 子 空 间 . 例 如 , 区 间
距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解及其区别
距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解及其区别从初中开始，我们就接触到了绝对值的概念。
在以往学习过的实数域中，绝对值为一个非负的标量，表示某个数到0的长度。
而在学完向量的计算后我们知道，绝对值为向量的模，即向量的长度。
扩展到现代数学，绝对值不止应用于实数域、向量计算，还适用于点列、函数等，由此也就引出了距离的概念。
设X 是任一集合, ,x y X ∀∈，按照一定的法则确定一个函数(),d x y ，这个函数满足定义域X X ⨯，且满足：1. 非负性：(),0d x y ≥，且(),=0d x y 的充要条件是x y =；2. 对称性：()(),=,d x y d y x ；3. 三角不等式：()()(),,,d x y d x z d z y ≤+，()z X ∀∈。
则称X 为一个距离空间，(),d x y 为空间中,x y 之间的距离。
有距离空间的定义可以发现，距离空间中的距离是一个二元函数，他可以简单地理解为x 与y 之间的长度，即(),=d x y x y -。
我们定义距离空间实际上是为了在空间这个概念上定义收敛。
若点列{}n x X ∈，x X ∈，则{}n x 收敛于X 可以定义为(),0n d x x →，()n →+∞。
线性空间是具有线性结构的空间，他在空间上定义了加法和数乘运算。
这就表示空间中的所有点都可以用一组基通过加法和数乘线性表示出来。
转化到图像上就是线性空间可以表示某一点的位置。
有一种特殊的线性空间叫做向量空间，向量空间可以表示起始点在原点的向量。
若想知道两个向量相加的和向量或者向量数乘之后的向量长度，则需要引入范数的概念。
范数可以近似理解为向量的长或者确定点到原点的距离，引入范数的线性空间称作线性赋范空间。
定义为：X 为一线性空间，x X ∀∈，定义实值函数x 满足：1. 非负性：0x ≥，且=0=0x x ⇔；2. 齐次性：=x x λλ；3. 三角函数：+x y x y ≤+。
2.1 距离空间
0.
定义 2.4
设 ( X , ) 是一距离空间, E X ， x0 X .
若存在 0 0, 使 B( x0 , 0 ) E, 则称 x0 为 E 的内点， E 的全 部内点构成的集合记为 E ，称为 E 的内部；
若存在 0 0, 使 B( x0 , 0 ) E , 则称 x0 为 E 的外点；
n y ( y1 , y2 , , yn ) Rd (
n
) ，定义
1 ( x, y ) max | xi yi | ，
1 i n
容易验证 (Rn , 1 ) （ (
n
, 1 ) ）也是一个距离空间.
例 2.2 设 X 是一非空集，若对任意 x, y X ，定义
1, x y， ( x, y) 0, x y.
容易证明 ( X , ) 是一距离空间，我们称之为离散距离空间.
例 2.3 定义
n 给定 1 p .设 E 是 R d 中一正测度集，对任意 x, y Lp ( E ) ，
( x, y)
| x(t) y(t) | dt ，
若对任意 0, B( x0 , ) 中既有点属于 E ，又有点不属于 E ，则 称 x0 为 E 的界点， E 的全部界点构成的集合记为 E ，称为 E 的边界.
易证： E {x X | 存在 {xn } E ，使 lim xn x }.
