空间向量解决空间距离问题PPT教学课件

2x, 3x,
取x＝1，得其中一个n
选A1E与BD1的两点向量为D1A1 1,
0,
(1,
0
2, 3)
,A
x
D
得A1E与BD1的距离
d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
孔子和孟子的生平
孔子和孟子是春秋战国时期著名的
思想家、教育家，在两千多年的封建社 会里，被尊为“圣人”和“亚圣”。他 们的思想观念，对中国社会产生过深远 的影响，甚至远及日本、朝鲜、欧洲等 地，在世界文化史上占有相当重要的地
练习4：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,
∠ACB=900,AA1= 2 ,
求B1到平面A1BC的距离。C1 z
A1
B1
C
A
B
x
y
练习5：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
AC=BC=AB=1, AA1= 2
z
求B1到平面A1BC的距离。 C1
A1
B1
C
xA M
B y
练习6：
(2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
z
D1
A1
D
A
x
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
孔子和孟 子作为凡 人的一面
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
练习3:
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求直线DA1和AC间的距离。
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
位。
让我们走近这两位先哲，让他们思想 的光环也闪耀在我们这一代人的心中！
综合性学习
我所了解的孔子和孟子
圣人孔子
• 孔子，名丘，字仲尼， 春秋时期鲁国人。他 的祖先是宋国贵族， 大约在孔子前几世没 落了，失掉了贵族的 地位，《史记》称 “孔子贫且贱”，孔 子自己也说：“吾少 也贱，故能多鄙事。” （《论语·子罕》）
孔子十五岁立志学习，先后 做过吹鼓手、仓库和牧场管 理员、小司空(掌管工程)及 司寇(掌管刑法)，曾拜老子 为师；五十多岁后周游列国， 宣传自己的政治主张。晚年 收徒讲学，并著书立说，编 修整理了《诗》、《书》、 《礼》、《乐》、《周易》、 《春秋》等书，直至七十三 岁逝世。
孔府
亚圣孟子
战国时期伟大的思想家， 名轲，邹（今山东邹县） 人。他幼年丧父，家庭贫 困，在母亲的教导下勤奋 学习。青年时以士的身份 游说诸侯，推行自己的政 治主张，后来退居讲学。 孟子继承和发展了孔子的 思想，提出一套完整的思 想体系，对后世产生了极 大的影响，被尊奉为“亚 圣”。
取x＝1，得平面A1BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
z
D1 A1
E
C1 B1
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3
A
x
Cy
B
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，
DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示
则D1
(0,
0,1),
B(1,1,
0),
A1
(1,
0,1),
E
(0,
1 2
,1)
z
A1E
1,
1 2
,
0
,
D1B 1,1, 1
设n (x, y, z)是与A1E, D1B都垂直的向量，
D1
则
n
A1E
0,
x 1 y 0, 2
A1
n D1B 0, x y z 0,
E
C1 B1
即zy
(4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。
z
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习2：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。
A
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
二、直线到平面的距离
l
d | AP n | n
P
n
d
O A
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
n
P
d O
四、异面直线的距离
d | AP n | a n
AP ?
b
n?
A
n 是与 a, b 都垂直的向量
n
P
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(1) 求B1到面A1BE的距离； z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
Sz
(2)求二面角N CM B的大小；
(3)求 点B到 平 面CMN的 距 离.
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C
O
y
B
A
M
x
2)A1E
=(-1,1 2
,0),A1B=(0,1,-1)设n
(
x,
y,
z)为面A1BE的法向量，
则
n
A1E
0,
x 1 y 0, 2
n A1B 0, y z 0,
即zy
2x, 2x,
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面
ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，
求点B到平面GEF的距离。
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
练习7：
在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角
形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ，
M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面
CMN的距离. (1)证明：AC SB;
立体几何中的向量方法 ------距离问题
一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
d
sin
AP
d | AP | sin
P
n
| AP n |
sin
d
AP n
d | AP n | n
O