高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理(2)课件 新人教A版必修5.ppt
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高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
新版高中数学人教A版必修5课件：第一章解三角形 1.2.1
Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
题型一 题型二
测量两个不可到达的点之间的距离问题 【例 2】 如图,隔河看到两个目标 A,B,但均不能到达,在岸边选取 相距 3 km 的������, ������两点, 并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC= 30°,∠ADB=45°(A,B,C,D 在同一平面内),求两个目标 A,B 之间的距 离.
反思如图,不可到达的A,B是地面上两点,要测量A,B两点之间的距 离,步骤是:
(1)取基线CD; (2)测量CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠BDA; (3)在△ACD中,解三角形得AC;在△BCD中,解三角形得BC; (4)在△ABC中,利用余弦定理得 AB= ������������2 + ������������2-2������������·������������·cos∠������������������ .
且∠
ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这
两支精锐部队之间的距离.
解法一∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,
又∠ACD=60°,∴∠DAC=60°.
∴AD=CD=AC=
3 2
������.
在△BCD 中,∠DBC=180°-30°-105°=45°.
题型一 题型二
目标导航
Z 知识梳理 HISHISHULI
Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
反思如图,设A(可到达),B(不可到达)是地面上两点,要测量A,B两 点之间的距离,步骤是:
(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
人教版高中数学必修5(A版) 1.1.2《余弦定理》 PPT课件
A
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o o
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
人教版高中数学课件-高中数学必修五课件：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)
[分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对 大角等平面几何性质，要求出最大内角的 正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出 边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求 出余弦值，再求正弦值．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角 形的问题： 各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求 ．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8， 则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形 形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解 析 ： 因 为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应 由余弦定理来求c的值．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角 形的问题： 各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求 ．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8， 则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形 形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解 析 ： 因 为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应 由余弦定理来求c的值．
(人教版)高中数学必修5课件：第1章 解三角形1.1.2
高效测评 知能提升
[问题3] 你会利用向量求边AC吗？ [提示] 会．|B→A|＝3，|B→C|＝2，〈B→A，B→C〉＝60°. A→C2＝(B→C－B→A)2 ＝B→C2－2B→C·B→A＋B→A2 ＝22－2×2×3×cos 60°＋32 ＝7. ∴|A→C|＝ 7，即边AC为 7.
数学 必修5
1．利用余弦定理解三角形的步骤： (1) 两边和它们的夹角 余―弦――定→理 另一边 余―正 弦―弦 定――定 理―理 推→论 另两角
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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2．利用余弦定理解三角形的注意事项： (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是 三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”． (2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也 可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂， 但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围， 这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判 断，尽可能减少出错的机会．
6－ 2
2，
故A＝60°时，C＝75°，c＝
6＋ 2
2或A＝120°时，
C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
数学 必修5
第一章 解三角形
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已知两边及一边对角解三角形的方法及注意 事项
(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要 根据题目条件优先选择使用哪个定理．
第一章 解三角形
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余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
高中数学人教A版必修五教学课件：第一章 《解三角形》 1.1.2 余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和 减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的 二 倍 在△ABC 中，
符号 语言
a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2accos B，
2 2 c2＝ a ＋b －2abcos C ．
在△ABC 中， 推论 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 cos A＝ ，cos B＝ ， 2bc 2ac
)
a2＋c2－b2 1 解析：由题意知，cos B＝ ＝cos 120° ＝－ ，∴a2＋c2－b2 2ac 2 ＝－ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝－ac＋ac＝0.
答案：C
1 3．在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A＝ . 4 若 a＝4，b＋c＝6，且 b<c，求 b，c 的值．
[解]
设 BD＝x.在△ABD 中， 根据余弦定理， AB2＝AD2＋BD2－2AD· BDcos
∠BDA， ∴142＝102＋x2－2×10×xcos 60° ，………………………………3 分 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ………………………6 分 ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ，∴∠CDB＝30° . ……………………9 分 在△BCD 中，由正弦定理， BC BD ＝ ， sin∠CDB sin ∠BCD
答案：120°
探究三
利用正余弦定理判断三角形的形状
[典例 3] 在△ABC 中，若 B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状．
[解析] ∵B＝60° ， ∴b2＝a2＋c2－2accos 60° ， 1 ∴ (a＋c)2＝a2＋c2－ac， 4 ∴(a－c)2＝0， ∴a＝c， ∴a＝b＝c. 故△ABC 为等边三角形．
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt
问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法： 数形结合的思想，化归与转化的思想， 分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？ 问7：可将公式如何变形？ 问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示 某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
2018_2019学年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5
探究一
探究二
探究三
探究四
探究四 易错辨析
易错点 忽略三角形的条件致错
【典型例题 4】 在钝角△ABC 中,a=1,b=2,c=t,且 C 是最大角,求 t 的
取值范围. 错解:∵△ABC 是钝角三角形,且 C 是最大角,∴C>90°,
∴cos C<0.∴cos C=������2+2���������������2���-������2<0,∴a2+b2-c2<0,即 1+4-t2<0.
