空间两点间距离公式含详解
安徽省桐城中学2023届数学高一上期末监测模拟试题含解析
6、B
【解析】先对三个数化简,然后利用指数函数的单调性判断即可
【详解】 a
3
3
1
33
,
b
sin
3
6
1
32
,c
log3 27 log3 33
3,
因为 y 3x 在 R 上为增函数,且 1 1 1, 32
所以
1
33
1
32
31 ,
所以 a b c ,
故选:B
7、D
【解析】A 错误,比如过原点的直线,横纵截距均为 0,这时就不能有选项中的式子表示;
解得 z 3,则点 M 的坐标为 0,0, 3
故选:B. 10、A
【解析】根据题意可得函数 f x 是奇函数,且在 R 上单调递增.然后由 a b 0,b c 0, c a 0 , 可得 a b,b c,c a ,结合单调性可得 f a f b, f b f c, f c f a ,所以
2
6.已知
a
3
3,b
sin
36
,c
log3
27
,则
a,b, c
的大小关系为()
A. a c b
B. a b c
C. c a b
D. c b a
7.下列说法正确的是
A.截距相等的直线都可以用方程 x y 1表示 aa
B.方程 x my 2 0(m R) 不能表示平行 y 轴的直线
选项 A 显然不成立,选项 C 中,样本的标准差可以近似地反映总体的稳定状态,、数据的方差越大,说明数据越不稳 定,故选 B 4、D 【解析】
根据题意,依次判断选项中函数的奇偶性、单调性,从而得到正确选项. 【详解】根据题意,依次判断选项:
2022-2023学年福建省罗源第二中学、连江二中数学高一上期末达标检测试题含解析
所以函数解析式为: ,
易得 为偶函数且在 单调递减,在 单调递增
A: ,正确;B: ,错误;
C: ,错误;D: ,错误
故选A
【点睛】本题考查利用待定系数法求解函数解析式,函数奇偶性和单调性的关系:奇函数在对应区间的函数单调性相同;偶函数在对应区间的函数单调性相反
6、D
【解析】判断出 ,再利用一元二次不等式的解法即可求解.
(2)解法①:分离参数可得 ,令 , ,求出 的最大值即可求解;解法②:不等式转化为 恒成立,令 , ,可得函数 , ,讨论 或 即可求解.
【详解】(1)解法①:当 时, ,没有零点;
当 时,函数 是增函数,
则需要 ,解得 .
,
满足零点存在定理 .
因此函数 在区间 内有一个零点
综上所述, 的取值范围为 .
21、(1)125(2)0
【解析】(1)按照指数运算进行计算即可;
(2)按照对数运算进行计算即可;
【小问1详解】
;
【小问2详解】
.
A.10%B.20%
C.50%D.100%
10.已知函数 是定义在R上的偶函数,且 ,当 时, ,则 在区间 上零点的个数为()
A.2B.3
C.4D.5
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
11.若直线 与圆 相切,则 __________
12.已知 , 是相互独立事件,且 , ,则 ______
故选:B.
【点睛】本题考查对数的运算,考查运算求解能力,求解时注意对数运算法则的运用.
10、C
【解析】根据函数的周期性、偶函数的性质,结合零点的定义进行求解即可.
【详解】因为 ,所以函数的周期为 ,
空间两点间距离公式含详解
一、选择题
1.点 P 22, 33,- 66到原点的距离是
()
30 A. 6
B.1
33 C. 6
35 D. 6
[答案] B
2.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是
()
A.|a|
二、填空题 4.已知点A在x轴上,点B(1,2,0),且d(A,B)=,则点 A的坐标是____________. [答案] (0,0,0)或(2,0,0) [解析] 设点A坐标为(x,0,0),
解得x=0或x=2. ∴点A的坐标为(0,0,0)或(2,0,0).
5.已知点P在z轴上,且d(P,O)=1(O是坐标原点), 则点P到点A(1,1,1)的距离是________.
[例3] 求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐 标满足的条件.
[解析] 设 P(x,y,z), 则 PA= (x-2)2+(y-3)2+z2, PB= (x-5)2+(y-1)2+z2. ∵PA=PB, ∴ (x-2)2+(y-3)2+z2= (x-5)2+(y-1)2+z2. 化简得 6x-4y-13=0. ∴点 P 的坐标满足的条件为 6x-4y-13=0.
[解析] 以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标 系.
则D(0,0,5),A(3,-4,0),
已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12),求证A、 B、C三点在同一条直线上.
[解析] d(A,B)= (2-1)2+(4-2)2+(8-4)2= 21, d(B,C)= (3-2)2+(6-4)2+(12-8)2= 21, d(A,C)= (3-1)2+(6-2)2+(12-4)2=2 21, ∴AB+BC=AC,故 A、B、C 三点共线.
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题(三)含解析
成都高2025届高二期末考试数学复习试题(三)(答案在最后)一、单选题(共8个小题,每个小题5分,共40分)1.设直线l sin 20y θ++=,则直线l 的倾斜角的取值范围是()A.[)0,πB.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围.sin 20y θ++=的倾斜角为[)0πa a Î,,,则由直线可得tan a q =Î,所以π2π0,,π33a 轾轹÷Î犏÷犏臌滕,故选:D2.能够使得圆x 2+y 2-2x +4y +1=0上恰有两个点到直线2x +y +c =0距离等于1的c 的一个值为()A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3,列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=,可得圆心为()1,2-,半径为2,根据圆的性质可知,当圆心到直线的距离大于1且小于3时,圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1,由()1,3d =可得(c ∈-⋃,经验证,3c =∈,符合题意,故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程,点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质,意在考查数形结合思想的应用,属于中档题.3.若椭圆的中心为原点,对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形,焦点到椭圆上点的)A.221129x y +=B.221129x y +=或221912x y +=C.2213612x y += D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得b =,由焦点到椭圆上点的最短距离为a c -,结合222a b c =+可得.【详解】由题意,当椭圆焦点在x 轴上,设椭圆方程为:22221x ya b+=,由题意b =,a c -=所以2a c ===,c =a =,3b =,所以椭圆方程为:221129x y +=,当椭圆焦点在y 轴上时,同理可得:221912x y+=,故选:B4.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效,为深入了解该区的发展情况,现对该区两企业进行连续11个月的调研,得到两企业这11个月利润增长指数折线图(如下图所示),下列说法正确的是()A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过82%B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D.在这11个月中任选2个月,则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为411【答案】C 【解析】【分析】根据折线图估算AC ,对于B 项把月利润增长指数从小到大排列,计算1170⨯%=7.7可求,对于D 项用古典概型的概率解决.【详解】显然甲企业大部分月份位于82%以上,故利润增长均数大于82%,A 不正确;乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2,1,3,4,8,5,6,7,9,11,10又因为1170⨯%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份,即7月份是第70百分位,从折线图可知,7月份利润增长均数大于82%,故B 错误;观察折现图发现甲企业的数据更集中,所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定,故C 正确;P (2个月乙企业月利润增长指数都小于82%)26211C 3C 11==,故D 错误.故选:C.5.已知空间三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)A B C -,则下列结论不正确的是()A.||||AB AC =B.点(8,2,0)P 在平面ABC 内C.AB AC ⊥D.若2AB CD =,则D 的坐标为31,5,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间两点距离公式判断A ,根据数量积的坐标运算判断B ,根据共面向量基本定理判断C ,根据向量的坐标运算判断D.【详解】因为||7AB ==,||7AC ==,故A 正确;因为(6,2,3)(2,3,6)126180AB AC →→⋅=--⋅--=--+=,所以AB AC ⊥,故C 正确;因为(6,2,3),(2,3,6)AB AC →→=--=--,(4,1,9)AP →=-,所以(4,1,9)AP AB AC →→→=+=-,所以点(8,2,0)P 在平面ABC 内,故B 正确;因为92(1,9,))(62(22,31,8,,),92AB CD ==------=-- ,显然不成立,故D 错误.故选:D6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据,并求得其平均数为70,方差为75,现发现在收集这些数据时,其中得两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90,在对错误得数据进行更正后,重新求得样本的平均数为X ,方差为2s ,则()A.270,75X sB.270,75X s ><C.270,75X s =>D.270,75X s =<【答案】D 【解析】【分析】根据平均数与方差的定义判断.【详解】因为80706090+=+,因此平均数不变,即70X =,设其他48个数据依次为1248,,,a a a ,因此()()()()()222221248707070607090705075a a a -+-++-+-+-=⨯ ,()()()()()22222212487070708070707050a a a s -+-++-+-+-=⨯ ,()250751004001004000s -=--=-<,∴275s <,故选:D .7.如图所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,ACBC ⊥,且3BC =,4AC =,13CC =,点P 在棱1AA 上,且三棱锥A PBC -的体积为4,则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于()A.4B.4C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =,然后以点C 为坐标原点,CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ,且AC BC ⊥,所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△,解得2PA =.如图所示,以点C 为坐标原点,CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ,则()3,0,0CB = ,()0,4,2CP = ,()13,0,3BC =-.设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =,则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩,即020x y z =⎧⎨+=⎩,得0x =,令1y =,得2z =-,所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量.设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ,则11110sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.故选:C.【点睛】方法点睛:求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;③求,利用解三角形的知识求角;(2)向量法,sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅ (其中AB 为平面α的斜线,n为平面α的法向量,θ为斜线AB 与平面α所成的角).8.已知F 1,F 2分别为双曲线C :221412x y -=的左、右焦点,E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C的右支交于A ,B 两点(其中点A 在第一象限),设M ,N 分别为△AF 1F 2,△BF 1F 2的内心,则ME NE -的取值范围是()A.44,33⎛⎫-⎪⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.3333,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ D.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质,可知M ,N 的横坐标都是a ,得到MN ⊥x 轴,设直线AB 的倾斜角为θ,有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ,根据θ∈(60∘,90∘],将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解:设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H 、I 、J ,则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=,得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ,∴122-=HF IF a ,即122-=JF JF a.设内心M 的横坐标为0x ,由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ,则()()002c x c x a +--=,得0x a =,则E 为直线JM 与x 轴的交点,即J 与E 重合.同理可得12BF F △的内心在直线JM 上,设直线AB 的领斜角为θ,则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ,||||()tan()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ,当2πθ=时,||||0ME NE -=;当2πθ≠时,由题知,2,4,===b a c a,因为A ,B 两点在双曲线的右支上,∴233ππθ<<,且2πθ≠,所以tan θ<tan θ>,∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠,∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ,综上所述,44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ.故选:B.二、多选题(共4个小题,每个小题5分,共20分)9.已知甲罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,4,5,乙罐中有四个相同的小球,标号为1,4,5,6,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”,事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”,则()A.事件A 与事件B 是互斥事件B.事件A 与事件B 不是对立事件C.事件A B ⋃发生的概率为1920D.事件A 与事件B 是相互独立事件【答案】ABC 【解析】【分析】由两球编号写出事件,A B 所含有的基本事件,同时得出所有的基本事件,然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB ,求出A B ⋃的概率判断C ,由公式()()()P AB P A P B =判断D .【详解】甲罐中小球编号在前,乙罐中小球编号在后,表示一个基本事件,事件A 含有的基本事件有:16,25,26,34,35,36,44,45,46,54,55,56,共12个,事件B 含有的基本事件有:11,14,15,21,31,41,51,共7个,两者不可能同时发生,它们互斥,A 正确;基本事件15发生时,事件,A B 均不发生,不对立,B 正确;事件A B ⋃中含有19个基本事件,由以上分析知共有基本事件20个,因此19()20P A B =,C 正确;123()205P A ==,7()20P B =,()0P AB =()()P A P B ≠,,A B 不相互独立,D 错.故选:ABC .10.在如图所示试验装置中,两个长方形框架ABCD 与ABEF 全等,1AB =,2BC BE ==,且它们所在的平面互相垂直,活动弹子,M N 分别在长方形对角线AC 与BF 上移动,且(0CM BN a a ==<<,则下列说法正确的是()A.AB MN⊥ B.MN 2C.当MN 的长最小时,平面MNA 与平面MNB 所成夹角的余弦值为13D .()25215M ABN a V-=【答案】ABC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,写出相应点的坐标,利用空间向量数量积的运算即可判断选项A ;利用空间两点间距离公式即可判断选项B ;根据二面角的余弦值推导即可判断选项C ;根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D .【详解】由题意可知:,,BA BC BE 两两互相垂直,以点B 为坐标原点,,,BA BE BC为,,x y z 轴正方向,建立空间直角坐标系,建系可得525525,0,2,,,05555a a a a M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()25250,,2,1,0,055a a MN BA ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭,0,AB MN AB MN ∴⋅=∴⊥,故选项A 正确;又MN===∴当2a=时,min||MN=,故选项B正确;当MN最小时,,,2a M N=分别是,AC BF的中点,取MN中点K,连接AK和BK,,AM AN BM BN==,,AK MN BK MN∴⊥⊥,AKB∠∴是二面角A MN B--的平面角.BMN中,,2BM BN MN===,可得2BK==,同理可得2AK=,由余弦定理可得331144cos322AKB∠+-==,故选项C 正确;2125252522365515M ABN ABNa aV S h-⎛⎫-=⨯⨯=⨯-=⎪⎪⎝⎭,故选项D错误.故选:ABC.11.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经拋物线反射后,沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之,平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O=为坐标原点,一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入,经过C上的点()11,A x y反射后,再经C上另一点()22,B x y 反射后,沿直线2l 射出,经过点Q ,则()A.PB 平分ABQ ∠B.121y y =-C.延长AO 交直线14x =-于点D ,则,,D B Q 三点共线D.2516AB =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ,根据题意求得()1,1A ,11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,从而证得PA AB =,结合平面几何的知识易得PB 平分ABQ ∠;对于B ,直接代入12,y y 即可得到1214y y =-;对于C ,结合题意求得11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,由,,D B Q 的纵坐标相同得,,D B Q 三点共线;对于D ,由选项A 可知2516AB =.【详解】根据题意,由2:C y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,又由//PA x 轴,得()1,1A x ,代入2:C y x =得11x =(负值舍去),则()1,1A ,所以141314AF k ==-,故直线AF 为4134y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即4310x y --=,依题意知AB 经过抛物线焦点F ,故联立24310x y y x --=⎧⎨=⎩,解得11614x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,对于A ,412511616PA =-=,2516AB =,故PA AB =,所以APB ABP ∠=∠,又因为//PA x 轴,//BQ x 轴,所以//PA BQ ,故APB PBQ =∠∠,所以ABP PBQ ∠=∠,则PB 平分ABQ ∠,故A 正确;对于B ,因为12141,y y =-=,故1214y y =-,故B 错误;对于C ,易得AO 的方程为y x =,联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩,故11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,又//BQ x 轴,所以,,D B Q 三点的纵坐标都相同,则,,D B Q 三点共线,故C 正确;对于D ,由选项A 知2516AB =,故D 正确.故选:ACD..12.己知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的左,右焦点分别为1F ,2F ,圆22:(2)1M x y +-=,点P 在椭圆C 上,点Q 在圆M 上,则下列说法正确的有()A.若椭圆C 和圆M 没有交点,则椭圆C的离心率的取值范围是2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.若1b =,则||PQ 的最大值为4C.若存在点P 使得213PF PF =,则0b <≤D.若存在点Q使得12QF =,则1b =【答案】ACD 【解析】【分析】A 根据已知,数形结合得01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点,进而求离心率范围;B 令(,)P x y ,求得||MP =,结合椭圆有界性得max ||MP =即可判断;C 由题设123,1PF PF ==,令(,)P x y,进而得到((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩,结合点在椭圆上得到公共解(0,2]x =求范围;D将问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点.【详解】由椭圆C 中2a =,圆M 中圆心(0,2)M ,半径为1,如下图示,A :由于02b <<,由图知:当01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点,此时离心率,12e ⎛⎫⎪ ⎪⎝==⎭,对;B :当1b =时,令(,)P x y,则||MP =,而224(1)x y =-,所以||MP =,又11y -≤≤,故max ||MP =所以||PQ1+,错;C :由1224PF PF a +==,若213PF PF =,则123,1PF PF ==,由12(F F ,令(,)P x y ,且2221)(4x y b =-,则((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,即2222(4)200(4)120b x b x ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩,所以(0,2]x =,则23b ≤,且02b <<,故0b <≤D :令(,)Q x y,若12QF =,所以2222(3[(]x y x y +=-+,则222(4)0x b y -+-+=,所以222(3(4)x y b -+=-,Q轨迹是圆心为的圆,而(0,2)M与的距离为,要使点Q 存在,则1|1-≤≤,可得22(1)0b -≤,且02b <<,即1b =,对;故选:ACD【点睛】关键点点睛:对于C ,根据已知得到123,1PF PF ==,设(,)P x y ,利用两点距离公式得到方程组,求出公共解(0,2]x =为关键;对于D ,问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点为关键.三、填空题(共4个小题,每个小题5分,共20分)13.