2.4空间直角坐标系与空间两点的距离公式
点到点的距离公式高中
点到点的距离公式高中
点到点距离公式：
1. 什么是点到点距离公式？
点到点距离公式是一个多维几何定义中表示空间上两点之间的距离。
它是点与点之间的直线距离，也就是说它表示两点之间的最短距离。
2. 点到点距离公式有哪些？
2.1 直角坐标系
普通点到点距离公式：若点A( x1 , y1 ) 与点B( x2 , y2 ) ，则他们之间的距离d的公式为：d = √ ( x2 – x1 )^2 + ( y2 – y1 )^2 。
2.2 圆柱坐标系
圆柱坐标系点到点距离公式：若点A( r1 , θ1 , z1) 与点B( r2 , θ2 , z2 )，则他们之间的距离d的公式为：d = √ ( r1 –r2 )^2 + ( θ2 –θ1 )^2 + ( z2 –z1 )^2 。
2.3 球坐标系
球坐标系点到点距离公式：若点A( φ1 , θ1 , ρ1 ) 与点B( φ2 , θ2 , ρ2 )，则他们之间的距离d的公式为：d = √ ( φ2 –φ1 )^2 + ( θ2 –θ1 )^2 + ( ρ2 –ρ1 )^2 。
2.4 Polaro-rectangular（极坐标与直角坐标）坐标系
极坐标与直角坐标点到点距离公式：若点A( r1 , θ1 ) 与点B( x2 , y2 )，则他们之间的距离d的公式为：d = √ ( r1 –x2 )^2 + ( θ1 – y2 )^2 。
3. 点到点距离公式有何作用？
点到点距离公式可以用于求解直角坐标系，圆柱坐标系，球坐标系以及极坐标和直角坐标的距离，它的实际应用范围广泛，可以用于计算数据分析，地理信息系统分析等场景中。
它可以帮助我们求解距离和相对位置，从而对复杂几何要素进行定量分析。
坐标中的两点距离公式
坐标中的两点距离公式在数学中，坐标系统是一种用于描述和定位点的系统。
在二维坐标系中，每个点可以由两个数值表示，通常称为x和y坐标。
在三维坐标系中，每个点可以由三个数值表示，通常称为x、y和z坐标。
当给定两个点的坐标时，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离。
在二维空间中，两点之间的距离可以使用勾股定理来计算。
而在三维空间中，我们可以使用类似的方法来计算两点之间的距离。
二维空间中的距离公式假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们需要计算它们之间的距离。
根据勾股定理，我们可以得到以下公式：$$ d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$这个公式的推导可以通过将两点连线作为直角三角形的斜边来理解。
x和y的差值表示两点在水平和垂直方向上的距离，而取平方和再开根号可以计算斜边的长度。
例如，当A(1,2)和B(4,6)时，我们可以使用公式计算它们之间的距离：$$ d = \\sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} =\\sqrt{25} = 5 $$因此，点A和B之间的距离为5。
三维空间中的距离公式类似地，在三维空间中，我们可以使用一个类似的公式来计算两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离。
公式如下所示：$$ d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$这个公式也可以通过将两点连线作为空间直角三角形的斜边来理解。
我们先计算每个坐标轴上的距离差值，然后取平方和再开根号即可得到斜边的长度。
例如，当A(1,2,3)和B(4,6,8)时，我们可以使用公式计算它们之间的距离：$$ d = \\sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 + (8 - 3)^2} = \\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} =\\sqrt{9 + 16 + 25} = \\sqrt{50} \\approx 7.07 $$因此，点A和B之间的距离约为7.07。
空间中两点的距离公式
探究：如果？
练习
1、在空间直角坐标系中，求点A、B的中点， 并求出它们之间的距离： (1)A(2,3,5) B(3,1,4) 6 (2)A(6,0,1) B(3,5,7) 70
2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等。 (0,0,-3)
C
6.已知（ A 1 - t， 1 - t，t）和B （2，t，t）则 , | AB | 的最小值（ ） C 5 A. 5 3 5 C. 5 55 B. 5 11 D. 5
小结
1.空间中两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)的距离公式为
| PP ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 ) 1 2 |
巩固练习
1.下列叙述中，正确的个数是 （ ） C （1）在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是 （0，b, c）； （2）在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可 写成（0，b, c）； （3）在空间坐标系中，在Oz轴上点的坐标可记作（0， 0，c） （4）在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标是 （a , 0, c） A.1 B .2 C .3 D.4
2 2
2
z
P1(x1,y1,z1)
O
