高中数学32倍角公式和半角公式322半角的正弦、余弦和正切课后训练新人教B版4.
高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切自我小测新人教B版必修42017100
3.2.2 半角的正弦余弦和正切自我小测1．已知sin θ＝35，52<θ<3π，那么tan2＋cos2的值为() A．1010－3 B．3－1010C．－301010D．3010102．设a＝12cos 6°－322tan13sin 6°，b＝1tan132，c＝1cos502，则有()A．a>b>c B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<asin a3．若1cosa＝12，则sin α＋cos α的值是()A．75B．85C．1 D．29154．若f(x)＝2tan x－x2s in 122，则fx x12sin cos22的值为()A．4 3B．833C．4 D．81sin 8cos 81sin 8cos 85．化简等于()A．tan 2θB．cot 4θC．tan 4θD．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝35，则cota2＝__________．7．若sin(π－α)＝45，α∈0,2a，则sin 2α－cos2 2的值等于__________．8．若θ∈,，sin 2θ＝42378，则sin θ＝__________．9．设a＝(1＋cos α，sin α)，b＝(1－cos β，sin β)，c＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1－θ2＝6，求sin8的值．10．已知sin 2a4sin 2a4＝14，α∈,42，求2sin2α＋tan α－1tan a－1的值．1参考答案1．答案：B2．解析：因为a＝sin 24°，b＝tan 26°，c＝sin 25°，所以a<c<b．答案：C3．答案：A4．答案：D5．答案：C6．答案：3或137．答案：4258．解析：由2θ∈,2，得cos 2θ＝－18，1－cos 2θ所以sin θ＝＝234．答案：349．解：由题意得cos θ1＝a A ca c＝1cos22cos a＝1cos2＝cosa2．因为θ1∈[0，π]，a2∈0,，所以θ1＝2a2．同理，cos θ2＝b A cb c＝1cos2＝sin2＝cos22，因为θ2∈[0，π]，2－2∈0,，所以θ2＝2－2．2将θ1＝a2，θ2＝2－2代入θ1－θ2＝6中，得2＝－3，故sin8＝sin12＝sin43＝264．210．解：因为 sin 2a sin 2a＝4 4 1 4，所以 2sin 2a cos 2a＝4 41 2，即 sin2a＝41 2 ．所以 cos 4α＝ 1 2 ．而 2sin 2α＋tan α－ 1 tan a－1＝－cos 2α＋sin 2 acos 2 a sin a cos a2＝－．cos 2a tan 2a因为 α∈, ，所以 2α∈,．4 22所以 cos 2α＝－1cos 4 2＝－ 3 2，tan 2α＝－1 cos 4 1 cos 4＝－ 3 3 ．2 3 2＝5 23，所以－cos2a＝－tan2a233即2sin2α＋tan α－1tan a－1的值为532．3。
高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切优化训练新人教B版必修127
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
5 分钟训练 (预习类训练，可用于课前 )
1.已知 cosα=-cos2 ，则 cos 等于 ( )
2
2
3
A.±
3
3
B.
3
3
C.
3
1
D. ±
3
解析： 由二倍角余弦公式，得
3cos2
=1 ，所以 cos
1 cos2
解析： 由于
sin 2
答案 :D
2sin 2
=tan α.
2sin cos
2.设 5π＜θ＜6π，cos =a ，那么 sin 等于（
）
2
4
A. 1 a 2
1a
B.
2
1a
C.
2
解析： 由于 5π＜θ＜6π，
5
3
∴ ＜＜ .
442
1a
D.
2
∴sin =
4
1 cos 2
2
1 a. 2
答案 :B
C.tan4θ
）
1
C.
3
D.cot2 θ
1
D.
3
∴tan =
2
1 cos 1 cos
4
1( )
5
3.
4
1( )
5
答案 :B 5.tan15° +cot15 °等于 ( )
A.2
B. 2 3
C.4
1 cos
解析： ∵ tan =
2 sin
1
，
cos
1 cos30
∴原式 =
sin 30
高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切优化训练新人教B版必修127.doc
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.已知cos α=-cos22α，则cos 2α等于( ) A.±33 B.33 C.33- D.±31解析：由二倍角余弦公式，得3cos 22α=1，所以cos 2α=±33.答案:A 2.若cos α=21，则sin 2α等于( ) A.21 B.21- C.±21D.±23解析：sin 2α=±2cos 1α-=±21或由1-2sin 22α=cos α⇒sin 2α=±21.答案:C3.设α∈（π，2π），则2)cos(1απ+-等于（ ）A.sin2α B.cos 2α C.-sin 2α D.-cos 2α 解析：2cos 2cos 12)cos(12αααπ=+=+-=｜cos 2α｜，又α∈（π，2π)，∴2α∈（2π，π).∴｜cos 2α｜=-cos 2α.答案:D4.已知sin θ=54-，θ为第三象限的角，则tan 2θ=______________. 解析：由条件，求得cos θ=53-，于是tan θθθcos 1sin 2+==-2.答案:-210分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.下列各式与tan α相等的是（ ）A.αα2cos 12cos 1+- B.ααcos 1sin +C.αα2cos 1sin - D.αα2sin 2cos 1-解析：由于αααααcos sin 2sin 22sin 2cos 12=-=tan α.答案:D2.设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，那么4sin θ等于（ ） A.21a+-B.21a --C.21a +-D.21a-- 解析：由于5π＜θ＜6π， ∴45π＜4θ＜23π. ∴sin4θ=2122cos1a --=--θ. 答案:B3.已知sin α=2524-，且α为第三象限角，则tan 2α等于（ ） A.34- B.43- C.34 D.43解析：由sin α=2524-，且α为第三象限角，则cos α=257-，所以tan 3425712524cos 1sin 2-=--=+=ααα.答案:A 4.已知sin2α-cos 2α=55-，450°＜α＜540°，则tan 2α=______________.解析：由sin2α-cos 2α=55-，∴（sin2α-cos 2α)2=（55-)2,得sin α=54.又450°＜α＜540°， ∴cos α=53-. ∴tan 2α=253154cos 1sin =-=+αα.答案:2 5.若23π＜α＜2π，且cos α=41，则α2cos 21212121++的值是多少？ 解析：∵23π＜α＜2π，∴43π＜2α＜π.又cos α=41， ∴cos2α=4102cos 1-=+-α. ∴ααcos 21212cos 21212121∙+=++=｜cos 2α｜=-cos 2α=410. 答案:4106.已知tan α=a ，求αααα2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+的值.解：∵tan αααααsin cos 1cos 1sin 2-=+=， ∴tan α=αααα2sin 2cos 12cos 12sin -=+. 利用比例性质， ∴αααα2sin 2cos 12cos 2sin 1++-+=tan α=a.