第五篇平面向量第4讲平面向量的应用
第4讲 平面向量万能建系法5种常见题型(解析版) 高一数学讲义(新人教2019)必修二
第4讲平面向量万能建系法5种常见题型【考点分析】考点一：常见建立坐标系方法边长为a 的等边三角形正方形已知夹角的任意三角形矩形直角梯形平行四边形等腰梯形圆【题型目录】【题型目录】题型一：建坐标系求向量值题型二：三角形建坐标系求向量最值问题题型三：四边形建坐标系求向量最值问题题型四：多边形建坐标系求向量最值问题题型五：建坐标系设三角函数求向量最值问题【典型例题】题型一：建坐标系求向量值【例1】如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅= （）A ．-15B ．-13C ．13D ．14则()120A -，，(00)B ，，(08)C ，，(60)F -，，又3CE =，8CB =，12AB =，则2210CF CB BF =+=，即310CE FC =，即710FE FC =，则()77601010BE BF FE BF FC +==+=-+ ，()(776,81010EA EF FA CF FA =+=+=--+- 【例2】已知正方形ABCD 的边长为2，以CD 为边作正三角形CDE ，使得,A E 位于直线CD 的两侧，则AC AE →→⋅的值为（）A ．6-B ．6-C ．6+D ．6+【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.【详解】以A 为坐标原点，以,AB AD 为,x y 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，由正三角形CDE 及正方形ABCD ()()2,2,1,23C E +，所以()()2,21,23AC AE →→⋅=⋅+=故选：D【例3】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（）A 0OE OG ++=B ．OA OD ⋅=-C ．4AG EH +=D ．AO 在OH 方向上的投影向量为2OH - 【答案】C【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.【详解】由题意，分别以,HD BF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：在正八边形ABCDEFGH 中，由AOB BOC COD DOE ∠=∠=∠=∠360458GOH HOA =∠=∠== 过A 作AM HD OM AM⊥⇒=因为2OA =，所以OM AM ==所以(2,2),(0,2),(2,A B E ---【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即1CE =丈10=尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇,AB AC 均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则AC DE ⋅=（）．A ．90平方尺B ．92平方尺C ．94平方尺D ．98平方尺【答案】C 【分析】设AB x =（尺），利用勾股定理可构造方程求得AB ，以A 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】设AB x =（尺），则1AC x =+（尺），5AD = （尺），()22251x x ∴+=+，解得：12x =．以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），则()0,0A ，()5,0D ，()5,12C ，()5,12E -，()5,12AC ∴= ，()10,12DE =- ，5014494AC DE ∴⋅=-+= （平方尺）．故选：C.【例5】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .【题型专练】1．已知矩形ABCD 中，4AB =uuu r ，2AD = ，3DM MC = ，BP PC = ，则AM AP ⋅= （）A ．6B ．10C ．14D ．38【答案】C 【分析】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，由条件得出点,P M 的坐标，进而得出向量,AP AM uuu r uuur的坐标，从而得出向量的数量积.【详解】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()0,4A ,()2,4,D ()2,0C 由BP PC = ，则()1,0P ,由3DM MC = ，则()2,1M 所以()1,4AP =-uuu r ,()2,3AM =-uuur 所以()()124314AM AP ⋅=⨯+-⨯-=uuur uuu r 故选：C。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第五篇 第4讲 平面向量应用举例
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第4讲 平面向量应用举例A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )．A ．1B ．－1 C. 3D.22解析 由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 答案 A2．(2013·九江模拟)若|a |＝2sin 15°，|b |＝4cos 15°，a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值是( )．A.32B. 3 C ．2 3D.12解析 a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝8sin 15°cos 15°×32＝4×sin 30°×32＝ 3. 答案 B3.(2012·哈尔滨模拟)函数y ＝tan π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )．A ．4B ．6C ．1D ．2解析 由条件可得B (3,1)，A (2,0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6.答案 B4．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )．A.53B.54 C.109 D.158解析 法一 依题意，不妨设BE →＝12E C →，BF→＝2FC →，则有AE→－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →； AF→－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC → ＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →)＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC→) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A.法二 由∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1可得∠ACB ＝90°，如图建立直角坐标系，则A (0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋(－1)·(－1)＝23＋1＝53，选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·温州适应性测试)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________. 解析 AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12DC →·(BA →＋BC →)＝(AD →＋12DC →)·(AD→－DC →)＝AD →2－12DC →·AD →－12DC →2＝1－12×1×2cos 60°－12×4＝－32. 答案 －326．(2013·东北三校一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，S △ABC ＝2，则BA →·AC →＝________. 解析 依题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0， 于是有cos A ＝13，sin A ＝1－cos 2A ＝223，又S △ABC ＝12·bc sin A ＝12bc ×223＝2，所以bc ＝3，BA →·AC→＝bc cos(π－A )＝－bc cos A ＝－3×13＝－1. 答案 －1 三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ， 又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ，∵c ＝2，∴k ＝1.8．(13分)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC→＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值． 解 (1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴AC→2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC→2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由|AC→|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2， 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4. (2)由AC →·BC→＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49， ∴2sin αcos α＝－59. ∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对应的三角形的边长，若4aBC →＋2bCA →＋3cAB →＝0，则cos B ＝( )．A ．－1124 B.1124 C.2936D ．－2936解析 由4aBC →＋2bCA →＋3cAB →＝0，得4aBC→＋3cAB →＝－2bCA →＝－2b (BA →－BC →)＝2bAB →＋2bBC →， 所以4a ＝3c ＝2b .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝b 24＋49b 2－b 22·b 2·23b ＝－1124.答案 A2．(2013·郑州三模)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为( )．A ．1B ．2C. 3D ．3解析 如图，由题意可设D 为BC 的中点，由OA →＋AB →＋AC →＝0，得OA →＋2AD →＝0，即AO →＝2AD→，∴A ，O ，D 共线且|AO →|＝2|AD →|，又O 为△ABC 的外心， ∴AO 为BC 的中垂线，∴|AC→|＝|AB →|＝|OA →|＝2，|AD →|＝1， ∴|CD →|＝3，∴CA →在CB →方向上的投影为 3. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________． 解析 若a ⊥b ，则4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2. 9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥2×32x ＋y ＝2×32＝6. 当且仅当x ＝12，y ＝1时取得最小值． 答案 64．(2013·山西大学附中月考)已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为________．解析 由题意得：f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b 必有可变号零点，即Δ＝|a |2－4a ·b >0，即4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉>0，即－1≤cos 〈a ，b 〉<12.所以a 与b 的夹角范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π三、解答题(共25分)5．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ，∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式， 得ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，即S △ABC 的最大值为 3.6．(13分)(2012·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2 x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2 x4＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
高考理科第一轮复习课件(4.4平面向量的应用)
【规范解答】（1）选C.设a，b的夹角为θ，由条件得
cos ab , a b ab 2 ) 1 , 2 a b | | a | b |
sin 1 cos 2 1 (
【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所以
|F3|= 2 7, 选D.
