空间直角坐标系 空间两点间的距离公式(解析版)

空间直角坐标系空间两点间的距离公式班级：____________ 姓名：__________________

C ．(－4,0，－6)

D ．(－4,7,0)

解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－

6)．

答案：C

二、填空题

7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________． 解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相

同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )．

答案：(a ，b ，c )

8．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．

解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．

答案：(－4,1，－2)

9．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________．

解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)，

∴|PQ |＝(－1－2)2＋[2－(－1)]2＋02＝3 2.

答案：3 2

10．已知点P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.

解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为⎝⎛⎭

⎫12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以

⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭

⎫52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4.

答案：0或－4

三、解答题

11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.

解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，

则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间

直角坐标系的中点坐标公式得M (4＋02，0＋42，0＋42)，N (0＋42，0＋02，4＋42

)，即M (2,2,2)，N (2,0,4)． 所以由两点间的距离公式得

|MN |＝(2－2)2＋(2－0)2＋(2－4)2＝2 2.

12．已知点P (2,3，－1)，求：

(1)点P 关于各坐标平面对称的点的坐标；

(2)点P 关于各坐标轴对称的点的坐标；

(3)点P 关于坐标原点对称的点的坐标．

解析：(1)设点P 关于xOy 坐标平面的对称点为P ′，则点P ′的横坐标、纵坐标与点P 的横坐标、纵坐标相同，点P ′的竖坐标与点P 的竖坐标互为相反数．

所以点P 关于xOy 坐标平面的对称点P ′的坐标为(2,3,1)．同理，点P 关于yOz ，xOz 坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．

(2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 的横坐标与点P 的横坐标相同，点Q 的纵坐标、竖坐标与点P 的纵坐标、竖坐标互为相反数．

所以点P 关于x 轴的对称点Q 的坐标为(2，－3,1)．

同理，点P 关于y 轴，z 轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)．

(3)点P (2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．

13．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．

解析：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称，

故点B 的坐标为(－2,3，－1)；

点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)；

点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)；

由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，

故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．

14．已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求：

(1)线段MN 的长度；

(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．

解析：(1)根据空间两点间的距离公式得

|MN |＝(3－1)2＋(2－0)2＋(1－5)2＝26，

所以线段MN 的长度为2 6.

(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以

(x －3)2＋(y －2)2＋(z －1)2＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2，

化简得x ＋y －2z ＋3＝0，

因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.