空间直角坐标系 空间两点间的距离公式(解析版)
空间直角坐标系、空间两点间的距离公式 课件
线段AB的中点坐标是_x_1_＋2__x_2，__y_1_＋_2_y_2_，__z1_＋2__z_2_.
类型一 求空间中点的坐标 【例1】 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三 棱柱的各顶点的坐标.
|MN|＝
32－12＋（3－1）2＋（1－2）2＝
21 2.
解 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线 OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图. 由题意知，AO＝ 23×2＝ 3，从而可知各 顶点的坐标分别为 A( 3，0，0)，B(0，1，0)， C(0，－1，0)，A1( 3，0，3)，B1(0，1，3)，C1(0，－1，3).
类型二 求空间中对称点的坐标 【例2】 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4).
空间直角坐标系 空间两点间的距离公式
1.空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相 同 单 位 长 度 的 数 轴 ： __x_轴__、__y轴__、__z_轴__ ， 这 样 就 建 立 了 一 个 __空__间__直__角__坐__标__系__O_－__x_y_z_. ②相关概念：__点__O_叫做坐标原点，x_轴__、__y_轴__、__z_轴_叫做坐标轴.通 过____每__两__个__坐__标__轴___的平面叫做坐标平面，分别称为_x_O__y_平 面、_y_O__z _平面、__zO__x_平面.
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标.
解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变， 在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P1(－2，－1，－4). (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量 不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P2(－2，1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3(6，－3，－12).
空间中两点的距离公式
M1
Q
y
O
因为 x | M1M2 | 2 = | M1Q | 2 + | M2Q | 2 = | M1P | 2 + | PQ | 2 + | M2Q | 2 所以 d | M1M2 |
( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
例1 求证以M 1(4，3，1)、M 2(7，1，2)、M 3(5，2，
1、设 O(0,0,0),P(x0,y0,z0)
z P C y B
则
OP OA OB OC x y z
2 0 2 0 2 0 2 2 2
A
x
o
二、空间两点间的距离
作一个以M 1和M 2为对 角线顶点的长方体，使 其三个相邻的面分别平 行于三个坐标面．
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点． z
z1
P
M1 Q
y
O x
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
作一个以 M 1 和 M 2 为 对角线顶点的长方体，使 其三个相邻的面分别平行 于 三 个 坐 标 面 ．
z
M2
与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|，
与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|， 与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．
坐标面： 三条坐标轴中的任意两 条可以确定一个平面，这样 定出的三个平面统称为坐标 面．x轴及y轴所确定的坐标
z
面叫做 xOy面，另两个坐标
面是 yOz 面和zOx面.
O
y
x
坐标面：
三条坐标轴中的任意两
空间两点间距离公式
距离公式？
z
1、设
O(0,0,0),P(x0,y0,z0)
则
OP
o A
OA 2 OB 2 OC 2 x
P C y
B
x02 y02 z02
2、空间任意两点A(x1,y1,z1),P(x2,y2,z2)
作长方体使AP为 长方体的对角线
z
由已知得： C(x2,y1,z1),
P A
B(x2,y2 ,z1)
x 1, 所求点 (1,0,0), (1,0,0). 为
例4.平面上到坐标原点的距离为１的点的
轨迹是单位圆，其方程
为 x2 y2 1
．
在空间中，到坐标原点的距离为１
的点的轨迹是什么？试写出它的方程．
x2 y2 z2 1
轨迹是球面
练3:设A(3,3,1),B(1,-1,5),C(0,1,0),则AB
的中点M到C的距离为____1_3____
分析：介绍空间直角坐标系中的中点坐标 公式；
已知点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2) 则线段AB中点C的坐标是
X= 1 (X1+X2)
2 1
Z= 2 (z1+z2)
y=
1 2
(y1+y2)
M(2,1,3)
例5：如图：M—OAB是棱长为a的正四 面体，顶点M在底面OAB上的射影为H， 分别求出点B、H、M的坐标
(9,0,0)或(-1,0,0)
例２：在xoy平面内的直线x+y=1上确定 一点M，使M到N(6,5,1)的距离最小 略解：设M(x,1-x,0),利用距离公式构造 出一个二次函数后求最值
MN (x 6)2 (1 x 5)2 (1 0)2
空间坐标系两点间距离公式
空间坐标系两点间距离公式设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)。
利用勾股定理，我们可以得到两点之间的距离d：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)这个公式就是空间坐标系中两点之间距离的一般公式。
下面我们将对这个公式进行详细解释：首先，我们可以将(x2-x1)²简化为(x2-x1)*(x2-x1)。
同样，(y2-y1)²可以简化为(y2-y1)*(y2-y1)，(z2-z1)²可以简化为(z2-z1)*(z2-z1)。
接下来，我们将这些简化后的表达式相加，得到：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)=√((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1)+(z2-z1)*(z2-z1))我们可以继续简化这个表达式，将每个乘法展开：d=√(x2²-2*x1*x2+x1²+y2²-2*y1*y2+y1²+z2²-2*z1*z2+z1²)现在，我们可以对这个表达式进行合并和化简。