P2(x2,y2,z2) H
M
y
N
x
二、基础知识讲解 空间中两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)的距离公式为
| P1 P2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
2 2
2
特别地, 原点O与任一点P ( x , y , z )的距离 : | OP | x y z
空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 课件
第四章 4.3 4.3.1
6．如下图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E， F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如所示 空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
第四章 4.3 4.3.1
[解析] ∵底面是边长为2的正方形， ∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O点是坐标原点， ∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－ 1,0)，D(－1,1,0)． ∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．
A．(－1，－2,4)
B．(－1，－2，－4)
C．(1,2，－4)
D．(1，－2,4)
[答案] A
第四章 4.3 4.3.1
3．如下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则 点B1的坐标是( )
A．(1,0,0) C．(1,1,1) [答案] C
B．(1,0,1) D．(1,1,0)
第四章 4.3 4.3.1
随堂测评
第四章 4.3 4.3.1
1．下列点在x轴上的是( )
A．(0.1,0.2,0.3)
B．(0,0,0.001)
C．(5,0,0)
D．(0,0.01,0)
[答案] C
第四章 4.3 4.3.1
2．在空间直角坐标系中，点M(－1,2，－4)关于x轴的对称
点的坐标是( )
第四章 4.3 4.3.1
新知导学 1．空间直角坐标系
以空间中两两_垂__直____且相交于一点O的三条直线
分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角
定义
坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标_原__点____，x轴、y 轴、z轴叫做___坐__标__轴___．通过每两个坐标轴的平
直角坐标系中两点的坐标公式
直角坐标系中两点的坐标公式直角坐标系是一个常用的数学工具，用于描述平面上的点。
在直角坐标系中，每个点可以用一对有序实数数对（x，y）来表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
为了求解直角坐标系中两点之间的距离和方向，我们需要了解两点之间的坐标公式。
两点之间的距离公式是直角坐标系中最常见的公式之一。
假设有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），它们之间的距离可以使用以下公式来计算：距离公式的推导如下：设点A和点B之间的距离为d。
根据勾股定理，两点之间的距离d可以表示为两点在x轴上的距离Δx和在y轴上的距离Δy的平方和的平方根。
根据勾股定理可以得到：d² = (Δx)² + (Δy)²即：d = sqrt((Δx)² + (Δy)²)这就是直角坐标系中两点之间的距离公式。
除了计算两点之间的距离，我们还可以利用直角坐标系中的坐标公式计算两点之间的方向角。
方向角表示一个向量相对于x轴正方向的角度。
我们可以使用以下公式计算两点之间的方向角θ：θ = atan((Δy) / (Δx))该公式基于反正切函数atan，它接受一个数字作为参数，并返回一个角度作为结果。
需要注意的是，当计算斜率时，我们应该注意除数不能为零，以免引起错误或异常。
当两点的x坐标相等时，即Δx = 0时，我们无法计算斜率。
在一些特殊情况下，当Δx等于零时，我们可以得到以下结果： - 如果Δy大于零，则方向角θ等于90度或π/2弧度。
- 如果Δy小于零，则方向角θ等于-90度或-π/2弧度。
- 如果Δy等于零，即两点位于同一水平线上，则无法定义方向角。
以上便是直角坐标系中两点的坐标公式的介绍。
通过这些公式，我们可以计算任意两点之间的距离和方向角，从而更好地理解和应用直角坐标系。
《空间两点的距离距离公式》
z
( x1, y1, z1 )
p2 ( x , y , z ) 2 2 2
B( x2 , y2 , z1 )
O
x2
p1
y1
A
y2
y
x1
R ( x2 , y2 ,0)
x
Q ( x1 , y1 ,0)
在空间直角坐标系中，点 和 p2 ( x2 , y2 , z2 ) 点的距离
P 1 ( x1 , y1 z1 )
2 2
d a b c
问题2：在空间直角坐标系中原点O（0，0，0） 到空间任意点P（x0，y0，z0）的距离，怎么求？
z d P ( x0 , y0 , z0 ) B (0, y0 ,0) y
p1 ( x , y ,0)
0 d
x y z
2 0 2 0
2 0
练3:设A(3,3,1),B(1,-1,5),C(0,1,0),则AB 的中点M到C的距离为_________ 13 分析：介绍空间直角坐标系中的中点坐标 公式；
已知点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2) 则线段AB中点C的坐标是