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.设α∈（π，2π），则2)cos(1απ++等于（ ）A.sin2α B.cos 2α C.-sin 2α D.-cos 2α解析：∵α∈（π，2π)，∴2α∈（2π，π).∴sin 2α＞0.∴2cos 12)cos(1ααπ-=++=｜sin 2α｜=sin 2α.答案:A 2.设2π＜α＜π，且cos α=a ，则2sin α等于（ ）A.21a + B.21a - C.±21a + D.±21a- 解析：sin 2α=212cos 1a -=-α. 答案:B 3.化简θθθθ8cos 8sin 18cos 8sin 1++-+等于（ ）A.tan2θB.cot4θC.tan4θD.cot2θ解析：由tan 2α=ααααsin cos 1cos 1sin -=+得 tan4θ=θθθθ8sin 8cos 18cos 18sin -=+， ∴θθθθ8cos 8sin 18cos 8sin 1++-+=tan4θ. 答案:C4.若sin θ=53-，3π＜θ＜27π，则tan 2θ等于（ ） A.3 B.-3 C.31- D.31解析：∵sin θ=53-，3π＜θ＜27π，∴cos θ=-54.∴23π＜2θ＜47π.∴tan 2θ=.3)54(1)54(1cos 1cos 1-=-+---=+--θθ 答案:B5.tan15°+cot15°等于( )A.2B.32C.4D.334 解析：∵tan2α=αααcos 1sin cos 1=-，∴原式=.4323230cos 130sin 30sin 30cos 1=++-=︒-︒+︒︒-答案:C 6.y=cos 2x+cosxsinx 的值域是_____________. 解析：y=cos 2x+cosxsinx=2122cos 1++x sin2x=21sin2x+21cos2x+21=22sin （2x+4π)+21， ∴y∈［22-+21，22+21］. 答案:［22-+21，22+21］ 7.已知sin α=31，2π＜α＜3π，那么sin 2α+cos 2α=______________. 解析：（sin 2α+cos 2α)2=1+sin α=34，又2π＜α＜3π， ∴π＜2α＜23π.∴sin2α+cos 2α=332-.答案: 332-8.已知α为三角形内角,sin α=53,则cot 2α=____________. 解析：由条件,得cos α=±54,cot 2α=31353541sin cos 12sin 2cos或=±=+=αααα. 答案:3或319.化简：cos 2A+cos 2（3π-A ）+cos 2（3π+A ）.解：原式=2)232cos(12)232cos(122cos 1A A A +++-+++ππ 2123+=［cos2A+cos （32π-2A)+cos （32π+2A)］=23+21［cos2A+cos 32πcos2A+sin 32πsin2A+cos 32πcos2A-sin 32πsin2A ］ =23+21［cos2A+2cos 32πcos2A ］ =23+21（cos2A-cos2A)=23. 10.已知sin （4π+2α）·sin （4π-2α）=41，α∈（4π，2π），求2sin 2α+tan α-αtan 1-1的值.解：由sin （4π+2α)·sin（4π-2α)=41， ∴2sin（4π+2α)cos （4π+2α)=21，即sin （2π+4α)=21.∴cos4α=21.而2sin 2α+tan α-αtan 1-1 =-cos2α+ααααcos sin cos sin 22-=-（cos2α+α2tan 2).∵α∈（4π，2π)，∴2α∈（2π，π). ∴cos2α=2324cos 1-=+-α， tan2α=334cos 14cos 1-=+--αα.∴-（cos2α+α2tan 2)=-（33223-+-)=325.。
2019-2020学年度高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-2半角的正弦余弦和正切课后导练新人教B版必修4
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-2半角的正弦余弦和正切课后导练新人教B版必修4______年______月______日____________________部门课后导练基础达标1.若sin2α=,则cos （-α）的值为（ ）252424πA. B. C.± D.±51575157解析：cos(-α)=(coscos α+sin·sin α)=cos α+sin α,由于sin2α=,可利用(cos α+sin α)2=1+sin2α=.24π24π4π25242549又∵sin2α=>,故2k π+<2α<2k π+.从而k π+<α<k π+(k∈Z),即α终边在第一象限或第三象限.2524233π32π6π3π∴cos α+sin α=±.57 答案：D2.若=1,则的值为（ ）θθtan 2tan 1+-θθ2sin 1cos +2A.3B.-3C.-2D.-21 解析：由已知解得tan θ=-,21∴cos θθθθθθθθcos sin 2cos sin sin cos 2sin 12cos 2222++-=+1411411tan 2tan 1tan 122-+-=++-=θθθ=3. 答案：A3.已知θ是第三象限角，若sin4θ+cos4θ=,那么sin2θ等于（ ）97A. B. C. D.332332-3232- 解析：将原式配方得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,于是1-sin22θ=,972197∴sin22θ=.由已知,θ在第三象限,故θ∈(2k π+π,2k π+),从而2θ∈(4k π+2π,4k π+3π),故2θ在第一、二象限，所以sin2θ=.9423π32答案：C4.若,则sin α+cos α的值是（ ）21cos 1sin =+ααA. B. C.1 D.57581529 解析：由,①21cos 1sin =+αα得，整理得=.②21)cos 1)(cos 1()cos 1(sin =-+-ααααααsin cos 1-21由①得=2.③ααsin cos 1+②+③得,得sin α=.25sin 2=α54又由①得cos α=2sin α-1=2×-1=，5453故sin α+cos α=+=.545357答案：A5.若sin2α=,且α∈(,),则cos α-sin α的值是（ ）414π2πA. B. C. D.234323-43- 解析：∵(cos α-sin α)2=1-sin ２α=1-=,4143∴|cos α-sin α|=.由α∈(,),知cos α<sin α，∴cos α-sin α=.234π2π23-答案：C6.如果|cos θ|=,<θ<3π,则sin 的值是（ ）5125π2θA. B. C. D.510-510515-515解析：∵<θ<3π,<<，∴cos θ=.于是sin=.25π45π2θ23π51-2θ5152cos 1-=--θ 答案：C7.(20xx 上海高考,13) 若cos α=且α∈(0,),则tan=__________.532π2α解析:∵α∈(0,),∴∈(0,).2π2α4π∴tan=.2α21531531cos 1cos 1=+-=+-αα 答案:218.函数f(x)=cosx-sin2x-cos2x+的最大值是_________.47 解析：f(x)=cosx-(1-cos2x)-(2cos2x-1)+=-cos2x+cosx+=-(cosx-)2+2.474721当且仅当cosx=时,f(x)取最大值2.21 答案：2 综合运用9.sin-sin+2sincos=_______________.12π125π8π8π解析：原式=sin-sin+2sincos=sin-sin+sin 12π125π8π8π12π125π4π=sin-cos+sin=sin(-)+sin 12π12π4π212π4π4π=-sin+sin==0.26π4π2222+-答案：010.