若直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行,则这两条平行线之间的距离是__.【答案】322【解析】【分析】由题意结合直线平行的性质可得2m =-,再由平行线间的距离公式即可得解.【详解】 直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行,∴2(1)4111m m +-=≠-,解得2m =-,故直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=即为直线10x y +-=与直线20x y ++=,2=,故答案为:2.【点睛】本题考查了直线平行性质的应用,考查了平行线间距离公式的应用,属于基础题.14.曲线1y =+与直线l :y =k (x -2)+4有两个交点,则实数k 的取值范围是________.【答案】53124,纟çúçú棼【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆,再判断直线l 是过定点()24,的直线,利用数形结合判断k 的取值范围.【详解】直线l 过点A (2,4),又曲线1y =+0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图,当直线l 与半圆相切,C 为切点时,圆心到直线l 的距离d =r,2=,解得512k =.当直线l 过点B (-2,1)时,直线l 的斜率为()413224-=--,则直线l 与半圆有两个不同的交点时,实数k 的取值范围为53124,纟çúçú棼.故答案为:53124,纟çúçú棼15.数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,四名同学的部分统计结果如下:甲同学:中位数为3,方差为2.8;乙同学:平均数为3.4,方差为1.04;丙同学:中位数为3,众数为3;丁同学:平均数为3,中位数为2.根据统计结果,数据中肯定没有出现点数6的是______同学.【答案】乙【解析】【分析】假设出现6点,利用特例法,结合平均数和方差的计算公式,即可求解.【详解】对于甲同学,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,平均数为:()11233635x =++++=,方差为()()()()()22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==,可以出现点数6;对于乙同学,若平均数为3.4,且出现点数6,则方差221(6 3.4) 1.352 1.045S >-=>,所以当平均数为3.4,方差为1.04时,一定不会出现点数6;对于丙同学,当掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,众数为3,可以出现点数6;对于丁同学,当投掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时,满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6.综上,根据统计结果,数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.故答案为:乙16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为e ,点P 在椭圆上,连接1PF 并延长交C 于点Q ,连接2QF ,若存在点P 使2PQ QF =成立,则2e 的取值范围为___________.【答案】)11,1⎡-⎣【解析】【分析】设11,QF m PF n ==,所以存在点P 使2PQ QF =等价于()2min0,PQ QF -≤由2112am n b +=可求222PQ QF m n a -=+-的最小值,求得22b a的范围,从而得到2e 的取值范围.【详解】设11,QF m PF n ==,则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时,2PQ QF >,所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-,在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅,即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅,解得2cos b n a c θ=-,同理可得2cos b m a c θ=+,所以2112a m n b +=,所以()(2223112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,所以22min1)(22)22b m n a a a++-=-,当且仅当n =时等号成立.由221)202b a a+-≤得2212b a ≤-,所以2111e -≤<.故答案为:)11,1⎡-⎣【点睛】关键点点睛:求离心率范围关键是建立,,a b c 的不等式,此时将问题转化为()2min0PQ QF -≤,从而只需求222PQ QF m n a -=+-的最小值,求最小值的方法是结合焦半径性质211112aPF QF b+=使用基本不等式求解.四、解答题(共7个题,17题10分,18题—22题每题12分,共70分)17.在平面直角坐标系xOy 中,存在四点()0,1A ,()7,0B ,()4,9C ,()1,3D .(1)求过A ,B ,C 三点的圆M 的方程,并判断D 点与圆M 的位置关系;(2)若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8,求直线l 的方程.【答案】(1)228870x y x y +--+=,D 在圆M 内;(2)43130x y +-=或1x =.【解析】【分析】(1)设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程,把D 坐标代入圆的方程判定位置关系即可;(2)对直线分类讨论,设出直线方程,利用直线与圆相交,已知弦长求直线方程.【小问1详解】设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=,把A ,B ,C 三点坐标代入可得:10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-,8E =-,7F =,所以圆M 方程是228870x y x y +--+=,把D 点坐标代入可得:1982470+--+<,故D 在圆M 内;【小问2详解】由(1)可知圆M :()()224425x y -+-=,则圆心()4,4M ,半径=5r ,由题意可知圆心到直线l 的距离是3,当直线l 斜率存在时,设直线l 方程为:()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=,3=,解得43k =-,故直线l 的方程为43130x y +-=;当直线l 斜率不存在时,则直线l 方程为:1x =,此时圆心到直线l 的距离是3,符合题意.综上所述,直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛.为了了解本次比赛成绩情况,从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:频率分布表组别分组频数频率第1组[50,60)80.16第2组[60,70)a ▓第3组[70,80)200.40第4组[80,90)▓0.08第5组[90,100]2b 合计▓▓(1)求出a ,b ,x ,y 的值;(2)在选取的样本中,从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会,求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;(3)根据频率分布直方图,估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差(同一组的数据用该组区间的中点值作代表).【答案】(1)a =16,b =0.04,x =0.032,y =0.004(2)35(3)中位数为70.5,平均数为70.2,方差为96.96【解析】【分析】(1)利用频率=100%⨯频数样本容量,及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ,b ,x ,y ;(2)由(2)可知第四组的人数,已知第五组的人数是2,利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数,再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况,利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出.(3)根据频率分布直方图,估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差.【小问1详解】由题意可知,样本容量n =8500.16=,∴b =250=0.04,第四组的频数=50×0.08=4,∴508202416a =----=.y =0.0410=0.004,x =1650×110=0.032.∴a =16,b =0.04,x =0.032,y =0.004.【小问2详解】由题意可知,第4组共有4人,记为A ,B ,C ,D ,第5组共有2人,记为X ,Y .从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学,有AB ,AC ,AD ,BC ,BD ,CD ,AX ,AY ,BX ,BY ,CX ,CY ,DX ,DY ,XY ,共15种情况.设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ,有AX ,AY ,BX ,BY ,CX ,CY ,DX ,DY ,XY 共9种情况.所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P (E )=93155=.∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35.【小问3详解】∵[50,70)的频率为:0.160.320.48+=,[70,80)的频率为0.4,∴中位数为:0.50.48701070.50.4-+⨯=,平均数为:550.16650.32750.4850.08950.0470.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.方差为:()()()()()222225570.20.166570.20.327570.20.48570.20.089570.20.0496.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯﹣﹣﹣﹣﹣=.19.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,点0(,4)M x 在C 上,且52pMF =.(1)求点M 的坐标及C 的方程;(2)设动直线l 与C 相交于,A B 两点,且直线MA 与MB 的斜率互为倒数,试问直线l 是否恒过定点?若过,求出该点坐标;若不过,请说明理由.【答案】(1)M 的坐标为()4,4,C 的方程为24y x =;(2)直线l 过定点()0,4-.【解析】【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ,进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+,再联立直线l 与抛物线C 的方程,借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答.【小问1详解】抛物线2:2C y px =的准线:2px =-,于是得0522p p MF x =+=,解得02x p =,而点M 在C 上,即2164p =,解得2p =±,又0p >,则2p =,所以M 的坐标为()4,4,C 的方程为24y x =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ,直线l 的方程为x my n =+,由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得:2440y my n --=,则()2160m n ∆=+>,124y y m +=,124y y n =-,因此,121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅==⋅=--++--,化简得()121240y y y y ++=,即4n m =,代入l 方程得4x my m =+,即()40x m y -+=,则直线l 过定点()0,4-,所以直线l 过定点()0,4-.【点睛】思路点睛:直线与圆锥曲线相交,直线过定点问题,设出直线的斜截式方程,与圆锥曲线方程联立,借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.20.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形,AD AB ⊥,//AB DC ,PA ⊥底面ABCD ,点E 为棱PC 的中点.22AD DC AP AB ====.()1证明://BE 平面PAD .()2若F 为棱PC 上一点,满足BF AC ⊥,求二面角F AD C --的余弦值.【答案】()1证明见解析;()210.【解析】【分析】()1在PD 上找中点G ,连接AG ,EG ,利用三角形中位线性质得出12EG CD =,因为底面ABCD 是直角梯形,2CD AB =,所以能得出EG 平行且等于AB ,得出四边形ABEG 为平行四边形,再利用线面平行的判定,即可证出//BE 平面PAD ;()2根据BF AC ⊥,求出向量BF的坐标,进而求出平面FAD 和平面ADC 的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F AD C --的余弦值.【详解】解:()1证明:在PD 上找中点G ,连接AG ,EG ,图象如下:G 和E 分别为PD 和PC 的中点,∴EG //CD ,且12EG CD =,又 底面ABCD 是直角梯形,2CD AB =∴AB //CD ,且12AB CD =,∴AB GE //且AB GE =.即四边形ABEG 为平行四边形.∴AG E //B .AG ⊂平面PAD ,BE ⊄平面PAD ,∴//BE 平面PAD.()2以A 为原点,以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,可得()1,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()002P ,,,()1,1,1E ,()1,2,0BC = ,()2,2,2CP =-- ,()2,2,0AC = .由F 为棱PC 上一点,设()2,2,2CF CP λλλλ==-- ()01λ≤≤,所以()12,22,2BF BC CF λλλ=+=-- ()01λ≤≤,由BF AC ⊥,得()()2122220BF AC λλ⋅=-+-= ,解得34λ=,即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()1131131,0,0,,,,222222AF AB BF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面FAD 的法向量为(),,n a b c = ,由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可得113022220a b c b ⎧++=⎪⎨⎪=⎩所以030b a c =⎧⎨+=⎩,令1c =,则3a =-,则()3,0,1n =- ,取平面ADC 的法向量为()0,0,1m = ,则二面角F AD C --的平面角α满足:cos 10m n m nα⋅===⋅ ,故二面角F AD C --的余弦值为10.【点睛】本题考查线面平行的判定,空间二面角的平面角,建立空间直角坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,属于难题.21.已知O 为坐标原点,()120F -,,()220F ,,点P 满足122PF PF -=,记点P 的轨迹为曲线.E (1)求曲线E 的方程;(2)过点()220F ,的直线l 与曲线E 交于A B ,两点,求+ OA OB 的取值范围.【答案】(1)()2211.3y x x -=≥(2)[)4∞+,【解析】【分析】(1)根据双曲线的定义,易判断点P 的轨迹是双曲线的右支,求出,a b 的值,即得;(2)设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程,推出韦达定理,依题得出参数m 的范围,将所求式等价转化为关于m 的函数式,通过整体换元即可求出其取值范围.【小问1详解】因()120F -,,()220F ,,且动点P 满足12122PF PF F F -=<,由双曲线的定义知:曲线E 是以12F F ,为焦点的双曲线的右支,且2c =,1a =,则2223b c a =-=,故曲线E 的方程为()2211.3y x x -=≥【小问2详解】当直线l 的斜率为0时,直线l 与双曲线的右支只有一个交点,故不符题意.如图,不妨设直线l 方程为:2x my =+,设()11A x y ,,()22B x y ,,联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得()22311290m y my -++=,由韦达定理得1221221231931m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩,2121222124()443131m x x m y y m m -+=++=+=---,2212121212234(2)(2)2()431m x x my my m y y m y y m +⋅=++=+++=--.由题意:()()22212221223101243190403134031m m m x x m m x x m ⎧-≠⎪-⨯-⨯>⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪+⎪⋅=->⎪-⎩,解得:210.3m ≤<OA OB +=====,令2131t m =-,因210,3m ≤<故1t ≤-,而OA OB +== ,在(],1t ∞∈--为减函数,故4OA OB +≥ ,即OA OB + 的取值范围为[)4∞+,.22.如图,已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(±,过椭圆1C 上一点P (2,-1)作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点A ,B ,直线PA 、PB 的倾斜角互补,直线AB 与x ,y 轴正半轴相交,分别记交点为M ,N .(1)求直线AB 的斜率;(2)若直线AB 与双曲线2C 的左,右两支分别交于Q ,R ,求NQ NR 的取值范围.【答案】(1)12-(2)11(1,9+【解析】【分析】(1)先求出椭圆方程,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理求解A ,B 坐标,直接计算直线AB 斜率即可.(2)联立直线与双曲线的方程,利用求根公式表示出Q ,R 的坐标,化简NQ NR 的表达式,整理求出NQ NR的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>,顶点(±,可得a =(2,1)P -在椭圆1C 上,即24118b +=,得22b =,所以椭圆方程为22182x y +=,设等轴双曲线2C :222x y m -=,0m >,由题意等轴双曲线2C 的顶点为(±,可得2=8m ,所以双曲线2C 的方程为:228x y -=,因为直线PA 、PB 的倾斜角互补,且A ,B 是不同的点,所以直线PA 、PB 都必须有斜率,设直线PA 方程为(2)1y k x =--,联立22(2)1182y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +-+++-=,A 和P 点横坐标即为方程两个根,可得221681+4A P k k x x k ++=,因为=2P x ,所以22882=14A k k x k +-+,代入直线PA 可得2244114A k k y k--=+,即2222882441(,)1414k k k k A k k+---++,又因为直线PA 、PB 的倾斜角互补,将k 换成k -,可得2222882441(,)1414k k k k B k k --+-++,两点求斜率可得出12AB k =-所以直线AB 的斜率为12-【小问2详解】由(1)可设直线AB 的方程:12y x n =-+,又因为直线AB 与x ,y 轴正半轴相交,则0n >,联立方程组2212182y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,整理得2224480x nx n -+-=,22Δ168(48)0n n =-->,解得02n <<.联立直线AB 和双曲线方程221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩,消去y 得22344320x nx n +--=,利用求根公式可得23n x -±=,所以1Q R x NQ NR x ====,又因为204n <<,所以2632n >,则11>,即29<,所以1121019NQNR+<<,所以NQNR 的取值范围为11210(1,9+【点睛】方法点睛:(1)解答直线与圆锥曲线题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去一个未知数建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.。
空间几何中的距离公式
空间几何中的距离公式在空间几何中,距离公式是计算两点之间距离的重要工具。
距离公式不仅广泛应用于数学领域,还在物理学、工程学等各个领域发挥重要作用。
本文将详细介绍空间几何中的距离公式,包括二维空间和三维空间中的情况。
一、二维空间中的距离公式在二维空间中,我们可以使用欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2),它们之间的距离可以通过以下公式来计算:d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中,d表示两点之间的距离。
以一个例子来说明。
假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7),我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式,我们有:d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此,点A和点B之间的距离为5个单位长度。
二、三维空间中的距离公式在三维空间中,我们可以使用三维欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2),它们之间的距离可以通过以下公式来计算:d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)以一个例子来说明。
假设有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6),我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式,我们有:d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3因此,点A和点B之间的距离为3√3个单位长度。
距离公式在空间几何中有着广泛的应用。
在实际问题中,我们经常需要计算两点之间的距离,比如在导航系统中计算两地之间的距离,或者在建筑工程中计算两个点之间的距离等。
空间两点间距离公式含详解
空间两点间距离公式含详解直线距离公式可以表示为:d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)其中,(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)是两点的坐标。
下面我们详细解释直线距离公式的每个部分。
(x2-x1)²:代表两点在X轴上的距离的平方。
首先,我们计算两点在X轴上的差值,即(x2-x1),然后将其平方。
(y2-y1)²:代表两点在Y轴上的距离的平方。
同样,我们计算两点在Y轴上的差值,即(y2-y1),然后将其平方。
(z2-z1)²:代表两点在Z轴上的距离的平方。
同样地,我们计算两点在Z轴上的差值,即(z2-z1),然后将其平方。
最后,我们将每个轴上的差值的平方相加,得到一个结果。
然后,我们再将该结果取平方根,得到最终的距离。
这个公式的推导可以通过三维空间中的勾股定理来完成。
根据勾股定理,三个非重合的点形成的三角形,可以用勾股定理计算三边之间的关系。
而直线距离公式就是在三维空间中的勾股定理的扩展。
直线距离公式还可以推广到更高维度的空间中。
在四维空间中,该公式变成了:d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²+(w2-w1)²)其中的(w2-w1)²表示两点在第四个维度上的距离的平方。
需要注意的是,在计算直线距离时,坐标的单位应该是一致的。
如果两点的坐标使用不同的单位,计算出的距离将会是不准确的。
直线距离公式在空间几何中有广泛的应用,例如在计算机图形学、机器人路径规划、物体定位等领域。
它是测量两点之间最短路径长度的一种有效工具。
总结起来,直线距离公式通过计算两点在每个轴上的差值的平方和,并取其平方根,来计算空间中两点间的距离。
该公式可以应用于二维、三维或更高维度的空间。
它是空间几何中常用的工具之一,具有广泛的应用领域。
2023届吉林省长春市重点名校高一数学第一学期期末调研试题含解析
【解析】本题考查向量 基本运算
对于A, ,故A不正确;对于B,由于向量的加减运算的结果仍为向量,所以 ,故B错误;由于向量的数量积结果是一个实数,故C错误,C的结果应等于0;D正确
10、C
【解析】由全称命题的否定是特称命题即可得结果.
