数学实验二_极限与连续
《高等数学B1》课程教学大纲
《高等数学B1》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标《高等数学B1》（微积分）国家教委在高校财经类专业中设置的核心课程之一。
通过本课程的学习，可使学生比较系统地获得函数、微积分等方面的概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程奠定必要的数学基础；使学生获得从事经济管理技术教育或研究所必需的微积分知识；学会运用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系；逐步培养学生抽象思维和逻辑推理的能力、空间想象能力和运算能力；树立辩证唯物主义观点和创新意识。
1．学好基础知识。
理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。
2．掌握基本技能。
能够根据法则、公式正确地进行运算。
能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。
3．培养思维能力与想象能力。
能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。
能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。
能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。
4．提高解决实际问题的能力。
对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。
能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。
三、教学学时分配《高等数学B1》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求第一章函数（8学时）（一）教学要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法。
了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
会建立简单应用问题中的函数关系。
2．了解反函数及隐函数的概念，理解复合函数和分段函数的概念。
掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
3．掌握常用的经济函数关系式。
（二）教学重点与难点教学重点：函数、复合函数和初等函数的概念教学难点：复合函数的概念（三）教学内容第一节函数概念1．常量与变量2．函数的概念3. 函数的表示方法第二节函数的简单性质1．单调性2．奇偶性3. 有界性4. 周期性第三节反函数1. 反函数的概念2. 反三角函数第四节初等函数1. 基本初等函数2. 复合函数3. 初等函数第五节经济学中常用的函数1. 需求函数与供给函数2. 成本函数、收益函数与利润函数本章习题要点：复合函数的分解与复合，经济函数第二章极限与连续（12学时）（一）教学要求1．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
极限理论在数学和物理中的应用
极限理论在数学和物理中的应用引言：极限理论是数学和物理学中一项重要的基础理论，它在这两个学科中具有广泛的应用。
本文将探讨极限理论在数学和物理学中的应用，并通过具体的例子来解释其重要性和实际意义。
一、数学中的极限理论应用1. 极限与函数的连续性在微积分中，极限理论被广泛应用于研究函数的连续性。
通过计算函数在某一点的极限，可以判断函数在该点是否连续。
例如，对于一个实函数f(x)，如果在某一点a处的极限存在且等于f(a)，则可以得出结论该函数在点a处连续。
这种应用使得我们能够更好地理解函数的性质，并在实际问题中应用函数的连续性进行建模和分析。
2. 极限与数列的收敛性在数列理论中，极限理论被用来研究数列的收敛性。
通过计算数列的极限，可以判断数列是否收敛。
例如，对于一个实数数列{an}，如果存在一个实数L，使得当n趋向于无穷大时，an趋向于L，那么可以说该数列收敛于L。
这种应用使得我们能够更好地理解数列的性质，并在数学分析和概率论等领域中进行相关推导和证明。
3. 极限与微分和积分在微积分中，极限理论是微分和积分的基础。
通过计算函数的极限，可以求得函数的导数和不定积分。
例如，在求函数的导数时，可以通过计算函数在某一点的极限来求得该点处的导数。
这种应用使得我们能够更好地理解微积分的概念和原理，并在实际问题中应用微积分进行建模和求解。
二、物理中的极限理论应用1. 极限与物体运动的描述在物理学中，极限理论被广泛应用于描述物体的运动。
通过计算物体在某一时刻的极限，可以得到物体在该时刻的速度和加速度。
例如，在描述自由落体运动时，可以通过计算物体在某一时刻的速度极限来求得该时刻的速度。
这种应用使得我们能够更好地理解物体运动的规律，并在物理实验和工程设计中进行运动分析和预测。
2. 极限与电路分析在电路分析中，极限理论被用来研究电路中电流和电压的变化。
通过计算电路中元件的极限，可以得到电路中的电流和电压的极限。
例如，在分析交流电路时，可以通过计算电路中电阻、电感和电容的极限来求得电路中的电流和电压。
极限与连续性
极限与连续性极限与连续性是数学中的两个重要概念。
极限是研究函数变化趋势时常用的方法，而连续性是描述函数在某一区间上的不中断性质。
本文将分别介绍极限和连续性的概念、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、极限极限是研究函数变化的重要工具。
简单来说，极限描述的是当自变量接近某一特定值时，函数值的趋势。
设函数f(x)在某一点x=a附近有定义，则当x无限接近于a时，如果函数值f(x)无限接近于某一常数L，就称函数f(x)在x=a时的极限为L，记作lim（x→a）f(x)=L。
极限有一些基本性质。
首先，唯一性性质指的是函数在某一点的极限只能有一个确定的值。
其次，加法定理指的是两个函数的极限之和等于这两个函数的极限之和。
再次，乘法定理指的是两个函数的极限之积等于这两个函数的极限之积。
最后，复合函数的极限定理指的是由两个连续函数构成的复合函数的极限等于这两个函数的极限之积。
极限在数学中有广泛的应用。
在微积分中，通过极限的概念，我们可以定义导数和积分，进而研究函数的变化速率和曲线下的面积。
在实际问题中，极限常用于计算在无限分割下的边长、面积、体积等数值，比如求圆的周长、圆的面积等。
二、连续性连续性是描述函数在某一区间上的不中断性质。
简单来说，如果函数在某一点处无间断、无跳跃，就称该函数在该点连续。
设函数f(x)在某一区间[a,b]上有定义，则当x属于[a,b]时，函数f(x)连续，当且仅当函数f(x)在[a,b]上每一点x处都连续。
连续函数具有一些基本性质。
首先，定义域上的有界闭区间上的连续函数，一定有最大值和最小值。
其次，闭区间上的连续函数满足介值定理，即如果函数在一个区间的两个端点值异号，则在这个区间上，一定存在函数的零点。
连续性在数学中也有广泛的应用。
在微积分中，通过连续性的概念，我们可以判断函数的极值点和最值点，进而求得函数的最大值和最小值。
在实际问题中，连续性常用于描述物体在一定时间内的运动轨迹、函数图像的连续性以及实验数据的趋势等。
数学实验-数列极限与函数极限
数学实验-数列极限与函数极限基础数列极限与函数极限一、实验目的从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。
二、实验材料1.1割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。
刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。
“割之弥细，所失弥少。
割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。
”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。
以n S 表示单位圆的圆内接正123-?n 多边形面积，则其极限为圆周率π。
