版空间直角坐标系空间两点间的距离公式
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间直角坐标系1-2空间两点间的距离公式北师大版选择性必修第一册
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点 空间两点间的距离
1．已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P、Q两点间的
x2 − x1 2 + y2 − y1 2 + z2 − z1 2
距离为|PQ|＝_____________________________．
答案： 3
解析：|AB|＝ t 2 + t − 2 2 + 1＝ 2 t − 1
∴当t＝1时，|AB|的最小值为 3.
2
+ 3，
5．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6，5，1)
的距离最小．
解析：由已知，可设M(x，1－x，0)，
则|MN|＝ x − 6 2 + 1 − x − 5 2 + 0 − 1 2 ＝ 2 x − 1
x1 − x2 2 + y1 − y2 2 ；②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是
x1，x2，则|AB|＝|x2－x1|.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．( × )
(2)空间两点间的距离公式不适合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一平面内的两点．( × )
(3) 将 空 间 两 点 间 距 离 公 式 中 两 点 的 坐 标 对 应 互 换 ， 结 果 会 改
解析：设点P(0，0，z).则由|PA|＝|PB|，
得 0 − 4 2 + 0 − 5 2 + z − 6 2＝ 0 + 5
解得z＝6，即点P的坐标是(0，0，6).
空间直角坐标系空间两点间的距离公式
z •R
1
x
x
•
P
•o
1
1
•M
y
•Q y
3、空间中点的坐标
方法二：过M点作xOy面的垂线，垂足为 P0点。
点 P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是M点的横坐标、
纵坐标。再过M点作z轴的垂线，垂足P1 在z轴上的坐标
z就是M点的竖坐标z 。
z P1
1
x
•o
1
1
xＸ
M点坐标为
•M
(x,y,z)
y Ｙ
y
•P0
三、空间点的坐标：
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别
是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实
数组(x，y，z)来表示, (x，y，z)叫做点M 在此
空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．
z
其中x叫做点M的横坐标，
R
M
y叫做点M的纵坐标，
空间任意两点间的距离.
R2 z
Q2
S2
P2 (x2,y2,z2)
P1 (x1,y1,z1)
S1
O
Q1
R1
x
y
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2| |P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2 | P1P2 | (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
D E F 点P的位置 X Y面内
Y Z面内
Z X面内
坐标形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
z
(1)坐标平面内的点:
人教A版高中数学必修2《4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_10
4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。
4.3空间直角坐标系及其空间两点间的距离公式
B1
D
A
C
B
探究1：与坐标原点的距离公式
4.3 空间直角坐标系
主要内容
4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式
4.3.1 空间直角坐标系
问题引入
1．数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
M
O
x
x
2．直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？
直角坐标平面上的点M，可用 y
一对有序实数(x，y)表示．
Ｐ（x，0，０） Ｐ（０，y，０） Ｐ（０，0，z） Ｐ（x，y，０） Ｐ（x，0，z） Ｐ（０，y，z）
知识小结
空间直角坐标系
点在空间直角坐标系中的坐标 1.学会建立空间直角坐标系 2.学会用空间直角坐标系表示空间点的坐标
4.3.2 空间两点间的距离公式
问题提出 1.在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？
例1 在长方体OABC DABC中，OA 3, OC 4, OD 2,
写出D,C, A, B四点的坐标。 z
D'
A'
C'
B'
O A x
Cy B
解：点B’在平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐 标y同点B的横坐标x与纵坐标y 相同．在xOy平面上，点B 横 坐标x=3，纵坐标y=4；点B’在z轴上的射影是D’，它的竖坐标 与点D’的竖坐标相同，点D’的竖坐标z=2．
y A(x,y)
Ox
x
3．怎样确切的表示室内灯泡的位置？
4．空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢？ 当建立空间直角坐标系后，空间中的点M，可以 用有序实数（x，y，z）表示．
空间直角坐标系 、空间两点间的距离公式课件
由 B1 在 xOy 平面内的射影为 B(3,5,0)， ∴B1 的横坐标为 3，纵坐标为 5， ∵B1 在 z 轴上的射影为 D1(0,0,4)， ∴B1 的竖坐标为 4，∴B1(3,5,4)．
1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上． (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点 M 的坐标的方法： 作 MM′垂直平面 xOy，垂足 M′，求 M′的横坐标 x， 纵坐标 y，即点 M 的横坐标 x，纵坐标 y，再求 M 点在 z 轴上 射影的竖坐标 z，即为 M 点的竖坐标 z，于是得到 M 点坐标 (x，y，z)．
求对称点的坐标
求点 A(1,2，－1)关于坐标平面 xOy 及 x 轴对称 的点的坐标．
【思路探究】 解决本题的关键是明确关于各坐标轴， 各坐标平面对称的两点的坐标的关系，可借助于图形．
Hale Waihona Puke 【自主解答】 如图所示，过 A 作 AM⊥xOy 交平面于 M， 并延长到 C，使 AM＝CM，则 A 与 C 关于坐标平面 xOy 对称， 且 C(1,2,1)．
空间两点间的距离公式 【问题导思】 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，若长方体的长、 宽、高分别为 a，b，c，则其对角线 AC1 的长等于多少？
【提示】 a2＋b2＋c2.