n
定义 2.5 设 ( X , ) 是一距离空间 , E X .若 E E , 则称 E 为开 集；若对任意 {xn } E , lim xn x, 有 x E ，则称 E 是闭集.空集规
a t b
稠密， 即对任意 x C a, b， 任意 0 ， 存在 y Qa, b ， 使 x, y . 因此，
尚晓清数值分析第0章 距离空间和赋范空间
L [ a, b] x (t ) 全体，即
p
b
a
x (t ) dt 。
p
x(t ), y(t ) Lp , 定义 ( x, y )
p 则 L [a, b]是距离空间，常称为
b
a
x(t ) y (t ) dt
p
1/ p
p 方可积的空间。
L2[a, b] 称为平方可积的空间。 特别的，当 p=2 时，
证明：设 n 时, ( xn , x) 0 ，
( xn , xm ) ( xn , x) ( xm , x)
则 n, m 时, ( xn , xm ) 0 。
例 1 在有理数空间 Q 中，点列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, „ 2 Q 是 Q 中的 Cauchy 点列，但不是收敛点列；
1 { xn } { } ，是 Cauchy 列，也是收敛 例如在 R 中，点列 n
1
点列。 注： 1 中有结论： n}是收敛数列 {x n}是 Cauchy 数列。 R {x 但在一般的距离空间中，该结论不成立。
17
定理
（ 若{x n}是 X , ） 中的收敛点列，则{x n}一定是
Cauchy 点列；反之，Cauchy 点列不一定是收敛点列
n
3 ( x, y) max xi yi
1i n
4 ( x, y) min xi yi
1i n
思考： 3 ( x, y ), 4 ( x, y ) 能否定义 R 上的距离？
n
8
例 2 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
第一章_距离空间
距离空间
可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不 同的距离空间。
例 2 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
x (x1, x2,L , xn ), y ( y1, y2,L , yn ) R n
n
定义 (x, y) (xi yi )2 i 1
证明：Rn 在 下为距离空间，即通常意义下的欧氏空间。
第1章 距离空间与拓扑空间
§1.1 定义和举例 §1.2 收敛概念 §1.3 稠密性与完备性 §1.4 可分性与列紧性 §1.5 连续映射
在数学分析中 研究对象——函数 基本工具——极限，是分析理论的基础 定义极限的基础——距离
在泛函分析中将上述内容推广 研究对象——算子、泛函 （空间到空间的映射） 首先引入度量工具——距离 然后在度量空间中——定义极限，建立相应的理
证明：设 n 时, (xn, x) 0，
Q (xn, xm ) (xn, x) (xm, x)
则 n,m 时, (xn, xm ) 0 。
例 1 在有理数空间 Q 中，点列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … 2 Q
是 Q 中的 Cauchy 点列，但不是收敛点列；
2）举例 例 1 设 R1 是非空实数集合，x, y R1，
① 若定义 (x, y) x y ，
验证知三条距离公理成立，则 R1 按定义 为距
离空间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。
②
若定义 1(x,
y)
x y 1 x y
，验证知三条距离公理
成立，所以，R1 按定义 1也是距离空间
③ 若定义 2(x, y) x y2 ， 验证不满足第三条公理，所以 R1 按定义 2 不是
（即 n 时, (xn, x) 0）
可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不 同的距离空间。
例 2 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
x (x1, x2,L , xn ), y ( y1, y2,L , yn ) R n
n
定义 (x, y) (xi yi )2 i 1
证明：Rn 在 下为距离空间，即通常意义下的欧氏空间。
第1章 距离空间与拓扑空间
§1.1 定义和举例 §1.2 收敛概念 §1.3 稠密性与完备性 §1.4 可分性与列紧性 §1.5 连续映射
在数学分析中 研究对象——函数 基本工具——极限，是分析理论的基础 定义极限的基础——距离
在泛函分析中将上述内容推广 研究对象——算子、泛函 （空间到空间的映射） 首先引入度量工具——距离 然后在度量空间中——定义极限，建立相应的理
证明：设 n 时, (xn, x) 0，
Q (xn, xm ) (xn, x) (xm, x)
则 n,m 时, (xn, xm ) 0 。
例 1 在有理数空间 Q 中，点列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … 2 Q
是 Q 中的 Cauchy 点列，但不是收敛点列；
2）举例 例 1 设 R1 是非空实数集合，x, y R1，
① 若定义 (x, y) x y ，
验证知三条距离公理成立，则 R1 按定义 为距
离空间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。
②
若定义 1(x,
y)
x y 1 x y
，验证知三条距离公理
成立，所以，R1 按定义 1也是距离空间
③ 若定义 2(x, y) x y2 ， 验证不满足第三条公理，所以 R1 按定义 2 不是
（即 n 时, (xn, x) 0）
数值分析课件
2
(∫
π
−π
| f (t ) − g (t ) | dt
2
)
1/2
， 求证 A 有
界，但不是全有界。
证： ∀f n (t ) = sin nt ∈ A, d ( f n , 0) = π ,∴ A 有界； 又 ∵ d ( f n , f m ) = 2π (n ≠ m), A 中 有 可 数 无 穷 多 个 点 ， 取
z 子 集
有 界 性
： 设 A ⊂ X, 若∃x0 ∈ X 和 有 限 数
r ∈ R1 , s.t.
