构成空间几何体的基本元素.

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简单多面体——棱柱、棱锥和棱台高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

底面(底)如图，多边形 ABCDEF 称为棱锥的底面．侧面：其余各面称为棱锥的侧面．顶点：各个侧面的__公__共__点__．高：顶点到底面的距离．四面体：三棱锥也叫做四面体．斜高：正棱锥各侧面都是
__全__等____的等腰三角形，这些
等腰三角形底边上的高都相
等．
棱台
用一个_平_行__于__棱__锥__底__面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台．正棱台：由正棱锥截得的棱台.
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ C．①②④
B．①③④ D．①②
解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选 C.
答案：C
3．下列图形中，是棱台的是( )
解析：由棱台的定义知，A、D 的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B 中两个面不平行，不是棱台，只有 C 符合棱台的定义，故选 C.
2．棱柱、棱锥和棱台
几何体
定义
棱柱
有两个面相互_平__行__ 其余各面都是 _平_行__四__边__形，由这些面围成的几何体称为棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．平行六面体：底面是平行四边形的棱柱.
图形及表示
相关概念底面(底)：两个互相__平_行_____ 的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的_公__共__边___；顶点：侧面与底面的公__共__顶__点_；对角线：既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线；
高：过上底面上一点 O1 作下
底面的垂线，这点和垂足 O
间的距离__O__O_1___．
棱锥
有一个面是多__边__形___，其余各面都是有一个公共顶点的 __三__角__形__，由这些面所围成的几何体叫作棱锥．正棱锥：底面是 _正_多__边__形__，且它的顶点过底面___中__心___且与底面垂直的直线上.

构成空间几何体的基本元素优质课课件[1].ppt9.13

平行面面相交
例1.
• • • • • • • • 判断（1）平行四边形是平面；（2）任何一个平面图形都可以用来表示平面；（3）空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线；（4）同时垂直于同一条直线两条直线一定平行；（5）到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆；（6）过平面外一点只能作一条直线与已知直线垂直；（7）用六根火柴棒，以每根火柴棒为一边，最多可以搭出四个正三角形； • （8）过空间任意点可以引出三条射线使它们两两垂直； • （9）人们无法搭出一个对角线不相交的四边形。
（D）平面多边形和圆、椭圆都可以表示
一个平面
例3．在空间中，下列说法正确的是（ B ）
（A）一个点运动形成直线（B）直线平行移动形成平面或曲面（C）直线绕定点运动形成锥面（D）矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
例4．下列关于长方体的说法中，正确的是 (2)、(3) 。（1）长方体是由六个平面围成的几何体；（2）长方体可以看作一个水平放置的矩形ABCD上各点沿铅垂方向向上移动相同的距离到矩形A1B1C1D1所形成的几何体；（3）长方体一个面上任一点到对面的距离相等。
1 1 1
D1
三、从运动观点认识点、线、面
（1）点动成线：把线看成是点运动的轨迹! 如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹是一条直线或线段，如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段。
（2）线动成面：直线平行移动，可以形成平面或曲面；直线绕定点转动，可以形成锥面。可以形成一个几何体。
（3）面动成体：面运动的轨迹（经过的空间部分）
举出点动成线、线动成面、面动成体的实例.
四、点、线、面的位置
问题1：直线与直线的位置关系为

高中数学必修二-第一章立体几何初步知识点整理

底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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必修二
正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。（4）棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点；当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段叫做棱台的高。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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必修二
②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。

专题37 空间几何体(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)

专题37 空间几何体（知识梳理）一、空间几何体1、空间几何体的基本定义如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。

围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。

几何体不是实实在在的物体。

平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。

例1-1．下列是几何体的是( )。

A 、方砖B 、足球C 、圆锥D 、魔方【答案】C【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。

例1-2．判断下列说法是否正确：(1)平静的湖面是一个平面。

(×)(2)一个平面长3cm ，宽4cm 。

(×)(3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。

(×)(4)书桌面是平面。

(×)(5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。

(√)【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。

(6)平行四边形是一个平面。

(×)(7)长方体是由六个平面围成的几何体。

(×)(8)任何一个平面图形都是一个平面。

(×)(9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。

(√)(10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。

(×)(11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。

(√) 例1-3．下列说法正确的是。

①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。

【答案】②③【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；②正确；③正确。

[多选]例1-4．下列说法正确的是( )。

A 、任何一个几何体都必须有顶点、棱和面B 、一个几何体可以没有顶点C 、一个几何体可以没有棱D 、一个几何体可以没有面【答案】BC【解析】球只有一个曲面围成，故A 错、B 对、C 对，由于几何体是空间图形，故一定有面，D 错，故选BC 。

2023年新高考数学大一轮复习专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(原卷版)