用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n S }的收敛情况：m=2;n=15;k=10; For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正123-?n 多边形边长) s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正123-?n 多边形面积)r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]]]t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)ListPlot[t] (散点图)1.2裴波那奇数列和黄金分割由2110;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。
如果令nn n F F R 11--=，由n F 递推公式可得出 11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ，]251251[5111++???? ??--???? ??+=n n n F ； 215lim lim 1-==+∞→∞→n n n n n F F R 。
Mathematica平台上极限与连续的数学实验研究
一
文献标 识码 ：Ａ
文章编号 ：１ ０ － ６ ２ ２ １ ）０— ０ ７ ＿ ０ ８ － １ ９（ ０ ５ ０ ４ ４ １
、
引言
数 学软件 的 出现和 发展 为我们提 供 了变 革 高等数 学教学方 式难得 的机遇【。 ｌ传统 的高 等数 学教学 已经 】
不能够适应现代教学技术的发展，数学软件使用现已非常普及 ，在全国大学生数学建模竞赛中，应用数 学软件 求解 问题 是必 不可少 的 。 以计算 机作 为教 、学 、研 的工具 ，适 时地 将数 学软件 融入 到高 等数 学课 程 中去 ，有 着十 分重 要 的现 实 意义 ，它 不仅 为教师 和学 生提供 了一 个“ 的教 与学 的平 台，而 且也 使师 活” 生能够 在该平 台里动 态地探 索和研 究数 学 问题 【。 ２ ｊ 极 限与 连续 是微积 分 中的重 要 内容 之一 ，它 是后 续章节 的基 础 。在传 统 的教学模 式下 ，对 于学 生来 说极 限与连 续 的概念 是很难理 解 ，在 软件Ｍａ ｅ ｔ ａ 台上进行 实验教 学 ，这 些概念将 变得 十分 简单 。 ｔ ｍａｉ 平 ｈ ｃ Ｍａ ｅ ｔ ａ 能够进行 数值 计算 、符 号计 算 、绘 图、动画 演示等 功能 的一款软 件 ，为数学 的教 学与学 生 ｔ ｍａｉ 是 ｈ ｃ 的学习发挥 重要作 用 。 本文通 过实例 来研 究 Ｍａｈｍａｅ 在极 限与连 续数 学实验 。 ｔｅ ｔ ａ ｉ Байду номын сангаас 二 、极 限 的数 学 实验 例 １ 圆术 的实验 演示 。 割 在平 台 中输 入 以下 语句 ： ｎ ＝ （内切正 ｎ边形 的边数 ，任意输 入一个 数 ｎ ） ｃ＝ ａ ｈｃ［ ｉ ｌ［０ ０ ， 】 ｌＧｒｐ ｉｓ ｒ ｅ｛， ） １】 Ｃｃ ； （原 点在 ＼ ｏ ０＼ 圆 ｒ ｆ ，） ）的 ） ｃ＝ ａｈｃ［ｉｅＴｂｅ｛ ｏ［￣ｉ ］ ｉ［ｎ ｉ ］，ｉ０ｎ 】； ２ Ｇｒｐ ｉ Ｌｎ ［ａｌ［Ｃ ｓ ｒ ／ ，ｎ２ ／ ｝ ｛ ，｝］ ｓ ２ ｎ Ｓ ｎ ， 】 （将 圆周 ｎ等分 ， 正 ｎ边形 做 ）
高等数学课程教案
高等数学课程教案一、课程概述1.1 课程定位高等数学是工科、理科及其他相关专业的基础课程，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，为后续专业课程的学习奠定基础。
1.2 课程目标通过本课程的学习，使学生掌握极限、导数、微分、积分、级数等基本概念、理论和方法，具备运用高等数学知识分析和解决实际问题的能力。
二、教学内容2.1 极限与连续2.1.1 极限的概念与性质2.1.2 无穷小与无穷大2.1.3 函数的连续性2.2 导数与微分2.2.1 导数的概念与计算2.2.2 微分的概念与计算2.2.3 微分中值定理与导数的应用2.3 积分与不定积分2.3.1 积分的概念与计算2.3.2 不定积分的概念与计算2.3.3 定积分的应用2.4 级数2.4.1 数项级数的概念与判别法2.4.2 幂级数的概念与展开2.4.3 傅里叶级数的概念与应用三、教学方法与手段3.1 教学方法采用讲授、讨论、实践相结合的教学方法，引导学生主动探索、发现和解决问题。
3.2 教学手段利用多媒体课件、板书、教材、网络资源等多种教学手段，提高教学效果。
四、教学评价4.1 过程评价通过课堂提问、作业、小测验等方式，了解学生对课程内容的掌握情况。
4.2 结果评价期末考试对学生学习成果进行全面评价，考察学生对课程知识的运用能力。
五、教学安排5.1 课时安排本课程共计64课时，包括32课时课堂讲授、20课时实践操作、12课时讨论与交流。
5.2 教学进度安排按照教材和教学大纲，合理分配每个章节的教学课时，确保教学内容的完整性。
六、教学活动设计6.1 课堂讲授教师通过讲解、示例、互动等方式，引导学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法。
6.2 实践操作学生通过上机实验、数学软件操作等实践活动，加深对高等数学知识的理解和应用。
6.3 讨论与交流学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法，提高沟通与协作能力。
七、作业与练习7.1 作业布置教师根据教学内容，布置适量作业，巩固学生对知识的理解和运用。
《高等数学实验》课程教学大纲
《高等数学实验》课程教学大纲开课单位（系、教研室、实验室）：数学与统计学院高等数学教研室学分：1 总学时：16H课程类别：选修考核方式：考查课程负责人：赵振华课程编号：10801-2基本面向：全校性选修课一、本课程的目的、性质及任务本课程是将高等数学知识、数学软件和计算机应用有机地结合，将高等数学的基本知识直观形象地演示出来的课程。
课程性质：高等数学实验是一门全校性选修课及0402，0405，0408专业的专业选修课程。
课程目的和任务：从高等数学的基本知识出发，借助计算机，让学生能直观理解高等数学的知识,充分调动学生学习的主动性。
培养学生的创新意识，使用计算机并利用数学软件理解高等数学基本知识的能力，最终达到提高学生数学素质和综合能力的目的。
本课程的基本任务是教师主要讲授一些MATLAB的基本知识及其MATLAB软件实现，包括函数图形画法,微分计算,积分计算,级数敛散性判别，矩阵计算,线性方组的解等。
二、本课程的基本要求本课程的教学要求分为三个层次。
凡属较高要求的内容，必须使学生熟练掌握；在教学要求上一般的内容必须使学生掌握；在教学上要求较低的内容要求学生了解（一）MATLAB简介1、了解MATLAB环境，MATLAB的基本使用方法2、熟练掌握MATLAB的基本元素及使用方法、程序语言的编写、函数及M文件（二）基本函数图形的绘制1、熟练掌握常用绘图函数、函数图形的绘制2、熟练掌握函数图形的绘制（三）微积分实验1、熟练掌握用MATLAB表示函数，求极限2、熟练掌握用MATLAB求导数，3、掌握用MATLAB求数值微分4、熟练掌握用MATLAB求一元函数的积分，了解多元函数的积分计算（四）无穷级数实验1、熟练掌握用Matlab判别数项级数的敛散性、2、熟练掌握用Matlab数项级数求和、3、掌握用Matlab求函数项级数的和函数、4、掌握用Matlab求函数()f x的Taylor级数展开式及Fourier级数展开式（五）常微分方程实验1、熟练掌握用Matlab求常微分方程（组）的解析解2、熟练掌握用Matlab求常微分方程（组）初值问题的数值解（六）线性代数实验1、熟练掌握用MATLAB作矩阵的基本运算2、熟练掌握用MATLAB判断向量的相关性3、熟练掌握用MATLAB求线性方程组的解；4、熟练掌握用MATLAB求矩阵的特征值与特征向量5、掌握用MATLAB化二次型标准型（七）综合实验1、熟练掌握通过分析问题来建立数学模型，进而用MATLAB对模型的求解三、本课程与其它课程的关系1、本课程的先修课程：（1）高等数学极限，导数，积分、级数、微分方程等是高等数学实验课程所需要重要知识。
数学分析实验报告题
一、实验目的1. 通过实验加深对极限和连续性概念的理解；2. 培养学生运用数学工具解决实际问题的能力；3. 提高学生的实验操作技能和团队协作精神。
二、实验原理1. 极限的概念：当自变量x趋向于某一值时，函数f(x)的值也趋向于某一确定的值A，则称A为函数f(x)当x趋向于某一值时的极限。
2. 连续性的概念：如果函数f(x)在点x0处有定义，且极限lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。
三、实验仪器与材料1. 计算器2. 数学分析教材3. 实验指导书四、实验步骤1. 验证函数极限的存在性（1）选取函数f(x)=x^2，验证当x趋向于0时，f(x)的极限是否存在，若存在，求出极限值。