方法总结余弦定理和正弦定理一样,都是围绕着三角形进
行边角互换的,所以在有关三角形的题目中,要有意识地考虑用哪个定理更 合适,或是两个定理都要用,要抓住能利用两个定理的信息.一般地,如果遇 到的式子含角的余弦或是边的二次式,要考虑用余弦定理;反之,若遇到的式 子含角的正弦或是边的一次式,则大多用正弦定理;若是以上特征不明显,则 要考虑两个定理都有可能用.
cos
A=������2+2������������2������-������2
=
2+ 2×
6+ 2
2×
2
2
-3
6+ 2
=
12.
2
∵0°<A<180°,∴A=60°.∴C=75°.
当 c=
62
2时,由余弦定理得
cos
A=������2+2������������2������-������2
=
2+ 2×
2 6-
2×
64
2
=
12.
∴A=30°.∴B=180°-A-C=180°-30°-15°=135°.
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5
第七页，共38页。
1．在△ABC 中，若 a2＝b2＋bc＋c2，则 A＝________. 【解析】 ∵a2＝b2＋bc＋c2， ∴b2＋c2－a2＝－bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－2bbcc＝－12， 又∵A 为△ABC 的内角， ∴A＝120°. 【答案】 120°
第八页，共38页。
2．以下说法正确的是________(填序号)． ①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用 余弦定理去解； ②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形； ③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题； ④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．
第九页，共38页。
第十九页，共38页。
[再练一题] 2．在△ABC 中，a2－c2＋b2＝ab，求角 C. 【解】 ∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2－c2＋b2＝2abcos C. ∴ab＝2abcos C. ∴cos C＝12. ∴C＝60°.
第二十页，共38页。
[探究共研型]
正、余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)的综合应用
第二十五页，共38页。
1．判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定 理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系， 从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的 关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．
第二十四页，共38页。
法二：根据正弦定理，原等式可化为： (sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A， 即 sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A. ∵sin C≠0， ∴sin Bcos B＝sin Acos A. ∴sin 2B＝sin 2A. ∴2B＝2A 或 2B＋2A＝π， 即 A＝B 或 A＋B＝π2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
1．在△ABC 中，若 a2＝b2＋bc＋c2，则 A＝________. 【解析】 ∵a2＝b2＋bc＋c2， ∴b2＋c2－a2＝－bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－2bbcc＝－12， 又∵A 为△ABC 的内角， ∴A＝120°. 【答案】 120°
第八页，共38页。
2．以下说法正确的是________(填序号)． ①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用 余弦定理去解； ②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形； ③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题； ④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．
第九页，共38页。
第十九页，共38页。
[再练一题] 2．在△ABC 中，a2－c2＋b2＝ab，求角 C. 【解】 ∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2－c2＋b2＝2abcos C. ∴ab＝2abcos C. ∴cos C＝12. ∴C＝60°.
第二十页，共38页。
[探究共研型]
正、余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)的综合应用
第二十五页，共38页。
1．判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定 理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系， 从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的 关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．
第二十四页，共38页。
法二：根据正弦定理，原等式可化为： (sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A， 即 sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A. ∵sin C≠0， ∴sin Bcos B＝sin Acos A. ∴sin 2B＝sin 2A. ∴2B＝2A 或 2B＋2A＝π， 即 A＝B 或 A＋B＝π2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理一课件新人教A版必修5
探究点2 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题
问题1
观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个 量？你认为可用来解哪类三角形？ 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三 角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.
问题2
观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个 量？你认为可用来解哪类三角形？
2k2＋4k2－5k2 c 最大，cos C＝ 2×2k×4k <0， 所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形.