空间两点间的距离公式
(1)在空间中，点 P(x，y，z)到坐标原点 O 的距离|OP| ＝ x2＋y2＋z2 .
过 A 作 AN⊥x 轴于 N 并延长到点 B，使 AN＝NB， 则 A 与 B 关于 x 轴对称且 B(1，－2,1)． ∴A(1,2，－1)关于坐标平面 xOy 对称的点 C(1,2,1)； A(1,2，－1)关于 x 轴对称的点 B(1，－2,1)．
空间两点间距离公式
距离公式？
z
1、设
O(0,0,0),P(x0,y0,z0)
则
OP
o A
OA 2 OB 2 OC 2 x
P C y
B
x02 y02 z02
2、空间任意两点A(x1,y1,z1),P(x2,y2,z2)
作长方体使AP为 长方体的对角线
z
由已知得： C(x2,y1,z1),
P A
B(x2,y2 ,z1)
x 1, 所求点 (1,0,0), (1,0,0). 为
例4.平面上到坐标原点的距离为１的点的
轨迹是单位圆，其方程
为 x2 y2 1
．
在空间中，到坐标原点的距离为１
的点的轨迹是什么？试写出它的方程．
x2 y2 z2 1
轨迹是球面
练3:设A(3,3,1),B(1,-1,5),C(0,1,0),则AB
的中点M到C的距离为____1_3____
分析：介绍空间直角坐标系中的中点坐标 公式；
已知点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2) 则线段AB中点C的坐标是
X= 1 (X1+X2)
2 1
Z= 2 (z1+z2)
y=
1 2
(y1+y2)
M(2,1,3)
例5：如图：M—OAB是棱长为a的正四 面体，顶点M在底面OAB上的射影为H， 分别求出点B、H、M的坐标
(9,0,0)或(-1,0,0)
例２：在xoy平面内的直线x+y=1上确定 一点M，使M到N(6,5,1)的距离最小 略解：设M(x,1-x,0),利用距离公式构造 出一个二次函数后求最值
MN (x 6)2 (1 x 5)2 (1 0)2
空间两点间距离公式
d x y02 z02 y d y x02 z02
d z x02 y02
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比
猜想
空间：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
例4:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面 Oyz上是否存在一点C，使ABC为等边三角 形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3
3 2 3 12 3 2
2
2
y
3
0 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
所以存在一点C，满足条件.
课堂小结
一、空间两点间的距离公式：
d ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
二、空间中点坐标公式：
x
y
ห้องสมุดไป่ตู้
z
x1 y1 z1
x2
2 y2
2 z2
2
AC 1 32 5 12 2 52 29
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (2)BC边上中线AM的长。
AM ?
例2:求证以 M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3), 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解: M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
4.3.2 空间两点间的距离公式
空间两点间的距离公式
2
一、空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），P2（x2， y2，z2）在xOy平面上的射影分别为M、N.
z
O x P1 N y P2
M
思考1:点M、N之间的距离如何？
MN
x1 x2
2
y1 y2
2
思考2:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点 ， P在
PP1 PP2
x
2
2
2
3
2
x 2 11 , x2 2,
2 x 2 1 12
2 2
∴点 M
23 的坐标为0， 4 ，0.
小结
一、空间两点间的距离公式：
d ( x 2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
二、空间中点坐标公式：
x1 x2 x 2 y1 y2 y 2 z1 z2 z 2
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1)、 M 2 ( 7,1,2)、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M 1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 ( 2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 ( 2 1)2 ( 3 2)2 6, M 3 M1
z
P1 O x P2
A
y
M
N
P1 P2
x1 x2
课件8：4.3.1 空间直角坐标系~4.3.2 空间两点间距离公式
2．坐标 如图所示，设点 M 为空间直角坐标系中的一个定点， 过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的___平__面_____， 依次交 x 轴、y 轴和 z 轴于点 P、Q 和 R.设点 P、Q 和 R 在 x 轴，y 轴和 z 轴上的坐标分别是 x、y 和 z，
那么点 M 就和有序实数组(x，y，z)是_一__一___对__应____的关系， 有序实数组___(x_，__y_，__z_)__叫做点 M 在此空间直角坐标系中 的 坐 标 ， 记 作 __M_(_x_，__y_，__z_)__ ， 其 中 x 叫 做 点 M 的 __横__坐__标____，y 叫做点 M 的__纵__坐__标____，z 叫做点 M 的
【解析】 |AB|＝ (－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝ 86.