（2）选取函数f(x)=sin(x)/x，验证当x趋向于0时，f(x)的极限是否存在，若存在，求出极限值。
2. 验证函数的连续性（1）选取函数f(x)=x，验证f(x)在x=0处是否连续。
（2）选取函数f(x)=1/x，验证f(x)在x=0处是否连续。
五、实验结果与分析1. 验证函数极限的存在性（1）对于函数f(x)=x^2，当x趋向于0时，f(x)的值也趋向于0，因此极限lim(x→0)f(x)=0。
（2）对于函数f(x)=sin(x)/x，当x趋向于0时，f(x)的值趋向于1，因此极限lim(x→0)f(x)=1。
2. 验证函数的连续性（1）对于函数f(x)=x，在x=0处有定义，且极限lim(x→0)f(x)=f(0)=0，因此f(x)在x=0处连续。
（2）对于函数f(x)=1/x，在x=0处无定义，因此f(x)在x=0处不连续。
六、实验总结1. 通过本次实验，我们对极限和连续性概念有了更深入的理解，掌握了验证函数极限和连续性的方法。
2. 实验过程中，我们运用了计算器等工具，提高了自己的实验操作技能。
3. 在实验过程中，我们学会了与团队成员协作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
4. 本次实验有助于我们更好地将理论知识应用于实际问题，提高了我们的数学分析能力。
新编高等数学第二章
2.1.2 收敛数列的性质
定理2.1 （极限的唯一性）收敛数列{an}的极限是唯一的. 定理2.2 （收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界.
推论2.1 有界数列未必收敛，无界数列必定发散. 例如，数列(－1)n是有界数列，但它是发散的；数列2n 是无 界数列，且它是发散的.
即 由函数f(x)在x=1处极限存在的充要条件可知，
例
【例2-4】设函数 证明
，证明：当x→0时，f(x)的极限不存在. 因为 ，所以 不存在.
2.2 函数的极限
2.2.2极限的四则运算法则 定理2.3（极限四则运算法则）设在自变量x的同一变 化过程中,极限limf（x）及limg（x）都存在,则有
第 二 章
极限与连续
2.1 数列的极限
目录
2.2 函数的极限
2.3 两个重要极限 2.4 函数的连续性 2.5 应用示例 2.6 数学实验二
2.1 数列的极限
2.1.1数列极限的定义
在中学，我们已经学过数列的概念.按一定顺序排列的 无穷多个数x1，x2，…xn，…
极限的概念是由求实际问题的精
确解答而产生的.我国古代数学 家刘徽于公元263年创立了“割
例
解 做出函数y=2x的图像（见图2-6），可以看出 故limx→∞2x不存在.
2.2 函数的极限
2.当x→x0时，函数f(x)的极限
先从图像上考察两个函数f(x)=x+2与f(x)=（x2－4）/（x－2），如图2-7所示.
微课:当x→x0时， 函数f(x)的极限
图 2-7
从图2-7中不难看出，当x无限接近于2时，f(x)=x+2无限趋近于4，f(x)=x2－4x－2也无限趋近
高数教案第二章极限与连续
第一章 极限与连续第一节 数列的极限教学目的：理解数列极限的概念，掌握数列极限的定义 教学重点、难点：数列极限的概念，理解掌握数列极限的定义 教学形式：多媒体教室里的课堂讲授 教学时间：90分钟 教学过程 一、引入新课半径为R 的圆的面积公式？2A R π=但是得到圆面积这个计算公式却是不容易的.看电视/v_show/id_XNDE4NDUyMjA=.html三国时代我国数学家刘徽（约公无225年—295年）创造了“割圆术”，成功地推算出圆周率和圆的面积。
圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不可缺少的一个常数，各国古代科学家均将圆周率作为一个重要课题。
我国最早采用的圆周率数值为三，即所谓“径一周三”。
《九章算术》中就采用了这个数据。
与刘徽类似的是，古希腊的阿基米德也用正多边形法去求圆周率。
但是阿基米德是用归谬法证得这一结果的，避开了极限概念，而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法；且阿基米德的方法需另外计算圆外切正多边形面积，刘徽的方法则只需求内接正多边形面积。
与阿基米德比，刘徽的割圆术可谓事半功倍。
二、新授课1、一个实验说明的事实对于一个半径为R 的圆，先作圆内接正六边形，记其面积为1A ；再作圆内接正十二边形，记其面积为2A ，循此下去，每次边数成倍增加，得到一系列圆内接正多边形的面积,,,,,,321 n A A A A构成一列有次序的数,其中内接正126-⨯n 边形的面积记为 )(+∈Z n A n 。
练习题1。
求半径为R 的圆内接正三角形ABC 的面积S ∆；内接正n 边形的面积n s 。
答案： 24s ∆=212sin2n s nR nπ=练习题2。
求半径为R 的圆外切正三角形ABC 的面积；外切正n 边形的而积n s ；答案： 2s ∆= 2t a n n s n R nπ=如果内接正n 边表的面积为n A ，圆的面积为A ，外接正n 边形的面积为n s ，则有 n n A A s ≤≤在几何直观上,当n 越大，对应的内接正多边形就越接近于圆，,即圆与正多边形的面积n A （n s ）之差就越小,因此以n A （n s ）作为圆面积的近似值就越精确.但无论内接正多边形的边数有多大,所计算的n A （n s ） 始终不是圆的面积.于是设想,如果n 无限增大(记为 ∞→n ，读作 n 趋于无穷大)时, n A （n s ）无限接近某个确定的数。
MATLAB数学实验100例题解
一元函数微分学实验1 一元函数的图形（基础实验）实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解， 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法，建立数形结合的思想; 掌握用Matlab 作平面曲线图性的方法与技巧。
初等函数的图形2 作出函数x y tan =和x y cot =的图形观察其周期性和变化趋势。
解：程序代码：>〉 x=linspace （0,2＊pi,600）; t=sin （x)。
/(cos （x ）+eps ）;plot(x ，t)；title （’tan （x ）')；axis (［0，2*pi ，-50,50]）; 图象:程序代码: 〉〉 x=linspace （0,2*pi,100); ct=cos （x)。
/（sin(x)+eps ）； plot(x,ct ）；title(’cot(x)')；axis (［0,2＊pi ，—50,50])； 图象：cot(x)4在区间]1,1[-画出函数xy 1sin =的图形。
解：程序代码:>> x=linspace （-1，1，10000）;y=sin(1。
/x ）; plot （x,y ）; axis （［-1，1，—2,2］） 图象：二维参数方程作图6画出参数方程⎩⎨⎧==t t t y tt t x 3cos sin )(5cos cos )(的图形：解：程序代码:>〉 t=linspace(0,2＊pi,100)； plot(cos(t ）.＊cos （5＊t ），sin(t ）。
*cos(3*t)); 图象：极坐标方程作图8 作出极坐标方程为10/t e r =的对数螺线的图形. 解：程序代码：〉〉 t=0:0.01:2*pi ； r=exp （t/10);polar(log(t+eps ）,log （r+eps)); 图象：90270分段函数作图10 作出符号函数x y sgn =的图形。
第二十二章极限与连续
教案授课主要内容或板书设计课堂教学安排x就叫做数列,,n观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限教案授课主要内容或板书设计课堂教学安排教案授课主要内容或板书设计课堂教学安排教案授课主要内容或板书设计课堂教学安排教案授课主要内容或板书设计课堂教学安排教案授课主要内容或板书设计课堂教学安排教案授课主要内容或板书设计内容分析：本节教学知识点有函数在一点连续满足的三个条件，函数在一点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义，最大最小值定理函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理.函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理.在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习.课堂教学安排教学过程主要教学内容及步骤复习导入新课讲授教师活动学生活动一、复习引入：1.000lim()lim()lim()x x x x x xf x a f x f x a-+→→→=⇔==其中lim()x xf x a-→=表示当x从左侧趋近于x时的左极限，lim()x xf x a+→=表示当x从右侧趋近于x时的右极限2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题二、讲解新课：1.观察图像如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x=x0处连续，就是说图象在点x=x0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况.分析图，第一，看函数在x0是否连续.第二，在x0是否有极限，若有与f(x0)的值关系如何：教师引导，学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目的。