已知0<α<β<,sin α与sin β是方程x2-(cos40°)x+cos240°-=0的两根,则cos(2α-β)=_______.2π221 解析：∵Δ=2cos240°-4cos240°+2=2sin240°, ∴x=cos40°±sin40°.2222∴x1=sin45°cos40°+cos45°sin40°=sin85°, x2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°. 又由0°<α<β<90°, 知β=85°,α=5°,∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos75°=cos(45°+30°)=.426- 答案：426- 11.已知cos(α+)=,≤α<,求cos(２α+)的值.4π532π23π4π解：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α).4π4π4π22 ∵≤α+<,cos(α+)>0,由此知<α+<.43π4π47π4π23π4π47π∴sin(α+)=,从而有4π54)53(1)4(cos 122-=--=+--πα cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)2π4π4π=2×()×=.54-532524-sin ２α=-cos(2α+)=1-2cos2(α+)=1-2×（）2=.2π4π53257∴cos(2α+)=×()=.4π222572524--50231-拓展探究12.在△ABC 中,求证：tantan+tantan+tantan=1.2A 2B 2B 2C 2C 2A证明：∵A、B 、C 是△ABC 的三个内角， ∴A+B+C=π. 从而有=-.2C A +2π2B左边=tan(tan+tan)+tan·tan2B 2A 2C 2A 2C=tan·tan（+)(1-tan·tan)+tantan 2B 2A 2C 2A 2C 2A 2C=tantan(-)(1-tantan)+tantan 2B 2π2B 2A 2C 2A 2C=1-tantan+tantan=1=右边.2A 2C 2A 2C∴等式成立.。
【2019最新】高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-2半角的正弦余弦和正切课后导练新人教B版必修4
【2019最新】高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-2半角的正弦余弦和正切课后导练新人教B 版必修4 半角的正弦余弦和正切课后导练基础达标1.若sin2α=2524,则2cos （4π-α）的值为（ ） A.51 B.57 C.±51 D.±57 解析：2cos(4π-α)=2(cos 4πcos α+sin 4π·sin α)=cos α+sin α,由于sin2α=2524,可利用(cos α+sin α)2=1+sin2α=2549. 又∵sin2α=2524>23,故2k π+3π<2α<2k π+32π.从而k π+6π<α<k π+3π(k∈Z ),即α终边在第一象限或第三象限.∴cos α+sin α=±57. 答案：D2.若θθtan 2tan 1+-=1,则θθ2sin 1cos +2的值为（ ） A.3 B.-3 C.-2 D.-21 解析：由已知解得tan θ=-21, ∴cos θθθθθθθθcos sin 2cos sin sin cos 2sin 12cos 2222++-=+ 1411411tan 2tan 1tan 122-+-=++-=θθθ=3. 答案：A3.已知θ是第三象限角，若sin 4θ+cos 4θ=97,那么sin2θ等于（ ） A.332 B.332- C.32 D.32- 解析：将原式配方得(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=97,于是1-21sin 22θ=97, ∴sin 22θ=94.由已知,θ在第三象限,故θ∈(2k π+π,2k π+23π),从而2θ∈(4k π+2π,4k π+3π),故2θ在第一、二象限，所以sin2θ=32. 答案：C 4.若21cos 1sin =+αα,则sin α+cos α的值是（ ） A.57 B.58 C.1 D.1529 解析：由21cos 1sin =+αα,① 得21)cos 1)(cos 1()cos 1(sin =-+-αααα，整理得ααsin cos 1-=21.② 由①得ααsin cos 1+=2.③ ②+③得25sin 2=α,得sin α=54. 又由①得cos α=2sin α-1=2×54-1=53， 故sin α+cos α=54+53=57. 答案：A5.若sin2α=41,且α∈(4π,2π),则cos α-sin α的值是（ ） A.23 B.43 C.23- D.43- 解析：∵(cos α-sin α)2=1-sin ２α=1-41=43, ∴|cos α-sin α|=23.由α∈(4π,2π),知cos α<sin α，∴cos α-sin α=23-. 答案：C6.如果|cos θ|=51,25π<θ<3π,则sin 2θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析：∵25π<θ<3π,45π<2θ<23π，∴cos θ=51-.于是sin 2θ=5152cos 1-=--θ. 答案：C7.(2005高考,13) 若cos α=53且α∈(0,2π),则tan 2α=__________.解析:∵α∈(0,2π),∴2α∈(0,4π). ∴tan 2α=21531531cos 1cos 1=+-=+-αα. 答案:21 8.函数f(x)=cosx-sin 2x-cos2x+47的最大值是_________. 解析：f(x)=cosx-(1-cos 2x)-(2cos 2x-1)+47=-cos 2x+cosx+47=-(cosx-21)2+2. 当且仅当cosx=21时,f(x)取最大值2. 答案：2综合运用 9.sin12π-sin 125π+2sin 8πcos 8π=_______________. 解析：原式=sin 12π-sin 125π+2sin 8πcos 8π=sin 12π-sin 125π+sin 4π =sin 12π-cos 12π+sin 4π=2sin(12π-4π)+sin 4π =-2sin6π+sin 4π=2222+-=0. 答案：010.已知0<α<β<2π,sin α与sin β是方程x 2-(2cos40°)x+cos 240°-21=0的两根,则cos(2α-β)=_______.解析：∵Δ=2cos 240°-4cos 240°+2=2sin 240°, ∴x=22cos40°±22sin40°. ∴x 1=sin45°cos40°+cos45°sin40°=sin85°,x 2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°.又由0°<α<β<90°,知β=85°,α=5°,∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos75°=cos(45°+30°)=426-. 答案：426-11.已知cos(α+4π)=53,2π≤α<23π,求cos(２α+4π)的值. 解：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π=22(cos2α-sin2α). ∵43π≤α+4π<47π,cos(α+4π)>0,由此知23π<α+4π<47π. ∴sin(α+4π)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--πα,从而有 cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π)cos(α+4π) =2×(54-)×53=2524-. sin ２α=-cos(2α+2π)=1-2cos 2(α+4π)=1-2×（53）2=257. ∴cos(2α+4π)=22×(2572524--)=50231-. 拓展探究12.在△ABC 中,求证：tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 证明：∵A、B 、C 是△ABC 的三个内角，∴A+B+C=π. 从而有2C A +=2π-2B . 左边=tan 2B (tan 2A +tan 2C )+tan 2A ·tan 2C =tan 2B ·tan（2A +2C )(1-tan 2A ·tan 2C )+tan 2A tan 2C =tan 2B tan(2π-2B )(1-tan 2A tan 2C )+tan 2A tan 2C =1-tan 2A tan 2C +tan 2A tan 2C =1=右边. ∴等式成立.。