首先，我们可以将常数项合并：d=√(x2²+y2²+z2²+x1²+y1²+z1²-2*x1*x2-2*y1*y2-2*z1*z2)然后，我们注意到这个表达式中存在三个平方项，我们可以将它们重新组合：d=√((x2²+y2²+z2²)+(x1²+y1²+z1²)-2*x1*x2-2*y1*y2-2*z1*z2)接下来，我们可以使用公式(a + b)² = a² + 2ab + b²，将表达式中的求和项写成平方的形式：d=√(x2²+2*x1*x2+x1²+y2²+2*y1*y2+y1²+z2²+2*z1*z2+z1²-2*x1*x2-2*y1*y2-2*z1*z2)再次合并和化简，我们可以得到：d=√((x2+x1)²+(y2+y1)²+(z2+z1)²-2*(x1*x2+y1*y2+z1*z2))这个公式更简洁，而且计算起来更方便。
空间两点间距离公式
d x y02 z02 y d y x02 z02
d z x02 y02
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比
猜想
空间：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
例4:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面 Oyz上是否存在一点C，使ABC为等边三角 形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3
3 2 3 12 3 2
2
2
y
3
0 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
所以存在一点C，满足条件.
课堂小结
一、空间两点间的距离公式：
d ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
二、空间中点坐标公式：
x
y
ห้องสมุดไป่ตู้
z
x1 y1 z1
x2
2 y2
2 z2
2
AC 1 32 5 12 2 52 29
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (2)BC边上中线AM的长。
AM ?
例2:求证以 M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3), 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解: M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
4.3.2 空间两点间的距离公式
解析几何中两点间距离公式
解析几何中两点间距离公式欢迎来到解析几何的世界。
你是否曾经在求两点间距离时使用过勾股定理？如果这还是你的唯一方法，那么我建议你应该试试使用解析几何中的公式来求解两点间的距离。
在此，我将会向你介绍两点距离公式以及它的相关内容。
让我们开始吧！一、什么是两点间距离公式？两点间距离公式，是解析几何中用于计算两个点之间距离的公式。
它可以用于二维平面和三维空间中。
在二维平面中，两点间距离公式被表示为：d = √ ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，d为两点之间的距离，(x1, y1)和(x2, y2)是平面上的两个点。
在三维空间中，两点间距离公式被表示为：d = √ ((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)其中，d为两点之间的距离，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)是空间中的两个点。
二、两点间距离公式的推导过程在计算两点间距离公式的推导过程中，我们使用了勾股定理（两边平方，然后开方），从而得到了该公式。
我们将在下面详细讲解推导过程。
二维平面:为了推导两点间距离公式，在平面上我们假设有两个点A和B。
如下图所示：我们可以通过画一个直角三角形来计算AB之间的距离。
我们可以看出，点A和点B之间的距离等于C点到直角三角形的对角线长度。
如下图所示：根据勾股定理，我们可以得出方程：C² = A² + B²其中，C为对角线的长度，A和B为直角三角形两条边的长度。
将上述方程稍加变换后，可以得出两点之间的距离公式：d = √ ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)三维空间：在三维空间中，我们同样假设有两个点A和B。
与二维平面的情况类似，我们可以通过画一个直角三角形来计算AB之间的距离。
如下图所示，假设我们要计算点A和点B之间的距离。
我们可以通过勾股定理来计算AB之间的距离。
测量坐标计算公式大全
测量坐标计算公式大全一、两点间距离公式（平面直角坐标系）设两点坐标分别为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则两点间的距离d为：d = √((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)例如，A(1,2)，B(4,6)，则x_1 = 1,y_1=2,x_2 = 4,y_2 = 6d=√((4 - 1)^2+(6 - 2)^2)=√(3^2 + 4^2)=√(9+16)=√(25) = 5二、中点坐标公式（平面直角坐标系）设两点坐标分别为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则AB中点M的坐标为(x_m,y_m)，其中。
x_m=(x_1 + x_2)/(2)y_m=(y_1 + y_2)/(2)例如，A( - 2,3)，B(4,-1)，则中点M的坐标为。
x_m=(-2+4)/(2)=1y_m=(3+(-1))/(2)=1即中点M(1,1)三、直线的斜率公式（平面直角坐标系）设直线上两点坐标为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)（x_1≠ x_2），则直线AB的斜率k 为：k=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)例如，A(1,2)，B(3,6)，则k=(6 - 2)/(3 - 1)=(4)/(2)=2四、直线的点斜式方程（平面直角坐标系）已知直线过点(x_0,y_0)，斜率为k，则直线方程为y - y_0=k(x - x_0)例如，直线过点(1,3)，斜率k = 2，则直线方程为y-3 = 2(x - 1)，即y=2x+1五、平面直角坐标系中坐标旋转公式。
设点P(x,y)绕原点旋转θ角后得到点P'(x',y')x'=xcosθ - ysinθy'=xsinθ + ycosθ六、极坐标与直角坐标的转换公式。
1. 直角坐标(x,y)转换为极坐标(ρ,θ)ρ=√(x^2 + y^2)θ=arctan(y)/(x)(x≠0)2. 极坐标(ρ,θ)转换为直角坐标(x,y)x = ρcosθy=ρsinθ七、空间直角坐标系中两点间距离公式。
第6章 多元函数微分学