高等数学第二章极限与连续
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注：数列极限的定义没有给出求极限的方法，但可
利用定义证明数列的极限
lim
n
an
A
例1、证明 lim n
0,N 0,当n (1)n1
1.
N时,有 an
A
.
n
证明：任给
0,
n 要使
n
(1)n1
1
1
，
n
n
只要n 1 ,
取N
[1],
则当n N时,
有 n (1)n1 1 , 故 lim n (1)n1 1.
A B 0， A B. 故唯一性得证.
(设 A B 0，取 A B 0，
4
A B 2 A B A B 矛盾，故 A B 0.)
4
2
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定理2[有界性]：收敛数列必有界.
lim
n
an
A,
lim
n
an
B,
则
0,
N1 0，当n N1时, 有 an A .
N2 0，当n N2时, 有 an B .
取N maxN1 , N2, 则当n N时, 有
an A , an B ,
A B ( A an ) (an B)
an A an B 2 .
二、数列极限
1、极限思想 (1) 割圆术 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
正六边形的面积 S1
正十二边形的面积 S2
R
正6 2n1形的面积 Sn
S1 , S2 , S3 , , Sn ,
S
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(2)截丈问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
Matlab数学实验2 一元函数极限
x 3 由于左右极限不等，我们就可以指出lim 不存在了。 x 3 | x 3 |
二重极限的命令调用格式： limit(limit(f,x,x0),y,y0)表示
例6.计算 lim ( x y) ln( x 2 y 2 )
( x , y ) (0,0)
( x , y )( x 0, y 0 )
如果我们绘制函数的图像，x 3这一点不连续是很明显的， 为了要显示图像的间断点，我们给Matlab指定了定义域：
也可以编写如下程序代码： x=[-5:0.1:5]; y=(x-3)./abs(x-3); plot(x,y) axis([-5 5 -2 2])
结果如下图所示：
由于x 3是间断点，所以当x 3时要求左右极限， 运行命令如下所示：
命令
limit(f) limit(f,x,a)或 limit(f,a) limit(f,x,inf)
功能
命令
limit(f,x,a, 'right') limit(f,x,a, 'left') limit(f,x, +inf) limit(f,x, -inf)
功能
lim f ( x)
x 0
xa
4、 解:输入命令: limit((cot(x))^(1/log(x)),x,0,'right') 得结果:ans=1/e1．实验目的
掌握函数极限的运算常用命令及常用函数
2．实验要求
熟练掌握有关limit命令的操作及应用
3. 实验内容
MATLAB求解极限的命令
☆ MATLAB使用syms这个函数命令来创建和定 义基本的符号对象．其调用格式为： syms Var1 Var2 … ☆一元函数极限的调用格式如下表所示：
大学数学竞赛知识点总结
大学数学竞赛知识点总结一、数学分析1. 极限和连续性极限的概念：设函数y=f(x)，x趋于a时y的极限为L，如果对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称L是这个函数在x趋于a时的极限。
连续性的概念：如果在x=a处，f(a)存在且极限存在，那么函数在x=a处连续。
2. 微分学导数的定义：设函数y=f(x)，若极限lim(x→0) (f(x+h)-f(x))/h存在，则称此极限为f(x)在x处的导数，记为f'(x)。
微分的概念：y=f(x)在x=x0处可微，则称f(x)在x=x0处可微，且f'(x0)dx是f(x0+dx)-f(x0)的线性近似。
导数的运算法则：加法法则、常数乘法法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则。
3. 积分学定积分的概念：设f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]上任取n个点x1,x2,…,xn=x0，xi的数量级为Δxmax→0时当n→∞时，当Δxmax→0极限存在且不依赖于选取的点x1,x2,…,xn=x0，这时称此极限为f(x)在[a,b]上的定积分，记为∫abf(x)dx。
定积分的性质：定积分的线性性、定积分的可加性、定积分的估值、定积分的区间可加性等。
4. 级数与收敛性级数的概念：级数是一列项的和，即无穷数列a1,a2,…,an,…的和Sn=a1+a2+…+an+…。
收敛与发散的判定：级数无穷和Sn的极限存在并且有限时，即lim(n→∞)Sn存在且有限时，级数收敛，否则级数发散。
5. 函数的一致收敛性与傅立叶级数一致收敛性的概念：设函数列{fn(x)}在区间I上有界，如果对于任意的ε>0，存在N(ε)，使得当n>N(ε)时，|fn(x)-f(x)|<ε对于一切x∈I都成立，那么称函数列{fn(x)}在区间I上一致收敛于f(x)。
傅立叶级数的概念：在区间(-π,π)上，函数f(x)可以展开为正弦和余弦的无限级数形式，这个级数就称为傅立叶级数。
数学实验报告 实验二 极限与连续
数学与统计学院
实验报告
实验项目名称
所属课程名称
实验类型
实验日期
班级
学号
姓名
成绩
附录1：源程序
1
13
2Interval0,
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
MATLAB数学实验100例题解
一元函数微分学实验1 一元函数的图形（基础实验）实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Matlab 作平面曲线图性的方法与技巧.初等函数的图形2 作出函数x y tan =和x y cot =的图形观察其周期性和变化趋势. 解：程序代码：>> x=linspace(0,2*pi,600); t=sin(x)./(cos(x)+eps);plot(x,t);title('tan(x)');axis ([0,2*pi,-50,50]); 图象：程序代码：>> x=linspace(0,2*pi,100); ct=cos(x)./(sin(x)+eps);plot(x,ct);title('cot(x)');axis ([0,2*pi,-50,50]); 图象：4在区间]1,1[-画出函数xy 1sin =的图形.解：程序代码：>> x=linspace(-1,1,10000);y=sin(1./x); plot(x,y);axis([-1,1,-2,2]) 图象：二维参数方程作图6画出参数方程⎩⎨⎧==t t t y tt t x 3cos sin )(5cos cos )(的图形：解：程序代码：>> t=linspace(0,2*pi,100);plot(cos(t).*cos(5*t),sin(t).*cos(3*t)); 图象：极坐标方程作图8 作出极坐标方程为10/t e r =的对数螺线的图形. 解：程序代码：>> t=0:0.01:2*pi; r=exp(t/10);polar(log(t+eps),log(r+eps)); 图象：90270分段函数作图10 作出符号函数x y sgn =的图形. 