2.若不重合的四点P，A，B，C，满足 PA PB PC 0,
AB AC mAP, 则实数m的值为(
【思路点拨】(1)将a·b表示为θ的三角函数，然后求得a·b 的最值，转化为解不等式的问题. (2)①由 | BC BA | 2 得到关于θ的关系式，两边平方可求解； ②用含θ的关系式表示m,n，然后转化为三角函数的最值问题
求解.
【规范解答】(1)选B.由已知得|b|=1，所以|a|= 因此a· b=mcos θ+nsin θ =
3. 在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足 BM＝2MA， 则 CMCB 等于( (A)2 (B)3
) (C)4 (D)6
【解析】选B.由题意可知，
1 CM CB CA＋ AB)CB ＝( 3 1 ＝CACB ABCB ＋ 3 1 ＝0＋ 3 2 3cos 45＝3. 3
(A)等边三角形
(C)等腰非等边三角形
(B)直角三角形
(D)三边均不相等的三角形
【解析】选A.由 ( AB AC )BC 0 知△ABC为等腰三角形，且 AB | AC | AB＝AC.由 AB AC 1 知， 与AC 的夹角为60°，所以 AB 2 AB | AC |
高中数学第五章_平面向量
第五章⎪⎪⎪平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若|a |＝|b |，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a |＝|b |答案：D2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线答案：D3．若D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD ―→等于( ) A ．－BC ―→＋12BA ―→B ．－BC ―→－12 BA ―→C ．BC ―→ －12BA ―→D ．BC ―→＋12BA ―→答案：A4．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [小题纠偏]1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的________条件． 解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q . 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ＞0，故q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要考点一 平面向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 和b 不共线，则a 和b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C 选项A 中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B 中零向量与任意向量共线，故a ，b 都是非零向量，故正确；选项C 中是共线向量，故错误；选项D 中既然方向相反就一定不相等，故正确．3．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等．考点二 向量的线性运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.2．(2018·温州模拟)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→.3．(2019·郑州第一次质量预测)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN 上且AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211BC ―→，则实数m 的值为( )A ．1 B.13C.911D.511解析：选D AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211BC ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211(AC ―→－AB ―→)＝m AB ―→＋211AC ―→，设BP ―→＝λBN ―→(0≤λ≤1)，则AP ―→＝AB ―→＋λBN ―→＝AB ―→＋λ(AN ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAN ―→，因为AN ―→ ＝13AC ―→，所以AP ―→＝(1－λ)AB ―→＋13λAC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1－λ，211＝13λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，故选D.[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三 共线向量定理的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )·AC ―→，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 解析：选D 设CO ―→＝y BC ―→，∵AO ―→＝AC ―→＋CO ―→＝AC ―→＋y BC ―→＝AC ―→＋y (AC ―→－AB ―→)＝－y AB ―→＋(1＋y ) AC ―→，∵BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13，∵AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 2．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→.∴AB ―→，BD ―→共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ＞0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ＞0，∴k ＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]1．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.2．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC―→＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( ) A ．2OA ―→－OB ―→B ．－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→ D ．－13OA ―→＋23OB ―→解析：选A 依题意，得OC ―→＝OB ―→＋BC ―→＝OB ―→＋2AC ―→＝OB ―→＋2(OC ―→－OA ―→)，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→. 2．(2019·石家庄质检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b . 3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→. 又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13. 答案：135．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，因为在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，所以四边形ANDM 为菱形，因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 3二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ，b ，且AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－5a ＋6b ，CD ―→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝3a ＋6b ＝3AB ―→.因为AB ―→与AD ―→有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b . 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(2019·浙江六校联考)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则向量BF ―→＝( )A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23b D.13a －23b解析：选C 如图，因为点E 为CD 的中点，CD ∥AB ，所以BFEF ＝ABEC ＝2，所以BF ―→＝23BE ―→＝23(BC ―→＋CE ―→)＝23⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－13a ＋23b . 4．(2018·遂昌期初)已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则实数t 的值为( )A ．2B ．1C ．23D ．12解析：选D 由题可设13(a ＋b )＝λa ＋μt b ，因为a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.所以13＝λ，μ＝23，所以13＝23t ，解得t ＝12.5．(2019·丹东五校协作体联考)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→，若S △ABC＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选A ∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→＝2(PB ―→－PA ―→)，∴3PA ―→＝PB ―→－PC ―→＝CB ―→，∴PA ―→∥CB ―→，且方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB ―→||PA ―→|＝3，∴S △PAB ＝S △ABC3＝2. 6．已知O 为△ABC 内一点，且2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为________．解析：设线段BC 的中点为M ，则OB ―→＋OC ―→＝2OM ―→. 因为2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，所以AO ―→＝OM ―→，则AO ―→＝12AM ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14⎝⎛⎭⎫AB ―→＋1t AD ―→＝14AB ―→＋14t AD ―→.由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.答案：137．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________.解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2.答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0. 其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错；BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确；CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．∴正确命题为②③④. 答案：39．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→(λ∈R )， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.10．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝d ，OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3解析：选D 因为M ，D ，N 三点共线，所以AD ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→.又AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，所以AD ―→＝λm AB ―→＋(1－λ)n AC ―→.又BD ―→＝12DC ―→，所以AD ―→－AB ―→＝12AC ―→－12AD ―→，所以AD ―→＝13AC ―→＋23AB ―→.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n ＝3，故选D.2．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λ－μ＝________.解析：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，所以AB ―→＝AM ―→＋MB ―→＝AM ―→＋12CB ―→＝AM ―→＋12(DB ―→－DC ―→)＝AM ―→＋12(DB ―→－AB ―→)＝AM ―→＋12DB ―→－12AB ―→，所以32AB ―→＝AM ―→＋12DB ―→，所以AB ―→＝23AM ―→＋13DB ―→，所以λ＝23，μ＝13，所以λ－μ＝13.答案：133．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1. 第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题体验]1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m )，若a ∥b ，则m 的值为______．答案：－32．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －134．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案：－11．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题纠偏]1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：02．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－3考点一 平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·温州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C 如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，∴BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，∴AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝12⎝⎛⎭⎫23AB ―→＋23AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C.2．在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.解析：∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→.∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －16L ，且AK ―→＝3.如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．考点二 平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝12(－6,8)＝(－3,4)，故选A.2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP ―→＝12MN ―→，则P 点的坐标为( )A ．(－8,1)B ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1)解析：选B 设P (x ，y )，则MP ―→＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ―→＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32，所以P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[由题悟法]向量共线的充要条件 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．[即时应用]1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．2．(2018·贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________. 