【详解】由全称命题的否定是特称命题知: , ,
是 , ,故选:C.Fra bibliotek13.已知平面 和直线 ,给出条件:
① ;② ;③ ;④ ;⑤
(1)当满足条件_________时,有 ;
(2)当满足条件________时,有 .(填所选条件的序号)
14.已知直线 平行,则实数 的值为____________
15.不等式 的解集为___________.
16.已知空间中两个点A(1,3,1),B(5,7,5),则|AB|=_____
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的
1.函数 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
(2)依题意可得集合 ,分 与 两种情况讨论,分别到不等式,解得即可;
【小问1详解】
解:由 得解 ,所以 ,又
若 ,分类讨论:
当 ,即 解得 ,满足题意;
当 ,即 ,解得 时,
若满足 ,则必有 或 ;
解得 .
综上,若 ,则实数t的取值范围为 .
【小问2详解】
解:由“ ”是“ ”的必要不充分条件,则集合 ,
对于D,由指数函数的单调性知,正确.
河南省郑州二中2023届高一上数学期末检测模拟试题含解析
【详解】由题设, ,可得 ,
所以 .
故选:A
9、D
【解析】由题意利用角在各个象限 符号,即可得出结论.
【详解】由题意,点 在第二象限,
则角 的终边所在的象限位于第四象限,故选D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,以及三角函数在各个象限的符号,其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
【解析】(1)由 结合正弦面积公式及余弦定理得到 ,进而得到结果;(2)由 结合内角和定理可得 分两类讨论即可.
试题解析:
(1) ,由余弦定理得,
(2)
即 或 (ⅰ)当 时,由第(1)问知 , 是等腰三角形, (ⅱ)当 时,由第(1)问知 , 又 ,矛盾,舍.
综上 是等腰三角形,其面积为
点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:
C.[0,4)D.(0,4]
5.已知 , ,则 的值为
A. B.
C. D.
6.已知函数 是幂函数,且在 上是减函数,则实数m的值是()
A 或2B.2
C. D.1
7.已知向量 , , ,则
A. B.
C. D.
8.已知角 终边经过点 ,且 ,则 的值是()
A. B.
C. D.
9.已知点 在第二象限,则角 的终边所在的象限为
故可设PA: ,PB:
由 ,得 ,
因为 的横坐标 一定是该方程的解, ,
同理可得
由于AB的斜率 的斜率 ,
所以直线AB和OP一定平行
武清区天和城实验中学2020_2021学年高二数学上学期9月月考试题含解析
【答案】 或
【解析】
【分析】
分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可.
【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等。此时设直线方程为 ,则 ,故 ,化简得 .
当截距不为0时,设直线方程为 ,则 .故 ,化简可得 .
故答案为: 或 。
【详解】
所以 ,所以 。
【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理,把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.
三、解答题
16。 (1)当 为何值时,直线 : 与直线 : 平行?
(2)当 为何值时,直线 : 与直线 : 垂直?
【答案】(1) ;(2) 。
【解析】
【分析】
(1)先求出两直线的斜率,再根据两直线平行,则斜率相等且在y轴上的截距不相等求解.
将方程整理为一般式,即可根据斜率以及 轴上的截距判断直线经过的象限。
【详解】 等价于 ,
根据题意 ,故直线必经过第一、三象限;
又因为 ,故直线必经过第三、四象限,
故直线必经过第一、三、四象限.
故选:C。
【点睛】本题考查由直线方程的系数,确定直线经过的象限,属基础题.
5. 直线 与 (其中 , , ),在同一坐标系中的图象是下图中的( )
【详解】因为所求直线垂直于直线 ,又直线 的斜率为 ,
所以所求直线的斜率 ,
所以直线方程为 ,即 。
故选:A
【点睛】本题主要考查直线方程的求法,属基础题。
4。 已知 , ,则直线 通过( )
A. 第一、二、三象限B。 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
【答案】C
【解析】
2024届广东省深圳市高级中学高一数学第一学期期末联考试题含解析
2024届广东省深圳市高级中学高一数学第一学期期末联考试题请考生注意:1.请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的 1.已知sin cos 1sin 2cos 2θθθθ+=-,则tan θ的值为( )A.-4B.14-C.14D.42.在空间直角坐标系O xyz -中,已知球A 的球心为()1,0,0,且点(B -在球A 的球面上,则球A 的半径为() A.4 B.5 C.16D.253.铁路总公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm .设携带品外部尺寸长、宽、高分别为,,a b c (单位:cm ),这个规定用数学关系式表示为() A.130a b c ++< B.130a b c ++> C.130a b c ++≤D.130a b c ++≥4.在ABC ∆中,tan tan tan A B A B ++=,则C 等于A.6πB.4π C.3π D.23π5. “2,3k k πθπ=+∈Z ”是 “sin 2θ=”的( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.已知0,0x y >> ,且11112x y +=+,则x y +的最小值为 A.3 B.5 C.7D.97.直线l :mx y 10-+=与圆C :22x (y 1)5+-=的位置关系是( )A.相切B.相离C.相交D.不确定8.已知定义在R 上的偶函数()f x ,在(,0]-∞上为减函数,且(3)0f =,则不等式(3)()0x f x +<的解集是() A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞ B.(,3)(0,3)-∞-C.(3,0)(0,3)-⋃D.(,3)(3,3)-∞--9.已知函数()cos()0,02f x A x b πωϕωϕ⎛⎫=++>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则()f x 的解析式为( )A.()4cos 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B.()4cos 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C.()4cos 233f x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭D.()4cos 236f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭10.已知幂函数f (x )=x a的图象经过点P (-2,4),则下列不等关系正确的是( ) A.()()12f f -< B.()()33f f -< C.()()45f f >-D.()()66f f >-二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
福建省宁德市第二中学2022-2023学年高一数学第一学期期末综合测试试题含解析
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为 ,利用余弦函数的周期公式即可计算得解
【详解】先证明出 , .
因为 ,
同理可证 .
,
,
因此,原函数的最小正周期
【点睛】关键点点睛:本题考查余弦型函数最小正周期的求解,求解的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式,本题中用到了积化和差公式 , ,在解题时应先给与证明.
【解析】 Ⅰ 根据同角的三角函数的关系即可求出; Ⅱ 根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出; Ⅲ 由 ,根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出
【详解】 Ⅰ , ,
,
.
Ⅱ ,
.
Ⅲ , ,
,
,
,
.
【点睛】三角函数求值有三类,(1)“给角求值”;(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角
则
因为 ,所以当 时, .
【点睛】本题综合考查了三角函数的性质,及图象的平移变换,属于中档题
22、(1) ;(2)
【解析】(1)根据二次函数与对应一元二次不等式的关系,求出a的值,再解不等式 即可;
(2)根据二次函数 的图象与性质,列出不等式组 ,求出解集即可.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
高二寒假讲义07 直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式(含答案)知识梳理1、两直线相交直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行⇔方程组无解; 重合⇔方程组有无数个解.2、距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式为21221221)()(||y y x x P P -+-= 特别地,原点O (0,0)与任一点P (x ,y )的距离|OP |=x 2+y 2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2. (3)两条平行线间的距离公式一般地,两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0间的距离d =|C 1-C 2|A 2+B 2.知识典例题型一 交点问题例 1 直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上,则k 的值为( ) A .-24 B .6C .6±D .-6【答案】C 【分析】通过直线的交点代入两条直线方程,然后求解k 即可.【详解】解:因为两条直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上, 所以设交点为(0,)b ,所以30120b k kb -=⎧⎨-+=⎩,消去b ,可得6k =±.故选:C .巩固练习当0<k <12时,直线l 1:kx -y =k -1与直线l 2:ky -x =2k 的交点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【答案】B 【分析】 解方程组12kx y k ky x k-=-⎧⎨-=⎩得两直线的交点坐标,由102k <<,判断交点的横坐标、纵坐标的符号,得出结论.【详解】解方程组12kx y k ky x k -=-⎧⎨-=⎩,得两直线的交点坐标为21,11k k k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭, 1210,0,0211k k k k k -<<∴--, 所以交点在第二象限,故选B.题型二 两点的距离例 2 已知点()2,1A --,(),3B a ,且5AB =,则a 的值为( ) A .1 B .5-C .1或5-D .1-或5【答案】C 【分析】利用两点间距离公式构造方程求得结果. 【详解】 由题意知:()()222315AB a =+++=,解得:1a =或5-本题正确结果:C巩固练习(多选)对于225x x ++,下列说法正确的是( ) A .可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B .可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C .可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D .可看作点(),1x -与点()1,1-的距离 【答案】BCD 【分析】化简225x x ++=()()()()2222102111x x ++±=++--,结合两点间的距离公式,即可求解.【详解】由题意,可得()222514x x x ++=++=()()()()2222102111x x ++±=++--,可看作点(),0x 与点()1,2--的距离,可看作点(),0x 与点1,2的距离,可看作点(),1x -与点()1,1-的距离,故选项A 不正确, 故答案为:BCD.题型三 点到直线的距离例 3 已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l :ax +y +1=0的距离相等,则实数a 的值等于( )A .79B .13-C .79-或13-D .79-或13【答案】C 【分析】直接根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解,得到a 的值. 【详解】因为A 和B 到直线l 的距离相等, 由点A 和点B 到直线的距离公式, 2234163111a a a a --+++=++,化简得3364a a +=+|,()3364a a +=±+,解得实数79a =-或13-,故选C.巩固练习(多选)已知直线l 经过点(3,4),且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等,则直线l 的方程可能为( ) A .23180x y +-= B .220x y --= C .220x y ++= D .2360x y -+=【答案】AB 【分析】由题可知直线l 的斜率存在,所以设直线l 的方程为4(3)y k x -=-,然后利用点到直线的距离公式列方程,可求出直线的斜率,从而可得直线方程 【详解】当直线l 的斜率不存在时,显然不满足题意.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为4(3)y k x -=-,即430kx y k -+-=.由已知得2211k k =++,所以2k =或23k =-, 所以直线l 的方程为220x y --=或23180x y +-=. 故选:AB题型四 平行线间的距离例 4 已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行,则它们之间的距离是( )A .4B .1313C 51326D 71326【答案】D 【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,所以3∶2=6∶m,所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+12=0, 由两条平行直线间的距离公式可得:d=()2213232--+=7213=713.巩固练习若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行,则1l 与2l 间的距离为 【答案】823【分析】根据两直线平行求出a 的值,得出两条直线方程,再求直线之间的距离. 【详解】由题:直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行, 则()32a a =-,即2230a a --=,解得3a =或1a =-, 当3a =时,直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合; 当1a =-时,直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行, 两直线之间的距离为268232-=.题型五 三角形的面积求解例 5 已知直线l 过点()2,3P 且与定直线0:2l y x =在第一象限内交于点A ,与x 轴正半轴交于点B ,记AOB 的面积为S (O 为坐标原点),点(),0B a . (1)求实数a 的取值范围;(2)求当S 取得最小值时,直线l 的方程.【答案】(1)12a >(2)33y x =- 【分析】(1)求出直线l 与直线0:2l y x =平行时,直线l 的斜率,由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围;(2)当直线l 的斜率不存在时,求出点,A B 坐标,得出4S =;当直线l 的斜率存在时,设出方程,求出斜率的范围,联立直线l 与直线0l 的方程求出点A 坐标,由三角形面积公式结合判别式法,得出S 取得最小值时直线l 的斜率,进而得出直线l 的方程. 【详解】(1)当直线l 与直线0:2l y x =平行时,如下图所示322BP k a==-,解得12a =,此时不能形成AOB ,则12a ≠又点(),0B a 在x 轴正半轴上,且直线l 与定直线0l 在第一象限内交于点A12a ∴>(2)当直线l 的斜率不存在时,即(2,0)B ,(2,4)A ,此时12442S =⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(2)3y k x =-+ 由于斜率存在,则12a >且2a ≠ 又32BP k a=-,2k ∴>或k 0< 由(2)32y k x y x =-+⎧⎨=⎩,得3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭ 则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=-- 即2(4)(122)90S k S k ---+=由2(122)36(4)0S S ∆=---≥,整理得(3)0S S -则3S ≥,即S 的最小值为3此时2690k k -+=,解得3k =则直线l 的方程为3(2)333y x x =-+=-巩固练习已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x -3y +1=0和x +y =0,顶点A (1,2). 