湖南省怀化市2015年高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2015年高三第二次模考 理科数学试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．设集合}30|{<≤=x x M ，}043|{2<--=x x x N ，则集合N M 等于 A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x ≤≤ C ．{|03}x x ≤< D ．{|03}x x ≤≤2．复数2（其中i 为虚数单位）的虚部等于 A ．i - B ． 1- C ．1 D ．0 3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为 A . 7 B. 6 C . 5 D.44．在ABC ∆中，“()sin()cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是“ABC ∆是直角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32， 则正视图中的x 的值是 A.2 B.92 C.32D.3 6．若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”. 已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是A ．2B ．4C ．6D ．87．定积分0⎰的值为A.4πB.2πC.πD.2π8．已知双曲线2221(0)9x y b b-=>，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点分别记作C 、D ,双曲线的右顶点为E , 150=∠CED ，其双曲线的离心率为 A．32CD9. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数， 则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),01,-∞+∞UD ．()3,+∞10．已知(1,0)A ，曲线:C e ax y =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅的最小值为2，则 a 的值为A.2-B.1-C.1D.2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分） 11.在极坐标系中，定点)2,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，则线段AB 长度的最小值为__________．12. 如图,PAB 、PCD 为圆O 的两条割线,若5PA =，7AB =，11CD =，2AC =，则BD = .13.若不等式2373x x a a ++-≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是 . （二）必做题（14~16题）14.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(105,10)N ，已 知(95105)0.34p X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在115分以上的有_______ 人.15. 已知点),(y x P 满足条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若3z x y =+的最大值为8，则k = .16.设()f x 是定义在R 上的增函数，对于任意的x 都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立，若实数,m n 满足22(623)(8)03f m m f n n m ⎧-++-<⎨>⎩，则22m n +的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)已知向量()sin ,cos x a x ωω→=，()cos x b x ωω→= ，其中0>ω，若函数()f x a b →→=⋅π. （Ⅰ）求函数()x f 的单调递增区间；（Ⅱ）如果ABC ∆的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，且满足bc a c b 3222+=+, 求()A f 的值.18．（本小题满分12分）从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；（Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望. 19．侧面11AA B B ⊥底面ABC ，侧棱1AA 与底面ABC 成60°2的正三角形，其重心为G 点， E 是线段1BC（Ⅰ（Ⅱ）求平面1B GE 与底面ABC 所成 锐二面角的正切值．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{b }n 是等比数列，113a b =，且对任意的+∈N n ，都有1112233(21)334n n n n a b a b a b a b +-+++++=…．（Ⅰ）求数列{}n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{b }n 的首项为3，公比为3，设11(1)2n a n n n c b λ+-=+-⋅，且对任意的+∈N n ，都有1n n c c +>成立，求实数λ的取值范围．21．(本小题满分13分)已知抛物线Γ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M 、N 两点，且|MN |=4． （Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 是抛物线Γ上的动点，点B 、C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．22．(本小题满分13分) 已知函数()ln f x x mx m =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的0a b <<，求证：()()1(1)f b f a b a a a -<-+．怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2015年高三二模 理科数学参考答案一、选择题二、填空题11、； 12、6； 13、[]2,5-；14、 8 ； 15、6-； 16、(13,49). 