解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0. 答案：03．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析：∵a 与b 方向相反，∴可设a ＝λb (λ＜0)， ∴a ＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a |＝5λ2＝25，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)， 故a ＝(－4，－2)． 答案：(－4，－2)4．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于________．解析：AB ―→＝(a －2，－2)，AC ―→＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案：12一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→，∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1.故选A.3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB ―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13. 4．(2019·舟山模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 共线，则m 的值为________． 解析：由a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋b ＝(2m －1,3m ＋2)，a －2b ＝(4，－1)，又m a ＋b 与a －2b 共线，所以－1×(2m －1)＝(3m ＋2)×4，解得m ＝－12.答案：－125．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·温州十校联考)已知a ＝(－3,1)，b ＝(－1,2)，则3a －2b ＝( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1)D ．(7，－1)解析：选B 由题可得，3a －2b ＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.3．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC ―→＝2CB ―→，则实数a 等于( )A ．2B ．1C ．45D ．53解析：选A 设C (x ，y )，则AC ―→＝(x －7，y －1)，CB ―→＝(1－x,4－y )，∵AC ―→＝2CB ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)． 又∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14bC.23a ＋13bD.13a ＋23b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ， ∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b .∵E 是OD 的中点， ∴|DE ||EB |＝13， ∴|DF |＝13|AB |.∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎡⎦⎤－12 BD ―→⎝⎛⎭⎫－12AC ―→＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ， ∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C.6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y 的值为________．解析：k a ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.因为c ＝x a ＋y b ，所以(3,2)＝(x －2y,3x ＋y )，即x －2y ＝3,3x ＋y ＝2，解得x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.答案：－1 07．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠18.如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量AC ―→＝λDB ―→＋μAP ―→，则λ＋μ的最大值为________．解析：以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，则B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，P (x,2)，x ∈[0,2]． ∴AC ―→＝(2,2)，DB ―→＝(2，－2)，AP ―→＝(x,2)．∵AC ―→＝λDB ―→＋μAP ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋xμ＝2，－2λ＋2μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2－x2＋x ，μ＝42＋x ，∴λ＋μ＝6－x 2＋x .令f (x )＝6－x2＋x(0≤x ≤2)， ∵f (x )在[0,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (0)＝3，即λ＋μ的最大值为3. 答案：39．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2,3)，B (3,2)，C (1,1)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)内，设OP ―→＝m AB ―→－n CA ―→(m ，n ∈R )，则2m ＋n 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B 由已知得AB ―→＝(1，－1)，CA ―→＝(1,2)，设OP ―→＝(x ，y )，∵OP ―→＝m AB ―→－n CA ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －n ，y ＝－m －2n ，∴2m ＋n ＝x －y .作出平面区域如图所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，由图象可知当直线y ＝x －z 经过点B (3,2)时，截距最小，即z 最大．∴z 的最大值为3－2＝1，即2m ＋n 的最大值为1.2．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3―→＝λA 1A 2―→(λ∈R )，A 1A 4―→＝μA 1A 2―→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：选D 根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c ＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d ＝μ.根据1λ＋1μ＝2，得1c ＋1d ＝2.线段AB 的方程是y ＝0，x ∈[0,1]．若C 是线段AB 的中点，则c ＝12，代入1c ＋1d ＝2得，1d ＝0，此等式不可能成立，故选项A 的说法不正确；同理选项B 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜c ≤1,0＜d ≤1，此时1c ≥1，1d ≥1，1c ＋1d ≥2，若等号成立，则只能c ＝d ＝1，根据定义，C ，D 是两个不同的点，矛盾，故选项C 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，即c ＞1，d ＞1，则1c ＋1d ＜2，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c ＜0，d ＜0，则1c ＋1d 是负值，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c ＞1，d ＜0，则1c ＜1，1d ＜0，此时1c ＋1d ＜1，与1c ＋1d ＝2矛盾，故选项D 的说法是正确的．3．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a ＞0，b ＞0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值． 解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形， 所以OA ―→＝BC ―→，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 故a ＝2，b ＝2.(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→，所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a ＞0，b ＞0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， 即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角2．平面向量的数量积3．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.[小题体验]1．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案：D2．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝2×3×32＝3. 3．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |＝( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析：选C 依题意得a ·b ＝12，则|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13.4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b ·c ＝0，得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：25．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ―→·BD ―→＝________.解析：选向量的基底为AB ―→，AD ―→，则BD ―→＝AD ―→－AB ―→，AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→，所以AE ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12AB ―→ ·(AD ―→－AB ―→)＝2. 答案：21．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量． 2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b ＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b ＜0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 4．在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方． [小题纠偏]1．若a ，b 是两个互相垂直的非零向量，给出以下式子：①a ·b ＝0；②a ＋b ＝a －b ；③|a ＋b |＝|a －b |；④a 2＋b 2＝(a ＋b )2.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为a ，b 是两个互相垂直的非零向量，所以a·b ＝0；所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2；(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝a 2＋b 2；所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即|a ＋b |＝|a －b |.故①③④是正确的，②是错误的．2．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝________.解析：|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝ 1＋4×⎝⎛⎭⎫－12＋4＝ 3. 答案： 3考点一 平面向量的数量积的运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11解析：选C ∵a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3.2．(2018·浙江考前冲刺)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |＝4，则向量a 在a ＋b 上的投影为( )A. 3 B ．3 C. 6D ．6解析：选B 由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0， 由|a ＋b |＝2|b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4b 2，即a 2＝3b 2，所以|a |＝3|b |＝23， 所以向量a 在a ＋b 上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2|a ＋b |＝3.中点，则AB ―→·AD―→3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的＝________.解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB ―→·AD ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CD ―→)＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CD ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 45°＋|AB ―→|·|CD ―→|cos 45° ＝22×2×22＋22×1×22＝6. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)， D (－1,0)，∴AB ―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， AD ―→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)， ∴AB ―→·AD ―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6. 答案：64．(2019·台州模拟)以O 为起点作三个不共线的非零向量OA ―→，OB ―→，OC ―→，使AB ―→＝－2BC ―→，|OA ―→|＝4，OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|，则OA ―→·BC ―→＝________. 解析：法一：由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|，平方得OA ―→|OA ―→|·OB ―→|OB ―→|＝－12，即cos ∠AOB ＝－12，因为OA ―→，OB ―→不共线，所以0°＜∠AOB ＜180°，所以∠AOB ＝120°.因为AB ―→＝－2BC ―→，所以C 为线段AB 的中点．由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|两边同乘以OC ―→|OC ―→|，得cos ∠AOC ＋cos ∠BOC ＝1，即cos ∠AOC ＋cos(120°－∠AOC )＝1，解得∠AOC ＝60°，所以OC 为∠AOB 的平分线，所以OC ―→⊥AB ―→.又|OA ―→|＝4，所以|AC ―→|＝|BC ―→|＝23，所以OA ―→·BC ―→＝(OC ―→＋CA ―→)·BC ―→＝BC ―→2＝12.法二：由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|及AB ―→＝－2BC ―→，结合向量加法的平行四边形法则得OC 为∠AOB 的平分线，C 为AB 的中点，所以OC ―→⊥AB ―→，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝4，|AC ―→|＝|BC ―→|＝23，所以OA ―→·BC ―→＝(OC ―→＋CA ―→)·BC ―→＝BC ―→2＝12.答案：12[谨记通法]向量数量积的2种运算方法考点二 平面向量数量积的性质(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题． 常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直；(4)与最值、范围有关问题．[题点全练]角度一：平面向量的模1．已知e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12.若向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.解析：法一：∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°. 由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.法二：由题可得，不妨设e 1＝(1,0)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(x ，y )． ∵b ·e 1＝b ·e 2＝1，∴x ＝1，12x ＋32y ＝1，解得y ＝33.∴b ＝⎝⎛⎭⎫1，33，∴|b |＝ 1＋13＝233. 答案：233角度二：平面向量的夹角2．(2018·浙江十校联盟适考)若向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝1，且(a ＋8b )⊥a ，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由(a ＋8b )⊥a ，得|a |2＋8a ·b ＝0，因为|a |＝4，所以a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，所以向量a ，b 的夹角为2π3. 3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25， 所以c ·a ＝5m ＋8，c ·b ＝8m ＋20. 因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 所以c ·a |c |·|a |＝c ·b|c |·|b |， 即5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：2角度三：平面向量的垂直4．(2019·南宁模拟)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案：7125．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2， 即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β。