3．点 A 在 z 轴上，它到点(2 2， 5，1)的距离是 13， 则点 A 的坐标是 ( C ) A．(0,0，－1) B．(0,1,1) C．(0,0,1) D．(0,0,13)
【解析】 设点 A 的坐标为(0,0，z)， ∵点 A 到点(2 2， 5，1)的距离是 13， ∴(2 2－0)2＋( 5－0)2＋(z－1)2＝13，解得 z＝1， 故点 A 的坐标为(0,0,1)．
B．(－1，－2，－4)
C．(1,2，－4)
D．(1，－2,4)
【解析】 关于x轴对称的点的纵坐标、竖坐标变为原来
的相反数，故选A．
3．如下图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1， 则点 B1 的坐标是( C )
A．(1,0,0) C．(1,1,1)
B．(1,0,1) D．(1,1,0)
设 D(x，y,0)，
在 Rt△AOC 中，|OA|＝2，|OC|＝3，|AC|＝ 13，
已知二点坐标算距离公式
已知二点坐标算距离公式在平面直角坐标系中，我们可以通过求两点之间的距离来计算这两点的几何关系。
已知两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方的和。
根据这个定理，我们可以计算出A点与B点的距离d：d = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，sqrt表示开平方。
下面我们通过一个实际问题来解释如何使用这个公式计算两点之间的距离。
假设有两座城市A和B，它们的地理坐标分别是A(3,4)和B(5,7)。
我们需要计算出这两座城市之间的距离。
根据公式，我们有：d = sqrt((5 - 3)² + (7 - 4)²)= sqrt(2² + 3²)= sqrt(4 + 9)= sqrt(13)所以，城市A和城市B之间的距离是sqrt(13)。
这个公式在计算距离时非常实用，因为它可以应用于任何两个点的坐标。
无论是在平面上还是在三维空间中，这个公式都适用。
在三维空间中，我们可以将坐标点表示为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)。
根据勾股定理，我们可以得到这两个点之间的距离d：d = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)这个公式可以用于计算任意两个三维空间中的点之间的距离。
除了上述方法之外，我们还可以使用向量的方法来计算两点之间的距离。
向量的表示既可以使用坐标表示，也可以使用起点和终点来表示。
如果我们使用坐标表示，可以将两个坐标点表示为向量A(x1,y1)和向量B(x2,y2)。
那么，AB向量的长度就是两点之间的距离。
如果我们使用起点和终点来表示，可以将点A看作是一个向量A，点B看作是一个向量B。
那么，AB向量的长度就是两点之间的距离。
这种向量的方法在计算机图形学和几何学中经常被使用。
空间直角坐标系及空间两点的距离公式[K]
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D1
2 2 2 AD AA AC 1 AB 1
C1
A1
B1
D
C
B
A
引申:
C
z
O
P
B
A
y
x
原点 O （ 0 ， 0 ， 0 ）到 P （ x0, y0, z0) 的距离 | OP | | OA | | OB | | OC |
、
课堂小结:
1、空间直角坐标系的建立及特点
2、空间两点间的距离公式
z
在平面xOy的点有哪些?
这些点的坐标有什么共性?
A' B' A B C C' D'
A（0，0，0）
A’（0，0，5）
B（12，0，0） B’（12，0，5）
D
y
C（12，8，0） C’（12，8，5）
D（0，8，0）
D’（0，8，5）
x
例题选讲:
例2
如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12， AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射 线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴， 建立空间直角 坐标系，求长方体各个顶点的坐标。
xOy平面
x
知识点:
三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限。 在坐标平面xoy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦 限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ；在下方的卦限称为第Ⅴ、 第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限。 在每个卦限内，点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第 Ⅰ卦限，三个坐标分量x,y,z都为正数；在第Ⅱ卦限，x负数， y,z都为正数。
空间直角坐标系点面距离公式(一)
空间直角坐标系点面距离公式(一)空间直角坐标系点面距离公式一、点到点的距离公式两点之间的距离可以用勾股定理来计算，即两点间直线的欧氏距离公式。
公式如下：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]其中，(x1, y1, z1)、(x2, y2, z2) 分别为两个点的坐标。
示例：假设有两个点 A(1, 2, 3) 和 B(4, 5, 6)，要计算它们之间的距离。
根据公式计算可得：d = √[(4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²]= √[3² + 3² + 3²]= √[9 + 9 + 9]= √27≈所以点 A 到点 B 的距离约为。
二、点到直线的距离公式点到直线的距离可以利用点到点的距离公式来计算。
设点 P(x, y, z) 到直线 L 的距离为 d，直线 L 上一点为 A(x1, y1, z1)，则有：d = |(Ax - Px) * i + (Ay - Py) * j + (Az - Pz) * k|/ √(i² + j² + k²)其中，(x, y, z) 为点 P 的坐标，(x1, y1, z1) 为直线上一点的坐标，(i, j, k) 为直线的方向向量。
示例：考虑一条直线 L 过点 A(1, 2, 3)，且方向向量为 (2, 2, 1)。
现有一点 P(-1, 0, 1)，要计算 P 到直线 L 的距离。
根据公式计算可得：d = |(2(-1 - 1) + 2(0 - 2) + 1(1 - 3))| / √(2² + 2²+ 1²)= |-4 - 8 - 2| / √(4 + 4 + 1)= |-14| / √9= 14 / 3≈所以点 P 到直线 L 的距离约为。
三、点到平面的距离公式点到平面的距离可以类比点到直线的距离公式，利用点到点的距离公式来计算。
空间两点之间距离公式
空间两点之间距离公式
空间中两点之间的距离公式是指在三维空间中计算两个点之间的欧几里得距离，即两点之间的直线距离。
这个公式可以用于计算任何两个点之间的距离，无论它们在空间中的位置如何。
具体地说，在三维笛卡尔坐标系中，空间中两点之间的距离公式可以表示为：
d = √((x2 - x1) + (y2 - y1) + (z2 - z1))
其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)是两个点在三维空间中的坐标，d是这两个点之间的距离。
这个公式可以通过勾股定理来证明。
由于两个点之间的距离就是它们之间的直线长度，我们可以用勾股定理来计算这个长度。
具体来说，我们可以将空间中的两点想象成一个直角三角形的两个顶点，然后应用勾股定理来计算斜边长度。
除了空间中的两点之间的距离公式之外，还有一些其他的距离公式可以用于计算两个点之间的距离。
例如，曼哈顿距离是一种在平面直角坐标系中计算两个点之间的距离的方法，它是指两个点在水平和垂直方向上的距离之和。
另外，切比雪夫距离是一种计算两个点之间距离的方法，它是指两个点在水平和垂直方向上的距离的最大值。
这些不同的距离公式可以根据不同的应用场景来选择使用。