当堂训练
1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形 的另一边长为
A.52
√B. 2 13 C.16 D.4
设另一边长为 x， 则 x2＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52， ∴x＝2 13.
123
2.在△ABC 中，a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则△ABC 的最小角为
π
π
π
A.3
√B.6
C.4
∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角， a2＋b2－c2
由余弦定理，得 cos C＝ 2ab
72＋4 32－锐角，∴C＝6π.
π D.12
123
所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地 形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知 识，看有没有相似的地方.
跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式 来研究这个问题？
如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系， 则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)， ∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A， 即a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.
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15
解析：在△ABC中，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝ 32＋52－2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7， 设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线 定理：
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理： BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
余弦定理（二）
1
一、余弦定理 1．三角形任何一边的平方等于① ________，即a2＝②________，b2＝③ ________，c2＝④________. 2．余弦定理的推论： cosA＝⑤________，cosB＝⑥________， cosC＝⑦________.
2
3．余弦定理与勾股定理 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在 余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2； 令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则 c2＝a2＋b2. (2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则A为⑧ ________角，反之亦成立；若a2＝b2＋c2， 则A为⑨________角，反之亦成立；若a2>b2 ＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．
19
当a＝b时，△ABC为等腰三角形；
当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定 理得 2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A ＝sin2B. 又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)， 故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A ＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 20
2 ＝12，
∵b>a，sinA＝12，∴A＝30°.
∴B＝180°－A－C＝135°.
14
[变式训练2] 如图，已知 AD为△ABC的内角∠BAC的平 分线，AB＝3，AC＝5， ∠BAC＝120°，求AD的长．
分析：由余弦定理可解三 角形ABC，求出BC长度；由三 角形内角平分线定理可求出 BD长，再解△ABD即可求出 AD长．
值．
12
解析：cos15°＝cos(45°－30°)＝
6＋ 4
2 .
由余弦定理知
c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)＝
8－4 3，
∴c＝ 8－4 3＝ 6－ 22＝ 6－ 2.
由正弦定理得sianA＝sincC，
13
sinA＝asicnC＝asinc15°＝2×6－6－4 2
(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量， 利用方程的观点，可以⑯________；
(4)运用余弦定理时，因为已知三边求⑰ ________，或已知两边及夹角求⑱________，由 三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所 以解也是唯一的．
5
答案： ①其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍 ②b2＋c2－2bccosA ③c2＋a2－2cacosB ④a2＋b2－2abcosC ⑤b2＋2cb2c－a2 ⑥c2＋2ac2a－b2 ⑦a2＋2ba2b－c2 ⑧锐 ⑨直 ⑩钝 ⑪各角 ⑫第三边 ⑬其他两角 ⑭勾股定理 ⑮余弦定理 ⑯知三求一 ⑰角 ⑱另一边
6
在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理 的标准是什么？
在没有学习余弦定理之前，还会解三角形， 但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了， 不知是用正弦定理还是用余弦定理．这时要依 据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择，还 要依靠经验的积累．根据解题经验，已知两边 和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择 正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知 三边时，通常选择余弦定理来解三角形．
3
二、余弦定理的应用 利用余弦定理可以解决两类斜三角形问 题： 1．已知三边，求⑪________. 2．已知两边和它们的夹角，求⑫ ________和⑬________.
4
友情提示：理解应用余弦定理应注意以下四 点：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客 观规律，是解三角形的重要工具；
(2)余弦定理是⑭________的推广，勾股定理 是⑮________的特例；
8
[例 1] 在△ABC 中，如果 a ︰b ︰c＝ ︰ 6 ︰ ( 3＋1)，求这个三角形的最小角．
9
解析：在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据 已知条件判断最小边应为 a.
∵a ︰b ︰c＝ ︰ 6 ︰( 3＋1)， 可设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)， 最小角为角 A，由余弦定理得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝62＋ 3＋3＋11×2－64＝ 22， 故 A＝45°.
7
特别是求角时，尽量用余弦定理来求， 其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此 范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个 锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦 值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足 题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一 个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可 以避免分类讨论.
10
Hale Waihona Puke [变式训练 1] △ABC 中，已知 a＝2，b＝ 3，c＝ 2
＋1，求 A.