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量的概念及线性运算
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .概念方法微思考1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？提示不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa .2．如何理解数乘向量？提示λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(√)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．(√)(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(×)(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(√)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示)答案b －a－a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________．答案矩形解析如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．题组三易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.答案12解析∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案12解析DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC→＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案③解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故填③.2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案A解析只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则()A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |答案A 解析方法一∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b .∴a·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.命题点2向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →等于()A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD.13a －23b 答案C解析BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)－12a ＝－13a ＋23b ，故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于()A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →答案A解析作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB→＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →.故选A.命题点3根据向量线性运算求参数例3在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则xy ＝________.答案3解析由题意得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)，即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故x y＝3.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →等于()A.13a ＋512bB.13a －1312b C ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b答案C解析DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA→＝13(AC →－AB →)－34AC →＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C.(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________.答案2解析由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →→，＋y2＝1，y ＝0，＝43，＝－23，所以x －y ＝2.题型三共线定理的应用例4设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.引申探究1．若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？解BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，即BD →＝4a ＋(m －3)b .若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →.即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．＝λ，－3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？解因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．＝λ，＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1.故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，－λ＝0，＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则()A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线答案B解析∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →，∴BD →与AB →共线，由于BD →与AB →有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么EF →等于()A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →答案D解析在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D.4．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于()A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案D 解析∵GA →＋GB →＋GC →＝0，∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝16BC →＝16(OC →－OB →)，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1，故选D.5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD→等于()A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b 答案D 解析连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.6.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为()A.911B.511C.311D.211答案B解析注意到N ，P ，B 三点共线，因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.7．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________.答案23解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．答案直角三角形解析因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA→＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，△ABC 为直角三角形．9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案34解析由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.10．(2019·钦州质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝kλ，3＝6k ，解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解方法一由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k－12a＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，①又BO →＝BD →＋DO →＝－12a －12k 1a ＋k 1＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a2－k＝0.又a ，b 不共线，1＋k 1－2k 2)＝0，2－k 1＝0，1＝13，2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b .所以AO →＝AB →＋BO →＝a －23a ＋13b ＝13(a ＋b )．方法二延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点，所以AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )．13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.58B.14C ．1 D.516答案A 解析DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是()A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案B 解析设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝OA →＋12OB →＋12OC P 一定为△ABC 的()A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．BC 边的中点答案B 解析设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →，即3OP →＝OM →＋2OA →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案②③解析①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版
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2
-1 =-6.
(3)设 a,b 的夹角为 θ.∵|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),
2
∴a·
(a-b)=a2-a·
b=1-1× 2×cos θ=0,∴cos θ= ,
2
2
∴向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos θ= .
2
-24考点1
考点2
考点3
考点 2
但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立,
原因是a·b=|a||b|cos θ,当cos θ=0时,b与c不一定相等.
4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于
a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一
当 α=2kπ,k∈Z 时,2cos α+4 取得最大值,最大值为 6.
故 ·的最大值为 6.
(方法 2)设 P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),
=(x+2,y), ·=2x+4,故 ·的最大值为 6.
-20考点1
考点2
考点3
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(2)已知点 P 在圆 x2+y2=1 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则 ·
6
的最大值为
.
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
如图所示,选取, 为基底,则 = + + = +
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1
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第4讲 平面向量及其应用
(6)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则a和b 的数量积a· b＝|a|· cosθ. |b|·
(7)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： ①a±b＝(x1±x2，y1±y2)； ②λa＝(λx1，λy1)； ③a²b＝x1x2＋y1y2； ④|a|＝ x12＋y12； ⑤a⊥b⇔a²b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0； ⑥a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
→ → → → 【解析】(1)∵AB·AC＝3BA·BC， ∴AB·AC·cosA＝3BA· cosB， BC· 即 AC· cosA＝3BC· cosB. AC BC 由正弦定理，得 ＝ ， sinB sinA ∴sinBcosA＝3sinAcosB. 又∵0<A＋B<π，∴cosA>0，cosB>0， sinB sinA ∴ ＝3· 即 tanB＝3tanA. cosB cosA
m n ∴ ＋ ＝1 2 2 即 m＋n＝2. （m＋n）2 ∴mn≤ ＝1. 4 当 m＝n＝1 时取等号 故 mn 的最大值为 1.