求:(1)BC 边所在的直线方程; (2)△ABC 的面积.【答案】(1) 2x +3y +7=0;(2)452. 【分析】(1)先判断A 点不在两条高线上,再利用垂直关系可得AB 、AC 的方程,进而通过联立可得解; (2)分别求|BC |及A 点到BC 边的距离d ,利用S △ABC =12×d ×|BC |即可得解. 【详解】(1)∵A 点不在两条高线上,由两条直线垂直的条件可设k AB =-,k AC =1. ∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x +2y -7=0,x -y +1=0. 由得B (7,-7). 由得C (-2,-1).∴BC 边所在的直线方程2x +3y +7=0. (2)∵|BC |=,A 点到BC 边的距离d =,∴S △ABC =×d ×|BC |=××=.巩固提升1、直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是( ) A .()1,2 B .()2,3C .()3,2D .()2,1【答案】B 【分析】联立两直线方程,求出公共解,即可得出两直线的交点坐标. 【详解】联立两直线的方程51y x y x =-+⎧⎨=+⎩,解得23x y =⎧⎨=⎩,因此,两直线的交点坐标是()2,3.故选:B.2、两平行直线12,l l 分别过点()()1,3,2,1P Q --,它们分别绕,P Q 旋转,但始终保持平行,则12,l l 之间的距离的取值范围是( ) A .()0,∞+ B .[]0,5C .(]0,5D.(【答案】C 【分析】先判断当两直线1l ,2l 与直线PQ 垂直时,两平行直线1l ,2l 间的距离最大,计算得到最大值,进而得到范围. 【详解】5PQ ==当1PQ l ⊥时,1l 与2l 的最大距离为5, 因为两直线平行,则两直线距离不为0, 故选:C.3、“C =5”是“点(2,1)到直线3x +4y +C =0的距离为3”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析:由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为33=,解得5C =或25C =-,所以“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件,故选B. 4、两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行,则它们之间的距离为( ) A.4 BCD 【答案】D 【分析】由两直线平行,可求得m 的值,代入两平行线距离公式,即可求解.【详解】因为两直线平行,所以361m ⨯=⨯,解得m =2, 将6x +2y +1=0化为3x +y +12=0, 由两条平行线间的距离公式得d==, 故选:D .5、直线l 经过原点,且经过另两条直线2380x y ++=,10x y --=的交点,则直线l 的方程为( ) A .20x y += B .20x y -=C .20x y +=D .20x y -=【答案】B 【分析】联立方程可解交点,进而可得直线的斜率,可得方程,化为一般式即可. 【详解】 联立方程238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩,解得:12x y =-⎧⎨=-⎩所以两直线的交点为()1,2--,所以直线的斜率为20210--=--,则直线l 的方程为:2y x =,即20x y -=. 故选:B6、若直线0kx y -=和直线2360x y +-=的交点在第一象限,则k 的取值范围为__________.【答案】,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得交点坐标为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据交点位置得到0,0,>>解出即可.【详解】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵直线0kx y --=和直线2360x y +-=的交点在第一象限,∴60,230,k ⎧+>⎪⎪+>解得3k >.故答案为3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭. 7、已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=,且12l l ⊥,则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______. 【答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由12l l ⊥得3420a ⨯+=,求出a ,再解方程组求交点坐标. 【详解】因为12l l ⊥,所以3420a ⨯+=,所以6a =-.联立3250,46110,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,1,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩,故直线1l 与直线2l 的交点坐标是12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为:12,2⎛⎫-⎪⎝⎭8、点(,6)P m 到直线3420x y --=的距离不大于4,则m 的取值范围是________. 【答案】462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据点到直线的距离公式即可列出不等式,解出即可. 【详解】4≤,解得4623m ≤≤.故答案为:462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
黑龙江省绥化七中2023届高一数学第一学期期末考试试题含解析
所以 的中点就是球心,所以 ,球的半径为: ,
所以球的表面积为:
故选B
【点睛】本题是基础题,考查四面体的外接球的表面积的求法,找出外接球的球心,是解题的关键,考查计算能力,空间想象能力
8、D
【解析】首先由题所给条件计算函数的周期性与对称性,作出函数图像, 在 上的所有根等价于函数 与 图像的交点,从两函数的交点找到根之间的关系,从而求得所有根的和.
【详解】解:设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1
第一条:AC1是满足条件的直线;
第二条:延长C1D1到C1且D1C2=1,AC2是满足条件的直线;
第三条:延长C1B1到C3且B1C3=1,AC3是满足条件的直线;
第四条:延长C1A1到C4且C4A1 ,AC4是满足条件的直线
故答案为4
【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力,考查分类与整合思想,是基础题
1.与 终边相同的角是
A. B.
C. D.
2.设 则 的最大值是()
A.3B.
C. D.
3.已知点 在函数 的图象上,则下列各点也在该函数图象上的是()
A. B.
C. D.
4.已知点 是第三象限的点,则 的终边位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
5.定义运算 ,若函数 ,则 的值域是()
【详解】函数 的图象上所有点向左平行移动 个单位长度,所得图象的解析式为 ,
把 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 , .
故选:D
【点睛】易错点睛:涉及三角函数图象变换问题,当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿x轴的伸缩量是不同的
2022-2023学年四川省成都市四川天府新区太平中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市四川天府新区太平中学高二上学期期末数学试题一、单选题1.命题“,”的否定是( )00x ∃≤200x ≥A .,B .,00x ∃<200x <0x ∀>2x <C .,D .,00x ∃>200x >0x ∀≤2x <【答案】D【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.【详解】解:因为存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题“,”的否定是“,”.00x ∃≤200x ≥0x ∀≤20x <故选:D.2.已知直线与直线平行,则实数的值为( )1:0l mx y +=2:9100l x my +-=m A .B .C .D .03-33±【答案】C【分析】由直线的位置关系列式求解,【详解】由题意知,则,得,经检验,时,12l l ∥290m -=3m =±3m =±12l l ∥故选:C 3.已知,,则线段AB 的长为( )()4,1,9A ()2,4,3BA .39B .7C .5D 【答案】B【分析】根据空间两点间距离公式即得.【详解】因为,,()4,1,9A ()2,4,3B.7=故选:B.4.抛物线的焦点到准线的距离为( )22y x =A .4B .2C .1D .12【答案】C【分析】利用抛物线的标准方程可得,由焦点到准线的距离为,从而得到结果.1p =p 【详解】抛物线的焦点到准线的距离为, 由抛物线标准方程可得,22y x =p 22y x =1p =故选:C.5.2019年某高校有2400名毕业生参加国家公务员考试,其中专科生有200人,本科生1000人,研究生有1200人,现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况,从中抽取一个容量为的样本,已知从专科生中抽取的人数为10人,则等于( )n n A .100B .200C .120D .400【答案】C【分析】根据给定条件,利用分层抽样方法列式计算作答.【详解】依题意,,解得,102400200n =120n =所以等于120.n 故选:C6.“社保”已经走入了我们的生活,它包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险、生育保险全年支出最重要的三项分别为养老保险、失业保险、工伤保险三项,下图是近五年三项社会保险基金的收支情况,下列说法中错误的是( )近五年三项社会保险基金收支情况A .三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增;B .三项社会保险基金在2020年以前支出为逐年递增;C .三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”(收入低于支出);D .2020年三项社会保险基金支出合计57580亿元,比上年增加3088亿元,约增长6.7%【答案】D【分析】根据条形图中给定数据结合题意分析所有选项即得.【详解】由条形图可知,三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增的,故A 正确;三项社会保险基金在2020年以前支出为逐年递增的,故B 正确;三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”,故C 正确;2020年三项社会保险基金支出合计57580亿元,比上年增加3088亿元,约增长5.7%,故D 错误.故选:D.7.是等腰直角三角形,在斜边AB 上任取一点,则的概率( )ACB △M AM AC <A B .C .D .341223【答案】A【分析】设,先求出点的可能位置的长度,然后可得答案.1BC AC ==M【详解】设,则,1BC AC ==AB =在斜边AB 上任取一点,满足的点的可能位置的长度为1,M AM AC <M,=故选:A8.运行如图所示的程序框图,若输入的A ,B 的值分别为5,7,则输出的结果为( )A .5,7B .7,5C .7,7D .5,5【答案】B【分析】按照程序框图运行即可.【详解】模拟程序的运行,可得:,,5A =7B =满足,,则,.A B <5K =7A =5B =所以输出A ,B 的值分别为7,5.故选: B .9.将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同,甲从袋中摸出一个小球,其号码为a ,放回后,乙从此口袋中再摸出一个小球,其号码为b ,则使不等式a -2b +4<0成立的事件发生的概率为( )A .B .C .D .183161412【答案】C【分析】由古典概型的概率计算公式可得.【详解】由题意,甲从袋中摸出一个球,其号码为,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码a 为,共有个基本事件;而使不等式a -2b +4<0成立的事件包含:,,,b 4416⨯=(1,3)(1,4)(2,4)共有4个基本事件;由古典概型公式得所求概率.(3,4)41=164P =故选:C .10.已知圆和圆的半径分别为方程的两根,两圆的圆心距是, 则两圆的位1O 2O 27100x x -+=3置关系是( )A .内含B .外离C .内切D .相交【答案】C【分析】解方程,再利用几何法克判断两圆的位置关系.27100x x -+=【详解】解方程,可得,,故两圆半径分别为、,27100x x -+=12x =25x =25因为两圆的圆心距是,故两圆内切.352=-故选:C.11.不等式在上恒成立的一个充要条件是( )20x x m -+>R A .B .C .D .14m >01m <<0m >1m >【答案】A【分析】结合二次函数的图像性质将问题等价于,由此可解.Δ0<【详解】令,()2f x x x m=-+则在上恒成立等价于的图像全在轴上方,20x x m -+>R ()f x x而开口向上,所以问题等价于,即,解得,()f x Δ0<()2140m --<14m >即在上恒成立等价于,20x x m -+>R 14m >故在上恒成立的一个充要条件为.20x x m -+>R 14m >故选:A.12.已知直线与椭圆:交于两点,弦平行轴,交轴于,的y kx =C 222212x y b b +=,A B BC y x D AD 延长线交椭圆于,下列说法正确的个数是()E ①椭圆;C ②;12AE k k =③;12AEBE k k ⋅=-④以为直径的圆过点.AE B A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D【分析】根据的关系可求离心率,根据两点斜率公式可判断②,联立方程,根据斜率公式以,,a b c 及韦达定理即可判断③④.【详解】由椭圆方程可知:,因此离心率,222222222,2a b c a b b b b =∴=-=-=c e a ===故①正确,设,则,,由斜率公式可得,即()00,A x y ()00,B x y --()0,0D x -00000021,,222AD AB AD AB y y y k k k k x x x ===∴=,故②正确,12AE k k=设,则直线的方程为,所以(),E m n AE ()02k y x x =+()02kn m x =+故()000000022BE km x y n y y k k m x m x m x +++===++++联立直线与椭圆:的方程可得,()02ky x x =+C 222212x y b b +=()222222002240k x k x x k x b +++-=由根与系数的关系可得,将其代入中,又 ,200222k x x m k -+=+002BE y k k m x =++00k y x =故,()()222002220022221122222222222BE y k k k y k k k k k k k k k x k x k k k kk +++=+=+=-=-=--=---+所以,所以以为直径的圆过点,故④正确,1BE AB k k BE AB ⋅=-⇒⊥AE B ,故③正确,1122AE BE k k k k ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭综上,①②③④均正确,故选:D二、填空题13.某中学高三(2)班甲,乙两名同学自高中以来每次考试成绩的茎叶图如图所示,则甲的中位数与乙的极差的和为___________.【答案】111【分析】求出甲的中位数和乙的极差即得解.【详解】解:由题得甲的中位数为,乙的极差为,86+88=8721037924-=所以它们的和为.8724111+=故答案为:11114.若椭圆的焦点在轴上,且离心率为,则______.22136x y m +=x 23e =m =【答案】20【分析】根据题意得到,结合离心率求出.236c m =-20m =【详解】由题意得:,则,2236,a b m ==236c m =-故,解得:.236243639m -⎛⎫==⎪⎝⎭20m =故答案为:20.15.某城市2017年到2021年人口总数与年份的关系如表所示,据此估计2022年该城市人口总数______(单位十万).