专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四：组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五：表面积与体积计算公式表面积公式体积公式1．斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系．（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．注：4． 2．平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．【题型归纳目录】题型一：空间几何体的结构特征题型二：空间几何体的表面积与体积题型三：直观图题型四：最短路径问题【典例例题】题型一：空间几何体的结构特征例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（） A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B ．平行六面体的每个面都是平行四边形 C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（） A ．经过三点确定一个平面B ．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C ．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D ．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥P ABC -是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（） A ．三棱锥P ABC -是正四面体 B ．三棱锥P ABC -不是正四面体 C ．有一个面是正三角形 D ．ABC 是正三角形且PA PB PC ==例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（） A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B ．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V ､棱数E ､面数F 之间总满足数量关系2,V F E +-=，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体1AC 上、下底面中心分别为1O ，2O ，将正方体绕直线12O O 旋转360︒，下列四个选项中为线段1AB 旋转所得图形是（）A ．B ．C ．D ．例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）（多选）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱柱例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（60C ）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.【方法技巧与总结】熟悉几何体的基本概念.题型二：空间几何体的表面积与体积例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（）A ．89B C D ．23例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段1AC 的长为（）A B C D例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知AB ，CD 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且AB CD ⊥，.1O ，O 分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD -的体积为18，则该圆柱的侧面积为（） A ．9π B ．12π C ．16π D ．18π例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥P ABCD -中，AB =P ABCD -的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（）AB ．C ．D ．例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和）A ．24B ．643C ．563D ．16例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111D C B A ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm ，29cm ，且1111A A B B C C D D ===，若该容器模型的体积为319cm 3，则该容器模型的表面积为（）A ．()29cmB ．219cmC ．()29cmD ．()29cm例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（）A B C D例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（） A ．13B ．23C ．1D ．43例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2 ，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为_________．例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线ABAB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2，则该几何体的体积为___________．【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角. 题型三：直观图例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图是边长为a 的正三角形，原ABC 的面积为 __．例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为（）A ．1B ．2C ．2D ．1例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D ''''，已知2,2A O O B B C =='''''='，则四边形ABCD 的周长为（）A ．20B ．12C ．8+D ．8+例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（）A B ．1 C D ．例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在x O y '''是等腰三角形，底角为30，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B 到x 轴距离是（）A ．1B ．2CD ．【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S 直原．题型四：最短路径问题例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）②存在点E ，使得1A EA ∠为钝角③截面1AEC 周长的最小值为例36．（2022·河南·二模（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是线段1BC 上的一动点，则1A P PC +的最小值为________.例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥P ABC -中，30APB BPC CPA ∠=∠=∠=，4PA PB PC ===，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是DP 的动点，N 是平面ECD 内的动点，则||||AM MN +的最小值是_____________.例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E ，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A ．B ．C ．D例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A ．3B ．C ．πD ．2π【方法技巧与总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）A ．2B ．52C D ．32．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D 在圆锥底面上，1A ，1B ，1C ，1D 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（）A ．B ．C ．(2D ．(23．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（） A ．43 B ．43πC ．83D ．83π4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（）AB ．1cmCD 5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为A B C '''，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的表面积为（）A．4+B ．8+C ．8+D ．8+6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为的半径为（） A ．2B ．3C ．4D ．67．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（）A ．56B C ．D ．5638．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则ra=（）A B ．34C ．2D ．)3129．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（）A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．2.65≈）（） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯二、多选题11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（）A ．BPB ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C 12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1A C 上的动点，点M ，N 分别为线段11A C ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（） A ．11A P AB ⊥ B ．三棱锥1M B NP -的体积为定值 C ．[]160,120APD ∠∈︒︒D ．1AP D P +的最小值为2314．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（）A ．高为B ．体积为3C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22三、填空题15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABCA B C '''(如图)，则三角形ABC 中边长与正三角形A B C '''的边长相等的边上的高为______．16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为___________；17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a 的最大值为______.18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______. 四、解答题19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥.(1)求证：PA 平面MDB ；(2)当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π，且4,DC DA AB =⊥时，求出多面体MPABD 的体积.20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面； (2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°．(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC CE 的长．22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112224AC AA AB AC BC =====，160BAA ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 上一点，且12CP PC =，求三棱锥111A PB C -体积．。

1.1.1构成空间几何体的基本元素

' ' ' '
解： 1平面AD ' 2平面AB
'
平面AC
平面CD
'
D
C
A
D
B
C
B
'
3平面AD
'
' '
4平面AB ，平面AC ，平面CD，平面AC
A
直线和平面平行垂足 D B' C ' || 平面 AC
C
A
B
D
直线和平面垂直
AA' 平面 AC
C
B
A
线段AA的长称作点A到平面 AC的距离平面和平面平行平面A' C ' || 平面 AC 平面和平面垂直
：长方体 ABCD A B C D 中： ' ' （1）与直线 B C 平行的平面有哪几个？ ' ' （2）与直线 B C 垂直的平面有哪几个？ ' （3）与平面 BC 平行的平面有哪几个？ ' （4）与平面 BC 垂直的平面有哪几个？
如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分叫做一个几何体。
如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分叫做一个几何体。
问题1：构成空间几何体的元素有哪些？
点、线、面是构成空间几何体的基本元素。
1、平面的表示方法
平面平面
平面

A
C

D
B 平面 ABCD
平面 AC
练习1：判断下列说法是否正确。（1）平行四边形是一个平面。（2）任何一个平面图形都是一个平面。（3）书桌面是平面。（4）有一个平面长是50米，宽是20米。练习2：判断下列说法是否正确。

构成空间几何体的基本元素;棱柱、棱锥、和棱台;圆柱、圆锥、圆台和球

【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 构成空间几何体的基本元素2. 棱柱、棱锥和棱台的结构特征3. 圆柱、圆锥、圆台和球二. 教学目的1. 认识构成空间几何体的基本元素2. 掌握柱、锥、台和球的结构特征三. 教学重点、难点1. 柱、锥、台和球的结构特征2. 学生看图、识图的能力的培养和尝试模型制作四. 知识分析我们生活的世界有各种各样的物体，我们总是试着去观察它们，区分它们。

区分这些物体的方法很多，但最直接的方法是什么呢？对，是它们占有空间部分的形状和大小。

这也是我们研究几何体的方向和内容。

（一）构成空间几何体的基本元素但是什么是几何体呢？我们将要认识和研究几何体的哪些方面的问题？几何体指的是一个物体所占有的空间部分。

常见的有柱体、锥体、台体、球体等等。

（见上图）同学们应该明确一点就是几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，或者说它是有皮有瓤的。

我们研究几何体，不用理睬它的物理性质和化学成分，不用关心它的历史，也不用研究它的经济价值，而只考虑它的形状和大小，研究一下它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等等就行了。

我们现在要学习的内容是立体几何初步，它包括两节内容：第一节是空间几何体，第二节是点、线、面之间的位置关系。

学习的重点是认识柱、锥、台、球的结构特征，会用平行投影法、中心投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台、球等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。

现在，同学们先观察你的周围，发现了哪些几何体？你都认识它们吗？在我们认识的几何体中，最熟悉的莫过于长方体了，你能说出长方体的结构特征吗？观察长方体，会发现它的表面有六个矩形，我们把这六个矩形（含矩形内部）称为长方体的面，相邻两个面的公共边叫做长方体的棱，长方体的三条两两相交成直角的棱交会到一点，就是长方体的顶点。

空间几何体的结构(教师版) (2)