1 X= (X1+X2) 2 1 Z= 2 (z1+z2)
d ( x 2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
公式的记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根
例１ 求空间两点Ａ（３，－２，５ ） Ｂ（６，０，－１）的距离ＡＢ
练1：P(1,2,-2)和Q(-1,0,-1)的 3 距离是________ 练2：给定空间直角坐标系，在x轴上找 一点P，使它与点P0(4,1,2) 距离为 30 分析：设P(x,0,0),由已知求得x=9或-1 (9,0,0)或(-1,0,0)
空间直角坐标系与空间两点的距离公式
2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式课程学习目标［课程目标］目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式. 目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导.［学法关键］1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标.2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式研习点1．空间直角坐标系为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点.如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合；3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系；4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 研习点2．空间点的坐标1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标；这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.已知数组(x，y，z)，如何作出该点？对于任意三个实数的有序数组(x，y，z)：（1）在坐标轴上分别作出点P x，P y，P z，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z；（2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy，这三个平面的交点就是所求的点.研习点3．空间点的坐标1．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面；2．坐标平面上点的坐标的特征：xOy平面（通过x轴和y轴的平面）是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数；xOz平面（通过x轴和z轴的平面）是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；3．坐标轴上点的特征：x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。
最新人教版高中数学必修2第四章《空间两点的距离公式》知识导航
2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式知识梳理1.空间直角坐标系的建立为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy中，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴、y轴都垂直，这样任意两条数轴都互相垂直.轴的方向这样规定:从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°后与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系O—xyz，O叫做坐标原点.由两条坐标轴确定的面叫坐标平面，三个坐标平面把空间分成八个卦限〔如图2-4-(1,2)-1〕.图2-4-(1,2)-1xOy平面:由x轴及y轴确定的坐标面；xOz平面:由x轴及z轴确定的坐标面；yOz平面:由y轴及z轴确定的坐标面.2.点在空间直角坐标系中的坐标取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系.点M为空间一已知点,在空间直角坐标系中，过这点作两条轴所确定平面的平行平面，交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是M点相应的一个坐标.设点M在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的点M就唯一的确定了一个有序数组x、y、z.这组数x、y、z就叫做点M的坐标，记为(x，y，z)，并依次称x、y和z为点M的x坐标，y坐标和z 坐标.反之，设(x,y,z)为一个三元有序数组,过x轴上坐标为y的点,y轴上坐标为z的点,z轴上坐标为x的点，分别作x轴、y轴、z轴的垂直平面，这三个平面的交点M便是三元有序数组(x,y,z)唯一确定的点.所以，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系.八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点:Ⅰ:(+,+,+)；Ⅱ:(-,+,+)；Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+)；Ⅴ:(+,+,-)；Ⅵ:(-,+,-)；Ⅶ:(-,-,-)；Ⅷ:(+,-,-).