(参考数据和公式:,)ˆ 3.2b =ˆˆa y bx =-年份(年)2017x +01234人口数(十万)y 5781119【答案】19.6【分析】由题可得样本中心,进而可得回归直线方程,再代入计算可得.5x =【详解】解:由题可得,,0123425x ++++==5781119105y ++++==又,ˆ3.2b =∴,ˆˆ102 3.2 3.6a y bx =-=-⨯=故关于的线性回归方程为,y x ˆ 3.2 3.6y x =+当时,.5x = 3.25 3..6ˆ619y=⨯+=故答案为:.19.616.椭圆的左、右焦点分别为,动点在椭圆上,为椭圆的上顶点,则22192x y +=12,F F A B 周长的最大值为_________.2ABF △【答案】12【分析】利用椭圆的定义可得到周长,由2ABF △2219BF AB AF AB AF ++=+-,即可求出答案113AB AF BF -≤=【详解】由椭圆可得,22192x y +=(())22222129,2,7,,,a b c a b B F F ===-=由于点为椭圆的上顶点,故,B 12232BF BF BF a +===周长为,2ABF △2221129BF AB AF BF AB a AF AB AF ++=++-=+-其中,当且仅当点在线段延长线上时取得等号,11AB AF BF -≤A 1BF即,13BF ==,13AB AF-≤所以周长,2ABF △2212BF AB AF ++≤故周长最大值为12.2ABF △故答案为:12三、解答题17.已知抛物线,其焦点到其准线的距离为,过焦点且倾斜角为的直()2:20C y px p =>F 2F 45︒线交抛物线于两点,l C ,A B (1)求抛物线的方程及其焦点坐标;C (2)求.AB【答案】(1),焦点坐标为;(2)8.24y x =()1,0【分析】(1)由抛物线的焦点到其准线的距离为,可得即可求解;F 22p =(2)将直线的方程与抛物线方程联立,利用韦达定理及过焦点的弦长公式即可求解.l 【详解】解:(1)抛物线的焦点到其准线的距离为,得,()2:20C y px p =>F 22p =所以抛物线的方程为,焦点坐标为.C 24y x =()1,0(2)过焦点且倾斜角为的直线的方程为,设,F 45︒l 1y x =-()1122(),,,A x y B x y联立方程组消去可得,则,241y x y x ⎧=⎨=-⎩y 2610x x -+=126x x +=所以.128AB x x p =++=18.为了解某市家庭用电量的情况,该市统计局调查了若干户居民去年一年的月均用电量(单位:),得到如图所示的频率分布直方图.kw h ⋅(1)估计月均用电量的众数;(2)求a 的值;(3)为了既满足居民的基本用电需求,又提高能源的利用效率,市政府计划采用阶梯电价,月均用电量不高于平均数的为第一档,高于平均数的为第二档,已知某户居民月均用电量为,请162kW h ⋅问该户居民应该按那一档电价收费,说明理由.【答案】(1)175(2)0.004(3)该居民该户居民应该按第二档电价收费,理由见解析【分析】(1)在区间对应的小矩形最高,由此能求出众数;[150,200)(2)利用各个区间的频率之和为1,即可求出值;a (3)求出月均用电量的平均数的估计值即可判断.【详解】(1)由题知,月均用电量在区间内的居民最多,可以将这个区间的中点175作为[150,200)众数的估计值,所以众数的估计值为175.(2)由题知:,解得(0.0020.0030.0050.006)501a ++++⨯=0.004a =则的值为0.004.a (3)平均数的估计值为:,(0.004750.0051250.0061750.0032250.002275)50⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯160=则月均用电量的平均数的估计值为,160kw h ⋅又∵162160>∴该居民该户居民应该按第二档电价收费.19.已知圆经过和两点,且圆心在直线上.C ()3,0A ()2,1B 240x y +-=(1)求圆的方程;C (2)从点向圆C 作切线,求切线方程.()3,2【答案】(1)22(2)1x y -+=(2)或3x =3410x y --=【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标,即可求解;(2)根据直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】(1)由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1,10123AB k -==--AB 又因为的中点为,AB 51,22⎛⎫⎪⎝⎭所以线段的中垂线的直线方程为,AB 1522y x -=-即,20x y --=联立 解得 ,所以圆心240,20x y x y +-=⎧⎨--=⎩20x y =⎧⎨=⎩(2,0)C 又因为半径等于,所以圆的方程为.1AC =C 22(2)1x y -+=(2)设圆的半径为,则,C r 1r =若直线的斜率不存在,因为直线过点,()3,2所以直线方程为,3x =此时圆心到直线的距离,满足题意;(2,0)C 3x =1d r ==若直线的斜率存在,设斜率为,k 则切线方程为,即,2(3)y k x -=-230kx y k -+-=因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,d 解得,34k =所以切线方程为,即.392044x y -+-=3410x y --=所以切线方程为或.3x =3410x y --=20.在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面共有5个小球,小球上分别写有0,1,2,3,4的数字,小球除数字外其它完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,记下数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,记下小球上数字将小球放回.抽奖活动的奖励规则是:①若取出的两个小球上数字之积大于8,则奖励飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间上,则奖励汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于2,则奖[]28,励饮料一瓶.(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率;(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率,哪个更大?请说明理由.【答案】(1);(2)获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率.425【分析】(1)先由题意,用列举法确定出总的基本事件个数,以及每对亲子获得飞机玩具所包含的基本事件数,由概率计算公式即可求出结果;(2)先记“获得汽车玩具”为事件,“获得饮料”为事件,列举法分别求出事件与事件所包含B C B C 的基本事件数,分别求出其对应的概率,进而可判断出结果.【详解】解:(1)总的基本事件有,()()()()()()()()()()()()()()()0,0,0,1,0,2,0,3,0,4,1,0,1,1,1,2,1,3,1,4,2,0,2,1,2,2,2,3,2,4共25个.()()()()()()()()()()3,0,3,1,3,2,3,3,3,4,4,0,4,1,4,2,4,3,4,4记“获得飞机玩具”为事件,A 则包含的基本事件有共4个.A ()()()()3,3,3,4,4,3,4,4故每对亲子获得飞机玩具的概率为.()425P A =(2)记“获得汽车玩具”为事件,记“获得饮料”为事件.B C 事件包含的基本事件有B 共11个.()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2,每对亲子获得汽车玩具的概率为.∴()1125P B =每对亲子获得饮料的概率为.∴()()()1021255P C P A P B =--==,()()P B P C ∴<即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率.【点睛】本题主要考查列举法求古典概型的概率,只需由列举法列举出总的基本事件数,以及满足条件的基本事件数,由概率的计算公式即可求出结果.21.一研学实践活动小组利用课余时间,对某公司1月份至5月份销售某种产品的销售量及销售单价进行了调查,月销售单价(单位:元)和月销售量(单位:百件)之间的一组数据如下表所x y 示:月份i12345月销售单价(元)i x 1.61.822.22.4月销售量(百件)i y 108764(1)根据1至5月份的数据,求出关于的回归直线方程;y x (2)预计在今后的销售中,月销售量与月销售单价仍然服从(1)中的关系,若该种产品的成本是1元/件,那么该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润?(注:利润=销售收入-成本)(回归直线方程,其中.参考数据:,)y bx a =+1221ni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑ 5167.2i ii x y==∑52120.4ii x==∑【答案】(1)回归直线方程为(2)该产品的月销售单价应定为2元才能获得最大月利721y x =-+润【解析】(1)分别求出,再结合提供的数据和公式求出,即可求出回归直线方程;,x y b a , (2)根据(1)中的回归直线方程,可得当定价为时的销售量,列出利润的函数x y z ,求二次函数的最值,即可求解.()()1721z x x =--+【详解】解:(1)∵,.1.6 1.822.2 2.425x ++++==10876475y ++++==∴.122167.2527ˆ720.454ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑.77221a y bx =-=+⨯= ∴回归直线方程为.721y x =-+(2)设该产品的月销售单价为元,月利润为百元,则x z ∵,()1z x y=-⋅∴.()()2172172821z x x x x =--+=-+-()2727x =--+∴当时,(百元).2x =max 7z =∴该产品的月销售单价应定为2元才能获得最大月利润为7百元.【点睛】本题考查求回归直线方程,求二次函数的最值,考查计算能力,属于基础题.22.已知抛物线及圆C :.24y x =222x y x +=(1)过圆心C 作直线与抛物线和圆交于四个点,自上而下依次为A ,M ,N ,B ,若l 成等差数列,求直线的方程;||,||,||AM MN NB l(2)过抛物线上一动点P (P )作圆C 的两条切线分别交y 轴于E ,F 两点,求线段EF 的取值范围.【答案】(1)1)y x =-(2)(2,)+∞【分析】(1)由圆C 的半径为1可得,因为成等差数列,找出等量关系,||2MN =||,||,||AM MN NB 求出的值,设直线方程,代入抛物线方程化简,利用韦达定理,弦长公式即可求||AB :1l x my =+出直线方程;(2)设,求出过P 且与圆C 相切的直线方程,记得斜率分别为,再利22000(,2),2P y y y >,PE PF 12,k k 用已知条件表示出,结合题设条件转化为函数求解即可.||EF 【详解】(1)由圆C 的半径为1可得,||2MN =因为成等差数列,||,||,||AM MN NB 所以,||||2||4AM NB MN +==又,||||||||AM NB AB MN +=-所以,||6AB =设直线,:1l x my =+1122(,),(,)A x y B x y 联立,2214404x my y my y x =+⎧⇒--=⎨=⎩所以,12124,4x x m x x +==-由得:||6AB =,解得,6==212m =所以直线的方程为.l 1)y x =-(2)设,过P 且与圆C 相切得直线方程为:22000(,2),2P y y y >,2002()y y k x y -=-记得斜率分别为,,PE PF 12,k k 则,,2010(0,2)E y k y -2020(0,2)F y k y -所以,2120||||EF k k y =-由圆心到直线的距离等于半径得:,1=化简得:4222200000(2)4(1)410y y k y y k y -+-+-=,,2001222004(1)(2)y y k k y y -∴+=-2012220041(2)y k k y y -=-21200||||EF k k y y ∴=-=0y =0|y =0|y =令,则,202t y =-202y t =+因为,所以202y >2020t y =->,()0,t ∈+∞||EF ∴=,(对称轴更接近0)()10,t ∈+∞,即线段EF 的取值范围为:.||2EF ∴>(2,)+∞。
空间直角坐标系 习题(含答案)
22.在平面直角坐标系 中,已知 的顶点 .
(1)若 为 的直角顶点,且顶点 在 轴上,求 边所在直线方程;
(2)若等腰 的底边为 ,且 为直线 上一点,求点 的坐标.
23.求函数 的最小值.
24.如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截面而得到的,其中
(1)求 的长;
【详解】
设z轴上任意一点Q的坐标为 ,
由空间中两点间的距离公式可得: ,
当 时取得最小值.
故选C.
【点睛】
本题考查空间中两点间的距离,掌握空间内两点间的距离公式,会根据解析式求最值,注意计算的准确性.
3.C
【解析】
【分析】
先根据线面平行的性质和中位线定理说明M为EF的中点,再根据中点坐标公式求M的坐标。
设F(0,0,z).
∵AEC1F为平行四边形, ∴由AEC1F为平行四边形,
∴由 = 得,(-2,0,z)=(-2,0,2),
∴z=2.∴F(0,0,2).∴ =(-2,-4,2,于是| |=2 ,即BF的长为2 ;
(2)设 为平面AEC1F的法向量,显然 不垂直于平面ADF,故可设 =(x,y,1).
故答案为
12.168
【解析】
【分析】
由题意,设 ,得 ,根据坐标对应相等,列出方程组,求得 的值,得到向量 的坐标,再利用向量的夹角公式,即可求解.
【详解】
由题意, ,设 ,
又 , ,
所以
即 ,
解得 ,
则 .
故 .
【点睛】
本题主要考查了空间向量的坐标运算,以及向量的夹角公式的应用,其中熟记向量的坐标表示与向量共线的运算,以及向量的夹角公式,合理、准确运算是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
空间两点间的距离
3 3 a a, a, , 4 4 2
3 a . a , 2 2
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求对称点的坐标 求点 A(1,2,-1)关于坐标平面 xOy及x 轴对称的点的坐 标.
类比平面直角坐标 关于谁对称,谁保持 【思路点拨】 → 系中点的对称 不变,其余坐标相反
(2)yOz 平面内的点的坐标为 (0 , y , z) ,其中 y , z 为任意实
数;
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(3)xOz平面内的点的坐标为(x,0,z),其中x,z为任意实数; (4)x轴上的点的坐标为(x,0,0),x为任意实数; (5)y轴上的点的坐标为(0,y,0),y为任意实数; (6)z轴上的点的坐标为(0,0,z),z为任意实数.
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【题后总结】 此题要类比平面直角坐标系中点的对称问
题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.求对称点的问 题常常可用 “ 关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反 ” 的说 法.如关于x轴的对称点坐标就是横坐标不变,其余的两个坐标 变成原来的相反数;关于 xOy 平面的对称点,横、纵坐标都不
90°?
提示: 不是.空间直角坐标系中,任意两坐标轴的夹角都 是 90°,但在画直观图时通常画 ∠ xOy = 135°,使 x 轴、 y 轴确 定的平面水平,∠yOz=90°,以表示z轴竖直.
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二、空间一点的坐标
1.求点的坐标的方法
2023届福建省安溪一中数学高一上期末复习检测模拟试题含解析
SAB
和△
SAC
的重心,所以
SG1 SM
SG2 SN
,所以 G1G2
/
/ MN
.又因为
M、N
分别为
AB、
AC 的中点,所以 MN//BC,所以 G1G2 / / BC
考点:线面平行的判定定理;线面平行的性质定理;公理 4;重心的性质
点评:我们要掌握重心性质:若 G1 为△ SAB 的重心,M 为 AB 中点,则 SG1 2 SM 1
所以甲组数据的中位数是 45,
由茎叶图可知乙组数据共 9 个数,又 925% 2.25 ,
所以乙组数据的 25%分位数是 35.
故答案为:45;35.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1) ;(2)最大值为 2 ,最小值为 1..
【解析】(1)根据最小正周期的计算公式求解出 f x 的最小正周期;
故答案为: 2 .
7 / 12
【点睛】本题考查空间两点的距离公式的运用,考查运算能力,是一道基础题.
14、 4 ##11 33
【解析】根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答.
【详解】因 tan
x
1 2
,则
tan 2x
2 tan x 1 tan2 x
2 1 2
1 (1)2
4 3
,
2
所以 tan 2x 的值为 4 . 3
(2)先求解出
2x
4
的取值范围,然后根据正弦函数的单调性求解出
f
x 在区间
8
,
3 4
上的最值.