2021年高中数学3.倍角公式和半角公式3..半角的正弦余弦和正切优化训练新人教B版必修
2021年高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切优化训练新人教B 版必修5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知cosα=-cos 2，则cos 等于( )A.±B.C.D.±解析：由二倍角余弦公式，得3cos 2=1，所以cos=±.答案:A2.若cosα=，则sin 等于( )A. B. C.± D.±解析：sin=±=±或由1-2sin 2=cosαsin=±.答案:C3.设α∈（π，2π），则等于（ ）A.sinB.cosC.-sinD.-cos 解析：2cos 2cos 12)cos(12αααπ=+=+-=｜cos ｜，又α∈（π，2π)， ∴∈（，π).∴｜cos ｜=-cos.答案:D4.已知sinθ=，θ为第三象限的角，则tan=______________.解析：由条件，求得cosθ=，于是tan=-2.答案:-210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列各式与tanα相等的是（ ）A. B.C. D.解析：由于αααααcos sin 2sin 22sin 2cos 12=-=tanα. 答案:D2.设5π＜θ＜6π，cos=a ，那么等于（ ）A. B.C. D.解析：由于5π＜θ＜6π，∴＜＜.∴s in=2122cos1a --=--θ. 答案:B3.已知sinα=，且α为第三象限角，则tan 等于（ ）A. B. C. D.解析：由sinα=，且α为第三象限角，则cosα=，所以tan 3425712524cos 1sin 2-=--=+=ααα.答案:A4.已知sin-cos=，450°＜α＜540°，则tan=______________.解析：由sin-cos=，∴（sin-cos)2=（)2,得sinα=.又450°＜α＜540°，∴cosα=. ∴tan=253154cos 1sin =-=+αα.答案:25.若＜α＜2π，且cosα=，则的值是多少？解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.又cosα=，∴cos=. ∴ααcos 21212cos 21212121•+=++=｜cos ｜=-cos=.答案:6.已知tanα=a，求的值.解：∵tan，∴tanα=.利用比例性质，∴=tanα=a.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设α∈（π，2π），则等于（ ）A.sinB.cosC.-sinD.-cos解析：∵α∈（π，2π)，∴∈（，π).∴sin＞0. ∴2cos 12)cos(1ααπ-=++=｜sin ｜=sin.答案:A2.设＜α＜π，且cos α=a ，则等于（ ）A. B. C.± D.±解析：sin=.答案:B3.化简等于（ ）A.tan2θB.cot4θC.tan4θD.cot2θ 解析：由tan=得tan4θ=，∴=tan4θ.答案:C4.若sin θ=，3π＜θ＜，则tan 等于（ ）A.3B.-3C.D.解析：∵sinθ=，3π＜θ＜，∴cosθ=-.∴＜＜. ∴tan=.3)54(1)54(1cos 1cos 1-=-+---=+--θθ 答案:B5.tan15°+cot15°等于( )A.2B.C.4D.解析：∵tan=，∴原式=.4323230cos 130sin 30sin 30cos 1=++-=︒-︒+︒︒- 答案:C6.y=cos 2x+cosxsinx 的值域是_____________.解析：y=cos 2x+cosxsinx=sin2x=sin2x+cos2x+=sin （2x+)+，∴y∈［+，+］.答案:［+，+］7.已知sin α=，2π＜α＜3π，那么sin+cos=______________.解析：（sin+cos)2=1+sin α=，又2π＜α＜3π，∴π＜＜.∴sin+cos=.答案:8.已知α为三角形内角,sin α=,则cot=____________.解析：由条件,得cos α=±,cot=31353541sin cos 12sin 2cos 或=±=+=αααα. 答案:3或9.化简：cos 2A+cos 2（-A ）+cos 2（+A ）.解：原式=2)232cos(12)232cos(122cos 1A A A +++-+++ππ ［cos2A+cos （-2A)+cos （+2A)］=+［cos2A+coscos2A+sinsin2A+coscos2A-sinsin2A ］=+［cos2A+2coscos2A ］=+（cos2A-cos2A)=.10.已知sin （+2α）·sin（-2α）=，α∈（，），求2sin 2α+tan α--1的值.解：由sin （+2α)·sin（-2α)=，∴2sin（+2α)cos （+2α)=，即sin （+4α)=.∴cos4α=.而2sin 2α+tan α--1=-cos2α+=-（cos2α+).∵α∈（，)，∴2α∈（，π).∴cos2α=，tan2α=.∴-（cos2α+)=-（33223-+-)=.。
2021年高中数学3.倍角公式和半角公式3..半角的正弦余弦和正切自我小测新人教B版必修
2021年高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切自我小测新人教B版必修1．已知sin θ＝，<θ<3π，那么tan＋cos的值为( )A．－3 B．3－ C．－ D．2．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有( )A．a>b>c B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a3．若＝，则sin α＋cos α的值是( )A． B． C．1 D．4．若f(x)＝2tan x－22sin12sin cos22xx x，则f的值为( )A．4 B． C．4 D．85．化简等于( )A．tan 2θ B．cot 4θC．tan 4θ D．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝，则cot＝__________．7．若sin(π－α)＝，α∈，则sin 2α－cos2的值等于__________．8．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝__________．9．设a＝(1＋cos α，sin α)，b＝(1－cos β，sin β)，c＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1－θ2＝，求sin 的值．10．已知sinsin＝，α∈，求2sin2α＋tan α－－1的值．参考答案1．答案：B2．解析：因为a＝sin 24°，b＝tan 26°，c＝sin 25°，所以a<c<b．答案：C3．答案：A4．答案：D5．答案：C6．答案：3或7．答案：8．解析：由2θ∈，得cos 2θ＝－，所以sin θ＝1－cos 2θ2＝．答案：9．解：由题意得cos θ1＝＝＝＝cos．因为θ1∈[0，π]，∈，所以θ1＝．同理，cos θ2＝＝＝sin＝cos，因为θ2∈[0，π]，－∈，所以θ2＝－．将θ1＝，θ2＝－代入θ1－θ2＝中，得＝－，故sin＝sin＝sin＝．10．解：因为sinsin＝，所以2sincos ＝，即sin ＝．所以cos 4α＝． 而2sin 2α＋tan α－－1 ＝－cos 2α＋＝－．因为α∈，所以2α∈． 所以cos 2α＝－＝－， tan 2α＝－＝－．所以－＝－⎛⎫ ⎪ + ⎝＝， 即2sin 2α＋tan α－－1的值为．。
高中数学32倍角公式和半角公式322半角的正弦、余弦和正切自我小测新人教B版4!