解：>> x=linspace(-100,100,10000); y=sign(x); plot(x,y);axis([-100 100 -2 2]);函数性质的研究12研究函数)3(log 3)(35x e x x f x -++=在区间]2,2[-上图形的特征.解：程序代码：>> x=linspace(-2,2,10000);y=x.^5+3*exp(x)+log(3-x)/log(3); plot(x,y); 图象：实验2 极限与连续（基础实验）实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用 Matlab 画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.作散点图14分别画出坐标为)10,,2,1(),4,(),,(3222 =+i i i i i i 的散点图, 并画出折线图. 解：散点图程序代码：plot(i,i.^2,'.')或：>> x=1:10;y=x.^2;for i=1:10;plot(x(i),y(i),'r')hold onend折线图程序代码：>> i=1:10;plot(i,i.^2,'-x')程序代码： >> i=1:10;plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'.')>> i=1:10;plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'-x')数列极限的概念16通过动画观察当∞→n 时数列21n a n =的变化趋势.解：程序代码： >> n=1:100; an=(n.^2); n=1:100; an=1./(n.^2); n=1:100; an=1./(n.^2); for i=1:100plot(n(1:i),an(1:i)),axis([0,100,0,1]) pause(0.1) end 图象：函数的极限18在区间]4,4[-上作出函数xx xx x f --=339)(的图形, 并研究 )(lim x f x ∞→ 和 ).(lim 1x f x →解：作出函数x x xx x f --=339)(在区间]4,4[-上的图形>> x=-4:0.01:4;y=(x.^3-9*x)./(x.^3-x+eps); plot(x,y)16从图上看，()f x 在x →1与x →∞时极限为0两个重要极限 20计算极限⎪⎭⎫⎝⎛+→x x x x x sin 11sin lim )1(0 x x e x 2lim )2(+∞→30sin tan lim )3(xx x x -→ x x x 0lim )4(+→ x xx ln cot ln lim )5(0+→ x x x ln lim )6(20+→ x x xx x x sin cos sin lim )7(20-→ 125523lim )8(323+++-∞→x x x x x xx x e e x x x sin 2lim )9(0----→ xx x x cos 110sin lim )10(-→⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解：（1）>> limit(x*sin(1/x)+1/x*sin(x))ans =1(2) >> limit(x^2/exp(x),inf) ans = 0(3) >> limit((tan(x)-sin(8))/x^3) ans =NaN(4) >> limit(x^x,x,0,'right') ans =1(5) >> limit(log(cot(x))/log(x),x,0,'right') ans =-1(6) >> limit(x^2*log(x),x,0,'right') ans =0(7) >> limit((sin(x)-x.*cos(x))./(x.^2.*sin(x)),x,0) ans =1/3(8) >> limit((3*x.^3-2*x.^2+5)/(5*x.^3+2*+1),x,inf) ans =3/5(9) >> limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)./(x-sin(x))) ans =2(10) >> limit((sin(x)/x).^(1/(1-cos(x)))) ans =exp(-1/3)实验3 导数（基础实验）实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义. 掌握用Matlab 求导数与高 阶导数的方法. 深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法. 导数概念与导数的几何意义22作函数71232)(23+-+=x x x x f 的图形和在1-=x 处的切线. 解：作函数71232)(23+-+=x x x x f 的图形程序代码： >> syms x;>> y=2*x^3+3*x^2-12*x+7; >> diff(y) ans =6*x^2+6*x-12 >> syms x;y=2*x^3+3*x^2-12*x+7; >> f=diff(y) f =6*x^2+6*x-12 >> x=-1;f1=6*x^2+6*x-12 f1 = -12>> f2=2*x^3+3*x^2-12*x+7 f2 = 20>> x=linspace(-10,10,1000);y1=2*x.^3+3*x.^2-12*x+7; y2=-12*(x+1)+20; plot(x,y1,'r',x,y2,'g')求函数的导数与微分24求函数bx ax x f cos sin )(=的一阶导数. 并求.1⎪⎭⎫⎝⎛+'b a f解：求函数bx ax x f cos sin )(=的一阶导数程序代码： >> syms a b x y;y= sin(a*x)*cos(b*x); D1=diff(y,x,1) 答案：D1 =cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b求.1⎪⎭⎫ ⎝⎛+'b a f程序代码： >> x=1/(a+b);>> cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b答案：ans =cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b 拉格朗日中值定理26对函数),2)(1()(--=x x x x f 观察罗尔定理的几何意义. (1) 画出)(x f y =与)(x f '的图形, 并求出1x 与.2x 解：程序代码：>> syms x;f=x*(x-1)*(x-2); f1=diff(f) f1 =(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1) >> solve(f1) ans =1+1/3*3^(1/2) 1-1/3*3^(1/2)>> x=linspace(-10,10,1000); y1=x.*(x-1).*(x-2);y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1); plot(x,y1,x,y2)(2)画出)(x f y =及其在点))(,(11x f x 与))(,(22x f x 处的切线. 程序代码：>> syms x; >> f=x*(x-1)*(x-2); >> f1=diff(f) f1 =(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1) >> solve(f1) ans =1+1/3*3^(1/2) 1-1/3*3^(1/2)>> x=linspace(-3,3,1000); >> y1=x.*(x-1).*(x-2);>> y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1); >> plot(x,y1,x,y2) >> hold on>> x=1+1/3*3^(1/2); >> yx1=x*(x-1)*(x-2) yx1 =-0.3849>> x=1-1/3*3^(1/2); >> yx2=x*(x-1)*(x-2) yx2 =0.3849x=linspace(-3,3,1000); yx1 =-0.3849*x.^0; yx2 =0.3849*x.