03-04-2工科数分03上 及答案

东 南 大 学 考 试 卷 A 卷 2004.1
课程名称 工科数学分析（上） 考试学期 03-04-2 得分 适用专业 数分班 考试形式 闭 考试时间长度 150分钟 共 4页
一．填空题（每小题3分，共18分）： 1．设)20()(x x x f y <
<=是由方程2
20
sin 0y
x
t e dt t dt +=⎰⎰确定的隐函数，
则()f x 的单调增加区间是 ，单调减少区间是 。

2. 2
2
6
(1)0
lim x t e dt x x -→⎰= 。

3. 在点 处沿任意方向的方向导数都为零。

4.
2
⎰
= 。

5. 已知当x →+∞时，()f x =-()k c
g x x
=
是等价无穷小，则c = ， k = 。

6．函数()f x 在区间I 上有上界的定义是 ,
()f x 在区间I 无上界的定义是 。

二．单项选择题（每小题4分，共16分）：
1. 设2
1
2,2(),2
x x f x ax b x ⎧≤=⎨+⎩ 在2x =处可导，则 [ ] (A) 2a b == (B) 2,2a b ==- (C) 2,2a b =-= (D) 2a b ==-
2．设()f x 在0x =处可导，且()sin 1
lim 2f x x
e x -→=，则'(0)
f = [ ] (A)
1
2
(B)2 (C) (D) -2
3．使得反常积分
arctan 0
()x
x dx β
β+∞
⎰
为常数收敛的充要条件是β满足 [ ]
(A) 12β≤≤ (B) 21≤<β (C) 21<<β (D) 21<≤β
4．若函数z f =（x ，y ）在点00（x ，y ）
处不连续，则必定有 [ ] (A) 00
(,)x x y y f x y →→lim 不存在 (B) 00(,)x f x y 不存在
(C) 00(,)y f x y 不存在 (D) f 在点00(,)x y 处不可微 三．计算下列各题（每小题6分，满分24分）： 1．
x 0
x → ;
2.
4
2
⎰
;
3．41sin dx x ππ-+⎰ ; 4. 3
sin 2cos sin cos x x x x e dx x
-⎰ ; 四．（强化班及与强化班同班上课的同学做同一题号带*号的题，其余同学做不带*号的题）（每一题7分，共14分）：
1．设(,)u f x y z xyz =++，其中f 存在二阶连续偏导数，求2u x z
∂∂∂ 。

2．设(,)z z x y =是由方程2
2
2
()
z y x y z yf ++=确定的隐函数，其中f 可微，求dz 。

2*. 求微分方程''
'2
2
'
()yy y y y -=的通解 。

五.（7分）计算由双纽线2
cos2ρθ=
所围成的图形在圆ρ=以外部分的面积。

六．（与强化班同班上课的同学不做此题，7分）：
已知(1,4),(3,0)A B 是椭圆2
2
218x y +=上给定的两点，在该椭圆上求一点
C ，使ABC ∆的面积为最大。

六*（强化班及与强化班同班上课的同学做此题，7分）： 设函数()f x 连续，且满足1
20
()()(1),(0)1x f x x f tx dt e x f =+-=⎰
，求函
数()f x 。

七．（8分）
试讨论arctan
(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)
x x y f x y x y ≠⎧⎪=⎨
=⎪⎩
在点(0,0)
处的连续性，可偏导性及可微性。

八．（6分）设()f x 在区间[,]a b 上存在连续导数，且()()0f a f b ==，证明对
任意的(,)x a b ∈，有'12
()()b
a
f x f t dt ≤⎰。

工科数分(上)期末考试参考答案 04.1
一. 填空题:
(1) (
ππ2,),),0(π; (2)
31; (3))4,3,3(-; (4)2
π; (5);2
3
,41-
(6)M ∃,对I x ∈∀,有;M x ≤I x M ∈∃∀0,,使得M x >0. 二. 选择题:
(1) B ; (2) A ; (3) C ; (4) D .
三．1. 12
1)
(21lim 11sin 1lim 2
22
020=+=----→→x x o x x x
e x x
x .
2. 设
tdt dx t x t x 2,1,12=+==-, 则
.
.2|tan 2cos 2
)sin 11sin 11(sin 1sin 1sin 1.34
04024004404
4
===-++=+++=+⎰⎰⎰⎰⎰--ππ
π
ππππx dx x
dx
x x x dx x dx x dx
4. ⎰⎰⎰⎰-=-x d e xde dx x
x e xdx xe x
x x x cos 1cos sin cos sin sin 2sin sin C e x
x dx e e x dx e xe x x x x x +-=+--=⎰⎰sin sin sin sin sin )cos 1
(cos 1
四.1. 21yzf f x u +=∂∂, 222212112)(yf zf xy yf z x f y
x u
++++=∂∂∂ . 2. ,2222
y
zdy
ydz f y fdy zdz ydy xdx -'
+=++
dy z
f f y
z f y dx z
f x
dz 2222-''+
-+
-'=
.
2*. 令p y =',dy dp p
y ='',则原方程化为 p y p dy
dp yp 22=-, 所以
=p 或
者
y y
p
dy dp =-,解得
C
y =或
x
C x C e
C e C C y y y C dx dy 112212
11,-=+=. 五. 6
23)212(cos 2,6,2cos 2
260π
θθπ
θθπ
-=-==
=
⎰d A .
六. 过点)0,3(),4,1(B A 的直线方程为62+-=x y ,,5
|
62|-+=
y x d
),(y x 满足18222=+y x ,令
()62(),,(2λλ+-+=y x y x L 18222-+y x ), 则由
,02)62(2,04)62(4=+-+==+-+=y y x L x y x L y x λλ018222=-+y x
解得6±==y x ,显然)6,6()6,6(d d >--,由于面积最大的三角形必存在,
故取).6,6(--C 六*. 令u tx =得
)1()()(2
1
20x e du u f x f x x -=-⎰, 等式两边求导并整理得：
x e x x f x f 2)21(2)(2)(-=-'，解得
))(2()(22x x C e x f x -+=，将2)0(=f 代入得2=C , 所以.)222()(22x e x x x f -+=
七. 由 ||2
|)0,0(),(|x f y x f π
≤
-, 可得
),(,0)0,0(),(lim 0
0y x f f y x f y x 所以==→→在)0,0(点连续.
,0)0,0(,2
||1
arctan
lim )0,0()0,(lim )0,0(00===-=→→y x x x f x x x x f x f f π
所以),(y x f 在)0,0(点存在偏导数. 因为 0)2
1(arctan
lim 2
2
=-
+→→π
y
x y x ,1||
2
2
≤+y
x x ,
.0)
21(a r c t a n l i m )0,0()0,0()0,0(),(l i m 2
2220
02200=+-+=+---→→→→y x y x x y x y f x f f y x f y x y x y x π
所以),(y x f 在)0,0(点可微. 八．对⎰⎰
'='=
∈∀x
b
x
a
dt t f dt t f x f b a x )()()(),,(，
所以 ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡'+'=
⎰⎰x b x a dt t f dt t f x f )()(21)( ， 所以 ⎰⎰⎰'=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡'+'≤b a b x x a dt t f dt t f dt t f x f |)(|21|)(||)(|21|)(|。