∀x ∈ A, 有 d ( x, x0 ) < r ，称 A 是距离空间X中
的有界集，简称A有界。 z 点列收敛性：{xn } ⊂ X, x* ∈ X, ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时，
2. C[a, b] = { f (t ) f (t )在[a, b]上连续} ——连续函数空间
f (t ) − g (t ) ∀f (t ), g (t ) ∈ C[ a, b] ， d ( f , g ) tmax ∈[ a ,b ]
2 3. L [ a, b] = f (t )
{
ห้องสมุดไป่ตู้
∫
| f (t ) |2 dt < +∞ ——平方可积函数空间 a
m, n > N 时， d ( xm , xn ) < ε ， 称 {xn } 为 Cauchy 列或基本列。
证： d ( xm , xn ) ≤
d ( xn , x*) + d ( xm , x*)
z 完备性：若 X 中Cauchy列都是收敛列，则称 X 是完备距离 空间；否则，是不完备距离空间。 完备距离空间的例子：
(∫
π
−π
| f (t ) − g (t ) | dt
2
)
1/2
， 求证 A 有
界，但不是全有界。
证： ∀f n (t ) = sin nt ∈ A, d ( f n , 0) = π ,∴ A 有界； 又 ∵ d ( f n , f m ) = 2π (n ≠ m), A 中 有 可 数 无 穷 多 个 点 ， 取
z 子 集
有 界 性
： 设 A ⊂ X, 若∃x0 ∈ X 和 有 限 数
r ∈ R1 , s.t.
∀x ∈ A, 有 d ( x, x0 ) < r ，称 A 是距离空间X中
的有界集，简称A有界。 z 点列收敛性：{xn } ⊂ X, x* ∈ X, ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时，
2. C[a, b] = { f (t ) f (t )在[a, b]上连续} ——连续函数空间
f (t ) − g (t ) ∀f (t ), g (t ) ∈ C[ a, b] ， d ( f , g ) tmax ∈[ a ,b ]
2 3. L [ a, b] = f (t )
{
ห้องสมุดไป่ตู้
∫
| f (t ) |2 dt < +∞ ——平方可积函数空间 a
m, n > N 时， d ( xm , xn ) < ε ， 称 {xn } 为 Cauchy 列或基本列。
证： d ( xm , xn ) ≤
d ( xn , x*) + d ( xm , x*)
z 完备性：若 X 中Cauchy列都是收敛列，则称 X 是完备距离 空间；否则，是不完备距离空间。 完备距离空间的例子：
数值分析课件第一章
４.减少运算次数 减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差. 例10 计算多项式的值
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
《数值分析》课程PPT (2)
数值分析
第二章 矩阵分析基础
第一节 线性空间 第二节 赋范线性空间 第三节 内积空间 第四节 矩阵代数基础 第五节 矩阵的三角分解 第六节 矩阵的正交分解 第七节 矩阵的奇异值分解
数值分析
数值分析
第一节 线性空间
一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的基与维数 四、元素在给定基下的坐标 五、线性空间的同构 六、基变换公式与过渡矩阵 七、坐标变换公式 八、线性空间的子空间
f ( x) C[a, b], R
数值分析
数值分析
（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律．
例６ 正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
P[ x]n 对运算封闭.
数值分析
数值分析
例3 n次多项式的全体 Q[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R,且an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成线性空间. 0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
数乘
A (aij )mn Rmn , R
所以Rmn是线性空间。
数值分析
数值分析
例2 次数不超过n的多项式的全体,记作P[ x]n ,即
P[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R},
对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法构成线性
数值分析
数值分析
(3)Rn中定义的加法和数乘运算满足代数 运算的八条公理：
1. x y y x
第二章 矩阵分析基础
第一节 线性空间 第二节 赋范线性空间 第三节 内积空间 第四节 矩阵代数基础 第五节 矩阵的三角分解 第六节 矩阵的正交分解 第七节 矩阵的奇异值分解
数值分析
数值分析
第一节 线性空间
一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的基与维数 四、元素在给定基下的坐标 五、线性空间的同构 六、基变换公式与过渡矩阵 七、坐标变换公式 八、线性空间的子空间
f ( x) C[a, b], R
数值分析
数值分析
（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律．
例６ 正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
P[ x]n 对运算封闭.