空间几何体的结构____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。

构成空间几何体的基本元素

左图中平面，平面，平面ABCD，平面AC等。

平面是无限延伸的，且是不可度量的，但通常用一个封闭的平面图形如平行四边形表示平面，有遮挡时，看不见的部分要画出虚线，不论是否是辅助线。
点动成线，线动成面，面动成体。
直线、曲线与平面和曲面的关系，围成长方体的各个矩形叫做长方体的面；相邻的两个面的公共边，叫做长方体的棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点。
长方体是由6个面，12条棱，8个顶点构成的。
任意一个几何体都是由点，线，面构成的。点线面是构成几何体的基本元素。
线有直线、曲线之分，面也有平面、曲面之分。
平面是处处平直的面，曲面就不是处处平直的。平面是无限延伸的，黑板不是平面，黑板所在的面是平面。平面一般用希腊字母 , , 来命名，还可以用表示他的平行四边形的对角顶点的字母来命名。

1.1.1 构成空间几何体的基本元素

1.1.1 构成空间几何体的基本元素教材知识检索考点知识清单1．长方体由六个（包括它的内部）围成，围成长方体的各个____，叫做长方体的——；相邻两个面的公共边，叫做长方体的；棱和棱的公共点，叫做长方体的____．长方体有____ 个面，条棱，——个顶点．2．在立体几何中，平面是，通常画一个表示一个平面，平面一般用来命名，还可以用表示它的来命名．3．既不平行又不相交的两条直线叫做．4．观察长方体容易看到，除了直线在平面内，还有两种关系：直线与平面____或直线与平面____．5．观察平面与平面的位置关系，有两个平面相交于一条直线，除此之外，还有两个平面____或两个平面____ 的关系．要点核心解读1．空间中点、线、面之间的关系空间中的线与面都是由点组成的集合，点A 在线l 上，记作l A ∈，点A 在平面α内，记作l A ∈，线l 在平面α内，记作α⊂l 如图1 -1 -1 -1.2．对平面的深层理解(1)平面是绝对平的．(2)平面没有厚度，也可理解成其厚度为零．(3)平面是无限延展的．(4)平面和点、直线一样，是我们以后研究空间图形的基本对象之一，也是空间图形的一个重要组成部分．(5)有限的图形．如：三角形、平行四边形等．用平行四边形表示平面，只是一种形式上的表示方法，绝对不能认为平行四边形就是平面．(6)无限的平面，平面将无限的空间分成两部分，如果想从平面的一侧到另一侧，必须穿过这个平面．(7)平面可以看作空间中点的集合，它当然是一个无限集．(8)用希腊字母α、β、γ等表示平面时，在不会引起混淆的情况下，“平面”二字可以省略不写；但用英文字母表示平面，如平面AC ，“平面”二字不可省略，甚至在一些复杂的图形中为了区别起见，还要表示为平面ABCD.表示三角形所在的平面，一般将三个顶点的字母都写出来，如平面ABC 、平面ABD 等．(9)在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线，立体几何则不然，凡是被平面遮住的线（简称暗线）都画成虚线或不画；凡是不被遮住的线（简称明线，无论是题中原有的还是后引的辅助线）都画成实线．3．以特殊的几何体为例观察空间中线、面的关系以长方体为例，观察得到：(1)空间中直线的位置关系：平行、相交、异面．(2)空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．(3)空间中平面的关系：两个平面相交（包括两个平面垂直），两个平面平行．典例分类剖析考点1平面的概念命题规律(1)正确理解平面的原始概念，把握其与一般的桌面、黑板面之间的区别，． (2)平面的表示法及画法．[例1] 判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)四条边相等的四边形是菱形；(2)若四边形的两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形；(3)平行四边形是一个平面；(4)任何一个平面图形都是一个平面；(5)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．[答案] (1)不正确，因为四条边相等的四边形不一定是平面图形：(2)不正确，两个对角是直角的四边形有可能是空间四边形，故不一定是圆内接四边形；(3)不正确，平行四边形是平面上四条线段所构成的图形，是不能无限延展的；(4)不正确．平面和平面图形是完全不同的两个概念．平面图形是有大小的，是不可能无限延展的；(5)不正确，在空间图形中，为了增强图形的立体感，都是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住的线画成虚线（无论是图形中原有的，还是后来引入的辅助线）．[点拨] (1)在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面．(2)在平面几何中，引入的辅助线都要画成虚线，但在立体几何中却不然．在学习立体几何时，若认识不到这一点，必将影响空间立体感的形成，阻碍空间想象能力的培养，考点2 空间中线与面之间的关系命题规律(1)空间中线与平面的关系有线在平面内和线在平面外两种．(2)空间中平面与平面有相交、平行两种位置关系．[例2] 一个平面将空间分成____个部分，两个平面将空间分成个部分，三个平面将空间分成____个部分．[解析]本题对平面在空间的位置进行分类讨论．一个平面将空间分成2个部分．两个平面有公共点时将空间分成4个部分，没有公共点时将空间分成3个部分，所以，两个平面将空间分成3个部分或4个部分，三个平面没有公共点时将空间分成4个部分；有公共点时分别将空间分成6、7、8个部分．如图1—1 -1 -2.[答案] 23或44或6或7或8[点拨] 先对两个平面在空间的位置进行分类讨论，再让第三个平面以不同的形式介入，这种设计分类讨论的程序，在研究空间图形位置关系时会经常用到，母体迁移1．-个正方体的六个面所在平面将空间分成几个部分？考点3 长方体的有关概念命题规律(1)长方体的特征．(2)长方体中的线面关系．[例3] 如图1-1 -1 -3所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：(1)与直线11C B 平行的平面有哪几个？(2)与直线11C B 垂直的平面有哪几个？(3)与平面l BC 平行的平面有哪几个？(4)与平面1BC 垂直的平面有哪几个？[解析] 根据线面平行和垂直的概念判断即可．[答案](1)与直线11C B 平行的平面有：平面1AD 平面AC.(2)与直线11C B 垂直的平面有：平面,1B A 平面⋅1CD(3)与平面1BC 平行的平面有：平面⋅1AD(4)与平面1BC 垂直的平面有：平面1AB 平面⋅11C A 平面⋅1CD 平面AC.母题迁移2．下列关于长方体的叙述不正确的是( )．A ．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体B ．长方体中相对的面都相互平行C ．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离D ．两底面之间的棱互相平行且等长考点4 用集合的语言表示平面中点、线、面之问的关系命题规律(1)用集合的语言理解点、线、面之间的关系，将点看作元素，线与面看作集合，,)2(l A ∈表示点A 在直线L 上α⊂l ;表示L 是平面α内的一条直线．[例4] 若点Q 在直线b 上，b 在平面β 内，则β、、b Q 之间的关系可记作( )．C.Qcbcpβ∈∈⋅b Q A β⊂∈⋅b Q B β⊂⊂⋅b Q C β∈⊂⋅b Q D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析]本题考查用集合的语言表示点、线、面之间的关系，关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系，直线与平面是集合与集合之间的关系.解法一（直接法）： ∵点Q 在直线b 上，.b Q ∈∴又 ∵ 直线b 在平面β内，⋅⊂∈∴⊂∴ββb Q b ,答案为B ．解法二（排除法）： ∵ 点Q 与直线b 的关系是元素与集合之间的关系，∵ 只能用符号“”∈或“∉”表示∴ 排除C 和D(容易出现β∈⊂b b Q 或类错误）又∵ b 与β是集合与集合之间的关系，∴ 应该用符号“””或“⊂/⊂来表示． ∴ A 应该排除，答案为B ．[答案] B[点拨]认清点与线、面的实质是元素与集合之间的关系，线与面是集合与集合之间的关系．母题迁移 3．已知,,,,A b a b a m =⊂⊂= βαβα则直线m 与A 的位置关系用集合语言表示为____．优化分层测讯学业水平测试α、间的关系．1．识别图1 -1 -1 -4中的点A、线Z与面β2．如图1 -1 -1 -5所示，下列说法正确的是( )．A．表示直线a在a内B．将平面a延展就可以表示直线a在a内C．因为直线是无限延伸的，所以直线a不在a内D．不可以表示直线a在d内，因为画法不对3．已知下列四个命题：①很平的桌面是一个平面；②一个平面的面积可以是4 m 2；③平面是矩形或平行四边形；④两个平面叠在一起比一个平面厚，其中正确的命题个数是( )．A.O个B.l个C.2个D.3个4．长方体有个面，条棱，个顶点；长方体的六个面都是．5．给出下列四个命题：①平行四边形是一个平面；②任何一个平面图形都是一个平面；③空间图形中，先画的是实线，后画的是虚线；④直线平行移动，不但可以形成平面，而且也可以形成曲面．其中正确命题的序号为．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．下列说法中表示平面的是( )．A．平静的水面 B．黑板面C．桌面 D．铅垂面2．下列说法中错误的是( )．A．平面用一个希腊字母就可以表示B．平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示C．三角形ABC所在的平面不可写成平面ABCD．-条直线和一个平面可能没有公共点3．图l -1 -1 -7四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的公共边折叠围成一个正方体且正方形互不重叠的图形是( )．4．如图1 -1 -1 -8所示的两个相交平面，其中画法正确的个数有( )．5. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分6.下列推理错误的是（） ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A A ,;,.AB B B A A B =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,;,.αα∉⇒∈⊂/A l A l C ,.,,.βα∈∈C B A C B A D h 、、且A 、B 、C 不共线βα与⇒重合7．下列命题中，正确命题的个数为( )．①桌面是平面；②一个平面长2米，宽3米；③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；④空间图形是由空间中的点、线、面构成的．A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个8．（2009年全国高考卷Ⅱ）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( )．A ．南B ．北C ．西D ．下二、填空题（5分x4 =20分）9一个立方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图1 -1 -1 -10所示是此立方体的两种不同放置方式，则与D 面相对的面的字母不可能是10.当三个平面只有一条交线时，可以将空间分成____个部分；没有交线时，可以将空间分成____个部分；有三条交线，且两两互相平行时，可以将空间分成个部分．11.如图1-1 -1 -11所示，在长方体1111D C B A ABCD 中，棱与棱11D A 异面的棱有____；与11D A 平行的平面有____；与棱11D A 垂直的平面有12.下列说法：①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD （水平放置）上各点沿铅垂线方向向上移动相同距离到矩形////D C B A 所形成的几何体；③长方体一个面上任一点到对面的距离相等．其中正确命题的序号是三、解答题（10分x4 =40分）13.按照给出的要求（如图l-1-1 -12），画出下面两个相交的平面，其中线段AB 是两个平面的交线．14.要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你的结论可以作为一条规律来用吗？15.将图1-1 -1 -13中的平面图形沿虚线折叠，制作几何体并将直观图画出来．16.如图1-1 -1 -14是边长为Im 的正方体，有一蜘蛛潜伏在A 处，B 处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．。