【详解】(1)因为 f (x)
2
sin
安徽省黄山市八校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
“八校联盟”2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学试题(答案在最后)(考试时间:120分钟满分:150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在试卷上无效.3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设点(2,A -关于坐标原点的对称点是B ,则AB等于()A.6B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用空间两点间距离公式,结合对称的性质计算即得.【详解】令坐标原点为O ,依题意,2||AB AO ===故选:C2.设12F ,F 为定点,128F F =,动点M 满足128MF MF +=,则动点M 的轨迹是()A.线段B.直线C.圆D.椭圆【答案】A 【解析】【分析】对M 的位置分类讨论即可求解.【详解】若M 在直线12F F 外,由三角形两边长大于第三边有12128MF MF F F +>=,不合题意,故M 必在直线12F F 上,若M 在线段12F F 外,也有12128MF MF F F +>=,不合题意,故M 必在线段12F F 上,且总有12128MF MF F F +==,故选:A.3.已知直线l 的一个方向向量为()12,-,直线l 的倾斜角为α,则2sin 2cos 1αα--的值为()A.2-B.0C.1- D.2【答案】A 【解析】【分析】根据直线方向向量得出直线斜率,再由同角三角函数的基本关系求解.【详解】因为直线l 的一个方向向量为()12,-,直线l 的倾斜角为α,所以2tan 21α==--,所以2sin 2cos 1αα--2222222sin cos 2cos sin 2tan 2tan 4242sin cos tan 141ααααααααα-------====-+++,故选:A4.设a ∈R ,则1a =是直线1:220l x ay ++=与直线()2:10l a x y a +++=平行的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将1a =代入直线方程,判断充分性;由直线平行的依据判断必要性.【详解】充分性:当1a =时,直线1:220l x y ++=,直线2:210l x y ++=.显然,两直线斜率相等,故两直线平行,充分性成立.必要性:若两直线平行,则有()12a a +=即()()22210a a a a +-=+-=,解得2a =-或1a =,经检验两直线不重合,显然,必要性不成立.故选:B 【点睛】5.已知点D 在△ABC 确定的平面内,O 是平面ABC 外任意一点,实数x ,y 满足32OD OC xOA yOB =--,则222x y +的最小值为()A.13B.23C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】根据空间四点共面及二次函数的最值求解.【详解】因为32OD OC xOA yOB =--,且,,,A B C D 四点共面,由空间四点共面的性质可知321x y --=,即22x y =-,所以()2222222442226846333x y y y y y y ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭,所以当23y =时,222x y +有最小值43.故选:D6.已知P 是直线l :240x y -+=上一动点,过点P 作圆C :220x y x +-=2的两条切线,切点分别为A 、B ,则四边形PACB 的外接圆的面积的最小值为()A.5π B.5π4 C.5π2D.4π【答案】B 【解析】【分析】结合图像给出外接圆的表达式即可求解.【详解】如图,由,PA AC PB BC ⊥⊥知四边形PACB 的外接圆以PC 为直径,故面积2π4S PC =,而PC 最小值为点C 到l 的距离d ==故5π4S ≥,故选:B7.已知矩形ABCD 的四个顶点都在椭圆()222210x y a b a b+=>>上,边AD 和BC 分别经过椭圆的左、右焦点,且2AB BC =,则该椭圆的离心率()A.12- B.22C.13- D.23【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得22||2||,b AB c BC a==,由条件建立方程求解即可.【详解】由椭圆方程,当x c =时,2by a=±,所以22||2||,b AB c BC a ==,因为2 AB BC =,所以224b c a=,即2222ac b a c ==-,所以221e e =-,解得12e =-+或12e =-,故选:A8.《九章算术》是我国古代数学名著.书中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是矩形,E 、F 分别为PD ,PB 的中点,PG PC λ=,2PA =,1AB =,若AG ⊥平面EFC ,则λ=()A.27B.37C.47D.57【答案】C 【解析】【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,设()0AD a a =>,根据法向量的求法可求得平面EFC 的法向量n ,由//AG n可求得结果.【详解】以A 为坐标原点,,,AB AD AP正方向为,,x y z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,设()0AD a a =>,则()0,0,0A ,()002P ,,,()1,,0C a ,0,,12a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,0,12F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,,022a EF ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ,()0,0,2AP = ,()1,,2PC a =- ,1,,12a EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,设平面EFC 的法向量(),,n x y z =,则102202a EF n x y a EC n x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩,令1x =,解得1y a =,32z =,131,,2n a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,(),,22AG AP PG AP PC a λλλλ=+=+=-,又AG ⊥平面EFC ,//AG n ∴ ,221312a a λλλ-∴==,解得47λ=.故选:C.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.点()02,关于直线1y x =+的对称点为()11,B.过11(,)x y ,22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--C.经过点()11,且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=D.直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2【答案】AD 【解析】【分析】利用点关于直线的对称知识判断A 的正误;运用直线的两点式方程判断B 的正误;利用直线的截距相等可判断C 的正误;求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断D 的正误;【详解】对于A ,设点()0,2关于直线1y x =+的对称点为(),x y ,则211012122y x x y y x -⎧=-⎪=⎧⎪-⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩,即对称点为()1,1,A 正确;对于B ,两点式使用前提是1212,x x y y ≠≠,故B 错误;对于C ,经过点()11,且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线也可以为过原点,即y x =,故C 错误;对于D ,直线20x y --=与两坐标轴交点分别为()()0,2,2,0-,则与两坐标轴围成的三角形的面积12222S =⨯⨯=,故D 正确;故选:AD10.如图,直三棱柱111-ABC A B C 中,1AB AC AA ==,90BAC ∠=︒,D 、E 分别为11A C 、1A B 的中点,则下列结论正确的是()A.DE ∥1B CB.直线DE 与平面1A BC 所成角的正弦值为13C.平面1A BC 与平面ABC 夹角的余弦值为3D.DE 与1AA 所成角为π3【答案】BC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量逐项分析判断.【详解】如图,以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,设2AB =,则()()()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2,0,1,2,1,0,1A B C A B C D E ,对于选项A :可得()()11,1,1,2,2,2=--=--uuu r uuu rDE B C ,因为222111--=≠--,可知DE 与1B C 不平行,所以DE 与1B C 不平行,故A 错误;对于选项B :可得()()12,0,2,2,2,0=-=-uuu r uu u rA B BC ,设平面1A BC 的法向量(),,n x y z = ,则1220220n A B x z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,令1x =,则1y z ==,可得()1,1,1n =,则1cos ,3⋅==-⋅r uuu rr uuu r r uuu r n DE n DE n DE,所以直线DE 与平面1A BC 所成角的正弦值为13,故B 正确;对于选项C :可得平面ABC 的法向量()0,0,1m =,则cos ,3n m n m n m⋅===⋅r u rr u r r u r ,所以平面1A BC 与平面ABC夹角的余弦值为3,故C 正确;对于选项D :因为()10,0,2AA =,可得111cos ,3⋅==-⋅uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r AA DE AA DE AA DE ,则DE 与1AA所成角的余弦值为3,所以DE 与1AA 所成角不为π3,故D 错误;故选:BC.11.已知AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径,4SA =,SO =B 为圆O 上异于,A C 的一点,M 为线段SC 上的动点(异于端点),则()A.直线SB 与平面SAM 所成角的最大值为π6B.圆锥SOC.棱长为3的正四面体可以放在圆锥SO 内D.当M 为SC 的中点时,满足SB AM ⊥的点B 有2个【答案】AC 【解析】【分析】A :根据线面垂直得到线面角,然后结合三角函数以及线段长度分析角的最大值;B :根据几何体的轴截面图进行分析计算;C :先考虑将正四面体补形为正方体,然后根据正方体的外接球以及B 选项的结果进行判断;D :假设SB AM ⊥成立,通过线面垂直推导线线垂直并逐步推出矛盾.【详解】A :过B 作BD AC ⊥交AC 于D 点,连接SD ,如下图所示:因为SO ⊥圆锥底面,所以SO BD ⊥,又因为BD AC ⊥,AC SO O = ,,AC SO ⊂平面SAM ,所以BD ⊥平面SAM ,所以SB 与平面SAM 所成角即为BSD ∠,且4SA SB ==,又SO =2AO =,则4AC =,所以1sin 442BD BD AO BSD SB ∠==≤=,当且仅当B 位于 AC 的中点处时取等号,所以π0,6BSD ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦,所以直线SB 与平面SAM 所成角的最大值为π6,故正确;B :根据题意可得轴截面如下图所示,设内切球的球心为1O ,半径为r ,因为4SA SC AC ===,所以SAC 为等边三角形,所以SO ==,又因为111ππ,,26NO r SNO NSO =∠=∠=,所以12SO r =,所以113SO SO OO r =+=,所以3r =,所以内切球的体积为34ππ327V r ==,故错误;C :将棱长为3的正四面体补形为正方体,如下图所示:由图可知正方体的棱长为43,此正方体的外接球的半径等于123,所以正四面体可以在半径为3的球内任意转动,由B 选项的结果可知,棱长为3的正四面体可以放在圆锥SO 内,故正确;D :当M 为SC 的中点时,如下图:因为SAC 为等边三角形,所以AM SC ⊥,又因为SB AM ⊥,SB SC S ⋂=,,SB SC ⊂平面SBC ,所以AM ⊥平面SBC ,因为BC ⊂平面SBC ,所以AM BC ⊥,又因为SO ⊥圆锥底面,所以SO BC ⊥,且,SO AM 相交,,SO AM ⊂平面SAC ,所以BC ⊥平面SAC ,因为AC ⊂平面SAC ,所以BC AC ⊥,这显然不成立,所以满足SB AM ⊥的点B 不存在,故错误;故选:AC.12.如图所示.已知椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>,F 1、F 2为左右焦点,下列命题正确的是()A.P 为椭圆上一点,线段PF 1中点为Q ,则12PF OQ+为定值B.直线y kx =与椭圆交于R ,S 两点,A 是椭圆上异与R ,S 的点,且AR k 、AS k 均存在,则21AR AS k k e ⋅=-C.若椭圆上存在一点M 使122π3F MF ∠=,则椭圆离心率的取值范围是,12⎫⎪⎪⎣⎭D.四边形1A BCD 为椭圆内接矩形,则其面积最大值为2ab 【答案】ACD 【解析】【分析】利用椭圆的定义、直线斜率公式、离心率公式,结合椭圆和矩形的对称性、基本不等式、余弦定理逐一判断即可.【详解】A :连接2PF ,由椭圆的定义可知212PF PF a +=,线段1PF 中点为Q ,所以22OQ PF =,于是有121222PF OQPF PF aa++===,所以本选项命题正确;B :直线y kx =与椭圆交于R ,S 两点,因为直线y kx =经过原点,而椭圆是关于原点的中心对称图形,所以R ,S 两点关于原点对称,不妨设()()1111,,,R x y S x y --,()00,A x y ,2201010122010101AR ASy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-,因为A 是椭圆上异与R 的点,所以有2222001122221,1x y x y a b a b +=+=,两个式相减,得2222222010*******201x x y y y y b a b x x a---=-⇒=--,因此2222221AR ASb ac k k e a a-⋅=-=-=-+,所以本选项命题是假命题;C :椭圆上存在一点M 使122π3F MF ∠=,由余弦定理可知:222121212122F F MF MF MF MF ⎛⎫=+-⋅⋅⨯- ⎪⎝⎭,即()2222121212124244c MF MF MF MF MF MF c a MF MF =+-⋅⋅+⋅⇒=-⋅,即221244MF MF a c ⋅=-,而222221224443MF MF a a a c c a +≥≥≥-⇒≥2e ⇒≥,当且仅当12MF MF =时取等号,即M 为上(下)顶点时取等号,而01e <<,所以12e ≤<,因此本选项命题是真命题;D :因为矩形1A BCD 和该椭圆的对称轴和对称中心相同,所以设矩形在第一象限的顶点为()()2222,0,0D x y x y >>,即2222221x y a b+=,所以矩形1A BCD 的面积为224x y ,因为22222222221242x y x yx y ab a b ab=+≥⋅⇒≤,当且仅当22x y =时取等号,即当2222x y a b==+时取等号,因此本选项命题是真命题,故选:ACD【点睛】关键点睛:本题的关键是利用椭圆的定义、椭圆和矩形的对称性、基本不等式进行求解.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知空间向量()1,0,1= a ,()2,2,1b = ,则向量a在向量b 上的投影向量的坐标是_______.【答案】221,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的概念计算即可得解.【详解】向量a在向量b 上的投影向量为:()()222221201131932212212,2,1,,333a b b a b b b b bb b ⋅⋅⎪⨯++⨯⋅=⋅=⋅=⎛⎫=+ ⎝⋅=+⎭ .故答案为:221,,333⎛⎫⎪⎝⎭14.已知P 为圆()()22344x y -+-=上一点,则点()cos ,sin Q αα到P 点的距离的最大值为_________.【答案】8【解析】【分析】根据Q 点的轨迹为圆,由圆的几何性质,求利用两圆上两点间的距离的最大值.【详解】由()()22344x y -+-=知圆心1C 为()3,4,半径为12r =,又()cos ,sin Q αα,所以Q 点的轨迹方程为221x y +=,则圆心2C 为(0,0),半径21r =,故2212345C C =+=,所以1212max 5218PQ C C r r =++=++=.故答案为:815.若关于x 的不等式1kx -≤的解集是[]0,1,则k 值是________.【答案】2【解析】【分析】将给定不等式等价转化构造函数,再借助几何图形及给定解集确定直线1y kx =-过的点即得.【详解】不等式11kx kx -≤⇔-≤令y =,即22(1)1(0)x y y -+=≥表示以点(1,0)为圆心,1为半径的圆在x 轴及上方的半圆,1y kx =-表示过定点(1,0)-的直线,因此不等式1kx -≤的解集是[]0,1,等价于半圆y =在直线1y kx =-及上方时,x 的取值集合恰为[]0,1,观察图象得直线1y kx =-恰过点(1,1),则有111k =⨯-,所以2k =.故答案为:216.半径为R 的球面上有A 、B 、C 、D 四个点,2AB R CD ==,则A BCD V -的最大值为_______【答案】348R 【解析】【分析】由题意可求出,AB CD 间距离的最大值,结合棱锥体积确定当AB ⊥平面CDM 时A BCD V -取最大值,从而利用棱锥体积公式求得答案.【详解】由题意知半径为R 的球面上有A 、B 、C 、D 四个点,2AB R CD ==,设球心为O ,则O 到AB 2=,到CD 4=,则,AB CD 间距离的最大值为244R++=,此时,AB CD 位于O 点两侧,,AB CD 所在的小圆面平行时,,AB CD 间距离最大;设M 为AB 上一点,则CDM V 的面积的最大值为24164CDMR R S R +⋅== ,设,A B 到平面CDM 的距离为12,d d ,而121()3A BCD A CMDB CMD CDM V V V S d d ---==++ ,则12d d AB +≤,当AB ⊥平面CDM 时取等号,即当AB ⊥平面CDM 时,A BCD V -取到最大值,最大值为231(2315)231531648R AB R +⨯⨯=,故答案为:348R 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,三棱锥111ABC A B C -中,点D 、E 分别为11B C 和1BB 的中点,设1AA a = ,AB b = ,AC c =.(1)试用a,b,c表示向量CD;(2)若1160A AB A AC CAB ∠=∠=∠=,12AA AB AC ===,求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值.【答案】(1)1122cC bD a =+-(2)7【解析】【分析】(1)根据空间向量的运算即可求得答案;(2)根据空间向量的数量积的运算律求出AE ,CD的模,以及二者的数量积,根据向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】1111112CD CC C D CC C B =+=+ ()111122CC CB CC AB AC=+=+- 1122a b c =+- ;【小问2详解】由题意可知:1160A AB A AC CAB ∠=∠=∠=,12AA AB AC ===,故22cos602a b a c b c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=,112AE AB BE AB BB =+=+ 12b a =+ ,故222211724AE b a b a b a ⎛⎫=+++⋅= ⎪=⎝⎭,AE =∴221122CD a b c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 222111442a b c a b a c b c =+++⋅-⋅-⋅5=,CD ∴=则111222AE CD b a a c ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221111122424a ab b a b bc a c =+⋅++⋅-⋅-⋅5=,cos ,7AE CD AE CD AE CD⋅∴〈==〉,由于异面直线AE 和CD 所成角范围大于0 小于等于90 ,∴异面直线AE 和CD 所成角的余弦值为7.18.已知直线()21R l y kx k k =-+∈:.(1)若直线l 不经过第二象限,求k 的取值范围.(2)若直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点,当△AOB 的面积为92时(O 为坐标原点),求此时相应的直线l 的方程.