3.2.2 半角的正弦余弦和正切自我小测1．已知sin θ＝35，52π<θ<3π，那么tan 2θ＋cos 2θ的值为( ) A．10－3 B ．3－10 C．－3010+ D．3010+ 2．设a ＝12sin 6°，b ＝22tan131tan 13︒+︒，c( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a3．若sin 1cos a a +＝12，则sin α＋cos α的值是( ) A ．75 B ．85 C ．1 D ．2915 4．若f (x )＝2tan x －22sin 12sin cos 22x x x -，则f 12π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．C ．4D ．8 5．化简1sin 8cos81sin 8cos8θθθθ+-++等于( ) A ．tan 2θ B ．cot 4θ C ．tan 4θ D ．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝35，则cot 2a ＝__________． 7．若sin(π－α)＝45，α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 2α－cos 22a 的值等于__________． 8．若θ∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，sin 2θsin θ＝__________． 9．设a ＝(1＋cos α，sin α)，b ＝(1－cos β，sin β)，c ＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝6π，求sin 8αβ-的值．10．已知sin 24a π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 24a π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14，α∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求2sin 2α＋tan α－1tan a －1的值．参考答案1．答案：B2．解析：因为a ＝sin 24°，b ＝tan 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b ． 答案：C3．答案：A4．答案：D5．答案：C6．答案：3或137．答案：4258．解析：由2θ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得cos 2θ＝－18， 所以sin θ＝1－cos 2θ2＝34． 答案：349．解：由题意得cos θ1＝a ca c ＝cos 2a ． 因为θ1∈[0，π]，2a ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以θ1＝2a ．同理，cos θ2＝b c b c ＝sin 2β＝cos 22βπ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为θ2∈[0，π]，2β－2π∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以θ2＝2β－2π． 将θ1＝2a ，θ2＝2β－2π代入θ1－θ2＝6π中，得2αβ-＝－3π，故sin 8αβ-＝sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝10．解：因为sin 24a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 24a π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14，所以2sin 24a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 24a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12，即sin 24a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12．所以cos 4α＝12．而2sin 2α＋tan α－1tan a －1＝－cos 2α＋22sin cos sin cos a a a a -＝－2cos 2tan 2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．因为α∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2α∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以cos 2αtan 2α． 所以－2cos 2tan 2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－2⎛⎫ ⎪-+ ⎝即2sin 2α＋tan α－1tan a －1．。
2021年高中数学3.倍角公式和半角公式3..半角的正弦余弦和正切课后导练新人教B版必修
2021年高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切课后导练新人教B 版必修基础达标1.若sin2α=,则cos （-α）的值为（ ）A. B. C.± D.±解析：cos(-α)=(coscosα+sin·sinα)=cosα+sinα,由于sin2α=,可利用(cosα+sinα)2=1+sin2α=.又∵sin2α=>,故2kπ+<2α<2kπ+.从而kπ+<α<kπ+(k∈Z ),即α终边在第一象限或第三象限.∴cosα+sinα=±.答案：D2.若=1,则的值为（ ）A.3B.-3C.-2D.-解析：由已知解得tanθ=-,∴cos θθθθθθθθcos sin 2cos sin sin cos 2sin 12cos 2222++-=+ 1411411tan 2tan 1tan 122-+-=++-=θθθ=3. 答案：A3.已知θ是第三象限角，若sin 4θ+cos 4θ=,那么sin2θ等于（ ）A. B. C. D.解析：将原式配方得(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=,于是1-sin 22θ=,∴sin 22θ=.由已知,θ在第三象限,故θ∈(2kπ+π,2kπ+),从而2θ∈(4kπ+2π,4kπ+3π),故2θ在第一、二象限，所以sin2θ=.答案：C4.若,则sinα+cosα的值是（ ）A. B. C.1 D.解析：由,① 得21)cos 1)(cos 1()cos 1(sin =-+-αααα，整理得=.② 由①得=2.③②+③得,得sinα=.又由①得cosα=2sinα-1=2×-1=，故sinα+cosα=+=.答案：A5.若sin2α=,且α∈(,),则cosα-sinα的值是（ ）A. B. C. D.解析：∵(cosα-sinα)2=1-sin ２α=1-=,∴|cosα-sinα|=.由α∈(,),知cosα<sinα，∴cosα-sinα=.答案：C6.如果|cosθ|=,<θ<3π,则sin 的值是（ ）A. B. C. D.解析：∵<θ<3π,<<，∴cosθ=.于是sin=.答案：C7.(xx 上海高考,13) 若cosα=且α∈(0,),则tan=__________.解析:∵α∈(0,),∴∈(0,). ∴tan=21531531cos 1cos 1=+-=+-αα. 答案:8.函数f(x)=cosx-sin 2x-cos2x+的最大值是_________.解析：f(x)=cosx-(1-cos 2x)-(2cos 2x-1)+=-cos 2x+cosx+=-(cosx-)2+2.当且仅当cosx=时,f(x)取最大值2.答案：2综合运用9.sin-sin+2sincos=_______________.解析：原式=sin-sin+2sincos=sin-sin+sin=sin-cos+sin=sin(-)+sin=-sin+sin==0.答案：010.已知0<α<β<,sinα与sinβ是方程x 2-(cos40°)x+cos 240°-=0的两根,则cos(2α-β)=_______.解析：∵Δ=2cos 240°-4cos 240°+2=2sin 240°,∴x=cos40°±sin40°.∴x 1=sin45°cos40°+cos45°sin40°=sin85°,x 2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°.又由0°<α<β<90°,知β=85°,α=5°,∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos75°=cos(45°+30°)=.答案：11.已知cos(α+)=,≤α<,求cos(２α+)的值.解：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α).∵≤α+<,cos(α+)>0,由此知<α+<. ∴sin(α+)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--πα,从而有 cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2×()×=.sin ２α=-cos(2α+)=1-2cos 2(α+)=1-2×（）2=.∴cos(2α+)=×()=.拓展探究12.在△ABC中,求证：tantan+tantan+tantan=1.证明：∵A、B、C是△ABC的三个内角，∴A+B+C=π.从而有=-.左边=tan(tan+tan)+tan·tan=tan·tan（+)(1-tan·tan)+tantan=tantan(-)(1-tantan)+tantan=1-tantan+tantan=1=右边.∴等式成立.。
2021年高中数学3.倍角公式和半角公式3..半角的正弦余弦和正切课后训练新人教B版必修
2021年高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切课后训练新人教B版必修1．tan 15°＋cot 15°等于( )A．2 B． C．4 D．2．设α∈(π，2π)，则等于( )A． B．C． D．3．若，则sin α＋cos α的值是( )A． B． C．1 D．4．若sin 2α＝，且α∈，则cos α－sin α的值是( )A． B．C． D．5．( )A．tan 2θ B．cot 4θC．tan 4θ D．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝，则________.7．若＜α＜2π，且cos α＝，则的值是________．8．已知0°＜α＜β＜90°，sin α与sin β是方程x2－(cos 40°)x＋cos240°－＝0的两根，则cos(2α－β)＝________.9．已知ππ1sin2sin2444αα⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，α∈，求2sin2α＋tan α－－1的值．10．(xx·北京模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x.(1)求的值；(2)若x∈，求f(x)的最大值和最小值．参考答案1．解析：原式＝＝2－＋2＋＝4.答案：C2．解析：∵α∈(π，2π)，∴∈，∴.sin sin 22αα==. 答案：A3．解析：由，①得，整理得.②由①得.③②＋③得，解得sin α＝.又由①得cos α＝2sin α－1＝2×－1＝.故sin α＋cos α＝.答案：A4．解析：∵(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝1－＝，∴|cos α－sin α|＝.由α∈，知cos α＜sin α，∴cos α－sin α＝. 答案：C5．解析：由sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+，得 tan 4θ＝，所以＝tan 4θ.答案：C6．解析：由条件，得cos α＝， 则411cos 5cot 332sin 5ααα±+===或.答案：3或7．解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.又cos α＝，∴cos24α==-.cos cos 224αα==-=. 答案：8．解析：由已知得Δ＝2cos 240°－4cos 240°＋2＝2sin 240°，∴x ＝cos 40°±sin 40°.∴x 1＝sin 45°cos 40°＋cos 45°sin 40°＝sin 85°，x 2＝sin 45°cos 40°－cos 45°sin 40°＝sin 5°.又由0°＜α＜β＜90°，知β＝85°，α＝5°，∴cos(2α－β)＝cos(－75°)＝cos 75°＝cos(45°＋30°)＝.答案：9．解：∵ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ12sin2cos2442αα⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即.∴.而2sin2α＋tan α－－1＝－cos 2α＋＝. ∵α∈，∴2α∈.∴cos 2α＝，tan 2α＝.∴2cos2tan222αα⎛⎫⎪⎛⎫-+=--+=⎪⎝⎭⎝，即2sin2α＋tan α－－1的值为.10．解：(1)2ππ312sin213624-=-⨯=.(2)f(x)＝sin 2x＋cos 2x－1＝2－1.因为x∈，所以，所以≤≤1，所以f(x)的最大值为1，最小值为－2.。