^0; plot(x,yx1,x,yx2)28求下列函数的导数:(1) 31+=x e y ; 解：程序代码：>> syms x y; y=exp((x+1)^3); D1=diff(y,1) 答案：D1 =3*(x+1)^2*exp((x+1)^3)(2) )]42ln[tan(π+=x y ;解：程序代码：>> syms x;y=log(tan(x/2+pi/4)); D1=diff(y,1) 答案：D1 =(1/2+1/2*tan(1/2*x+1/4*pi)^2)/tan(1/2*x+1/4*pi)(3) x x y sin ln cot 212+=;解：程序代码：>> syms x;y=1/2*(cot(x))^2+log(sin(x)); D1=diff(y,1) 答案：D1 =cot(x)*(-1-cot(x)^2)+cos(x)/sin(x) (4) xy 2arctan21=. 解：程序代码：>> syms x;>> y=sqrt(2)*atan(sqrt(2)/x); >> D1=diff(y,1) 答案：D1 =-2/x^2/(1+2/x^2)一元函数积分学与空间图形的画法实验4 一元函数积分学(基础实验)实验目的 掌握用Matlab 计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用 定积分解决各种问题的能力.不定积分计算30求.)1(532⎰-dx x x解：程序代码：>> syms x y;>> y=x^2*(1-x^3)^5; >> R=int(y,x) 答案：R =-1/18*x^18+1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^9-5/6*x^6+1/3*x^332求.arctan 2⎰xdx x解：程序代码：>> syms x y;>> y=x^2*atan(x); >> R=int(y,x) 答案：R =1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)定积分计算34 求.)(102⎰-dx x x解：程序代码：>> syms x y; >> y=x-x^2;>> R=int(y,x,0,1) 答案： R =1/6变上限积分36 画出变上限函数⎰x dt t t 02sin 及其导函数的图形.解：程序代码：>> syms x y t; >> y=t*sin(t^2); >> R=int(y,x,0,x) 答案：R =t*sin(t^2)*x 再求导函数 程序代码：>> DR=diff(R,x,1) 答案：DR =t*sin(t^2)实验5 空间图形的画法(基础实验)实验目的 掌握用Matlab 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.一般二元函数作图38作出函数2214y x z ++=的图形.解：程序代码：>> x=linspace(-5,5,500); [x,y]=meshgrid(x); z=4./(1+x.^2+y.^2); mesh(x,y,z);xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');title('function')40作出函数)94cos(22y x z +=的图形. 解：程序代码：>> x=-10:0.1:10;[x,y]=meshgrid(x);z=cos(4*x.^2+9*y.^2); mesh(x,y,z);xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');title('function')讨论：坐标轴选取范围不同时，图形差异很大，对本题尤为明显，如右图为坐标轴[-1，1]二次曲面42作出单叶双曲面1941222=-+z y x 的图形.(曲面的参数方程为 ,tan 3,cos sec 2,sin sec u z v u y v u x === (.20,2/2/πππ≤≤<<-v u ))解：程序代码：>> v=0:pi/100:2*pi; >> u=-pi/2:pi/100:pi/2; >> [U,V]=meshgrid(u,v); >> x=sec(U).*sin(V); >> y=2*sec(U).*cos(V); >> z=3*tan(U); >> surf(x,y,z)44 可以证明: 函数xy z =的图形是双曲抛物面. 在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上作出它的图形.解：程序代码：>> x=-2:0.01:2;[x,y]=meshgrid(x); >> z=x.*y;>> mesh(x,y,z);46 画出参数曲面]2,001.0[],4,0[)5/2/ln(tan cos sin sin sin cos ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧++===v u u v v z vu y v u x π 的图形.解：程序代码：>> v=0.001:0.001:2; >> u=0:pi/100:4*pi;>> [U,V]=meshgrid(u,v); >> x=cos(U).*sin(V); >> y=sin(U).*sin(V);>> z=cos(V)+log(tan(V/2)+U/5); >> mesh(x,y,z);空间曲线48 作出空间曲线)60(2,sin ,cos π≤≤===t t z t t y t t x 的图形. 解：程序代码：>> syms t;ezplot3(t*cos(t),t*sin(t),2*t,[0,6*pi])xx = t cos(t), y = t sin(t), z = 2 tz50绘制参数曲线 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==t z t y t x arctan 211cos 2的图形.解：程序代码：>> t=-2*pi:pi/100:2*pi;x=cos(t).*cos(t);y=1./(1+2*t);z=atan(t); plot3(x,y,z);grid;xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')xyz多元函数微积分实验6 多元函数微分学（基础实验）实验目的 掌握利用Matlab 计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元 函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.求多元函数的偏导数与全微分 52设),(cos )sin(2xy xy z +=求.,,,222yx z x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：程序代码：>> syms x y;S=sin(x*y)+(cos(x*y))^2; D1=diff(S,'x',1); D2=diff(S,'y',1); D3=diff(S,'x',2); D4=diff(S,'y',2); D1,D2,D3,D4答案： D1 = cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*yD2 = cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*xD3 =-sin(x*y)*y^2+2*sin(x*y)^2*y^2-2*cos(x*y)^2*y^2 D4 = -sin(x*y)*x^2+2*sin(x*y)^2*x^2-2*cos(x*y)^2*x^2实验7 多元函数积分学（基础实验）实验目的掌握用Matlab 计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的 概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.计算重积分54计算,2dxdy xy D⎰⎰其中D 为由,,2y x y x ==+ 2=y 所围成的有界区域.解：程序代码：>> syms x y;int(int(x*y^2,x,2-y,sqrt(y)),y,1,2) 答案：ans =193/120 重积分的应用56求旋转抛物面224y x z --=在Oxy 平面上部的面积.S 解：程序代码：>> int(2*pi*r,r,0,2) 答案： ans =4*pi无穷级数与微分方程实验8 无穷级数（基础实验） 实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近. 掌握用Matlab 求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.数项级数58(1)观察级数∑∞=12 1n n的部分和序列的变化趋势.解：程序代码：for i=1:100 s=0;for n=1:i s=s+1/n^2;endplot(i,s,'.');hold on;end(2) 观察级数∑∞=11n n的部分和序列的变化趋势.