038--1.1.1构成空间几何体的基本元素

高一数学（2019级）导学案课型：新授课编制人：年级主任：班级：姓名：编号：0381．1.1构成空间几何体的基本元素【学习目标】1、通过对长方体的认识，了解构成几何体的基本元素和它们之间的关系．2、理解平面的概念、平面的画法及表示方法，了解平面的位置关系．【学习内容】1、长方体的有关概念如图，长方体由六个_______ (包括它的内部)围成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的____ (如图中矩形ABCD－A1B1BA等均为长方体的面)；相邻两个面的公共边，叫做长方体的____ (如A1A、AB、BC等均为长方体的棱)；棱和棱的公共点，叫做长方体的________ (如点A、B、C、D、A1等均为长方体的顶点)．由图可知长方体有6个面，_______条棱，_____个顶点．2、平面(1)平面的概念平面和点、直线一样是构成几何体的基本要素之一，是一个只描述而不加定义的原始概念．立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的：平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分；而平面是无大小、无厚薄之分的，类似我们以前学的直线，它可以___________，是不可度量的．(2)平面的画法立体几何中，我们通常画_____________来表示平面．画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成_____，横边画成是邻边的两倍．两个相交平面的画法．当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住部分的线段画成_________或者不画，以增强立体感．(3)平面的表示平面通常用一个小写的____________表示，如平面α、平面β、平面γ等，根据问题实际需要有时也用表示平行四边形ABCD的相对顶点的两个大写字母来表示，如平面AC、平面BD；或者用表示多边形顶点的字母来表示，如三角形ABC所在的平面，表示为平面ABC.3、空间基本图形之间的关系在几何中，把_______运动的轨迹看成线，线运动的轨迹看成______．如果点运动的方向不改变，那么它的轨迹为一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个_______，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个___________．【例题讲解】考点一、长方体的有关概念例1、下列关于长方体的说法中，正确的是________．①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；④长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．学以致用1 判断以下说法的对错：(1)长方体是由六个平面围成的几何体；（）(2)长方体ABCD－A′B′C′D′可以看作矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；（）(3)长方体一个面内的所有点到其对面的距离都相等．（）考点二、平面的概念及应用例2、判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平面的形状是平行四边形；A．8 B．9 C．18 D．27【课堂练习】1、关于平面，下列说法正确的是( )A平行四边形是一个平面 B平面是有大小的 C平面是无限延展的 D长方体的一个面是平面2、如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上三点，则在正方体盒子中，∠ABC等于( ) A．45° B．60° C．90° D．120°3、如图所示的两个相交平面，其中画法正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4、飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________．5、一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分．【当堂检测】1、下列不属于构成几何体的基本元素的是( )A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形(不含内部的点)2、如图是一个正方体的展开图，每一个面内都标注了字母，则展开前与B相对的是( )A．字母E B．字母C C．字母A D．字母D3、如图，下列四个平面图形，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是( )4、下列命题正确的是( )A．直线的平移只能形成平面 B．直线绕定直线旋转肯定形成柱面C．直线绕定点旋转可以形成锥面 D．曲线的平移一定形成曲面5、下列几何图形中，可能不是平面图形的是( )A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．四边形6、下面空间图形的画法中错误的是( )。