【配套K12】高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切课后导练新人教B版必修4
3.2.2 半角的正弦余弦和正切课后导练基础达标1.若sin2α=2524,则2cos （4π-α）的值为（ ） A.51 B.57 C.±51 D.±57 解析：2cos(4π-α)=2(cos 4πcos α+sin 4π·sin α)=cos α+sin α,由于sin2α=2524,可利用(cos α+sin α)2=1+sin2α=2549. 又∵sin2α=2524>23,故2k π+3π<2α<2k π+32π.从而k π+6π<α<k π+3π(k∈Z ),即α终边在第一象限或第三象限.∴cos α+sin α=±57. 答案：D2.若θθtan 2tan 1+-=1,则θθ2sin 1cos +2的值为（ ） A.3 B.-3 C.-2 D.-21 解析：由已知解得tan θ=-21, ∴cos θθθθθθθθcos sin 2cos sin sin cos 2sin 12cos 2222++-=+ 1411411tan 2tan 1tan 122-+-=++-=θθθ=3. 答案：A3.已知θ是第三象限角，若sin 4θ+cos 4θ=97,那么sin2θ等于（ ） A.332 B.332- C.32 D.32- 解析：将原式配方得(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=97,于是1-21sin 22θ=97, ∴sin 22θ=94.由已知,θ在第三象限,故θ∈(2k π+π,2k π+23π),从而2θ∈(4k π+2π,4k π+3π),故2θ在第一、二象限，所以sin2θ=32.答案：C4.若21cos 1sin =+αα,则sin α+cos α的值是（ ） A.57 B.58 C.1 D.1529 解析：由21cos 1sin =+αα,① 得21)cos 1)(cos 1()cos 1(sin =-+-αααα，整理得ααsin cos 1-=21.② 由①得ααsin cos 1+=2.③ ②+③得25sin 2=α,得sin α=54. 又由①得cos α=2sin α-1=2×54-1=53， 故sin α+cos α=54+53=57. 答案：A5.若sin2α=41,且α∈(4π,2π),则cos α-sin α的值是（ ） A.23 B.43 C.23- D.43- 解析：∵(cos α-sin α)2=1-sin ２α=1-41=43, ∴|cos α-sin α|=23.由α∈(4π,2π),知cos α<sin α，∴cos α-sin α=23-. 答案：C6.如果|cos θ|=51,25π<θ<3π,则sin 2θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析：∵25π<θ<3π,45π<2θ<23π，∴cos θ=51-.于是sin 2θ=5152cos 1-=--θ. 答案：C7.(2005上海高考,13) 若cos α=53且α∈(0,2π),则tan 2α=__________. 解析:∵α∈(0,2π),∴2α∈(0,4π).∴tan 2α=21531531cos 1cos 1=+-=+-αα. 答案:21 8.函数f(x)=cosx-sin 2x-cos2x+47的最大值是_________. 解析：f(x)=cosx-(1-cos 2x)-(2cos 2x-1)+47=-cos 2x+cosx+47=-(cosx-21)2+2. 当且仅当cosx=21时,f(x)取最大值2. 答案：2综合运用 9.sin12π-sin 125π+2sin 8πcos 8π=_______________. 解析：原式=sin 12π-sin 125π+2sin 8πcos 8π=sin 12π-sin 125π+sin 4π =sin 12π-cos 12π+sin 4π=2sin(12π-4π)+sin 4π =-2sin6π+sin 4π=2222+-=0. 答案：010.已知0<α<β<2π,sin α与sin β是方程x 2-(2cos40°)x+cos 240°-21=0的两根,则cos(2α-β)=_______.解析：∵Δ=2cos 240°-4cos 240°+2=2sin 240°, ∴x=22cos40°±22sin40°. ∴x 1=sin45°cos40°+cos45°sin40°=sin85°,x 2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°.又由0°<α<β<90°,知β=85°,α=5°,∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos75°=cos(45°+30°)=426-. 答案：426- 11.已知cos(α+4π)=53,2π≤α<23π,求cos(２α+4π)的值.解：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π=22(cos2α-sin2α). ∵43π≤α+4π<47π,cos(α+4π)>0,由此知23π<α+4π<47π. ∴sin(α+4π)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--πα,从而有 cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π)cos(α+4π) =2×(54-)×53=2524-. sin ２α=-cos(2α+2π)=1-2cos 2(α+4π)=1-2×（53）2=257. ∴cos(2α+4π)=22×(2572524--)=50231-. 拓展探究12.在△ABC 中,求证：tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 证明：∵A、B 、C 是△ABC 的三个内角，∴A+B+C=π. 从而有2C A +=2π-2B . 左边=tan 2B (tan 2A +tan 2C )+tan 2A ·tan 2C =tan 2B ·tan（2A +2C )(1-tan 2A ·tan 2C )+tan 2A tan 2C =tan 2B tan(2π-2B )(1-tan 2A tan 2C )+tan 2A tan 2C =1-tan 2A tan 2C +tan 2A tan 2C =1=右边. ∴等式成立.。
2019-2020学年度高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-2半角的正弦余弦和正切课后训练新人教B版必修4
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-2半角的正弦余弦和正切课后训练新人教B版必修4______年______月______日____________________部门1．tan 15°＋cot 15°等于( ) A ．2 B ． C ．4 D ．234332．设α∈(π，2π)，则等于( )1cos π2α+(+)A ．B ．sin 2αcos2αC ．D ．sin2α-cos2α-3．若，则sin α＋cos α的值是( )sin 11cos 2αα=+A ．B ．C ．1D ．758529154．若sin 2α＝，且α∈，则cos α－sin α的值是( )14ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．3234 C ． D ．32-34-5．( )1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++A ．tan 2θB ．cot 4θC ．tan 4θD ．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝，则________.35cot2α=7．若＜α＜2π，且cos α＝，则的值是________．3π2141111cos22222α++ 8．已知0°＜α＜β＜90°，sin α与sin β是方程x2－(cos 40°)x＋cos240°－＝0的两根，则cos(2α－β)＝________.2129．已知，α∈，求2sin2α＋tan α－－1的值．ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan α10．(20xx·北京模拟)已知函数f(x)＝sin 2x －2sin2x.3(1)求的值；π6f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)若x∈，求f(x)的最大值和最小值．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦参考答案1．解析：原式＝＝2－＋2＋＝4.1cos30sin30sin301cos30-︒︒+︒-︒33答案：C2．解析：∵α∈(π，2π)，∴∈，∴.2απ,π2⎛⎫⎪⎝⎭sin 02α> ∴.1cos π1cos =sin sin 2222αααα+(+)-==答案：A3．解析：由，①sin 11cos 2αα=+得，整理得.②sin (1cos )1(1cos )(1cos )2αααα-=+-1cos 1sin 2αα-=由①得.③1cos 2sin αα+= ②＋③得，解得sin α＝.25sin 2α=45又由①得cos α＝2sin α－1＝2×－1＝.4535故sin α＋cos α＝.437555+= 答案：A4．解析：∵(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝1－＝，1434∴|cos α－sin α|＝.由α∈，知cos α＜sin α，∴cos α－sin α＝.32ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭32- 答案：C5．解析：由，得sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+tan 4θ＝，sin81cos81cos8sin8θθθθ-=+所以＝tan 4θ.1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++答案：C6．解析：由条件，得cos α＝，45±则或.411cos 5cot 332sin 5ααα±+===13 答案：3或137．解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.又cos α＝，3π23π42α14∴.1+cos 10cos 224αα=-=- ∴＝.1111cos22222α++1110cos cos cos 22224ααα+==-=答案：1048．解析：由已知得Δ＝2cos240°－4cos240°＋2＝2sin240°， ∴x ＝cos 40°±sin 40°.2222∴x1＝sin 45°cos 40°＋cos 45°sin 40°＝sin 85°，x2＝sin 45°cos 40°－cos 45°sin 40°＝sin 5°.