坐标面和坐标轴上的点有下列特点：空间两点间的距离公式可以看作平面内两点间距离公式的推广,如图2-4-(1,2)-2.M1(x1,y1,z1),P(x2,y1,z1),M2(x2,y2,z2),N(x2,y2,z1),|M1P|=|x2-x1|,|PN|=|y2-y1|,|M 2N|=|z 2-z 1|,|M 1N|2=|M 1P|2+|PN|2=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2,|M 1M 2|2=|M 1N|2+|NM 2|2=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2+(z 2-z 1)2.图2-4-(1,2)-2∴点M 1与M 2间的距离为 d=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.应用两点间的距离公式时，注意是三组对应坐标之差的平方和开方.知识导学画好空间直角坐标系也要强调“三要素”——原点、坐标轴方向和单位长度.也就是说，z 轴、x 轴和y 轴的原点相同、单位长度相同(特殊情况除外)，坐标轴方向满足右手系——有两种解释：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向，则称这样建立的直角坐标系为右手直角坐标系；还可以解释成，先把大拇指指向z 轴的正方向，把其余的4指指向x 轴正方向，然后握成拳头，这时4指扫过原平面直角坐标系的第一象限从x 轴正方向到y 轴正方向.这和物理中的右手定则相同.在平面上画空间直角坐标系O —xyz 时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°，即用斜二测方法画立体图.这里显然要注意在y 轴、z 轴上的长度都取原来的单位长度，而在x 轴上的长度取原来单位长度的一半.不要把x 轴上的长度取成实际的长度，因为不符合斜二测方法作图的约定，直观性差.在给出点写出坐标、给出坐标找点的过程中，我们可以感受到如下规律：xOy 平面上的点的竖坐标都是零，yOz 平面上的点的横坐标都是零，xOz 平面上的点的纵坐标都是零. 把平面直角坐标系中两点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)之间的距离公式|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-推广到空间直角坐标系中两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 1,y 2,z 2)之间的距离公式|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-,形式上相同，其不同点是仅仅多了一项，即与竖坐标有关的一项.疑难突破1.如何求空间一点A(x, y, z)关于坐标轴、坐标原点、坐标平面的对称点的坐标?你能总结出规律来吗?剖析:数学中的对称问题,把握两点:中点和垂直.对称点坐标问题,无非就是中点与垂直问题;空间点关于已知点的对称点,与平面内点关于点的对称点定义一样,已知点与其对称点,连线段的中点即为对称中心.根据这个理论我们可以得到：A(x, y, z)关于坐标平面xOy 对称A 1(x,y,-z);A(x, y, z)关于坐标平面yOz 对称A 2(-x,y,z);A(x, y, z)关于坐标平面xOz 对称A 3(x,-y,z);A(x, y, z)关于x轴对称A4(x,-y,-z);A(x, y, z)关于y轴对称A5(-x,y,-z);A(x, y, z)关于z轴对称A6(-x,-y,z);A(x, y, z)关于原点对称A7(-x,-y,-z).通过解答我们可以总结出如下规律：某面对称某不变，如A(x, y, z)关于坐标平面xOy对称A1(x,y,-z);这里x、y的符号不变；某轴对称某不变，如A(x, y, z)关于y轴对称A5(-x,y,-z);这里y的符号不变；原点对称起造“反”，如A(x, y, z)关于原点对称A7(-x,-y,-z).这里x、y、z的符号都变为其相反数.2.建立空间直角坐标系时，如何选择原点和坐标轴？剖析：选择怎样的坐标原点和坐标轴，不会影响结论的正确性，但是却会影响解决问题的复杂性.因此，在建立坐标系时，要充分利用已知条件中的有关对称性、垂直、平行等性质，使得已知条件处在特殊的坐标系位置上，这样再写点的坐标、直线方程等时会方便很多.在建立空间直角坐标系时，如何选择原点和坐标轴的问题，可以通过总结在建立平面直角坐标系时，如何选择原点和坐标轴的规律进行迁移，如果题目中有共点且互相垂直的三条直线，那么建立空间直角坐标系时，一定首先考虑以这个公共点为坐标原点，分别以这三条互相垂直的直线为坐标轴建立空间直角坐标系.。
空间中两点间的距离公式
O
P1 N y
思考:
x
M
点M、N之间的距离如何？
| MN |=
(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 )
2
2
思考:若直线P1P2垂直于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z O x P2 P1 y
|P1P2|=|z1-z2|
思考:若直线P1P2平行于xOy平面，
则点P1、P2之间的距离如何？
z
•
1
P3
• P
1
x• 1 x P1
• o
y •P 2
y
3、空间中点的坐标
P 点 在坐标系 xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、 0 P1 纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 在z轴上的坐 标z就是P点的竖坐标。 z