【答案】(1)12k ≥(2)3y x =-+或4213=-+y x 【解析】【分析】(1)首先确定直线过定点,再根据条件,求斜率的取值范围;(2)首先分别求直线与坐标轴的交点,并表示AOB 的面积,即可求直线的斜率和方程.【小问1详解】由题意可知直线():21R l y kx k k =-+∈,()21y k x =-+易知直线l 过定点()2,1,当直线l 过原点时,可得12k =,当12k ≥时,直线l 不经过第二象限.【小问2详解】由题意可知0,k <∵直线:21l y kx k =-+与x 轴、y 轴正半轴的交点分别是()12,0,0,12A k B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭-,2111(21)21222AOBk S k k k-∴=-⨯-=⨯ ,当0k <时,由92AOB S =得:2144111944222k k k k k⎡⎤-+⎛⎫⨯=⨯-++= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦,即:24510k k ++=,1k ∴=-或14k =-,即:直线l 的方程为3y x =-+或4213=-+y x .19.如图,ABC 与ABD △都是边长为2的正三角形,平面ABD ⊥平面ABC ,EC ⊥平面ABC 且EC =.(1)证明:CD ⊥平面ABE .(2)求平面CED 与平面BDE 的夹角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)π6【解析】【分析】(1)取AB 中点F ,连接,CF DF ,利用面面垂直、线面垂直,以及线段长度求证线面垂直即可.(2)建立空间直角坐标系,求出平面CED 与平面BDE 的法向量,进而求出其夹角大小即可.【小问1详解】取AB 中点F ,连接,CF DF,ABC ABD 都是边长为2的正三角形,,AB CF AB DF ∴⊥⊥,DF CF ==,又CF DF F = ,CF ⊂面CDF ,DF ⊂面CDF ,AB ∴⊥面CDF ,AB CD∴⊥又平面ABC⊥平面ABD ,DF ⊥∴面ABC且DF =又EC ⊥面ABC且EC =DF EC ∥,DF EC =,DF CF ⊥,CFDE ∴是正方形,CD EF∴⊥又EF AB F = ,EF ⊂平面ABE ,AB ⊂平面ABE ,CD \^平面ABE【小问2详解】由(1)知,,AB CF DF两两垂直,如图建立空间直角坐标系由于x 轴垂直面CEDF∴平面CED 的法向量为()1,0,0m = 又()1,0,0B,(D,(E (BD ∴=-,(BE =-设平面BDE 的法向量(),,n x y z =r ,则0n BD x n BE x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ,令x =,则1z =,0y =,所以)n =cos<,>122m n m n m n ⋅∴===⨯∴平面CDE 与平面BDE 的夹角为π620.已知定点()42A ,,动点()M x y ,满足0OM AM ⋅=,O 为坐标原点.(1)求动点M 的轨迹方程(2)若点B 为直线330x y -+=上一点,过点B 作圆M 的切线,切点分别为C 、D ,若BC CD ⊥,求点B 的坐标.【答案】(1)22(2)(1)5x y -+-=;(2)(1,0)-或118(,55.【解析】【分析】(1)根据给定条件,利用向量数量积的坐标表示列式,化简即得.(2)利用圆的切线性质,结合两点间的距离公式,列出方程组求解即得.【小问1详解】依题意,()(),,4,2OM x y AM x y ==--,()()42OM AM x x y y ⋅=-+-22420x x y y =-+-=,即22(2)(1)5x y -+-=,所以M 的轨迹方程为22(2)(1)5x y -+-=.【小问2详解】由点B 为直线330x y -+=上一点,又BC BD 、分别与圆M 相切于点C D 、,得,BC MC BD MD ⊥⊥,而BC BD ⊥,则有四边形BCMD 为矩形,又||||CM DM =,因此四边形BCMD 为正方形,由(1)知,MC MD BC BD ====,则BM =设(),B x y ,则22330(2)(1)10x y x y -+=⎧⎨-+-=⎩,解得10x y =-⎧⎨=⎩或15185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以B 点的坐标为(1,0)-或118(,)55.21.如图,在五面体ABCDEF 中,底面ABCD 为正方形,侧面CDEF 为等腰梯形,二面角E CD A --为直二面角,24,33AB EF AF ===(1)求点F 到平面ABCD 的距离;(2)设点P 为线段BC 的中点,点Q 满足()0AQ AE λλ=> ,若直线PQ 与平面ADE 及平面ABCD 所成的角相等,求λ的值.【答案】(12(2)33λ=【解析】【分析】(1)作出辅助线,由面面垂直得到线面垂直,得到点F 到平面ABCD 的距离即为FO 的长,由勾股定理求出答案;(2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,由直线PQ 与平面ADE 及平面ABCD 所成的角相等列出方程,求出λ的值.【小问1详解】如图,过点E 作EM ⊥CD 于点M ,过点F 作FO DC ⊥于点O ,连接OA .因为二面角E CD A --为直二面角,所以平面CDEF ⊥平面ABCD ,又平面CDEF 平面,ABCD CD FO =⊂平面CDE ,所以FO ⊥平面ABCD ,所以点F 到平面ABCD 的距离即为FO 的长,因为OA ⊂平面ABCD ,所以FO OA ⊥,因为四边形CDEF 为等腰梯形,24AB CD EF ===,所以2MO EF ==,故1DM OC ==,3OD =,因为4=AD,由勾股定理得5AO ==,又AF =,由勾股定理得FO ==,即点F 到平面ABCD.【小问2详解】以O 为坐标原点,分别以,OD OF 所在直线分别为,x z 轴,过点O 作平面CDEF 的垂线为y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .则()()((()3,4,0,3,0,0,2,0,,0,0,,1,2,0A D E F P -,由(),4AQ AE λλλ==--,得()3,44Q λλ--.()4,24PQ λλ∴=-- .设平面ADE 的法向量为(),,n x y z = ,由()(0,4,0,1,0,DA DE ==- ,由()()()(,,0,4,040,,1,0,0n DA x y z y n DE x y z x ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ,解得0y =,令1z =,得x =)n = ,又易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m = .设直线PQ 与平面ADE 所成角为θ,与平面ABCD 所成角为α,则sin sin θα=,∴n PQ m PQ n PQ m PQ⋅⋅=⋅⋅ ,=,由0λ>,得3λ=.22.椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ,短轴端点分别为A 、B .若四边形12AF BF 为正方形,且1AF =(1)求椭圆标准方程;(2)若C 、D 分别是椭圆长轴左、右端点,动点M 满足2MD MC MD ⋅= ,P 点在椭圆上,且满足22sin cos OP OC OM θθ=+ ,求证OM OP ⋅ 定值(O 为坐标原点);(3)在(2)条件下,试问在x 轴上是否存在异于C 点的定点N ,使PD MN ⊥,若存在,求N 坐标,若不存在,说明理由.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析(3)存在;()0,0N 【解析】【分析】(1)依题可得b c =且222b c +=,即可求出a 、b 、c ,从而得解;(2)设CM方程为(y k x =+,联立直线与椭圆方程,求出交点的横坐标,由22sin cos OP OC OM θθ=+,可得P 、C 、M 三点共线,即可得到P 点坐标,由2MD MC MD ⋅= ,可得0MD DC ⋅= ,即MD DC ⊥,从而求出M 点坐标,即可求出OM OP ⋅的值.(3)设(),0N n ,表示出PD k ,MN k ,根据斜率之积为1-求出n 即可.【小问1详解】依题可得b c =且222b c +=,又a =1b c ∴==,a =故椭圆方程为2212x y +=.【小问2详解】依题意CM 的斜率存在,设CM方程为(y k x =+,联立方程组(2212y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得2222(12)420k x x k +++-=,解得1x =、)2221212k x k -=+,即)22222121212k x k y k ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩,120x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22sin cos OP OC OM θθ=+ ,P ∴、C 、M三点共线.)2221222,1212k P k k ⎛⎫- ⎪∴ ⎪++⎝⎭,又由2MD MC MD ⋅= ,()2MD MD DC MD ⋅+= ,即22MD MD DC MD +⋅= ,所以0MD DC ⋅=,所以MD DC ⊥,∴联立方程组(x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以)M ,所以)OM =,)22212,1212k OP k k ⎛⎫- ⎪= ⎪++⎝⎭ ,所以OM OP ⋅ ()2222222128422121212k k k k k k-+=+==+++(为定值)..【小问3详解】设(),0N n ,则()2222201122212212PD k k k k k k -+==---+,22MN k k n =-,12122k k n∴-=--,得22n =,故0n =,即存在一点()0,0N 满足条件..。
2022-2023学年宿迁市数学高一上期末达标检测试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。
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一、选择题(本大题共12小题,共60分) 1. “对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定形式为() A.对任意x ∈R ,都有20x < B.不存在x ∈R ,都有20x < C.存在0x R ∈,使得200x ≥D.存在0x R ∈,使得200x <2.函数()f x 的图象如图所示,则函数()f x 的零点为( )A.1B.2C.(0,1)D.(2,0)3.定义运算,,a a b a b b a b<⎧⊕=⎨≥⎩,若函数()22x xf x -=⊕,则()f x 的值域是()A.[)1,+∞B.()0,∞+C.(]0,1D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.定义在R 上的函数()()2xf xg x =⋅,()()142xg x g x -=⋅-,若()f x 在区间[)1,+∞上为增函数,则一定为正数的是A.()()120g g --B.()()120g g -C.()()122g g -D.()()223g g -5.各侧棱长都相等,底面是正多边形的棱锥称为正棱锥,正三棱锥P ABC -的侧棱长为a ,侧面都是直角三角形,且四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( ) A.22a π B.22a π C.23a πD.23a π6.在空间直角坐标系O xyz -中,已知球A 的球心为()1,0,0,且点()1,4,5B -在球A 的球面上,则球A 的半径为() A.4 B.5 C.16D.257.已知三条不重合的直线m ,n ,l ,两个不重合的平面α,β,有下列四个命题: ①若m n ,n ⊂α,则m α;②若l α⊥,m β⊥,且l m ,则αβ∥; ③若m α⊂,n ⊂α,m β,n β,则αβ∥; ④若αβ⊥,m αβ=,n β⊂,n m ⊥,则n α⊥.其中正确命题的个数为A. B. C.D.48.已知3log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩,若角α的终边经过点()1,22P ,则()()cos f f α的值为()A.14B.14-C.4D.-49.设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->,则A B =A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2D.3(,3)210.已知30.60.6log 3,0.6,3a b c ===,则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a11.四个变量y 1,y 2,y 3,y 4,随变量x 变化的数据如下表:x 1 2 4 6 8 10 12 y 1 16 29 55 81 107 133 159 y 2 1 9 82 735 6567 59055 531447 y 3 1 8 64 216 512 1000 1728 y 42.0003.7105.4196.4197.1297.6798.129其中关于x 近似呈指数增长的变量是( ) A. B. C.D.12.函数f (x )=tan π2-3x ⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间是() A.πππ5π212212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,(k ∈Z ) B.πππ5π212212k k ⎛⎫-+⎪⎝⎭,(k ∈Z ) C.π2πππ63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,(k ∈Z ) D.π5πππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,(k ∈Z ) 二、填空题(本大题共4小题,共20分)13.函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为_______________14.若集合2{|(1)320,}A x a x x x R =-+-=∈有且仅有两个不同的子集,则实数a =_______;15.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑M ABC -中, MA ⊥平面ABC , 2MA AB BC ===,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____ 16.函数232x x --的定义域是______. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.已知函数21()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称,其中a 为常数 (1)求a 的值;(2)当[2,4]x ∈时,2()log ()f x x k <+恒成立,求实数k 的取值范围 18.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≤时,()222f x x x =-+.(1)求()f x 在0x >时的解析式; (2)若()215222xf a a x -≤++-,在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,求实数a 的取值范围. 19.函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的一段图象如下图所示.(1)求函数()y f x =的解析式; (2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位,得到y g x 的图象.求直线6y =与函数()()y f x g x =+的图象在30,2π⎛⎫⎪⎝⎭内所有交点的横坐标之和. 20.如图,在几何体ABCDEF 中,平面ABCD ⊥平面ABFE .正方形ABFE 的边长为2,在矩形ABCD 中,2BC AB =(1)证明:AF CE ⊥; (2)求点B 到平面ACF 的距离 21.已知函数2()21f x x ax a =++-.(1)若()f x 的图象恒在直线1y =-上方,求实数a 的取值范围;(2)若不等式()0f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围.22.提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下,隧道内的车流速度v (单位:千米/小时)和车流密度x (单位:辆/千米)满足关系式:()50,02060,20120140x v k R kx x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明:当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞,此时车流速度是0千米/小时. (1)若车流速度v 不小于40千米/小时,求车流密度x 的取值范围;(2)隧道内的车流量y (单位时间内通过隧道的车辆数,单位:辆/小时)满足y x v =⋅,求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时),并指出当车流量最大时的车流密度.参考答案一、选择题(本大题共12小题,共60分) 1、D【解析】全称命题的否定是特称命题,据此得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题,则“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定形式为:存在0x R ∈,使得200x <.故选:D.【点睛】本题考查了全称命题的否定,属于简单题. 2、B【解析】根据函数()f x 的图象和零点的定义,即可得出答案.【详解】解:根据函数()f x 的图象,可知()f x 与x 轴的交点为()2,0, 所以函数()f x 的零点为2. 故选:B. 3、C【解析】由定义可得()2,02,0x x x f x x -⎧<=⎨≥⎩,结合指数函数性质即可求出.【详解】由定义可得()2,0222,0x xxx x f x x --⎧<=⊕=⎨≥⎩,当0x <时,()2xf x =,则00221x <<=,当0x ≥时,()2xf x -=,则00221x -<≤=,综上,()f x 的值域是(]0,1. 故选:C. 4、A【解析】()()121f g =()()()2420f g g ==()()()138312f g g ==- ()f x 在区间[)1+∞,上为增函数,()()()()1321002f fg g ∴-=--> 即()()1200g g --> 故选A点睛:本题运用函数的单调性即计算出结果的符号问题,看似本题有点复杂,在解析式的给出时含有复合部分,只要运用函数的解析式求值,然后利用函数的单调性,做出减法运算即可判定出结果 5、D【解析】因为侧棱长为a 的正三棱锥P ﹣ABC 的侧面都是直角三角形,且四个顶点都在一个球面上,三棱锥的正方体的一个角,把三棱锥扩展为正方体,它们有相同的外接球,球的直径就是正方体的对角线,正方体的对角线长为:3a ;所以球的表面积为:4π232a ⎛⎫⎪⎝⎭=3πa 2 故答案为D .点睛:本题考查了球与几何体的问题,是高考中的重点问题,一般外接球需要求球心和半径,首先应确定球心的位置,球心到各顶点距离相等,这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心,过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等,然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线,这样两条直线的交点,就是其外接球的球心,有时也可利用补体法得到半径. 6、B【解析】根据空间中两点间距离公式,即可求得球的半径.【详解】球A 的球心为()1,0,0,且点()1,4,5B -在球A 的球面上, 所以设球A 的半径为R 则222455R AB ==++=.故选:B【点睛】本题考查了空间中两点间距离公式的简单应用,属于基础题. 7、B 【解析】当在平面内时,,①错误;两个平面的垂线平行,且两个平面不重合,则两个平面平行,②正确;③中,当时,平面可能相交,③错误;④正确.故选B.考点:空间线面位置关系. 8、A【解析】先通过终边上点的坐标求出cos α,然后代入分段函数中求值即可. 【详解】解:因为角α的终边经过点()1,22P所以()2211cos 3122α==+所以()31cos 13f log α==- 所以()()1cos 4f f α=故选A.【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义,分段函数的计算求值,属于基础题. 9、D【解析】详解】试题分析:集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<,集合,所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点:1、一元二次不等式;2、集合的运算. 10、A 【解析】找中间量0或1进行比较大小,可得结果【详解】300.600.60.6log 3log 10,00.60.61,331a b c =<=<=<==>=,所以a b c <<,故选:A .【点睛】此题考查利用对数函数、指数函数的单调性比较大小,属于基础题 11、B【解析】根据表格中的数据,四个变量都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量的增长速度最快, 【详解】根据表格中的数据,四个变量都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量的增长速度最快,符合指数函数的增长特点. 