解析：cosA＝b2＋2cb2c－a2
＝
23×2＋3×2＋21＋2－122＝
3 3.
∴A＝arccos
3 3.
11
先用余弦定理求出第三边长，进而用余 弦定理或正弦定理求出其他两个角．
[例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求角A、B和边c的
16
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
17
[例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB， 试确定此三角形的形状．
18
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
解析：在△ABC中，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝ 32＋52－2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7， 设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线 定理：
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理： BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
余弦定理（二）
1
一、余弦定理 1．三角形任何一边的平方等于① ________，即a2＝②________，b2＝③ ________，c2＝④________. 2．余弦定理的推论： cosA＝⑤________，cosB＝⑥________， cosC＝⑦________.
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3．余弦定理与勾股定理 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在 余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2； 令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则 c2＝a2＋b2. (2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则A为⑧ ________角，反之亦成立；若a2＝b2＋c2， 则A为⑨________角，反之亦成立；若a2>b2 ＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．
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当a＝b时，△ABC为等腰三角形；
当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定 理得 2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A ＝sin2B. 又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)， 故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A ＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 20
2 ＝12，
∵b>a，sinA＝12，∴A＝30°.
∴B＝180°－A－C＝135°.
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[变式训练2] 如图，已知 AD为△ABC的内角∠BAC的平 分线，AB＝3，AC＝5， ∠BAC＝120°，求AD的长．
分析：由余弦定理可解三 角形ABC，求出BC长度；由三 角形内角平分线定理可求出 BD长，再解△ABD即可求出 AD长．
值．
12
解析：cos15°＝cos(45°－30°)＝
6＋ 4
2 .
由余弦定理知
c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)＝
8－4 3，
∴c＝ 8－4 3＝ 6－ 22＝ 6－ 2.
由正弦定理得sianA＝sincC，
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sinA＝asicnC＝asinc15°＝2×6－6－4 2
(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量， 利用方程的观点，可以⑯________；
(4)运用余弦定理时，因为已知三边求⑰ ________，或已知两边及夹角求⑱________，由 三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所 以解也是唯一的．
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答案： ①其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍 ②b2＋c2－2bccosA ③c2＋a2－2cacosB ④a2＋b2－2abcosC ⑤b2＋2cb2c－a2 ⑥c2＋2ac2a－b2 ⑦a2＋2ba2b－c2 ⑧锐 ⑨直 ⑩钝 ⑪各角 ⑫第三边 ⑬其他两角 ⑭勾股定理 ⑮余弦定理 ⑯知三求一 ⑰角 ⑱另一边
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在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理 的标准是什么？
在没有学习余弦定理之前，还会解三角形， 但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了， 不知是用正弦定理还是用余弦定理．这时要依 据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择，还 要依靠经验的积累．根据解题经验，已知两边 和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择 正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知 三边时，通常选择余弦定理来解三角形．
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二、余弦定理的应用 利用余弦定理可以解决两类斜三角形问 题： 1．已知三边，求⑪________. 2．已知两边和它们的夹角，求⑫ ________和⑬________.
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友情提示：理解应用余弦定理应注意以下四 点：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客 观规律，是解三角形的重要工具；
(2)余弦定理是⑭________的推广，勾股定理 是⑮________的特例；
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[例 1] 在△ABC 中，如果 a ︰b ︰c＝ ︰ 6 ︰ ( 3＋1)，求这个三角形的最小角．
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解析：在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据 已知条件判断最小边应为 a.
∵a ︰b ︰c＝ ︰ 6 ︰( 3＋1)， 可设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)， 最小角为角 A，由余弦定理得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝62＋ 3＋3＋11×2－64＝ 22， 故 A＝45°.
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特别是求角时，尽量用余弦定理来求， 其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此 范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个 锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦 值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足 题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一 个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可 以避免分类讨论.
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Hale Waihona Puke [变式训练 1] △ABC 中，已知 a＝2，b＝ 3，c＝ 2
＋1，求 A.
解析：cosA＝b2＋2cb2c－a2
＝
23×2＋3×2＋21＋2－122＝
3 3.
∴A＝arccos
3 3.
11
先用余弦定理求出第三边长，进而用余 弦定理或正弦定理求出其他两个角．
[例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求角A、B和边c的
16
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
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[例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB， 试确定此三角形的形状．
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解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.