>> for i=1:100 s=0; for n=1:i s=s+1/n; endplot(i,s,'.'); hold on; end60 求∑∞=++123841n n n 的值. 解：程序代码：>> syms n;score=symsum(1/(4*n^2+8*n+3),1,inf) 答案： score =1/6函数的幂级数展开62求x arctan 的5阶泰勒展开式. >> syms x;>> T5=taylor(atan(x),6) 答案：T5 =x-1/3*x^3+1/5*x^5实验9 微分方程（基础实验）实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Matlab 求微分方程及方程组解的常用命令和方法.求解微分方程64求微分方程 22x xe xy y -=+'的通解. 解：程序代码：>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') 答案：y =(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)66求微分方程x e y y y x 2cos 52=+'-''的通解. 解：程序代码：>> y=dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*cos(2*x)','x') 答案： y =exp(x)*sin(2*x)*C2+exp(x)*cos(2*x)*C1+1/4*exp(x)*sin(2*x)*x68求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++02y x dtdy e y x dt dx t 在初始条件0,100====t t y x 下的特解.解：程序代码：>> [x,y]=dsolve('Dx+x+2*y-exp(t)','Dy-x-y','x(0)=1','y(0)=0','t') 答案： x = cos(t)y = 1/2*sin(t)-1/2*cos(t)+1/2*exp(t)70求解微分方程,)1(122/5+=+-x x y dx dy 并作出积分曲线. 解：程序代码：>> syms x yy=dsolve('Dy-2*y/(x+1)-(x+1)^(5/2)','x') 答案：y =(2/3*(x+1)^(3/2)+C1)*(x+1)^2 做积分曲线 由>> syms x yx=linspace(-5,5,100); C=input('请输入C 的值:'); y=(2/3*(x+1).^(3/2)+C).*(x+1).^2; plot(x,y)例如对应有： 请输入C 的值:2 请输入C 的值:20矩阵运算与方程组求解实验10 行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Matlab 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.矩阵A 的转置函数Transpose[A]72 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛411365243271的转置. 解：程序代码：>> A=[1,7,2;3,4,2;5,6,3;1,1,4]; >> Sove=A' 答案：Sove =1 3 5 1 7 4 6 12 234 矩阵线性运算 73设,291724,624543⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B A 求.24,A B B A -+ 解：程序代码：>> A=[3,4,5;4,2,6]; B=[4,2,7;1,9,2]; S1=A+B S2=4*B-2*A 答案：S1 =7 6 12 5 11 8 S2 =10 0 18 -4 32 -474设,148530291724,36242543⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mb ma 求矩阵ma 与mb 的乘积. 解：程序代码：>> ma=[3,4,5,2;4,2,6,3];>> mb=[4,2,7;1,9,2;0,3,5;8,4,1]; >> Sove=ma*mb 答案：Sove =32 65 56 42 56 65 矩阵的乘法运算75设,101,530291724⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求AB 与,A B T 并求.3A解：程序代码：>> A=[4 2 7;1 9 2;0 3 5]; B=[1;0;1]; >> AB=A*B AB = 11 3 5 >> BTA=B'*A BTA =4 5 12 >> A3=A^3 A3 =119 660 555 141 932 444 54 477 260 求方阵的逆 76 设,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A 解：程序代码：>> A=[2,1,3,2;5,2,3,3;0,1,4,6;3,2,1,5];Y=inv(A)答案：Y =-1.7500 1.3125 0.5000 -0.6875 5.5000 -3.6250 -2.0000 2.3750 0.5000 -0.1250 0.0000 -0.1250 -1.2500 0.6875 0.5000 -0.3125 77 设,221331317230,5121435133124403⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B A 求.1B A - 解：程序代码：>> A=[3 0 4 4 ;2 1 3 3 ;1 5 3 4;1 2 1 5]; B=[0 3 2 ;7 1 3;1 3 3 ;1 2 2]; Solve=A'*B 答案：Solve =16 16 17 14 20 22 25 26 28 30 37 3978 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=++.2442,63,723z y x z y x z y x解：程序代码：>> A=[3 2 1;1 -1 3;2 4 -4]; b=[7 6 -2]; >> A\b' 答案：ans =1.0000 1.00002.0000 求方阵的行列式79 求行列式 .3351110243152113------=D解：程序代码：>> A=[3,1,-1,2;-5,1,3,-4;2,0,1,-1;1,-5,3,-3]; D=det(A) 答案：D =4080求.11111111111122222222ddd d c c c c b b b b a a a a D ++++=解：程序代码：>> syms a b c d;D=[a^2+1/a^2 a 1/a 1;b^2+1/b^2 b 1/b 1;c^2+1/c^2 c 1/c 1;d^2+1/d^2 d 1/d 1]; det(D) 答案：ans =-(-c*d^2*b^3+c^2*d*b^3-c^3*d^2*a+c^3*d*a^2*b^4+c*d^2*a^3-c^3*d^2*a*b^4-c^2*d*a^3-c*d^2*b^3*a^4+c^2*d*b^3*a^4+c^3*d^2*b*a^4-c^3*d*b^2*a^4-c^2*d^3*b*a^4+c*d^3*b^2*a^4+c*d ^2*a^3*b^4-c^2*d*a^3*b^4+c^3*d^2*b-c^3*d*b^2-c^2*d^3*b+c*d^3*b^2+c^3*d*a^2+c^2*d^3*a-c *d^3*a^2-b*d^2*a^3+b^2*d*a^3+b^3*d^2*a-b^3*d*a^2-b^2*d^3*a+b*d^3*a^2+b*c^2*a^3-b^2*c*a ^3-b^3*c^2*a+b^3*c*a^2+b^2*c^3*a-b*c^3*a^2+c^2*d^3*a*b^4-c*d^3*a^2*b^4-b*d^2*a^3*c^4+b ^2*d*a^3*c^4+b^3*d^2*a*c^4-b^3*d*a^2*c^4-b^2*d^3*a*c^4+b*d^3*a^2*c^4+b*c^2*a^3*d^4-b^2*c*a^3*d^4-b^3*c^2*a*d^4+b^3*c*a^2*d^4+b^2*c^3*a*d^4-b*c^3*a^2*d^4)/a^2/c^2/d^2/b^281 计算范德蒙行列式.1111145444342413534333231252423222154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：程序代码：>> syms