【点评】在处理三点共线有关问题中常用结论：若A、 B、C三点共线，＝λ＋μ(其中O为平面内一点)，则λ ＋μ＝1.反之也成立．
3．平面向量的数量积 例3(1)已知非零向量 a、b 满足|a＋b|＝|a－b| π 2 3 ＝ |a|，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角为 3 ． 3
2．平面向量的易错点 (1) 向 量 的 数 量 积 运 算 不 满 足 结 合 律 ： a·(b·c) ＝ (a·b)·c不正确． (2) 非 零 向 量 的 平 行 性 才 具 有 传 递 性 ： a∥b ， b∥c⇒a∥c不正确． (3)向量不满足消去律：a·b＝a·c⇒b＝c不正确． (4)平面向量的基本定理的前提是e1，e2不共线．
数学八年级第五章——第五章 平面向量教材分析
第五章平面向量教材分析这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等本章教学时间约25课时，具体安排如下：5.1向量约1课时5.2向量的加法与减法约2课时5.3实数与向量的积约2课时5.4平面向量的坐标运算约2课时5.5线段的定比分点约l课时5.6平面向量的数量积及运算律约2课时5.7平面向量数量积的坐标表示约1课时5.8平移约1课时5.9正弦定理、余弦定理约4课时5.10解斜三角形应用举例约2课时5.11实习作业约2课时5.12研究性课题向量在物理中的应用约3课时小结与复习约2课时(一)本章内容向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法本章共分两大节减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等第二大节是“解斜三角形”这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例，实习作业和研究性课题等正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题为培养学生的创新意识和实践能力，激发学生学习数学的好奇心，启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造性地解决问题，本节中安排了一个实习作业和研究性课题教学中要加以实施为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等(二)本章教学要求1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2.掌握向量的加法与减法3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力通过实习作业和研究性课题，培养学生从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索的能力本章一开始，从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的加法与减法统一了起来教科书又通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，接着给出了实数与向量的积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平行向量基本定理，这样为后面介绍平面向量的坐标表示奠定了理论基础在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量在“向量的线性运算”中，介绍向量加法的定义，向量加法的运算律；向量减法的定义，向量方程，向量长度的三角不等式；数乘向量的定义，单位向量，数乘向量的运算律在“向量的共线与共面”中，介绍平行向量，共线向量，共面向量，两个向量共线的充要条件，直线的向量方程，三个向量共面的充要条件在“向量的内积”中，介绍两个向量的夹角，向量内积的定义，向量内积的几何意义，向量内积的运算律，向量内积的性质通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公式向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题平面向量数量积的概念，教科书是从学生熟知的功的概念引入的，在介绍了平面向量数量积的定义及几何意义之后，又介绍了平面向量数量积的5个重要性质、运算律及其坐标表示特别通过两个向量数量积的坐标表示，很容易推导出平面内两点间的距离公式本大节的最后，介绍了平移(这里讲的平移是指图象的平移)接着推导出了平移公式，并举例说明了平移公式的应用对这一章中概念的处理，是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的概念采用不同的处理方式一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等这一章中的一些例题，不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法解题后，有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题关于向量运算，是借助于几何直观，并通过与数的对比引入，这样便于学生接受例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果a+x=b，则 x叫做向量b与a的差这样，作b-a时，可先在平面内取一点O，再作，则就是b-a第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a、b，定义b-a=b+(-a)在这种定义下，作b-a时，可先在平面内任取一点O，作则由向量加法的平行四边形法则知，由于b+(-a)=b-a，即就是b-a实验表明，对中学生来讲，用这一种定义方法，学生不易理解向量减法的定义，但很容易作b-a而用第二种定义方法，学生根容易接受b-a=b+(-a)，但作b-a较繁为便于学生接受，在定义向量的减法时，先给出相反的向量(对比初中代数中的相反数)，再把b-a定义为b+(-a)，并告诉学生，作b-a时，只要按教科书图作出即可(三)注意培养学生的思维能力注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力对于解斜三角形，教科书是这样引入的：“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角那么，如何来解斜三角形呢?也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢?”通过设问，引起学生思考(四)注意数学思想方法的渗透在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法海中航行时的位移，渗透数学建模的思想通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想(五)突出知识的应用(1)加强向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等(2)加强向量在物理中的应用为培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，在这一章的最后，安排了一个研究性课题，即向量在物理中的应用知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象(3)注意联系实际在这一章中，把联系实际分成三个层次：第一层次，在知识的引入上联系实际例如，向量的概念从帆船航行的位移引入，平面向量的数量积从力作的功引入第二层次，引导学生用数学知识解决实际生活和生产中的问题例如，在向量的加法之后，安排了求小船实际航行的速度的例题在解斜三角形之后，专门安排了“解斜三角形应用举例”一节等第三层次，安排实习作业安排实习作业的目的是进一步巩固学生所学知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识。
第4讲 平面向量及其应用
2．向量的应用 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)证明平行问题 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2＝x2y1(b≠0)． (2)证明垂直问题 a⊥b，则a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题 a·b x1x2＋y1y2 cos θ ＝ ＝ 2 2 2 2. |a|·|b| x1 ＋y1 · x2 ＋y2 (4)求长度问题 |a|＝ a2＝ x12＋y12， → |＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. |AB
→ ＋ OB → ＋ OD → |的几何意义是点P(1，－ 3 ) ∴ | OA → |＝ 与圆(x－3)2＋y2＝1上点之间的距离．由| PC 7
→ ＋ OB → ＋ OD → |的最大值是1＋ 7 ，最小值是 7 知，| OA －1.故选D. 【命题立意】本题主要考查向量的坐标运算及求 模．
→ ＝(1，－3)，| OA → |＝ 考题2 (2014湖北)若向量 OA → |，OA → ·OB → ＝0，则|AB → |＝________． |OB
a·b －6 1 所以 a· b＝－6，从而 cos θ＝ ＝ ＝－ ， |a||b| 4×3 2 故 θ＝120°，选 C.
【点评】求角度和模长的问题，灵活运用数量积 公式．Байду номын сангаас
3．向量的线性运算 → 、 OB → 满足| OA → |＝| OB → |＝ OA → · OB →＝ 例3 已知向量 OA → ＝xOA → ＋yOB → ，且|x|＋|y|≤1，P点轨 4，动点P满足OP 迹构成的区域D的面积为________．
【解析】选 D 取 BC 的中点 D，连接 AD，OD， 因为 O 为三角形 ABC 外接圆的圆心， 1 → → → → ·BC → ＝0. 则AD＝ (AB＋AC)，OD 2 → ·BC → ＝(AD → ＋DO → )· → ＝AD → ·BC → 所以AO BC 1 → → → → 1 →2 →2 ＝ (AB＋AC)· (AC－AB)＝ (|AC| －|AB| )＝8. 2 2
【精选】文科数学(2020版)备考指南第5章 第4讲
第五章 平面向量
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【解析】(1)设 P(x，y)，则 Q(8，y)． 由P→C＋12P→Q·P→C－12P→Q＝0， 得|P→C|2－14|P→Q|2＝0， 即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化简得1x62 ＋1y22 ＝1， 所以点 P 的轨迹方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
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【解析】已知点 A(8,0)，B(0,6)，点 P 是圆 C：x2＋y2＝4 上的一个动点，设 P(2cos θ，2sin θ)，则P→A＝(8－2cos θ，－2sin θ)，P→B＝(－2cos θ，6－2sin θ)，则P→A·P→B＝4cos2θ －16cos θ＋4sin2θ－12sin θ＝4－20cos(θ－α)，其中 tan α＝34，4－20cos(θ－α)≤24， 则P→A·P→B的最大值为 24.故选 C．
所以B→D·B→C＝12(B→A＋B→C)·B→C＝12B→A·B→C＋12B→C2＝12B→A·B→C＋2
＝3，所以B→A·B→C＝2|B→A|cos B＝2.