空间几何体的概念与结构

空间几何体的概念与结构空间几何体的基本元素：1．几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2．构成几何体的基本元素：点、线、面．3．多面体：由若干个平面多边形所围成的封闭的几何体．凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面．例：按照要求完成下面两个相交平面的作图，图中AB 表示两个平面的交线：经典精讲：考点1：空间几何体基本元素的认识【例1】 ⑴下面四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中不能沿两个正方形相邻边折叠成一个正方体的图形是（）A ．B ．C ．D ．体对角线面对角线C'B'A'C BA顶点棱面截面D'D非凸多面体BA ABABBAA BBA⑵如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A ，B ，C 对面的字母分别是________．⑵如图，模块⑵~⑵均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑵由15个棱长为1的小正方体构成，现从模块⑵~⑵中选出3个放到模块⑵上，使得模块⑵成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块为________．多面体的结构特征1．棱柱：特殊直棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．特殊的四棱柱：D ACC EBACB 模块①模块②模块③模块④模块⑤模块⑥底面是正方形底面为长方形底面是平行四边形长方体直平行六面体平行六面体高侧棱对角面侧面底面考点2：棱柱的基本概念【例2】下列关于棱柱的命题，其中真命题的序号是________．⑵ 棱长相等的直四棱柱是正方体；⑵ 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ⑵ 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑵ 若两个过相对棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ⑤若侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；⑵ 若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；⑵ 若底面是正方形，且有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为正四棱柱； ⑵ 若每个侧面都是全等的矩形，则该四棱柱为正四棱柱；⑵ 若底面是正方形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱为正四棱柱； ⑵ 若底面是正方形，且有两个侧面是矩形，则该四棱柱为正四棱柱．考点3：棱柱的结构与性质【例3】⑵正方体的对角线长为l ，则侧面对角线长是（）Ａ．2⑵，这个长方体的对角线长为_____．2．棱锥：正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．正四面体：各棱长都相等的正三棱锥．侧面底面ABCDE对角面SAC高侧棱HS E AB C DSCBAEDSCBAS HOABCD考点4：棱锥的基本概念【例4】下列关于棱锥的命题，其中真命题的序号是________．⑵ 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；⑵ 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ⑵ 棱锥的高线可能在几何体之外；⑵ 若底面为正多边形，则该棱锥为正棱锥； ⑵ 若各侧棱都相等，则该棱锥为正棱锥；⑵ 若各侧面都是等腰三角形，则该棱锥为正棱锥；考点5：正棱锥的结构与性质【铺1】正四棱锥的斜高为2，求中截面(即过高线的中点且平行于底面的截面)的面积．【例5】已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C △的面积，并求S ABC V -．3．棱台：正棱台：由正棱锥截得的棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．右图为一个正三棱台，记为棱台ABC A B C '''-，侧棱AA '，BB '，CC '延长后必交于一点．O O '，为上下底面的中心，它们的连线O O '是棱台的高，H H '是棱台的斜高．例：判断下列说法是否正确．⑵ 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；（） ⑵ 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；（） ⑵ 上、下底面为相似的正多边形的棱台一定是正棱台．（）O'OH'HA BCA'B'C'AC侧面侧棱高下底面上底面表中c c '、分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高．考点6：正棱台的结构与性质【例6】 ⑵正四棱台的侧棱长为19，两底面边长分别是4和16，它的表面积和体积分别为_______．⑵正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为．旋转体的结构特征：1．圆柱、圆锥和圆台：12下底面半径．考点7：旋转体的结构与性质【例7】 ⑵用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是14∶，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长．⑵如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于；⑶圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于2392cm ，母线与底面的夹角是45︒，求这个圆台的母线长．h h '【例8】 ⑵已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．⑵有一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱，将它的内部挖去一个与它同底等高的圆锥，求余下来的几何体的表面积与体积．⑵如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，135ADC ∠=︒，5AB =，CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．2．球与球面：球的表面积和体积公式：24πS R =表，34π3V R =．考点8：球的截面【例9】 ⑵已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12π和16π，求这两个截面间的距离．⑵设M N ，是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N M O ，，作垂直于OP 的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为( )A ．3:5:6B ．3:6:8C ．5:7:9D ．5:8:9A BCD。

高中数学人教版B版精品教案《构成空间几何体的基本元素》

构成空间几何体的基本元素【教学过程】一、问题导入我们已经知道，长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体（几何体也简称为“体”），包围着几何体的是“面”，面与面相交给人“线”的形象，线与线相交给人“点”的形象。