x1 x2 x3 x4 x5;>> A=[1,1,1,1,1;x1,x2,x3,x4,x5;x1^2,x2^2,x3^2,x4^2,x5^2; x1^3,x2^3,x3^3,x4^3,x5^3;x1^4,x2^4,x3^4,x4^4,x5^4];>> DC=det(A);>> DS=simple(DC) 答案：DS =(-x5+x4)*(x3-x5)*(x3-x4)*(-x5+x2)*(x2-x4)*(x2-x3)*(-x5+x1)*(x1-x4)*(x1-x3)*(x1-x2) 82 设矩阵 ,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求.),(|,|3A A tr A 解：程序代码：>> A=[3,7,2,6,-4;7,9,4,2,0;11,5,-6,9,3;2,7,-8,3,7;5,7,9,0,-6]; >> D=det(A),T=trace(A),A3=A^3 答案：D =11592 T = 3 A3=726 2062 944 294 -358 1848 3150 26 1516 228 1713 2218 31 1006 404 1743 984 -451 1222 384 801 2666 477 745 -125 向量的内积83 求向量}3,2,1{=u 与}0,1,1{-=v 的内积. 解：程序代码：>> u=[1 2 3]; v=[1 -1 0]; solve=dot(u,v) 答案：solve =-184设,001001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλA 求.10A 一般地?=k A (k 是正整数).解：程序代码：>> syms r;>> A=[r,1,0;0,r,1;0,0,r]; >> A^10 答案：ans =[ r^10, 10*r^9, 45*r^8] [ 0, r^10, 10*r^9] [ 0, 0, r^10]85.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a aa1111111111111111111111111的逆.解：程序代码：>> syms aA=[1+a,1,1,1,1;1,1+a,1,1,1;1,1,1+a,1,1;1,1,1,1+a,1;1,1,1,1,1+a]; solve=inv(A) 答案：solve =[ 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5)] [ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5)]实验11 矩阵的秩与向量组的极大无关组实验目的 学习利用Matlab 求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组. 求矩阵的秩86 设,815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩.解：程序代码：>> M=[3,2,-1,-3,-2;2,-1,3,1,-3;7,0,5,-1,-8]; R=rank(M) 答案：R=2 向量组的秩87求向量组)0,3,0,2(),2,5,4,0(),1,1,2,1(231=--=-=ααα的秩. 解：程序代码：>> A=[1,2,-1,1;0,-4,5,-2;2,0,3,0]; R=rank(A) 答案：R =288向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是否线性相关? 解：由>> A=[1 1 2 3;1 -1 1 1;1 3 4 5;3 1 5 7];rank(A) ans = 3即rank(A)=3 小于阶数489向量组)3,1,1(),2,1,3(),7,2,2(321=-==ααα是否线性相关? 解：由>> A3=[2,2,7;3,-1,2;1,1,3];R=rank(A3) 得 R = 3即rank(A3)=3 等于阶数3 故向量组线性无关。
《高等数学》教学大纲(建学类)
《高等数学》教学大纲（建学类）（建筑学类56学时）英文名称：HigherMathematic适用专业：建筑学各专业总学时：56学分：3.5一、课程的性质、目的和任务高等数学是工科专业重要的基础课程，它的主要内容为一元微积分。
它的教学目的和要求是：1．使学生掌握高等数学中最基本的知识和必要的基础理论，并能比较熟练地掌握基本的运算技能和技巧，为学生学习后续专业课程提供必要的数学工具。
2．通过学习，使学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算演算能力、几何直观与创新思维能力；并具备初步的分析和解决一些实际或与专业相关数学问题的能力。
二、课程教学的基本要求（一）函数1、理解函数概念。
2、掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性等基本性质3、了解反函数、复合函数的概念。
4、熟练掌握基本初等函数的定义域、图形及简单性质。
5、能将简单实际问题（包括经济学）中的函数关系表达出来。
（二）极限与连续1、理解极限的定义及其所蕴含的数学思想方法。
2、了解无穷小和无穷大的概念及其关系，掌握常见等价无穷小及其在求极限中的应用。
3、正确应用极限的四则运算法则。
4、熟练掌握两个重要极限，了解两个极限存在准则并会进行简单的应用。
5、掌握函数在一点连续和间断的概念及判定。
6、知道初等函数的连续性。
7、了解闭区间上连续函数的性质（介值定理和最值定理）及应用。
（三）导数与微分1、理解导数的概念及导数的几何意义和物理意义，了解左右导数的概念。
2、熟练掌握导数计算的四则运算法则及基本求导公式，熟练掌握复合函数的求导法则。
3、会求简单的隐函数的导数，会求参数方程所确定的函数的导数。
4、会计算常见简单函数的高阶导数。
5、理解函数微分的概念及其几何意义，了解微分在近似计算中的应用。
6、了解导数和微分在经济学中的应用。
（四）中值定理与导数的应用1、理解并掌握罗尔定理和拉格朗日定理及其应用，知道柯西定理、泰勒公式。
2、会利用罗必塔法则求未定型的极限。
人邮高等数学教材答案
人邮高等数学教材答案1. 课后习题答案第一章：极限与连续习题1.1：1. a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) -1 f) 182. a) 0 b) 0 c) -1 d) -2 e) 4 f) 33. a) 2 b) -1/2 c) 1/4 d) -1/4 e) -2 f) -1/3习题1.2：1. a) 3 b) 2 c) 3 d) 1 e) 0 f) 32. a) 1/4 b) -1/2 c) 1 d) -3 e) 2 f) -23. a) 2 b) -3 c) 4 d) -1/2 e) 0 f) 2习题1.3：1. a) 1/4 b) 1/3 c) 1/3 d) 1/2 e) 12. a) 0 b) 5 c) -1 d) -1 e) 43. a) 2 b) -1/3 c) 2/9 d) -1/2 e) -1习题1.4：1. a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 02. a) 1 b) -1 c) 0 d) 1 e) -∞ f) ∞3. a) 0 b) 1/3 c) -1/2 d) 1 e) 0习题1.5：1. a) 1 b) 0 c) -1 d) ∞ e) -∞ f) ∞2. a) ∞ b) -∞ c) -1/2 d) 4/3 e) 1 f) -1 ......第二章：一元函数微分学习题2.1：1. a) 2 b) -7/3 c) -2 d) 0 e) -22. a) 0 b) 2 c) -6 d) 3/2 e) -23. a) 1/3 b) -1/6 c) -2/3 d) 1/4 e) -3/4习题2.2：1. a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) -1 f) 1/22. a) 2 b) 0 c) -∞ d) ∞ e) √3 f) 1/23. a) 6 b) -12 c) 0 d) 2/3 e) -2 f) 1/2习题2.3：1. a) 1 b) 0 c) 2 d) 0 e) ∞ f) -12. a) 1/2 b) -1/2 c) 0 d) 3/2 e) 0 f) 23. a) -1 b) 0 c) 1 d) -∞ e) ∞ f) 右极限不存在......以上只是部分习题的答案，详细答案请参考人邮高等数学教材中附录的习题答案部分。