z P1 P
方法二：过P点作xOy面的垂线，垂足为 P0点。
1
•
y
1
P点坐标为 (x,y,z)
z
M（x，y，z）
O x
y
y
x
3、空间中点的坐标
对于空间任意一点P，要求它的坐标
方法一：过P点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其 相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值 z 叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。
M’
Q
y
x
当建立空间直角坐标系后，
空间中的点M，可以用有序实 数（x，y，z）表示．
z z
M（x，y，z）
O x x
M′
y
y
(2) 空间直角坐标系上点M的坐标？
两点坐标距离公式
两点坐标距离公式两点坐标距离公式是指用来计算两点之间距离的公式。
在二维平面中，两点坐标距离公式为勾股定理:距离= √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)其中(x1, y1) 和(x2, y2) 是两点的坐标。
在三维空间中，两点坐标距离公式为：距离= √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)其中(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2) 是两点的坐标。
需要注意的是，这个公式适用于欧几里得空间或欧几里得平面，在其他空间中可能不适用。
这个公式又叫欧几里得距离公式，这个距离公式是来自欧几里得空间的距离公式，是最常见的距离公式之一。
它的优点是简单易用，适用范围广，可以在二维平面和三维空间中使用，在很多场景下能得到满足要求的结果。
然而，在一些场景下，这个公式可能不能得到满足要求的结果，比如在空间中较大的距离可能被忽略，在地理空间数据中，通常使用曼哈顿距离或海星距离来更准确地计算在守恒律弱解中，还有另外一种常用的定义是欧拉第二定律，即∫Fdx = ∫d(E)，它表示物体运动时动能E发生变化，其变化等于受力F积分。
这个公式可以用牛顿第二定律F = ma 和能量守恒定律E = K+U 来证明，欧拉第二定律和牛顿第二定律等价。
例如, 可以将F = ma 积分得到∫Fdx = ∫madx = m ∫adx = m(v^2-u^2)/2 = K, 其中K为动能，U为势能。
由能量守恒公式E = K+U 可知，∫Fdx = ∫dE.续，这两种距离公式在地理空间数据中使用较广泛，因为它们能更准确地反映地理空间中两点之间的相对距离。
比如，城市间的道路交通距离往往更接近曼哈顿距离，而在棋盘游戏中，棋子之间的距离更接近海星距离。
同时，还有其他类型的距离公式，如马氏距离、夹角余弦距离等，它们在不同的场景下有着不同的应用。
需要根据具体场景和需求来选择合适的距离公式。
总的来说，欧几里得距离是一种常用的距离公式，其简单易用，适用范围广。
空间两点的距离公式
张喜林制 2.4.2 空间两点的距离公式教材知识检索考点知识清单空间两点的距离公式空间两点),,(),,(222111z y x B z y x A h 的距离公式=||AB ；特别地，点A （x ，y ，z ）到原点的距离公式为要点核心解读(1)设空间两点),,,(),,(222111z y x B z y x A 、则空间两点间的距离公式为221221221)()()(||z z y y x x AB -+-+-⋅=推导空间两点距离公式的思路是过两点分别作三个坐标平面的平行平面(如图2 -4 -2 -1)，则这六个平面围成一个长方体．我们知道，长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．于是，只要写出交于一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点的距离公式．(2)学习求空间两点间的距离要注意的方法：①求空间两点间的距离，要学会利用长方体模型，构造三角形，运用勾股定理，比较平面与空间的两点间距离公式的异同．②不仅要学会运用空间两点的距离公式求给出的点的距离，更要学会在简单的几何体中求两点间的距离，也要学会求解实际问题中的空间两点间的距离，③在解题中，注意灵活运用空间两点的距离公式，敏感图形的特殊性，点的位置的特殊性，典例分类剖析考点1 求空间两点间的距离命题规律给定几何体，求空间两点间的距离．[例1] 如图2-4-2-2所示，在长方体-OABC 1111C B A O 中，E AA AB OA ,2||,3||,2||1===是BC 的中点，作OD ⊥AC 于D ，求点1O 到点D 的距离．[答案] 由题意得点⋅)0,3,0()2,0,0()0,0,2(1C O A 、、设点D （x ，y ，O ），在Rt △AOC 中，,3||,2||==OC OA ⋅==∴=13136136||,13||OD AC 在Rt△ODA 中，⋅=⋅⋅==∴⋅=131821336|||,|||||2x x OA x OD 在Rt△ODC 中，|,|.|2C O y OD ⋅=∴===∴131231336||y y 点⋅)0,1312,1318(D ⋅==++=∴1328621311444)1312()1318(||2221D O [点拨] 此题也可以在D O Rt 01∆中求解，即=21||D O ,138841336||||212=+=+OO OD ⋅==∴1328621388||1D O 母题迁移 1．如图2 -4 -2 -3所示，建立空间直角坐标系Dxyz.已知正方体l D C B A ABCD 111-的棱长为1，点P 是正方体体对角线B D 1的中点，点Q 在棱1CC 上．(1)当||||21QC Q C =时，求∣PQ ∣；(2)当点Q 在棱1CC 上移动时，求∣PQ ∣的最小值．