这就是说，可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素那么空间中的点、线、面与几何体之间的关系是如何的呢？二、新知探究1平面概念的理解【例1】下列判断正确的是________．①平面是无限延展的；②一个平面长3 cm，宽4 cm；③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．①④[①正确．平面是无限延展的．②不正确．平面没有大小．③不正确．平面没有厚薄．④正确．平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内．]【教师小结】（1）准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键．（2）平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的．（3）可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面．2从运动观点认识几何体【例2】如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线旋转一周形成的空间图形．① ② ③[思路探究]线的运动可以形成平面或曲面，观察AB 和的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．[解]① ② ③【教师小结】（1）点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．（2）在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟． 3长方体中基本元素之间的关系 [探究问题]1．射线运动后的轨迹是什么？[提示]水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面． 2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．[提示]面可以列举如下：平面1221A A B B ，平面1221A A D D ，平面1221C C D D ，平面1221B B C C ，平面1111A B C D ，平面2222A B C D ；线可以列举如下：直线1AA ，直线1BB ，直线1CC ，直线1DD ，直线22A B ，直线22C D 等；点可以列举如下：点A ，点1A ，点B ，点1B ，点C ，点1C ，点D ，点1D ，点2A ，点2B ，点2C ，点2D ；它们共同组成了课桌这个几何体．【例3】在长方体ABCD A B C D ''''-中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，（1）与直线B C ''平行的平面有哪几个？（2）与平面BC '平行的平面有哪几个？[思路探究]观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．[解]（1）与直线B C ''平行的平面有平面ABCD ，平面ADD A '' （2）与平面BC '平行的平面为平面AD '1．（1）与直线B C ''垂直的平面有哪几个？（2）与平面BC '垂直的平面有哪几个？ [解]（1）有平面AB '，平面CD '（2）有平面AB '，平面A C ''，平面CD '，平面AC2．本例中与棱A D ''相交的棱有哪几条？它们与棱A D ''所成的角是多少？ [解]有A A '，A B ''，D D '，D C ''由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A D ''所成角都是90︒3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A B '与面D C '之间的距离？ [解]A D ''，B C ''，BC ，AD 的长均可以表示．【教师小结】（一）平行关系的判定（1）直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”1AA ，1BB ，1CC ，1DD 相互平行；“长”AB ，DC ，11A B ，11D C 相互平行；“宽”AD ，BC ，11A D ，11B C 相互平行．（2）直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．（3）平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．（二）垂直关系的判定（1）直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．（2）平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．三、课堂总结1．本节课的重点是认识构成空间几何体的基本元素及其之间的关系和直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，难点是理解平面的无限延展性．2．本节课要重点掌握的规律方法（1）平面与平面图形的区别与联系；（2）用运动的观点认识几何体；（3）平行与垂直关系的直观判断． 3．本节课的易错点是对平面的概念理解四、课堂检测1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．（）（2）直线的移动只能形成平面．（）（3）平静的太平洋就是一个平面．（） [答案]（1）√ （2）× （3）×[提示]（1）正确．（2）直线移动可能形成曲面，故错误．（3）平面是没有大小的，故错误． 2．下列结论正确的个数有（）①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．2个B [只有⑤不正确．]3．线段AB 长为5 cm ，在水平面上向右移动4 cm 后记为CD ，将CD 沿铅垂线方向向下移动3 cm 后记为C D ''，再将C D ''沿水平方向向左移动4 cm 后记为A B ''，依次连接构成长方体ABCD A B C D ''''-（1）该长方体的高为________cm ；（2）平面A B BA ''与平面CDD C ''间的距离为________cm ；（3）点A 到平面BCC B ''的距离为________cm （1）3 （2）4 （3）5[如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中， 5 cm AB =， 4 cm BC =， 3 cm CC '=，∴长方体的高为3 cm ；平面A B BA ''与平面CDD C ''之间的距离为4 cm ；点A 到平面BCC B ''的距离为5 cm ]4．如图，画出（1）、（2）中L 围绕旋转一周形成的空间几何体．（1）（2）[解]（1）L 绕直线旋转一周，所得几何体是由两个底面重合的圆锥拼接而成的，如图（1）；（2）L 绕直线旋转一周，所得几何体是由圆台挖去一个与其上底面同底的圆锥，再拼接一个与其下底面同底的圆锥而成的，如图（2）．（1）（2）。

【优化方案】2012高中数学_第1章1.1.1构成空间几何体的基本元素课件_新人教B版必修2

下列关于长方体的说法中，下列关于长方体的说法中，正确的是 ________． ________．长方体中有3组对面互相平行； ①长方体中有3组对面互相平行； ② 长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，与 AB 垂直的只有棱 AD，BC和AA1；长方体可看成是由一个矩形平移形成的； ③长方体可看成是由一个矩形平移形成的； ④ 长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，棱 AA1 ， BB1 ， CC1 ， DD1平行且相等．平行且相等．分析】可利用长方体的特点进行判断．【分析】可利用长方体的特点进行判断．
例1
解析】如图，【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面 ABCD ∥ 平面 A1B1C1D1 ，平面 ADD1A1 ∥ 平面 BCC1B1 ，正确；平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1 错误；和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，正确；形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1 的距离，的长度是长方体中面ABCD和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④ ①③④. 此它们平行且相等，故答案是①③④.
课前自主学案
1．1.1 1．
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
初中学习过的几何体有：长方体、正方体、初中学习过的几何体有：长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等.
知新益能 1．长方体的有关概念．
矩形如图，长方体由六个_______ 包括它的内部) 如图，长方体由六个_______ (包括它的内部)围围成长方体的各个矩形，叫做长方体的____ 成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的____ 面等均为长方体的面) (如图中矩形 ABCD－ A1B1BA等均为长方体的面)；棱相邻两个面的公共边，叫做长方体的____ 相邻两个面的公共边，叫做长方体的 ____ ( 如 A1A、AB、BC等均为长方体的棱)；棱和棱的公共等均为长方体的棱) 顶点叫做长方体的________ 点，叫做长方体的________ (如点A、B、C、D、 A1等均为长方体的顶点)．由图可知长方体有6个等均为长方体的顶点) 由图可知长方体有6 _______条棱 _____个顶点条棱， 8 个顶点．面，_______条棱，_____个顶点． 12