又由0°＜α＜β＜90°， 知β＝85°，α＝5°，∴cos(2α－β)＝cos(－75°)＝cos 75° ＝cos(45°＋30°)＝.624- 答案：624- 9．解：∵，ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴，ππ12sin 2cos 2442αα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即.∴.π1sin 422α⎛⎫+= ⎪⎝⎭1cos 42α＝而2sin2α＋tan α－－1＝－cos 2α＋＝.1tan α22sin cos sin cos αααα-2cos2tan2αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∵α∈，∴2α∈.ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭∴cos 2α＝，1cos4322α+-=- tan 2α＝.1cos431cos43αα--=-+∴，23253cos2tan22233αα⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪-+=--+= ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 即2sin2α＋tan α－－1的值为.1tan α53210．解：(1)＝.π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭2ππ313sin 2sin 213624-=-⨯= (2)f(x)＝sin 2x ＋cos 2x －1＝2－1.3πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为x∈，所以，ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ5π2666x -≤+≤ 所以≤≤1，12-πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以f(x)的最大值为1，最小值为－2.。
高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切课后训练新人教B版必修4(含解析)
半角的正弦、余弦和正切1．tan 15°＋cot 15°等于( )A ．2B ．．4 D ．32．设α∈(π，2π)( ) A ．sin 2α B ．cos 2α C ．sin 2α- D ．cos 2α- 3．若sin 11cos 2αα=+，则sin α＋cos α的值是( ) A ．75 B ．85 C ．1 D ．29154．若sin 2α＝14，且α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos α－sin α的值是( )A B ．34C ．．5．1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++( ) A ．tan 2θ B ．cot 4θC ．tan 4θD ．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝35，则cot 2α=________.7．若3π2＜α＜2π，且cos α＝14________．8．已知0°＜α＜β＜90°，sin α与sin β是方程x 2－40°)x ＋cos 240°－12＝0的两根，则cos(2α－β)＝________. 9．已知ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．10．(2011²北京模拟)已知函数f (x )x －2sin 2x . (1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若x ∈ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求f (x )的最大值和最小值．参考答案1．解析：原式＝1cos30sin30sin301cos30-︒︒+︒-︒＝224. 答案：C 2．解析：∵α∈(π，2π)，∴2α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 02α>.sin sin 22αα=. 答案：A3．解析：由sin 11cos 2αα=+，① 得sin (1cos )1(1cos )(1cos )2αααα-=+-，整理得1cos 1sin 2αα-=.② 由①得1cos 2sin αα+=.③ ②＋③得25sin 2α=，解得sin α＝45. 又由①得cos α＝2sin α－1＝2³45－1＝35. 故sin α＋cos α＝437555+=. 答案：A4．解析：∵(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝1－14＝34， ∴|cos α－sin α|.由α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，知cos α＜sin α，∴cos α－sin α＝答案：C5．解析：由sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+，得 tan 4θ＝sin81cos81cos8sin8θθθθ-=+， 所以1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++＝tan 4θ. 答案：C6．解析：由条件，得cos α＝45±， 则411cos 5cot 332sin 5ααα±+===或13.答案：3或137．解析：∵3π2＜α＜2π，∴3π4＜2α＜π.又cos α＝14，∴cos 2α=cos cos 224αα==-=.答案：48．解析：由已知得Δ＝2cos 240°－4cos 240°＋2＝2sin 240°，∴x＝2cos 40°±2sin 40°. ∴x 1＝sin 45°cos 40°＋cos 45°sin 40°＝sin 85°， x 2＝sin 45°cos 40°－cos 45°sin 40°＝sin 5°. 又由0°＜α＜β＜90°，知β＝85°，α＝5°，∴cos(2α－β)＝cos(－75°)＝cos 75°9．解：∵ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ππ12sin 2cos 2442αα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即π1sin 422α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴1cos 42α＝. 而2sin 2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋22sin cos sin cos αααα-＝2cos2tan2αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. ∵α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴cos 2α＝2=-， tan 2α＝=∴2cos2tan222αα⎛⎫ ⎪⎛⎫ -+=--+= ⎪⎝⎭ ⎝即2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值为2.10．解：(1)π6f ⎛⎫⎪⎝⎭2ππ312sin 213624-=-⨯=.(2)f (x )x ＋cos 2x －1＝2πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－1. 因为x ∈ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x -≤+≤， 所以12-≤πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1， 所以f (x )的最大值为1，最小值为－2.。
[推荐学习]高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切自我小测新人教B版必修4
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3.2.2 半角的正弦余弦和正切自我小测1．已知sin θ＝35，52π<θ<3π，那么tan 2θ＋cos 2θ的值为( ) A．10 3 B ．3－10．－3010 D．3010 2．设a ＝12sin 6°，b ＝22tan131tan 13︒+︒，c( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a3．若sin 1cos a a +＝12，则sin α＋cos α的值是( ) A ．75 B ．85 C ．1 D ．2915 4．若f (x )＝2tan x －22sin 12sin cos 22x x x -，则f 12π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．C ．4D ．8 5．化简1sin 8cos81sin 8cos8θθθθ+-++等于( ) A ．tan 2θ B ．cot 4θ C ．tan 4θ D ．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝35，则cot 2a ＝__________． 7．若sin(π－α)＝45，α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 2α－cos 22a 的值等于__________． 8．若θ∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，sin 2θ＝8，则sin θ＝__________． 9．设a ＝(1＋cos α，sin α)，b ＝(1－cos β，sin β)，c ＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝6π，求sin 8αβ-的值．10．已知sin 24a π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 24a π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14，α∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求2sin 2α＋tan α－1tan a －1的值．参考答案1．答案：B2．解析：因为a ＝sin 24°，b ＝tan 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b ． 答案：C3．答案：A4．答案：D5．答案：C6．答案：3或137．答案：4258．解析：由2θ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得cos 2θ＝－18， 所以sin θ＝1－cos 2θ2＝34． 答案：349．解：由题意得cos θ1＝a ca c cos 2a ． 因为θ1∈[0，π]，2a ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以θ1＝2a ．同理，cos θ2＝b c b c ＝sin 2β＝cos 22βπ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为θ2∈[0，π]，2β－2π∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以θ2＝2β－2π． 将θ1＝2a ，θ2＝2β－2π代入θ1－θ2＝6π中，得2αβ-＝－3π，故sin 8αβ-＝sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝10．解：因为sin 24a π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 24a π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14， 所以2sin 24a π⎛⎫+⎪⎝⎭cos 24a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12， 即sin 24a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12．所以cos 4α＝12． 而2sin 2α＋tan α－1tan a－1 ＝－cos 2α＋22sin cos sin cos a a a a -＝－2cos 2tan 2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 因为α∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2α∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 所以cos 2αtan 2α3． 所以－2cos 2tan 2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－⎛⎫ ⎪ + ⎝即2sin 2α＋tan α－1tan a －1的值为2．。