数值分析
数值分析
例3 n次多项式的全体 Q[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R,且an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成线性空间. 0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
数乘
A (aij )mn Rmn , R
所以Rmn是线性空间。
数值分析
数值分析
例2 次数不超过n的多项式的全体,记作P[ x]n ,即
P[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R},
对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法构成线性
数值分析
数值分析
(3)Rn中定义的加法和数乘运算满足代数 运算的八条公理：
1. x y y x
数值分析 第二章 距离空间
a
b g(x) q dx 1/ q
a
其中 f (x) p , g(x) q在[a,b]上可积分。
特别的 p=q=2 时,称为 Cauchy 不等式
特别的，当 n=1 时， (x, y) x y ， 当 n=2 时， (x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2
如果在 R2 中，定义 d(x, y) x1 y1 x2 y2 ，
则称点列 x n 在 X 中按距离 收敛于 x，记作
lim
n
xn
x
或 xn
x(n
)
此时，称 x n 为收敛点列，x 为 x n 的极限或极限点。
xn x(n ) 数列dn (xn , x) 0
定理 1（极限唯一性）在距离空间 X 中，收敛点列 x n 的极限是唯一的。
定理 2（极限存在的有界性）在距离空间 X 中的收敛 点列 x n 必有界。
空间
可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不 同的距离空间。
例 2 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
x (x1, x2,L , xn ), y ( y1, y2,L , yn ) R n
n
定义 (x, y) (xi yi )2 i 1
证明：Rn 在 下为距离空间，即通常意义下的欧氏空间。
则C[a,b]在 下是距离空间。
若 1(x, y)
b
x(t) y(t) dt
a
， 则C[a,b]在 1下也
是距离空间
例4 设 Lp[a,b] (P 1) 表示[a,b]上 p 方可积的所有函数的
全体，即
Lp
[a,
b]
x(t
)
b a
x(t)
p
数值分析第一章PPT课件
= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
|e*(y)| | f ’(x*)|·|e*(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.
r* (x ) ln x * r* (y )
11 0n1lnx*0.1% 2a1
n4
.
10
1.3 避免误差危害的若干原则
算法的数值稳定性
用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中 传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不 稳定的.
.
11
1.3 避免误差危害的若干原则
病态问题与条件数
Cp
x f (x) f (x)
x nxn1 xn
n,
它表示相对误差可能放大 n倍.
如 n10，有 f(1 ) 1 ,f(1 .0)2 1 .2，4 若取 x 1, x*1.02, 自变量相对误差为 2% ，函数值相对误差为 24%， 这时问题可以认为是病态的.
一般情况下,条件数
Cp
10就认为是病态，
εr*21 a11 0n10.0 0% 1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即
n 6，应取 * = 3.14159。
.
8
1.2 数值计算的误差
问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x)
e*(x) = x* x
讲5赋范空间
学术探讨