6.4 多元复合函数微分法 6.4.1 多元复合函数微分法 设 z = f (u,v), u = u (x,y), v = v(x,y),则 , ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 这是本节最重要、最好记忆的公式, 这是本节最重要、最好记忆的公式,也是应 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话, 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话,你 是不会出错的. 是不会出错的. 本节假设所有的抽象函数总能 满足所需要的条件. 满足所需要的条件. 的偏微商. 练习 求 z = (x2 + y2)xy 的偏微商. 提示： 提示：令u = x2 + y2, v = xy.
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
的偏微商与全微分. 例 求z = cos2x + 3siny的偏微商与全微分 的偏微商与全微分 ∂z ∂z 解 = −2sin 2x, = 3cos y. ∂x ∂y
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
= − 2sin2xdx + 3cosydy
第6章 多元函数微分学
重点： 重点：求偏微商 难点： 难点：多元复合函数微分法 多元函数极值
6.1 空间解析几何
6.1.1 空间直角坐标系
点与坐标
两点间的距离公式 间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + (z1 − z2 )
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空间直角坐标系空间两点间的距离公式班级：____________ 姓名：__________________
C ．(－4,0，－6)
D ．(－4,7,0)
解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－
6)．
答案：C
二、填空题
7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________． 解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相
同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )．
答案：(a ，b ，c )
8．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．
解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．
答案：(－4,1，－2)
9．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________．
解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)，
∴|PQ |＝(－1－2)2＋[2－(－1)]2＋02＝3 2.
答案：3 2
10．已知点P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.
解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为⎝⎛⎭
⎫12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以
⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭
⎫52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4.
答案：0或－4
三、解答题
11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.
解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间
直角坐标系的中点坐标公式得M (4＋02，0＋42，0＋42)，N (0＋42，0＋02，4＋42
)，即M (2,2,2)，N (2,0,4)． 所以由两点间的距离公式得
|MN |＝(2－2)2＋(2－0)2＋(2－4)2＝2 2.
12．已知点P (2,3，－1)，求：
(1)点P 关于各坐标平面对称的点的坐标；
(2)点P 关于各坐标轴对称的点的坐标；
(3)点P 关于坐标原点对称的点的坐标．
解析：(1)设点P 关于xOy 坐标平面的对称点为P ′，则点P ′的横坐标、纵坐标与点P 的横坐标、纵坐标相同，点P ′的竖坐标与点P 的竖坐标互为相反数．
所以点P 关于xOy 坐标平面的对称点P ′的坐标为(2,3,1)．同理，点P 关于yOz ，xOz 坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．
(2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 的横坐标与点P 的横坐标相同，点Q 的纵坐标、竖坐标与点P 的纵坐标、竖坐标互为相反数．
所以点P 关于x 轴的对称点Q 的坐标为(2，－3,1)．
同理，点P 关于y 轴，z 轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)．
(3)点P (2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．
13．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
解析：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称，
故点B 的坐标为(－2,3，－1)；
点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)；
点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)；
由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，
故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．
14．已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求：
(1)线段MN 的长度；
(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．
解析：(1)根据空间两点间的距离公式得
|MN |＝(3－1)2＋(2－0)2＋(1－5)2＝26，
所以线段MN 的长度为2 6.
(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以
(x －3)2＋(y －2)2＋(z －1)2＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2，
化简得x ＋y －2z ＋3＝0，
因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.。