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版空间直角坐标系空间两点间的距离公式————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点)4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)[基础·初探]教材整理1空间直角坐标系阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz ＝90°图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系2.空间中一点的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)．()(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)．()(3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)．()(4)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．()【解析】(1)错误．x轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0.(2)、(3)、(4)正确．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√教材整理2空间两点间的距离公式阅读教材P136“练习”以下至P137部分，完成下列问题．1．点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.2．任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝110，则m的值为________．【解析】|AB|＝(－1－2)2＋(2－1)2＋(3－m)2＝110，∴(3－m)2＝100,3－m＝±10.∴m ＝－7或13. 【答案】 －7或13[小组合作型]空间中点的坐标的确定在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E 、F 、G 、H 的坐标．【精彩点拨】 要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标．【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12. 由F 作FM ⊥AD 、FN ⊥DC ，由平面几何知FM ＝12、FN ＝12，则F 点 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.点G 在y 轴上，其x 、z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0.由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点，故HK ＝12、CK ＝18.∴DK ＝78.故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．[再练一题]1．在棱长都为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，建立恰当的空间直角坐标系，并写出三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标.【解】取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连接OA，OO1，根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且OA＝32×2＝3，以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则正三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标分别为：A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2).求空间对称点的坐标在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．【精彩点拨】对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．【自主解答】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y 轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12)．(1)求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.(2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z).[再练一题]2．已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4.【解】由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3)．[探究共研型]空间两点间的距离探究1已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)，请求出P、Q之间的距离．【提示】|PQ|＝(1－4)2＋(0－3)2＋(1＋1)2＝22.探究2上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点M 的坐标．【提示】设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．如图4-3-1所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．图4-3-1【精彩点拨】先建立空间直角坐标系，求出点M、N的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．【自主解答】如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2 ＝212.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[再练一题]3．如图4-3-2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．图4-3-2【解】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为() A．(－1,0,1)，(－1,2,0)B．(－1,0,0)，(－1,2,0)C．(－1,0,0)，(－1,0,0)D．(－1,2,0)，(－1,2,0)【解析】点A(－1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)，点A(－1，2,1)在xOy平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．【答案】 B2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是() A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．【答案】 A3．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．【解析】设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x0＝3＋52＝4，y0＝2－22＝0，z0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)．【答案】(4,0，－1)4．设A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则z＝________.【解析】由|AB|＝(6－4)2＋(2＋7)2＋(z－1)2＝11，解得z＝7或－5.【答案】7或－55．V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标.【解】以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∵V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零，∴点V的坐标是(0,0,3)．而A、B、C、D都在xOy平面上，∴它们的竖坐标都是零．又|AB|＝2，∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0,3)．21 / 21。