所以|BA|cos B＝1，即B→A在B→C方向上的投影为 1.过 A 做 AE⊥BC 于 E，则 BE＝1，
即 E 为 BC 的中点，所以△ABC 是等腰三角形．又∠BAC＝60°，所以△ABC 为等边
第五章 平面向量
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【跟踪训练】
1．(2018 年唐山二模)已知点 A(8,0)，B(0,6)，点 P 是圆 C：x2＋y2＝4 上的一个动
点，则P→A·P→B的最大值为( )
Aห้องสมุดไป่ตู้16
B．20
C．24
D．28
人教高中数学必修二A版《平面向量的应用》平面向量及其应用教学说课复习课件(平面几何中的向量方法)
必修第二册·人教数学A版
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探究二 平面向量在几何求值中的应用
[例 2] (1)已知边长为 2 的正六边形 ABCDEF，连接 BE，CE，
点 G 是线段 BE 上靠近 B 的四等分点，连接 GF，则G→F·C→E( )
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的合力的大小为( )
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A．5 课件
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个 人 简 历 ： 课件 /jianli/
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手 抄 报 ： 课 件/shouchaobao/ 课 件
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N
B．5 2 N
C．5 3 N
D．5 6 N
解析：两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝ F21＋F22＋2F1·F2＝5 6(N)． 答案：D
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①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、
平行、夹角等问题转化为代数运算．
高中数学平面向量教案(精选6篇)
高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。
会用基底表示平面内任一向量。
2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。
学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。
活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。
因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。
向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。
活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。
2018版数学(理)大复习讲义第五章平面向量5
1。
平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2。
平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2,y2)，则a＋b＝（x1＋x2,y1＋y2)，a－b＝（x1－x2，y1－y2）,λa＝（λx1，λy1），|a｜＝错误!.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A（x1，y1)，B（x2，y2），则错误!＝（x2－x1,y2－y1),|错误!|＝错误!。
3.平面向量共线的坐标表示设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）(a≠0），如果a∥b,那么x1y2－x2y1＝0；反过来,如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b。
【知识拓展】1.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0。
2.设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），如果x2≠0,y2≠0，则a∥b⇔错误!＝错误!.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（×）（2）若a，b不共线,且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2。
（√) (3）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.（√）(4)若a＝(x1，y1）,b＝（x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!.（×）（5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标。
(√)1。
(教材改编）如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______.(填序号)①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0;②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对;③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量。
第五章 平面向量
第一节平面向量的概念与线性运算一、知识梳理1.向量的有关概念(1).向量:既有 ,又有的量叫向量;通常记为 ;长度为的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量加法与减法(1).向量加法按法则或法则;向量加运算律:交换律: ;结合律:(2).向量减法作法:3.实数与向量的积(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下：长度：方向：(2)．运算律4.共线定理:5.平面向量基本定理:6.基底:二、考点分析考点一：平面向量的基本概念例1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c；其中正确的序号是。
例2：设0为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·0;(2) 若与a0平行，则=||·0；（3）若与0平行且||=1，则=0。
上述命题中，假命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点二：平面向量的线性运算例2：如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向考点三：平面向量共线定理例3：如图所示,△ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 在AC 边上,且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,求AP ：PM 的值.三、课堂检测1.(2010•四川)设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,2BC =16,||||,AB AC AB AC +=-则|AM |=( )A.8B.4C.2D.12.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且2,,CD DB CD r AB sAC ==+则r+s 的值是( )24..33A B C.-3 D.0 3.平面向量a,b 共线的充要条件是( )A.a,b 方向相同B.a,b 两向量中至少有一个为0C.存在λ∈R,使b=λ aD.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=04.已知O ､A ､B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足20,AC CB +=则OC 等于( )2112.2.2..3333A OA OB B OA OBC OA OBD OA OB --+--+5.设D ､E ､F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且2,2,2,DC BD CE EA AF FB ===则AD BE CF ++与()BCA.反向平行B.同向平行C.不平行D.无法判断6.已知a,b 是不共线的向量,AB =λa+b,AC =a+μb,(λ,μ∈R),那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为()A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=1 7、关于非零向量，有下列四个命题 ① “||+||=||”的充要条件是“方向相同”； ② “||+||=||”的充要条件是“方向相反”； ③ “||+||=||”的充要条件是“有相等的模”；④“||-||=||”的充要条件是“方向相同”；其中真命题的个数是（A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个8.若点O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-,则△ABC 的形状为________.9.在平行四边形ABCD 中,E ､F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC =λAE +u ,AF 其中λ,u∈R,则λ+u=________.10.如图,平面内有三个向量OA ､OB ､,OC 其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R),则λ+μ的值为_______11.如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若,,AB mAM AC nAN ==则m+n 的值为________.第二节 平面向量的基本定理及坐标表示一、知识梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． 2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝ ， λa ＝ ，|a |＝ (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝ ， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔ . 基础检测1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 3．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．04．已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5C.⎝⎛⎭⎫12，－5D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________.6．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．二、考点分析考点一 平面向量基本定理及其应用例1.1.如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB ＝a ，AC ＝b ，则AO ＝( )A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b2．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝________.3.如图，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，4．如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.✧ 方法总结1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．考点二 平面向量的坐标运算例2.1．若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A.12a ＋b B ．－12a －b C.32a ＋12b D.32a －12b 2．(2018·江西九校联考)已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．✧ 方法总结平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示例3.已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．变式3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2三、课堂检测1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( )A ．(－3,4)B ．(3,4)C ．(3，－4)D ．(－3，－4)2．若向量AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BC ―→＝( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(3,7)D ．(－3，－7)3．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(c os A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π36．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13b C.13a －13b D ．－13a －13b 7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________． 8．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 10．已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．5．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC ―→＝λOA ―→＋OB ―→，则实数λ的值为________．3.(1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( ) 2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |的值为( ) A ．12 B ．6 C ．3 3D ．33．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A ．2 B ．－1 C ．－6D ．－184．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |＞|b |5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 6．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．二、考点分析考点一 平面向量的数量积的运算1．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 C.32 D.522．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 3．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.✧ 方法总结向量数量积的2种运算方法4．(2018·云南第一次统一检测)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．125．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则λμ的值为________．6．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________． ✧ 方法总结计算有关平面几何中数量积的方法(1)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(2)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算法则求得．考点二 平面向量数量积的性质角度(一) 平面向量的模1．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________ 2.如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB ―→与AC ―→的夹角为60°，则|OA ―→|＝________.✧ 方法总结 求向量模的常用方法(2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．角度(二) 平面向量的夹角3．(2018·成都二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6B.5π6C.π4D.3π44．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 ✧ 方法总结求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. [注意] 〈a ，b 〉∈[0，π]．角度(三) 平面向量的垂直5．(2018·湘中名校联考)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．✧方法总结1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．变式2.1．(2018·广东五校协作体诊断)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－22．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．3．已知AB ―→·BC ―→＝0，|AB ―→|＝1，|BC ―→|＝2，AD ―→·DC ―→＝0，则|BD ―→|的最大值为________．考点三 平面向量与三角函数的综合例3.(2017·江苏高考)已知向量a ＝(c os x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．✧ 方法总结平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．变式3.已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R. (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．三、课堂检测1．(2018·洛阳第一次统一考试)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．32．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且a ·(a －b )＝2，|a |＝2，则|b |等于( )A. 2 B ．2 3 C ．4 D ．23．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(x,4)，若(a －b )⊥c ，则c ·(a ＋b )＝( ) A ．(2,12) B ．(－2,12) C ．14 D ．104．(2018·湘中名校联考)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30 D.345．若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝( )A ．－12 B.32－1 C.12 D.326．(2018·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.3227．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．8．(2018·张掖一诊)已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，则|a ＋b |＝________. 9．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则向量m ，n 的夹角的余弦值为________．10.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.11．(2018·惠州三调)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形仁荣中学2019届高三文科数学一轮复习导学案------专题五 平面向量11C ．正三角形D ．等腰直角三角形12．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－113．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→·OB ―→，I 2＝OB ―→·OC ―→，I 3＝OC ―→·OD ―→，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 314．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 方向上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为________．15．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA ―→＝a －b ，OB ―→＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．16．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．17．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长． (2)设实数t 满足(AB ―→－t OC ―→)·OC ―→＝0，求t 的值．。
第五章 平面向量5-3平面向量的数量积及向量的应用
答案：B
(2010· 辽宁锦州)已知直线 ax＋by＋c＝0 与圆 O：x2＋y2 → OB → ＝1 相交于 A、B 两点，且|AB|＝ 3，则OA· ＝( 1 A. 2 1 C. 4 1 B．－ 2 1 D．－ 4 )
解析：设 AB 中点为 P， 3 ∵|AB|＝ 3，∴|AP|＝ 2 ， π 又|OA|＝1，∴∠AOP＝3， 2π ∴∠AOB＝ ， 3 → · ＝|OA|·→ |· 2π＝－1. → ∴OA OB → |OB cos 3 2
(文)已知向量 a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量 a＋λb 与向量－b 互相垂直，则实数 λ 的值为( )
23 3 2 A. 2 B.23 C．2 D．－5 解析：a＋λb＝(3,4)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，4－λ)，－b＝
(－2,1)， ∵(a＋λb)⊥(－b)，∴－2(3＋2λ)＋4－λ＝0， 2 ∴λ＝－5，故选 D.