三、解答题17解：（Ⅰ）因为()()sin ,cos cos )o (s x x x f x a x b ωωωω→→==⋅⋅-2sin cos s o x x x ωωω=1sin 22x ω+= sin(32)x πω+= ……………………… 2分由()f x 的周期为π得 1ω=，即()sin 2)3(x f x π=+ ………… 4分由22(23)22x k k k Z πππππ+≤-≤+∈解得)(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ， 所以()f x 的单调增区间为)(]12,125[Z k k k ∈+-ππππ ………………… 6分 （Ⅱ）由已知bc a c b 3222+=+及余弦定理2222cos a b c bc A =+-可知cos A =………………… 8分 因为(0,)A π∈， 所以6A π=………………… 10分所以()()si 3n62f A f ππ===………………… 12分 18解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为310361CC -.65611=-= …………… 4分 （Ⅱ）同学甲被选中的概率为,10331029=C C 则同学甲被选中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21 ………… 8分（Ⅲ）根据题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，31)0(31034===C C P ξ，103)1(3102416===C C C P ξ， 21)2(3101426===C C C P ξ 61)3(31036===C C P ξ所以，ξ的分布列为：8.161321210313010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………… 12分 19解法1：（Ⅰ）延长B 1E于点F ，11B EC∆∽△FEB ，BE1， ∴BF 1C 1， 从而点F为BC ∵G 为△ABC 的重心， ∴A 、G 、F 三点共线． 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ， ∴GE //侧面AA 1B 1B （Ⅱ）在侧面AA 1B 1B 内，过B 1作B 1H ⊥AB ，垂足为H ，∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ， ∴B 1H ⊥底面ABC ． 又侧棱AA 1与底面ABC 成60°1=2，∴∠B 1BH =60°，BH =1，B 1H 在底面ABC 内，过H 作HT ⊥AF T ，连B 1T ，由三垂线定理有B 1T ⊥AF ，又平面B 1CE∴AH =AB +BH =3在Rt △B 1HT 从而平面B 1GE …………… 12分解法2：（Ⅰ）∵侧面111成60°的角，∴∠A 1AB =60°，又AA 1=AB =2，取AB 的中点O ，则AO ⊥底面ABC ．13BE BC =，∴E ⎝⎭∴310,1,CE AB ⎛⎫== ⎪． （Ⅱ）设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ，则由10,0.B E GE ⋅=⋅=得又底面ABC 设平面B 1GE 与底面ABC 由于θ为锐角，所以故平面B 1GE 与底面ABC 20解：（Ⅰ）因为 1112233(21)33a 4n n n n b a b a b a b +-+++++=…，当2n ≥时，11223311(23)33a 4n n n n b a b a b a b ---+++++=…，两式相减，得 3n n n a b n =⋅（2n ≥）， 又当1n =时，11a 3b =，适合上式，从而3n n n a b n =⋅（n N +∈） …………… 5分（Ⅱ）因为数列{b }n 的首项为3，公比为3，故3n n b =，n a n =，所以1111(1)23(1)2n a n n n n n n c b λλ+--+=+-⋅=+-⋅．因为对任意的n N +∈，都有1n n c c +>成立， 即12113(1)23(1)2n n n n n n λλ++-++-⋅>+-⋅恒成立，化简得 113(1)()32n nλ--<⋅ …………… 9分 当n 为奇数时，13()32n λ<⋅恒成立，所以113()32λ<⋅，即12λ<，当n 为偶数时，13()()32n λ>-⋅恒成立，所以213()()32λ>-⋅，即34λ>-，综合可得31(,)42λ∈- …………… 13分21解：（Ⅰ）已知(,0)2p F ，则过点F 且斜率为1的直线方程为2py x =-．联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 得： 22304p x px -+=， 设()1122(,),,M x y N x y ，则 123x x p +=， 所以 |MN |=124x x p p ++==4， 解得p=1．所以抛物线Γ的方程为22y x = ………………………… 5分 （Ⅱ）设000(,)(0),(0,),(0,)P x y x B b C c ≠，不妨设b>c ，直线PB 的方程为 00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=，又圆心（1,0）到直线PB 的距离为1， 故1=，即22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+， 不难发现02x >，上式又可化为2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=， 所以b ，c 可以看做关于t 的一元二次方程2000(2)20x t y t x -+-=的两个实数根，则00002,(2)(2)y x b c bc x x --+==--，所以 ()2222000204(2)()4(2)x y x b c b c bc x +--=+-=- 因为点00(,)P x y 是抛物线Γ上的点，所以2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，又02x >，所以0022x b c x -=-． 所以20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--， 当且仅当04x =时取等号，此时0y =±，所以PBC ∆面积的最小值为8 ………………………… 13分 22解：（Ⅰ）'11()((0,))mxf x m x x x-=-=∈+∞， 当0m ≤时，'()0f x >恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 此时函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m >时，由'11()0mx f x m x x -=-=>，得1(0,)x m ∈， 由'11()0mx f x m x x -=-=<，得1(,)x m∈+∞，此时()f x 的单调递增区间为1(0,)x m ∈，单调递减区间为1(,)m+∞ …………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当m ≤0时，f （x ）在(0,)+∞上递增，f （1）=0，显然不成立；当m ＞0时，max 11()()ln 1ln 1f x f m m m m m==-+=-- 只需ln 10m m --≤即可， 令()ln 1g x x x =--， 则'11()1x g x x x-=-=，(0,)x ∈+∞ 得函数()g x 在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴min ()(1)0g x g ==()0g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，也就是ln 10m m --≥对(0,)m ∈+∞恒成立，∴ln 10m m --=，解1m =，∴若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则1m = …………… 8分（Ⅲ）证明：ln()()ln ln ln ln 1111bf b f a b a a b b a a b b a b a b a a a--+--==-=⋅-----，由（Ⅱ）得()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时去等号，又由0a b <<得1ba>， 所以有 0ln 1b b a a <<-， 即ln11ba b a<-． 则2ln1111111(1)(1)1b a a a b a a a a a a a a--⋅-<-==<++-， 则原不等式()()1(1)f b f a b a a a -<-+成立 …………… 13分。