考点2 两点问距离公式的应用命题规律利用两点间距离公式求点的坐标或动点的轨迹．[例2] 正方形ABCD 、ABEF 的边长都是l ，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若⋅<<==)20(a a BN CM(1)求MN 的长；(2)求a 为何值时，MN 的长最小．[答案] ,ABEF ABCD 面面⊥ ,AB ABEF ABCD =与平面面⊥⊥AB BE AB ,,CBBE BC AB ABC BE 、、面,⊥∴两两互相垂直.∴ 以B 为原点，以B 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和x 轴，建立如图2 -4-2-4所示的空间直角坐标系.则点),221,0,22(a a M -点⋅)0,22,22(a a N 222)0221()220()2222(||--+-+-=∴a a a a MN ⋅+-=+-=21)22(1222a a a ∴ 当22=a 时，∣MN ∣最短为,22此时，M 、N 恰为 AC 、BF 的中点． [点拨] 该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解应该说是最简捷的方法．方法的对照比较，体现出了坐标法解题的优越性．母题迁移 2．在三棱柱///O B A ABO -中，,90 =∠AOB 侧棱⊥/OO 面.2OA ,/===OO OB OAB (1)若C 为线段A O /的中点，在线段/BB 上求一点E ，使∣EC ∣最小；(2)若E 为线段/BB 的中点，在A O /上找一点C ，使|EC|最小，优化分层测讯学业水平测试1．在长方体1111D C B A ABCD -中，若已知点,0,4()0,0,0(A D 、),3,0,4()0,2,4()01A B 、、则对角线1AC 的长为( )．9.A 29.B 5.C 62.D2．已知两点),1,3,1()2,0,1(-B A 、点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点的坐标为( )．)0,0,3.(-A )0,3,0.(-B )3,0,0.(-C )3,0,0.(D3．在空间直角坐标系中，已知正方体1111D C B A ABCD -的顶点A （3，-1，2），其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长等于4．写出与原点距离等于2的点的坐标所满足的条件5．设点.11||),,2,6()1,7,4(=-AB z B A 、求z ．6．在x 轴上求与点A （4，-1，7）和点B （-3，5，-2）等距离的点，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．点M(2，-3，5)到x 轴的距离(....).=d2225)3(2.+-+A 25)3(.+-B 22)3(2.-+C 2252.+D2．已知点),1,0,2()2,1,1()1,1,2(C B A 、、则下列说法正确的是( )．A.A 、B 、C 三点可以构成直角三角形B.A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形C.A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D.A 、B 、C 三点不能构成任何三角形3．若点P(x ，y ， z)满足,2)1()1()1(222=++-+-z y x 则点P 在( )．A ．以点（1，1，-1）为球心，半径为2的球上B ．以点（1，1，-1）为中心，棱长为2的正方体上C ．以点（1，1，-1）为球心，半径为2的球上D ．无法确定4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A （-6，-6，-6）B(8，8，8)，且两点不在正方体的同一个面上，则正方体的对角线长为( )． 314.A 143.B 425.C 542.D5．若空间一点P 到xOy 平面、yoz 平面、xoz 平面的距离之比是3：4：5，则满足条件的点P 的个数为( )．A.l 个B.2个C.4个D.8个6．已知点),2,2,1().12,5,(x x B x x x A -+--当∣AB ∣取最小值时，x 的值为( )．19.A 78.-B 78.C 1419.D 7．已知点)1,2,(x P 到点)1,1,2()2,1,1(R Q 、的距离相等，则x 的值为( )．21.A 1.B 23.C 2.D 8．到点A （-1，-1，-1）、B(l ，1，1)的距离相等的点C （x ，y ，z ）的坐标满足( )． 1.-=++z y x A 0.=++z y x B 1.=++z y x C 4.=++z y x D二、填空题（5分x4 =20分）9．在三角形ABC 中，若三个顶点坐标分别为,2()3,2,1(B A 、-),3,25,21()3,2C 、-则AB 边上的中线CD 的长是10.已知空间两点),3,2,2()1,1,3(---B A 、在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 的距离相等，则C 点的坐标是11．已知□ABCD 的两个顶点)2,3,1()5,3,2(---B A 、及它的对角线的交点E(4，-1，7)，则顶点C 的坐标为 ，D 的坐标为 。
空间直角坐标系点到线的距离公式
空间直角坐标系点到线的距离公式
空间直角坐标系点到线的距离公式，是指根据空间直角坐标系中两点确定直线公式，可以求出一点到某条直线的距离。
先来看一下空间直角坐标系中两点确定直线的公式，两点确定直线的斜率，即斜率公式。