为了使自己梦想成真，陈景润不管是酷暑还是严冬，在那不足6平米的斗室里，食不甘味，夜 不能眠，潜心钻研，光是计算的草纸就足足装了几麻袋。1957年，陈景润被调到中国科学院研究所 工作，做为新的起点，他更加刻苦钻研。经过10多年的推算，在1965年5月，发表了他的论文《大 偶数表示一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和》。论文的发表，受到世界数学界和著名数学 家的高度重视和称赞。英国数学家哈伯斯坦和德国数学家黎希特把陈景润的论文写进数学书中，称 为"陈氏定理"，陈景润终于攻克了"哥德巴赫猜想"这一世界数学之迷，这一世界数学"悬案"终于 被陈景润所破译，皇后王冠上的明珠终于被陈景润所摘取。可是这个世界数学领域的精英，在日常 生活中却不知商品分类，有的商品名子都叫不出名来，被称为"痴人"和"怪人"。 徐迟的《哥德巴赫猜想》一文的发表，如旋风般震撼着人们的心灵，震撼着中外数学界。国内外评 论说："陈景润成了中国科学春天的一大盛景"。他被邀参加了全国科学大会，邓小平同志亲切地接 见了他。当时陈景润身体不太好，小平同志关怀备至，会议结束后，陈景润被送入北京解放军309 医院高干病房。他的到来，轰动了整个医院，院领导给予了盛情的接待，医生和护士无不崇敬这位 世界上第一位数学圣人。 1977年11月从武汉军区派到309医院进修的由昆，话都不说的人，此次年近半百的陈景润见到由昆，眼睛一 亮，亲切地和由昆打招呼，请她们进来坐下，话也多了。后来由昆被派到陈景润的病房当值班医生。 这样，接触的机会多了，每次由昆一出现，陈景润都特别高兴。 陈景润除攻克这一难题外，又 把组合数学与现代经济管理、尖端技术和人类密切关系等方面进行了深入的研究和探讨。他先后在 国内外报刊上发明了科学论文51篇。出版了《数学兴趣谈》、《组合数学》等著作。 陈景润历任4、5、6届全国人大代表、中国科学院学部委员、国家科委数学成员。"水流任意景， 松老清风润"这是著名书法家王永剑先生题写的对联，笔墨酣畅，沉雄劲节，现依然悬挂在陈景润 家中的客厅里。这位数学巨星已经去世12年了，然而，他在攻克"哥德巴赫猜想"和"数论"研究方 面仍处在世界遥遥领先的地位。世界级的数学大师美国学者阿· 威特尔这样赞扬他："陈景润每一项 工作，都好像在喜马拉雅山颠行走。"这是中国人的自豪和骄傲。
数值分析(02)线性空间与赋范线性空间_图文
验证 对上述加法与数乘运算构成线性空间． 证明
所以对定义的加法与数乘运算封闭．
下面一一验证八条线性运算规律：
所以 对所定义的运算构成线性空间．
3、线性空间的基和维数 已知：在 中，线性无关的向量组最多由
个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的．
问题： 在线性空间V中，最多能有多少线性无关的向量？
Ｃ［a，ｂ］：区间［a，ｂ］上一元连续函数的全体。是 Ｒ上的线性空间,因为两个连 续函数之和以及实数ｋ与连续函数乘积仍是连续函数； Ｃｎ［a，ｂ］：类似于Ｃ［a，ｂ］，在区间［a，ｂ］上 ｎ阶连续可微的一元函数全体.构成Ｒ上的线性空间。
线性空间的判定方法
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
数值分析(02)线性空间与赋范线性空间_图文 .ppt
第一节 线性空间与赋范线性空间
一、线性空间
1.线性空间概念
定义2-1 设Ｖ是一个非空集合，F是数域，如果 ①在集合Ｖ中定义了加法运算，记为“+”， ②即∀α，β∈Ｖ，有α+β∈Ｖ； ③在数域F和集合Ｖ的元素之间定义了数量乘法， ④即∀ k∈F，α∈Ｖ，有kα∈Ｖ；
2、几个具体的线性空间实例
Ｒ：可以看成是实数域Ｒ上的线性空间，加法和数乘是
实数中的加法和数乘；
Ｃ：可以看成是复数域Ｃ上的线性空间，加法是复数的
加法，数乘是实数与复数按复数乘法相乘；
Ｒｍ×ｎ（Ｃｍ×ｎ）：实数域（复数域）上所有ｍ×ｎ矩
阵的集合。按矩阵的加法和数乘矩阵定义加法和数乘， 构成线性空间；
P[x]n：实数域上所有次数≤ｎ的多项式。按多项式加法和 数乘多项式定义加法和数乘，构成线性空间。但次数＝ｎ 的多项式全体不能构成线性空间； P[x]：实数域上多项式全体.按多项式加法和数乘多项式法 则构成线性空间；
所以对定义的加法与数乘运算封闭．
下面一一验证八条线性运算规律：
所以 对所定义的运算构成线性空间．
3、线性空间的基和维数 已知：在 中，线性无关的向量组最多由
个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的．
问题： 在线性空间V中，最多能有多少线性无关的向量？
Ｃ［a，ｂ］：区间［a，ｂ］上一元连续函数的全体。是 Ｒ上的线性空间,因为两个连 续函数之和以及实数ｋ与连续函数乘积仍是连续函数； Ｃｎ［a，ｂ］：类似于Ｃ［a，ｂ］，在区间［a，ｂ］上 ｎ阶连续可微的一元函数全体.构成Ｒ上的线性空间。
线性空间的判定方法
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
数值分析(02)线性空间与赋范线性空间_图文 .ppt
第一节 线性空间与赋范线性空间
一、线性空间
1.线性空间概念
定义2-1 设Ｖ是一个非空集合，F是数域，如果 ①在集合Ｖ中定义了加法运算，记为“+”， ②即∀α，β∈Ｖ，有α+β∈Ｖ； ③在数域F和集合Ｖ的元素之间定义了数量乘法， ④即∀ k∈F，α∈Ｖ，有kα∈Ｖ；