【2019最新】高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-2半角的正弦余弦和正切自我小测新人教B版必修4
【2019最新】高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-2半角的正弦余弦和正切自我小测新人教B 版必修4 半角的正弦余弦和正切自我小测1．已知sin θ＝35，52π<θ<3π，那么tan 2θ＋cos 2θ的值为( ) A3 B ．3D2．设a ＝12sin 6°，b ＝22tan131tan 13︒+︒，c，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a3．若sin 1cos a a +＝12，则sin α＋cos α的值是( ) A ．75 B ．85 C ．1 D ．2915 4．若f (x )＝2tan x －22sin 12sin cos 22x x x -，则f 12π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．B．3C ．4D ．8 5．化简1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-++等于( ) A ．tan 2θ B ．cot 4θ C ．tan 4θ D ．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝35，则cot 2a ＝__________． 7．若sin(π－α)＝45，α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 2α－cos 22a 的值等于__________． 8．若θ∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，sin 2θ＝8，则sin θ＝__________． 9．设a ＝(1＋cos α，sin α)，b ＝(1－cos β，sin β)，c ＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝6π，求sin 8αβ-的值．10．已知sin 24a π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 24a π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14，α∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求2sin 2α＋tan α－1tan a －1的值．参考答案1．答案：B2．解析：因为a ＝sin 24°，b ＝tan 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b ． 答案：C3．答案：A4．答案：D5．答案：C6．答案：3或137．答案：4258．解析：由2θ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得cos 2θ＝－18， 所以sin θ＝1－cos 2θ2＝34． 答案：349．解：由题意得cos θ1＝a ca c ＝cos 2a ． 因为θ1∈[0，π]，2a ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以θ1＝2a ．同理，cos θ2＝b c b c ＝sin 2β＝cos 22βπ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为θ2∈[0，π]，2β－2π∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以θ2＝2β－2π． 将θ1＝2a ，θ2＝2β－2π代入θ1－θ2＝6π中，得2αβ-＝－3π，故sin 8αβ-＝sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝4． 10．解：因为sin 24a π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 24a π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14， 所以2sin 24a π⎛⎫+⎪⎝⎭cos 24a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12， 即sin 24a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12．所以cos 4α＝12． 而2sin 2α＋tan α－1tan a－1 ＝－cos 2α＋22sin cos sin cos a a a a -＝－2cos 2tan 2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 因为α∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2α∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 所以cos 2αtan 2α． 所以－2cos 2tan 2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－⎛⎫ ⎪ + ⎝即2sin 2α＋tan α－1tan a－1的值为2．。
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半角的正弦、余弦和正切
1．tan 15°＋cot 15°等于( )
A ．2
B ．．4 D ．
3
2．设α∈(π，2π)( ) A ．sin 2α B ．cos 2
α C ．sin 2α- D ．cos 2
α- 3．若sin 11cos 2
αα=+，则sin α＋cos α的值是( ) A ．75 B ．85 C ．1 D ．2915
4．若sin 2α＝14，且α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则cos α－sin α的值是( )
A B ．34
C ．．5．1sin8cos81sin8cos8θθθθ
+-=++( ) A ．tan 2θ B ．cot 4θ
C ．tan 4θ
D ．cot 2θ
6．已知α为三角形的内角，sin α＝
35，则cot 2α=________.
7．若3π2＜α＜2π，且cos α＝14________．
8．已知0°＜α＜β＜90°，sin α与sin β是方程x 2－40°)x ＋cos 240°－12
＝0的两根，则cos(2α－β)＝________. 9．已知ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．
10．(2011²北京模拟)已知函数f (x )x －2sin 2x . (1)求π6f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； (2)若x ∈ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求f (x )的最大值和最小值．
参考答案
1．解析：原式＝
1cos30sin30sin301cos30-︒︒+︒-︒
＝2
2
4. 答案：C 2．解析：∵α∈(π，2π)，∴
2α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 02α>.
sin sin 22αα=. 答案：A
3．解析：由
sin 11cos 2
αα=+，① 得sin (1cos )1(1cos )(1cos )2
αααα-=+-，整理得1cos 1sin 2αα-=.② 由①得1cos 2sin αα
+=.③ ②＋③得25sin 2α=，解得sin α＝45
. 又由①得cos α＝2sin α－1＝2³45－1＝35
. 故sin α＋cos α＝437555+=. 答案：A
4．解析：∵(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝1－
14＝34， ∴|cos α－sin α|
.由α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，知cos α＜sin α，∴cos α－sin α
＝答案：C
5．解析：由sin 1cos tan 21cos sin ααααα
-=
=+，得 tan 4θ＝sin81cos81cos8sin8θθθθ
-=+， 所以1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++＝tan 4θ. 答案：C
6．解析：由条件，得cos α＝45
±， 则4
11cos 5cot 332sin 5ααα
±
+===或13.
答案：3或
13
7．解析：∵3π2＜α＜2π，∴3π4＜2
α＜π.又cos α＝14，
∴cos 2α=
cos cos 224αα==-=.
答案：4
8．解析：由已知得Δ＝2cos 240°－4cos 240°＋2＝2sin 240°，
∴x
＝2
cos 40°±2
sin 40°. ∴x 1＝sin 45°cos 40°＋cos 45°sin 40°＝sin 85°， x 2＝sin 45°cos 40°－cos 45°sin 40°＝sin 5°. 又由0°＜α＜β＜90°，
知β＝85°，α＝5°，
∴cos(2α－β)＝cos(－75°)＝cos 75°
9．解：∵ππ1sin 2sin 2444
αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ππ12sin 2cos 2442
αα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即π1sin 422
α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴1cos 42α＝. 而2sin 2
α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋22sin cos sin cos αααα-＝2cos2tan2αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
. ∵α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴cos 2α
＝2
=-， tan 2α
＝=
∴2cos2tan222αα⎛⎫ ⎪⎛⎫ -+=--+= ⎪⎝⎭ ⎝
即2sin 2α＋tan α－1tan α－1
的值为2.
10．解：(1)π6f ⎛⎫
⎪⎝⎭2π
π
3
1
2sin 213624-=-⨯=.
(2)f (x )x ＋cos 2x －1＝2πsin 26x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭－1.
因为x ∈ππ,62⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x -≤+≤， 所以12-≤πsin 26x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭≤1，
所以f (x )的最大值为1，最小值为－2.。