2．用向量法处理垂直 → CD → 要证两线段 AB⊥CD，只需证AB· ＝0. 3．用向量法处理平行 → 要证两线段 AB∥CD， 只需证存在实数 λ≠0， 使等式AB → ＝λCD成立． 4．用向量法处理距离 → → → 要证线段 AB＝CD，可转化为证明AB2＝CD2 或|AB|＝ → |CD|.
[例 1]
已知向量 a＝( 3，1)，b 是不平行于 x 轴的单 ) 3 2
位向量，且 a· b＝ 3，则 b 等于(
A.
3 1 ，2 2
1 B. ， 2
1 3 3 C. ， 4 4
D．(1,0)
分析：设出 b 的坐标，由 a· b＝ 3及|b|＝1 列方程可 解．
2．向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a 与b的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|·cos〈a，e〉． (2)a⊥b⇔a·b＝ 0 . |a||b| (3)当a与b同向时，a·b＝ ； －|a||b| 当a与b反向时，a·b＝ ；
第4讲 平面向量
第4讲 平面向量感悟高考 明确考向（2010·天津）如图,在△ABC 中,AD ⊥AB,BC ==⋅=AD AC AD 则,1||___________主干知识梳理 1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a |a|. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k)是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律． (2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b 的运算结果不仅与a ，b 的长度有关，而且也与a ，b 的夹角有关，即a·b＝|a||b|·cos〈a ，b 〉．3．两非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a∥b ⇔a ＝λ b ⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b ⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.热点分类突破题型一 平面向量的数量积及应用例1 已知|a |＝4，| b |＝3，(2 a －3 b )·(2 a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角；(2)求| a＋b |；bAC aAB ==,)3(若求△ABC 的面积.变式训练1 在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且BC⋅AB⋅=BAAC(1)判断△ABC的形状；.ACAB=⋅若c,2)2(的值求边题型二有关向量的平行、垂直问题例2向量a＝(sin x，cos x)，b＝(3cos x，cos x)且b≠0，定义函数f(x)＝2a·b－1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若a∥b，求tan x的值；(3)若a⊥b，求x的最小正值．变式训练2 设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长为a、b、1，已知向量u＝a(cos B，sin B)，v＝b(cos A，－sin A)．(1)如果u⊥v，指出△ABC的形状，并说明理由；(2)求|u＋v|.题型三向量与三角函数的综合应用例3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．变式训练3 (2009·江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.规律方法总结12.利用数量积研究夹角问题设〈a，b〉＝θ，则cos θ＝|a||b|，3.知能提升演练一、选择题1．已知向量a＝(1,3)，b＝(3，n)，若2a－b与b共线，则实数n的值是 ( )A．3＋2 3 B．9 C．6 D．3－2 32．（2010·全国）a，b为平面向量，已知a＝(4,3),2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于 ( )A.865B．－865C.1665D．－16653．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3 b等于 ( ) A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10)4．(2010·安徽)设向量a＝(1,0)，b＝(12，12)，则下列结论中正确的是 ( )A．|a|＝| b | B．a·b＝2 2C．a－b与b垂直D．a∥b5．已知向量a＝(sin(α＋π6),1)，b＝(4,4cos α－3)，若a⊥b，则sin(α＋4π3)等于A．－34B．－14C.34D.14二、填空题6．A是△ABC的一个内角，且向量m＝(3，cos A＋1)，n＝(sin A，－1)，m⊥n，则角A 的大小为________．7．（2010·浙江）已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．8．关于平面向量a，b，c有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为______．三、解答题9．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π.(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与ka－b(k≠0)的长度相等，求β－α.10．已知向量m＝(3sin x4，1)，n＝(cosx4，cos2x4)．(1)若m·n＝1，求cos(2π3－x)的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cos B＝b cos C，求函数f(A)的取值范围．。
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则 sin∠BOA＝ 1 ∴S△OAB＝2|a||b|
A．等边三角形 C．等腰非等边三角形 解析
1 ＝2 |a|2|b|2－a· b2. 答案 C 平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a|可以求线段的 a· b 长度，利用 cos θ＝|a||b|(θ 为 a 与 b 的夹角)可以求角，利用 a· b＝0 可以证明垂直，利用 a
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1．(人教 A 版教材习题改编)某人先位移向量 a：“向东走 3 km”，接着再位移向量 b： “向北走 3 km”，则 a＋b 表示( A．向东南走 3 2 km C．向东南走 3 3 km 解析 )．
B．向东北走 3 2 km D．向东北走 3 3 km
→ ＝a＝ 要求 a＋b，可利用向量和的三角形法则来求解，如图所示，适当选取比例尺作OA → ＝b＝“向北走 3 km”，则OB → ＝OA → ＋AB → ＝a＋b. “向东走 3 km”，AB → |＝ 32＋32＝3 2(km)， |OB → 与OB → 的夹角是 45° 又OA ，所以 a＋b 表示向东北走 3 2 km. 答案 B
第4讲
【2013 年高考会这样考】
平面向量的应用
一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运 算． 两条主线 (1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物， 在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维 的结合． (2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题． 双基自测
→· → 【训练 3】 已知点 P(0，－3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上，点 M 满足PA AM → ＝－3MQ → ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程． ＝0，AM 2 解 → ＝(a,3)，AM → ＝(x－ 设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，设 A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，则PA
2
1 于是 4sin θ＝cos θ，故 tan θ＝4. (2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以 1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5. 从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， π 2 即 sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是 sin2θ＋4＝－ 2 . π π 9π 又由 0＜θ＜π 知，4＜2θ＋4＜ 4 ， π 5π π 7π π 3π 所以 2θ＋4＝ 4 或 2θ＋4＝ 4 .因此 θ＝2或 θ＝ 4 .