北师版高中数学必修第二册精品课件第6章构成空间几何体的基本元素简单多面体——棱柱、棱锥和棱台

§1
基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
一题多变
随堂练习
课标定位
素养阐释
1.了解空间几何体的分类及相关概念.
2.通过对实物模型的观察、归纳认识棱柱、棱
锥、棱台的结构特征.
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现
实生活中简单几何体的结构和进行有关计算,提
升直观想象与数学运算的核心素养.
一、构成空间几何体的基本元素
【问题思考】
1.射线绕其顶点旋转一周的轨迹是什么?
提示:水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周,可形成平
面.其他情况,可形成曲面.
2.如图6-1-1,该几何体是某同学课桌的大致轮廓,请你从这个
②多面体至少有四个面;
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.
其中,错误的个数是(
).
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①显然是正确的;
对于②,显然一个图形要成为空间几何体,则它至少需有四个
顶点,因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形,当有四个
顶点时,易知它可以围成四个面,因而一个多面体至少应有四
个面,而且这样的面必是三角形,故②是正确的;
故△AEF 周长的最小值为√.
答图6-1-6
反思感悟解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题,一
般都是将空间几何体表面展开,转化为求平面内两点间的线
段长,这体现了数学中的转化思想.
【变式训练3】如图6-1-6,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为4 cm,高为10 cm,则一质点
自点A出发,沿着三棱柱的侧面,绕行两周到达点

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (38)

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷6（共22题）一、选择题（共10题）1.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )A．有且只有一个B．有无数多个C．有且只有一个或不存在D．不存在2.若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线3.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α与直线l至少有两个公共点D．α内的直线与l都相交4.下列三个命题中错误的个数是( )①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；②球面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长．A．0B．1C．2D．35.己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的体积为( )A．2√23B．2√33C．2√2D．2√36.如图，用符号语言可表述为( )A．α∩β=m，n⊂α，m∩n=AB．α∩β=m，n∈α，m∩n=AC．α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n7.棱锥的侧面和底面可以都是A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形8.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α=M D．l∩α=N 9.下列几何体中是棱柱的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个10.已知直线a在平面γ外，则( )A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ=A D．a与γ至多有一个公共点二、填空题（共6题）11.思考辨析，判断正误．若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m．12.一些文字语言与符号语言的对应关系：文字语言表达符号语言表示文字语言表达符号语言表示点A在直线l上点A在直线l外点A在平面α内点A在平面α外直线l在平面α内直线l在平面α外直线l,m相交于点A l∩m=A平面α,β相交于直线lα∩β=l13.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D−A1BC的体积是．14.若空间两个角的两条边分别平行，则这两个角的大小关系是．15.空间两个平面的位置关系有．16.试用集合符号表示点B在平面β上，直线l在平面β上：．三、解答题（共6题）17.构成空间几何体的基本元素是什么？18.判断下列说法是否正确，并说明理由．(1) 一点和一条直线确定一个平面；(2) 经过同一点的两条直线确定一个平面；(3) 首尾顺次相接的四条线段在同一平面内．19.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC=6，AD=8，BC=10，PD=9，E为PA的中点．(1) 求证：DE∥平面BPC．(2) 在线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出此时三棱锥B−PCF的体积；若不存在，请说明理由．21.若两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？22.如图所示，已知ABCD为梯形，AB∥CD，CD=2AB，M为线段PC上一点．(1) 设平面PAB∩平面PDC=l，证明：AB∥l．(2) 在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【知识点】直线与平面平行关系的判定2. 【答案】A【解析】当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A．【知识点】直线与平面平行关系的性质3. 【答案】B【解析】因为l⊄α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线．【知识点】直线与直线的位置关系4. 【答案】C【知识点】球面距离、球的结构特征5. 【答案】B【解析】由题得三视图对应的几何体原图是如图所示的三棱锥A−BCD，所以几何体的体积为V=13⋅12⋅2⋅2⋅√3=23√3．故选：B．【知识点】三视图、棱锥的表面积与体积6. 【答案】A【知识点】平面的概念与基本性质7. 【答案】A【知识点】棱锥的结构特征8. 【答案】A【知识点】平面的概念与基本性质9. 【答案】C【解析】棱柱的定义：有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面平行；其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行．像这样的几何体称为棱柱．观察图形满足棱柱概念的几何体有（1）（3）（5），共3个．【知识点】棱柱的结构特征10. 【答案】D【解析】直线在平面外，故直线与平面相交或直线与平面平行，直线a与平面γ平行时没有公共点，直线a与平面γ相交时有一个公共点，故选D．【知识点】直线与平面的位置关系二、填空题（共6题）11. 【答案】×【知识点】平面与平面平行关系的性质12. 【答案】A∈l；A∉l；A∈α；A∉α；l⊂α；l⊄α【知识点】平面的概念与基本性质13. 【答案】2√33【解析】V D−A1BC=V B1−A1BC=V A1−B1BC=13×S△B1BC×√3=2√33.【知识点】棱锥的表面积与体积14. 【答案】相等或互补【知识点】直线与直线的位置关系15. 【答案】平行、相交、重合【知识点】平面与平面的位置关系16. 【答案】B∈β，l⫋β【知识点】平面的概念与基本性质三、解答题（共6题）17. 【答案】构成空间几何体的基本元素是：点、线、面．【知识点】空间图形的平面图18. 【答案】(1) 不正确．如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由基本事实2知有唯一一个平面．(2) 正确．经过同一点的两条直线是相交直线，能确定一个平面．(3) 不正确．空间四边形中三点可以确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，因此这四条线段不一定在同一平面内．【知识点】平面的概念与基本性质19. 【答案】如图设球心为O，球的半径为R，作OO1⊥平面ABC于点O1，则OA=OB=OC=R，且O1是△ABC的外心，设M是AB的中点，因为AC=BC，所以O1∈CM，所以O1M⊥AB，设O1M=x，则O1A=√22+x2，O1C=CM−O1M=√62−22−x．又O1A=O1C，所以√22+x2=√62−22−x，解得x=7√24．所以O1A=O1B=O1C=9√24．在Rt△OO1A中，O1O=R2，∠OO1A=90∘，OA=R，由勾股定理得(R2)2+(9√24)2=R2，解得R=3√62，所以S球=4πR2=54π，V球=43πR3=27√6π．【知识点】球的表面积与体积20. 【答案】(1) 取PB的中点M，连接EM，CM，过点C作CN⊥AB，垂足为N，如图所示．因为CN⊥AB，DA⊥AB，所以CN∥DA，又AB∥CD，所以四边形CDAN为矩形，所以CN=AD=8，DC=AN=6．在Rt△BNC中，BN=√BC2−CN2=√102−82=6，所以AB=12．因为E，M分别为PA，PB的中点，所以EM∥AB且EM=6，又DC∥AB，且CD=6，所以EM∥CD且EM=CD，则四边形CDEM为平行四边形，所以DE∥CM．因为CM⊂平面BPC，DE⊄平面BPC，所以DE∥平面BPC．(2) 存在．理由如下：由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，故以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．则D(0,0,0)，B(8,12,0)，C(0,6,0)，所以DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,12,0)．假设AB上存在一点F使CF⊥BD，设点F坐标为(8,t,0)(0≤t≤12)，则 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,t −6,0)，由 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得 64+12(t −6)=12t −8=0，所以 t =23，即 AF =23，故 BF =12−23=343．又 PD =9，所以 V 三棱锥B−PCF =V 三棱锥P−BCF =13×12×343×8×9=136．【知识点】直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题21. 【答案】是的．【知识点】平面与平面平行关系的性质22. 【答案】(1) 因为 AB ∥CD ，AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ．所以 AB ∥平面PDC ．又因为平面PAB ∩平面PDC =l ，且 AB ⊂平面PAB ，所以 AB ∥l ．(2) 存在点 M ，使得 PA ∥平面MBD ，此时 PMMC =12．理由如下：连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 MO ．因为 AB ∥CD ，所以 △AOB ∽△COD ．又 CD =2AB ，所以 ABCD =AOCO =12．又因为 PMMC =12，PC ∩AC =C ，所以 PA ∥MO ．又因为 PA ⊄平面MBD ，MO ⊂平面MBD ，所以 PA ∥平面MBD ．【知识点】直线与平面平行关系的判定、平面与平面平行关系的判定。