2、几个具体的线性空间实例
Ｒ：可以看成是实数域Ｒ上的线性空间，加法和数乘是
实数中的加法和数乘；
Ｃ：可以看成是复数域Ｃ上的线性空间，加法是复数的
加法，数乘是实数与复数按复数乘法相乘；
Ｒｍ×ｎ（Ｃｍ×ｎ）：实数域（复数域）上所有ｍ×ｎ矩
阵的集合。按矩阵的加法和数乘矩阵定义加法和数乘， 构成线性空间；
P[x]n：实数域上所有次数≤ｎ的多项式。按多项式加法和 数乘多项式定义加法和数乘，构成线性空间。但次数＝ｎ 的多项式全体不能构成线性空间； P[x]：实数域上多项式全体.按多项式加法和数乘多项式法 则构成线性空间；
清华第五版数值分析第1章课件
|
er*
|
1 2 x1
10n1
1 24
10n1
0.1%
n=4
2019/12/14
© Wuhan University Confidential
20
数值运算的误差估计
四则运算，设x1, x2为准确值, x1*, x2*为近似值，则误差限：
*(x1* x2*) *(x1*) *(x2*),
提出问题
x,
ax,
ln x,
Ax
b,
b
d
f (x)dx,
a
f ( x), dx
......
近似解
2019/12/14
计算机
© Wuhan University Confidential
计算方法
方法 可行
2
• 方法可行性分析包含以下内容： 1.计算速度。 例 如,求解一个20 阶线性方
程组,用消元法需3000 次乘法运 算;而用克莱姆法则要进行20 10 7 . 9 ×次运算,如用每秒1 亿次乘法运 算的计算机要30 万年。
2.存储量。 大型问题有必要考虑。
3.精度。
2019/12/14
© Wuhan University Confidential
3
误差来源
• 模型误差 • 方法误差 • 观测误差 • 舍入误差
2019/12/14
© Wuhan University Confidential
4
来源一 : 模型误差
• 模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将 所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这 就带来了与实际问题的误差。
提问：数值分析是做什么用的？
数值分析(03)赋范线性空间(1)
m ax a j
1 j n
1
m ax a ij
1 j n i 1
数值分析
数值分析
特 征 值 及 对 应 特 征 向 量 :对 A R
特征对 ( , x )满足 Ax x , x 0
n n
Ax x , x 0 ( I A ) x 0 , x 0
2 2
|| x || || x ||2
n || x ||
注意： 1.等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混
用不同的范数。
2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。
数值分析
数值分析
2. R
n n
, A ( a ij ) n n
n n n n
定 义 (矩 阵 的 范 数 ) 若 矩 阵 A R 的 一 个 实 值 函 数 F ( A )( F : R R) 满足条件 ① ( 正 定 性 ) F ( A ) 0, 及 F ( A ) 0当 且 仅 当 A 0; ② ( 齐 次 性 ) k R , 有 F ( kA ) k F ( A ); ③ ( 三 角 不 等 式 ) A , B R 有 F ( A B ) F ( A ) F ( B ); ④ ( 相 容 性 ) A , B R 有 F ( A B ) F ( A ) F ( B ). 则 称 F ( A )是 R
2
max ( A T A )
T T
其中 max ( A A ) 表示 ( A A )的最大特征值 .
数值分析
数值分析
例 ： 证 明 矩 阵 的 1范 数 ： A R
n n
，A
1
第1章 距离空间和赋范空间(2)kj
S ( x0 , r ) = {x : d ( x, x0 ) r} 容易知道 U ( x0 , r ) 和 S ( x0 , r ) 分别是 X 中的开集和闭集 . 因此分别称
U ( x0 , r ) 和 S ( x0 , r ) 是以 x0 为中心, 以 r 为半径的开球和闭球.
下面的一些定理, 其证明与 R n 中的情形完全类似, 因此我们略去 它们的证明. 定理 1.4.1 (开集的基本性质)开集具有如下的性质: (1) 空集 和全空间 X 是开集. (2) 任意个开集的并集是开集. (3) 有限个开集的交集是开集. 定理 1.4.2 设 X 是距离空间, A Ì X . 则以下三项是等价的: (1) x Î A¢. (2) 对任意 > 0, U ( x, ) -{x} 中包含 A 中的点.