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→ 2＝(cos a－3)2＋sin2α＝10－6cos α， ∴AC → 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， BC → |＝|BC → |，可得AC → 2＝BC → 2，即 10－6cos α＝10－6sin α，得 sin α＝cos α. 由|AC
考向三
平面向量与平面解析几何交汇
A. |a|2|b|2－a· b2 1 C.2 |a|2|b|2－a· b2
∵|2a－b|2＝4a2－4a· b＋b2＝8－4|a||b|cos θ＝8－8cos θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]， ∴8－8cos θ∈[0,16]，即|2a－b| ∈[0,16]， ∴|2a－b|∈[0,4]． 答案 A
2
1 [审题视点] 由数量积公式求出 OA 与 OB 夹角的余弦， 进而得正弦， 再由公式 S＝2absin θ， 求面积． 解析 a· b ∵cos∠BOA＝|a||b|， a· b2 1－|a|2|b|2， a· b2 1－|a|2|b|2
→ → → AC → 1 AB AC AB → → → ＋ 4．在△ABC 中，已知向量AB与AC满足 · BC＝0 且 · ＝2，则 → → → | |AC →| |AB |AB| |AC| △ABC 为( )． B．直角三角形 D．三边均不相等的三角形
【例 3】►(2012· 兰州模拟)已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l：x＝8，P 为该平面上一动点， → ＋1PQ → )· → －1PQ → 作 PQ⊥l，垂足为 Q，且(PC ( PC 2 2 )＝0. (1)求动点 P 的轨迹方程； →· → 的最值． (2)若 EF 为圆 N：x ＋(y－1) ＝1 的任一条直径，求PE PF
2 2
→ ＝(－x，b－y)， a，y)，MQ →· → ＝0，得 a(x－a)＋3y＝0.① 由PA AM → ＝－3MQ →， 由AM 2 3 3 3 得(x－a，y)＝－2(－x，b－y)＝2x，2y－b， 3 x － a ＝ 2x， ∴ 3 3 y＝2y－2b， 整理得 y＝ x2(x≠0)． 1 4 x a ＝－ 2， ∴ y b＝3. x x x 把 a＝－2代入①，得－2x＋2＋3y＝0，
→ ＋DC → －2DA → )· → －AC → )＝0，则△ABC 的 2．平面上有四个互异点 A、B、C、D，已知(DB (AB 形状是( )．
A．直角三角形 C．等腰三角形 解析
B．等腰直角三角形 D．无法确定
答案
A
→· → ＝4， 5．(2012· 武汉联考)平面直角坐标系 xOy 中，若点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足OP OA 则点 P 的轨迹方程是______________________________________． 解析 →· → ＝4，得(x，y)· 由OP OA (1,2)＝4，
5π π 3π 又∵α∈2， 2 ，∴α＝ 4 . →· → ＝－1， (2)由AC BC 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， 2 ∴sin α＋cos α＝3.① 2sin2α＋sin 2α 2sin2α＋2sin αcos α 又 ＝ ＝2sin αcos α. sin α 1＋tan α 1＋cos α 4 由①式两边分别平方，得 1＋2sin αcos α＝9，
[审题视点] 第(1)问直接设动点 P 的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标， 化简整理即得轨迹方程；第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点 P 与 定点 N 的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解． 解 (1)设 P(x，y)，则 Q(8，y)．
→ ＋1PQ → )· → －1PQ → )＝0，得|PC|2－1|PQ|2＝0， 由(PC ( PC 2 2 4 1 x2 y2 即(x－2)2＋y2－4(x－8)2＝0，化简得16＋12＝1. 所以点 P 在椭圆上，其方程为 x2 y2 ＋ ＝1. 16 12
2
平面向量与三角函数的交汇
π 3π 【例 2】►已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈2， 2 . → |＝|BC → |，求角 α 的值； (1)若|AC →· → ＝－1，求2sin α＋sin 2α的值． (2)若AC BC 1＋tan α → 、BC → 的坐标，第(1)问利用两个向量的模相等建立角 α 的三角 [审题视点] 首先求出向量AC → 与BC → 数量积的坐标运算化简已知条件，得到角 α 的三 方程进行求解；第(2)问利用向量AC 角函数值，把所求式子化简，寻找两个式子之间的关系． 解 → ＝(cos α－3，sin α)，BC → ＝(cos α，sin α－3)， (1)∵AC
→ ＋DC → －2DA → )· → －AC → )＝0，得[(DB → －DA → )＋(DC → －DA → ]· → －AC → )＝0，所以 由(DB (AB (AB
→ ＋AC → )· → －AC → )＝0. (AB (AB → |2－|AC → |2＝0，∴|AB → |＝|AC → |， 所以|AB 故△ABC 是等腰三角形． 答案 C
A．以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 B．以 b，c 为邻边的平行四边形的面积 C．以 a，b 为两边的三角形的面积 D．以 b，c 为两边的三角形的面积 解析
∵|b· c|＝|b||c||cos θ|，如图， ∵a⊥c，∴|b||cos θ|就是以 a，b 为邻边的平行四边形的高 h，而|a|＝|c|，∴|b· c|＝|a|(|b||cos θ|)，∴|b· c|表示以 a，b 为邻边的平行四边形的面积．答案 考向二 A
5 2sin α＋sin 2α 5 ∴2sin αcos α＝－9.∴ ＝－9. 1＋tan α 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知 条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决． 【训练 2】 已知向量 a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)． (1)若 a∥b，求 tan θ 的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求 θ 的值． 解 (1)因为 a∥b，所以 2sin θ＝cos θ－2sin θ，
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→ → → AC → 1 AB AC AB → →， →〉 ＋ 由 · BC＝0 知△ABC 为等腰三角形， AB＝AC.由 · ＝2知， 〈AB AC → → → | |AC →| |AB |AB| |AC|
＝60° ，所以△ABC 为等边三角形，故选 A.
＝λb(b≠0)可以判定平行． 【训练 1】 设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b· c|的值一定等于( )．
→· → ＝(NE → －NP → )· → －NP → )＝(－NF → －NP → )· → －NP → )＝(－NP → )2－NF → 2＝NP → 2－1， (2)因PE PF (NF (NF x2 y2 x2 y2 4y2 0 0 0 2 P 是椭圆16＋12＝1 上的任一点， 设 P(x0， y0)， 则有16＋12＝1， 即 x0＝16－ 3 ， 又 N(0,1)， → 2＝x2＋(y －1)2＝－1y2－2y ＋17＝－1(y ＋3)2＋20. 所以NP 0 0 0 3 0 3 0 → 2 取得最大值 20，故PE →· → 的最大值为 19； 因 y0∈[－2 3，2 3]，所以当 y0＝－3 时，NP PF → 2 取得最小值(2 3－1)2＝13－4 3，(此时 x ＝0)，故PE →· → 的最小值为 当 y0＝2 3时，NP PF 0 12－4 3. 平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求 解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入 手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．