故选:B 12、B【解析】运用整体代入法,结合正切函数的单调区间可得选项. 【详解】由k π-π2<2x -π3<k π+π2(k ∈Z ),得ππ212k -<x <π5π212k +(k ∈Z ),所以函数f (x )=tan π2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间为πππ5π212212k k ⎛⎫-+⎪⎝⎭,(k ∈Z ). 故选:B.【点睛】本题考查正切函数的单调性,属于基础题.二、填空题(本大题共4小题,共20分) 13、22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】根据所给的图象,可得到2A =,周期的值,进而得到ω,根据函数的图象过点可求出ϕ的值,得到三角函数的解析式【详解】由图象可知2A =,5212122T πππ=+=, T π∴=, 2ω∴=,∴三角函数的解析式是2sin(2)y x ϕ=+函数的图象过(12π-,2),把点的坐标代入三角函数的解析式, 22sin[2()]12πϕ∴=-+2,Z 62k k ππϕπ∴-=+∈,又0ϕπ<<,23πϕ∴=,∴三角函数的解析式是22sin(2)3y x π=+. 故答案为:22sin(2)3y x π=+. 14、18-或1.【解析】根据集合A 的子集个数确定出方程解的情况,由此求解出参数a 值. 【详解】因为集合A 仅有两个不同子集,所以集合A 中仅有1个元素, 当10a -=时,23x =,所以23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,满足要求;当10a -≠时,()()234120a ∆=--⋅-=,所以18a =-,此时方程解为43x =,即43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,满足要求, 所以18a =-或1, 故答案:18-或1.15、2482ππ-【解析】M ﹣ABC 四个面都为直角三角形,MA ⊥平面ABC ,MA=AB=BC=2, ∴三角形的2 从而可得3,那么ABC 内接球的半径r 2﹣r )2=r 2+(222 解得:2∵△ABC 时等腰直角三角形, ∴外接圆半径为122 外接球的球心到平面ABC 的距离为2AM=1 可得外接球的半径3故得:外接球表面积为12π. 由已知,设内切球半径为'r ,1221222212222122MAC ABC MA MB B C S S S S ∆∆∆∆=⨯==⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=,()'MAC MBC '11MA S S S S r 33112222r 33ABC ABC MAB S ∆∆∆∆∆∴⋅⋅=+++⋅⨯⨯=⨯++⋅'1r ∴=,内切球表面积为'22441)(12S r πππ===-,外接球与内切球的表面积之和为24π-故答案为:24π-.点睛:本题考查了球与几何体的问题,一般外接球需要求球心和半径,首先应确定球心的位置,借助于外接球的性质,球心到各顶点距离相等,这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心,过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等,然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线,这样两条直线的交点,就是其外接球的球心. 16、[]3,1-【解析】要使函数有意义,需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤,函数定义域为[]3,1- 考点:函数定义域三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17、(1)1a =- (2)1k >【解析】(1)函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,有()()f x f x -=-,代入即可得出a 的值; (2)[2,4]x ∈时,2()log ()f x x k <+恒成立转化为即11x k x x +>--,令12()111x g x x x x x +=-=+---,求()g x 在[2,4]x ∈的最大值即可.【小问1详解】 函数21()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称,则函数21()log 1ax f x x -=-为奇函数,有()()f x f x -=-, 即2211log log 11ax ax x x +-=---,解得1a =±,当1a =时,不满足题意,所以1a =-; 【小问2详解】由2()log ()f x x k <+,得221log log ()1x x k x +<+-,即11x k x x +>--, 令12()111x g x x x x x +=-=+---,易知()g x 在[2,4]x ∈上单调递减, 则()g x 的最大值为(2)1g =.又因为当[]2,4x ∈时,2()log ()f x x k <+恒成立, 即11x k x x +>--在[]2,4x ∈恒成立,所以1k >. 18、(1)()222f x x x =++;(2)(,1[1)-∞-⋃-++∞.【解析】(1)利用函数的奇偶性结合条件即得;(2)由题可知221522222x x x a a -++-≤+-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,利用函数的单调性可求()2max 22292x x x -+-=+,即得. 【小问1详解】∵当0x ≤时,()222f x x x =-+, ∴当0x >时,0x -<,∴()()()222222f x x x x x -=---+=++,又()f x 是定义在R 上的偶函数, ∴()()222f x f x x x =-=++, 故当0x >时,()222f x x x =++; 【小问2详解】由()215222x f a a x -≤++-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, ∴221522222x x x a a -++-≤+-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,∴()22max 1522222x a a x x -+-≥++- 又∵222=++y x x 与2xy -=-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增, ∴()221max 922122222x x x --++-=-=++,∴2159222a a +-≥,解得1a ≤-1a ≥-+,∴实数a 的取值范围为(,1[1)-∞--⋃-++∞.19、(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ (2)196π 【解析】(1)由图象可计算得A ωϕ,,;(2)由题意可求()()y f x g x =+,进而可以求出在给定区间内与已知直线的交点的横坐标,问题得解.【小问1详解】由题图知2A =,T π=,于是22T πω==, 将2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度,得()2sin 2y x ϕ=+的图象. 于是2126ππϕ=⨯=所以,()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【小问2详解】 由题意得()2sin 22cos 2466g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故()()2sin 22cos 226612y f x g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2122x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 因为302x π<<,所以23121212x ππππ-<-<- 所以524x π=或38x π=或2924x π=或118x π=,所以,在给定区间内,所有交点的横坐标之和为196π. 20、(1)证明见解析; (2)43【解析】(1)连接BE ,证明AF ⊥平面BEC 即可;(2)由等体积C ABF B ACF V V --=即可求点B 到平面ACF 的距离【小问1详解】连接BE ,平面ABCD ⊥平面ABFE ,且平面ABCD 平面ABFE AB =,又在矩形ABCD 中,有BC AB ⊥,BC ∴⊥平面ABFE ,AF ⊂平面ABFE ,AF BC ∴⊥,在正方形ABFE 中有AF BE ⊥,且BC BE B =,BC BE ⊂、平面BCE ,AF ∴⊥平面BCE ,CE ⊂平面BCE ,AF CE ∴⊥;【小问2详解】设点B 到平面ACF 的距离为d ,由已知有2AB BF ==,4BC =,由(1)知:BC ⊥平面ABFE ,BF ⊂平面ABFE ,BC BF ∴⊥, 从而可得:22AF =224225AC CF ==+=,在等腰ACF 中,底边上的高为:2222(25)322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭1223262ACFS ∴=⨯=,由C ABF B ACF V V --=得,·ACF ABF S d S BC ⋅=,则12244263d ⨯⨯⨯==, 即点B 到平面ACF 的距离为4321、(1)08a <<;(2)1a ≥. 【解析】(1)根据给定条件可得2211x ax a ++->-恒成立,再借助判别式列出不等式求解即得.(2)根据给定条件列出不等式,再分离参数,借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.【小问1详解】因函数2()21f x x ax a =++-的图象恒在直线1y =-上方,即R x ∀∈,2221120x ax a x ax a ++->-⇔++>, 于是得280a a ∆=-<,解得08a <<,所以实数a 的取值范围是:08a <<.【小问2详解】 依题意,(0,)∀∈+∞x ,()222121010f x x ax a a x x -++-≥⇔≥≥-+⇔, 令11x t +=>,22212(1)11241x t t x t t---==+-+, 令函数1()24g t t t=+-,(1,)t ∈+∞,1212,(1,),t t t t ∀∈+∞<, 1212121212111()()22()(2)g t g t t t t t t t t t -=+--=--,而121t t <<,即120t t -<,12120t t ->, 则有12()()0g t g t -<,即12()()g t g t <,于是得()g t 在(1,)t ∈+∞上单调递增,因此,1t ∀>,()(1)1g t g >=-,即22111x x ->-+,从而有22111x x --<+,则1a ≥, 所以实数a 的取值范围是1a ≥.22、(1)(0,80];(2)最大值约为3250辆/小时,车流密度约为87辆/千米.【解析】(1)把120,0x v ==代入已知式求得k ,解不等式40v ≥可得x 的范围(2)由(1)求得函数y xv =,分别利用函数的单调性和基本不等式分段求得最大值,比较可得【详解】解:(1)由题意知当120x =(辆/千米)时,0v =(千米/小时), 代入60140k v x =--得060140120k =--,解得1200k =所以50,020120060,20120140x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当020x <≤时,5040v =≥,符合题意;当20120x <≤时,令12006040140x-≥-,解得80x ≤,所以2080x <≤ 综上,080x <≤答:若车流速度v 不小于40千米/小时,则车流密度x 的取值范围是(0,80]. (2)由题意得,50,020120060,20120140x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当020x <≤时,50y x =为增函数,所以20501000y ≤⨯=,等号当且仅当20x成立;当20120x <≤时, 12002020(140)2800606060140140140x x x y x x x x x x --⎛⎫⎡⎤=-=-=+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦ 28002800602060160(140)140140x x x x ⎧⎫⎛⎫⎡⎤=+-=--+⎨⎬ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎩⎭6016060(1603250⎡≤-=-≈⎢⎣ 即3250y ≤,等号当且仅当2800140140x x-=-,即14087(20,120]x =-≈∈成立. 综上,y 的最大值约为3250,此时x 约为87.答:隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时,此时车流密度约为87辆/千米.【点睛】关键点点睛:本题考查函数模型的应用,对于已经给出函数模型的问题,关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解。
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离公式,所以平面内两点间距离公式是空间中两点间距离
公式的特例.
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第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
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第二章 平面解析几何初步
[例1] 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点
的△ABC是等腰三角形.
人
教
B
版
数
学
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求下列两点间的距离.
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教
B
版
2.4.2 空间两点的距离公式
数 学
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第二章 平面解析几何初步
重点:空间两点间的距离公式.
难点:空间两点间距离公式的推导.
由平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间距离公式可类
比得出空间两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间距离公
人 教
式|P1P2|=
B
且空间两点间 版 数
距离公式中,当z1=z2=0时,就是xoy平面内两点间的距 学
B
版
[解析]
d(A,B)= (2-1)2+(4-2)2+(8-4)2= 21,
数 学
d(B,C)= (3-2)2+(6-4)2+(12-8)2= 21,
d(A,C)= (3-1)2+(6-2)2+(12-4)2=2 21,
∴AB+BC=AC,故 A、B、C 三点共线.
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第二章 平面解析几何初步
(2) (x-2)2+(y-1)2+(z-4)2=5,
B 版
数
∴(x-2)2+(y-1)2+(z-4)2=25.
学
(3)设 C 点坐标为(0,0,z),则
32+12+(z-1)2= 22+(-2)2+(z-3)2.
∴10+(z-1)2=8+(z-3)2.解得 z=32.
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第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
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第二章 平面解析几何初步
[例3] 求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P
的坐标满足的条件.
人
教
B
版
数
学
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第二章 平面解析几何初步
[解析] 设 P(x,y,z),
则 PA= (x-2)2+(y-3)2+z2,
PB= (x-5)2+(y-1)2+z2.
人
A.以点(1,1,-1)为球心以 2为半径的球面上
教 B
版
B.以点(1,1,-1)为中心以 2为棱长的正方体内Fra bibliotek数 学
C.以点(1,1,-1)为球心以 2 为半径的球面上
D.无法确定
[答案] C
[解析] 由球面的定义可知,选C.
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第二章 平面解析几何初步
二、填空题
4.已知点A在x轴上,点B(1,2,0),且d(A,B)=,则
[答案] (1)2x+2y-2z-3=0 (2)(x-2)2+(y-1)2+(z-4)2=25
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第二章 平面解析几何初步
[解析] (1)由|PA|=|PB|,
得 (x-1)2+y2+(z-1)2= (x-2)2+(y-1)2+z2.
化简得 2x+2y-2z-3=0.
人
教
人
教
∵PA=PB,
B 版
数
∴ (x-2)2+(y-3)2+z2= (x-5)2+(y-1)2+z2.
学
化简得 6x-4y-13=0.
∴点 P 的坐标满足的条件为 6x-4y-13=0.
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第二章 平面解析几何初步
(1)若点P(x,y,z)到A(1,0,1)、B(2,1,0)两点的距离
相等,则x,y,z满足的关系式是____________;
人
教
[解析] 设点 P 的坐标为(0,0,z),
B 版
数
又 d(P,O)= (0-0)2+(0-0)2+(z-0)2=1,
学
∴z=±1,∴P(0,0,1)或(0,0,-1).
∴d(P,A)= (1-0)2+(1-0)2+(1-1)2= 2,
或 d(P,A)= (1-0)2+(1-0)2+(1+1)2= 6.
点A的坐标是____________.
[答案] (0,0,0)或(2,0,0)
人
教
B
[解析] 设点A坐标为(x,0,0),
版
数
学
解得x=0或x=2. ∴点A的坐标为(0,0,0)或(2,0,0).
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第二章 平面解析几何初步
5.已知点P在z轴上,且d(P,O)=1(O是坐标原点), 则点P到点A(1,1,1)的距离是________.
人
教
B
版
数
学
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第二章 平面解析几何初步
[解析] 以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标
系.
则D(0,0,5),A(3,-4,0),
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第二章 平面解析几何初步
已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12),求证
A、B、C三点在同一条直线上.
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D.以上都不对
人
教
B
[答案] C
版
数
[解析 ] 点P(a,b ,c)在坐标平面 xOy 内的射影 点 学
P′(a,b,0),∴点P到坐标平面xOy的距离即为|PP′|=
|c|.
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第二章 平面解析几何初步
3.点 P(x,y,z)满足 (x-1)2+(y-1)2+(z+1)2=2,
则点 P 在
()
(1)A(-1,-2,3)、B(3,0,1);
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B
(2)M(0,-1,0)、N(-3,0,4).
版
数
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第二章 平面解析几何初步
[例2] 如图所示,在河的一侧有一塔CD=5m,河宽BC
=3m,另一侧有点A,AB=4m,求点A与塔顶D的距离AD.
人 教 B 版 数 学
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第二章 平面解析几何初步
一、选择题
1.点 P 22, 33,- 66到原点的距离是
()
人
30 A. 6
B.1
33 C. 6
35 D. 6
教 B 版
数
学
[答案] B
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第二章 平面解析几何初步
2.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是
()
A.|a|
B.|b|
C.|c|
人
教
B
(2)若点A(2,1,4)与点P(x,y,z)的距离为5,则x、y、版
数
z满足的关系式是____________;
学
(3)已知空间两点A(-3,-1,1)、B(-2,2,3)在Oz轴
上有一点C,它与A、B两点的距离相等,则C点的坐标是
____________.
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