北师版高中数学必修第二册课后习题第6章构成空间几何体的基本元素-- 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台

第六章立体几何初步§1基本立体图形1.1 构成空间几何体的基本元素1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台课后训练巩固提升1.下列说法错误的是( ).A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形解析:多面体至少应由四个顶点组成(否则至多3个顶点,而3个顶点只围成一个平面图形),而四个顶点可以围成四个面,所以A正确;棱柱侧面为平行四边形,其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等,所以B正确;长方体、正方体都是棱柱,所以C正确;三棱柱的侧面是平行四边形,不是三角形,所以D错误.答案:D2.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( ).A.至多有一个是直角三角形B.至多有两个是直角三角形C.可能都是直角三角形D.一定不是直角三角形解析:如答图所示,三棱锥A1-ABC的三个侧面都是直角三角形.(第2题答图)故选C.答案:C3.(多选题)下列图形中,是三棱柱展开图的是( ).答案:ABD4.在下面四个平面图形中,各侧棱都相等的四面体的展开图是.(填序号)(第4题)解析:折叠后,易知①②均可围成三棱锥,即四面体,且各侧棱长都相等,而③④折叠后只能围成无底的四棱锥.答案:①②5.如图,该组合体的结构特征有以下几种说法:(第5题)①由一个长方体割去一个四棱柱构成;②由一个长方体与两个四棱柱组合而成;③由一个长方体挖去一个四棱台构成;④由一个长方体与两个四棱台组合而成.其中正确的是.(填序号)解析:本题中的组合体可以看成是由一个大的长方体割去一个四棱柱构成的,也可以看成是由一个小的长方体在上底面两侧各加一个四棱柱组合而成的.答案:①②6.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:(第6题)(1)三棱柱侧面展开图的对角线长;(2)从点B经过点M到点C1的最短路线长及此时A1M的值.AM解:沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形BB1B1'B',如答图所示.(第6题答图)(1)矩形BB1B'1B'的长BB'=3×2=6,宽BB1=2,所以三棱柱侧面展开图的对角线长为BB1'=√62+22=2√10.(2)由侧面展开图可知,当B,M,C1三点共线时,由点B经点M到点C1的路线最短,所以最短路线长为BC1=√42+22=2√5.显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,所=1.以A1M=AM,即A1MAM。

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• 如果点运动的方向时刻在变，运动出来的轨迹可能是__曲__线__或__曲___线__的__一_；部分
思考：直线运动的轨迹是什么呢？ 2
1. 如果直线绕着它的一条平行线旋转，可以
平面或曲面
形成_______
2. 如果直线绕着与它相交的直线旋转可以形成__锥__面__或_平面
小试身手
D • 1下列命题中，正确命题的个数为（）
长方体的顶点
D'
C'
A ' 长方体B ' 有几个面？几条棱？
几个顶点？
6个面；12条棱；8个顶点。
长方体是由哪些元素构成的？那么空间几何体又是有哪些元素构成的呢？
点，线，面
• 问题一：点、直线、平面有何特征？动的方向始终不变,则运动的轨迹是__直__线__或__线；段
C 平面
平面ABCD 或平面AC
B
• ①桌面是平面；
• ②一个平面长为3m，宽为2m；
• ③ 两个平面比一个平面厚
• ④平静的太平洋面是一个平面
• A.1
B.2
C.3
D.0
• 2、下列说法正确的是
（ C）
• A、在空间中，一个点运动一定形成直线
• B、在空间中，直线平行移动一定形成平面
• C、在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面
• D、在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
• 问题：
观察我们制作的长方体，并结合你画的长方体立体图形思考点和直线，直线和直线，直线和面，面和面之间分别有几种不同的位置关系？
小试身手：
在长方体 ABCD— A/ B/C / D/ 中，
如果把它的 12 条棱延伸为直线， 6 个面延展为平面，那么在这 12 条直线与 6 个平面中，回答下列问题：
与与与平直与平面直线面线ABA' BB/'CB'/CC'/C'垂/D'平D'直垂行' 平的直的行平的平的平面面平面有有面有哪哪有哪几几哪几个个几个？？个？？
点、直线、平面的特征及表示方法
名称
特征
图形表示符号表示
点
只有位置，
无大小
A
点A
直线平面
无粗细，直，无限延伸
A
B
l
直线AB
或直线l
处处平直、 D 无厚度、无限延展 A
1.1.1构成空间几何体的基本元素
从航空测绘到土木建筑以至家居装潢，——立体几何与我们的生活息息相关.
巴黎罗浮宫拿破仑广场的透明金字塔
D1
A1
D
A
C1 B1
C B
几何体：
只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体。
长方体的面长方体的棱