(3) 对任一闭球 S , 存在闭球 S1 Ì S , 使得 S 1 A = Æ.
证明 (1) (2). 设 ( A) = Æ. 则对于任何开球 U , U Ç ( A)C ¹ Æ (否 则 U Ì A , 从而 U Ì ( A), 这与 ( A) = Æ 矛盾 ). 由于 U Ç ( A)C 是开集 , 因此存在开球 U1 Ì U Ç ( A)C . 此时 U1 A = Æ, 于是更加有 U1 A = Æ. 反 过 来 , 对 任 意 x Î X 和 > 0, 由假设条件, 存在开球
(2) (3). 注意到对任意 A Ì Y , 成立 T -1 ( AC ) = (T -1 ( A))C . 利用开
集与闭集的对偶性即知. ■ 3 空间的可分性 在 R1 中有一个既是可列, 又是稠密的子集, 就是有理数集 Q . 这个 事实有时候是很有用的. 对于一般的距离空间, 不见得总是存在一个可 列的稠密子集 . 为了区别这两类不同的距离空间 , 我们给出下面的定 义. 定义 1.4.5 设 X 是距离空间. 若在 X 中存在一个可列的稠密子集, 则称 X 是可分的. 例如 , 空间 R n 是可分的 . 这是因为 R n 中的有理点所成的集 Q n 是 R n 的可列的稠密子集. 下面考察几个重要空间的可分性. 例 2 空间 l p (1 £ p < ¥) 是可分的 . 为叙述简便计, 下面只对实 A = { ( r1 , , rn , 0, ) : ri Î Q, n = 1, 2, }. 则 A 是 l p 中的可列集. 我们证明 A 在 l p 中稠密. 根据定理 1.4.6, 只需证 明 对 任 意 x Î l p 和 > 0,
U ( x0 , r ) 和 S ( x0 , r ) 是以 x0 为中心, 以 r 为半径的开球和闭球.
下面的一些定理, 其证明与 R n 中的情形完全类似, 因此我们略去 它们的证明. 定理 1.4.1 (开集的基本性质)开集具有如下的性质: (1) 空集 和全空间 X 是开集. (2) 任意个开集的并集是开集. (3) 有限个开集的交集是开集. 定理 1.4.2 设 X 是距离空间, A Ì X . 则以下三项是等价的: (1) x Î A¢. (2) 对任意 > 0, U ( x, ) -{x} 中包含 A 中的点.
(3) 对任一闭球 S , 存在闭球 S1 Ì S , 使得 S 1 A = Æ.
证明 (1) (2). 设 ( A) = Æ. 则对于任何开球 U , U Ç ( A)C ¹ Æ (否 则 U Ì A , 从而 U Ì ( A), 这与 ( A) = Æ 矛盾 ). 由于 U Ç ( A)C 是开集 , 因此存在开球 U1 Ì U Ç ( A)C . 此时 U1 A = Æ, 于是更加有 U1 A = Æ. 反 过 来 , 对 任 意 x Î X 和 > 0, 由假设条件, 存在开球
(2) (3). 注意到对任意 A Ì Y , 成立 T -1 ( AC ) = (T -1 ( A))C . 利用开
集与闭集的对偶性即知. ■ 3 空间的可分性 在 R1 中有一个既是可列, 又是稠密的子集, 就是有理数集 Q . 这个 事实有时候是很有用的. 对于一般的距离空间, 不见得总是存在一个可 列的稠密子集 . 为了区别这两类不同的距离空间 , 我们给出下面的定 义. 定义 1.4.5 设 X 是距离空间. 若在 X 中存在一个可列的稠密子集, 则称 X 是可分的. 例如 , 空间 R n 是可分的 . 这是因为 R n 中的有理点所成的集 Q n 是 R n 的可列的稠密子集. 下面考察几个重要空间的可分性. 例 2 空间 l p (1 £ p < ¥) 是可分的 . 为叙述简便计, 下面只对实 A = { ( r1 , , rn , 0, ) : ri Î Q, n = 1, 2, }. 则 A 是 l p 中的可列集. 我们证明 A 在 l p 中稠密. 根据定理 1.4.6, 只需证 明 对 任 意 x Î l p 和 > 0,