类比探究专题 全

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类比探究之图形变化
1. （2011福建南平）（1）操作发现：
如图1，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究：
如图2，将（1）中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
图1 图2
2.（2011北京）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线
DC于点F.
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG 的度数.
图1 图2 图3
3.（2011大连）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝1
2
∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB＝AC时（如图1），
①∠EBF＝_______°；
②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当AB＝kAC时（如图2），求B E
F D
的值（用含k的式子表示）．
图1 图2
4. (2009武汉)如图1，在中，，于点，点
是边上一点，连接交于，交边于点． （1）求证：； （2）当为边中点，
时，如图2，求
的值；
（3）当为边中点，时，请直接写出的值．
图1 图2
R t A B C △90B A C ∠=°AD BC ⊥D O A C B O A D F O E O B ⊥B C E A B F C O E △∽△O A C 2
A C A
B =O F O E O A
C A C n A B
=O F O E
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类比探究之图形运动
1.（2008河北）如图1，的边在直线上，，且；
的边也在直线上，边与边重合，且．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；
（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点，连接，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点，连接，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
图1 图2
A B C
△B C l A C B C
⊥A C B C
=
E F P
△F P l E F A C EF FP
=
A B A P
E F P
△l E P A C Q A P BQ BQ A P
E F P
△l E P A C
Q A P BQ BQ A P
4. （2009辽宁抚顺）已知：如图所示，直线M A N B M AB ∠∥，与N B A ∠的平分
线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线M A N B 、分别相交于点D E 、． （1）如图1所示，当直线l 与直线M A 垂直时，猜想线段A D B E A B 、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
（2）如图2所示，当直线l 与直线M A 不垂直且交点D E 、都在A B 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）当直线l 与直线M A 不垂直且交点D E 、在A B 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段A D B E A B 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．
图1 图2 备用图备用图
5. （2009河北）在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的
中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．
（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM =MH ，FM ⊥MH ；
（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH 是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE 缩短到图3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
图1
A H
C (M )
D E
B F
G (N )
G
图2
A
H
C D
B
F
N
M
A
H
C
D
图3 B
F
G M
N
5. （2011辽宁沈阳）已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点
D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF =60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时， ①求证：∠ADB =∠AFC ；
②请直接判断结论∠AFC =∠ACB ＋∠DAC 是否成立；
（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC =∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的等量关系． 图1 图2 图3
类比探究之阅读理解
1. （2009青海）请阅读，完成证明和填空．
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，正三角形ABC 中，在A B A C 、边上分别取点M N 、，使B M A N =，
连接B N C M 、，发现B N C M =，且60N O C ∠=°． 请证明：60N O C ∠=°．
（2）如图2，正方形A B C D 中，在A B B C 、边上分别取点M N 、，使A M B N =，
连接A N D M 、，那么A N =，且D O N ∠=度．
（3）如图3，正五边形A B C D E 中，在A B B C 、边上分别取点M N 、，使A M B N =，连接A N E M 、，那么A N =，且E O N ∠=度． （4）在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论． 请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ．
图1图2图3
6.（2009黑龙江齐齐哈尔）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别
是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论；
问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若
∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．
图1图2图3
7. （2009浙江嵊州）（1）阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC 中，若AB =5，AC =3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使得DE =AD ，再连接BE （或将△ACD 绕点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB 、AC 、2AD 集中在△ABE 中，利用三角形的三边关系可得2＜AE ＜8，则1＜AD ＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ． ①求证：BE +CF ＞EF ；
②若∠A =90°，探索线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系，并加以证明． （3）问题拓展：
如图，在四边形ABDC 中，∠B +∠C =180°，DB =DC ，∠BDC =120°，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE 、CF 、EF 之间的数量关系，并加以证明．
6.（2010江苏连云港）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，
我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．例如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A 能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
图1图2。