将直线改写为Ax+By+C=0的标准格式形式，其中A=y2-y1, B=x1-x2, C=x2y1-x1y2。
再来看空间直角坐标系点到线的距离公式：
空间直角坐标系点(x0,y0)到 Ax+By+C=0的直线的距离d=
|A*x0+B*y0+C|/sqrt(A*A+B*B)。
其中sqrt(A*A+B*B)为该直线的斜率的平方根。
即空间直角坐标系点到线的距离就是该点坐标替换入点到直线的距离的公式的值。
空间直角坐标系点到线的距离公式，可用于在计算机视觉、机器人导航等非常重要的领域。
在机器人导航中，可通过该公式来判断机器人与障碍物之间的距离，从而实现为机器人自动避障。
计算机视觉技术中，可通过该公式进行物体的跟踪，为自动场景拍摄、停车辅助等应用提供技术支撑。
从上面可以看出，空间直角坐标系点到线的距离，在计算机视觉和机器人导航等领域，有着重要的应用价值，而了解并能够使用这个公式，也有助于提高我们的知识水平，提高我们的工程能力。
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2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式课程学习目标［课程目标］目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式.目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导.［学法关键］1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标.2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式研习点1．空间直角坐标系为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点.如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合；3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系；4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°.研习点2．空间点的坐标1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标；这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.已知数组(x，y，z)，如何作出该点？对于任意三个实数的有序数组(x，y，z)：（1）在坐标轴上分别作出点P x，P y，P z，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z；（2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy，这三个平面的交点就是所求的点.研习点3．空间点的坐标1．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面；2．坐标平面上点的坐标的特征：xOy平面（通过x轴和y轴的平面）是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数；xOz平面（通过x轴和z轴的平面）是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；3．坐标轴上点的特征：x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。
研习点4．卦限在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限；在坐标平面xOy上方的四个象限对应的卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限；在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、第VIII卦限；在每个卦限内，点的坐标的各分量的符号是不变的，例如在第I卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z均为正数；八个卦限中点的坐标符号分别为：I：（ + ，+ ，+ ）；II：（－，+ ，+ ）；III：（－，－，+ ）；IV：（ + ，－，+ ）；V：（ + ，+ ，－）；VI：（－，+ ，－）；VII：（－，－，－）；VIII：（ + ，－，－）；研习点5．空间两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) 的距离公式是d A B=，(,)特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为(,)d O A=题型1．确定空间任一点的坐标例1．正方体的棱长为2，求各顶点的坐标.解：由图可知，正方体的各个顶点的坐标如下A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(2，0，2)，C 1(2，2，2)，D 1(0，2，2)，题型2．空间中点的对称问题例2．在空间直角坐标系中，写出点P (x ，y ，z )的对称点的坐标%（1）关于x 轴的对称点是P 1 ； （2）关于y 轴的对称点是P 2 ； （3）关于z 轴的对称点是P 3 ； （4）关于原点的对称点是P 4 ；（5）关于xOy 坐标平面的对称点是P 5 ；； （6）关于yOz 坐标平面的对称点是P 6 ； （7）关于xOz 坐标平面的对称点是P 7 .解：（1）P 1(x ，－y ，－z )；（2）P 2(－x ，y ，－z )；（3）P 3(－x ，－y ，z )； （4）P 4(－x ，－y ，－z )；（5）P 5(x ，y ，－z )；（6）P 6(－x ，y ，z )； （7）P 7(x ，－y ，z )；此题要类比平面直角坐标系弄清楚对称关系，而不是死记硬背，要掌握对称点的坐标的变化规律，来帮助记忆题型3．求两点间的距离例3．（1）点P 236到原点的距离是（A ）6 （B ）1 （C ）6 （D ）6（2） 134123(,,),(,,)3456310A B -两点间的距离是 .【研析】（1）点P 到原点的距离是||1OP ==，选B .（2）由两点间的距离公式得||12AB ==.【教考动向·演练】1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是（0，b，0）；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可以写成（0，b，c）；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记为（0，0，c）；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标可写为（a，0，c）.其中正确的叙述的个数是（C）（A）1 （B）2 （C）3 （D）42．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)的中点坐标是（B）（A）7(,1,2)2（B）1(,2,3)2（C）(－12，3，5) （D）14(,,2)333．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于（B）（A（B（C）（D4．到定点(1，0，0)的距离小于或等于1的点的集合是（A）（A）{(x，y，z)| (x－1)2+y2+z2≤1} （B）{(x，y，z)| (x－1)2+y2+z2=1} （C）{(x，y，z)| x2+y2+z2≤2}（D）{(x，y，z)| x2+y2+z2≤1}5．Rt△ABC中，∠BAC=90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x= 2 . 6．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离相等，则x、y、z满足的关系式是 . (2x+2y－2z－3=0)7．证明：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)为顶点的△ABC是等腰三角形例4．已知长方体ABCD－A1B1C1D2的边长为AB=14，AD=6，AA1=10，（1）以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标；（2）以C点为原点，以射线BC、CD、CC1的方向分别为Ox、Oy、Oz轴的正方向，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标；【探究】根据题目要求画出图形，建立空间直角坐标系后写出各顶点的坐标。
解：（1）如图1，A(0，0，0)，B(14，0，0)，C(14，6，0)，D(0，6，0)，A1(0，0，10)，B1(14，0，10)，C1(14，6，10)，D1(0，6，10)，（2）如图2，A(－6，14，0)，B(－6，0，0)，C(0，0，0)，D(0，14，0)，A1(－6，14，10)，B1(－6，0，10)，C1(0，0，10)，D1(0，14，10)，例5．在坐标平面xOy 上求一点P ，使点P 到A (3，1，5)与B (3，5，2)的距离相等’ 解：设P (x ，y ，0)，∵ |PA |=|PB |，∴ (x －3)2+(y －1)2+25=(x －3)2+(y －5)2+4 ，整理得，－2y +26=－10y +29，∴ 8y =3，即y =83, ∴点P 的坐标为(x ，83，0).例6．如图，在空间直角坐标系中，BC =4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是(23，21，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求AD 的长度；（2）求∠DAC 的余弦值的大小’解：（1）由题意得B (0，－2，0)，C (0，2，0)，设D (0，y ，z )，∵ 在Rt△BDC 中，∠DCB =30°，∴ BD =2，CD =23， ∴ (y +2)2+z 2=4，(y －2)2+z 2=12，∴ y =－1，z =3，∴ D (0，－1，3)，|AD =（2） 在△ACD 中，由（1）知AD =6，又AC =CD =23，∴ cos ∠DAC4=-，即∠DAC 的余弦值等于4-。
【教考动向·演练】9．点P (x ，y ，z )2=，则点P 在（ C ）（A ）以点(1，1，－1)为球心以2为半径的球面上 （B ）以点(1，1，－1)为中心以2为棱长的正方体内 （C ）以点(1，1，－1)为球心以2为半径的球面上 （D ）无法确定10．空间内三点满足d (A ，B )=d (A ，C )=d (B ，C )，则（ A ）（A ）三点A 、B 、C 构成等边三角形（B ）三点A 、B 、C 不能是正方体的三个顶点 （C ）三点A 、B 、C 在空间内构不成任何平面图形 （D ）以上结论都不对11．已知点P 在z 轴上满足d (P ，O )=1（O 是坐标原点），则点P 到点A (1，1，1)的距离是 。
2或612．正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A (－1，2，－1)，B (3，－2，3)，则正方体的棱长为。
4（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。